一个“基本图形”的研究

正方形的认识正方形是一种具有四条相等边和四个内角都是直角的特殊四边形。

它是几何学中最基础的图形之一，也是我们生活中常见的形状之一。

正方形作为一种基本图形，拥有着许多有趣的几何特性和应用。

在本文中，我们将从不同的角度来认识正方形。

一、正方形的定义和基本特性正方形的最基本的定义是拥有四条相等边和四个内角都是直角的四边形。

正方形的四条边长和四个角度都是相等的。

具体表现出来就是正方形的对边平行且相等，且每个内角都是90度。

一个以a为边长的正方形的面积为a²，周长为4a。

二、正方形的性质和应用正方形拥有着许多有趣的性质和应用。

以下列举几个具有代表性的例子。

首先，正方形可以划分为多个等边三角形。

正方形的对角线长相等，也就是说正方形可以被视为两个相等的等腰直角三角形的组合。

这意味着，在三角函数的计算中，正方形可以被用作重要的基础图形。

其次，正方形可以完全包含在一个圆形内。

正方形包含在这个圆形内的意思是指，圆的直径等于正方形的对角线长。

这个性质被广泛地应用到制作军用地图和方位图中。

另一个重要的应用是在计算机图形学中。

在许多计算机程序中，正方形被用作基本的图形单元。

例如，许多计算机屏幕都是正方形的像素单元网格。

最后，正方形还有着很多有趣的几何性质，例如正方形的内切圆和外接圆大小和位置的关系、正方形对角线的长度关系等等。

这些性质不仅在数学领域被广泛研究，也在生活中得到了广泛的应用。

三、如何更好地认识正方形认识正方形的最好方法是通过观察现实生活中的事物并联系数学理论和公式。

我们可以观察到一些简单的事物，例如：考试作业的纸张通常为正方形；街道上的交马路口等标志也常以正方形的形式出现；许多建筑（例如房屋或建筑群）也可以被视为几乎正方形的形状。

