湘教版高一数学必修第一册全册完整课件

三 知识引入
我们通常用大写拉丁字母A，B，C，······表示集合，用小写的拉丁 字母a，b，c······表示集合中的元素.
如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A记作
；如果a
不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A记作
.
常用数集的记法：
非负整数集(自然数集)：_____ N
集合的包含关系
[学习目标] 1．明确子集，真子集，两集合相等的概念； 2．会用符号表示两个集合之间的关系； 3．能根据两集合之间的关系求解参数的范围； 4．知道全集，补集的概念，会求集合的补集．
[知识链接] 1．已知任意两个实数a，b，如果满足a≥b，b≥a，
则它们的大小关系是 a＝b 。
2．若实数x满足x＞1，如何在数轴上表示呢？ x≥1 时呢？ 3．方程ax2－(a＋1)x＋1＝0的根一定有两个吗？
I. 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合 中是确定的.
II. 互异性：集合中的元素是不重复出现的. III. 无序性：集合中的元素排列是没有顺序的.
集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集
合是相等的.
练习一下
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
四 知识创新
通过上面的分析，我们可以知道：例1至例4、例7所列举的元素组 成的集合元素个数是有限的；而例5、例6、例8所列举的元素组成 的集合元素个数是无限的.
我们把含有有限个个数的集合叫做有限集，用card来表示有限集中 元素的个数.含有无限个个数的集合叫做无限集.

第1章 集合与函数
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1.1.1 集合的含义和表示
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1.1.2 集合的包含关系
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第1章 集合与函数 1.1.2 集合的包含关系 1.2.1 对应、映射和函数 1.2.2 表示函数的方法 1.2.3 从图像看函数的性质 1.2.5 函数的定义域和值域 1.2.7 二次函数的图像和性质——增减性和最值 数学实验 第2章 指数函数、对数函数和幂函数 阅读与思考 2.1.1 指数概念的推广 2.2.1 对数的概念和运算律 2.2.3 对数函数的图像和性质 2.3.2 幂函数的图像和性质 2.4.1 方程的根与函数的零点 数学实验 2.5.1 几种函数增长快慢的比较
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1.2.2 表示函数的方法
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数学实验
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1.2 函数的概念和性质
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1.2.1 对应、完整版】
阅读与思考

来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
变式训练
已知函数y1=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数y2=bx2+ax的零点.
解 由已知得3a-b=0,即b=3a.
故y2=3ax2+ax=ax(3x+1).
令y2=0,即ax(3x+1)=0,
解得 x=0 或
1
x=- .所以函数 y2 的零点为
3
解析 由 m,n 是方程 2x -x-2=0 的两个实数根,得
2
1
所以

1ห้องสมุดไป่ตู้

+ =
+

=
1
2
1
=- .
-1
2
C )
1
m+n=2,mn=-1.
知识点二
二次函数的零点
一般地,我们把使得ax2+bx+c=0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数
y=ax2+bx+c的 零点
.
名师点睛
一元二次方程、二次函数、二次函数的图象之间的关系
即函数y=x2-x-2a的零点为-1和2.
(2)要使函数 y=x -x-2a 有零点,则 Δ=1+8a≥0,解得
2
所以 a
1
的取值范围是[- ,+∞).
8
1
a≥-8,
规律方法
二次函数零点的求法
(1)代数法:求方程y=0的实数根.
(2)几何法:对于不能用求根公式的方程y=0,可以将它与函数的图象联系起
课 标 要 求
1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的
个数.
2.理解二次函数的零点与一元二次方程的根的关系.

C.假设当n=k(k∈N+)时正确,再推当n=k+1时正确
D.假设当n≤k(k∈N+)时正确,再推当n=k+2时正确
1 2 3 4 5
3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的过程如下:
(1)当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.
(2)假设当n=k时,等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,那么,当n=k+1
提示n0只是满足命题的最小的正整数,但不一定是1.
3.与正整数n无关的数学命题能否应用数学归纳法?
提示不能.
重难探究·能力素养速提升
探究点一 用数学归纳法证明等式
【例 1】
1
用数学归纳法证明:1-2
1
+3
1
1
− 4+…+2-1
1
− 2
=
1
+1
1
1
+ +2+…+2
(n∈N+).
证明(1)当 n=1
分析 根据递推关系式,依次求出n=1,2,3,4时的Sn与项数n的关系,归纳、猜
想Sn与项数n的关系后利用数学归纳法证明.
解 ∵当 n≥2
∴Sn=-
则
1
-1
1
时,an=Sn-Sn-1=Sn+ +2,

(n≥2).
+2
2
1
3
1
4
1
5
+1
S1=a1=- ,S2==- ,S3==- ,S4==- ,由此猜想:Sn=- (n∈N+).

