2017-2018年江苏省南通市启东中学创新班高一上学期期初数学试卷及参考答案

江苏省启东中学2018-2019学年高一数学上学期期中试题（创新班）（考试用时：120分钟 总分：150）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6＝( ) A ．－3 B ．－4 C ．－5 D ．2 2．直线x －3y －1＝0的倾斜角α的大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．已知直线l 过定点P (－1，2)，且与以A (－2，－3)，B (－4，5)为端点的线段(包含端点)有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．[－1，5] B ．(－1，5)C ．(－∞，－1]∪[5，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(5，＋∞) 4．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则{a n }的第10项等于( ) A ．1210 B ．129 C ．15D ．1105．已知{a n }的通项公式是a n ＝nn 2＋156(n ∈N ＋)，则数列的最大项是第( )项A ．12B ．13C ．12或13D ．不确定6．已知点P (x ，y )到A (0，4)和B (－2，0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为( ) A ．2 B ．4 2 C ．4 D ．8 27．设直线l 的斜率为k ，且－1＜k ≤3，求直线l 的倾斜角α的取值范围( ) A ．[0，π3)∪(3π4，π) B ．[0，π6)∪(3π4，π) C ．(π6，3π4) D ．[0，π3]∪(3π4，π)8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2，n ∈N +，设其前n 项和为S n ，则使S n ＜－5成立的正整数n 有( )A ． 最小值63B ． 最大值63C ． 最小值31D ． 最大值31 9．设入射线光线沿直线2x －y ＋1＝0射向直线y ＝x ，则被y ＝x 反射后，反射光线所在的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．3x －2y ＋1＝0D ．x ＋2y ＋3＝0 10．给出下列五个命题:①过点(－1，2)的直线方程一定可以表示为y －2＝k (x ＋1)(k ∈R)的形式； ②过点(－1，2)且在x ，y 轴截距相等的直线方程是x ＋y －1=0；③过点M (－1，2)且与直线l :Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)垂直的直线方程是B (x ＋1)＋A (y －2)＝0；④设点M (－1，2)不在直线l :Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)上,则过点M 且与直线l 平行的直线方程是A (x ＋1)＋B (y －2)＝0；⑤点P (－1，2)到直线ax ＋y ＋a 2＋a ＝0的距离不小于2． 以上命题中，正确的序号是 .A ．②③⑤B ．④⑤C ．①④⑤D ．①③11．对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数．已知正数数列{a n }满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，n ∈N +，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则1[S 1]＋1[S 2]＋…＋1[S 80]＝( )A ．2323140B ．5241280C ．2603140D ．517128012．已知数列{a n }中，a 1＝2，n (a n +1－a n )＝a n ＋1，n ∈N +．若对于任意的t ∈[0，1]，不等式a n +1n +1＜－2t 2－(a ＋1)t ＋a 2－a ＋3恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D ．[－1，3] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则a n ＝ .14．将一张坐标纸折叠一次，使点(10，0)与(－6，8)重合，则与点(－4，2)重合的点是 . 15．已知a ，b ，c 均为正数，且(2a ＋b )(b ＋2c )＝1，则1a +b +c的最大值是 ． 16．对于任一实数序列A ＝{ a 1，a 2，a 3，…}，定义A 为序列{ a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…}，它的第n 项是a n +1－a n ，假定序列(A )的所有项都是1，且a 18＝a 2017＝0，则a 2018＝________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知直线l 1：ax ＋by ＋1＝0(a ，b 不同时为0)，l 2：(a －2)x ＋y ＋a ＝0． (1)若b ＝0且l 1⊥l 2，求实数a 的值；(2)当b ＝3且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离．18．(本小题满分12分)已知直线l1：2x－y＋2＝0与l2：x＋2y－4＝0，点P(1，m)．(1)若点P到直线l1，l2的距离相等，求实数m的值；(2)当m＝1时，已知直线l经过点P且分别与l1，l2相交于A，B两点，若P恰好平分线段AB，求A，B两点的坐标及直线l的方程．19．(本小题满分12分)已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为S n，且满足2S n＝(n＋1)a n(n∈N+)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n＝3n－λa2n，若数列{b n}为递增数列，求λ的取值范围．20．(本小题满分12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3 m，|AD|＝2 m.(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则AN的长度应在什么范围内？(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小值．21．(本小题满分12分)已知△ABC 的两条高所在直线方程为x ＋y ＝0，2x －3y ＋1＝0，顶点A (1，2)，求直线BC 的方程22．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，记b n ＝4＋a n1－a n (n ∈N +)． (1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)求证：①b 2k －1＋b 2k ＜8对k ∈N +恒成立．②R n ＜4n 对n ∈N +恒成立，其中R n 为数列{b n }的前n 项和．(3)记c n ＝b 2n －b 2n －1(n ∈N +)，T n 为{c n }的前n 项和，求证：对任意正整数n ，都有T n ＜32.期中考试答案AAACC BDAAB BC13．a n ＝14．(4,-2) 15．1 16．1000 17．(1) a=2；(2)18． [解] (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ，∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴n ＋1an ＋1＝n an ，∴n an ＝n －1an －1＝…＝1a1＝1， ∴a n ＝n (n ∈N)． (2)b n ＝3n－λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2)＝2·3n －λ(2n ＋1)．∵数列{b n }为递增数列，∴2·3n－λ(2n ＋1)>0，即λ<2n ＋12·3n.令c n ＝2n ＋12·3n ，即cn cn ＋1＝2n ＋32·3n ＋1·2·3n 2n ＋1＝2n ＋36n ＋3>1.∴{c n }为递增数列，∴λ<c 1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．19．解：(1)由题意得5|4－m|＝5|2m －3|，解得m ＝－1或m ＝37．(2)设A (a ，2a ＋2)，B (4－2b ，b )，则（2a ＋2）＋b ＝2，a ＋（4－2b ）＝2，解得a ＝－52，b ＝54．所以A 56，B 54，所以k l ＝52＝－71，所以l ：y －1＝－71(x －1)， 即x ＋7y －8＝0．20.设AN 的长为x m(x >2)，则由|AN||DN|＝|AM||DC|得|AM |＝x －23x.所以S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝x －23x2.(1)由S矩形AMPN>32，得x －23x2>32.又x >2，所以3x 2－32x ＋64>0，解得2<x <38，或x >8.所以AN 的长度的取值范围为38∪(8，＋∞)．(2)因为S 矩形AMPN ＝x －23x2＝x －23(x －22＋12(x －2＋12＝3(x －2)＋x －212＋12≥2x －212＋12＝24，当且仅当3(x －2)＝x －212，即x ＝4时，等号成立．所以当AN 的长度是4 m 时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24 m 2.21.2x+3y+7=022.(1)当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，∴a 1＝－41. 又∵a n ＝5S n ＋1，a n ＋1＝5S n ＋1＋1， ∴a n ＋1－a n ＝5a n ＋1，即a n ＋1＝－41a n ，∴数列{a n }成等比数列，其首项为a 1＝－41，公比q ＝－41，∴a n ＝(－41)n，∴b n ＝n 1.(2)由(1)知b n ＝4＋(－4n －15.∵b 2k －1＋b 2k ＝8＋(－42k －1－15＋(－42k －15＝8＋16k －15－16k ＋420＝8－(16k －1(16k ＋415×16k －40＜8， ∴当n 为偶数时，设n ＝2m (m ∈N *)，则R n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2m －1＋b 2m )＜8m ＝4n ； 当n 为奇数时，设n ＝2m －1(m ∈N *)，则R n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2m －3＋b 2m －2)＋b 2m －1＜8(m －1)＋4＝8m －4＝4n ， ∴对一切的正整数n ，都有R n ＜4n ， ∴不存在正整数k ，使得R n ≥4k 成立． (3)由(1)知b n ＝4＋(－4n －15，∴c n ＝b 2n －b 2n －1＝42n －15＋42n －1＋15＝(16n －1(16n ＋425×16n＝(16n2＋3×16n －425×16n＜(16n225×16n ＝16n 25.又b 1＝3，b 2＝313，∴c 1＝34.当n ＝1时，T 1＜23；当n ≥2时，T n ＜34＋25×(1621＋1631＋…＋16n 1)＝34＋25×161＜34＋25×161＝4869＜23，∴对任意正整数n ，都有T n ＜23.。

