一个基本图形的应用

矩形的认知与应用矩形是一种常见的几何图形，由四条边和四个角组成。

在生活和工作中，我们经常会遇到矩形，它不仅可以帮助我们解决问题，还有许多应用。

本文将探讨矩形的认知和应用，并介绍其在不同领域中的具体应用。

一. 矩形的基本特征矩形是一种特殊的四边形，具有以下基本特征：1. 四个内角均为直角（90度）。

2. 相对边长度相等，两两平行。

3. 对角线相交于中点并互相平分。

二. 矩形的认知与思维拓展矩形不仅仅是一种几何图形，它的认知对于培养思维能力和空间想象力具有重要作用。

以下是矩形在认知和思维拓展中的具体应用：1. 图形识别与类比推理通过学习矩形的特征，我们可以将这些特征应用到其他几何图形上，进行图形的识别和类比推理。

例如，我们可以根据矩形的特征，判断一个图形是否为矩形，或者将其他几何图形与矩形进行对比，找出它们之间的相似之处或差异之处。

2. 空间想象与构建在解决空间问题时，矩形的认知能力可以帮助我们更好地理解和构建三维物体。

例如，我们可以通过将矩形进行旋转、平移或缩放，来构建立方体、长方体等复杂的空间结构。

这对于建筑设计、工程规划等领域具有重要意义。

3. 问题解决与创新思维矩形的认知能力还可以培养我们的问题解决与创新思维能力。

通过运用矩形的特征，我们可以将问题进行拆解和重组，找到解决问题的新思路。

这对于创造性思维、算法设计等方面具有重要价值。

三. 矩形的应用领域由于矩形具有明确的特征和稳定的结构，它在许多领域都得到了广泛的应用。

以下是矩形在不同领域中的具体应用：1. 建筑与设计领域矩形的稳定结构使其成为建筑和设计领域中常用的基本元素。

建筑师可以通过运用矩形的特征，设计出稳定和谐的建筑结构。

同时，矩形也可以用于规划室内空间，如布局家具、制定墙面装饰等方面。

2. 计算机图形学计算机图形学是矩形应用的另一个重要领域。

矩形可以作为图形学中的基本元素，用于构建复杂的图形界面、三维建模和虚拟现实等方面。

通过利用矩形的特征，我们可以实现图像的变换、渲染和处理等功能。

四边形的基本认识了解不同四边形的特点与分类四边形的基本认识：了解不同四边形的特点与分类四边形是几何学中的基本图形之一，它具有四条边和四个角。

四边形的独特之处在于它具备多种不同特点和分类方式。

通过对四边形的深入了解和分类，我们可以更好地理解和应用它们在各个领域中。

本文将介绍四边形的基本认识，包括特点、分类和应用。

一、对四边形的基本认识四边形的特点是具有四条边和四个角。

四边形的边可以是任意长度和任意方向，但四边形的对角线却有一些固定的特点。

对角线是连接四边形的两个非相邻顶点的线段。

对角线可以划分四边形为两个三角形，并且有一些特定的长度关系和性质。

二、不同四边形的特点与分类根据四边形的不同特点，我们可以将四边形分为以下几种常见的分类：1. 矩形矩形是一种特殊的四边形，它的特点是四个角都是直角，即每个内角都为90度。

