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第1« /蠶令2画数DI YIZ H ANG /1. 2.1 对应、映射和函数第一课时映射函数的概念和性质抽象问题情境化，新知无师自通映射的概念请思考并分析下面给出的对应关系，它们有什么共同特点?⑴集合A = ｛全班同学｝，集合B= ｛全班同学的姓｝，对应关系是：集合A中的每一个同学在集合B中都有一个属于自己的姓.(2)设集合A= ｛0, - 3,2,3,—1,—2,1｝，集合B= ｛9,0,4,1,5｝，对应关系是：集合A 中的每一个数，在集合B中都有其对应的平方数(如图所示).少知识搜索心1 .映射的定义设A, B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一元素和它对应, 这样的对应叫作从集合A到集合B的映射，记作f:A T B.2 •像与原像在映射f: A T B中，集合A叫做映射的定义域，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的像，记作y= f(x), x叫作y的原像.%尝试应用“％已知集合A= ｛a, b｝, B= ｛0,1｝，则下列对应不是从A到B的映射的是()［提示］A、B、D都是映射，对于C,元素a对应两个元素0,1.不满足唯一性，不是映|映射的概念及应用［例1］下列给出的对应，哪些是从 A 到B 的映射:(1)A = N , B = N +, f : X T |x — 1|;(2)A = {x|O W x w 6}, B = {y|O W y w 2}, f : X T y =苏 (3)A = {X ||X |>3, x € N} , B = {a|a >0, a € Z},2f : X T a = X — 2X + 4.［思路点拨］首先明确对应关系，然后从映射的定义出发，考查 中是否都有唯一的元素与之对应.［解］ ⑴集合A = N 中元素1在对应关系f : X T |X — 1|下为0,而0 ?N +,即A 中元素1 在对应关系f 下，B 中没有元素与之对应，故不是映射.一 1(2)A 中元素6在对应关系f : X T y = 2X 下为3.而3?B ，故不是映射.2 2⑶对A = {X ||X | > 3, x € N}中的任意元素，总有整数 X — 2X + 4= (X — 1) + 3 € B 与之对应.故是从A 到B 的映射.借 题 发 挥 理解映射这个概念，应注意以下几点：(1) 集合A 到B 的映射，A 、B 必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合 )；(2) 对应关系有“方向性”，即强调从集合 A 到集合B 的对应，它与从 B 到A 的对应 关系一般是不同的；(3) 与A 中元素对应的元素构成的集合是集合 B 的子集.X1 .已知A = {1,2,3，…，9}, B = R ，从集合 A 到集合B 的映射f : X T (1) 与A 中元素1相对应的B 中的元素是什么? (2) 与B 中元素4相对应的A 中的元素是什么？9X 1 1解: (1)A 中元素1即X = 1代入对应关系得 右=k = 3,即与A 中元素1相1对应的B 中的元素是-4 X 4 4⑵B 中元素9，即 ---- :=9，解得X = 4，因此与 B 中元素-相对应的 A 中的元素是4.9 2X + 19 9射.故选C.高频考点题组化.名师一点就通A 中任意一个元素在 B［例 2］ 设 f : A T B 是从 A 到 B 的一个映射，其中 A = B = {(X , y)|x, y € R}, f ： (X , y)T (X —y , x + y),那么 A 中兀素(一1,2)的像是 __________ , B 中兀素(一1,2)的原像是 _________ .［思路点拨］首先要理解映射、像、原像的概念，然后从像与原像的概念出发进行思考.［解］当 X =— 1, y = 2 时，有 X — y =— 3, X + y = 1, 因此(—1,2)的像是(—3,1),2. f : A T B 是集合 A 到集合 B 的映射，A = B = {(X , y)|x € R , y € R} , f ： (X , y) T (kx , y + b),若B 中的元素(6,2)在此映射下与集合A 中的元素(3,1)对应，求k 与b 的值. X = 3kx = 3k = 6解：当F 时，<y = 1y + b = b + 1 = 2课堂10分钟的映射是()A . (1)(2)B .(1)(3) C . (1)(4)D . (2)(4)解析：选A •••(1)(2)中，A 中任意一个元素在 B 中都有唯一一个元素与之对应，「.(1)(2)是映射.而(3)集合A 中元素4没有元素与之对应，(4)中元素3在B 中有两个元素与之对应.2 .设集合 A = {1,2,3,4,5} , B = {1,9,25,49,81,100}，下面的对应关系 f 能构成 A 到B 的映 射的是()2 2借题 发挥解决映射一类问题时要注意回到定义去，需要深刻理解概念，已知像求原像时，要 借助方程思想，通过建立和解方程组求解.(— 1,2)的原像是1，I.::跟薛演塚", ”1 沙 | ［町<k= 2,故 k = 2, b = 1. b = 1.随堂练习常态化，当堂强化所学1 .