基本图形在几何问题中的运用

平面几何中的直线与圆相交问题直线和圆在平面几何中是两个重要的基本图形，它们的相交问题一直备受关注。

本文将从不同角度探讨直线和圆的相交性质以及相交问题的应用。

一、直线与圆相交的基本性质在平面几何中，直线与圆相交有以下基本性质：1. 若一条直线与一个圆相交于两个不同点A和B，则该直线称为弦，AB称为弦长。

2. 若一条直线与一个圆相交于一个点C，则该直线称为切线，点C称为切点。

3. 若一条直线与一个圆不相交，则称该直线与该圆相离。

二、直线与圆相交的定理在平面几何中，直线与圆相交还有一些重要的定理，我们将依次介绍几个常用的定理：1. 弦切定理：若一条弦通过圆心，则它一定是该圆的直径。

2. 弦长定理：若两条弦AB和CD相交于点E，则AE · EB =CE · ED。

3. 切线定理：若一条直线与圆相切于点T，则该直线垂直于以切点为圆心的半径。

4. 切割圆定理：若两条直线分别与一个圆相交于A、B和C、D两点，且AB和CD相交于E，则AE · BE = CE · DE。

三、应用示例1. 直线与圆在几何构图中的应用：直线与圆的相交性质可以广泛应用于几何构图中，如求直线与给定圆相交于两个切点的问题，可以通过作直角和利用切线定理进行构图。

2. 圆的位置判断问题：给定一个圆和一条直线，判断直线与圆的相交情况可以利用公式或者几何构图方法。

根据相交点个数、切点个数和相离的情况，可以判断直线与圆的位置关系。

3. 弦长的应用问题：弦长定理在实际问题中有着广泛的应用，特别是与力学、物理等学科有关的题目。

例如，在桥梁的设计中，通过弦长定理可以计算杆件的长度和应力的大小，实现结构的均衡和稳定。

4. 圆的切线问题：直线与圆相切问题在几何中有着重要的应用。

例如，求解最短路径问题时，可以利用切线问题来寻找最优路径。

此外，在光学等领域也有诸多应用，如光线的反射和折射等。

通过以上的讨论，我们可以看到直线与圆相交问题在平面几何中具有重要的地位和广泛的应用。

活用基本图形，解题水到渠成作者：侯燕香来源：《广东教学报·教育综合》2020年第129期【摘要】相似三角形是初中几何中的重要的知识。

在考试复习阶段，往往由于教师对相似三角形中的基本图形或以练代讲，或以图论题，或低估学生的解题能力，导致相似三角形这一知识点常常成为学生学习难点。

相似三角形中基本图形的复习课应在系统罗列基本图形的基础上，把重点放在提高学生从复杂图形中识别基本图形和探索基本图形之间联系的能力上。

教学实践证明，快速识别与对应相似三角形中基本图形往往能有效突破难点。

【关键词】相似三角形;基本图形;复习课《数学课程标准》在初中阶段对能力培养与方法习得方面要求：“能够从复杂的图形中区分出基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系;能由基本图形的性质导出较复杂图形的性质”。

当我们遇到一个较复杂的几何题时，首先要认真观察、分析它的的图形，并对图形进行分解，找出它由哪些基本图形组合而成（有时需要添加辅助线，构造基本图形），然后运用基本图形的性质去推理或计算，从而使问题得以解决。

一、试题回放二、学生反馈第（1）小问能完整解答，并能提供多种解法;但第（2）（3）小问却无从下手，找不到思路和突破口。

三、归因分析本题考查相似三角的判定和性质、圆的切线的性质和切线长定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题。

学生在解答中无从下手，表明还没有切实掌握“相似三角形”这个知识点，尤其对其中的基本图形很陌生，如双垂直型下的“射影定理”。

復杂的题目往往可以分解为若干个简单的题目。

教师在解题教学中，首先要不断引导学生去总结一些基本图形，吃透这些基本图形的本质，然后让学生在以后的解题过程中遇到复杂的图形学会识别这些基本图形，最后在熟练掌握这些基本图形的基础上学会构造出这些基本图形，以打开求解思路或获得有效解法。