此外，我们还可以结合一些简单的实验来更好地认识正方形。

例如，我们可以用两根长度相等的木棒拼成一个正方形，然后再用比木棒较短的铁丝来拼成另一个同样大小的正方形，通过比较两个正方形的大小和角度，理解正方形的性质。

三角形的性质与关系三角形是几何学中研究得最为广泛的一个基本图形，其性质和关系的研究对于解决实际问题、推导几何定理等都具有重要意义。

下面将介绍三角形的常见性质和相应的关系。

1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每个线段都是一个边，两个边之间的交点称为顶点。

任意两个边都不能共线。

2. 三角形的分类根据边的长度和角的大小，三角形可以分为以下几类：(1) 等边三角形：三个边的长度相等。

(2) 等腰三角形：两个边的长度相等。

(3) 直角三角形：其中一个角为直角（90度）。

(4) 钝角三角形：其中一个角大于90度。

(5) 锐角三角形：三个角都小于90度。

3. 三角形的性质根据三角形的定义和分类，我们可以得出以下性质：(1) 等边三角形的三个角都是60度。

(2) 等腰三角形的两个底角相等。

(3) 直角三角形的直角边相对的两个角是锐角，其他两个角是钝角。

(4) 钝角三角形的最大角大于90度。

(5) 锐角三角形的三个角都是锐角。

4. 三角形的内角和三角形的内角和等于180度。

这是三角形最基本的性质之一。

可以通过以下方法来证明：(1) 在任意三角形中，我们可以做一个角平分线，将角分为两个相等的角，然后利用两个相等的角以及直线共线的性质，得出内角和等于180度。

(2) 利用三角形的外角和的性质，即三角形的外角和等于360度。

由于三角形的内角和和外角和相互补充，所以内角和等于180度。

5. 三角形的边长关系(1) 三角形两边之和大于第三边。

即对于边长为a、b、c的三角形，有a+b>c，a+c>b，b+c>a。

(2) 等边三角形的三边长度相等。

(3) 等腰三角形中，两个边的长度可以决定第三边的长度。

6. 三角形的角度关系(1) 三角形的内角和等于180度。

即三个角的度数之和为180度。

(2) 两个角的夹角等于第三个角的外角。

即两个角的夹角加上它们的外角等于180度。

综上所述，三角形具有丰富的性质和关系，通过研究可以发现很多有趣的几何定理。

图形与几何的知识点几何是研究空间和形状的数学分支，它包括了图形的定义、性质以及它们之间的关系。

几何知识在我们的日常生活中随处可见，它不仅帮助我们理解周围的世界，还培养了我们的空间想象力和逻辑思维能力。

本文将介绍几何学中的一些重要知识点，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、点、线和面在几何学中，最基本的元素是点、线和面。

