湘教版高中数学必修1：集合的包含关系

2019-2020年湘教版高中数学（必修1）1.1《集合》（集合的基本关系）教案（Ⅰ）、基本概念及知识体系：1、集合之间的基本关系：包含关系------子集、真子集、空集；集合的相等。

2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。

（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：（一）、集合之间的基本关系：子集、真子集、空集（如方程x2+1=0的根）；集合的相等。

（二）、含有n个元素的集合A的子集个数是_____2n,,真子集个数是___2n-1,非空真子集：2n-2★【例题1】、已知集合P=｛x|x2-5x+4≤0｝,Q=｛x|x2-(b+2)x+2b≤0｝且有P Q，求实数b的取值范围。

●解：{b|1≤b≤4}；注意利用数轴去加以判断。

★【例题2】、（xx年湖南·10题）．设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（ B ）A．10 B．11 C．12 D．13★【例题3】、（xx年北京文科·15题·12分）记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（I）若，求；（II）若，求正数的取值范围．●解：（I）由，得．（II）．由，得，又，所以，即的取值范围是．▲★课堂练习：1、书本P7：练习题1、2、3；P12：5：①②③；B组第2题。

2、已知集合A=｛2，8，a｝, B=｛2，a2-3a+4｝,又A B，求出a之值。

(解：a= -1或4)3、已知集合A=｛x|-3≤x≤4｝B=｛x|2m-1≤x≤m+1｝,当B A时，求出m之取值范围。

（解：m≥-1)特别注意：当B A时，B一定包括有两种情形：B=或B≠，解题时极易漏掉B=这一情况从而出错！（三）、今日作业：●1、判断下列集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：①、已知集合A=｛x|x=2k-1,k∈Z｝B=｛x|x=2m+1,m∈Z｝(解：A=B）②、已知集合A=｛x|x=2k,k∈Z｝B=｛x|x=4m,m∈Z｝(解：B A）●2、已知集合M=｛x|-2≤x≤5},N={x|m+1≤x≤2m-1}①、若N M，求实数m的取值范围；（解：m≤3，注意N为的情况！)②、若x∈Z，则M的非空真子集的个数是多少个？（解：28-2=254个）③、（选做）当x∈R 时，没有元素使得x∈M与x∈N同时成立，求实数m的取值范围（解：m<2或m>4)（四）、提高练习：★【题1】、设集合S=｛a,b,c,d,e｝,则包含｛a,b｝的S的子集共有（D ）个A 2B 3C 5D 8★【题2】、集合A=｛（x,y)|2x+y=5,x∈N,y∈N｝,则A的非空真子集的个数为（C ）Ａ４Ｂ５Ｃ６Ｄ７★【题3】、对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B=｛(x,y)|x∈A, y∈B｝,若A=｛1，3｝，B=｛2，4｝，则点集A×B的非空真子集的个数是___14_个★【题4】、集合的真子集个数是（ A ）（A）16 （B）8 （C）7 （D）4●解答、，A的真子集有：，共7个，选C★【题5】、（2004湖北）已知集合P=｛m|-1<m<0},Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意的x∈R恒成立}，则有（ B ）A P=QB P QC P QD P∩Q=Q★【题6】、设集合M=｛x|x=k2+14,k∈Z｝,N=｛x|x=k4+12,k∈Z｝,则（ B）A M=NB M NC M ND M∩N=（Ⅲ）、课堂回顾与小结：1、分清子集、真子集、空集；注意的特殊性。