四、师生磨题4.小结解法中涉及的知识点：切线长定理，三角形全等，垂直平分线的判定定理，平行线分线段成比例定理等。

图形变化在几何证明中的体现学校：南宁市三美学校姓名：郑翔尹各位评委老师，大家好，我是来自南宁市三美学校的郑翔尹，我今天说题的主题是：图形变化在几何证明中的体现。

接下来，我将按照以下7个步骤进行说题，1、说背景；2、说学情；3、说题目；4、说解法；5、说变式；6、说反思；7、说教法。

一、说背景1.题材背景题目：如图，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD.求证：BE=CD本题我将在九年级以复习课的形式为学生进行讲解，但是本题可以在人教版八年级上册第83页轴对称中等边三角形的课后习题中找到原型题。

原型题题目为：如图，已知等边△ABD和等边△ACE，求证：BE=CD2.知识背景：本题涉及的知识点有：全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等式性质等。

3.方法背景：根据学生以往的学习经验与知识储备，让学生充分分析已知条件，并通过观察图形找到隐含条件，进而解决问题。

4.思想背景：类比思想、转化思想等二、说学情1.学生特点：本题的教学对象是九年级学生，他们的知识储备以及观察能力都有所发展，具有了从一定问题中抽象概括出一般规律的能力。

2.解题困难：由于部分学生对以往知识点掌握不太牢固，当几个知识点综合在一起出现时，不能熟练、快速的找到隐含条件。

3.解题策略：针对学生可以遇到的困难，我的解题策略是采取小组合作讨论的形式，以好带差，让更多的学生融入课堂。

4.重难点：重点：应用全等三角形证明线段相等难点：寻找、发现证明三角形全等的条件三、说题目1.设计意图：本题是全等三角形应用中具有代表性的一类问题，本题的解法是一法多用的经典之作，它综合了等边三角形的性质，运用SAS就能顺利证明线段相等。

我希望通过本道题目及其变式，让学生能体会一法多用这一理念，进而培养学生思维的开阔性、发散性和灵活性。

2.分析题目：本题的已知条件比较明显，即△ABD和△ACE都为等边三角形；待求结论为BE=CD.本题属于中等偏易的几何证明题，要证明线段相等，学生第一反应就是通过证明两个三角形全等来证明对应线段相等，学生对此类问题比较熟悉，有一定的把握。

教学设计等腰三角形的三线合一为初中数学北师大版本七年级下册第五单元第三节等腰三角形三线合一的应用。

这是学生在已经学完了全等三角形的证明后学习的，让学生通过不同方法，比较分析，得出利用“三线合一’这一定理证明的优点 。

教学背景：等腰三角形在初中几何里很常见，其中等腰三角形的性质在实际的应用中也非常普遍，尤其是等腰三角形“三线合一”这一重要定理。

等腰三角形的“三线合一”性质在初中几何证明和计算中占据了非常重要的地位，学生既需要知道它的由来，还要知道它的用途，同时还要善于应用添加辅助线的方法来构造三线合一的情况，即在图形不全的情况下补全“三线合一”所在的基本图形。

如果老师可以把握好等腰三角形“三线合一”性质在辅助线教学中的应用，把握好化归思想方法的渗透，将有助于学生把握解题的关键，更好地培养和发展学生的思维能力，有助于学生突破解题的难点，探索出解题的方法，从而帮助学生提高解决问题的能力。

