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共边型相似三角形及其变式共边共角型相似三角形下图是典型的共边型相似三角形，由斜A型基本图形进行变式。
通过平移线段DE，使得点E和点B重合，此时就形成了“共边共角型相似三角形(子母三角形)”，这组基本图形在几何证明题和压轴题中非常常见，如果能灵活运用其中的等积式，可以较快地解决一些问题。
模型背景其中的等积式一般不能在几何题中直接使用，必须先证明相似，化成比例式后再借助等积式进一步应用。
但是在填空题中如果能够灵活应用，则可以在很大程度上提升解题效率。
如下面这道题发现共边共角型相似三角形后，直接利用等积式，就可以快速地求出AC的长度。
对于解答题，借助结论或已知中的等积式，可以快速地帮助我们锁定相似三角形。
射影定理射影定理是共边共角型相似三角形的变形，其图形特点就是直角三角形及其斜边上的高所组成的三个两两相似的直角三角形，其中也隐含着丰富的线段关系，也可以用等积式来表示。
模型背景我们通常也可以借助射影定理中的等积式，快速求出线段的长度。
善于发现与射影定理相关的基本图形，有助于我们快速建立线段间的比例关系。
四边形背景下的共边三角形四边形背景下，也有比较常见的“共边型”相似三角形，主要分为以下两类：模型背景此类模型的考察题型主要就是利用共边型相似三角形构造线段间的比例关系，此类题目比较灵活，以以下两道题为主。
一线三等角中的共边型三角形模型背景此类模型的特点是“一线三等角模型”的变式，为“异侧”的情况，容易忽略，此类模型常常结合45°角进行综合考察，在平面直角坐标系中考察较多。
解法分析：由题意，已知中∠CPA=45°，同时根据OC=OB=3，可以得到∠CBO=∠OBA=45°，这是另一种一线三等角模型，发现了这三个等角后，则利用▲CPB∽▲ABP，求出BP长度。
同时我们也可以借助这种模型建立线段间的比例关系：解法分析：本题考察了借助“一线三等角模型”以及“X型基本图形”搭建线段间的数量关系。
图形与图形的变换1．图形的初步认识①掌握画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型．②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断立体模型．③了解几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系．④掌握比较角的大小，估计一个角的大小，计算角度的和与差，进行度、分、秒简单换算．⑤了解角平分线及其性质，了解补角、余角、对顶角；理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等．⑥了解两点之间，线段最短；了解经过两点有一条直线，并且只有一条直线．⑦了解垂线、垂线段等概念，垂线段最短的性质，点到直线距离的意义；了解过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线．⑧掌握用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；了解线段垂直平分线及其性质．⑨理解平行线的特征和平行线的识别；了解过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线；掌握用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．⑩理解平行线之间距离的意义；掌握度量两条平行线之间的距离的方法．2．轴对称①认识轴对称．②理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．③掌握能按要求作简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形．④掌握简单图形之间的轴对称关系，并指出对称轴．⑤掌握基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性质及相关性质．⑥掌握利用轴对称进行图案的设计．3．平移和旋转①认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质；掌握按要求作简单平面图形平移后的图形；掌握选用平移进行图案设计．②认识旋转(含中心对称)；理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．③了解平行四边形、圆是中心对称图形．④掌握按要求作简单平面图形旋转后的图形．⑤掌握图形之间的轴对称、平移、旋转及其组合四种关系形式．⑥掌握运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．⑦在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，培养学生的数学说理的习惯与能力．【课时分布】图形与图形的变换在第一轮复习时大约需要3个课时，下表为内容及课时安排(仅供参考)课时数内容1基本图形的认识1轴对称与轴对称图形1平移与旋转1图形与图形的变换单元测试与评析【知识回顾】1．知识脉络图形的初步认识立体图形平面图形视图平面展开图点和线角相交线平行线图形之间的变换关系轴对称平移旋转旋转对称中心对称2．基础知识(1)两点之间线段最短；连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．(2)视图有正视图、俯视图、侧视图(左视图、右视图)．(3)平行线间的距离处处相等．(4)平移是由移动的方向和距离决定的．(5)平移的特征：①对应线段平行(或共线)且相等；连结对应的线段平行(或共线)且相等；②对应角分别相等；③平移后的图形与原图形全等．(6)图形的旋转由旋转中心、旋转角度和旋转方向决定．(7)旋转的特征：①对应点与旋转中心的距离相等；对应线段相等，对应角相等；②每一点都绕旋转中心旋转了相同的角度；③旋转后的图形与原图形全等．3、能力要求例1选择、填空题(1)如图6-1，小军将一个直角三角板绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开得到的大致图形是·····································Ａ．B．C ．D ．【分析】图形的旋转与展开．【解】D ．(2)如图6-2，已知□ABCD 的对角线BD =4cm ，将□ABCD 绕其对称中心O 旋转180°，则点D 所转过的路径长为（）A ．4πcmB ．3πcmC ．2πcmD ．πcm【分析】图形的旋转与圆弧问题结合．【解】C ．(3)有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45 ，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②……，则第10次旋转后得到的图形与图①～图④中相同的是（）A ．图①B ．图②C ．图③D ．图④【分析】图形的旋转与操作．【解】B ．(4)如图6-3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，ABCD 图6-3C’图①图②图③图④图6-2ABCDO图6-1(5)按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C ′处，则折痕BD的长为__________．【分析】图形的折叠与勾股定理应用．【解】35．(5)如图6-4，在68⨯的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，⊙A 的半径为2个单位长度，⊙B 的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B 与静止的⊙A 内切，应将⊙B 由图示位置向左平移个单位长度．【分析】图形平移、圆的位置关系与发散思维结合【解】4或6(6)如图6-5所示，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点D E 、分别是边AB 、AC 上，将ABC△沿着DE 折叠压平，A 与'A 重合，若=70A ︒∠，则1+2∠∠=（）A.140︒B.130︒C.110︒D.70︒【分析】图形折叠、三角形内角和与平角的结合【解】A(7)如图6-6-1和6-6-2，四边形ABCD 是边长为1的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F →H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（）图6-4图6-5图图【分析】图形的平移、动点问题及函数图像【解】B【说明】由于概念、性质比较多，复习时可以通过基本练习题的训练，使学生熟练掌握图形与图形变换的基本知识、基本方法和基本技能．重视平移、旋转、折叠、展开过程中学生思维的训练，重视平移、旋转、折叠、展开的操作过程，提高学生的分解、组合图形的能力和动手能力。