第一章集合与逻辑1.1集合 (1)1.1.1集合 (1)第一课时集合与元素 (1)第二课时表示集合的方法 (5)1.1.2子集和补集 (9)1.1.3集合的交与并 (14)1.2常用逻辑用语 (19)1.2.1命题 (19)1.2.2充分条件和必要条件 (22)1.2.3全称量词和存在量词 (27)1.1集合1.1.1集合第一课时集合与元素知识点一元素与集合的相关概念1．集合：把一些对象放在一起考虑时，这些对象组成了一个集合或集．通常用大写拉丁字母表示，如A，B，…表示集合．2．元素：这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素．通常用小写拉丁字母表示，如a，b…表示元素．3．集合中元素的三个基本属性只作描述性说明．2．集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．1．集合中的元素只能是数、点、代数式吗？提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．2．某班所有的高个子男生能否构成一个集合？提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明确的标准．知识点二元素与集合的关系表达集合和它的元素之间的归属关系的符号是∈.(1)属于：若S是一个集合，a是S的一个元素，记作“a∈S”，读作：“a属于S”；(2)不属于：若a不是S的元素，记作a∉S(或a S)读作“a不属于S”．1．元素与集合之间有第三种关系吗？提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种关系．2．符号“∈”“∉”的左边可以是集合吗？提示：“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合．知识点三常见的数集及符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋Z Q RN与N＋有何区别？提示：N是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集＋多一个元素0.合，所以N比N＋知识点四集合的分类1．有限集：元素个数有限的集合(或有穷集)． 2．无限集：元素无限多的集合叫无限集(或无穷集)． 3．空集：没有元素的集合叫空集．记作∅，空集也是有限集．集合的概念[例1] (多选)判断下列每组对象，能组成一个集合的是( ) A ．某校高一年级成绩优秀的学生 B ．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C ．不小于3的自然数D ．2018年第23届冬季奥运会金牌获得者[解析] A 中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；B 、C 、D 中的对象都满足确定性，所以能组成集合．[答案] BCD判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．元素与集合的关系[例2] (1)(多选)由不超过5的实数组成集合A ，a ＝2＋3，则( ) A ．a ∈A B ．a 2∈A C.1a ∈AD ．a ＋1∈A(2)若集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． [解析] (1)a ＝2＋3＜4＋4＝4＜5，所以a ∈A .a ＋1＜4＋4＋1＝5，所以a ＋1∈A ，a 2＝(2)2＋22×3＋(3)2＝5＋26＞5，所以a 2∉A ，1a ＝12＋3＝3－2（2＋3）（3－2）＝3－2＜5，所以1a ∈A .(2)由题意可得：x为自然数，所以63－x可以为2，3，6，因此x的值为2，1，0.因此A中元素有2，1，0.[答案](1)ACD(2)2，1，0判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：①使用前提：集合中的元素是直接给出的；②判断方法：首先明确集合由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可；(2)推理法：①使用前提：对于某些不便直接表示的集合；②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．元素特性的应用[例3]________．[解析]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.[答案]－1[母题探究]1．(变条件)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a 的值．解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝2或a＝－ 2.经检验符合元素的互异性．2．(变条件)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？解：因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.3．(变条件)已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．解：由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去)．综上可知，a＝0.根据集合中元素的特性求值的三个步骤第二课时表示集合的方法知识点一列举法把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫作列举法．用列举法表示集合的注意点(1)元素与元素之间需用“，”隔开；(2)集合中的元素必须是确定的；(3)不必考虑元素出现的前后顺序，但不能重复．知识点二描述法把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，这种表示方法叫作描述法．用描述法表示集合的注意点(1)写清楚集合中的代表元素，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同属性，如满足的方程、不等式、函数或几何图形等；(3)所有描述的内容都要写在大括号内，用于描述内容的语言力求简洁、准确；(4)“{}”有“所有”“全体”的含义，因此自然数集可以表示为{x|x为自然数}或N，但不能表示为{x|x为所有自然数}或{N}．知识点三区间的相关概念1．区间的概念及记法设a，b是两个实数，且a<b，我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a≤x<b}左闭右开区间[a，b){x|a<x≤b}左开右闭区间(a，b]2．无穷大实数集R可以表示为(－∞，＋∞)，符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．3．特殊区间的表示定义区间数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x<b}(－∞，b)理解区间概念时的注意点(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；(2)区间表示实数集的三个原则：连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；(3)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数，以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．用列举法表示集合[例1] 用列举法表示下列集合： (1)方程x 2－1＝0的解组成的集合； (2)单词“see ”中的字母组成的集合； (3)所有正整数组成的集合；(4)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合．[解] (1)方程x 2－1＝0的解为x ＝－1或x ＝1，所求集合用列举法表示为{－1，1}．(2)单词“see ”中有两个互不相同的字母，分别为“s ”“e ”，所求集合用列举法表示为{s ，e}．(3)正整数有1，2，3，…，所求集合用列举法表示为{1，2，3，…}． (4)方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，所求集合用列举法表示为{(1，1)}．列举法表示集合的步骤及注意点分清元素 列举法表示集合，要分清是数集还是点集书写集合列元素时要做到不重复、不遗漏[提醒] 二元方程组的解集、函数的图象、点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}．用描述法表示集合[例2](1)函数y ＝－x 的图象上的点组成的集合； (2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合； (3)不等式x －2＜3的解组成的集合． [解] (1){(x ，y )|y ＝－x }．(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x ∈R ||x |＞3}．(3)不等式x－2＜3的解是x＜5，则不等式x－2＜3的解组成的集合用描述法表示为{x|x＜5}．描述法表示集合的2个步骤用区间表示集合[例3](链接教科书第5页例5)用区间表示下列集合：(1){x|x＞－1}＝________；(2){x|2＜x≤5}＝________；(3){x|x≤－3}＝________；(4){x|2≤x≤4}＝________．[解析](1)集合{x|x＞－1}可用开区间表示为(－1，＋∞)；(2)集合{x|2＜x≤5}可用半开半闭区间表示为(2，5]；(3)集合{x|x≤－3}可用半开半闭区间表示为(－∞，－3]；(4)集合{x|2≤x≤4}可用闭区间表示为[2，4]．[答案](1)(－1，＋∞)(2)(2，5](3)(－∞，－3](4)[2，4]用区间表示数集的方法(1)区间左端点值小于右端点值；(2)区间两端点之间用“，”隔开；(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．1.1.2子集和补集知识点一子集1．韦恩图(Venn图)用平面上封闭曲线的内部表示集合．如图，这类表示两集合间关系的示意图叫作韦恩图(即Venn图)．2．子集3．两个集合相等4．真子集定义：如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集．集合间关系的性质(1)空集包含于任一集合，是任一集合的子集；(2)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；(3)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；若A B，B⊆C，则A C.1．符号“∈”与“⊆”有什么区别？提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N.②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}．③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合．2．∅与0，{0}，{∅}有何区别？提示：∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}知识点二补集1．全集：如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素和子集，就可以约定集合U叫作全集(或基本集)．2．补集定义若A是全集U的子集，U中不属于A的元素组成的子集，叫作A的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言1．补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．2．补集的性质(1)若A⊆U，则①∁U A⊆U；②∁U(∁U A)＝A；③(∁U U)＝∅；④∁U∅＝U.(2)已知A⊆U，B⊆U，相关结论如下：①若A⊆B，则∁U A⊇∁U B；②若∁U A⊇∁U B，则A⊆B.特别地，若A＝B，则∁U A＝∁U B；反之，若∁U A＝∁U B，则A＝B.集合间关系的判断[例1]指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}；(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}．[解](1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B.(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意n∈Z，n＝2×(－n)＋3n∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z，因为任意n∈Z，n＝4n－3n∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z.判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系；(2)集合元素特征法：先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系；(3)数形结合法：利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．确定有限集合的子集、真子集及其个数[例2](1)集合M＝{1，2，3}的真子集个数是()A．6 B．7C．8 D．9(2)满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个元素的真子集为∅，含有1个元素的真子集有3个{1}，{2}，{3}，含有2个元素的真子集有{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；含有五个元素：{1，2，3，4，5}．故满足题意的集合M共有7个．[答案](1)B(2)7求集合子集、真子集个数的3个步骤补集的求法[例3](1)∁U M＝()A．U B．{1，3，5}C．{3，5，6} D．{2，4，6}(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，则∁U A＝________．[解析](1)因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，由补集的定义，可知∁U M＝{3，5，6}．(2)如图，在数轴上表示出集合A，可知∁U A＝{x|－2≤x≤2}．[答案](1)C(2){x|－2≤x≤2}求集合补集的2种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．由集合间的关系求参数值(范围) [例4]已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}(m>1)，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．[解析]由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4，又m>1，所以1<m≤4.[答案](1，4][母题探究]1．(变条件)本例若将“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改为“B＝{x|1<x<m}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？解：若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A.若m>1，则由例题解析可知1<m≤4.综上可知实数m的取值范围是(－∞，4]．2．(变条件)本例若将“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改为“B＝{x|2m－1<x<m＋1}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？解：因为B ⊆A ，①当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.②当B ≠∅时，有⎩⎨⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上得实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．3．