这个性质的逆定理在证明中的直接和间接地应用也不亚于这个性质的直接应用，可以作为解决与等腰三角形有关问题的一种重要思路。

由于前面课堂上已经讲解过了它的逆命题的证明，所以这里涉及到这类问题就直接应用了，以后再强化加深对三线合一及其逆命题的印象。

学情分析：学生已经学习过了等腰三角形的定义及其性质，也掌握了等腰三角形的对称性。

在此基础上对三线合一的应用进行归纳整理。

教学目标：1、掌握等腰三角形三线合一的性质，理解逆命题的正确性。

2、明确“三线合一”定理的用途，能熟练应用该定理解决问题。

3、提高学生分析问题和解决问题的能力，强化学生的逻辑思维。

达成目标：1、在学生已经认知的等腰三角形的三线合一的基础上提高解题技巧。

2、回家后，学生可以根据自己的听课情况，利用电脑观看，帮助学生课后自主学习。

3、通过本微课的学习，提升学生对三线合一的认识，从而增加知识储备，提高综合运用能力。

教学方法：采用复习与讲练相结合的方法。

1、先熟知三线合一这一基础知识，然后进行初步的归纳总结。

中考几何解题技巧
中考几何解题技巧主要包括以下几点：
1. 图形认知：首先要熟悉常见的几何图形，了解它们的性质和特点。

通过练习和观察，掌握直线、角、三角形、四边形等基本图形的定义和性质。

2. 绘制图形：遇到几何问题时，尽量将图形绘制出来，并按照已知条件进行标记。

这样有助于更好地理解问题并找出解题思路。

3. 利用几何定理和公式：根据题目给出的条件，运用几何定理和公式进行推理和计算。

例如，利用三角形内角和为180度、相似三角形的性质、平行线的性质等。

4. 利用对称性质：如果题目中存在图形的对称性质，可以利用对称性进行推理和计算。

例如，利用对称轴或对称图形的对应部分相等的特点。

5. 利用反证法：有时候可以运用反证法进行证明或推理。

假设结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明所假设的条件是正确的。

6. 多角度思考：如果某种方法无法解决问题，可以尝试从不同的角度思考，寻找其他可能的解决办法。

灵活运用多种方法可以提高解题效率。

7. 培养逻辑思维：几何问题常常需要运用逻辑推理和分析能力，在解题过程中
要注重思考和推敲每一步的合理性。

通过不断练习和积累经验，结合上述技巧，可以提高在中考几何题目上的解题能力和应对问题的能力。

中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形最值问题在几何图形中分两大类：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。

由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。

举例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。

已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。

证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP ≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。

即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。

(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。

上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。

二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。

类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。

（一）直接包含基本图形例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。

简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。

（二）动点路径待确定例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。

“一线三等角”模型在初中数学中的应用相似三角形在初中几何的教学中发挥着不可小觑的作用，在中考考题中常有涉及和渗透，笔者在初三的教学中发现掌握相似三角形的基本图形，对培养学生分析问题和解决问题的能力有一定的促进作用。

本文以相似三角形中的“一线三等角”这一基本图形为载体，研究这一基本图形背景下的相关题型，并进行了收集与整理，希望对学生灵活应用这一模型有所帮助。

一、弄清基本模型定义和解题原理二、应用举例1.在“动点问题”中的应用例1：如图2，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，设BM的长为x cm，CN的长为y cm.求点M在BC上的运动过程中y的最大值。