另外，矩形的对边长度相等，且对角线相等。

矩形的特性使其在建筑、设计和计算机图形学等领域得到广泛应用。

2. 正方形正方形也是一种特殊的矩形，它的特点是四边长度相等，四个角都是直角。

正方形的对角线相等且垂直平分。

正方形的特性使得它在数学、几何学和日常生活中都有广泛的应用，如地板砖、棋盘等。

3. 平行四边形平行四边形是指具有相对的平行边的四边形。

它的特点是对边长度相等，且对角线不相交。

平行四边形的特性使得它在计算机图形学、建筑设计和物理测量等领域有着广泛的运用。

4. 梯形梯形是一种具有两条平行边的四边形，其特点是两条底边平行，且两对角线不相交。

梯形的特性使其在建筑设计、土木工程和数学教学中有广泛的应用。

5. 菱形菱形是一种特殊的平行四边形，其特点是所有边长度相等，且对角线互相垂直且平分。

菱形在设计、图形学和日常生活中被广泛应用，如钻石形状、菱形交通标志等。

三、四边形在实际应用中的意义四边形作为一种基本的几何图形，广泛应用于各个领域。

它们在建筑设计、土木工程、计算机图形学和日常生活中发挥着重要的作用。

由一个基本图形的衍生所想到的……—— “相似三角形性质应用的专题研究课”课堂实录与评析1 引言解综合题的关键在于思路.一道综合题,往往可以分解成若干个基本问题(基本图形).分解好了,解题思路的形成也就水到渠成.因此,基本图形(基本方法)的重要性就凸显出来.但如何才能让学生对此有深刻的体验与感悟呢?2011年4月,浙江省教育厅“百人千场”数学学科送教下乡活动在浙江磐安县安文初中举行.笔者以此为设计思路,执教了一节“相似三角形性质应用的专题研究课”,受到了与会教师和送教专家的好评.现将课堂教学实录与点评整理如下,供各位同仁参考.2 教学实录2.1 原题呈现,感知模型引例 如图1所示,有一块锐角三角形余料ABC,它的边BC=12cm ,高线AD=8cm ,现要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC 上,其余两个顶点分别在AB,AC 上.问加工成的正方形边长为多少cm ?（学生经过几分钟的思考,基本都可以得出答案）生1:设正方形的边长为x cm .∵PN ∥BC,∴△APN ∽△ABC,∴PN AE BC AD =(相似三角形的对应高之比等于相似比) 即8812x x -=,得8.4=x ,∴正方形的边长为4.8cm . 师:回答的很好,是否还有其它建立等量关系的方法?生2:我用面积法.设正方形的边长为x mm .由S △ABC = S △APN + S 正方形PQMN + S △PBQ + S △MNC 得,12821)8(21)12(212⨯⨯=-++-x x x x x ,解得8.4=x ,∴正方形的边长为4.8cm . 师:真棒!对于数学问题,我们常常可以尝试从不同的途径进行思考.一题多解,有助于拓展我们的思维,开阔我们的视野.当然,希望同学们结合下面的变化图,思考这个基本图形的本质是什么?[点评]通过课本典型例题的复现与解决,为学生运用基础知识,感知基本模型营造了和谐的氛围,间接的消除了学生上公开课的紧张感,使学生能轻松的投入到学习过程之中.而引导思考解决问题的不同策略,既有效发展了学生思维的灵活性,也意在消除学生的思维定势.2.2 适度变化,理解模型例1 已知△ABC 中,BC=12,BC 边上的高AD=8,(1) 若并排放置的2个相等的小正方形组成的矩形,内接于△ABC(如图2),则小正方形的边长为多少? 并排放置3个小正方形呢?(有了与前面问题的类比,学生很快就举手了)生3:作AD ⊥BC 于D(如图3),设正方形边长为x ,则PN=2x ,AE=8x -.由△APN ∽△ABC 可得,247x =. 类似的,并排放置3个小正方形时,小正方形的边长为924. (2)如图4,若并排放置小正方形有n 个,则这时小正方形的边长又为多少?（部分学生马上举手示意）生4:小正方形的边长为2423n +. 师:你是怎么得到的呢？生4:看到前面的答案分别是245,247,249,就猜想内接n 个时,边长应为2423n +. 师:很好!通过数据的变化特点去发现规律,是数学归纳的重要方式.但合理的猜想仍需要严密的推理证实,同学们能证明吗？