2017-2018学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分共42分．请在答题卡指定区域内直接写出结果.1．若A={1，0，3}，B={﹣1，1，2，3}，则A∩B=2．若幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则f（16）=．3．函数f（x）=+的定义域为．4．已知指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递减，则实数a的取值范围是．5．函数f（2x）=4x2+3x，则f（x）的解析式是．6．设集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|﹣3＜x＜2}，则A∪B=．7．计算：lg4+lg5•lg20+（lg5）2=．8．设a=log0.60.8，b=ln0.8，c=20.8，则a、b、c由小到大的顺序是．9．函数f（x）=x+的值域是．10．已知函数f（x）是奇函数，当1≤x≤4时f（x）=x2﹣4x+5，则当﹣4≤x≤﹣1时，函数f（x）的最大值是．11．已知函数f（x）=a x+log a（x+1）（a＞0，且a≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值的和为a，则实数a=．12．设f（x）为奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）内是增函数，f（﹣3）=0，则xf（x）＞0的解集为．13．已知函数f（x）=，若函数f（x）的值域为R，则实数t的取值范围是．14．已知函数f（x）=，函数g（x）=f2（x）+f（x）+t（t∈R），若函数g（x）有三个零点，则实数t的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共58分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．计算：（1）log327+lg25+lg4+7+（﹣9.8）0（2）（）﹣×π+．16．已知集合A={x|3≤x＜10}，集合B={x|2x﹣16≥0}．（1）求A∪B；（2）求∁R（A∩B）17．（1）判断并证明函数f（x）=x+的奇偶性；（2）证明函数f（x）=x+在x∈[2，+∞）上是增函数，并求f（x）在[4，8]上的值域．18．已知函数f（x）=a x（a x﹣3a+1），其中a＞0且a≠1，又f（1）=﹣6（1）求实数a的值；（2）若x∈[﹣1，3]，求函数f（x）的值域．（3）求函数f（x）零点．19．已知销售“笔记本电脑”和“台式电脑”所得的利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与进货资金t（单位：万元）的关系有经验公式P=t和Q=．某商场决定投入进货资金50万元，全部用来购入这两种电脑，那么该商场应如何分配进货资金，才能使销售电脑获得的利润y（单位：万元）最大？最大利润是多少万元？20．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）•f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．2016-2017学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分共42分．请在答题卡指定区域内直接写出结果.1．若A={1，0，3}，B={﹣1，1，2，3}，则A∩B={1，3}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集的性质求解．【解答】解：∵A={1，0，3}，B={﹣1，1，2，3}，∴A∩B={1，3}．故答案为：{1，3}．2．若幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则f（16）=4．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据已知求出函数的解析式，将x=16代入可得答案．【解答】解：设幂函数y=f（x）=x a，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴4a=2，解得：a=，∴y=f（x）=∴f（16）=4，故答案为：43．函数f（x）=+的定义域为[﹣1，2）U（2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据负数不能开偶次方根和分母不能为零来求解，两者求解的结果取交集．【解答】解：根据题意：解得：x≥﹣1且x≠2∴定义域是：[﹣1，2）∪（2，+∞）故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞）4．已知指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递减，则实数a的取值范围是（1，2）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】对于指数函数y=a x（a＞0且a≠1），当a＞1时，单调递增；当0＜a＜1时，单调递减，由此可解．【解答】解：因为指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递减，所以有0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2．故答案为：（1，2）．5．函数f（2x）=4x2+3x，则f（x）的解析式是．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用换元法，设t=2x，得到x=，代入右边化简得到关于t的解析式，得到所求．【解答】解：设t=2x，则x=，所以f（t）=4×（）2=t2+；所以f（x）=x2+；故答案为：．6．设集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|﹣3＜x＜2}，则A∪B={x|﹣3＜x＜6} ．【考点】并集及其运算．【分析】先求出集合A和B，由此利用并集的定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}={x|﹣1＜x＜6}，集合B={x|﹣3＜x＜2}，∴A∪B={x|﹣3＜x＜6}．故答案为：{x|﹣3＜x＜6}．7．计算：lg4+lg5•lg20+（lg5）2=2．【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的运算性质化简计算即可．【解答】解：lg4+lg5•lg20+（lg5）2=2lg2+lg5•（lg4+lg5）+（lg5）2=2lg2+lg5（2lg2+2lg5）=2lg2+2lg5=2，故答案为：2．8．设a=log0.60.8，b=ln0.8，c=20.8，则a、b、c由小到大的顺序是b＜a＜c．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵0=log0.61＜a=log0.60.8＜log0.60.6=1，b=ln0.8＜ln1=0，c=20.8＞20=1，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．9．函数f（x）=x+的值域是（﹣∞，1] ．【考点】函数的值域．【分析】令=t（t≥0）换元，然后利用配方法求二次函数的最值得答案．【解答】解：令=t（t≥0），则1﹣2x=t2，x=，∴函数化为（t≥0），由，当t≥0时，，∴函数f（x）=x+的值域是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．10．已知函数f（x）是奇函数，当1≤x≤4时f（x）=x2﹣4x+5，则当﹣4≤x≤﹣1时，函数f（x）的最大值是﹣1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】先求得对称区间上的最值，再利用奇偶性来求得对称区间上的最值．【解答】解：当1≤x≤4时f（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1其最小值为1又∵函数f（x）是奇函数∴函数f（x）在区间[﹣4，﹣1]上有最大值﹣1故答案为：﹣111．已知函数f（x）=a x+log a（x+1）（a＞0，且a≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值的和为a，则实数a=．【考点】函数单调性的性质．【分析】由指数函数、对数函数的单调性易判断函数单调，从而可表示函数的最大值、最小值之和，且为a，解方程即可．【解答】解：当a＞0，且a≠1时，由指数函数、对数函数的性质知，f（x）在[0，1]上单调，∴函数f（x）=a x+log a（x+1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为：[a0+log a（0+1）]+[a1+log a（1+1）]=a，化简得log a2=﹣1，解得a=，故答案为：．12．设f（x）为奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）内是增函数，f（﹣3）=0，则xf（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：不等式xf（x）＞0等价为或，∵f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）内是增函数，f（﹣3）=0，∴f（x）为奇函数且在（0，+∞）内是增函数，f（3）=0，但当x＞0时，不等式f（x）＞0等价为f（x）＞f（3），即x＞3，当x＜0时，不等式f（x）＜0等价为f（x）＜f（﹣3），即x＜﹣3，综上x＞3或x＜﹣3，故不等式xf（x）＞0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）13．已知函数f（x）=，若函数f（x）的值域为R，则实数t的取值范围是[﹣7，2] ．【考点】函数的值域．【分析】根据分段函数的值域是R，需满足一次函数y=x+6的最大值大于等于二次函数的最小值即可．