已知集合 A = {1,2,3,4} , B = {5,6,7}，在下列A 至UB 的四种对应法则中，其中X — y = — 1,解方程组弋A. f: X T (2x+ 1)B. f: X T(2x—3)解析：依题意有：—2T2^ =— 1,— 1T =— 1, 1T |1|= 1,2T 罗=1,3 T |3|= 1,B 中的元素有2个，若1€ B ，贝U 1的原像有3个，且是1,2,3.答案：21,2,316.已知集合 A 到集合B = {0,1,2,3}的映射f ： X T ，试问集合 A 中的元素最多有几|X |— 1个？写出元素最多时的集合A.1解：•/ f ： X T —;是集合A 到集合B 的映射, |X |— 1 ••• A 中每一个元素在集合 B 中都应该有像. 令一^ = 0，该方程无解，所以 0没有原像.|X |— 1分别令厂七 =1,2,3.解得X = ±, ±-, £.|X |— 1 2 3故集合A 中的元素最多有6个3C . f : X T — 2x — 1D . f : x T (2x + 1)解析：选B •/ A 选项中A 中元素5T (2 X 5+ 1)2= 112?B, C 选项中A 中元素1T — 2X 1 — 1 = — 3?B , D 选项中A 中元素1T (2 X 1 + 1) = 27?B, ••• B 选项正确. 3 .给定映射f ： (x , y)T (X + 2y,2x — y)，在映射 f 下(3,1)的原像为(A . (1,3)B . (1,1)C . (3,1)解析：选BX + 2y = 3,依题意得：I2X — y = 1,尸1， y = 1.4 .已知集合 A = {a , b}, B ={c , d},则 A 到B 的——映射有个.解析：A T B 的映射有2个，如图.答案：25.已知映射f ： A T B ，其中A = {— 2,— 1,1,2,3},集合B 中的元素都是A 中元素在f下的像，且对任意A ,f(a)=早，则集合B 中的元素有个，若1€ B ，则1的原 ＞曰A3即A= ¥, —2,2,2, 3，-3 J'发義蛊见： >>>映射是一种特殊的对应，它满足“存在性（即集合A 中的每一个元素在集合 B 中都有对应元素）”和“唯一性（集合A 中的每一个元素在集合 B 中都有唯一元素与之对应）”；但集合 B 中的元素未必有原象，即使有也未必唯一•映射中的两个集合 A , B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等.皿蠡也*发義蛊见： ___________________>>>封闭性：A 中元素的对应元素必在集合 B 中，如集合 A = {1,2,3,4} , B = {1,2,3,4,5}，对应法则f : x T x — 1,这组对应不是映射.EHEN炭表意见； >»• " ---- ---------------------------------------有序性：“ A 到B ”的映射是有方向的， A 到B 的映射与B 到A 的映射一般不是同一个映射.整体性：映射不是只有集合 A 或者集合B ,而是集合 A 、B 以及对应法则f 的整体，是个系统，记作f : A T B.有时，当映射为f : A T B 时，集合 A 中的元素a 对应集合B 中的元素b,也可表示为f : a T b = f （a ）或者直接写成b = f （a ）.课下训练经典化，贵在触类旁通1 .已知映射f : A T B ，其中集合 A = { — 3，— 2，— 1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是 A 中兀素映射 f 下的像，且对任意的 a € A ，在B 中都有和它对应的兀素|a|，则集合B 中的兀 素的个数有( )A . 4B . 5C . 6D . 7解析：选A 由对应法则可知，B 中的兀素有1、2、3、4， ••• B 中的兀素有4个. 2.已知集合 A = N +，B = {正奇数}，映射f : A T B 使A 中任元素a 和B 中元素2a — 1相对应，则与 B 中元素17对应的A 的元素为（）A . 3B . 5C . 17D . 9解析：选D 由对应法则有：17= 2a — 1，二a = 9.上铺的兀YIKGVONG、选择题N 课堂留言板 通过对映射的学习，你觉得映射有哪些特性?3 .给出下列两个集合之间的对应法则，回答问题：① A = {你们班的同学}, B= {体重}, f:每个同学对应自己的体重；②M= {1,2,3,4} , N = {2,4,6,8} , f: n= 2m, n € N , m€ M ;③M= R, N= {x|x> 0}, f: y= x4;④A= {中国，日本，美国，英国}, B ={北京，东京，华盛顿，伦敦}, f :对于集合A中的每一个国家，在集合B中都有一个首都与它对应.上述四个对应中是映射的有_______________ ,是函数的有 _____________ ,是------ 映射的有_______ .( )A. 3个，2个，1个B. 3个，3个，2个C. 4个，2个，2个D. 2个，2个，1个解析：选C 由映射、函数、一一映射的定义可知：①②③④是映射，②③是函数，②④是一一映射.4•设f: x T x2是集合A到集合B的映射，如果B= {1,2}，则A A B可能是()B. ?或{1}D. ?