生4:设正方形边长为x ,则PN=nx .由相似得8812x nx -=,∴2423x n =+,故猜想正确. 师:太棒了.观察分析、尝试猜想、推理证明是学习数学的基本方法,同学们平时要经常加以运用.下面让我们把问题更一般化.例2 如图5,已知△ABC 中,BC=12,BC 边上的高AD=8,四边形PQMN 为△ABC 的内接矩形.(1)设PQ=x ,你能求出PN 的长吗?(用含x 的代数式表示）生5:还是采用上面的方法.由相似得8812x PN -=,解得1223+-=x PN (2)记矩形PQMN 的面积为S,求S 的最大面积.生5:S=PQ ·PN=x x 12232+-(0＜x ＜8),则当42=-=a b x 时,max 24S =. 师:由上述解答可以清晰的发现,在这个基本图形中,因PN ∥BC,故有△APN ∽△ABC,于是由性质可知PN 与AE 之间便存在等量关系,从而PQ(ED)与PN 之间也存在等量关系.若这两者之间自身还存在数量关系,就可利用方程模型求解.[点评]这两个变式,看似变化不多,难度不大,却使学生进一步体验到基本图形与基础知识的重要性,初步理解了基本图形所蕴含的本质,突出了本课的主题.而从特殊到一般,从类比到猜想,从方程到函数模型等数学思想方法的有机渗透,则较好实现了数学教学中知识与方法,过程与结果的和谐统一,润物无声.2.3 动中求静,应用模型例3 如图6,在锐角△ABC 中,BC=12,△ABC 的面积为48,D ,E 分别是边AB ,AC 上的两个动点（D 不与A ,B 重合）,且保持DE ∥BC ,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(1)当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时,求正方形DEFG 的边长. 图4 图 5图 6F G E D CB A师:请同学们画出图形,并求解.生6(黑板上画出图7后):就是原题呈现的情况,这时边长应为4.8.（下面的学生纷纷表示赞同） 师:我发现同学们对这个基本图形印象深刻!好,请继续看下面的问题.(2)设DE =x ,△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于 x 的函数关系式及x 的取值范围,并求出y 的最大值. 师:请同学们思考,随着DE 的运动,重叠部分会有哪些变化,（一位学生上黑板画出了图8-1和8-2）生7:有两种不同的情况,所以要进行分类讨论.师:很好!那应该如何分类？生7:以边GF 所在位置进行分类,有边GF 在△ABC 内部和△ABC 外部两种,以边GF 在BC 上为临界.师:回答的真好!那就请同学们来解决这个问题,并思考与前面问题之间的联系.生8:①当正方形DEFG 在△ABC 内部(含边界)时,0 4.8x <≤,此时y 就是正方形DEFG 的面积,即2y x =,最大值为24.823.04=;②当边GF 在正方形外部时,就是例2的情况,此时4.812x <<,过A 作AP ⊥BC 于P,交DE 于H,由△ADE ∽△ABC 可得,PH=x 328-, ∴x x x x y 832)328(2+-=-=,当62=-=ab x 时,y 有最大值,且最大值为24. 因24＞23.04,所以重叠部分的最大面积为24.师:看来,熟悉了基本图形确实能使我们在解题时如虎添翼.那么,这个基本图形还可以作哪些变化呢,让我们继续加以体会.[点评]由静到动,看似一小步,实则是多数学生数学学习过程中的一大难点.但王老师在教学中没有直接展开讲解,而是先让学生动手实践来感知图形的变化特点,从而产生了分类解决的方法,于是难点突破就变得顺理成章,也为后续问题的解决奠定了方法基础.同时,在前后问题的比较中也让学生进一步体会到基本模型的应用价值,强化了本课主题.2.4 深化模型,提高认知例4 如图9,锐角△ABC 中,BC=12,AH ⊥BC 点H,且AH=8,点D 为AB 的任意一点,过点D 作DE ∥BC,交AC 于点E,AH 于F.设AF 为x (0＜x ＜8)以DE 为折线将△ADE 翻折,所得△DE A '与梯形DBCE 重叠部分的面积记为 y (点A 的对称点A '落在AH 所在直线上）.