(变条件)本例若将集合A ，B 分别改为A ＝{－1，3，2m －1}，B ＝{3，m 2}，其他条件不变，则实数m 的值又是什么？解：因为B ⊆A ，所以m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，所以m ＝1，当m ＝1时，A ＝{－1，3，1}，B ＝{3，1}满足B ⊆A .所以m 的值为1.由集合间的包含关系求参数的方法(1)当集合为不连续数集时，常根据集合间包含关系的意义，建立方程(组)求解，此时应注意分类讨论；(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．[注意] (1)不能忽视集合为∅的情形；(2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论．1.1.3 集合的交与并知识点一 两个集合的交两个集合交运算的性质A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝A⇔A⊆B.知识点二两个集合的并两个集合并运算的性质A∪B＝B∪A；A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝A⇔B⊆A.对并集、交集概念的再理解(1)A∪B、A∩B都是一个集合；(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”；(3)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素．集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和．交集的运算[例1](1)A∩B＝()A．∅B．{2}C．{0}D．{－2}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}[解析](1)方程x2－x－2＝0的解为x＝－1或2，∴B＝{－1，2}，∴A∩B＝∅.故选A.(2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示，则由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}．[答案](1)A(2)A求两个集合的交集的方法(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；(2)对于元素是连续实数的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．并集的运算[例2](x≤5}，N＝{x|x ＜－5或x＞5}，则M∪N＝()A．{x|x＜－5或x＞－3} B．{x|－5＜x＜5}C．{x|－3＜x＜5} D．{x|x＜－3或x＞5}(2)已知集合M＝{0，1}，则满足M∪N＝{0，1，2}的集合N的个数是()A．2 B．3C．4 D．8[解析](1)在数轴上表示出集合M，N(图略)，可知M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．故选A.(2)依题意，可知满足M∪N＝{0，1，2}的集合N有{2}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，共4个．故选C.[答案](1)A(2)C求集合并集的2种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．交集、并集、补集的综合运算[例3](1)若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{x|x2－4x＋3＝0}，N＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U(M∩N)＝()A．{4} B．{1，2} C．{1，2，4} D．{1，3，4}(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}[解析](1)∵M＝{1，3}，N＝{2，3}，∴M∩N＝{3}，∴∁U(M∩N)＝{1，2，4}，故选C.(2)由已知，得A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，故∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}，故选D.[答案](1)C(2)D解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解；(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．由集合的并集、交集求参数[例A∪B ＝A，试求k的取值范围．[解](1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，只需⎩⎨⎧－3<k ＋1，4≥2k －1，k ＋1≤2k －1，解得2≤k ≤52. 综合(1)(2)可知，k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52. [母题探究]1．(变条件)把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，试求k 的取值范围． 解：由A ∩B ＝A 可知A ⊆B .所以⎩⎨⎧－3≥k ＋1，2k －1≥4，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤－4，k ≥52， 所以k ∈∅.所以k 的取值范围为∅.2．(变条件)把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∪B ＝{x |－3<x ≤5}”，求k 的值．解：由题意可知⎩⎨⎧－3<k ＋1≤4，2k －1＝5，解得k ＝3. 所以k 的值为3.利用集合交集、并集的性质解题的方法(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理；(2)当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时一定要考虑B ＝∅的情况，切不可漏掉．1.2常用逻辑用语1.2.1命题知识点一命题的定义及分类1．逻辑用语：在数学乃至科学中常用于引入概念、表述规律、推导定理法则或交流信息的词语，经过规范化使之意义更为清楚严谨，这类词语叫做逻辑用语．2．命题的定义：可判断真假的陈述句叫做命题．3．命题的分类：判断为真(成立)的命题叫作真命题，判断为假(不成立)的命题叫作假命题．4．猜想：数学中暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．知识点二命题及其否定的结构形式1．数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．2．命题的否定：如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p 的否定，记作綈p，读作“非p”．对一般命题若p，则q的否定为若p，则綈q．3．命题的否定与原命题的真假性.命题p 綈p真假假真命题的概念[例1](1)π3是有理数；(2)3x2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)一个数的算术平方根一定是负数．[解] (1)“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题．(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．判断语句是否是命题的策略(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．判断命题的真假[例2] (链接教科书第14页例1)判断下列命题的真假，并说明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x ＝4时，2x ＋1<0；(3)若x ＝3或x ＝7，则(x －3)(x －7)＝0.[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题，x ＝4不满足2x ＋1<0.(3)是真命题，x ＝3或x ＝7能得到(x －3)(x －7)＝0.命题真假的判定方法(1)真命题的判断方法：要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证；(2)假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．命题的结构形式[例3](1)6是12和18的公约数的否定；(2)当a >－1时，方程ax 2＋2x －1＝0有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.[解](1)若一个数是6，则它不是12和18的公约数，是假命题．(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则[注意]若判断一个命题的真假性时，从原命题入手不易判断时，可以考虑判断该命题的否定的真假性，根据p与綈p的真假关系得出结论．由命题的真假求参数的范围[例4](2021·苏州检测)已知集合A＝[－3，6)，B＝(－∞，a)，若A∩B＝∅是假命题，则实数a的取值范围是________．[解析]法一：若A∩B＝∅是真命题，则a≤－3，∴A∩B＝∅是假命题时，a>－3.法二：若A∩B＝∅是假命题，则A∩B≠∅是真命题，即集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，易得a>－3.[答案](－3，＋∞)由命题的真假求参数的取值范围的基本步骤第一步，明确命题的条件和结论；第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件；第三步，化简相应的条件，求出参数的取值范围．[注意]若求命题为假时参数的取值范围，可求命题为真时参数取值范围对应的补集．1.2.2充分条件和必要条件知识点一充分条件和必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p叫作q的充分条件；q叫作p的必要条件p不是q的充分条件；q不是p的必要条件1．判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．2．充分条件、必要条件的理解p⇒q可以理解为若p成立，则q一定也成立，即p对于q的成立是充分的；反过来，若q不成立，则p必不成立，即q对于p的成立是必要的．1．p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？提示：相同，都是p⇒q.2．以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？提示：这五种表述形式是等价的．知识点二充分必要条件(充要条件)1．定义：如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件．当然，此时q也是p的充分必要条件．2．记法：如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”．3．传递性：“⇒”和“⇔”都具有传递性，即(1)如果p⇒q，q⇒s，那么p⇒s；(2)如果p⇔q，q⇔s，那么p⇔s．对充分必要条件的再理解(1)如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件；(2)p是q的充分必要条件⇔p成立当且仅当q成立．1．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.2．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示：p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；p的充要条件是q说明q 是条件，p是结论．充分、必要、充要条件的判断[例1]下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．[解](1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p⇒q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q p.所以p 是q 的充分不必要条件．(3)因为xy >0时，x >0，y >0或x <0，y <0.故p q ，但q ⇒p .所以p 是q 的必要不充分条件．(4)因为⎩⎨⎧四边形的对角线相等⇒/ 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇒/ 四边形的对角线相等， 所以p 是q 的既不充分也不必要条件．充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若p ⇒q ，q p ，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；若p q ，q p ，则p 是q 的既不充分又不必要条件．(2)集合法对于集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，具体情况如下： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若AB ，则p 是q 的充分不必要条件； 若A B ，则p 是q 的必要不充分条件． 充分条件与必要条件的应用[例2] 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解] p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎨⎧1－m >－2，1＋m ≤10， 解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．[母题探究]1．(变条件)若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解得m ≥9，故实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．2．(变设问)本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎨⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，方程组无解． 故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．充分条件与必要条件的应用技巧及求解步骤(1)应用技巧：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；(2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 充要条件的证明[例3] (相等实根的充要条件是－13<m <0.[证明] (1)充分性：∵－13<m <0，∴方程x 2－2x －3m ＝0的判别式Δ＝4＋12m >0，且－3m >0，∴方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎨⎧Δ＝4＋12m >0，x 1x 2＝－3m >0，解得－13<m <0. 综合(1)(2)知，方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－13<m <0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p 的充要条件是q ”，那么“充分性”是q ⇒p ，“必要性”是p ⇒q ；若证明“p 是q 的充要条件”，则与之相反； (2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．[注意] 证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．充分条件、必要条件、充要条件的探求( )A ．m <12B ．m <14C ．m <－12D ．m <－14(2)若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③ab >0中分别选出适合下列条件者，用序号填空．(ⅰ)a ，b 都为0的必要条件是________；(ⅱ)使a ，b 都不为0的充分条件是________．[解析] (1)由题意可得Δ＝b 2－4ac ＝1－4×1×m ≥0，解得m ≤14.四个选项中，只有m <12是m ≤14的必要条件，故选A.。