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】中考总复习：图形的变换--知识讲解（基础）【考纲要求】1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【考点梳理】考点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．【要点诠释】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【要点诠释】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．考点二、轴对称变换1．轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2．轴对称变换的性质①关于直线对称的两个图形是全等图形.②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3．轴对称作图步骤①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.考点三、旋转变换1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.２．旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.３．旋转作图步骤①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.②分析所作图形，找出构成图形的关键点.③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.④按原图形连结方式顺次连结各对应点.４．中心对称与中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.5．中心对称作图步骤①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.【要点诠释】图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.【典型例题】类型一、平移变换1.如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为____________.【思路点拨】根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案．【答案与解析】∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；【总结升华】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•顺义区一模）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且CE⊥BD于点F，将△DEC沿从D到A的方向平移，使点D与点A重合，点E平移后的点记为G．（1）画出△DEC平移后的三角形；（2）若BC=，BD=6，CE=3，求AG的长．【答案】解：（1）△AGB为△DEC平移后的三角形，如下图所示；（2）∵△AGB为△DEC平移后的三角形，∴BG=CE=3，BG∥CE，∵CE⊥BD，∴BG⊥BD．在Rt△BDG中，∵∠GBD=90°，BG=3，BD=6，∴DG==3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=2，∴AG=D G﹣AD=3﹣2=．2．如图（1），已知ABC ∆的面积为3，且,AC AB =现将ABC ∆沿CA 方向平移CA 长度得到EFA ∆. （1）求ABC ∆所扫过的图形面积；（2）试判断，AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若,15︒=∠BEC 求AC 的长.【思路点拨】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S △EFA =S △BAF =S △ABC ，从而便可得到四边形CEFB 的面积；（2）由已知可证得平行四边形EFBA 为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF 与BE 的位置关系为垂直；（3）作BD ⊥AC 于D ，结合三角形的面积求解． 【答案与解析】（1）由平移的性质得 AF ∥BC ，且AF=BC ，△EFA ≌△ABC ∴四边形AFBC 为平行四边形 S △EFA =S △BAF =S △ABC =3∴四边形EFBC 的面积为9；（2）BE ⊥AF证明：由（1）知四边形AFBC 为平行四边形 ∴BF ∥AC ，且BF=AC 又∵AE=CA∴BF ∥AE 且BF=AE∴四边形EFBA 为平行四边形又已知AB=AC ∴AB=AE∴平行四边形EFBA 为菱形 ∴BE ⊥AF ；（3）如上图，作BD ⊥AC 于D ∵∠BEC=15°，AE=AB ∴∠EBA=∠BEC=15° ∴∠BAC=2∠BEC=30°BCA （'C ）E∴在Rt△BAD中，AB=2BD 设BD=x，则AC=AB=2x∵S△ABC=3，且S△ABC=12AC•BD=12•2x•x=x2∴x2=3∵x为正数∴x=3∴AC=23．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质，菱形的性质等知识点的综合运用及推理计算能力．类型二、轴对称变换3（2016•贵阳模拟）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．【思路点拨】（1）Rt△ABC中，根据sinB═=，即可证明∠B=30°；（2）求出∠FA′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度．（3）先判断出AD=AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案．【答案与解析】（1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，，∵sinB==，∴∠B=30°；（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，∴EA=FD=×边长=1，∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，∴A′D=AD=2，∴=，∴∠FA′D=30°，可得∠FDA′=90°﹣30°=60°，∵A沿GD折叠落在A′处，∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，∴∠ADG===15°，∵A′D=2，FD=1，∴A′F==，∴EA′=EF﹣A′F=2﹣，∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°，∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°，∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°，则A′G=AG=2EA′=2（2﹣）；（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO=AD=CB=CO，∴DA=，∵∠D=90°，∴∠DCA=30°，∵AB=CD=6，在Rt△ACD中，=tan30°，则AD=DC•tan30°=6×=2，∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°，∴=tan30°=，∴DF=AD=2，∴DF=FO=2，同理EO=2，∴EF=EO+FO=4．