点是没有尺寸和形状的，它只有位置。

线由一系列相邻的点组成，它没有宽度和厚度，只有长度。

面是由一条闭合的曲线围成的区域，它有长度和宽度，可以被看做是一个平面或曲面。

二、基本图形几何学中的基本图形包括了点、线和面以及由它们组成的其他形状。

其中，最简单的图形是圆和正方形。

圆是由一条曲线围成的，它的每个点到圆心的距离都相等。

正方形是一个四边形，它的四条边相等且四个角都是直角。

三、多边形多边形是由直线段组成的封闭图形，它的边都是直线段，每个顶点都与相邻顶点相连。

常见的多边形有三角形、四边形等。

三角形是由三条边和三个角组成的多边形，它的特点是三条边之和等于180度。

四边形是由四条边和四个角组成的多边形，根据边和角的性质，可以分为正方形、长方形、菱形等不同类型。

四、相似与全等在几何学中，相似和全等是重要的概念。

两个图形相似意味着它们的形状相似，但大小可能不同。

相似的图形具有对应边相互成比例的特点。

全等的图形则表示它们的形状和大小完全相同。

在判断两个图形是否全等时，需要比较它们的边和角是否一一对应。

五、平行和垂直平行和垂直是用来描述线段和直线之间关系的术语。

两条线段平行表示它们永远不会相交。

两条直线垂直意味着它们相交成直角。

平行和垂直的性质在解决几何问题中经常被使用。

六、三维几何除了二维几何外，几何学还涉及到三维空间中的形状和结构。

常见的三维图形有圆柱体、球体、长方体等。

圆柱体是由一个圆和一个平行于该圆的矩形组成的，它有一个曲面和两个平面。

球体是由所有与一个给定点的距离相等的点组成的，它没有边和角，只有曲面。

基本图形的几何学习方法几何学是数学的一个重要分支，研究空间中的形状、大小、相对位置以及它们的性质和变换规律等。

在几何学中，基本图形是最基础的概念之一，包括点、直线、线段、角、三角形、四边形、圆等。

学习基本图形的几何学方法对于培养孩子的观察能力、逻辑思维和解决问题的能力有着重要的作用。

本文将介绍几种基本图形的几何学习方法，帮助孩子们掌握这些基础知识。

1. 观察法观察法是最直接的学习方法之一。

孩子们可以通过观察周围的物体来认识和了解基本图形。

比如，学习正方形可以观察方形餐桌、正方形地砖等。

通过观察这些物体，孩子们可以发现正方形具有四条边，四个角都是直角等特点。

通过观察法，孩子们能够直观地了解基本图形的形状和特征。

2. 比较法比较法是将不同的图形进行对比，找出它们的共同点和不同点，从而看清它们的特征。

比如，当孩子们学习三角形和四边形时，可以将它们进行对比。

孩子们可以在纸上画出多个不同形状的三角形和四边形，并将它们进行比较。

通过比较，孩子们可以发现三角形有三个边，四边形有四个边，而且他们的形状和角度也不相同。

通过比较法，孩子们可以逐渐掌握不同基本图形的特点。

3. 创造法创造法是培养孩子们的想象力和创造力的一种方法。

通过让孩子们自由的创作图形，可以帮助他们更好地理解和掌握基本图形。

比如，给孩子们一些不同的形状的纸片，让他们自由地将这些纸片拼贴在一起形成新的图形。

通过创造，孩子们可以发现不同图形之间的联系和变换规律，从而更加深入地理解基本图形的特点。

4. 游戏法游戏法是一种利用游戏来学习的方法，可以让孩子们在轻松愉快的氛围中学习基本图形。

比如，可以设计一些相关的游戏，让孩子们通过游戏来认识和记忆基本图形。

例如，可以设计一个图形记忆游戏，让孩子们记住一些图形的特点，然后在一定的时间内回忆并拼凑出这些图形。

通过游戏法，孩子们可以在乐趣中提高对基本图形的理解和记忆能力。

5. 实践法实践法是将基本图形的学习与实际生活相结合的方法。

平面几何的基本图形平面几何是几何学中的一个分支，研究平面上的点、线、面及其相互关系。

在平面几何中，有一些基本图形是我们常见且重要的，它们是点、线、线段、射线、角、多边形、圆和曲线。

本文将会逐一介绍这些基本图形及其特征。

一、点（Point）点是平面上最基本的图形，用一个大写字母表示，如A、B、C。

点没有长度、面积和方向，只有位置。

点只有一个，不同的点可以有不同的位置。

在平面几何中，点是构成其他几何图形的基础。

二、线（Line）线由无数个点组成，无限延伸，没有宽度。

线段是有限的线，有两个端点。