或{2}解析：选 B 依题设知：A 可能为：{1, 2}, {1, - 2}, { —1, 2}, {—1,—2}, {1, 2，一1}, {1，一1,—』2}, {1，码2，一.2}, {—1, 2, —2}, {—1,1, 2, —2}, {1} , {—1} , { 2} , { —2}.••• A n B可能为？，可能为{1}.二、填空题5.已知A= B= R , x€ A , y€ B , f：X T y= ax+ b是从A到B的映射，若1和8的原像分别为3和10 ,贝U 5在f下的像是 _____________ .3a + b = 1 , 解析：由题知*10a+ b= 8 , • a= 1 ,b=- 2,• f: X T y= X— 2,则5—2 = 3.答案：36.已知映射f: A T B,其中A= R = B,对应法则f：X T y=—X2 + 2X,对于实数k€B ,在集合A中不存在原像，则k的取值范围是___________ .解析：T y=—X2 + 2X =—X2+ 2X— 1+ 1 = —(X— 1)2+ 1,• y w 1.则B= (—s, 1],••• k€ R,且在集合A中不存在原像，•k>1.答案：k>1C. {1}三、解答题7.设A= {(X , y)|x + y<3 ,且|X|<2 , x€ Z , y€ N + } , B = {0,1,2} , f: (X, y)T X + y,判断f 是否为A 到B 的映射.解：列举法写出集合A.A = {(0,1), (0,2), (1,1), (—1,1), (—1,2), (—1,3)},B = {0,1,2} , f 为A 到B 的映射.8.已知映射 f : A T B 中，A = B = {(x , y)|x € R , y € R} , f : A 中的元素(x , y)对应到 B 中的元素(3x + y — 1, x — 2y + 1).(1) 是否存在这样的元素(a , b)使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由； (2) 判断这个映射是不是一一映射？解：(1)以自己为像的元素(a , b)满足方程组匸 a - 23a + b — 1= a , , a — 7，乜 解得｛|a — 2b + 1= b , . , 3- l b =7.•••存在元素2, 7使它的像仍是自己.(2)设B 中的元素(a , b)在A 中原像是(x , y),解得a — 3b + 4y =说明方程组有唯一解.即(a , b)在A 中的原像唯一.所以该映射是 --- 映射.2a + b + 1x = 3x + y — 1= a , x — 2y + 1= b ,。
1．2函数的概念和性质1．2.1对应、映射和函数第二课时函数的概念在现实生活中，我们可能会遇到下列问题：(1)某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)随时间的变化如下表：(2)一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y＝4.9x2.若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？(3)下图为某市一天24小时内的气温变化图．①上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？②在什么时刻，气温为0℃？③在什么时段内，气温在0℃以上？如何用集合语言来阐述上述3个问题的共同特点？1．函数的定义设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的函数，记作f：A→B或者y＝f(x)(x∈A，y∈B)．2．函数的定义域、值域在函数的定义中，集合A叫作函数的定义域，与x∈A对应的数y叫x的像，记作y＝f(x)，由所有x∈A的像组成的集合叫作函数的值域．3．函数的三要素为定义域，对应法则，值域．举出几个有关函数的例子，并用定义加以描述，指出函数的定义域和值域．[提示](1)下表记录了几个不同气压下水的沸点.，值域是{81,100,121,152,179}．(2)如图是匀速直线运动路程s随时间变化的函数关系图，它的定义域是{t|t≥0}，值域是{s|s≥0}．[例1](1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝x；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.[思路点拨]可根据函数的定义直接判断．[解](1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且x不一定为整数，故此对应关系不是A到B的函数；(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数.1．若集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A 到B 的函数f ：A →B 的是( )解析：选D A 中的对应不满足函数的存在性，即存在x ∈A ，但B 中无与之对应的y ；B 、C 均不满足函数的唯一性，只有D 正确．2．下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( )A ．