请问,当x 取何值时,y 的值最大?最大值是多少？ 师:请仔细理解题意,并思考随着DE 的运动,重叠部分图形有哪些变化,分界点在哪里,C B 图 8-2图 8-1CB 图 9A A能画出来吗?生9:有两种情形.一种如图9,重叠部分是三角形;另一种如图10,重叠部分为梯形,DE 是三角形的中位线时分界.师:看来,理解了图形的变化规律也就掌握了分类的方法.但是如何来求这个梯形的面积呢?前面的基本图形还适用吗?生10:适用.用两次基本图,即用△ADE ∽ABC 求DE,用△'''E D A ∽△DE A '求''E D . (见学生都表示理解了)师:那下面就请大家具体的求一下吧.(过了一会)生10:当0＜x ≤4时,y 就是△ADE 的面积,由相似知DE=x 23,所以243x y =,故当4=x 时,y 有最大值12.当4＜x ＜8时,利用△'''E D A ∽△DE A '可得F A H A DE E D ''''=,即xx x x E D )8(5.1''--=,∴123''-=x E D . 则482449)8)(12323(212-+-=--+=x x x x x y ,故当316=x 时,y 有最大值16. 因16＞12,所以当8=x 时,重叠部分的最大面积为16.师:这么繁琐的数据计算居然没有一点问题,这位同学的运算能力真强.但老师还是想请大家再思考下,是否有直接计算面积的方法呢?生11:用面积比与相似比的关系呀!由△'''E D A ∽△DE A '得22''')82(43x x x S E D A -=∆, 所以2''')4(3-=∆x S E D A ,于是482449)4(343222-+-=--=x x x x y .…… 师:这位同学的知识掌握得很全面,这也说明根据目标来选择方法可以使我们少走弯路. 下面让我们再用几何画板演示一下动态的变化过程,希望能加深大家的理解(过程略).[点评]从矩形面积过渡到梯形面积的计算,就不仅仅是模仿运用了,它能有效促进学生的抽象能力,模型识别能力与迁移能力的提高,提升了思维的深度,也使学生在图形的变化过程中感悟了万变不离其宗的道理,而问题解决过程中的方法优化,则强化了学生的目标意识与思维监控能力.而最后几何画板工具的使用,既给学生的几何直觉以有力的支撑,又关注了数学学习中的“弱势群体”,体现了王老师面向全体的教学理念.2.5 归纳小结,反思提高请同学们就本节课的学习情况进行一下回顾与总结.……师:同学们都说得很好,把这些发言归纳起来,主要是:运用性质“相似三角形的对应高之比等于相似比”,可以解决了一类长度(面积)而在具体的解决问题过程中,我们还运用了从特殊到一般,类比、猜想、归纳,分类讨论等数学基本思想方法.通过学习,我们对基本模型的重要性想必有了更新的认识,希望同学们在今后的学习中勤于观察,善于比较,提炼本质,有效运用.唯有如此,才能真正提高数学学习的效率,才能有效发展思维能力.3 总评对基本图形(基本方法)的感悟、理解与运用,主要靠学生在平时的学习过程中,通过有意识的观察思考、实践比较、分析提炼、有效运用等才能得以实现,这也正是衡量学生数学能力与数学素养的重要依据.但这样的工作能否以专题研究课的形式予以强化与指导,王老师的这节课给我们带来了可供借鉴的研究样本.3.1 谋篇布局,构思精巧高效的课堂源自于有效的教学设计.纵观本节课,王老师以“相似三角形对应高之比等于相似比”这一重要性质的应用为主要认知线索,以教材中的范例(求三角形的内接正方形边长)为原型,并精心选择了与此相关联的四个变式问题展开研究,层层深入,变化有度,衔接自然.其中,从水平变式到垂直变式的渐变,突出了过程体验,强化了对基本图形的本质理解.而从几何到代数的综合,从方程到函数模型的构建,从静态图形到动态图形的变化,从图形的平移到折叠变换,则能使学生完善认知网络,丰富图形认知,促进方法理解,提高思维能力.这样的设计,较好地遵循了学生的学习规律,为达成本课的学习目标创设了适切的载体,也有利于促进学生主动的学习,彰显了教师的教学智慧.3.2 方法为先,思维为本数学不仅仅是一种重要的“工具”和“方法”,更重要的是一种思维模式.因此,增强学生的数学概括和抽象能力,提升其思维能力是数学教学的重要任务.