线用两个大写字母表示，如AB、CD。

在平面几何中，线是连接两个点的直线路径。

三、线段（Line Segment）线段是两个点之间的有限线，有固定的长度。

线段用两个大写字母表示，并在两个字母之间加一条横线，如AB。

与线相比，线段具有确定的长度。

四、射线（Ray）射线起始于一个点，无限延伸，只有一个端点。

射线用一个大写字母及一个端点所在的小写字母表示，如OA，其中O为起点。

五、角（Angle）角是由两条射线共同起点组成的图形。

角用三个字母表示，中间的字母代表角的顶点，两边的字母分别代表两条射线。

例如∠ABC表示以点B为顶点，射线BA和射线BC所夹的角。

角可以根据其大小分为锐角、直角、钝角和平角。

六、多边形（Polygon）多边形是由多条线段连接而成的封闭图形。

多边形由至少三条线段组成，每个线段称为边，相邻边之间的交点称为顶点。

根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等。

最常见的多边形是三角形、四边形和五边形。

七、圆（Circle）圆是由一条曲线和平面上的一个点组成的图形，其中曲线称为圆周，点称为圆心。

圆周上的任意一点到圆心的距离都相等，这个距离称为半径。

用一个大写字母表示圆心，用圆心字母上方加一个小写字母表示圆周，如O、OA。

八、曲线（Curve）曲线在平面上呈现出曲折或弯曲的形状，没有直线的性质。

曲线可以是闭合的，也可以是不闭合的。

由一个基本图形的衍生所想到的……—— “相似三角形性质应用的专题研究课”课堂实录与评析1 引言解综合题的关键在于思路.一道综合题,往往可以分解成若干个基本问题(基本图形).分解好了,解题思路的形成也就水到渠成.因此,基本图形(基本方法)的重要性就凸显出来.但如何才能让学生对此有深刻的体验与感悟呢?2011年4月,浙江省教育厅“百人千场”数学学科送教下乡活动在浙江磐安县安文初中举行.笔者以此为设计思路,执教了一节“相似三角形性质应用的专题研究课”,受到了与会教师和送教专家的好评.现将课堂教学实录与点评整理如下,供各位同仁参考.2 教学实录2.1 原题呈现,感知模型引例 如图1所示,有一块锐角三角形余料ABC,它的边BC=12cm ,高线AD=8cm ,现要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC 上,其余两个顶点分别在AB,AC 上.问加工成的正方形边长为多少cm ?（学生经过几分钟的思考,基本都可以得出答案）生1:设正方形的边长为x cm .∵PN ∥BC,∴△APN ∽△ABC,∴PN AE BC AD =(相似三角形的对应高之比等于相似比) 即8812x x -=,得8.4=x ,∴正方形的边长为4.8cm . 师:回答的很好,是否还有其它建立等量关系的方法?生2:我用面积法.设正方形的边长为x mm .由S △ABC = S △APN + S 正方形PQMN + S △PBQ + S △MNC 得,12821)8(21)12(212⨯⨯=-++-x x x x x ,解得8.4=x ,∴正方形的边长为4.8cm . 师:真棒!对于数学问题,我们常常可以尝试从不同的途径进行思考.一题多解,有助于拓展我们的思维,开阔我们的视野.当然,希望同学们结合下面的变化图,思考这个基本图形的本质是什么?[点评]通过课本典型例题的复现与解决,为学生运用基础知识,感知基本模型营造了和谐的氛围,间接的消除了学生上公开课的紧张感,使学生能轻松的投入到学习过程之中.而引导思考解决问题的不同策略,既有效发展了学生思维的灵活性,也意在消除学生的思维定势.2.2 适度变化,理解模型例1 已知△ABC 中,BC=12,BC 边上的高AD=8,(1) 若并排放置的2个相等的小正方形组成的矩形,内接于△ABC(如图2),则小正方形的边长为多少? 并排放置3个小正方形呢?(有了与前面问题的类比,学生很快就举手了)生3:作AD ⊥BC 于D(如图3),设正方形边长为x ,则PN=2x ,AE=8x -.由△APN ∽△ABC 可得,247x =. 类似的,并排放置3个小正方形时,小正方形的边长为924. (2)如图4,若并排放置小正方形有n 个,则这时小正方形的边长又为多少?（部分学生马上举手示意）生4:小正方形的边长为2423n +. 