1.1.1 集合
《三国志》记Βιβλιοθήκη ：“布有良马名曰赤兔。”据《三国演义》描述，这匹宝马
后来跟随关羽并大展神威。
思考：下面三句话里的“是”各自的含义是什么?
A.关羽千里走单骑的坐骑是赤兔马
B.赤兔马是红马
C.红马是马
第一个“是”的含义相当于“＝”；
第二个和第三个“是”的含义是前者是后者中的一部分，表示“属于”。
{x|x具有性质p}。
二、表示集合的方法
a
b
思考一下：如何用集合表示上图数轴所示的范围呢？
数学中常用的一类集合叫区间；
如图所示，设a, b是两个实数，a < b，所有大于a并且小于b的实数组成的集合
叫作开区间，记作（a, b），实数a, b 分别叫作上述区间的左端点和右端点；
用符号表示就是（ a, b ）={x ∈ R|a < x < b}。
全体自然数组成的集合叫自然数集，记作N；
全体整数组成的集合叫整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合叫有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合叫实数集，记作R.
二、表示集合的方法
表示一个集合，就是把它有哪些元素交代清楚。
在生活中，其实会遇到很多类似表示集合元素的方法，你能想到哪些呢？
可以把集合中的元素一一列举出来，比如菜单、花名册等；
（1）一元二次方程x 2 + 1 = 0的全体实根之集；
（2）所有素数之集；
（3）满足条件x + y = 0和xy ≠ 0的所有实数组（x，y）之集；
（4）满足条件x 2 + y 2 = 0和xy ≠ 0的所有实数组（x，y）之集。
答案：（1）和（4）是空集，（2）和（3）是无限集。

=

3
= -6,
2 = + 2,

解析 由题意,得
所以
所以 =3.

4 = + 6,
= -2,
1 2 3 4 5 6
.
6.判断下列数列是否为等差数列.
(1)在数列{an}中an=3n+2;
(2)在数列{an}中an=n2+n.
解 (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3,则这个数列是等差数列.
过程,我们通常称之为“知三求一”.
变式训练1
判断-401是不是等差数列-5,-9,-13,…中的项.如果是,指明是第几项;如果不
是,试说明理由.
解 记该等差数列为{an},公差为d,由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项
公式为an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1.
由题意,令-401=-4n-1,得n=100,
即-401是这个数列的第100项.
探究点二 等差中项及其应用
【例2】 若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2 024项.
分析 先根据条件由等差中项概念列方程求a,然后求出通项公式,再代入
n=2 024求解.
解由等差中项公式可得 2(2a-1)=a+(3-a),解得
差为 2 ×
5
-1
一个常数”,证明等差数列主要是证明an-an-1(n≥2)的值是一个常数.
学以致用·随堂检测促达标
1.设数列{an}是公差为d的等差数列,若a2=4,a4=6,则d等于( D )
A.4
B.3
C.2
D.1
解析 由a2=a1+d=4,a4=a1+3d=6,解得d=1.

2-
(2)使 y=

有意义的实数 x 组成的集合;
2-
≥
0,
解 要使该式有意义,需有
解得 x≤2,且 x≠0.
≠ 0,
故此集合可表示为{x|x≤2,且 x≠0}.
(3)200以内的正奇数组成的集合;
解 {x|x=2k+1,x<200,k∈N}.
(4)方程x2-5x-6=0的解组成的集合.
解 {x|x2-5x-6=0}.
x∈R可省略不写,如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}.
(5)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如
{x|x<-1或x>1}.
(6)“{
}”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表
示为{x|x是实数},但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是
(3)一次函数 y=x-1 与
解 方程 y=x-1 与
2
4
y=- x+ 的图象的交点构成的集合.
3
3
2
4
y=-3x+3可分别化为
=
- = 1,
则方程组
的解是
2 + 3 = 4
=
x-y=1 与 2x+3y=4,
7
,
5
2 所求集合可表示为
,
5
7 2
,
5 5
.
规律方法
列举法应用的解题策略
(1)一般地,当集合中元素的个数较少时,可采用列举法;当集合中元素较多
(1)写清该集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1}.