【解答】解：函数f（x）=，当x＜t时，函数y=x+6的值域为（﹣∞，6+t）；当x≥t时，函数y=x2+2x，开口向上，对称轴x=﹣1，①若t≤﹣1，其二次函数的最小值为﹣1，要使函数f（x）的值域为R，需满足：6+t≥﹣1；解得：﹣7≤t≤﹣1，②若t＞﹣1，其二次函数的最小值为t2+2t，要使函数f（x）的值域为R，需满足：6+t≥t2+2t，解得：﹣1≤t≤2，综上所得：实数t的取值范围是[﹣7，2]．14．已知函数f（x）=，函数g（x）=f2（x）+f（x）+t（t∈R），若函数g（x）有三个零点，则实数t的取值范围为（﹣∞，2] ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】做出f（x）的图象，判断f（x）=m的根的情况，根据g（x）=0的零点个数判断m2+m+t=0的根的分布，利用二次函数的性质列出不等式组解出t的范围．【解答】解：做出f（x）的函数图象如图所示：令f（x）=m，g（x）=0，则m2+m+t=0，由图象可知当m≥1时，f（x）=m有两解，当m＜1时，f（x）=m只有一解，∵g（x）有三个零点，∴m2+m+t=0在（﹣∞，1）和[1，+∞）上各有一解，∴，解得t≤﹣2．故答案为（﹣∞，2]．二、解答题：本大题共6小题，共58分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．计算：（1）log327+lg25+lg4+7+（﹣9.8）0（2）（）﹣×π+．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】（1）利用对数的运算法则即可得出．（2）利用指数幂的运算法则即可得出．【解答】解：（1）运算=3+lg（25×4）+2+1=6+lg102=6+2=8．（2）原式=﹣+π﹣2=﹣π+π﹣2=．16．已知集合A={x|3≤x＜10}，集合B={x|2x﹣16≥0}．（1）求A∪B；（2）求∁R（A∩B）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的并集即可；（2）求出A与B的交集，确定出交集的补集即可．【解答】解：（1）由B中不等式变形得：2x≥24，即x≥4，∴B={x|x≥4}，∵A={x|3≤x＜10}，∴A∪B={x|x≥3}；（2）∵A∩B={x|4≤x＜10}，∴∁R（A∩B）={x|x＜4或x≥10}．17．（1）判断并证明函数f（x）=x+的奇偶性；（2）证明函数f（x）=x+在x∈[2，+∞）上是增函数，并求f（x）在[4，8]上的值域．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）求出函数的定义域，利用奇函数的定义进行判断；（2）利用导数法证明，根据函数的单调性求f（x）在[4，8]上的值域．【解答】解：（1）函数f（x）是奇函数．理由：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=﹣x﹣=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数；（2）证明：∵f（x）=x+，∴f′（x）=，∵x＞2，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）=x+在x∈[2，+∞）上是增函数，∴f（x）在[4，8]上是增函数，∴函数f（x）=x+在[4，8]上的值域是[5，]．18．已知函数f（x）=a x（a x﹣3a+1），其中a＞0且a≠1，又f（1）=﹣6（1）求实数a的值；（2）若x∈[﹣1，3]，求函数f（x）的值域．（3）求函数f（x）零点．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值域．【分析】（1）根据f（1）=a•（1﹣2a）=﹣6，求得a的值．（2）若x∈[﹣1，3]，令t=2x，则t=2x∈[，8]，f（x）=g（t）=t（t﹣5）=﹣，再利用二次函数的性质求得它的值域．（3）令f（x）=0，求得2x 的值，可得x的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=a x（a x﹣3a+1），其中a＞0且a≠1，又f（1）=a•（1﹣2a）=﹣6，求得a=2，或a=﹣（舍去）．（2）若x∈[﹣1，3]，f（x）=a x（a x﹣3a+1）=2x（2x﹣5），令t=2x，则t=2x∈[，8]，f（x）=g（t）=t（t﹣5）=﹣．故当t=2x =时，f（x）=g（t）取得最小值为﹣；当t=2x =8时，f（x）=g（t）取得最大值为24，故函数的值域为[﹣，24]．（3）令f（x）=g（t）=0，求得t=0，或t=5，即2x =0（舍去）或2x =5，∴x=log25．19．已知销售“笔记本电脑”和“台式电脑”所得的利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与进货资金t（单位：万元）的关系有经验公式P=t和Q=．某商场决定投入进货资金50万元，全部用来购入这两种电脑，那么该商场应如何分配进货资金，才能使销售电脑获得的利润y（单位：万元）最大？最大利润是多少万元？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】设用于台式电脑的进货资金为m万元，则用于笔记本电脑的进货资金为（50﹣m）万元，通过销售电脑获得的利润为y=P+Q列出函数的解析式，利用二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：设用于台式电脑的进货资金为m万元，则用于笔记本电脑的进货资金为（50﹣m）万元，…所以，销售电脑获得的利润为y=P+Q=161（50﹣m）+21（0≤m≤50）．…令u=，则u∈[0，5]，（不写u的取值范围，则扣1分）则y=﹣161u2+21u+825=﹣161（u﹣4）2+833．…当u=4，即m=16时，y取得最大值为833．所以当用于台式机的进货资金为16万元，用于笔记本的进货资金为34万元时，可使销售电脑的利润最大，最大为833万元．…20．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）•f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．【考点】奇偶性与单调性的综合；二次函数的性质．【分析】（1）根据函数为偶函数，f（﹣x）=f（x）对任意实数x恒成立，即|﹣x﹣a|=|x﹣a|任意实数x成立，去绝对值然后比较系数，可得a=0；（2）分三种情况加以讨论：当a＞0时，将方程f（x）=g（x）两边平方，得方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，构造新函数h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，通过讨论h（x）图象的对称轴方程和顶点坐标，可得0＜a＜﹣1；当a＜0时，用同样的方法得到﹣1＜a＜0；而当a=0时代入函数表达式，显然不合题意，舍去．最后综合实数a的取值范围；（3）F（x）=f（x）•g（x）=ax|x﹣a|，根据实数a与区间[1，2]的位置关系，分4种情况加以讨论：①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax），根据函数的单调增的性质，可得y=F（x）的最大值为F（2）=4a﹣2a2；②当1＜a≤2时，化成两个二次表达式的分段函数表达式，其对称轴为，得到所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，最大值决定于F（1）与F（2）大小关系．因此再讨论：当时，y=F（x）的最大值为F（2）=4a﹣2a2；当时，y=F（x）的最大值为F（1）=a2﹣a；③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax），图象开口向下，对称轴，恰好在对称轴处取得最大值：；④当a＞4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax），图象开口向下，对称轴，在区间[1，2]上函数是增函数，故最大值为F（2）=2a2﹣4a．最后综止所述，可得函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值的结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x﹣a|为偶函数，∴对任意的实数x，f（﹣x）=f（x）成立即|﹣x﹣a|=|x﹣a|，∴x+a=x﹣a恒成立，或x+a=a﹣x恒成立∵x+a=a﹣x不能恒成立∴x+a=x﹣a恒成立，得a=0．…（2）当a＞0时，|x﹣a|﹣ax=0有两解，等价于方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，即（a2﹣1）x2+2ax﹣a2=0在（0，+∞）上有两解，…令h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，因为h（0）=﹣a2＜0，所以，故0＜a＜1；…同理，当a＜0时，得到﹣1＜a＜0；当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去．综上可知实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．…（3）令F（x）=f（x）•g（x）①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax），对称轴，函数在[1，2]上是增函数，所以此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2．②当1＜a≤2时，，对称轴，所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，F（1）=a2﹣a，F（2）=4a ﹣2a2，1）若F（1）＜F（2），即，此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2；2）若F（1）≥F（2），即，此时函数y=F（x）的最大值为a2﹣a．③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax）对称轴，此时，④当a＞4时，对称轴，此时．综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值…2016年12月17日。