【总结升华】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通．举一反三：【变式】（2016·松北区模拟）如图（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50°.若将其右下角向内这出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图（2）所示，则∠C＝度.【答案】∵∠CPR=12∠B=12×120°=60°，∠CRP=12∠D=12×50°=25°，∴∠C=180°－60°－25°=95°．4. 如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b（a<b）．将纸片任意翻折（如图2），折痕为PQ．（P 在BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C′，PC′的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A′，且A′M所在直线与PM•所在直线重合（如图3），折痕为MN．（1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明．（2）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，•MN间的距离有何变化？请说明理由．（3）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°（如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC′QD，及四边形BPA′N的周长与a，b有何关系，为什么？（1）（2）（3）（4）【思路点拨】（1）猜想两直线平行，由矩形的对边平行，得到一组内错角相等，翻折前后对应角相等，那么可得到PQ与MN被MP所截得的内错角相等，得到平行．（2）作出两直线间的距离．∵PM长相等，∠NPM是不变的，所以利用相应的三角函数可得到两直线间的距离不变．（3）由特殊角得到所求四边形的形状，把与周长相关的边转移到同一线段求解．【答案与解析】（1）PQ∥MN．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，且M在AD直线上，则有AM∥BC．∴∠AMP=∠MPC．由翻折可得：∠MPQ=∠CPQ=12∠MPC，∠NMP=∠AMN=12∠AMP，∴∠MPQ=∠NMP，故PQ∥MN．（2）两折痕PQ，MN间的距离不变．过P作PH⊥MN，则PH=PM•sin∠PMH，∵∠QPC的角度不变，∴∠C′PC的角度也不变，则所有的PM都是平行的．又∵AD∥BC，∴所有的PM都是相等的．又∵∠PMH=∠QPC，故PH的长不变．（3）当∠QPC=45°时，四边形PCQC′是正方形，四边形C′QDM是矩形．∵C′Q=CQ，C′Q+QD=a，∴矩形C′QDM的周长为2a．同理可得矩形BPA′N的周长为2a，∴两个四边形的周长都为2a，与b无关．【总结升华】翻折前后对应角相等，对应边相等，应注意使用相应的三角函数，平行线的判断，特殊四边形的判定．类型三、旋转变换【高清课堂图形的变换例4】5．已知O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，试问：（1）以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形?若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；（2）如果∠AOB的大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三角形?【思路点拨】因为△ABC是等边三角形，所以可以运用旋转将△BCO转至△ACD.【答案与解析】（1）以OC为边作等边△OCD，连AD.∵△ABC是等边三角形∴∠BCO=∠ACD (∠BCO+∠ACO=60°，∠ACD+∠ACO=60°)∵ BC=AC，OC=CD∴△BCO≌△ACD (SAS)∴ OB=AD，∠ADC=∠BOC又∵OC=OD∴△OAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形∵∠AOB=110°, ∠BOC=135°∴∠AOC=115°∴∠AOD=115°-60°=55°∵∠ADC=135°∴∠ADO=135°-60°=75°∴∠OAD=180°-55°-75°=50°∴以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角是50°、55°、75°.（2）∠AOB+∠AOC+∠BOC=∠AOB+∠AOC+∠ADC=∠AOB+(∠AOD+∠DOC)+(∠ADO+∠CDO)=∠110°+(∠AOD+60°)+(∠ADO+60°) =360°∴∠AOD+∠ADO=130°∴∠OAD=50°当∠AOD是直角时，∠AOD=90°，∠AOC=90°+60°=150°，∠BOC=100°;当∠ADO是直角时，∠ADC=90°+60°=150°，∠BOC=150°.【总结升华】此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理等知识，渗透分类讨论思想．6 . 如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2)．(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；(2)当α＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．【思路点拨】(1)要证AE1＝BF1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边；(2)要证△AOE1为直角三角形，就要考虑证∠E1AO＝90°.【答案与解析】(1)AE1＝BF1，证明如下：∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD.∴OE＝OF .∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转α角得到，∴OE1＝OF1.∵ ∠AOB＝∠EOF＝900，∴ ∠E1OA＝900－∠F1OA＝∠F1OB.在△E1OA和△F1OB中，1111OE OFE OA FOBO A OB⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△E1OA≌△F1OB（SAS）.∴AE1＝BF1.(2)取OE1中点G，连接AG.∵∠AOD＝900，α＝30°，∴ ∠E1OA＝900－α＝60°.∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°.∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°.∴∠E1AO＝90°.∴△AOE1为直角三角形.【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定. 举一反三：【变式】如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a>0).(1)求∠APB的度数；(2)求正方形ABCD的面积.【答案】(1)将△ABP 绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ.则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB.于是PB=QB=2a，.在△PQC中，∵，.∴.∴.∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=∠BQP=45°.故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°.(2)∵∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°，∴三点A、P、Q在同一直线上.在Rt△AQC中，.∴正方形ABCD的面积.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