姓名，年级：时间：1．1集__合1．1.2 集合的包含关系集合间的关系设集合A＝｛农夫,狼，羊，菜},由此设计一个方案：农夫把狼,羊,菜从河的一岸送到另一岸，农夫驾船每次只能送一样东西，并且农夫不在场时，狼和羊不能在一起，羊和菜不能在一起．问：(1）如果把每次船上的物品和农夫作为一个集合，共能构成多少个集合？且彼此之间有何关系？(2)(1)中的集合与集合A有何关系？1．子集（1)如果集合B的每个元素都是集合A的元素，就说B包含于A,或者说A包含B.记作B⊆A(或A⊇B）．符号⊆读作“包含于”,符号⊇读作“包含”．(2)若B包含于A,称B是A的一个子集．2．子集的性质（1)每个集合都是它自己的子集．（2）空集合包含于任一集合,是任一集合的子集．3．集合相等如果B是A的子集,A也是B的子集，就说两个集合相等,记作A＝B。

4．真子集如果B是A的子集，但A不是B的子集，就说B是A的真子集,记作B A.1．若A B,则A⊆B且A≠B，对吗?[提示］正确．若A B，首先A⊆B，其次B中至少有一个元素不属于A,即A≠B。

2．下图所示的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，集合A，B，C，D,E表示的图形分别是_________________________．[提示］由Venn图可知，E D C A，B A.∴A、B、C、D、E分别表示四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形．3．若∅A⊆｛0，1}，则集合A的所有可能的情况有________．[提示] {0｝，{1｝，｛0,1}.全集和补集我们知道，事物都是相对的,集合中的部分元素与集合的全部元素之间的关系就是部分与整体的关系．看下面的例子回答问题：A＝{高一(1）班参加足球队的同学｝，B＝｛高一(1）班没有参加足球队的同学}，I＝{高一(1）班的同学｝，这里的I、A、B三个集合之间有何关系？1．全集如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合I的元素和子集,就可以约定把集合I叫作全集（或基本集)．2．补集若A是全集I的子集,I中不属于A的元素组成的子集叫作A的补集，记作∁I A。

湘教版高一英语必修一电子课本1.1 集合1.1.1 集合的含义和表示1.1.2 集合的包含关系1.1.3 集合的交与并1.2 函数的概念和性质1.2.1 对应、映射和函数阅读与思考1.2.2 表示函数的方法数学实验1.2.3 从图像看函数的性质1.2.4 从解析式看函数的性质1.2.5 函数的定义域和值域1.2.6 分段函数1.2.7 二次函数的图像和性质——增减性和最值1.2.8 二次函数的图像和性质——对称性数学实验小结与复习第2章指数函数、对数函数和幂函数问题探索阅读与思考2.1 指数函数2.1.1 指数概念的推广2.1.2 指数函数的图像和性质阅读与思考2.2 对数函数2.2.1 对数的概念和运算律2.2.2 换底公式阅读与思考2.2.3 对数函数的图像和性质2.3 幂函数2.3.1 幂函数的概念2.3.2 幂函数的图像和性质2.4 函数与方程2.4.1 方程的根与函数的零点2.4.2 计算函数零点的二分法数学实验2.5 函数模型及其应用2.5.1 几种函数增长快慢的比较2.5.2 形形色色的函数模型小结与复习2020高中新教材总体介绍必修课程包括五个主题，分别是预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动。

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必修课程共8学分144课时选择性必修课程包括四个主题，分别是函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动。

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选择性必修课程共6学分108课时新教材以中国学生发展核心素养体系为指导，在理解数学学科本质，把我数学学科核心素养的内涵与价值、结构与要素、表现与水平的基础上，明确高中数学课程的育人功能。