2017－2018学年度第一学期期初考试高一数学试卷【满分160分 考试时间120分钟】一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．不等式 327x x ++-<的解为 ．2．分解因式：222(231)22331x x x x -+-+-＝ ．3．函数f (x )＝ x ＋1＋12－x的定义域是 ；4．化简：（式中字母都是正数）2369)(a ·2639)(a ＝__________．5．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象过点(2,1)，则f (x )的值域为________．6．不等式1611x x <--的解为 ．7．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个根大于1、另一个根小于1，则实数a 的取值范围为 ．8. 已知集合M ⊆{2，3，5}，且M 中至少有一个奇数，则这样的集合共有________个．9. 若集合A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，且B ⊆ A ，则m 的取值范围为 ．10. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ax －1x －a <0，且2∈A，3∉ A ，则实数a 的取值范围是________．11．已知f （x ＋1x ）＝x 3＋1x 3，则f （x ） ；12．已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为____________．13．已知函数xy a =(0,1)a a >≠在区间[1,1]-上的最大值与最小值的差是1，则实数a 的值为 ． 14. 函数f(x)的定义域为D ，若满足① f(x)在D 内是单调函数，② 存在[a ，，使f(x)在[a ，b]上的值域为[a ，b]，那么y ＝f(x)叫做闭函数，现有f(x)＝x ＋2＋k 是闭函数，那么k 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本题满分14分）已知1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．（2）求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．16.（本题满分14分）已知集合A ＝{x |x 2－1＝0}，B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a ，b 满足的条件．17.（本题满分15分）(1)求函数f (x )＝2x ＋4 1－x 的值域； (2)求函数f (x )＝5x ＋4x －2的值域． (3)函数f (x )＝x 2－2x －3,x ∈(－1,4]的值域．18.（本题满分15分）某工厂生产一种机器的固定成本为5 000元，且每生产100台需要增加投入2 500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500台，已知销售收入函数为：H(x)＝500x －12x 2，其中x 是产品售出的数量，且0≤x≤500.(1) 若x 为年产量，y 为利润，求y ＝f(x)的解析式；(2) 当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？19.（本题满分16分） 函数2()1ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数,且12()25f =． （1）确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数；（3）解不等式(1)()0f t f t -+<．20.（本题满分16分）已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a>0且a≠1)．(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 讨论函数f(x)的奇偶性；(3) 求a 的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．2017年江苏省启东中学高一年级开学考试数学答案1. 答案：43x -<<2. 答案： (23)(3)(23)x x x x --+3. {x |x ≥－1且x ≠2}4. a 2．5. [1,9]6. 315x x -<<>或7. 2a <-8. 69. {m|m≤3} 10. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2，3] 11. f （x ）＝x 3－3x12. ⎝⎛⎭⎪⎫－2，2313. 12a +=或12a -+= 14. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 15. 答案：（1）由k ≠0和△≥0⇒k ＜0，∵121x x +=，1214k x x k+= ∴212121212(2)(2)2()9x x x x x x x x --=+-9342k k +=-=-，∴95k =，而k ＜0，∴不存在。

江苏省启东一中2018年创新人才培养实验班自主招生考试数学试卷注意事项1.本试卷共 6 页，满分为150 分，考试时间为120 分钟。

2.答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题5分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.把x2y-2xy2+y3分解因式正确的是( )A.y(x2-2xy+y2)B.y(x-y)2C.y(x-2y)2D.y(x+y)22.已知a,b为一元二次方程x2+2x-9=0的两个根,那么a2+a-b的值为( )A.-7B.0C.7D.113.如图,在R△ABC中,∠C=900,AC=4,BC=3,O是△ABC的内心,以O为圆心,r为半径的圆与线段AB有交点，则r的取值范围是（）A.r≥1B.1≤r≤5C.1≤r≤10D.1≤r≤44.如图,等边△ABC中，AC=4,点D,E,F分别在三边AB，BC，AC上,且AF=1,FD⊥DE,且∠DFE=600,则AD长为( )A.0.5B.1C.1.5D.25.如图,△ABC中,AB=BC=4cm,∠ABC=1200,点P是射线AB上的一个动点,∠MPN=∠ACP,点Q是射线PM上的一个动点.则CQ长的最小值为( )A.3B.2C.23D.46.二次函数y=2x2-8x+m满足以下条件:当-2<x<-1时，它的图象位于x轴的下方;当6<x<7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为( )A.8B.-10C.-42D.-24写在答题卡相应位置上）7.计算-82015×(-0.125)2016= ．8.市政府为了解决老百姓看病贵的问题,决定下调药品的价格.某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x ，由题意，可列方程为 ．9.在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别A(3，0)，B(8，0)，若点P 在y 轴上,且△PAB 是等腰三角形，则点P 的坐标为 ． 10.关于x 的方程0112=--+x ax 的解是正数，则a 的取值范围是 ． 11.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是边长为8的正方形，M(8，s)，N(t ，8)分别是边AB,BC 上的两个动点,且OM ⊥MN,当ON 最小时，s ＋t= ．12.如图,△ABC 在第一象限,其面积为5.点P 从点A 出发,沿△ABC 的边从A —B —C —A 运动一周,作点P 关于原点O 的对称点Q,再以PQ 为边作等边三角形PQM,点M 在第二象限,点M 随点P 的运动而运动,则点M 随点P 运动所形成的图形的面积为 ．三、解答题（本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）13.(本小题满分15分)阅读下面材料，并解决问题．材料：如图1,在平面直角坐标系xOy 中,直线y 1=ax+b 与双曲线xky =2交于A （1,3）和B （-3,-1）两点.观察图象可知：①当x=-3或1时,y 1=y 2 ；②当-3<x<0或x>1时,y 1>y 2.即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b>xk 的解集．问题：求不等式x 3+4x 2-x-4>0的解集．小聪同学通过以上的阅读材料，对上述问题进行了探究．下面是他的探究过程，请将（2）,（3）,（4）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化 当x ＝0时,原不等式不成立；当x ＞0时,原不等式可以转化为:x 2+4x-1>x4; 当x ＜0时,原不等式可以转化为:x 2+4x-1<x4. （2）构造函数，画出图象:设y 3=x 2+4x -1,y 4=x 4,在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．双曲线y 4=x4如图2所示，请在此坐标系中,画出抛物线y 3=x 2+4x-1.（不用列表）（3）确定两个函数图象:公共点的横坐标,观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知满足y 3=y 4 的所有x 的值为 ；（4）借助图象，写出解集:结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知不等式x 3+4x 2-x-4>0的解集为 ．14.(本小题满分12分)如图,“元旦”期间,学校在综合楼上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅,小明和小芳所在的教学楼正好在综合楼的对面.小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为300,测得条幅端点B 的俯角为450;小芳在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为450,测得条幅端点B 的俯角为300.若楼层高度CD 为3米,请你根据小明和小芳测得的数据求出条幅AB 的长.（结果保留根号）15.（本小题满分14分）如图1，A ，B ，C ，D 四点都在⊙O 上，AC 平分∠BAD ，过点C 的切线与AB 的延长线交于点E ．（1）求证：CE ∥BD ；（2）如图2，若AB 为⊙O 的直径，AC=2BC ，BE=5，求⊙O 的半径．16.(本小题满分15分)惠民超市试销一种进价为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于进价,且获利不得高于40%.经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数y=kx＋b,且当x=70时,y=50；x=80时,y=40．（1）求一次函数y=kx＋b的解析式；（2）设该超市获得的利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，超市可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该超市预期的利润不低于500元，试确定销售单价x的取值范围．17.（本小题满分16分）如图,已知抛物线y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（2）点M在抛物线上,且△BMC的面积与△BCD的面积相等，求点M的坐标；（3）若点P在抛物线上，点Q在y轴上，以P，Q，B，D四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P 的坐标．18.（本小题满分18分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴和y轴上，OA=8，OB=6．点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动，点P,点M同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为t秒（0≤t≤6）．（1）连接矩形的对角线AB，当t为何值时，以P，O，M为顶点的三角形与△AOB相似；（2）在点P，点M运动过程中，线段PM的中点Q也随着运动，请求出CQ的最小值；（3）将POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点能否在对角线AB上，如果能，求出此时t的值，如果不能，请说明理由．。