A ＝R ，B ＝R ，x 2＋y 2＝1 B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1解析：选B A 错误，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A ，在B 中找不到与之相对应的数．D 错误，－1∈A ，在B 中找不到与之相对应的数.[例2] 已知f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．求： (1)f (0)及f ⎝⎛⎭⎫ f ⎝⎛⎭⎫12的值； (2)f (1－x )及f (f (x ))．[思路点拨] 将f (x )中的x 分别赋值或式子，代入1－x1＋x 中化简即得．[解] (1)f (0)＝1－01＋0＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝1－121＋12＝13， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫13＝1－131＋13＝12. (2)f (1－x )＝1－(1－x )1＋(1－x )＝x2－x (x ≠2)．f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－1－x 1＋x 1＋1－x 1＋x ＝x (x ≠－1).3．已知函数f (x )＝x 2－2x ，求： (1)f (－2)； (2)f ⎝⎛⎭⎫1＋1x (x ≠0)； (3)若f (x )＝3，求x 的值． 解：(1)f (－2)＝(－2)2－2·(－2)＝8. (2)f ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－2⎝⎛⎭⎫1＋1x＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1x －2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1x －1＝1x2－1(x ≠0)． (3)若f (x )＝3，则x 2－2x ＝3，x ＝－1或x ＝3.1．若f (x )＝1x 的定义域为M ，g (x )＝|x |的定义域为N ，令全集U ＝R ，则M ∩N ＝( ) A ．M B ．N C ．∁R MD ．∁R N解析：选A M ＝{x |x >0}，N ＝R ，∴M ∩N ＝M . 2．下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )解析：选B 根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B 不正确． 3．下列各对函数中，图象完全相同的是( ) A ．y ＝x 与y ＝(3|x |)3 B ．y ＝(x )2与y ＝|x | C ．y ＝xx 与y ＝x 0D ．y ＝x ＋1x 2－1与y ＝1x －1解析：选C 若函数的图象相同，则是相同的函数．对于A ，y ＝(3|x |)3＝|x |，所以对应关系不同；对于B ，y ＝(x )2＝x (x ≥0)，所以两函数定义域与对应关系均不同；对于C ，y ＝xx ＝1(x ≠0)，而y ＝x 0＝1(x ≠0)，定义域与对应关系均相同，是相同的函数；对于D ，y ＝x ＋1x 2－1＝x ＋1(x ＋1)(x －1)＝1x －1，其中x 2≠1，即x ≠±1，而y ＝1x －1中x ≠1，定义域不同，不是相同函数．4．已知f (x )＝11＋x，g (x )＝x 2＋2，则f (2)＝________，f [g (2)]＝________. 解析：f (2)＝11＋2＝13，g (2)＝22＋2＝6， ∴f [g (2)]＝f (6)＝11＋6＝17.答案：13 175．已知函数f (x )＝x 2－x ，若f (a )＝2，则a 的值是________． 解析：f (a )＝(a )2－a ＝2.即(a －2)(a ＋1)＝0，a ＝4. 答案：4通过这节课的学习，你对函数符号“y ＝f (x )”有了哪些新的认识？对应关系f 是表示定义域和值域的一种对应关系，与所选择的字母无关．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为：x 是自变量，它是对应关系所施加的对象；f 是对应关系，它既可以是解析式，也可以是图象、表格或文字描述．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不能理解为“y 等于f 与x 的乘积”．f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，表示的是变量．虽然f (x )＝x 2和f (x －1)＝x 2等号右边的表达式都是x 2，但是，由于f 施加的对象不同(一个为x ，而另一个为x －1)，因此两个函数的解析式是不同的．一、选择题1．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是( )解析：选D 由函数的定义可以判断只有D 正确．2．函数f (x )定义在区间[－2,3]上，则y ＝f (x )的图象与直线x ＝2的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定解析：选B ∵2∈[－2,3]，由函数的定义可知，y ＝f (x )的图象与x ＝2只能有一个交点． 