第四节 流体流动现象

生物化工原理与设备
Principle and equipment of Biochemical Engineering
华中科技大学生命科学与技术学院
第四节 流体流动现象
由Bernoulli`s 方程可知，流体
在管道内流动过程中，其位能、动能、 静压能可相互转换，但总和恒定。而 对于真实流体，当其流过一段管路之 后，我们发现其位能、动能、静压能 之和有所衰减，流过的管路越长，则 衰减量越大；因此分析真实流体的流 动，必须考虑其能量损失。 由上图的简单实验就可 以说明，之所以有能量的损 失，源于流体流动时的内摩 擦；因为流体在流动，有流
du dr
又 两式联立，有
du dr
为沿半径方向的速度梯度
式中的负号表示流速沿半径增加的方向减小
1 p1 p2 1 p r r 2 l 2 l
du p r dr 2l
这里的 p，，l 量，故可以对上式积分
均为常
p r u (r ) C 2l 2
（1）Re ≤ 2000 时，为滞流；
（2）2000 ＜ Re ＜ 4000 时，流动状态极不稳定，称为过渡流； （3）Re ≥ 4000 时，为湍流。
何谓准数？ 任何准数都有具体的物理意义，他们一般都是表示两个同类的物理量的 比值。 Reynolds 准数所表示的到底是哪两个同类的物理量的比值呢？为说明
( e) du
dy
这里的 e 称为涡流粘度，其量纲与粘度量纲相同，但它并不是流体本身
的物理性质，而是与流动的状态有关。 湍流时产生的总摩擦应力对细胞的生长、代谢影响很大。
d
d
umax
滞流
umax
湍流
1、层流时的速度分布：
层流时流体质点沿管道的轴线方向作有规则的平行运动，质点间不相互 碰撞，也互不混合。 质点速度在管壁上最小，等于零；在管道的轴线上最大，且速度分布关 于管的轴线对称。 滞流时管内任一点的切应力分布与牛顿平板试验中不同，其速度分布可
通过一定假设后的数学推导获得，并可由此获得滞流时的流量计算式。
2
C为积分常数
积分常数C 由边界条件来确定，即 r = R 时，u(r) = 0；代入上式
积分上式，得
p 2 C R
于是求得牛顿粘性流体管内滞流时的速度分布为
由此式可知这时管内的速度分布为抛物线分布；轴线上速度最大，
r 0,
p 2 u (0) umax R 4l
这种组合不是任意拼凑出来的。一般都是在大量实验数据的基础上， 对影响某些现象或过程的各种因素有了一定的认识之后，再用物理分析或数 学推演或二者相结合的方法归纳出来的。无因次数群既反映所包括的各物理 量间的内在关系，又能说明所研究的现象或过程的一些本质。 大量实验表明， Reynolds 准数反映流体的流动状态，即
Reynolds 准数为
现对上式中的分子、分母项的物理意义进行分析。 对分子项，单位时间通过单位截面积的动量
u u u 2
与单位截面积上的惯性力（即产生或消除此动量的力）成正比；故该项反映 了流体流动时其惯性力的大小。
对分母项，u／d 为流体内部的速度梯度，因此
应力（粘性力）成比例
该组合数称为 Reynolds 准数或 Reynolds 数，以 Re 表示。
du Re
L
由上可见， Reynolds 准数是一个无因次的数群。其中的各物理量必须采用 同一单位制。
L M 3 L L0 M 0 0 M L
凡是由若干个有内在联系的物理量按无因次条件组合起来 的数群，统称为准数或无因次数群。
在整个管道截面上将通过所用半径为 r （r 为任意值，在0～R内取值）、
宽度为 dr 的微小环形截面的流量加起来，即得通过整个管道截面的流量。
将上式在 0～R 范围内积分，得流量的计算式为：
p R 2 2 R 4 p V ( R r ) rdr 2l 0 8 l
此式称为 Poiseuille 方程。 由上述流量计算式可求得平均流速 u ，即
先分析其管道内滞流时的切应力分布。
（1）切应力分布：
作用于该圆柱体上的力有
压力：
R
2
r
p1
l

p2
u
P 1 r p1
2
P2 r p2
切应力：
2 rl
平衡关系为：
r 2 p1 r 2 p2 2 rl 0
1 p1 p2 r 2 l
流体的流速 u 、管径d 、流体的粘度 μ 、密度 ρ 等诸因素的变化，都会引起流
动状态的变化。
为了进一步研究 u 、d、μ 、ρ 的变化对流动状态的影响，我们通过在 四个影响因素中分别固定其中三个而，改变另一个的方法，发现这四个影响 因素对流动状态的影响可以用一个组合数来反映，该组合为：
du