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新教材湘教版2019版数学必修第一册第1章知识点清单目录第1章集合与逻辑1. 1 集合1. 1. 1 集合1. 1. 2 子集和补集1. 1. 3 集合的交与并1. 2 常用逻辑用语1. 2. 1 命题1. 2. 2 充分条件和必要条件1. 2. 3 全称量词和存在量词1. 1 集合1. 1. 1 集合一、集合与元素1. 集合与元素在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个集合或集. 这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素.2. 集合具有的基本属性(1)互异性：同一集合中的元素是互不相同的.(2)确定性：集合中的元素是确定的.(3)无序性：集合中的元素没有顺序.3. 元素与集合的关系(1)a∈S与a∉S取决于a是不是集合S中的元素，在a∈S与a∉S这两种情况中，必有一种且只有一种成立.(2)符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的归属关系.二、常用数集与集合的分类1. 常用数集及其记法+-++-2. 集合的分类(1)有限集：元素个数有限的集合.(2)无限集：元素无限多的集合.注意：没有元素的集合叫空集，记作⌀；空集也是有限集.三、表示集合的方法1. 列举法把集合中的元素一一列举出来的方法叫作列举法. 列举法表示的集合的结构如下：2. 描述法把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合的方法叫作描述法. 描述法表示的集合的一般结构如下：四、区间的概念及表示1. 设a，b是两个实数，a<b.名称符号数轴表示闭区间[a，b] 开区间(a，b) 左闭右开区间[a，b) 左开右闭区间(a，b] 2. 实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，满足条件x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x组成的集合可用区间分别表示为[a，+∞)，(a，+∞)，(-∞，b]，(-∞，b).五、集合中元素的特性及应用 1. 确定性. 它是确定一些对象能否构成集合的重要依据，构成集合的元素需有明确的标准，不能模棱两可.2. 互异性. 它是决定集合中元素互不相同的依据，意味着集合中不能有重复元素.在含参数的集合问题中，尤其要注意应用互异性检验所求得的参数的值是否合理. 3. 无序性. 集合中的元素可以交换顺序，解题过程中仅改变元素顺序并没有改变集合.4. 由集合中元素的特性求解参数的值的步骤：六、集合的表示方法 集合的表示方法有列举法和描述法，它们各有优缺点，应根据具体问题进行选择，一般遵循最简原则.1. 列举法的适用范围(1)元素个数少时，一般可全部列举出来，如{1，2，3，4}.(2)元素个数多且有限时，若可以将元素按某种规律排列，则可采用列举部分元素，中间用省略号表示的方法，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3, (1000)(3)元素个数无限但有规律时，也可以结合省略号采用列举法，如自然数集N可以表示为{0，1，2，3，…}.2. 用描述法表示集合时的注意点(1)写清楚集合中的代表元素，如数或点等.(2)说明该集合中元素所具有的共同特征.(3)不能出现未经说明的字母.(4)所有描述的内容都要写在大括号内，语言要力求简洁、准确.(5)“{}”有“所有”“全体”的含义，如{x|x为自然数}即代表自然数集N，不能表示为{x|x为所有自然数}或{N}.七、与方程有关的集合问题 1. 与方程有关的集合问题中，往往用集合表示方程的解，集合中的元素就是方程的实数根.(1)当方程中含有参数时，一般需对参数进行分类讨论，如在研究方程ax2+bx+c=0 (a，b不同时为0)的解时，需分a=0和a≠0两种情况讨论.(2)在根据方程根的情况确定参数的值或取值范围时，还需要对集合中元素的互异性进行检验.1. 1. 2 子集和补集一、子集、集合相等、真子集二、全集与补集1. 全集如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素和子集，就可以约定把集合U叫作全集(或基本集).2. 补集自然语言若A是全集U的子集，U中不属于A的元素组成的子集叫作A的补集，记作∁U A符号语言∁U A={x|x∈U，且x∉A}图形语言运算性质∁U U=⌀，∁U⌀=U，∁U(∁U A)=A(1)研究一个集合A的补集须有两个前提条件：一是全集U是确定的，二是A⊆U. 不能脱离这两个条件研究补集.(2)补集不仅体现了集合间的关系，还是集合的一种基本运算. 有些数学问题，当正面解决比较困难时，可以考虑先解决其对立情形，再反过来便可解决原问题，即“正难则反”，这种思想就是补集思想.三、集合间的关系 1. 判定两集合间基本关系的方法和关键四、探究已知集合的子集个数 1. 若集合A中含有n(n∈N+)个元素，则：(1)A的子集个数是2n；(2)A的非空子集个数是2n-1；(3)A的真子集个数是2n-1；(4)A的非空真子集个数是2n-2.2. 若有限集合A，B中分别含有m个，n个元素(m，n∈N+，m≤n)，且A⊆C⊆B，则符合条件的有限集C的个数为2n-m.3. 写出给定集合的子集的两个注意点：(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写，以免重复或遗漏.(2)要注意空集和集合本身也是该集合的子集.五、已知集合间的关系求参数 1. 根据集合间的关系求参数的值或取值范围的方法(1)若集合是用列举法表示的，则根据集合间元素的关系，列方程(组)求解，同时注意考虑集合中元素的互异性；若集合是结合不等式描述的，则利用数轴列不等式(组)求解，同时还要注意验证端点值的取舍.(2)涉及“A⊆B”或“A⫋B”的问题，若集合A中含有参数，通常要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视.六、“补集思想”的运用 “正难则反”策略在集合中运用的就是补集思想，即已知全集U，求其子集A时，若直接求A较困难，则可先求∁U A，再利用∁U(∁U A)=A求A.1. 运用补集思想解题的方法一般适用于正面考虑的情况较多、问题较复杂时，或含有至多、至少、存在唯一、不存在等词的问题中.2. 用补集思想解含参问题的步骤：(1)确定问题的反面；(2)求问题的反面对应的参数的取值集合；(3)取问题的反面对应的参数取值集合的补集，此时应特别注意全集的范围.1. 1. 3 集合的交与并一、交集在数学里，把所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”，即A∩B={x|x∈A且x∈B}. 用韦恩图表示为：二、并集把集合A，B中的元素放在一起组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”，即A∪B={x|x∈A或x∈B}. 用韦恩图表示为：三、交集与并集的运算性质交集的运算性质并集的运算性质A∩A=A A∪A=AA∩⌀=⌀A∪⌀=AA∩B=B∩A A∪B=B∪A四、集合的综合运算 1. 解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，那么可先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解. 在解答过程中常常借助于韦恩图.(2)如果所给集合是无限集，那么常借助于数轴，把已知集合均表示在数轴上，然后进行交集、并集、补集的运算. 解答过程中要注意端点值的取舍.2. 德·摩根定律德·摩根定律包含集合运算中的两个重要等式.(1)∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B).(2)∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B).五、集合中元素的个数问题 我们将有限集合A所含元素的个数用card(A)表示，并规定card(⌀)=0. 一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).对任意三个有限集合A，B，C，有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A ∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).六、利用集合的运算性质求参数的值或取值范围 1. 利用解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或取值范围时，需注意两点：(1)涉及A∪B=A或A∩B=B的问题，可利用集合的运算性质，转化为集合之间的包含关系求解，此时要注意空集的特殊性.(2)在求解参数的取值范围时，要特别注意取值范围的边界值能否取到.1. 2 常用逻辑用语1. 2. 1 命题一、命题定义一般说来，命题就是一个陈述句. 这些陈述句的共同特征是作出了判断，这种判断可能成立，也可能不成立，两者必居其一且仅居其一分类真命题：成立的命题假命题：不成立的命题命题的否定如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p的否定，记作¬p，读作“非p”命题的结构在数学中，命题都可以写成“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论逆命题将命题的条件和结论互换位置后，称其中一个命题是另一个命题的逆命题二、命题真假的判断 1. 真命题：判断一个命题为真命题时，必须经过严格科学的推理论证，才能得出结论，常会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等.2. 假命题：判断一个命题为假命题时，只要举出一个反例即可.三、命题的否定 对于命题的否定，要注意一些常见否定词语的使用，下面是常用的正面叙述词语及对应的否定词语.1. 2. 2 充分条件和必要条件一、充分条件和必要条件当“若p，则q”成立，即p⇒q时，把p叫作q的充分条件，q叫作p的必要条件. 若p⇏q，则p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件.(1)p⇒q可以理解为若p成立，则q一定也成立，即p对于q的成立是充分的；反过来，若q不成立，则p必不成立，即q对于p的成立是必要的.(2)五种等价表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.二、充要条件如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q. 即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件. 当然，此时q也是p 的充分必要条件.换句话说，如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件.一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件；每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件.三、充分条件、必要条件和充要条件的判断 1. 充分条件、必要条件和充要条件判断的常用方法(1)定义法：直接利用定义进行判断.(2)利用集合间的包含关系进行判断. 若设p对应的集合为A，q对应的集合为B，则：记法A={x|p(x)}，B={x|q(x)}关系A⫋B B⫋A A=B A⊈B且B⊈A图示 结论p是q的充分而不必要条件p是q的必要而不充分条件p，q互为充要条件p是q的既不充分又不必要条件四、充分条件、必要条件的证明与探究 1. 充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件时，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明命题“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性. (注意与“p的充要条件是q”的区别) (2)证明充要条件也可以利用等价转化法，即把条件和结论进行等价转化，注意转化过程中必须保证前后是能互相推出的.2. 探求充分条件、必要条件的注意点(1)分清条件和结论，明确探求的方向.(2)分析题目中的已知条件和隐含条件，进行等价转化，得到使结论成立的充要条件.(3)利用集合之间的包含关系，探求使结论成立的必要而不充分条件或充分而不必要条件等.五、利用充分条件、必要条件确定参数的值(取值范围) 应用充分条件、必要条件求解参数问题时，一般结合充分条件、必要条件将问题转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的方程(组)或不等式(组)求解即可. 最后确定范围时为避免漏解或多解，要注意对解集端点值进行检验.1. 2. 3 全称量词和存在量词一、全称量词与全称命题二、存在量词与特称命题三、含量词命题的否定四、全称命题与特称命题真假判定的技巧 五、含量词命题的否定及其真假判断 1. 全称(特称)命题的否定是将其全称量词(存在量词)改为存在量词(全称量词)，并把结论否定，即“改量词，否结论”.2. 命题与命题的否定的真假相反. 当命题的否定的真假不易判断时，可以通过判断原命题的真假来得出命题的否定的真假.六、全称命题和特称命题及其否定中的求参问题 1. 全称命题的求参问题常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般为“恒成立”问题. 解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合思想求参数的取值范围，也可用分离参数法求参数的取值范围.2. 特称命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围. 若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立. 解决有关特称命题的参数的取值范围问题时，一般转化为“有解”问题，求解时应尽量分离参数. 有以下常见结论：(1)∃x∈R，y=0等价于方程y=0有实数根；(2)∀x∈R，y>0就是不等式y>0恒成立，等价于y min>0；(3)∃x∈R，y>0就是不等式y>0有解，等价于y max>0；(4)∀x∈R，y<0就是不等式y<0恒成立，等价于y max<0；(5)∃x∈R，y<0就是不等式y<0有解，等价于y min<0.。

高中数学必修1知识点第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性； （2）元素的互异性； （3）元素的无序性3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。

（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

（Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x ∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} （3）图示法4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集合A 记作 a ∉A 6、集合的分类：1．有限集 含有有限个元素的集合2．无限集 含有无限个元素的集合3．空集 不含任何元素的集合二、集合间的基本关系 1.“包含”关系———子集对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B注意： 有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。

反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊄B 或B ⊄ A 集合A 中有n 个元素,则集合A 子集个数为2n . 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，即：A=B A B B A ⇔⊆⊆且 ① 任何一个集合是它本身的子集。