变式训练3
某工厂去年产值为a,计划十年内每年比上一年产值增长10%,若今年作为
第一年,则这个工厂的产值超过2a是( C )
A.从第6年起
B.从第7年起
C.从第8年起
D.从第9年起
解析 由题意知,第一年的产值为a(1+10%)=1.1a,且每年的产值构成以1.1a
为首项,公比为1.1的等比数列,则等比数列的通项公式an=1.1a×1.1n-1
1 2 3 4 5 6
3.已知等比数列{an}的公比q为正数,且2a3+a4=a5,则q的值为( B )
A.-1
B.2
C.-1或2
D.3
解析 由已知得2a3+a3q=a3q2,整理得2+q=q2,解得q=2或q=-1.又因为q>0,所
以q=2.
1 2 3 4 5 6
4.[2024甘肃酒泉高二期中]等比数列{an}中,a3a7a15=6,a8=3,则a9=( A )
面积为an+1,设2023年底沙漠面积为b1,经过n年后沙漠面积为bn+1,则
a1+b1=1,an+bn=1.
依题意,an+1由两部分组成:一部分是原有绿洲面积an减去被侵蚀的部分
8%·an的剩余面积92%·an,另一部分是新绿化的12%·bn.所以
4
3
an+1=92%·an+12%(1-an)=5an+25 ,即
1
(方法 1)由已知,得
解得
2
5
= 2,
1 + 1 = 9,
故 a7=a1q =32×
6
1 6
2
=
1
.

A．1
B．2
C．3
D．4
C [由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k” 三个元素．]
1234 5
Hale Waihona Puke 3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14
B．－5
C．37
D． 7
D [由题意可知，a∈R且a∉Q，所以a是无理数，故选D．]
1234 5
4．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1________B(填“∈”或 “∉”)．
类型 1 集合的基本概念 【例 1】 2021 年 9 月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己 的班级．则下列对象中能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由． (1)你所在班级中的全体同学； (2)班级中比较高的同学； (3)班级中比较胖的同学； (4)班级中体重超过 75 kg 的同学； (5)学习成绩比较好的同学．
(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？ (2)某班身高高于 175 厘米的男生能否构成一个集合？ [提示] (1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没 有明确的标准． (2)某班身高高于 175 厘米的男生能构成一个集合，因为标准确 定．
集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过 来，一组对象若不具备这三个基本属性，则这组对象也就不能构成集 合．
4.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)小于 10 000 的正整数构成的集合是无限集．
()
(2)不等式组x3＋－3x≥ ≥00 的解集是有限集．
()
(3)方程 x2＋1＝0 的解构成的集合是空集．
()
[答案] (1)× (2)× (3)√
NO.2
合作探究·释疑难

奇数,所以¬r是真命题.
④¬s:存在两个等边三角形,它们不相似.由s是真命题可知¬s是假命题.
规律方法
1.全称量词命题的否定的两个关注点
(1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结
论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.
(2)有些全称量词命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定写成“是”
解析 命题的否定为“∀x∈R,x2+2 022x+2 023≥0”.
1 2 3 4 5
3.命题“∀x,y<0,x+y≤-2 ”的否定为
∃x,y<0,x+y>-2
.
1 2 3 4 5
4.命题“∃x∈R,x2+2x+1=0”的否定是 假
命题.(填“真”“假”之一)
解析 ∵由x2+2x+1=0得(x+1)2=0,∴x=-1,
存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说
明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.
学以致用·随堂检测促达标
1 2 3 4 5
1.命题“∀x>0,x2>0”的否定是( B )
A.∀x>0,x2≤0
B.∃x>0,x2≤0
C.∀x≤0,x2≤0
D.∃x≤0,x2≤0
(2)p:所有的正方形都是菱形;
解 ¬p:至少存在一个正方形不是菱形,假命题.因为所有的正方形都是菱形.
(3)p:至少有一个实数x,使x3+1=0.
解 ¬p:∀x∈R,x3+1≠0,假命题.因为当x=-1时,x3+1=0.
规律方法