分析：由图可知∠B=∠C=∠AMN=90°，Rt△ABM与Rt△MCN成“一线三等角”模型，所以Rt△ABM∽Rt△MCN，从而，所以，.所以y的最大值为。

【变式】如“例1”的条件，将问题改为“当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2.”分析：四边形ABCN的面积为，BC，AB的长都为1，是定值，只有CN在变化，要使四边形ABCN的面积最大，则CN最大，即转化为“例1”的问题.2.与反比例函数联手例2：（2015?孝感）如图3，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上.若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（）A.-4B.4C.-2D.2分析：看到反比例函数图像上的点A，并且要求的点B也在反比例函数图像上，从而联想反比例函数解析式中“k”的几何意义解决问题.过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D.根据“一线三等角”模型，很容易得到△ACO∽△ODB，从而==4，然后用反比例函数解析式中“k”的几何意义即可.3.在“直角三角形存在性问题”中的应用点的存在性问题始终是中考考查的热点和难点，对学生的思维能力和模型思想等基本数学素养有着较高的要求，所以一直困扰着学生.数学解题研究中一直很关注一题多解的研究，多一种解决问题的方法，能让学生步入考场有更多的选择，直角三角形的存在性问题多数教师在讲解的时候是引导学生利用解析式法“”和勾股定理解决.笔者在教学中发现，利用“一线三等角”模型解决直角三角形的存在性问题也是一种通用方法，即便这个点在抛物线上也能使用（当点在抛物线上时，利用勾股定理会出现四次情形，初中学生无法解决），能为学生解决这类问题提供了一种新的选择。