江苏省启东中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在数列{a n}中，a n+1=a n+2+a n，a1=2，a2=5，则a6的值是（）A. −3B. −11C. −5D. 192.直线x−√3y−1=0的倾斜角α=（）A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘3.已知直线l过定点P（-1，2），且与以A（-2，-3），B（-4，5）为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A. [−1,5]B. (−1,5)C. (−∞,−1]∪[5,+∞)D. (−∞,−1)∪(5,+∞)4.如果数列{a n}满足a1=2，a2=1，且a n−1−a na n−1=a n−a n+1a n+1（n≥2），则这个数列的第10项等于（）A. 1210B. 129C. 15D. 1105.已知{a n}的通项公式是a n=nn2+156（n∈N+），则数列的最大项是第（）项A. 12B. 13C. 12或13D. 不确定6.已知点P（x，y）到A（0，4）和B（-2，0）的距离相等，则2x+4y的最小值为（）A. 2B. 4C. 8√2D. 4√27.设直线l的斜率为k，且-1＜k≤√3，求直线l的倾斜角α的取值范围（）A. [0,π3)∪(3π4,π) B. [0,π6)∪(3π4,π) C. (π6,3π4) D. [0,π3]∪(3π4,π)8.已知数列{a n}的通项公式为a n=log2n+1n+2（n∈N*），设其前n项和为S n，则使S n＜-5成立的自然数n（）A. 有最小值63B. 有最大值63C. 有最小值31D. 有最大值319.设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是（）A. x−2y+3=0B. x−2y+1=0C. 3x−2y+1=0D. x−2y−1=010.给出下列五个命题：①过点（-1，2）的直线方程一定可以表示为y-2=k（x+1）（k∈R）的形式；②过点（-1，2）且在x，y轴截距相等的直线方程是x+y-1=0；③过点M（-1，2）且与直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）垂直的直线方程是B（x+1）+A（y-2）=0；④设点M（-1，2）不在直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）上，则过点M且与直线l平行的直线方程是A（x+1）+B（y-2）=0；⑤点P（-1，2）到直线ax+y+a2+a=0的距离不小于2．以上命题中，正确的序号是（）A. ②③⑤B. ④⑤C. ①④⑤D. ①③11. 对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数．已知正数数列{a n }满足S n =12（a n +1a n），n ∈N +，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则1[S 1]+1[S 2]+…+1[S 80]=（ ）A.2323140B.5241280C.2603140D.517128012. 已知数列{a n }中，a 1=2，n （a n +1-a n ）=a n +1，n ∈N *．若对于任意的t ∈[0，1]，n ∈N *，不等式a n+1n+1＜-2t 2-（a +1）t +a 2-a +3恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. (−∞,−1)∪(3,+∞)B. (−∞,−2]∪[1,+∞)C. (−∞,−1]∪[3,+∞)D. [−1,3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =2a n +1，则a n =______．14. 将一张坐标纸折叠一次，使点（10，0）与点（-6，8）重合，则与点（-4，2）重合的点是______． 15. 已知a ，b ，c 均为正数，且（2a +b ）（b +2c ）=1，则1a+b+c 的最大值是______．16. 对于任一实数序列A ={a 1，a 2，a 3…}，定义△A 为序列{a 2-a 1，a 3-a 2，a 4-a 3，…}，它的第n项是a n +1-a n ，假定序列△（△A ）的所有项都是1，且a 18=a 2017=0，则a 2018=______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知直线l 1：ax +by +1=0（a ，b 不同时为0），l 2：（a -2）x +y +a =0，（1）若b =0，且l 1⊥l 2，求实数a 的值；（2）当b =3，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离．18. 已知直线l 1：2x -y +2=0与l 2：x +2y -4=0，点P （1，m ）．（Ⅰ）若点P 到直线l 1，l 2的距离相等，求实数m 的值；（Ⅱ）当m =1时，已知直线l 经过点P 且分别与l 1，l 2相交于A ，B 两点，若P 恰好平分线段AB ，求A ，B 两点的坐标及直线l 的方程．19. 已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足2S n =（n +1）a n ，（n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =3n -λa n 2，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围．20.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米．（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．21.已知△ABC的两条高所在直线方程为x+y=0，2x-3y+1=0，若A（1，2），求直线BC的方程．22.设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立，记b n=4+a n（n∈N+）．1−a n （1）求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；（2）求证：①b2k-1+b2k＜8对k∈N+恒成立．②R n＜4n对n∈N+恒成立，其中R n为数列{b n}的前n项和．（3）记c n=b2n-b2n-1（n∈N+），T n为{c n}的前n项和，求证：对任意正整数n，都有T n＜3．2答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵a1=2，a2=5，a n+1=a n+2+a n，∴令n=1代入上式得a2=a3+a1=5，∴a3=3依此类推得a4=1，a5=-2，a6=-3．故选：A．依次令n为1、2、3、4代入递推公式，利用前两项的值分别求出．本题主要考查了数列递推公式的应用，当所求的项数较小时，可以利用递推公式依次求出即可．2.【答案】A【解析】解：可得直线的斜率为k==，由斜率和倾斜角的关系可得tanα=，又∵0°≤α≤180°∴α=30°故选：A．由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．本题考查直线的倾斜角，由直线的方程求出直线的斜率是解决问题的关键，属基础题．3.【答案】A【解析】解：直线PA的斜率为 k1==5，直线PB的斜率为 k2==-1，结合图象可得则直线l的斜率k的取值范围是k2≤k≤k1，即则直线l的斜率k的取值范围是[-1，5]，故选：A．先利用斜率公式求得直线PA，PB的斜率结合图象可得则直线l的斜率k的取值范围．本题主要考查直线的斜率和倾斜角的关系，直线的斜率公式，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵，∴，∴===（），∴∴=，即{}为等差数列，（n≥2）．然后可得d=，，∴．故选：C．由题设条件知，所以，由此能够得到{}为等差数列，从而得到第10项的值．本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．5.【答案】C【解析】解：{a n}的通项公式是a n=（n∈N+），令f（x）=（x≥1），则f′（x）==．∴x=时，函数f（x）取得极小值即最小值．∵＜13．又f（12）=f（13）==．则数列的最大项是第12或13项．故选：C．{a n}的通项公式是a n=（n∈N+），令f（x）=（x≥1），利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了数列的单调性、利用导数研究函数单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：因为点P（x，y）到A（0，4）和B（-2，0）的距离相等所以点P（x，y）在A，B的垂直平分线上，且过A B的中点（-1，2）所以垂线方程为：X+2Y-3=0 即X+2Y=3因为2X+4Y=2X+22Y，且2x＞0，22y＞0，所以2x+4y=2x+22y≥==所以最小值为，故选：D．首先根据因为点P（x，y）到A（0，4）和B（-2，0）的距离相等得到P在AB的垂直平分线上，然后求出垂线的方程，最后根据基本不等式求解．本题考查两点间的距离公式，以及基本不等式的应用，通过对题目的分析抽象出数学模型，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：直线l的斜率为k，且-1，∴-1＜tanα≤，α∈[0，π）．∴α∈∪．故选：D．直线l的斜率为k，且-1，可得-1＜tanα≤，α∈[0，π）．