1:sk身函数[|DI YIZH ANG : / 1…… ….… ——1. 1.1集合的含义和表示集合的概念冋题创设观察下面的例子: ⑴我的家庭成员.(2) 2018年6月参加俄罗斯世界杯足球赛决赛圈的球队. (3) 高一 (2)班的所有男生. (4) 我身边的好人.在这些例子中提到的“家庭成员”、“球队”、“男生”等概念有什么共同的特征? “好人”具备这些特征吗？ "々知识捜索心1 .集合与集合的元素把一些对象放在一起考虑时，就说这些事物组成了一个集合，给这些对象的总的名称， _____ 就是这个集合的名字•这些对象中的每一个，都叫做这个集合的一个元素 _______ .2 .集合元素的特点同一个集合中的元素是互不相同的. 3 •元素与集合的关系若S 是一个集合，a 是S 的一个元素，记作 a € S ，读作a 属于S ,若a 不是S 的一个元 素，记作a ?S ，读作a 不属于S.〃尝试应用心1 .“高一⑵班1.78米以上的同学”、“ 16岁的少年”、“大于 1的数”能构成一个集合吗？［提示］能，因为所研究的对象是确定的.2 •“高一(2)班的高个子同学”、“年轻人”、“帅哥”、“接近 0的数”能构成集合吗？1. 抽象问题情境化，新知无师自通［提示］不能，因为所研究的对象是不确定的知识捜索几1 •常见数集及其记法""隹试应用力怡1 •用“€”或“ ？ ”填空.1 _____ N , - 3 _______ N,0 _____ N +，诉 ______ N , 1 ____ Z ，- 3 _____ Q,0 _____ Z , V 5 _____ R. ［提示］€, ?, ?, ?2 • 0, {0}, ?有何区别与联系？［提示］0是一个元素，{0}是含有一个元素0的集合，？表示不含任何元素的集合，即 空集.么％问题创设下列集合的元素有何特点，可以用什么样的方法表示这些集合？ (1) 2018年6月在俄罗斯世界杯足球赛小组赛结束后进球超过 3个的球员.(2) 12的所有正因数. (3) 不等式x — 2 > 3的解集. (4) 所有偶数的集合.知说捜索心1 •列举法(1)把集合中的元素一个一个地写出来表示集合的方法叫作列举法.⑵用列举法表示集合， 通常的格式是在一个大括弧里写岀每个元素的名字， 相邻的名字用逗号分隔.2 •描述法(1)把集合中元素共有的， 也只有该集合中元素才有的属性描述出来， 以确定这个集合的方法叫作描述法.rm(2) 用描述法表示集合，通常的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性_________“尝试应用w1. {1,2}和{(1,2)}表示同一个集合，对吗?［提示］不对，{1,2}表示含有2个元素1和2的集合，它是一个数集而{(1,2)}则表示只含有一个元素(1,2)的集合，它是一个点集.2 .用适当的方法表示下列集合.(1) 小于12的素数组成的集合，⑵方程X2—4= 0的解组成的集合，(3) 大于3小于9的实数组成的集合，(4) 所有奇数组成的集合.［提示］(1){2,3,5,7,11},(2) { —2,2}, (3){x|3vx<9},(4){x|x= 2k + 1, k€ Z}.［f! | I~区间的概念及表示力々知识搜索"高频若点题组化.名师一点就通(1)区间定义及表示设a, b是两个实数，而且avb.定义名称符号数轴表示{x|a < x w b}闭区间[a, b]I—{x|a<x<b}开区间(a, b)r t ■{x|a< x<b}半开半闭区间[a, b) a £{x|a<x< b}半开半闭区间(a, b]-S—I—(2)无穷概念及无穷区间表示定义R{x|x> a}{x|x>a}{x|x< a}{x|x<a}符号( — m,+m )[a,+s )(a,+s )(—m, a](—m, a)EEfii |兀素与集合的关系［例1］(1)所给下列关系正确的个数是()①—,R:②2?Q;③ 0€ N +;④ |—3|?N+.B. 2C. 3D. 4(2)设A 是中国的所有河流组成的集合，用符号“ € ”或“ ？”填空，则长江 _______ A ，尼罗河 __________ A ， 亚马逊河 ________ A ,黄河 ___________ A . ［思路点拨］解答本题可先弄清 和“？”、元素和集合间的关系， 及特定的数集符号的含义，再进行判断.［解析］(1)- 2是实数，2是无理数，.••①②正确. N +表示正整数，.••③和④不正确.(2)长江在中国境内，故长江€ A ;尼罗河不在中国境内，故尼罗河 ？ A ;亚马逊河也不在 中国境内，故亚马逊河 ？A ;黄河在中国境内，故黄河€ A.所以长江€ A ,尼罗河？A ,亚马逊 河?A ,黄河€ A.［答案］(1)B (2) €? ?€借 题 发 挥B .若 x € N + ,贝U x € Q D .若 x ?Z ，则 x ?Q(4)平面直角坐标系中所有第二象限的点.［思路点拨］先确定给出的集合元素的特征，是数、是点还是其他元素？并注意集合中 元素是有限个还是无限个•若是有限个且能一一列出，可用列举法，否则采用描述法.［解］ ⑴••• x + y = 4, x € N +, y € N + ,••• A = {(1,3), (2,2), (3,1)}.(2) •/ — € Z ,且 x € N ,• 1 + x = 1,2,3,6.1+ x • x = 0,1,2,5,即一^ = 6,3,2,1.1 + x • B = {6,3,2,1}.⑶方程x 2+ y 2— 4x + 6y + 13 = 0可化为•方程的解集可表示为｛(2, — 3)｝.3 .下列说法：① 集合｛x € N|x 3= x ｝用列举法表示为｛ — 1,0,1｝; ② 实数集可以表示为｛x|x 为所有实数｝或｛R ｝; ③ 方程组£ 的解集为｛x = 1, y = 2｝.x — y =— 1 其中正确的有( )A . 3个B . 2个C . 1个D . 0个解析：选D ①由x 3= x ，即x(x 2— 1) = 0, 得 x = 0 或 x = 1 或 x =— 1,因为—1?N ，故集合｛x € N|x 3= x ｝用列举法表示应为｛0,1｝.3, y = 3|y = 21.x = 1 r 卢或或99(x — 2) + (y + 3) = 0,x = 2y=— 3,②集合表示中的符号“ ｛｝”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号R ”已表示所x + y = 3③方程组f 的解是有序实数对， 而集合｛x = 1, y = 2｝表示两个方程的解集， 正X —y =- 1 ［x = 1确的表示应为｛(1,2)｝或｛(x , y)| ｝.iy=2［例3］已知集合A 含有两个元素1和a ,若“ a € A ”，求实数a 的值.［思路点拨］由于集合A 中有两个元素，且 a € A ，因此，需分a = 1或a = a 2分类讨论. ［解］由a € A 可知，当a = 1时，此时a 2= 1，与集合元素的互异性矛盾， 所以a ^ 1.当a = a 2时，a = 0或1(舍去). 综上可知，a = 0.4.若集合M 中的三个元素a , b , c 分别是△ ABC 的三边长，则△ ABC 一定不是()A •等腰三角形 C •钝角三角形解析：选A 根据集合中的元素具有互异性可知，一定不是等腰三角形. f 2 1 15 .已知集合A 可表示为a , a , ； r ,求实数a 应满足的条件.解：由题意可得 A=1a , a 2, 1 :显然a 工0,由集合中元素的互异性可得L a丿解得a ^ 1, a 工一1.故实数a 应满足的条件为a * 0, a 丰1, a * — 1.B .直角三角形D .锐角三角形2 a丰a ,1 a* a '随堂练习常态化，当堂强化所学&课堂10分钟1 .下列说法中正确的是（）A .某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B .由1,2,3和，9, 1, 4组成的集合不相等C .不超过20的非负数组成一个集合D .方程（x — 1）（x + 1）2= 0的所有解构成的集合中有 3个元素解析：选C A 项中元素不确定；B 项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序 性，所以两个集合相等； D 项中方程的解分别是 x 1= 1, X 2= X 3=— 1,由互异性知，构成的 集合含2个元素.2.下列四个集合：① A ={x € R|y = x 2+ 1}:② B = {y|y = x 2+ 1, x € R}:③ C ={（x , y ）|y =x 2+ 1, x € R}:④D = {不小于1的实数}.其中相同集合是（）A .①与②B .①与④C .②与③D .②与④解析：选D 可知A = R ，当x € R 时，泸1,二B = {y|y > 1} = D.而C 是一点集，故相 同的集合只有B 与D.4 .用“€”或“ ？ ”填空.(1) A = {x|x 2 — x = 0}，贝V 1 _ A , — 2 _____ A. (2) B = {x|1W x W 5, x € N}，贝U 1 ___ B,1.5 _____ B ; (3)C = {x|— 1v x v 3, x € Z}，贝U 0.2 ____ C,3 _____ C. 答案：(1) € ? (2) € ? (3)? ?5•对于集合A = {2, 4, 6, 8},若a € A ,则8— a € A ,则a 的取值构成的集合是 ___________ 解析：当 a = 2 时，8 — a = 6 € A ; a = 4 时，8 — a = 4€ A ; a = 6 时，8 — a = 2€ A ; a = 8 时，8 — a = 0?A. •••所求集合为{2,4,6}. 答案：{2,4,6}x +y = 2,x=1'(X, y)x —y = 0 •B.i (x, y ) Liy=1jx — y = 0 + y = 2,的解集不可表示为（3 .方程组C . {1}D .x+ y = 2 x = 1,解析：选C 由* 得A 、x — y = 0 y =1,i 的集合，是数集，故C 不对.{（1,1）}B 、D 三种表示均正确.C 是只含有一个元素6.用另一种方法表示下列集合：(1) { — 3, - 1,1,3,5}；(2)已知 M = {2,3} , P = {(x , y)|x € M , y € M},写出集合 P ;2 3 4 5 ' (3)1P ，4，5，6，:.解：(1){x|x = 2k — 1, k € Z 且一1 w k w 3}.(2)P = {(2,2), (3,3), (2,3), (3,2)}. n + 1课堂留言板1 .下面有四个语句：①集合 N 中最小的数是1;②若一a ? N ，则a € N ;③若a € N , b€ N ，贝U a + b 的最小值是2 :④x 2+ 9 = 6x 的解集中含有2个元素.其中正确语句的个数是 ( )A . 0B . 1C . 2D . 3解析：选A 自然数集N 中的最小数为0而不是1,①错；对于②，取a =—•, 2,则— 2? N ,且2 ?N ，②错；对于③，由①知不正确，对于④，x 2+ 9 = 6x 的解集中仅有一个元 素3.n € N +集合的元素具有哪些性质呢？用列举法表示集合时需要考虑元素的顺序吗?集合中的元素具有互异性，对于一个给定的集合，集合中的任何两个元素应都是不同的 对象，集合中的元素是互异的.集合中的元素不能重复，相同的元素归并在一个集合里时只能出现一次.课下训练经典化.贵在触类旁通C. {x|— 3VXV11, x = 2k , k € N}D. {x|— 3<xvl1, x = 2k , k € Z}解析：选D 偶数集为{x|x = 2k , k € Z}，则大于—3且小于11的偶数所组成的集合为{x| —3vxvl1，x = 2k , k € Z}.3 •由实数一a , a , |a|,a 2所组成的集合最多含有的元素个数是 ( ) A . 1B . 2C . 3D . 4解析：选B 当a = 0时，这四个数都是0,所组成的集合只有一个元素0.当a ^ 0时，，a 2 a , a>0,= |a|=^所以一定与a 或一a 中的一个一致•故组成的集合中有两个元素，故选 —a , av0,B.4. 下列各组中集合 P 与Q ,表示同一个集合的是() A. P 是由元素1, V 3, n 构成的集合，Q 是由元素n, 1, |—/3|构成的集合；B. P 是由n 构成的集合，Q 是由3.14159构成的集合；C . P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合.D . P 是满足不等式—1 < x < 1的自然数构成的集合， Q 是方程x 2= 1的解集.解析：选A 由于A 中P , Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B 、C 、 D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合.二、 填空题5. 用区间表示下列集合： 集合中的元素具有确定性， 对于任何一个对象是否为已知集合中的元素,应是确定的.a€ A 与a ?A ，这两种情况中必有一种且只有一种成立.炭表意见:用列举法表示集合时不用考虑集合元素的顺序，如｛2,1｝与｛1,2｝表示同一个集合. riNGYQNG 、选择题(1) {x|10W x W 100}用区间表示为________.(2) {x|x>1}用区间表示为________ .答案：(1)[10,100] (2)(1 ,+^ )66. ___________________________________________________ 用列举法表示集合A= a 5—a€ N+, a€Z r= ____________________________________________________ .解析：由严€ N + ,则必有严€ {1,2,3,6},5 —a 5 —a所以a=—1,2,3,4.答案：{—1,2,3,4}三、解答题7 .已知集合A= {1,3, a2+ a, a+ 1}，若a € A，求实数a的值.解：由集合元素的互异性知，a2+ a^ a + 1,••• a^ ±1,•/ a€ A,• a= 3 或a= a + a 即a= 3 或a= 0.当a= 3 时，A= {1,3,12,4}.当a= 0时，A= {1,3,0,1}，违背集合元素的互异性.故a= 3.28 .已知集合A= {x|ax - 2x + 1 = 0}.⑴若A中恰好只有一个元素，求实数a的值；(2)若A中有两个元素，求实数a的取值范围.解：⑴当a = 0时，x= 1，这时A= {1}，适合题意，当0时，若A恰好只有一个元素，则方程ax2—2x+ 1 = 0有相等的两个实根.••• △= 4 —4a= 0，得a= 1.•••当a= 0或a= 1时，A中恰好只有1个元素.⑵依题意，方程ax2—2x+ 1= 0有两个不相等的实根,a H 0 且△= 4 —4a>0. a<1 且a 工0.故a的取值范围为{a|a<1且a工0}.判断元素和集合关系的两种方法(1) 直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可.此时应首先明确集合是由哪些元素构成的.(2) 推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特性即可.此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件1 .下列说法正确的是()A.若a€ N , b€ N，贝U a—b€ NC.若x>0，贝U x€ N答案：B2 .设不等式3—2x<0的解集为M，下列正确的是()A. 0€ M,2€ MB. 0?M,2 € MC . 0€ M,2?M D. 0? M,2 ?M解析：选B 从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0 和2是否是不等式3—2x<0的解即可.当x= 0时，3—2x = 3>0 ,所以0不属于M ,即0?M ; 当x= 2时，3—2x=—1<0,所以2属于M ,即2 € M.辽超| 集合的表示方法［例2］用适当的方法表示下列集合：(1)A= {(x, y)|x + y= 4, x € N + , y€ N + };Z F N ;⑵吐右⑶方程x* 1 2+ y2—4x+ 6y+ 13 = 0的解集；2 .由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是()A. {x|—3<x<11, x€ Z}B. {x| —3<x<11}。