五年级下册数学《图形变换学》教案一、教学目标知识与技能1. 学生能够理解图形变换的概念，包括平移、旋转和轴对称。
2. 学生能够运用图形变换的知识解决实际问题。
过程与方法1. 学生通过观察、操作、思考，培养空间想象能力和逻辑思维能力。
2. 学生能够运用图形变换的方法创造新的图形。
情感态度价值观1. 学生培养对数学的兴趣，感受数学的美。
2. 学生学会合作研究，培养团队精神。
二、教学内容1. 图形变换的概念介绍平移、旋转和轴对称三种基本的图形变换。
2. 图形变换的性质讲解图形变换的不变性和可逆性。
3. 图形变换的实际应用通过实例讲解图形变换在实际问题中的应用。
三、教学过程1. 导入通过简单的图形变换游戏，激发学生的兴趣，引出本节课的主题。
2. 新课导入讲解图形变换的概念，并通过示例让学生直观地感受图形变换的效果。
3. 课堂互动让学生通过操作、观察，理解图形变换的性质，并通过小组讨论的方式，探讨图形变换的实际应用。
4. 练与巩固布置一些有关图形变换的练题，让学生独立完成，检验学生对知识的理解和掌握程度。
5. 总结与拓展对本节课的内容进行总结，并提出一些拓展问题，激发学生的思考。
四、教学评价通过课堂表现、练成绩和课后作业，综合评价学生在图形变换方面的掌握程度。
五、教学资源1. 教学PPT2. 图形变换的操作软件3. 练题库六、教学建议1. 注重学生的参与，鼓励学生积极思考和操作。
2. 注重知识点的巩固，及时检查学生的理解程度。
3. 结合实际生活中的例子，让学生感受数学的应用价值。
地理基本图形的变式应用
丁夏男;王润兰
【期刊名称】《中学地理教学参考》
【年(卷),期】2024()3
【摘要】高考试题通过问题情境考查学生的核心素养,基本图形是学生在课堂教学中习得的知识结构。
文章结合地质类高考试题,从地理基本图形的图形转化、典型例题、高考变式三个方面探究地理基本图形在高考试题中的解题运用,为地理教师研究地理图形教学提供启示。
【总页数】4页(P69-72)
【作者】丁夏男;王润兰
【作者单位】河北师范大学教育学院;江苏师范大学附属实验学校
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.立足基本图形追寻多题归一r——从一道教材习题及其变式说开去
2.一个基本图形的变式及其应用
3.强化基本图形,突出变式研究——“轴对称图形”复习教学设计与思考
4.基本图形源于教材变式应用提高能力
5.构造基本图形渗透转化思想——一道不规则四边形面积问题的解法探究与变式
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图形变换规则数学高中教案
目标：
1. 理解图形变换的基本概念和分类。
2. 掌握平移、旋转、翻转等图形变换规则。
3. 能够应用图形变换规则解决相关数学问题。
教学重难点：
1. 掌握平移、旋转、翻转的基本概念和规则。
2. 能够应用图形变换规则解决实际问题。
教学准备：
1. 教学PPT或板书
2. 黑板、彩色粉笔
3. 各种图形变换的实物模型
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过展示几个图形变换的示例，引导学生思考图形的变换规则，并提出问题：你们知道图形变换的规则是什么吗？
二、讲解图形变换的基本概念（10分钟）
1. 定义图形变换的概念和分类。
2. 介绍平移、旋转、翻转等图形变换规则的基本概念。
3. 对照实物模型示例，让学生直观理解各种图形变换规则。
三、学生实践操作（15分钟）
1. 学生根据老师所示示例，尝试进行简单的平移、旋转、翻转操作。
2. 学生自主练习，掌握各种图形变换规则。
四、巩固练习（15分钟）
老师出示一些图形变换的练习题，让学生进行实际操作解答，巩固所学知识。
五、拓展应用（10分钟）
老师布置一些关于图形变换的应用题，引导学生思考如何应用所学知识解决实际问题。
六、课堂小结（5分钟）
回顾今天所学内容，强调图形变换规则的重要性，并鼓励学生勤奋练习，加深对图形变换规则的理解和掌握。
扩展阅读：
1. 了解更多图形变换规则的应用场景。
2. 深入研究图形变换的相关数学原理，拓展数学知识。
活用几何基本图形，解题事半功倍几何题目图形千变万化，但有一些经典图形经常在这些题目里直接或间接到的出现. 因此，灵活掌握和运用这些图形是学好几何的必备技能.一、基本图形1. “8字”形B2. 双垂直C结论：∠CAD=∠CBE；结论：∠A=∠BCD，∠B=∠ACD；D结论：∠CAD=∠CBE.3. 与角平分线有关的三个重要结论（1）双内角平分线BC条件：∠1=∠2，∠3=∠4，结论：∠BOC =90°+∠A ；12证明：∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∠BOC +∠2+∠4=180°，即：∠A +2∠2+2∠4=180°，∠2+∠4=90°－∠A ，12∴∠BOC =180°－（∠2+∠4）=90°+∠A ；12（2）一内角平分线，一外角平分线C 条件：∠1=∠2，∠3=∠4，结论：∠O =∠A ；12证明：∠4=∠2+∠O ，2∠4=2∠2+∠A ，可得：∠O =∠A ；12（3）双外角平分线条件：∠1=∠2，∠3=∠4，结论：∠BOC =90°－∠A ；12证明：∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∠BOC +∠2+∠4=180°，即：∠A +180°－2∠2+180°－2∠4=180°，∠2+∠4=90°+∠A ，12∴∠BOC =180°－（∠2+∠4）=90°－∠A ；124.四边形外角∠1与∠2是四边形ABCD 的外角，结论：∠1+∠2=∠A +∠B ；5.飞镖模型BC∠BOC =∠A +∠B +∠C6. 与面积相关C如上图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点结论：图中，S △AOF = S △AOE = S △BOF = S △COE =S △BOD = S △COD二、典例解析【例1-1】（安徽淮南月考）如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP =50°，则∠A =( ).A ．60°B ．80°C ．70°D ．50°【例1-2】（平原县月考）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＋∠D ＝α，∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点P ，则∠P ＝( )A ．90°－αB ．90°＋αC ．αD ．360°－α121212【变式1-1】（陕西西安·高新一中月考）已知，如图，∠XOY =90°，点A 、B 分别在射线OX 、OY 上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．【变式1-2】（武城县月考）如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．（1）若∠ABC=75°，∠ACB=45°，求∠D的度数；（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．【例2-1】（广东模考）如图所示，∠的度数是（ ）A．10°B．20°C．30°D．40°【例2-2】（霍林郭勒市月考）如图1所示，称“对顶三角形”，其中，∠A＋∠B＝∠C＋∠D利用这个结论，完成下列填空.