即可得出．本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵a n=log2，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=log2+log2+…+log2=log2=log2，又因为S n＜-5=log2⇒⇒n＞62，故使S n＜-5成立的正整数n有最小值：63 故选：A．先有{a n}的通项公式和对数的运算性质，求出S n，再把S n＜-5转化为关于n的不等式即可．本题考查了数列的求和以及对数的运算性质，是一道基础题．9.【答案】D【解析】解：联立解得：x=y=-1，所以入射线y=2x+1与直线y=x的交点为（-1，-1），在入射线y=2x+1上取一点（0，1），则它关于直线y=x的对称点（1，0）必在反射光线上，由两点式得反射线所在的直线方程为：=，即x-2y-1=0，故选：D．依据光学知识，入射线所在直线上点（0，1）关于y=x的对称点在反射线所在直线上．本题考查了与直线关于直线对称问题．属中档题．10.【答案】B【解析】解：对于①，过点（-1，2）的直线方程不一定可以表示为y-2=k（x+1）（k∈R）的形式，如斜率不存在时为x+1=0，∴①错误；对于②，过点（-1，2）且在x，y轴截距相等的直线方程是x+y-1=0或y=-2x，∴②错误；对于③，过点M（-1，2）且与直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0，代入点M的坐标求得m=-A-2B，故所求的直线方程为B（x-2）-A（y+1）=0，∴③错误；对于④，设点M（-1，2）不在直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）上，可设过点M且与直线l平行的直线方程为Ax+By+n=0，代入点M可得n=A-2B，故所求的直线方程是A（x+1）+B（y-2）=0，④正确；对于⑤，点P（-1，2）到直线ax+y+a2+a=0的距离为d===+≥2＞2，当且仅当a=±1时取“=”，∴⑤正确；综上所述，正确的命题序号是④⑤．故选：B．①斜率不存在时不满足方程；②截距相等且为0时的直线方程是y=-2x；③求出过点M且与直线l垂直的直线方程即可；④求出过点M且与直线l平行的直线方程即可；⑤求出点P到直线ax+y+a2+a=0的距离，并利用基本不等式求出最小值．本题考查了直线方程的应用问题，是综合题．11.【答案】B【解析】解：由S n=（a n+），令n=1，得a1=S1=（a1+），∵a n＞0，得a1=1．当n≥2时，S n=（a n+）=（S n-S n-1+），即S n2-S n-12=1，因此，数列{S n2}是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n2=n，即S n=，[S1]=1，[S2]=1，[S3]=1，[S4]=…=[S8]=2，[S9]=…=[S15]=3，…，[S64]=…=[S80]=8，则++…+=1×3+×5+×7+×9+×11+×13+×15+×17=．故选：B．求得数列的首项，由数列矛盾递推式可得S n2-S n-12=1，数列{S n2}是首项为1，公差为1的等差数列，求得S n，结合新定义分别求得各项的值，相加可得所求和．本题考查数列的通项和求和的关系，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查新定义的理解和运用，以及化简运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：根据题意，数列{a n}中，n（a n+1-a n）=a n+1，∴na n+1-（n+1）a n=1，∴-==-，∴=（-）+（-）+…+（a2-a1）+a1，=（-）+（-）+…+（1-）+2=3-＜3，∵＜-2t2-（a+1）t+a2-a+3恒成立，∴3≤-2t2-（a+1）t+a2-a+3∴2t2+（a+1）t-a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立，设f（t）=2t2+（a+1）t-a2+a，t∈[0，1]，∴，即，解得a≤-1或a≥3，故选：C．根据题意，数列{a n}中，n（a n+1-a n）=a n+1，可得-=-，利用迭代法和裂项求和，以及放缩法可得＜3，则原不等式可转化为2t2+（a+1）t-a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立，构造函数f（a）=2t2+（a+1）t-a2+a，t∈[0，1]，可得，解得即可本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对n（a n+1-a n）=a n+1的变形，属于难题13.【答案】{1n=112⋅(32)n−2n≥2【解析】解：∵S n=2a n+1，∴n≥2时，S n-1=2a n，两式相减可得a n=2a n+1-2a n，即：=∴数列{a n}从第2项起，是等比数列，∵a1=1，S1=2a2，∴a2=∴n≥2时，a n=∵a1=1，∴a n=故答案为：直接利用已知条件求出a2，通过S n=2a n+1，推出数列{a n}从第2项起，是等比数列，即可求得结论．本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于中档题．14.【答案】（4，-2）【解析】解：已知点A（10，0），点B（-6，8），可得中点M（2，4）．则k AB==-．∴线段AB的垂直平分线为：y-4=2（x-2），化为2x-y=0．设点（-4，2）关于直线2x-y=0的对称点为P（a，b），则，解得．∴与点（-4，2）重合的点是（4，-2）．故答案为：（4，-2）．利用线段的垂直平分线的性质可得线段AB的垂直平分线即可得出．本题考查了线段的垂直平分线的性质，属于基础题．15.【答案】1【解析】解：根据题意，（2a+b）（b+2c）=1，则（2a+b）=，==，又由（2a+b）+≥2=2，则≤=1，即的最大值1；故答案为：1．根据题意，由（2a+b）（b+2c）=1可得（2a+b）=，进而可得==，利用基本不等式的性质可得（2a+b）+的值，据此分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是对的变形，属于基础题．16.【答案】1000【解析】解：设序列DA的首项为d，则序列DA为{d，d+1，d+2，…}，则它的第n项为d+（n-1），因此数列A的第n项，a n=a1+（a k+1-a k）=a1+d+（d+1）+…+（d+n-2）=a1+（n-1）d+（n-1）（n-2），则a n是关于n的二次多项式，其中n2的系数为，∵a18=a2017=0，∴必有a n=（n-18）（n-2017），则a2018=（2018-18）（2018-2017）=×2000×1=1000．故答案为：1000．根据高阶等差数列的定义，进行推理即可得到结论．本题主要考查数列的概念和表示，根据定义进行递推关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．17.【答案】解：（1）b=0，直线l1：ax+1=0（a，b不同时为0），l2：（a-2）x+y+a=0，∵l1⊥l2，∴a-2=0，解得a=2．（2）b=3，直线l1：ax+3y+1=0，由3（a-2）-a=0，解得a=3．∴两条方程分别化为：x+y+13=0，x+y+3=0，满足l1∥l2，∴直线l1与l2之间的距离=|13−3|√2=4√23．【解析】（1）b=0，直线l1：ax+1=0（a，b不同时为0），l2：（a-2）x+y+a=0，根据l1⊥l2，可得a-2=0，解得a．（2）b=3，直线l1：ax+3y+1=0，由3（a-2）-a=0，解得a．再利用平行线之间的距离公式即可得出．本题考查了平行线垂直直线与斜率之间的关系、平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 18.【答案】解：（I ）由题意得√5=√5，解得m =-1或m =73（II ）设A （a ，2a +2），B （4-2b ，b ）则{(2a +2)+b =2a+(4−2b)=2解得a =-25，b =45∴A （-25，65），B （125，45） ∴k =1−651−(−25)=-17∴直线l 的方程为：y -1=-17（x -1）即x +7y -8=0 【解析】（I ）根据点到直线的距离公式得出，求出m 即可．（II ）设出A 和B 的坐标公式，由中点坐标公式得出则，进而求出点A和点B 的坐标以及直线l 的斜率，从而求出直线的斜率．此题考查了两直线的交点坐标、点到直线的距离公式以及直线方程的求出，解题过程中要仔细确保计算准确性，属于中档题． 19.【答案】解：（1）∵2S n =（n +1）a n ，∴2S n +1=（n +2）a n +1，两式相减可得2a n +1=（n +2）a n +1-（n +1）a n ， 即na n +1=（n +1）a n ，∴an+1n+1=a n n， ∴an n =a n−1n−1=⋯=a 11=1，∴a n =n （n ∈N *）． （2）b n =3n −λn 2，.b n+1−b n =3n+1−λ(n +1)2-（3n -λn 2）=2•3n -λ（2n +1）． ∵数列{b n }为递增数列， ∴2•3n-λ（2n +1）＞0，即λ＜2⋅3n2n+1．令c n =2⋅3n 2n+1，则c n+1c n=2⋅3n+12n+3⋅2n+12⋅3n=6n+32n+1＞1．∴{c n}为递增数列，∴λ＜c1=2，即λ的取值范围为（-∞，2）．【解析】（1）运用数列的递推式：n=1时，a1=S1，n＞1时，a n=S n-S n-1，将n换为n+1，两式相减可得na n+1=（n+1）a n，整理变形，即可得到所求通项公式；（2）数列{b n}为递增数列，作差可得2•3n-λ（2n+1）＞0，运用参数分离，构造，判断单调性，即可所求范围．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式：n=1时，a1=S1，n＞1时，a n=S n-S n-1，考查数列的单调性的运用，注意运用分离参数，考查化简整理的运算和变形能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）解：设AN的长为x米（x＞2）由题意可知：∵|DN||AN|=|DC||AM|∴x−2x=3|AM|∴|AM|=3xx−2∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3x2x−2由S AMPN＞32得3x2x−2＞32，∵x＞2∴3x2-32（x-2），即（3x-8）（x-8）＞0（x＞2）解得：2＜x＜83或x＞8即AN长的取值范围是(2，83)∪(8，+∞)（2）解法一：∵x＞2，∴S AMPN=3x2x−2=3(x−2)2+12(x−2)+12x−2=3(x−2)+12x−2+12≥2√3(x−2)12x−2+12=24(10分)当且仅当3(x−2)=12x−2，即x=4时，取“=”号即AN的长为4米，矩形AMPN的面积最小，最小为24米．