体验2．(1)用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是( )
A．{x|y＝3x＋1}
B．{y|y＝3x＋1}
√C．{(x，y)|y＝3x＋1}
D．{y＝3x＋1}
(2)用描述法表示不等式4x－5<7的解集为__{_x|_x_<_3_}__．
(1)C (2){x|x<3} [(1)该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，
思考1．(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？ (2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？ [提示] (1)元素的共同特征为x∈R，且x<5． (2){x|x<5，x∈R}． 提醒 用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集，区分的关 键是代表元素．如{x|x>3，x∈R}是数集，{(x，y)|y＝x＋1}是点集．
A．{x|－3<x<11，x∈Z}
题号
B．{x|－3<x<11}
1
C．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈N}
2
3
√D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}
4
5
D [由题意可知，满足题设条件的只有选项D．故选D．]
3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2} C．{(－2，1)}
[跟进训练] 4．已知区间(a2＋a＋1，7]，则实数a的取值范围是__(－__3_，__2_)__． (－3，2) [由题意可知a2＋a＋1<7， 即a2＋a－6<0， 令函数y＝a2＋a－6，由函数图象(图略)可知， 当y＜0时，－3<a<2， 所以实数a的取值范围是(－3，2)．]

解 A∩B=(-1,2).
规律方法
求两个集合的并集时,若用描述法给出的集合,要先明确集合中
的元素是什么,有时直接观察可写出并集,有时则需借助Venn图或数轴写出
并集;若用列举法给出集合,则依据并集的定义,可直接观察或借助于Venn
图写出并集.
探究点三
集合运算性质的运用
【例3】 设A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.
B={x|x≤1或x>6},则A∩∁RB=( D )
A.{2,3,4}
B.{x|1<x<4}
C.{x|1<x≤6}
D.{x|1<x≤4}
解析 由题意可知,∁RB={x|1<x≤6},
又A={x|0<x≤4},所以A∩∁RB={x|1<x≤4}.故选D.
1 2 3 4
2.已知集合A={x|x-a>0},B={x|2-x<0},且A∪B=B,则实数a满足的条件是
两个集合的交集运算
【例1】 设A={x|x2-7x+6=0},B={x|4<x<9,x∈N},求A∩B.
解 A={1,6},B={5,6,7,8},用Venn图表示集合A,B,如图所示,
依据交集的定义,观察可得A∩B={6}.
规律方法
求两个集合的交集的解题策略
求两个集合的交集时,首先要识别所给集合,其次要简化集合,即明确集合
3
.
1 2 3 4
4.已知全集U=R,A={x|-3≤x≤1},B={x|-1<x≤5},P={x|x≤1或x≥2}.求:
(1)∁UA,∁UB,∁UP;
(2)∁UA∩∁UB,B∪∁UP,P∩∁UA.

{c+an}(c为任一常数)、{can}(c为任一常数)、{an+an+k}(k为常数,k∈N+)均
为等差数列.
2.方法归纳:利用对称性设等差数列的项,建立等差数列模型解决问题.
3.注意事项:若{an}是等差数列,且m+n=p(m,n,p均为正整数),则am+an≠ap,将
实际问题转化为等差数列模型要注意条件.
变式探究
将本例题中的条件改为“已知三个数成等差数列,若这三个数的和为6,积为
-24”,求此数列.
(-) + + ( + ) = 6,
解 设所求数列为:a-d,a,a+d,依题意,得
(-)( + ) = -24,
3 = 6,
= 2,
= 2,
化简,得 3
解得
或
2
=4
- = -24,
5.在等差数列{an}中,a10=30,a20=50,则a40=
90
.
解析 由等差数列的性质可知,a10,a20,a30,a40成等差数列.
故由a10=30,a20=50,可得a30=70,a40=90.
1 2 3 4 5 6
6.已知三个数成等差数列,它们的和为6,且第三个数是第一个数的三倍,求
7
A.3斤
7
B.2斤
5
C.2斤
D.3 斤
解析 由题意可设金棰由粗到细各尺质量构成的等差数列为{an},首项
a1=4,a5=2,则公差
5 - 1
d=
5-1
=
2-4 1
=- ,故
5-1 2
7
a2=a1+d= .故选
2