3．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( ) A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x解析：选C 对选项C ，当x ＝4时，y ＝83>2不合题意，故选C.4．下列说法错误的是( )A ．函数定义域中的任一元素在其值域中都有它的对应B ．函数的定义域是无限集，则值域也是无限集C ．定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 答案：B 二、填空题5．已知函数f (x )＝x 2＋|x －2|，则f (1)＝________. 解析：∵f (x )＝x 2＋|x －2|， ∴f (1)＝12＋|1－2|＝1＋1＝2. 答案：26．若f (2x )＝x 3，则f (1)＝________. 解析：令2x ＝1，则x ＝12，∴f (1)＝(12)3＝18.答案：18三、解答题7．已知函数f (x )＝x 2＋x －1，求： (1)f (2)； (2)f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1；(3)若f (x )＝5，求x 的值． 解：(1)f (2)＝4＋2－1＝5. (2)f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1＝⎝⎛⎭⎫1x ＋12＋⎝⎛⎭⎫1x ＋1－1 ＝1x 2＋3x＋1. (3)f (x )＝5，即x 2＋x －1＝5. 由x 2＋x －6＝0得x ＝2或x ＝－3. 8．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值；(2)求证：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值；(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019的值． 解：(1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1， f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1， ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝1. ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝2 018.。
1．2函数的概念和性质1．2.1对应、映射和函数第一课时映射请思考并分析下面给出的对应关系，它们有什么共同特点？(1)集合A＝{全班同学}，集合B＝{全班同学的姓}，对应关系是：集合A中的每一个同学在集合B中都有一个属于自己的姓．(2)设集合A＝{0，－3,2,3，－1，－2,1}，集合B＝{9,0,4,1,5}，对应关系是：集合A中的每一个数，在集合B中都有其对应的平方数(如图所示)．1．映射的定义设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.2．像与原像在映射f：A→B中，集合A叫做映射的定义域，与A中元素x对应的B中的元素y叫x 的像，记作y＝f(x)，x叫作y的原像．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是()[提示]A、B、D都是映射，对于C，元素a对应两个元素0,1.不满足唯一性，不是映射．故选C.[例1] (1)A ＝N ，B ＝N ＋，f ：x →|x －1|；(2)A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，f ：x →y ＝12x ；(3)A ＝{x ||x |≥3，x ∈N}，B ＝{a |a ≥0，a ∈Z}， f ：x →a ＝x 2－2x ＋4.[思路点拨] 首先明确对应关系，然后从映射的定义出发，考查A 中任意一个元素在B 中是否都有唯一的元素与之对应．[解] (1)集合A ＝N 中元素1在对应关系f ：x →|x －1|下为0，而0∉N ＋，即A 中元素1在对应关系f 下，B 中没有元素与之对应，故不是映射．(2)A 中元素6在对应关系f ：x →y ＝12x 下为3.而3∉B ，故不是映射．(3)对A ＝{x ||x |≥3，x ∈N}中的任意元素，总有整数x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3∈B 与之对应．故是从A 到B 的映射.1．已知A ＝{1,2,3，…，9}，B ＝R ，从集合A 到集合B 的映射f ：x →x2x ＋1. (1)与A 中元素1相对应的B 中的元素是什么？ (2)与B 中元素49相对应的A 中的元素是什么？解：(1)A 中元素1，即x ＝1，代入对应关系得x 2x ＋1＝12×1＋1＝13，即与A 中元素1相对应的B 中的元素是13.(2)B 中元素49，即x 2x ＋1＝49，解得x ＝4，因此与B 中元素49相对应的A 中的元素是4.