必修一第1章集合与函数1.1集合1.1.1集合的含义与表示1.1.2集合的包含关系1.1.3集合的交于并1.2函数的概念与性质1.2.1对应、映射与函数1.2.2表示函数的方法1.2.3从图像看函数的性质1.2.4从解析式看函数的性质1.2.5函数的定义域和值域1.2.6分段函数1.2.7二次函数的图像与性质——增减性和最值1.2.8二次函数的图像与性质——对称性第2章指数函数、对数函数和幂函数2.1指数函数2.1.1指数概念的推广2.1.2指数函数的图像与性质2.2对数函数2.2.1对数的概念与运算律2.2.2换底公式2.2.3对数函数的图像与性质2.3幂函数2.3.1幂函数的概念2.3.2幂函数的图像与性质2.4函数与方程2.4.1方程的根与函数的零点2.4.2计算函数零点的二分法2.5函数模型及其应用2.5.1几种函数增长快慢的比较2.5.2形形色色的函数模型必修二第3章三角函数3.1弧度制与任意角3.1.1角的概念的推广3.1.2弧度制3.2任意角的三角函数3.2.1任意角三角函数的定义3.2.2同角三角函数之间的关系3.2.3诱导公式3.3三角函数的图像与性质3.3.1正弦函数、余弦函数的图像与性质3.3.2正切函数的图像与性质3.4函数y=Asin（ωx+ψ）的图像与性质3.4.1三角函数的周期性3.4.2函数y=Asin（ωx+ψ）的图像与性质3.4.3应用举例第4章向量4.1什么是向量4.2向量的加法4.3向量与实数相乘4.4向量的分解与坐标表示4.5向量的数量积4.5.1向量的数量积4.5.2利用数量积计算长度和角度4.5.3利用坐标计算数量积4.6向量的应用第5章三角恒等变换5.1两角和与差的三角函数5.1.1两角和与差的正弦与余弦5.1.2两角和与差的正切5.2二倍角的三角函数5.3简单的三角恒等变换必修三第6章立体几何初步6.1空间的几何体6.1.1几类简单的几何体6.1.2在平面上画立体图形6.1.3面积和体积公式6.2空间的直线与平面6.2.1点、线、面的位置关系6.2.2平行关系6.2.3垂直关系第七章解析几何初步7.1点的坐标7.2直线的方程7.2.1直线的一般方程7.2.2两条直线的位置关系7.2.3点到直线的距离7.2.4直线的斜率7.3圆与方程7.3.1圆的标准方程7.3.2圆的一般方程7.3.3直线与圆、圆与圆的位置关系7.4几何问题的代数解法7.5空间直角坐标系必修四第8章解三角形8.1正弦定理8.2余弦定理8.3解三角形的应用举例第9章数列9.1数列的概念9.2等差数列9.3等比数列9.4分期付款问题中的有关计算第10章不等式10.1不等式的基本性质10.2一元二次不等式10.3基本不等式及其应用10.4简单线性规划必修五第11章算法初步11.1算法的概念和例子11.2算法的结构与程序框图11.2.1模拟计算机的游戏11.2.2顺序结构11.2.3条件结构11.2.4循环结构11.3基本的算法语句11.3.1把算法的描述变成伪代码11.3.2输入输出语句与赋值语句11.3.3条件语句11.3.4循环语句11.4算法案例第12章统计学初步12.1整体和个体12.1.1整体、个体和总体均值12.1.2样本与样本均值12.1.3方差与标准差12.2抽样调查方法12.2.1随机抽样12.2.2调查问卷的设计12.2.3分层抽样和系统抽样12.3用样本分布估计总体分布12.3.1频率分布表12.3.2频率分布直方图12.3.3频率折线图12.3.4数据茎叶图12.4数据的相关性12.4.1相关性12.4.2回归方程第13章概率13.1试验与事件13.1.1事件13.1.2事件的运算13.2概率及其运算13.2.1古典概型模型13.2.2几何概型13.3概率和频率。