பைடு நூலகம்
第1章 集合与函数
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第1章 集合与函数 1.1.1 集合的含义和表示 1.2 函数的概念和性质 阅读与思考 数学实验 1.2.4 从解析式看函数的性质 1.2.6 分段函数 1.2.8 二次函数的图像和性质——对称性 小结与复习 问题探索 2.1 指数函数 阅读与思考 2.2.1 对数的概念和运算律 阅读与思考 2.3.1 幂函数的概念 2.4 函数与方程 2.4.2 计算函数零点的二分法

B)
解析 众数是指样本中出现频率最高的数,在频率分布直方图中通常取频率
最大的组区间的组中值,所以众数为
2+2.5
=2.25,中位数是频率为0.5的分界
2
点,由频率分布直方图可知前4组的频率和为
(0.08+0.16+0.30+0.44)×0.5=0.49,因此中位数出现在第5组,设中位数为x,
则(x-2)×0.5=0.01,则x=2.02,故选B.
积之和,从而在频率分布直方图中,样本平均数可以用每个小矩形底边中点
的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.这样我们就可近似估计样
本的平均数.
根据中位数的意义可知,在样本中,有50%的个体小于或等于中位数,也
有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布直方图中,中位数左边和
右边的直方图的面积应该相等,由此可估计样本中位数的值.
C.频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大
D.频数分布直方图中每个长方形的高就是该组的频数
频率
解析 频率分布直方图的每个小矩形的高=
,因此只有 A 不正确.
组距
1 2 3 4 5 6
3.[2024甘肃庆阳校考学业考试]某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活
知识竞赛”活动,选取了n人参与问卷调查,将他们的成绩进行适当分组后,
得到如图所示的频率分布直方图,且成绩落在[90,100]内的人数为10,则
n=( C )
A.60
B.80
C.100
D.120
1 2 3 4 5 6
解析 由题图可知,10×(0.006+0.012+0.02+0.032+0.02+m)=1,解得m=0.01,

题型3 根据含有量词的命题的真假求参数的取值范围 例3 (1)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“∀x∈A，一次函数y＝x ＋m的图象在x轴上方 ”是真命题，则实数m的取值范围是 ________． (2)若命题“∃x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立 ”是真命题，求 实数a的取值范围．
答案：(1){m|m>－1} (2)见解析
课堂十分钟
1．(多选)下列四个命题中是全称命题的有( ) A．y＝1x⇔xy＝1 B．矩形都不是梯形 C．∃x，y∈R，x2＋y2≤1 D．等腰三角形的底边的高线、中线重合
答案：ABD
解析：ABD是全称命题，C是特称命题．
2．下列四个命题中为真命题的是( ) A．∀x∈R，x2－2x＋2＞0恒成立 B．x∈Q，x2＝2 C．∃x∈R，x2＋1＝0 D．∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2
全称命题及其真假判断 例1 判断下列命题哪些是全称命题，并判断其真假． (1)对任意x∈R，x2＞0； (2)有些无理数的平方也是无理数； (3)对顶角相等； (4)对任意x∈{x|x＞－1}，使3x＋4＞0.
解析：(1)(3)(4)是全称命题，(1)是假命题，∵x＝0时，x2＝0.(3)是真命题．(4) 是真命题．
方法归纳
1．判断全称命题的关键有两点：一是是否具有命题所要求的量词或 形式；二是根据命题的含义判断指的是不是全体．
2．要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”为真，需要对集合M每个元素x， 证明p(x)成立．
3．要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”为假，只需在M中找到一个x0， 使p(x0)不成立，即“举反例”．
变式探究 若命题“∃x∈R，使得方程“x2＋2x＋2＝m ”，求实数 m的取值范围．
解析：依题意，方程x2＋2x＋2－m＝0有实数解，所以Δ＝4－4(2－m)≥0，解得 m≥1.