师:你是怎么得到的呢？生4:看到前面的答案分别是245,247,249,就猜想内接n 个时,边长应为2423n +. 师:很好!通过数据的变化特点去发现规律,是数学归纳的重要方式.但合理的猜想仍需要严密的推理证实,同学们能证明吗？生4:设正方形边长为x ,则PN=nx .由相似得8812x nx -=,∴2423x n =+,故猜想正确. 师:太棒了.观察分析、尝试猜想、推理证明是学习数学的基本方法,同学们平时要经常加以运用.下面让我们把问题更一般化.例2 如图5,已知△ABC 中,BC=12,BC 边上的高AD=8,四边形PQMN 为△ABC 的内接矩形.(1)设PQ=x ,你能求出PN 的长吗?(用含x 的代数式表示）生5:还是采用上面的方法.由相似得8812x PN -=,解得1223+-=x PN (2)记矩形PQMN 的面积为S,求S 的最大面积.生5:S=PQ ·PN=x x 12232+-(0＜x ＜8),则当42=-=a b x 时,max 24S =. 师:由上述解答可以清晰的发现,在这个基本图形中,因PN ∥BC,故有△APN ∽△ABC,于是由性质可知PN 与AE 之间便存在等量关系,从而PQ(ED)与PN 之间也存在等量关系.若这两者之间自身还存在数量关系,就可利用方程模型求解.[点评]这两个变式,看似变化不多,难度不大,却使学生进一步体验到基本图形与基础知识的重要性,初步理解了基本图形所蕴含的本质,突出了本课的主题.而从特殊到一般,从类比到猜想,从方程到函数模型等数学思想方法的有机渗透,则较好实现了数学教学中知识与方法,过程与结果的和谐统一,润物无声.2.3 动中求静,应用模型例3 如图6,在锐角△ABC 中,BC=12,△ABC 的面积为48,D ,E 分别是边AB ,AC 上的两个动点（D 不与A ,B 重合）,且保持DE ∥BC ,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(1)当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时,求正方形DEFG 的边长. 图4 图 5图 6F G E D CB A师:请同学们画出图形,并求解.生6(黑板上画出图7后):就是原题呈现的情况,这时边长应为4.8.（下面的学生纷纷表示赞同） 师:我发现同学们对这个基本图形印象深刻!好,请继续看下面的问题.(2)设DE =x ,△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于 x 的函数关系式及x 的取值范围,并求出y 的最大值. 师:请同学们思考,随着DE 的运动,重叠部分会有哪些变化,（一位学生上黑板画出了图8-1和8-2）生7:有两种不同的情况,所以要进行分类讨论.师:很好!那应该如何分类？生7:以边GF 所在位置进行分类,有边GF 在△ABC 内部和△ABC 外部两种,以边GF 在BC 上为临界.师:回答的真好!那就请同学们来解决这个问题,并思考与前面问题之间的联系.生8:①当正方形DEFG 在△ABC 内部(含边界)时,0 4.8x <≤,此时y 就是正方形DEFG 的面积,即2y x =,最大值为24.823.04=;②当边GF 在正方形外部时,就是例2的情况,此时4.812x <<,过A 作AP ⊥BC 于P,交DE 于H,由△ADE ∽△ABC 可得,PH=x 328-, ∴x x x x y 832)328(2+-=-=,当62=-=ab x 时,y 有最大值,且最大值为24. 因24＞23.04,所以重叠部分的最大面积为24.师:看来,熟悉了基本图形确实能使我们在解题时如虎添翼.那么,这个基本图形还可以作哪些变化呢,让我们继续加以体会.[点评]由静到动,看似一小步,实则是多数学生数学学习过程中的一大难点.但王老师在教学中没有直接展开讲解,而是先让学生动手实践来感知图形的变化特点,从而产生了分类解决的方法,于是难点突破就变得顺理成章,也为后续问题的解决奠定了方法基础.同时,在前后问题的比较中也让学生进一步体会到基本模型的应用价值,强化了本课主题.2.4 深化模型,提高认知例4 如图9,锐角△ABC 中,BC=12,AH ⊥BC 点H,且AH=8,点D 为AB 的任意一点,过点D 作DE ∥BC,交AC 于点E,AH 于F.