湍流时流体质点运动的速度方向不断变化，且压强也是脉动的；可见湍流 实际上是一种非定态的流动。但是就整个流体运动的趋势（即全部流体质点的 总体效果）而言，则是不变的。由实验发现管道截面上任意一点的速度和压强 始终是在某一个 “ 平均值 ”上下波动。
u (r )
如图所示。
u

湍流时的速度分布不能由理论推导获得，而只能通过实验方法测定，其结 果如 P40 图1－18（b）所示。这时已经不是抛物线形了。
（3）流量及平均流速：
依上述所得的速度分布表达式，可以很容易的求出这时的体积流量的表 达式。
由于在不同的 r 处，速度不同，为求流量，我们在管道截面上半径为 r
处取一个宽度为 dr 的微小环形截面，在该截面上认为各点的速度相同，即通 过这一微小环形截面的体积流量为 dV, 且
dV 2 rdr u (r ) p 2 rdr (R2 r 2 ) 4 l p 2 ( R r 2 ) rdr 2 l
此问题，现分析流过圆管的流体：
质量流量为
ws Vs uA
wS VS G u A A
单位时间内通过单位截面积的质量为
通过单位截面积的质量流量（质量通量）
单位时间通过单位截面积的动量为
u u u 2
u du 2 du u d u u d d
——为跨越长度为 l 的压强差 在数值上等于沿管轴线方向上的压强梯度

p1 p2 p p1 p2 l
由上可见滞流时流体产生的粘性切应力并非处处相等，而是随半径变 化；管壁上最大，轴线上为零。
（2）速度分布：
对于牛顿流体在圆管内作定态层流的情况，可以通过数学推导获得其管
内的速度分布表达式。 牛顿流体的内摩擦力（粘性切应力）服从牛顿粘性定律，即
动就有内摩擦，有内摩擦就
有能量损失。
一、流动类型与 Reynolds 准数：
Reynolds 实验
层流或滞流
过渡状态
湍流或紊流
1-小瓶，2-细管，3-水箱，4-水平玻璃管， 5-阀门，6-溢流装置
由Reynolds 实验可见，随着流体流动速度的加快，管道内
的流动表现出截然不同的两种类型：
当流速较低时表现为第一种流动类型，称为滞流或层流；
d
d
umax
滞流
umax
湍流
湍流时一般将平均流速表示为平均速度与最大速度的比值与最大雷诺 数的关系曲线，该曲线由实验获得。见下图。
湍流时的流体内的摩擦应力（也是流动阻力的起因）并非层流时只来自于
流体本身的粘性；湍流时除流体粘性引起的内摩擦之外，由于流体内质点的 不规则运动，相互碰撞，也会产生附加的阻力，造成能量的损失，这种阻力 称为湍流切应力。这时流体内的总摩擦应力应为两者之和，将此写成牛顿粘 性定律相似的形式，即为
V 1 R 4 p p 2 u R 2 A R 8 l 8l 1 u umax 2
2、湍流时的速度分布：
管道内流体作湍流流动时，质点作不规则的杂乱运动，并相互碰撞，产 生涡旋。这时质点碰撞而产生的附加阻力比因流体粘性所产生的阻力大得多，
所用碰撞将使流体前进阻力急剧增加。
在流动过程中， Reynolds 准数的数值越大，则湍流的程度越剧烈，即
惯性力大将加剧流动的紊乱，而粘性力则会抑制流动的紊乱。
二、流体在圆管内的速度分布：
无论是层流、湍流还是过渡流，在管道内任意截面上不同半径处，各流
体质点的速度是不同的，即由于粘性的作用，在管壁上速度为零，在管道的轴
线上速度最大。管道内的速度分布因流动类型的不同而各异。
当流速较低时表现为第三种流动类型，称为湍流或紊流。 而第二种情况则出现在流速由低向高变化的过程中，是一种 不稳定的状态；将其称为过渡状态，或过渡流。
通过用不同的管径和不同的流体分别进行实验，从实验中可以发现，不仅 流速 u 能引起流动状态的改变，而且管径 d 、流体的粘度 μ 和密度 ρ 也能引起 流动状态的改变。因此可以断定，流体的流动状态是由多方面的因素决定的；
u

与流体内的切
所以
惯性力——
u 2
u d

du
粘性力—— 就表示惯性力与粘性力之比。

Re
由以上对于 Reynolds 准数物理意义的分析来看，若流体的速度大而粘
性小时， Reynolds 准数的数值就大，表示流动过程中惯性力占主导地位， 这时容易出现湍流状态；反之则粘性力占主导地位，这时容易保持滞流状态。