解法二：∵S=3x2x−2(x＞2)∴S′=6x(x−2)−3x2(x−2)2=3x2−12x(x−2)2=3x(x−4)(x−2)2令S'=0得x=4当2＜x＜4时，S'＜0当x＞4时S'＞0 当x=4时，S取极小值，且为最小值．即AN 长为4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小为24平方米． 【解析】（1）由题意设出AN 的长为x 米，因为三角形DNC ∽三角形ANM ，则对应线段成比例可知AM ，表示出矩形AMPN 的面积令其大于32得到关于x 的一元二次不等式，求出解集即可； （2）解法1：利用当且仅当a=b 时取等号的方法求出S 的最大值即可；解法2：求出S′=0时函数的驻点，讨论函数的增减性得出函数的最大值即可． 考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．以及用当且仅当a=b 时取等号的方法求最值的能力．21.【答案】解：设高线CD ：x +y =0，BE ：2x -3y +1=0，由{2x −3y +1=0x+y=0求得{x =−15y =15，可得垂心H （-15，15）．∴高线AH 的斜率k AH =2−151−(−15)=32，由“三条高线交于一点”可得：AH ⊥BC ，∴k BC =−23．∵AC ⊥BE ，设AC ：3x +2y +m =0，代入A （1，2）解得：m =-7，∴AC ：3x +2y -7=0． 把直线AC 、CD 的直线方程联立方程组，求得{y =−7x=7，∴C （7，-7）． ∴BC ：y +7=−23(x −7)，整理后可得：2x +3y +7=0． 即直线BC 的方程为：2x +3y +7=0． 【解析】先求出垂心H 的坐标，可得AH 的斜率，进而得到BC 的斜率．用点斜式求得AC 的方程，把AC 的方程和高线CD 的方程联立方程组，求得点C 的坐标，再用点斜式求出BC 的方程．本题主要考查求两条直线的交点，用点斜式求直线的方程，属于基础题． 22.【答案】（1）解：当n =1时，a 1=5a 1+1，∴a 1=-14．又∵a n =5S n +1，a n +1=5S n +1+1，∴a n +1-a n =5a n +1，即a n +1=-14a n ，∴数列{a n }成等比数列，其首项为a 1=-14，公比q =-14， ∴a n =（-14）n，∴b n =4+a n 1−a n=4+(−14)n1−(−14)n；（2）证明：①由（1）知b n =4+(−14)n1−(−14)n=4+5(−4)n −1．∵b 2k -1+b 2k =8+5(−4)2k−1−1+5(−4)2k −1=8-15⋅16k −40(16k −1)(16k +4)＜8；②当n 为偶数时，设n =2m （m ∈N *），则R n =（b 1+b 2）+（b 3+b 4）+…+（b 2m -1+b 2m ）＜8m =4n ； 当n 为奇数时，设n =2m -1（m ∈N *），则R n =（b 1+b 2）+（b 3+b 4）+…+（b 2m -3+b 2m -2）+b 2m -1＜8（m -1）+4=8m -4=4n ， ∴对一切的正整数n ，都有R n ＜4n ； （3）证明：由（1）知b n =4+(−14)n1−(−14)n=4+5(−4)n −1，得c n =b 2n -b 2n -1=542n −1+542n−1+1=15⋅16n(16n )2+3⋅16n −4＜1516n ． 又b 1=3，b 2=133，∴c 1=43， ∴当n =1时，T 1＜32；当n ≥2时，T n ＜43+15（1162+1163+⋯+116n ）＜43+116=6748＜32． 【解析】（1）把n=1代入a n =5S n +1中，即可求出首项a 1，然后把n 换为n+1，利用a n =5S n +1表示出a n+1，两个式子相减并利用S n+1-S n =a n 化简后即可得到的值即为公比，得到此数列为等比数列，然后根据首项和公比写出数列的通项公式即可，因而可得出b n 的通项公式；（2）①化简b n 的通项公式，可知b 2k-1+b 2k ＜8；②结合①对n 分类证明R n ＜4n 对n ∈N +恒成立；（3）由b n 的通项公式，计算出{c n }的通项公式，再由放缩法证明对任意正整数n ，都有T n ＜．本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，训练了利用放缩法证明数列不等式，属难题．。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上1．（5分）集合A={0，1，2}的真子集的个数是．2．（5分）已知集合M={3，，1}，N={1，m}，若N⊆M，则m=．3．（5分）不等式的解集为．4．（5分）若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切a∈R恒成立．则x的取值范围是．5．（5分）函数的定义域是．6．（5分）函数y=1﹣值域为．7．（5分）函数f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，，则f（﹣4）=．8．（5分）对任意实数x，|x﹣1|﹣|x+3|＜a恒成立，则a的取值范围是．9．（5分）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是．10．（5分）若P={1，2，3，4，5}，Q={0，2，3}，定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A※B={x|x∈（A﹣B）∪（B﹣A）}，则Q※P=．11．（5分）已知函数，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．12．（5分）若定义在R上的函数对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）﹣1成立，且当x＞0时，f（x）＞1，若f（4）=5，则不等式f（3m﹣2）＜3的解集为．13．（5分）已知函数f（x）=x2﹣4|x|+1，若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，则a的取值范围为．14．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，且f（1）=9，对任意x∈R，两不等式f（x+4）≥f（x）+4与f（x+1）≤f（x）+1都成立，若g（x）=2[f（x）﹣x]，则g（2017）=．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}．（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．16．（14分）设不等式的解集为集合A，关于x的不等式x2+（2a﹣3）x+a2﹣3a+2＜0的解集为集合B；（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．17．（14分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）．（1）当m=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数m的取值范围．18．（16分）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a，b∈R，满足f（ab）=af（b）+bf（a）．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f（2）=2，试求的值．19．（16分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2tx在区间[﹣1，5]上是单调函数，求实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，求实数m 的取值范围（注：相等的实数根算一个）．20．（16分）已知二次函数f（x）=x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的解析式；（2）求（1）中g（m）的最大值；（3）若函数y=|f（x）|在[2，4]上是单调增函数，求实数m的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上1．（5分）集合A={0，1，2}的真子集的个数是7．【分析】由真子集的概念一一列出即可．【解答】解：集合A={0，1，2}的真子集有：∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共7个故答案为：7【点评】本题考查集合的真子集个数问题，属基础知识的考查．2．（5分）已知集合M={3，，1}，N={1，m}，若N⊆M，则m=0或3．【分析】根据条件N⊆M，确定元素关系，进行求解即可，注意进行检验．【解答】解：∵M={3，，1}，N={1，m}，∴若N⊆M，则m=3或m=，解得m=0或m=1或m=3．当m=1时，集合M={1，1，3}不成立．故m=0或m=3．答案为：0或3．【点评】本题主要考查集合关系的应用，利用N⊆M，确定元素关系，注意求解之后后要对集合进行验证．3．（5分）不等式的解集为（2，6] ．【分析】根据题意，将分式不等式变形为（x﹣6）（x﹣2）≤0且x﹣2≠0，由一元二次不等式的解法解之即可得答案．【解答】解：根据题意，⇒﹣4≥0⇒≤0⇒（x﹣6）（x﹣2）≤0且x﹣2≠0，解可得2＜x≤6，即不等式的解集为（2，6]；故答案为：（2，6]．【点评】本题考查分式不等式的解法，注意答案写成集合或区间的形式．4．（5分）若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切a∈R恒成立．则x的取值范围是{﹣2，0} ．【分析】将不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0转化为（x2+2x）a﹣2x2﹣4x﹣4＜0，令f（a）=（x2+2x）a﹣2x2﹣4x﹣4，则f（a）是可看做为关于a的一次函数，所以不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切a∈R恒成立等价于，解之即可确定x的取值范围．【解答】解：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，可转化为（x2+2x）a﹣2x2﹣4x﹣4＜0，令f（a）=（x2+2x）a﹣2x2﹣4x﹣4，则f（a）是可看做为关于a的一次函数，∴等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切a∈R恒成立等价于，解得，x=0或x=﹣2，∴x的取值范围是{﹣2，0}．故答案为：{﹣2，0}．【点评】本题考查不等式的化简，一次函数的性质，恒成立问题的灵活转化，属于中档题．5．（5分）函数的定义域是（﹣3，2）．【分析】求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量x的取值范围，由此可以构造一个关于x的不等式，解不等式即可求出函数的解析式．