(1)如图(2)，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝；(2)如图（3），∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝；(3)如图（4），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝；(4)如图（5），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝．【变式1-1】（1）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系： ；（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ 度；（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．【变式1-2】（广东广州月考）如图，已知BC与DE交于点M，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为_______．【例3】（安徽淮南月考）某零件如图所示，图纸要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，当检验员量得∠BDC=145°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？【变式3-1】（山西盐湖期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，∠BG1C=70°，求∠A的度数．【变式3-2】（山东岱岳期末）如图1六边形的内角和为度，如图2123456∠+∠+∠+∠+∠+∠m 六边形的内角和为度，则________．123456∠+∠+∠+∠+∠+∠n m n -=【例4】（唐山市月考）如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，S △ABC =4平方厘米，则S △BEF 的值为（ ）A ．2平方厘米B ．1平方厘米C ．平方厘米D ．平方厘米1214【变式4-1】（山东历下期中）如图，△ABC 的面积为．第一次操作：分别延长，，至点1AB BC CA ，，，使，，，顺次连接，，，得到△．第二次1A 1B 1C 1A B AB =1B C BC =1C A CA =1A 1B 1C 111A B C 操作：分别延长，，至点，，，使，，，11A B 11B C 11C A 2A 2B 2C 2111A B A B =2111B C B C =2111C A C A =顺次连接，，，得到△，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过多少2A 2B 2C 222A B C 次操作（ ）A ．B ．C ．D ．4567【变式4-2】（台州市月考）在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，当AP = AD 时，与12PBC S 和 之间的关系式为：________________；一般地，当AP = AD （n 表示正整数）时，ABC S DBC S △1n 与和之间关系式为：________________．PBC S ABC S DBC S △【例5】（庆云县月考）探究与发现：（探究一）我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图①，∠FDC与∠ECD分别为ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系，并证明你探究的数量关系．（探究二）三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图②，在ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠A与∠P的数量关系，并证明你探究的数量关系．（探究三）若将ADC改成任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论直接写出∠A+∠B与∠P的数量关系 ．【变式5-1】（河南宛城月考）问题情景：如图1，中，有一块直角三角板放置在上ABC ∆PMN ABC ∆（点在内），使三角板的两条直角边恰好分别经过点和点．试问与P ABC ∆PMN PM PN 、B C ABP ∠是否存在某种确定的数量关系？ACP ∠（1）特殊探究：若，则________度，_________度，50A ︒∠=ABC ACB ∠+∠=PBC PCB ∠+∠=_________度；ABP ACP ∠+∠=（2）类比探索：请探究与的关系；ABP ACP ∠+∠A ∠（3）类比延伸：如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角PMN P ABC ∆PMN 边仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．PM PN 、B C【变式5-2】（吉林宽城期末）将三角形纸片沿折叠，使点落在点处．ABC DE A 'A （感知）如图①，若点落在四边形的边上，则与之间的数量关系是'A BCDE BE A ∠1∠．（探究）如图②，若点落在四边形的内部，则与之间存在怎样的数量关系？'A BCDE A ∠12∠+∠请说明理由．（拓展）如图③，若点落在四边形的外部，，，则的大小为 'A BCDE 180∠=︒224∠=︒A ∠度．三、习题专练1. （安徽淮南月考）如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝_____．2．（惠州市光正实验学校月考）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC 与∠BCD 的平分线的交点E 恰好在AD 边上，则∠BEC =（ ）A ．∠A +∠D ﹣45°B ．（∠A +∠D ）+45°12C ．180°﹣（∠A +∠D ）D ．∠A +∠D 12123.（山东潍坊期末）如图，点D 是△ABC 的边BC 的延长线上的一点，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，依此类推…，已知∠A ＝α，则∠A 2020的度数为_____．（用含α的代数式表示）．4．（信阳市月考）如图，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，∠BAC =80°，BE 、CF 相交于D ，则∠BDC 的度数是_______．5．（惠州市月考）如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =___________________度．6.（商城县月考）如图，△ABC的两个内角平分线相交于点P，过点P向AB，AC两边作垂直线l1、l2，若∠1=40°，则∠BPC=_________．7.（临沭县月考）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝_____．8.（霍林郭勒市月考）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2018为_____．9．（四川师范大学附属中学期中）如图，已知△ABC 中，∠A ＝60°，点O 为△ABC 内一点，且∠BOC ＝140°，其中O 1B 平分∠ABO ，O 1C 平分∠ACO ，O 2B 平分∠ABO 1，O 2C 平分∠ACO 1，…，O n B 平分∠ABO n ﹣1，O n C 平分∠ACO n ﹣1，…，以此类推，则∠BO 1C ＝_____°，∠BO 2017C ＝_____°．10．（重庆月考）如图，分别为四边形的边的中点，并且图中四个小,,,E F G H ABCD ,,,AB BC CD DA 三角形的面积之和为，即，则图中阴影部分的面积为____．112341S S S S +++=11．