数学中的图形与几何关系在我们的日常生活和数学学习中，图形与几何关系是一个非常重要的领域。

从我们身边的建筑、家具，到地图、设计图纸，图形与几何无处不在。

那么，究竟什么是图形与几何关系？它们又有着怎样的奥秘和应用呢？图形，简单来说，就是我们能看到的各种形状，比如圆形、三角形、正方形等等。

而几何，则是研究这些图形的性质、大小、位置关系等的学科。

图形与几何关系，就是研究这些图形之间的相互联系和规律。

让我们先从最基本的图形说起。

点、线、面、体是构成图形的基本元素。

一个点没有大小和形状，只是一个位置的标识。

无数个点连成线，线有直线和曲线之分。

线的移动形成面，面有平面和曲面。

面的移动就形成了体，像我们常见的立方体、球体、圆柱体等。

在平面图形中，三角形是一个非常重要的角色。

三角形具有稳定性，这一特性在建筑和工程中被广泛应用。

比如，很多桥梁的结构中就会使用三角形来增加稳定性。

而四边形则相对不稳定，但也有其独特的性质。

比如平行四边形，它的对边平行且相等。

圆形也是我们常见的图形之一。

圆的周长和面积的计算，是数学中的重要知识点。

圆的周长公式是2πr（其中 r 是半径，π 是圆周率），面积公式是πr² 。

圆在生活中的应用也很多，比如车轮、井盖等都是圆形的，这是因为圆形在滚动时能够保持平稳，而且从各个方向看都是对称的。

再来说说几何关系。

几何关系包括图形的位置关系和度量关系。

位置关系有平行、垂直、相交等。

平行的两条直线永远不会相交，而垂直的两条直线相交的角度是 90 度。

相交的直线又分为锐角相交和钝角相交。

度量关系则包括长度、角度、面积、体积等的测量和计算。

比如，在计算三角形的面积时，我们可以使用公式：面积＝底×高÷2 。

对于矩形，面积＝长×宽。

而在计算立体图形的体积时，立方体的体积＝边长³，圆柱体的体积＝底面积×高。

图形与几何关系在实际生活中的应用非常广泛。

在建筑设计中，设计师需要考虑房屋的结构和形状，运用几何知识来确保建筑物的稳定性和美观性。

活用几何基本图形，解题事半功倍几何题目图形千变万化，但有一些经典图形经常在这些题目里直接或间接到的出现. 因此，灵活掌握和运用这些图形是学好几何的必备技能.一、基本图形1. “8字”形B2. 双垂直C结论：∠CAD=∠CBE；结论：∠A=∠BCD，∠B=∠ACD；D结论：∠CAD=∠CBE.3. 与角平分线有关的三个重要结论（1）双内角平分线BC条件：∠1=∠2，∠3=∠4，结论：∠BOC =90°+∠A ；12证明：∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∠BOC +∠2+∠4=180°，即：∠A +2∠2+2∠4=180°，∠2+∠4=90°－∠A ，12∴∠BOC =180°－（∠2+∠4）=90°+∠A ；12（2）一内角平分线，一外角平分线C 条件：∠1=∠2，∠3=∠4，结论：∠O =∠A ；12证明：∠4=∠2+∠O ，2∠4=2∠2+∠A ，可得：∠O =∠A ；12（3）双外角平分线条件：∠1=∠2，∠3=∠4，结论：∠BOC =90°－∠A ；12证明：∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∠BOC +∠2+∠4=180°，即：∠A +180°－2∠2+180°－2∠4=180°，∠2+∠4=90°+∠A ，12∴∠BOC =180°－（∠2+∠4）=90°－∠A ；124.四边形外角∠1与∠2是四边形ABCD 的外角，结论：∠1+∠2=∠A +∠B ；5.飞镖模型BC∠BOC =∠A +∠B +∠C6. 与面积相关C如上图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点结论：图中，S △AOF = S △AOE = S △BOF = S △COE =S △BOD = S △COD二、典例解析【例1-1】（安徽淮南月考）如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP =50°，则∠A =( ).A ．60°B ．80°C ．70°D ．50°【例1-2】（平原县月考）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＋∠D ＝α，∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点P ，则∠P ＝( )A ．90°－αB ．90°＋αC ．αD ．360°－α121212【变式1-1】（陕西西安·高新一中月考）已知，如图，∠XOY =90°，点A 、B 分别在射线OX 、OY 上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．【变式1-2】（武城县月考）如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．（1）若∠ABC=75°，∠ACB=45°，求∠D的度数；（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．【例2-1】（广东模考）如图所示，∠的度数是（ ）A．10°B．20°C．30°D．40°【例2-2】（霍林郭勒市月考）如图1所示，称“对顶三角形”，其中，∠A＋∠B＝∠C＋∠D利用这个结论，完成下列填空.(1)如图(2)，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝；(2)如图（3），∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝；(3)如图（4），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝；(4)如图（5），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝．【变式1-1】（1）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系： ；（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ 度；（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．【变式1-2】（广东广州月考）如图，已知BC与DE交于点M，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为_______．【例3】（安徽淮南月考）某零件如图所示，图纸要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，当检验员量得∠BDC=145°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？【变式3-1】（山西盐湖期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，∠BG1C=70°，求∠A的度数．【变式3-2】（山东岱岳期末）如图1六边形的内角和为度，如图2123456∠+∠+∠+∠+∠+∠m 六边形的内角和为度，则________．123456∠+∠+∠+∠+∠+∠n m n -=【例4】（唐山市月考）如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，S △ABC =4平方厘米，则S △BEF 的值为（ ）A ．2平方厘米B ．1平方厘米C ．平方厘米D ．平方厘米1214【变式4-1】（山东历下期中）如图，△ABC 的面积为．第一次操作：分别延长，，至点1AB BC CA ，，，使，，，顺次连接，，，得到△．第二次1A 1B 1C 1A B AB =1B C BC =1C A CA =1A 1B 1C 111A B C 操作：分别延长，，至点，，，使，，，11A B 11B C 11C A 2A 2B 2C 2111A B A B =2111B C B C =2111C A C A =顺次连接，，，得到△，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过多少2A 2B 2C 222A B C 次操作（ ）A ．B ．C ．D ．