就本课而言,较好的体现了这一点.一是学生亲历了问题的发生与发展过程,对基本图形本质及其作用的理解是在充分的体验过程中得以逐步领悟的,这些数学思维活动留给学生的感受是非常深刻的,对于学生今后深入理解图形性质,关注图形之间联系,从复杂图形中分离基本图形,提高图形分析能力等都会带来积极的影响;二是在具体解决问题的过程中,有机的渗透从特殊到一般,分类讨论,数形结合,方程及函数等思想方法,让学生在必要的观察、猜想、类比、推理与交流中感悟这些思想方法的概括与内化过程,对于唤醒学生的认知内驱力,促进他们的思维发展,进而形成有效的思维策略有着显著的效果,也充分体现了数学教育的价值.3.3 过程流畅,氛围和谐在课堂上可以看到,在以变式生成的问题串的科学引领下,伴随着问题解决过程中不断的成功体验,以及教师适时的激励评价,激发了学生积极的情感体验与学习热情,使得绝大多数学生都被卷入到积极的数学思维活动中来,这种和谐学习氛围的创设,极大提高了学生的自主学习能力与主动参与意识.而本课中问题的思路基本都是学生提出,方法由学生补充,解答由学生完成,而教师则退居幕后,仅在思维展开的疑难处,思路形成的困惑点及时介入、点拨指导.这种教与学的方式,看似平淡,却于无深处有惊雷,真实体现了数学学习的基本规律与数学思维方式的基本特点,也较好贯彻了“学为主体、教为主导”的教学理念.3.4 值得思考的问题教学永远是一门遗憾的艺术,没有最好,只有更好.从这个意义上讲,下面几个问题或许值得我们深思.3.4.1 更好理解变式教学的内涵.设计变式的目的,意在更好促进学生感悟数学方法,理解数学本质.就本课而言,让学生感悟、提炼基本图形的本质,并迁移运用应是教学的核心目标,为此,设计从引例到例2的三个变式,就是承载此目标的工具.但在教学中我们遗憾的看到,这里的提炼与概括都是教师帮助完成的.从教学行为分析,主要是老师担心学生讲不好而怕耽误时间,因为后面2个例题的安排显然是本课的重头戏.而从学生角度分析,虽然三个系列变式彼此相关,但要从中提炼本质,恐怕也还是有一定难度的.因此,是否可以考虑把这三个例题整合成引例的三个系列问题,即从求内接正方形边长→求两邻边长存在等量关系的内接矩形边长(如PQ:PN=2:5)→变任意内接矩形(用几何画板演示),问这些矩形中是否最大面积的矩形?这样就能使问题之间更连贯,内在结构更紧密,层次之间更清晰,也更符合学生的认知规律.从而也就有利于学生领悟图形本质,也能为后续学习留出必要的时间与空间.3.4.2 正确把握铺垫的意义.在学生的认知障碍点、思维困惑处进行适当的铺垫,其目的在于为学生搭建“思维的脚手架”,从而为教师引导学生自主探究、突破教学难点提供一条思维通道.因此,设置铺垫必须认真考虑学生原有的认知起点与认知能力.从这个意义上讲,本课设置的一些铺垫就值得商榷.如例2中为求矩形的最大面积,先设计了用x表示PN的长.这样的设计过于直白,同时也把本题蕴藏的教育功能(模型意识,关系意识等)异化成机械的运算操练,这显然不是编制本题的用意所在.实际上,求内接矩形的最大面积,自然会引发学生联想函数模型,而要构建函数模型,自然也能想到用x表示PN的长.同样,例3中先求临界状态时正方形边长的设计,有为求而求的嫌疑.从逻辑上讲,要求重叠部分的图形面积,首先要思考图形的形状是否有变化,若无变化,该如何求?若有变化,则必须考虑有哪几类变化,分界点分别在哪里?这样的引导,才能赋予学生一般有用的思维策略,也是数学教学的本质所在.故此,正确认识铺垫的意义,才能科学合理的进行问题设计,也能更好促进学生的思维发展. 另外,本课教学中教师若能更大胆一些,在适当的引领与启发下放手让学生参与问题变式的引申或改编,或许能激发学生更为浓厚的学习兴趣与更强的主体参与意识,从而亦使教学效果更加优化.当然,这也是一个非常值得研究的课题.作者简介:[1]王宝金.1981年11月出生,浙江绍兴人,现为浙江绍兴县柯岩中学数学教研组长.主要从事初中数学课堂教学研究.联系电话:[2]张宏政.1968年3月出生,浙江定海人,现为浙江舟山南海实验初中教学管理处主任,是舟山市学科带头人,曾在省级以上数学期刊发表学术文章30多篇,参编竞赛书籍多本.主要从事初中数学教学研究.联系电话:。