（江苏邗江期末）（1）如图1，AB ∥CD ，点E 是在AB 、CD 之间，且在BD 的左侧平面区域内一点，连结BE 、DE ．求证：∠E =∠ABE +∠CDE ．（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．12．（莆田月考）如图，点D为△ABC的边BC的延长线上一点．（1）若∠A∶∠ABC=3∶4，∠ACD=140°，求∠A的度数；（2）若∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P．试探究∠PCM与∠A的数量关系．13. （全国月考）如图，四边形ABCD中，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD = β．（1）如图①，若α＋β= 150°，求∠MBC＋∠NDC的度数；（2）如图①，若BE与DF相交于点G，∠BGD = 30°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图②，若α = β，判断BE 、DF 的位置关系，并说明理由．14.（贵州赫章期末）数学问题：如图，在中，的等分线分别交ABC 20,,A ABC ACB ∠=∠∠ 2020于点根据等分线等分角的情况解决下列问题：12102020,,.....,,,O O O O 2020（1）求的度数．1BO C ∠（2）求的度数．3BO C ∠（3）直接写出的度数．2020BO C ∠15.（山西月考）综合与实践：阅读下面的材料，并解决问题．（1）已知在中，，图1，图2，图3中的的内角平分线或外角平分线都交于点ABC ∆60A ∠=︒ABC ∆，请直接写出下列角的度数如图1，_________；如图2，_________；如图O O ∠=O ∠=3，_________；如图4，，的三等分线交于点，，连接，则O ∠=ABC ∠ACB ∠1O 2O 12O O _________．21BO O ∠=（2）如图5，点是两条内角平分线的交点，求证：．O ABC ∆1902O A ∠=︒+∠（3）如图6，在中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，ABC ∆ABC ∠ACB ∠1O 2O 1115∠=︒，求的度数．2135∠=︒A ∠16.（福建永安期末）（1）如图1．在△ABC 中，∠B =60°，∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，则∠O = °，（2）如图2，若∠B =α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O 的大小；（3）如图3，若∠B =α，，则∠P = （用含α的代数式11,PAC DAC PCA E n n AC ∠=∠∠=∠表示）．17.（重庆市璧山区青杠初级中学校初二期中）如图，在△ABC 中，已知于点D ，AE 平分AD BC ⊥()BAC C B ∠∠>∠（1）试探究与的关系；EAD ∠C B ∠∠、（2）若F 是AE 上一动点，当F 移动到AE 之间的位置时，，如图2所示，此时FD BD ⊥的关系如何？EFD C B ∠∠∠与、（3）若F 是AE 上一动点，当F 继续移动到AE 的延长线上时，如图3，，①中的结论是否FD BC ⊥还成立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论.。
由一个基本图形的衍生所想到的……—— “相似三角形性质应用的专题研究课”课堂实录与评析1 引言解综合题的关键在于思路.一道综合题,往往可以分解成若干个基本问题(基本图形).分解好了,解题思路的形成也就水到渠成.因此,基本图形(基本方法)的重要性就凸显出来.但如何才能让学生对此有深刻的体验与感悟呢?2011年4月,浙江省教育厅“百人千场”数学学科送教下乡活动在浙江磐安县安文初中举行.笔者以此为设计思路,执教了一节“相似三角形性质应用的专题研究课”,受到了与会教师和送教专家的好评.现将课堂教学实录与点评整理如下,供各位同仁参考.2 教学实录2.1 原题呈现,感知模型引例 如图1所示,有一块锐角三角形余料ABC,它的边BC=12cm ,高线AD=8cm ,现要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC 上,其余两个顶点分别在AB,AC 上.问加工成的正方形边长为多少cm ?（学生经过几分钟的思考,基本都可以得出答案）生1:设正方形的边长为x cm .∵PN ∥BC,∴△APN ∽△ABC,∴PN AE BC AD =(相似三角形的对应高之比等于相似比) 即8812x x -=,得8.4=x ,∴正方形的边长为4.8cm . 师:回答的很好,是否还有其它建立等量关系的方法?生2:我用面积法.设正方形的边长为x mm .由S △ABC = S △APN + S 正方形PQMN + S △PBQ + S △MNC 得,12821)8(21)12(212⨯⨯=-++-x x x x x ,解得8.4=x ,∴正方形的边长为4.8cm . 师:真棒!对于数学问题,我们常常可以尝试从不同的途径进行思考.一题多解,有助于拓展我们的思维,开阔我们的视野.当然,希望同学们结合下面的变化图,思考这个基本图形的本质是什么?[点评]通过课本典型例题的复现与解决,为学生运用基础知识,感知基本模型营造了和谐的氛围,间接的消除了学生上公开课的紧张感,使学生能轻松的投入到学习过程之中.而引导思考解决问题的不同策略,既有效发展了学生思维的灵活性,也意在消除学生的思维定势.2.2 适度变化,理解模型例1 已知△ABC 中,BC=12,BC 边上的高AD=8,(1) 若并排放置的2个相等的小正方形组成的矩形,内接于△ABC(如图2),则小正方形的边长为多少? 并排放置3个小正方形呢?(有了与前面问题的类比,学生很快就举手了)生3:作AD ⊥BC 于D(如图3),设正方形边长为x ,则PN=2x ,AE=8x -.由△APN ∽△ABC 可得,247x =. 类似的,并排放置3个小正方形时,小正方形的边长为924. (2)如图4,若并排放置小正方形有n 个,则这时小正方形的边长又为多少?（部分学生马上举手示意）生4:小正方形的边长为2423n +. 师:你是怎么得到的呢？生4:看到前面的答案分别是245,247,249,就猜想内接n 个时,边长应为2423n +. 师:很好!通过数据的变化特点去发现规律,是数学归纳的重要方式.但合理的猜想仍需要严密的推理证实,同学们能证明吗？生4:设正方形边长为x ,则PN=nx .由相似得8812x nx -=,∴2423x n =+,故猜想正确. 师:太棒了.观察分析、尝试猜想、推理证明是学习数学的基本方法,同学们平时要经常加以运用.下面让我们把问题更一般化.例2 如图5,已知△ABC 中,BC=12,BC 边上的高AD=8,四边形PQMN 为△ABC 的内接矩形.(1)设PQ=x ,你能求出PN 的长吗?(用含x 的代数式表示）生5:还是采用上面的方法.由相似得8812x PN -=,解得1223+-=x PN (2)记矩形PQMN 的面积为S,求S 的最大面积.生5:S=PQ ·PN=x x 12232+-(0＜x ＜8),则当42=-=a b x 时,max 24S =. 师:由上述解答可以清晰的发现,在这个基本图形中,因PN ∥BC,故有△APN ∽△ABC,于是由性质可知PN 与AE 之间便存在等量关系,从而PQ(ED)与PN 之间也存在等量关系.若这两者之间自身还存在数量关系,就可利用方程模型求解.[点评]这两个变式,看似变化不多,难度不大,却使学生进一步体验到基本图形与基础知识的重要性,初步理解了基本图形所蕴含的本质,突出了本课的主题.而从特殊到一般,从类比到猜想,从方程到函数模型等数学思想方法的有机渗透,则较好实现了数学教学中知识与方法,过程与结果的和谐统一,润物无声.2.3 动中求静,应用模型例3 如图6,在锐角△ABC 中,BC=12,△ABC 的面积为48,D ,E 分别是边AB ,AC 上的两个动点（D 不与A ,B 重合）,且保持DE ∥BC ,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(1)当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时,求正方形DEFG 的边长. 