4567【变式4-2】（台州市月考）在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，当AP = AD 时，与12PBC S 和 之间的关系式为：________________；一般地，当AP = AD （n 表示正整数）时，ABC S DBC S △1n 与和之间关系式为：________________．PBC S ABC S DBC S △【例5】（庆云县月考）探究与发现：（探究一）我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图①，∠FDC与∠ECD分别为ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系，并证明你探究的数量关系．（探究二）三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图②，在ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠A与∠P的数量关系，并证明你探究的数量关系．（探究三）若将ADC改成任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论直接写出∠A+∠B与∠P的数量关系 ．【变式5-1】（河南宛城月考）问题情景：如图1，中，有一块直角三角板放置在上ABC ∆PMN ABC ∆（点在内），使三角板的两条直角边恰好分别经过点和点．试问与P ABC ∆PMN PM PN 、B C ABP ∠是否存在某种确定的数量关系？ACP ∠（1）特殊探究：若，则________度，_________度，50A ︒∠=ABC ACB ∠+∠=PBC PCB ∠+∠=_________度；ABP ACP ∠+∠=（2）类比探索：请探究与的关系；ABP ACP ∠+∠A ∠（3）类比延伸：如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角PMN P ABC ∆PMN 边仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．PM PN 、B C【变式5-2】（吉林宽城期末）将三角形纸片沿折叠，使点落在点处．ABC DE A 'A （感知）如图①，若点落在四边形的边上，则与之间的数量关系是'A BCDE BE A ∠1∠．（探究）如图②，若点落在四边形的内部，则与之间存在怎样的数量关系？'A BCDE A ∠12∠+∠请说明理由．（拓展）如图③，若点落在四边形的外部，，，则的大小为 'A BCDE 180∠=︒224∠=︒A ∠度．三、习题专练1. （安徽淮南月考）如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝_____．2．（惠州市光正实验学校月考）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC 与∠BCD 的平分线的交点E 恰好在AD 边上，则∠BEC =（ ）A ．∠A +∠D ﹣45°B ．（∠A +∠D ）+45°12C ．180°﹣（∠A +∠D ）D ．∠A +∠D 12123.（山东潍坊期末）如图，点D 是△ABC 的边BC 的延长线上的一点，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，依此类推…，已知∠A ＝α，则∠A 2020的度数为_____．（用含α的代数式表示）．4．（信阳市月考）如图，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，∠BAC =80°，BE 、CF 相交于D ，则∠BDC 的度数是_______．5．（惠州市月考）如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =___________________度．6.（商城县月考）如图，△ABC的两个内角平分线相交于点P，过点P向AB，AC两边作垂直线l1、l2，若∠1=40°，则∠BPC=_________．7.（临沭县月考）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝_____．8.（霍林郭勒市月考）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2018为_____．9．（四川师范大学附属中学期中）如图，已知△ABC 中，∠A ＝60°，点O 为△ABC 内一点，且∠BOC ＝140°，其中O 1B 平分∠ABO ，O 1C 平分∠ACO ，O 2B 平分∠ABO 1，O 2C 平分∠ACO 1，…，O n B 平分∠ABO n ﹣1，O n C 平分∠ACO n ﹣1，…，以此类推，则∠BO 1C ＝_____°，∠BO 2017C ＝_____°．10．（重庆月考）如图，分别为四边形的边的中点，并且图中四个小,,,E F G H ABCD ,,,AB BC CD DA 三角形的面积之和为，即，则图中阴影部分的面积为____．112341S S S S +++=11．（江苏邗江期末）（1）如图1，AB ∥CD ，点E 是在AB 、CD 之间，且在BD 的左侧平面区域内一点，连结BE 、DE ．求证：∠E =∠ABE +∠CDE ．（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．12．（莆田月考）如图，点D为△ABC的边BC的延长线上一点．（1）若∠A∶∠ABC=3∶4，∠ACD=140°，求∠A的度数；（2）若∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P．试探究∠PCM与∠A的数量关系．13. （全国月考）如图，四边形ABCD中，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD = β．（1）如图①，若α＋β= 150°，求∠MBC＋∠NDC的度数；（2）如图①，若BE与DF相交于点G，∠BGD = 30°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图②，若α = β，判断BE 、DF 的位置关系，并说明理由．14.（贵州赫章期末）数学问题：如图，在中，的等分线分别交ABC 20,,A ABC ACB ∠=∠∠ 2020于点根据等分线等分角的情况解决下列问题：12102020,,.....,,,O O O O 2020（1）求的度数．1BO C ∠（2）求的度数．3BO C ∠（3）直接写出的度数．2020BO C ∠15.（山西月考）综合与实践：阅读下面的材料，并解决问题．（1）已知在中，，图1，图2，图3中的的内角平分线或外角平分线都交于点ABC ∆60A ∠=︒ABC ∆，请直接写出下列角的度数如图1，_________；如图2，_________；如图O O ∠=O ∠=3，_________；如图4，，的三等分线交于点，，连接，则O ∠=ABC ∠ACB ∠1O 2O 12O O _________．21BO O ∠=（2）如图5，点是两条内角平分线的交点，求证：．O ABC ∆1902O A ∠=︒+∠（3）如图6，在中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，ABC ∆ABC ∠ACB ∠1O 2O 1115∠=︒，求的度数．2135∠=︒A ∠16.（福建永安期末）（1）如图1．在△ABC 中，∠B =60°，∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，则∠O = °，（2）如图2，若∠B =α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O 的大小；（3）如图3，若∠B =α，，则∠P = （用含α的代数式11,PAC DAC PCA E n n AC ∠=∠∠=∠表示）．17.（重庆市璧山区青杠初级中学校初二期中）如图，在△ABC 中，已知于点D ，AE 平分AD BC ⊥()BAC C B ∠∠>∠（1）试探究与的关系；EAD ∠C B ∠∠、（2）若F 是AE 上一动点，当F 移动到AE 之间的位置时，，如图2所示，此时FD BD ⊥的关系如何？EFD C B ∠∠∠与、（3）若F 是AE 上一动点，当F 继续移动到AE 的延长线上时，如图3，，①中的结论是否FD BC ⊥还成立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论.。