设AF 为x (0＜x ＜8)以DE 为折线将△ADE 翻折,所得△DE A '与梯形DBCE 重叠部分的面积记为 y (点A 的对称点A '落在AH 所在直线上）.请问,当x 取何值时,y 的值最大?最大值是多少？ 师:请仔细理解题意,并思考随着DE 的运动,重叠部分图形有哪些变化,分界点在哪里,C B 图 8-2图 8-1CB 图 9A A能画出来吗?生9:有两种情形.一种如图9,重叠部分是三角形;另一种如图10,重叠部分为梯形,DE 是三角形的中位线时分界.师:看来,理解了图形的变化规律也就掌握了分类的方法.但是如何来求这个梯形的面积呢?前面的基本图形还适用吗?生10:适用.用两次基本图,即用△ADE ∽ABC 求DE,用△'''E D A ∽△DE A '求''E D . (见学生都表示理解了)师:那下面就请大家具体的求一下吧.(过了一会)生10:当0＜x ≤4时,y 就是△ADE 的面积,由相似知DE=x 23,所以243x y =,故当4=x 时,y 有最大值12.当4＜x ＜8时,利用△'''E D A ∽△DE A '可得F A H A DE E D ''''=,即xx x x E D )8(5.1''--=,∴123''-=x E D . 则482449)8)(12323(212-+-=--+=x x x x x y ,故当316=x 时,y 有最大值16. 因16＞12,所以当8=x 时,重叠部分的最大面积为16.师:这么繁琐的数据计算居然没有一点问题,这位同学的运算能力真强.但老师还是想请大家再思考下,是否有直接计算面积的方法呢?生11:用面积比与相似比的关系呀!由△'''E D A ∽△DE A '得22''')82(43x x x S E D A -=∆, 所以2''')4(3-=∆x S E D A ,于是482449)4(343222-+-=--=x x x x y .…… 师:这位同学的知识掌握得很全面,这也说明根据目标来选择方法可以使我们少走弯路. 下面让我们再用几何画板演示一下动态的变化过程,希望能加深大家的理解(过程略).[点评]从矩形面积过渡到梯形面积的计算,就不仅仅是模仿运用了,它能有效促进学生的抽象能力,模型识别能力与迁移能力的提高,提升了思维的深度,也使学生在图形的变化过程中感悟了万变不离其宗的道理,而问题解决过程中的方法优化,则强化了学生的目标意识与思维监控能力.而最后几何画板工具的使用,既给学生的几何直觉以有力的支撑,又关注了数学学习中的“弱势群体”,体现了王老师面向全体的教学理念.2.5 归纳小结,反思提高请同学们就本节课的学习情况进行一下回顾与总结.……师:同学们都说得很好,把这些发言归纳起来,主要是:运用性质“相似三角形的对应高之比等于相似比”,可以解决了一类长度(面积)而在具体的解决问题过程中,我们还运用了从特殊到一般,类比、猜想、归纳,分类讨论等数学基本思想方法.通过学习,我们对基本模型的重要性想必有了更新的认识,希望同学们在今后的学习中勤于观察,善于比较,提炼本质,有效运用.唯有如此,才能真正提高数学学习的效率,才能有效发展思维能力.3 总评对基本图形(基本方法)的感悟、理解与运用,主要靠学生在平时的学习过程中,通过有意识的观察思考、实践比较、分析提炼、有效运用等才能得以实现,这也正是衡量学生数学能力与数学素养的重要依据.但这样的工作能否以专题研究课的形式予以强化与指导,王老师的这节课给我们带来了可供借鉴的研究样本.3.1 谋篇布局,构思精巧高效的课堂源自于有效的教学设计.纵观本节课,王老师以“相似三角形对应高之比等于相似比”这一重要性质的应用为主要认知线索,以教材中的范例(求三角形的内接正方形边长)为原型,并精心选择了与此相关联的四个变式问题展开研究,层层深入,变化有度,衔接自然.其中,从水平变式到垂直变式的渐变,突出了过程体验,强化了对基本图形的本质理解.而从几何到代数的综合,从方程到函数模型的构建,从静态图形到动态图形的变化,从图形的平移到折叠变换,则能使学生完善认知网络,丰富图形认知,促进方法理解,提高思维能力.这样的设计,较好地遵循了学生的学习规律,为达成本课的学习目标创设了适切的载体,也有利于促进学生主动的学习,彰显了教师的教学智慧.3.2 方法为先,思维为本数学不仅仅是一种重要的“工具”和“方法”,更重要的是一种思维模式.