湘教版高一集合知识点讲解高中阶段是学生学习的关键时期，科目繁多，考试内容广泛。

在湘教版高一教材中，集合是数学课程中的重要知识点之一。

在本文中，将对湘教版高一集合的知识点进行详细讲解，帮助学生更好地理解和掌握相关概念和技巧。

一、集合的基本概念集合是数学中研究对象的概念。

集合中的元素可以是各种事物，如数字、字母、图形等。

数学中常用大写字母表示集合，用大括号{}将元素括起来表示一个集合。

二、集合的表示方式1. 列举法：将集合中的元素逐个列举出来，放在大括号内。

例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示由1、2、3、4组成的集合A。

2. 描述法：通过描述集合中的元素的特征或者性质来表示。

例如，集合B={x|x是正整数，且x<5}表示由小于5的正整数组成的集合B。

三、基本运算集合的基本运算有并运算、交运算、差运算和补运算。

1. 并运算：将两个或多个集合中所有的元素合并在一起。

记作A∪B，表示A和B的并集。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

2. 交运算：将两个或多个集合中相同的元素选出来，组成一个新的集合。

记作A∩B，表示A和B的交集。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。

3. 差运算：将一个集合中去掉另一个集合中相同的元素，剩下的元素组成一个新的集合。

记作A-B，表示A和B的差集。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。

4. 补运算：两个集合中互为补集，即两个集合的并集是全集。

记作A'，表示A的补集。

例如，集合A={1, 2, 3}，全集U={1, 2, 3, 4, 5}，则A'={4, 5}。

四、集合的关系与特性1. 包含关系：一个集合的所有元素都是另一个集合的元素时，可以说前者包含于后者。

记作A⊆B，表示A包含于B。

例如，集合A={1, 2}，集合B={1, 2, 3}，则A⊆B。

湘教版高一数学集合核心知识〔上册〕古人有“书中自有颜如玉〞之说。

杜甫所提倡的“读书破万卷, 下笔如有神〞等,无不强调了多读书广集益的好处。

这篇高一数学集合核心知识,希望可以加强你的根底。

1.集合的含义一般地,一定范围内某些确定的,不同的对象的全体构成一个集合;集合中的每个对象称为这个集合的元素。

集合常用大写字母表示,如A, B, C……元素常用小写字母表示,如a, b, c ……2.集合中元素的性质(1)确定性：集合中的元素必须是确定的假设a是集合A中的元素,就说a属于集合A,记作a∈A假设a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作a不属于A(2)互异性：集合中的元素必须是互不相同的(3)无序性：集合中的元素是无先后顺序的3.常见的数集(1) N: 自然数集(含0)即非负整数集(2) N*或N+: 正整数集(不含0)(3) Z：整数集(4) Q：有理数集(5) R：实数集4.集合的表示方法(1)列举法：将集合的元素一一列举出来,并置于大括号内。

如：{北京,天津,上海,重庆}注：元素之间要用逗号分隔,列举时与元素次序无关(2)描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足条件)表示出来,写成{x ︳p(x) }如：{x ︳x为中国的直辖市}(3)图示法：常常画一条封闭的曲线,用其内部表示一个集合。

5.集合的分类(1) 有限集：含有有限个元素的集合(2) 无限集：含有无限个元素的集合(3) 空集：不含任何元素的集合,记作?小编为大家提供的高一数学集合核心知识大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。