认识基本图形图形是我们日常生活中常见的元素，无处不在。

我们通过观察和学习，不仅可以认识各种图形的形状和特征，还能发现它们在实际应用中的作用。

本文将介绍一些常见的基本图形，以及它们在我们生活中的应用。

1. 圆形圆形是最基本的图形之一，具有无限个点到圆心的距离相等的特点。

在我们日常生活中，圆形的应用广泛，例如轮胎、饮料瓶盖、硬币等都是圆形。

此外，在建筑设计中，圆形的窗户和拱门等也被广泛使用，给人以柔和、温暖的感觉。

2. 正方形正方形是四边相等、四个角都是直角的特殊四边形。

在我们的生活中，正方形也随处可见。

例如电视屏幕、纸张、书籍以及家具等都常用正方形作为基本形状，给人以稳定和整齐的感觉。

3. 矩形矩形是一个拥有四个内角都是直角，相对边两两相等的四边形。

它与正方形相似，但边长可以不相等。

在我们的生活中，矩形的应用非常广泛。

例如电视、计算机屏幕，书桌等通常都是矩形的形状。

4. 三角形三角形是一个拥有三个内角和三条边的图形。

根据其边长和角度的不同，我们可以将三角形分为等腰三角形和直角三角形等。

三角形在我们的生活中也有很多应用。

例如，指南针是一个由三角形构成的形状，道路的交通标志中也常见到三角形的图案。

5. 梯形梯形是一个拥有两对平行边的四边形。

梯形的上底和下底可以是不等长的。

在我们的生活中，梯形的形状也常见。

例如，电视塔、摩天大楼的外形往往呈现梯形，给人以稳重的感觉。

认识基本图形不仅仅是了解其形状，还要掌握它们在几何学和实际生活中的应用。

通过对图形的认识，我们可以更好地理解数学和几何学的知识，同时也能够更好地理解和使用我们身边的各种事物。

希望本文能为大家提供一些关于基本图形的认识和启发。

以上是对基本图形的简要介绍。

在日常生活中，我们可以通过观察和学习，不断探索和认识更多的图形。

了解基本图形的形状和特征，能够帮助我们在解决实际问题时更准确地把握和运用几何学的知识。

通过不断地学习和实践，我们可以培养自己独特的观察力和创造力，加深对图形及其应用的理解，同时也为我们的未来学习和职业发展打下坚实的基础。

完美图形知识点总结一、基本图形1. 点：点是图形的最基本的元素，其不具备长度、宽度和高度，仅有位置。

用大写字母表示。

2. 线段：线段是由两个点确定的一条直线的那一部分。

有长度但无宽度。

用小写字母表示。

3. 射线：射线是由一条直线和一点构成的，这个点叫做射线的起点。

它在一端延伸。

用单个字母表示。

4. 直线：直线是由若干个点确定的，在平面上无限延伸的长度，可以是直的也可以是弯曲的。

用小写字母表示。

5. 角：角是由两条射线相交构成的，其端点为顶点，两条射线分别为角的两边。

用三个字母表示。

6. 多边形：多边形是由若干条线段相连而成的图形，其中相邻的线段仅有一个公共端点。

例如：三角形、四边形、五边形等。

二、图形的性质与特征1. 对称性：图形在某条直线或某点处的镜像重合。

2. 平行性：两个图形的边或边的延长线永不相交。

3. 垂直性：两个相交的线段之间的夹角为90度。

4. 形状性：图形的形状可以通过旋转、翻转和拉伸等方式变换。