[例2] 设f ：A →B 是从A 到B 的一个映射，其中A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，那么A 中元素(－1,2)的像是________，B 中元素(－1,2)的原像是________．[思路点拨] 首先要理解映射、像、原像的概念，然后从像与原像的概念出发进行思考．[解] 当x ＝－1，y ＝2时，有x －y ＝－3，x ＋y ＝1， 因此(－1,2)的像是(－3,1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝2.得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝32.∴(－1,2)的原像是⎝⎛⎭⎫12，32.2．f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，f ：(x ，y )→(kx ，y ＋b )，若B 中的元素(6,2)在此映射下与集合A 中的元素(3,1)对应，求k 与b 的值．解：当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝1时，⎩⎪⎨⎪⎧ kx ＝3k ＝6y ＋b ＝b ＋1＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1.故k ＝2，b ＝1.1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{5,6,7}，在下列A 到B 的四种对应法则中，其中A 到B 的映射是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)解析：选A ∵(1)(2)中，A 中任意一个元素在B 中都有唯一一个元素与之对应，∴(1)(2)是映射．而(3)集合A 中元素4没有元素与之对应，(4)中元素3在B 中有两个元素与之对应． 2．设集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{1,9,25,49,81,100}，下面的对应关系f 能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →(2x ＋1)2B ．f ：x →(2x －3)2C ．f ：x →－2x －1D ．f ：x →(2x ＋1)3解析：选B ∵A 选项中A 中元素5→(2×5＋1)2＝112∉B ， C 选项中A 中元素1→－2×1－1＝－3∉B ， D 选项中A 中元素1→(2×1＋1)3＝27∉B ， ∴B 选项正确．3．给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y,2x －y )，在映射f 下(3,1)的原像为( ) A ．(1,3) B ．(1,1) C ．(3,1)D.⎝⎛⎭⎫12，12解析：选B 依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3，2x －y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.4．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{c ，d }，则A 到B 的一一映射有________个． 解析：A →B 的映射有2个，如图．答案：25．已知映射f ：A →B ，其中A ＝{－2，－1,1,2,3}，集合B 中的元素都是A 中元素在f 下的像，且对任意a ∈A ，f (a )＝|a |a ，则集合B 中的元素有________个，若1∈B ，则1的原像是________．解析：依题意有：－2→|－2|－2＝－1，－1→|－1|－1＝－1，1→|1|1＝1,2→|2|2＝1,3→|3|3＝1，∴B 中的元素有2个，若1∈B ，则1的原像有3个，且是1,2,3.答案：2 1,2,36．已知集合A 到集合B ＝{0,1,2,3}的映射f ：x →1|x |－1，试问集合A 中的元素最多有几个？写出元素最多时的集合A .解：∵f ：x →1|x |－1是集合A 到集合B 的映射， ∴A 中每一个元素在集合B 中都应该有像． 令1|x |－1＝0，该方程无解，所以0没有原像． 分别令1|x |－1＝1,2,3.解得x ＝±2，±32，±43.故集合A 中的元素最多有6个 即A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，－2，32，－32，43，－43 .通过对映射的学习，你觉得映射有哪些特性？映射是一种特殊的对应，它满足“存在性(即集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素)”和“唯一性(集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一元素与之对应)”；但集合B中的元素未必有原象，即使有也未必唯一．映射中的两个集合A，B可以是数集、点集或由图形组成的集合等．封闭性：A中元素的对应元素必在集合B中，如集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2,3,4,5}，对应法则f：x→x－1，这组对应不是映射．