因此,增强学生的数学概括和抽象能力,提升其思维能力是数学教学的重要任务.就本课而言,较好的体现了这一点.一是学生亲历了问题的发生与发展过程,对基本图形本质及其作用的理解是在充分的体验过程中得以逐步领悟的,这些数学思维活动留给学生的感受是非常深刻的,对于学生今后深入理解图形性质,关注图形之间联系,从复杂图形中分离基本图形,提高图形分析能力等都会带来积极的影响;二是在具体解决问题的过程中,有机的渗透从特殊到一般,分类讨论,数形结合,方程及函数等思想方法,让学生在必要的观察、猜想、类比、推理与交流中感悟这些思想方法的概括与内化过程,对于唤醒学生的认知内驱力,促进他们的思维发展,进而形成有效的思维策略有着显著的效果,也充分体现了数学教育的价值.3.3 过程流畅,氛围和谐在课堂上可以看到,在以变式生成的问题串的科学引领下,伴随着问题解决过程中不断的成功体验,以及教师适时的激励评价,激发了学生积极的情感体验与学习热情,使得绝大多数学生都被卷入到积极的数学思维活动中来,这种和谐学习氛围的创设,极大提高了学生的自主学习能力与主动参与意识.而本课中问题的思路基本都是学生提出,方法由学生补充,解答由学生完成,而教师则退居幕后,仅在思维展开的疑难处,思路形成的困惑点及时介入、点拨指导.这种教与学的方式,看似平淡,却于无深处有惊雷,真实体现了数学学习的基本规律与数学思维方式的基本特点,也较好贯彻了“学为主体、教为主导”的教学理念.3.4 值得思考的问题教学永远是一门遗憾的艺术,没有最好,只有更好.从这个意义上讲,下面几个问题或许值得我们深思.3.4.1 更好理解变式教学的内涵.设计变式的目的,意在更好促进学生感悟数学方法,理解数学本质.就本课而言,让学生感悟、提炼基本图形的本质,并迁移运用应是教学的核心目标,为此,设计从引例到例2的三个变式,就是承载此目标的工具.但在教学中我们遗憾的看到,这里的提炼与概括都是教师帮助完成的.从教学行为分析,主要是老师担心学生讲不好而怕耽误时间,因为后面2个例题的安排显然是本课的重头戏.而从学生角度分析,虽然三个系列变式彼此相关,但要从中提炼本质,恐怕也还是有一定难度的.因此,是否可以考虑把这三个例题整合成引例的三个系列问题,即从求内接正方形边长→求两邻边长存在等量关系的内接矩形边长(如PQ:PN=2:5)→变任意内接矩形(用几何画板演示),问这些矩形中是否最大面积的矩形?这样就能使问题之间更连贯,内在结构更紧密,层次之间更清晰,也更符合学生的认知规律.从而也就有利于学生领悟图形本质,也能为后续学习留出必要的时间与空间.3.4.2 正确把握铺垫的意义.在学生的认知障碍点、思维困惑处进行适当的铺垫,其目的在于为学生搭建“思维的脚手架”,从而为教师引导学生自主探究、突破教学难点提供一条思维通道.因此,设置铺垫必须认真考虑学生原有的认知起点与认知能力.从这个意义上讲,本课设置的一些铺垫就值得商榷.如例2中为求矩形的最大面积,先设计了用x表示PN的长.这样的设计过于直白,同时也把本题蕴藏的教育功能(模型意识,关系意识等)异化成机械的运算操练,这显然不是编制本题的用意所在.实际上,求内接矩形的最大面积,自然会引发学生联想函数模型,而要构建函数模型,自然也能想到用x表示PN的长.同样,例3中先求临界状态时正方形边长的设计,有为求而求的嫌疑.从逻辑上讲,要求重叠部分的图形面积,首先要思考图形的形状是否有变化,若无变化,该如何求?若有变化,则必须考虑有哪几类变化,分界点分别在哪里?这样的引导,才能赋予学生一般有用的思维策略,也是数学教学的本质所在.故此,正确认识铺垫的意义,才能科学合理的进行问题设计,也能更好促进学生的思维发展. 另外,本课教学中教师若能更大胆一些,在适当的引领与启发下放手让学生参与问题变式的引申或改编,或许能激发学生更为浓厚的学习兴趣与更强的主体参与意识,从而亦使教学效果更加优化.当然,这也是一个非常值得研究的课题.作者简介:[1]王宝金.1981年11月出生,浙江绍兴人,现为浙江绍兴县柯岩中学数学教研组长.主要从事初中数学课堂教学研究.联系电话:[2]张宏政.1968年3月出生,浙江定海人,现为浙江舟山南海实验初中教学管理处主任,是舟山市学科带头人,曾在省级以上数学期刊发表学术文章30多篇,参编竞赛书籍多本.主要从事初中数学教学研究.联系电话:。