5. 等边性：图形的所有边长相等。

6. 等角性：图形的所有角度相等。

7. 近似性：两个形状相似但不完全一致。

8. 比例性：两个形状的边长、角度和面积都成一定的比例关系。

三、图形的应用1. 建筑设计：在建筑设计中，图形的应用非常广泛，从建筑的平面图到各种立体图形的设计，都需要对图形有深入的了解。

2. 工程制图：在工程制图中，图形是工程师设计和表达工程结构的重要手段，需要精确的图形知识。

3. 艺术设计：在艺术设计领域，图形是创作的基础，可以以各种形式表现出来，如平面、立体、装饰等。

4. 科学研究：在科学研究中，图形被用来表达和解释数据、观测结果等，如曲线图、散点图等。

5. 数学应用：在数学中，图形是抽象概念的具体表现，有助于理解和应用数学知识。

综上所述，图形知识点的掌握对我们的生活和工作都非常重要。

只有深入了解图形的基本元素、性质与特征以及应用场景，才能更好地应用图形知识，拓展自己的思维和视野。

几种基本图形性质与作用一、线段的性质和线段中点的功能 应掌握好：1、线段的两种变换性质；2、线段中点的三项功能。

1、线段的变换性质从“变换”的角度说，线段既是轴对称图形（它所在的直线和它的垂直平分线都是对称轴），又是中心对称图形（中点就是对称中心）例1 如图，ABC ∆是任意三角形，请画出BC A '∆和ABC ∆具有全等的关系。

【观察与思考】如果把要画的BC A '∆看作是由ABC ∆变换而来的，那么这个变换使线段BC 变成自身，联想到线段的变换性质，就应有三种结果。

（1）（2）解：如图（2）（其中直线1l 是BC 所在的直线，点1A 为点A 关于直线1l 的对称点；直线2l 是线段BC 的垂直平分线，点2A 为点A 关于直线2l 的对称点；点O 是线段BC 的中点，点3A 和点A 关于点O 为对称。

BC A BC A BC A 321,,∆∆∆都和ABC ∆全等。

【证明】正是线段的变换性质成为本题解法的基础和向导的。

2、线段中点的三项功能（1）构造三角形的中线，特别是直角三角形的中线三角形的中线，特别是直角三角形斜边上的中线，在相关问题的解决中常有重要的作用。

例2 如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AG//DB ，交CB 延长线于点G 。

若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论。

【观察与思考】首先，由，GB//AD ，AG//DB ，知四边形AGBD 已是平行四边形，其次， 由四边形BEDF 是菱形，而点E 是AB 的中点，即ED 是ABD ∆中AB 边上的中线，且 DE=EB=AE ，立刻知道︒=∠90ADB ，即四边形AGBD 是矩形。

解：（略）BACABC1A3AO1l2l2ACF【说明】正是由对直角三角形斜边上中线性质的深刻认识，直接诱发出 从DE=EB=AE ，导出︒=∠90ADB 。

（2）构造三角形的中位线例3 如图（1），已知，AD 是ABC ∆的中线，E 是AD 上一点，连结CE 并延长交AB 于点F 。