图4 图 5图 6F G E D CB A师:请同学们画出图形,并求解.生6(黑板上画出图7后):就是原题呈现的情况,这时边长应为4.8.（下面的学生纷纷表示赞同） 师:我发现同学们对这个基本图形印象深刻!好,请继续看下面的问题.(2)设DE =x ,△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于 x 的函数关系式及x 的取值范围,并求出y 的最大值. 师:请同学们思考,随着DE 的运动,重叠部分会有哪些变化,（一位学生上黑板画出了图8-1和8-2）生7:有两种不同的情况,所以要进行分类讨论.师:很好!那应该如何分类？生7:以边GF 所在位置进行分类,有边GF 在△ABC 内部和△ABC 外部两种,以边GF 在BC 上为临界.师:回答的真好!那就请同学们来解决这个问题,并思考与前面问题之间的联系.生8:①当正方形DEFG 在△ABC 内部(含边界)时,0 4.8x <≤,此时y 就是正方形DEFG 的面积,即2y x =,最大值为24.823.04=;②当边GF 在正方形外部时,就是例2的情况,此时4.812x <<,过A 作AP ⊥BC 于P,交DE 于H,由△ADE ∽△ABC 可得,PH=x 328-, ∴x x x x y 832)328(2+-=-=,当62=-=ab x 时,y 有最大值,且最大值为24. 因24＞23.04,所以重叠部分的最大面积为24.师:看来,熟悉了基本图形确实能使我们在解题时如虎添翼.那么,这个基本图形还可以作哪些变化呢,让我们继续加以体会.[点评]由静到动,看似一小步,实则是多数学生数学学习过程中的一大难点.但王老师在教学中没有直接展开讲解,而是先让学生动手实践来感知图形的变化特点,从而产生了分类解决的方法,于是难点突破就变得顺理成章,也为后续问题的解决奠定了方法基础.同时,在前后问题的比较中也让学生进一步体会到基本模型的应用价值,强化了本课主题.2.4 深化模型,提高认知例4 如图9,锐角△ABC 中,BC=12,AH ⊥BC 点H,且AH=8,点D 为AB 的任意一点,过点D 作DE ∥BC,交AC 于点E,AH 于F.设AF 为x (0＜x ＜8)以DE 为折线将△ADE 翻折,所得△DE A '与梯形DBCE 重叠部分的面积记为 y (点A 的对称点A '落在AH 所在直线上）.请问,当x 取何值时,y 的值最大?最大值是多少？ 师:请仔细理解题意,并思考随着DE 的运动,重叠部分图形有哪些变化,分界点在哪里,C B 图 8-2图 8-1CB 图 9A A能画出来吗?生9:有两种情形.一种如图9,重叠部分是三角形;另一种如图10,重叠部分为梯形,DE 是三角形的中位线时分界.师:看来,理解了图形的变化规律也就掌握了分类的方法.但是如何来求这个梯形的面积呢?前面的基本图形还适用吗?生10:适用.用两次基本图,即用△ADE ∽ABC 求DE,用△'''E D A ∽△DE A '求''E D . (见学生都表示理解了)师:那下面就请大家具体的求一下吧.(过了一会)生10:当0＜x ≤4时,y 就是△ADE 的面积,由相似知DE=x 23,所以243x y =,故当4=x 时,y 有最大值12.当4＜x ＜8时,利用△'''E D A ∽△DE A '可得F A H A DE E D ''''=,即xx x x E D )8(5.1''--=,∴123''-=x E D . 则482449)8)(12323(212-+-=--+=x x x x x y ,故当316=x 时,y 有最大值16. 因16＞12,所以当8=x 时,重叠部分的最大面积为16.师:这么繁琐的数据计算居然没有一点问题,这位同学的运算能力真强.但老师还是想请大家再思考下,是否有直接计算面积的方法呢?生11:用面积比与相似比的关系呀!由△'''E D A ∽△DE A '得22''')82(43x x x S E D A -=∆, 所以2''')4(3-=∆x S E D A ,于是482449)4(343222-+-=--=x x x x y .…… 师:这位同学的知识掌握得很全面,这也说明根据目标来选择方法可以使我们少走弯路. 下面让我们再用几何画板演示一下动态的变化过程,希望能加深大家的理解(过程略).[点评]从矩形面积过渡到梯形面积的计算,就不仅仅是模仿运用了,它能有效促进学生的抽象能力,模型识别能力与迁移能力的提高,提升了思维的深度,也使学生在图形的变化过程中感悟了万变不离其宗的道理,而问题解决过程中的方法优化,则强化了学生的目标意识与思维监控能力.而最后几何画板工具的使用,既给学生的几何直觉以有力的支撑,又关注了数学学习中的“弱势群体”,体现了王老师面向全体的教学理念.2.5 归纳小结,反思提高请同学们就本节课的学习情况进行一下回顾与总结.……师:同学们都说得很好,把这些发言归纳起来,主要是:运用性质“相似三角形的对应高之比等于相似比”,可以解决了一类长度(面积)而在具体的解决问题过程中,我们还运用了从特殊到一般,类比、猜想、归纳,分类讨论等数学基本思想方法.通过学习,我们对基本模型的重要性想必有了更新的认识,希望同学们在今后的学习中勤于观察,善于比较,提炼本质,有效运用.唯有如此,才能真正提高数学学习的效率,才能有效发展思维能力.3 总评对基本图形(基本方法)的感悟、理解与运用,主要靠学生在平时的学习过程中,通过有意识的观察思考、实践比较、分析提炼、有效运用等才能得以实现,这也正是衡量学生数学能力与数学素养的重要依据.但这样的工作能否以专题研究课的形式予以强化与指导,王老师的这节课给我们带来了可供借鉴的研究样本.3.1 谋篇布局,构思精巧高效的课堂源自于有效的教学设计.纵观本节课,王老师以“相似三角形对应高之比等于相似比”这一重要性质的应用为主要认知线索,以教材中的范例(求三角形的内接正方形边长)为原型,并精心选择了与此相关联的四个变式问题展开研究,层层深入,变化有度,衔接自然.其中,从水平变式到垂直变式的渐变,突出了过程体验,强化了对基本图形的本质理解.而从几何到代数的综合,从方程到函数模型的构建,从静态图形到动态图形的变化,从图形的平移到折叠变换,则能使学生完善认知网络,丰富图形认知,促进方法理解,提高思维能力.这样的设计,较好地遵循了学生的学习规律,为达成本课的学习目标创设了适切的载体,也有利于促进学生主动的学习,彰显了教师的教学智慧.3.2 方法为先,思维为本数学不仅仅是一种重要的“工具”和“方法”,更重要的是一种思维模式.因此,增强学生的数学概括和抽象能力,提升其思维能力是数学教学的重要任务.就本课而言,较好的体现了这一点.一是学生亲历了问题的发生与发展过程,对基本图形本质及其作用的理解是在充分的体验过程中得以逐步领悟的,这些数学思维活动留给学生的感受是非常深刻的,对于学生今后深入理解图形性质,关注图形之间联系,从复杂图形中分离基本图形,提高图形分析能力等都会带来积极的影响;二是在具体解决问题的过程中,有机的渗透从特殊到一般,分类讨论,数形结合,方程及函数等思想方法,让学生在必要的观察、猜想、类比、推理与交流中感悟这些思想方法的概括与内化过程,对于唤醒学生的认知内驱力,促进他们的思维发展,进而形成有效的思维策略有着显著的效果,也充分体现了数学教育的价值.3.3 过程流畅,氛围和谐在课堂上可以看到,在以变式生成的问题串的科学引领下,伴随着问题解决过程中不断的成功体验,以及教师适时的激励评价,激发了学生积极的情感体验与学习热情,使得绝大多数学生都被卷入到积极的数学思维活动中来,这种和谐学习氛围的创设,极大提高了学生的自主学习能力与主动参与意识.而本课中问题的思路基本都是学生提出,方法由学生补充,解答由学生完成,而教师则退居幕后,仅在思维展开的疑难处,思路形成的困惑点及时介入、点拨指导.这种教与学的方式,看似平淡,却于无深处有惊雷,真实体现了数学学习的基本规律与数学思维方式的基本特点,也较好贯彻了“学为主体、教为主导”的教学理念.3.4 值得思考的问题教学永远是一门遗憾的艺术,没有最好,只有更好.从这个意义上讲,下面几个问题或许值得我们深思.3.4.1 更好理解变式教学的内涵.设计变式的目的,意在更好促进学生感悟数学方法,理解数学本质.就本课而言,让学生感悟、提炼基本图形的本质,并迁移运用应是教学的核心目标,为此,设计从引例到例2的三个变式,就是承载此目标的工具.