课例研究新教师教学双垂图是我们平时学习中经常碰到的图形，如果能领悟其精髓，那么就可以解决与之联系的许多问题。

对于中考试卷中圆综合题及压轴题的图形，往往涉及双垂图这一基本图形，在平时的教学中加强对双垂图的研究，并进行强化练习，总结相关结论，使学生不断积累经验，应用基本图形去发现问题、理解问题并解决问题。

本文从双垂图的基本结论、图形应用两个方面，对初中几何中经典双垂图图形进行了广泛、深度的研究。

一、基本结论如图所示，在Rt ΔABC ，CD 是AB 上的高，此图为著名的“双垂直图形”，简称“双垂图”。

这是一个应用非常广泛的图形，有着十分丰富内涵。

常用结论如下：结论1：图中直角三角形。

Rt ΔABC 、Rt ΔACD 、Rt ΔBCD 。

结论2：图中相等的角（直角除外）。

∠A=∠BCD 、∠B=∠ACD结论3：根据等面积法，确定线段AC 、BC 、AB 、CD 之间的关系。

AC•BC=AB•CD结论4：射影定理。

过去的教材中曾从中归纳出射影定理的三个结论。

现根据《义务教育数学课程标准（2011）年版》，教材中不再出现射影定理，但是它的结论仍有着广泛的应用，只不过在使用时先通过证明三角形相似便可以获得解决。

文字语言：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

几何语言：CD 2=AD•BD AC 2=AD•AB BC 2=BD•AB 二、图形应用例1.如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D 。

若AC ＝5，BC ＝2，则tan ∠ACD 的值为（ ）解题步骤：解：由题意得∠ACD+∠A=90° ∠A +∠B=90°∴∠ACD=∠B=　∴tan ∠设计目的：根据双垂图中的基本结论1和基本结论2，来快速求出三角函数值，节约时间，灵活应用，体会双垂图在解直角三角形中的应用。

一个基本图形蕴含的重要性质
岳荫巍
【期刊名称】《数学教学研究》
【年(卷),期】1994(000)001
【摘要】一个基本图形蕴含的重要性质岳荫巍（北京十七中）高中数学《立体几何》２７页图１－３２，是一个具有广泛应用的重要的基本图形（如本文图１）．这里，它主要用来证明性质：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角．实际上本图的作...
【总页数】3页(P8-10)
【作者】岳荫巍
【作者单位】北京十七中
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.一个基本图形性质的应用 [J], 周灿华
2.一个基本图形的性质及其应用 [J], 丁银杰
3.一个重要的基本图形 [J], 练剑华
4.一个基本图形蕴含的另一重要性质 [J], 吴建方;陈天雄
5.一个极其重要的基本图形 [J], 徐忠
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研究报告圆研究报告：圆一、引言圆是几何学中的一种基本图形，它具有许多独特的性质和应用。

本研究报告旨在深入探讨圆的定义、性质和应用，并分析其在实际生活中的重要性。

二、定义1. 圆的定义在几何学中，圆被定义为一个平面上所有距离中心点相等于半径的点的集合。

即圆由中心和半径唯一确定。

2. 圆周和弧长圆周是指围绕圆形边界的长度，而弧长是圆弧的一部分的长度。

三、性质1. 圆的性质（1）等边性：圆上任意两条弦等长。

（2）正多边形的内接圆：正n边形内外接圆的外接圆与内接圆相切。

（3）切线性：切线与半径垂直。

2. 圆的计算公式（1）圆的周长：2πr，其中r为半径。

（2）圆的面积：πr^2，其中r为半径。

四、应用圆在很多领域都有广泛的应用。

1. 圆在建筑设计中的应用在建筑设计中，圆经常用于设计圆形的建筑物和装饰物。

比如大型圆形剧场、圆形广场和圆形雕塑等。

2. 圆在工程设计中的应用在工程设计中，圆常用于设计各种旋转部件，如齿轮、风车和涡轮机组等。

圆的性质使得它们具有良好的旋转平衡性和稳定性。

3. 圆在数学研究中的应用圆是数学研究中重要的基本图形之一，它在数学分析、几何学和代数学等领域都有广泛的应用。

例如，圆的性质和变换常常用于函数图像的分析和研究。

五、结论通过对圆的定义、性质和应用的研究和分析，我们可以得出以下结论：1. 圆是几何学中的重要图形之一，具有独特的性质和应用价值。

2. 圆在建筑设计、工程设计和数学研究等领域都有广泛的应用。

3. 进一步研究圆的性质和应用，将有助于推动相关领域的发展和创新。

六、参考资料1. 林维苏. 几何基本知识[M]. 北京：人民教育出版社，2010.2. Xiong, Y., & Chan, A. B. (2015). Geometry reading and understanding: A survey. ACM Computing Surveys (CSUR),46(2), 24.3. 王立荣. 数学建模中的圆及其应用[J]. 中国高中数学教学，2008(5): 32-34.。