有序性：“A到B”的映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射一般不是同一个映射．整体性：映射不是只有集合A或者集合B，而是集合A、B以及对应法则f的整体，是一个系统，记作f：A→B.有时，当映射为f：A→B时，集合A中的元素a对应集合B中的元素b，也可表示为f：a→b＝f(a)或者直接写成b＝f(a)．一、选择题1．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A 中元素映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中都有和它对应的元素|a|，则集合B中的元素的个数有()A．4B．5C．6 D．7解析：选A由对应法则可知，B中的元素有1、2、3、4，∴B中的元素有4个．2．已知集合A＝N＋，B＝{正奇数}，映射f：A→B使A中任一元素a和B中元素2a－1相对应，则与B中元素17对应的A的元素为()A．3 B．5C．17 D．9解析：选D由对应法则有：17＝2a－1，∴a＝9.3．给出下列两个集合之间的对应法则，回答问题：①A ＝{你们班的同学}，B ＝{体重}，f ：每个同学对应自己的体重； ②M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,4,6,8}，f ：n ＝2m ，n ∈N ，m ∈M ； ③M ＝R ，N ＝{x |x ≥0}，f ：y ＝x 4；④A ＝{中国，日本，美国，英国}，B ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f ：对于集合A 中的每一个国家，在集合B 中都有一个首都与它对应．上述四个对应中是映射的有________，是函数的有________，是一一映射的有________．( )A ．3个，2个，1个B ．3个，3个，2个C ．4个，2个，2个D ．2个，2个，1个解析：选C 由映射、函数、一一映射的定义可知：①②③④是映射，②③是函数，②④是一一映射．4．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 可能是( ) A ．∅ B ．∅或{1} C ．{1}D ．∅或{2}解析：选B 依题设知：A 可能为：{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，2，－1}，{1，－1，－2}，{1，2，－2}，{－1，2，－2}，{－1,1，2，－2}，{1}，{－1}，{2}，{－2}．∴A ∩B 可能为∅，可能为{1}． 二、填空题5．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b 是从A 到B 的映射，若1和8的原像分别为3和10，则5在f 下的像是________．解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝1，10a ＋b ＝8，∴a ＝1，b ＝－2，∴f ：x →y ＝x －2，则5－2＝3. 答案：36．已知映射f ：A →B ，其中A ＝R ＝B ，对应法则f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在原像，则k 的取值范围是________．解析：∵y ＝－x 2＋2x ＝－x 2＋2x －1＋1＝－(x －1)2＋1， ∴y ≤1.则B ＝(－∞，1]，∵k ∈R ，且在集合A 中不存在原像，∴k >1. 答案：k >1 三、解答题7．设A ＝{(x ，y )|x ＋y <3，且|x |<2，x ∈Z ，y ∈N ＋}，B ＝{0,1,2}，f ：(x ，y )→x ＋y ，判断f 是否为A 到B 的映射．解：列举法写出集合A .A ＝{(0,1)，(0,2)，(1,1)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)}，B ＝{0,1,2}，f 为A 到B 的映射．8．已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，f ：A 中的元素(x ，y )对应到B 中的元素(3x ＋y －1，x －2y ＋1)．(1)是否存在这样的元素(a ，b )使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由；(2)判断这个映射是不是一一映射？ 解：(1)以自己为像的元素(a ，b )满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b －1＝a ，a －2b ＋1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝27，b ＝37.∴存在元素⎝⎛⎭⎫27，37使它的像仍是自己． (2)设B 中的元素(a ，b )在A 中原像是(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －1＝a ，x －2y ＋1＝b ，解得⎩⎨⎧x ＝2a ＋b ＋17，y ＝a －3b ＋47.说明方程组有唯一解． 即(a ，b )在A 中的原像唯一． 所以该映射是一一映射．。