基本的几何图形与性质在我们的日常生活中，几何图形无处不在。

从我们居住的房屋结构，到我们行走的道路形状，再到我们使用的各种物品的外观设计，都离不开几何图形的身影。

几何图形不仅具有美观的外在表现，更重要的是它们各自具有独特的性质，这些性质在数学、科学、工程以及日常生活中都有着广泛的应用。

首先，让我们来认识一下最基本的几何图形——点、线、面、体。

点，是构成几何图形的最基本元素，它没有大小和形状，只是一个位置的标识。

想象一下在一张纸上用铅笔轻轻点一个小点，那个小点就是一个点的形象。

线，是由无数个点沿着一定的方向依次排列而成的。

它可以是直的，也可以是弯曲的。

直线是最简单的线，它没有弯曲，两端可以无限延伸。

而曲线则有着各种各样的形状，比如圆的周长就是一条曲线。

线的性质包括长度、方向等。

面，是由线沿着一定的轨迹运动所形成的。

常见的面有平面和曲面。

平面就像是一个非常平整的桌面，没有任何弯曲和起伏；曲面则像是一个球体的表面，有着流畅的弯曲度。

体，是由面围成的具有一定空间的几何体。

比如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等等。

体具有体积和表面积等重要的属性。

接下来，我们详细了解一些常见的几何图形及其性质。

三角形，这是一种非常常见且重要的几何图形。

它由三条线段首尾相连组成。

三角形具有稳定性，这一性质在建筑和工程中被广泛应用。

比如，自行车的车架通常会设计成三角形，就是利用了它的稳定性，使自行车在行驶过程中更加稳固。

三角形根据边的长度关系可以分为等边三角形（三条边长度相等）、等腰三角形（两条边长度相等）和不等边三角形（三条边长度都不相等）。

根据角的大小关系，又可以分为锐角三角形（三个角都小于 90 度）、直角三角形（有一个角等于90 度）和钝角三角形（有一个角大于 90 度）。

正方形，它的四条边长度相等，四个角都是直角。

正方形具有对称性，沿着对角线对折可以完全重合。

而且，正方形的面积等于边长的平方。

长方形，与正方形类似，它的四个角也是直角，但对边长度相等。