但在教学中我们遗憾的看到,这里的提炼与概括都是教师帮助完成的.从教学行为分析,主要是老师担心学生讲不好而怕耽误时间,因为后面2个例题的安排显然是本课的重头戏.而从学生角度分析,虽然三个系列变式彼此相关,但要从中提炼本质,恐怕也还是有一定难度的.因此,是否可以考虑把这三个例题整合成引例的三个系列问题,即从求内接正方形边长→求两邻边长存在等量关系的内接矩形边长(如PQ:PN=2:5)→变任意内接矩形(用几何画板演示),问这些矩形中是否最大面积的矩形?这样就能使问题之间更连贯,内在结构更紧密,层次之间更清晰,也更符合学生的认知规律.从而也就有利于学生领悟图形本质,也能为后续学习留出必要的时间与空间.3.4.2 正确把握铺垫的意义.在学生的认知障碍点、思维困惑处进行适当的铺垫,其目的在于为学生搭建“思维的脚手架”,从而为教师引导学生自主探究、突破教学难点提供一条思维通道.因此,设置铺垫必须认真考虑学生原有的认知起点与认知能力.从这个意义上讲,本课设置的一些铺垫就值得商榷.如例2中为求矩形的最大面积,先设计了用x表示PN的长.这样的设计过于直白,同时也把本题蕴藏的教育功能(模型意识,关系意识等)异化成机械的运算操练,这显然不是编制本题的用意所在.实际上,求内接矩形的最大面积,自然会引发学生联想函数模型,而要构建函数模型,自然也能想到用x表示PN的长.同样,例3中先求临界状态时正方形边长的设计,有为求而求的嫌疑.从逻辑上讲,要求重叠部分的图形面积,首先要思考图形的形状是否有变化,若无变化,该如何求?若有变化,则必须考虑有哪几类变化,分界点分别在哪里?这样的引导,才能赋予学生一般有用的思维策略,也是数学教学的本质所在.故此,正确认识铺垫的意义,才能科学合理的进行问题设计,也能更好促进学生的思维发展. 另外,本课教学中教师若能更大胆一些,在适当的引领与启发下放手让学生参与问题变式的引申或改编,或许能激发学生更为浓厚的学习兴趣与更强的主体参与意识,从而亦使教学效果更加优化.当然,这也是一个非常值得研究的课题.作者简介:[1]王宝金.1981年11月出生,浙江绍兴人,现为浙江绍兴县柯岩中学数学教研组长.主要从事初中数学课堂教学研究.联系电话:[2]张宏政.1968年3月出生,浙江定海人,现为浙江舟山南海实验初中教学管理处主任,是舟山市学科带头人,曾在省级以上数学期刊发表学术文章30多篇,参编竞赛书籍多本.主要从事初中数学教学研究.联系电话:。
中考复习助学案——直角三角形一个基本图形的应用初三数学备课组 沈其锋一、知识要点直角三角形中的一种基本图形：从这个基本图形中你有相似三角形吗？二、考点解析、例1 孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2(0)y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题：（1）若测得OA OB ==1），求a 的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF x ⊥轴于点F ，测得1OF =，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．；例2 在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB ＝2，AP ＝1．将直角尺的顶点放在P 处，直角尺的两边分别交AB ，BC 于点E ，F ，连接EF（1）当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求PC 的长；（2）探究：将直尺从图中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 和点A 重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：tan ∠PEF 的值是否发生变化？请说明理由； （第23题 图②）（第23题 图①）P P三、变式练习 1.如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点P 是AB上的动点，PE 的延长线与CD 的延长线交于点Q ，过点E 作E F ⊥PQ 交BC 的延长线于点F ，给出下列结论：①△APE ≌△DQE ②若tan ∠AEP=32，则△PBF 的面积与△APE 的面积之比为14:3 ③点P 在AB 上总存在某个位置，使△PQF 为等边三角形 其中正确的是2．已知二次函数21342y x x =-+的图象如图. （1）求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，若∠ACB =90°，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M ，以AB 为直径，D 为圆心作⊙D ，试判断直线CM 与⊙D 的位置关系，并说明理由.C。
基本模型变式——享受思考的乐趣1．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是；如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A的大小为．2．如图，AB＝AC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．求证：CD＝PE+PF证明：如图1，连接P A，∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F∵S△ABC＝AB×CD，S△P AB＝AB×PE，S△P AC＝AC×PF，又∵S△ABC＝S△P AB+S△P AC∴AB×CD＝AB×PE+AC×PF ∵AB＝AC ∴CD＝PE+PF由此得到结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．阅读上面的材料，然后解答下面的问题：（1）如图2，△ABC是等边三角形，点P是BC边上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，若BC＝2，则PE+PF＝．（2）如图3，△ABC中，AB＝AC，若点P在BC边的延长线上，CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC延长线上于F．那么CD、PE、PF之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．（3）如图4，用阅读材料结论求解，将平行四边形ABCD，其中∠A＝90°，AB＝3，沿对角线BD折叠，重合部分是△FBD，点P是对角线BD上任意一点，PM⊥AD于点M，PN⊥BE于点N，求PM+PN的值．3．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；（1）如果点F与点A重合，且∠C＝50°，∠B＝30°，如图1，求∠EFD的度数；（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．4．（1）在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，求出下列角度的度数．如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝．（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A．（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．5．（1）如图①，在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分∠ACB，请分别写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；（2）如图②，在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分外角∠ACM，请分别探究∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系。