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：6﹣x﹣x2＞0即x2+x﹣6＜0解得：﹣3＜x＜2故函数的定义域是（﹣3，2）故答案为：（﹣3，2）【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中根据让函数解析式有意义的原则构造关于x的不等式，是解答本题的关键．6．（5分）函数y=1﹣值域为（﹣∞，1）∪[2，+∞）．【分析】方法一：画出函数的图象，借助图象即可得到函数的值域，方法二：利用函数的单调性即可求出函数的值域．【解答】解：方法一：函数y=1﹣的图象如图所述，由图象可得函数的值域：（﹣∞，1）∪[2，+∞）方法二：∵y′=，当0＜x＜1时函数单调递增，当﹣1＜x＜1时函数单调递减．故y在（﹣1，1）上的最小值为2，当x＜﹣1时，函数单调递减，当x＞1时，函数单调递增，故x→+∞时，y→1，故x→﹣∞时，y→1，综上所述函数的值域为（﹣∞，1）∪[2，+∞），故答案为：（﹣∞，1）∪[2，+∞）【点评】本题考查了函数的值域的求法，属于基础题．7．（5分）函数f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，，则f（﹣4）=﹣2．【分析】由函数f（x）在R上为奇函数，f（0）=0，可得a=﹣1，进而可得答案．【解答】解：∵函数f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，∴f（0）=1+a=0，解得：a=﹣1，即当x≥0时，，故f（4）=2，故f（﹣4）=﹣f（4）=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于中档题．8．（5分）对任意实数x，|x﹣1|﹣|x+3|＜a恒成立，则a的取值范围是a＞4．【分析】问题转化为|x﹣1|﹣|x+3|的最大值小于a，利用绝对值不等式的性质可得其最大值．【解答】解：|x﹣1|﹣|x+3|≤|（x﹣1）﹣（x+3）|=4，由对任意实数x，|x﹣1|﹣|x+3|＜a恒成立，得4＜a，所以a的取值范围为a＞4．故答案为：a＞4．【点评】本题考查函数恒成立、绝对值不等式的性质，考查转化思想．9．（5分）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是．【分析】利用函数的定义域是自变量的取值范围，同一法则f对括号的范围要求一致；先求出f（x）的定义域；再求出f（2x﹣1）的定义域．【解答】解：∵y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，∴﹣1≤x+1≤4，∴f（x）的定义域是[﹣1，4]，令﹣1≤2x﹣1≤4，解得0≤x≤，故答案为：．【点评】本题考查知f（ax+b）的定义域求f（x）的定义域只要求ax+b的值域即可、知f（x）的定义域为[c，d]求．f（ax+b）的定义域只要解不等式c≤ax+b≤d的解集即可．10．（5分）若P={1，2，3，4，5}，Q={0，2，3}，定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A※B={x|x∈（A﹣B）∪（B﹣A）}，则Q※P={0，1，4，5} ．【分析】由定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，分别求出P﹣Q，Q﹣P，再由A※B={x|x ∈（A﹣B）∪（B﹣A）}，即可求出所求的集合．【解答】解：∵P={1，2，3，4，5}，Q={0，2，3}，∴P﹣Q={1，4，5}，Q﹣P={0}，则Q※P=（Q﹣P）∪（P﹣Q）={0，1，4，5}．故答案为：{0，1，4，5}【点评】此题考查了交、并集的混合运算，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．11．（5分）已知函数，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2）．【分析】若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则f（x）不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．【解答】解：由题意得，即在定义域内，f（x）不是单调的．分情况讨论：（1）若x≤1时，f（x）=﹣x2+ax不是单调的，即对称轴在x=满足＜1，解得：a＜2（2）x≤1时，f（x）是单调的，此时a≥2，f（x）为单调递增．最大值为f（1）=a﹣1故当x＞1时，f（x）=ax﹣1为单调递增，最小值为f（1）=a﹣1，因此f（x）在R上单调增，不符条件．综合得：a＜2故实数a的取值范围是（﹣∞，2）故答案为：（﹣∞，2）【点评】本题考查的知识点是函数的性质及应用，其中根据已知分析出函数f（x）不是单调函数，是解答的关键．12．（5分）若定义在R上的函数对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）﹣1成立，且当x＞0时，f（x）＞1，若f（4）=5，则不等式f（3m﹣2）＜3的解集为（﹣∞，）．【分析】根据题意证出f（0）=1，进而证出F（x）=f（x）﹣1为奇函数．利用函数单调性的定义，结合题中的条件证出F（x）=f（x）﹣1是R上的增函数，因此y=f（x）也是R上的增函数．由f（4）=5代入题中等式算出f（2）=3，将原不等式转化为f（3m﹣2）＜f（2），利用单调性即可求出原不等式的解集．【解答】解：由题意，可得令x1=x2=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）﹣1，可得f（0）=1，令x1=﹣x，x2=x，则f[（﹣x）+x]=f（﹣x）+f（x）﹣1=1，∴化简得：[f（x）﹣1]+[f（﹣x）﹣1]=0，∴记F（x）=f（x）﹣1，可得F（﹣x）=﹣F（x），即F（x）为奇函数．任取x1，x2∈R，且x1＞x2，则x1﹣x2＞0，F（x1）﹣F（x2）=F（x1）+F（﹣x2）=[f（x1）﹣1]+[f（﹣x2）﹣1]=[f（x1）+f（﹣x2）﹣2]=[f（x1﹣x2）﹣1]=F（x1﹣x2）∵当x＞0时f（x）＞1，可得x＞0时，F（x）=f（x）﹣1＞0，∴由x1﹣x2＞0，得F（x1﹣x2）＞0，即F（x1）＞F（x2）．∴F（x）=f（x）﹣1是R上的增函数，因此函数y=f（x）也是R上的增函数．∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且f（4）=5，∴f（4）=f（2）+f（2）﹣1=5，可得f（2）=3．因此，不等式f（3m﹣2）＜3化为f（3m﹣2）＜f（2），可得3m﹣2＜2，解之得m，即原不等式的解集为（﹣∞，）．【点评】本题给出抽象函数满足的条件，求解关于m的不等式．着重考查了函数的简单性质及其应用、不等式的解法等知识，属于中档题．13．（5分）已知函数f（x）=x2﹣4|x|+1，若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，则a的取值范围为[﹣0]∪{} ．【分析】f（x）=，令f（x）=1可得x=﹣4，或x=0，或x=4．当﹣1＜a≤0时，应有2a+1≥0，由此求得a的取值范围，当a＞0时，应有2a+1=4，由此求得a的值，综合可得a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣4|x|+1是偶函数，图象关于y轴对称．且f（x）=，令f（x）=1可得x=﹣4，或x=0，或x=4．若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，∴a＜2a+1，解得a＞﹣1．当﹣1＜a≤0时，应有2a+1≥0，由此求得﹣≤a≤0．当a＞0时，应有2a+1=4，解得a=．综上可得，a的取值范围为[﹣0]∪{}，故答案为[﹣0]∪{}．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．14．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，且f（1）=9，对任意x∈R，两不等式f（x+4）≥f（x）+4与f（x+1）≤f（x）+1都成立，若g（x）=2[f（x）﹣x]，则g（2017）=16．【分析】由题设条件，可根据题设中的两个不等式来限定f（2017）的取值范围，从而确定其值，进而得到所求值．【解答】解：∵f（x+4）≥f（x）+4，又∵f（1）=9，∴f（2017）≥f（2013）+4≥f（2009）+8≥…≥f（1）+2016=2025，∵f（x+1）≤f（x）+1成立∴f（2017）≤f（2016）+1≤f（2015）+2≤…≤f（1）+2016=2025，∴f（2017）=2025．∵g（x）=2[f（x）﹣x]∴g（2017）=2[f（2017）﹣2017]=2×（2025﹣2017）=16．故答案为：16．【点评】本题考查抽象函数及其应用，解题的关键是根据题设中的两个不等式得出f（2017）的取值范围，根据其范围判断出函数值．本题比较抽象，下手角度很特殊，用到了归纳法的思想，利用归纳推理发现规律在数学解题中经常用到．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}．（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【分析】（1）先解出集合A，根据2是两个集合的公共元素可知2∈B，建立关于a的等式关系，求出a后进行验证即可．（2）一般A∪B=A转化成B⊆A来解决，集合A两个元素故可考虑对集合B的元素个数进行讨论求解．【解答】解：由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1，2}（1）∵A∩B={2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2+4a+3=0⇒a=﹣1或a=﹣3；当a=﹣1时，B={x|x2﹣4=0}={﹣2，2}，满足条件；当a=﹣3时，B={x|x2﹣4x+4=0}={2}，满足条件；综上，a的值为﹣1或﹣3；（2）对于集合B，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣5）=8（a+3）．∵A∪B=A，∴B⊆A，①当△＜0，即a＜﹣3时，B=∅满足条件；②当△=0，即a=﹣3时，B={2}，满足条件；③当△＞0，即a＞﹣3时，B=A={1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⇒矛盾；综上，a的取值范围是a≤﹣3．【点评】本题主要考查了交集并集以及一元二次方程的解法，属于基础题，考查分类讨论的思想．16．（14分）设不等式的解集为集合A，关于x的不等式x2+（2a﹣3）x+a2﹣3a+2＜0的解集为集合B；（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【分析】（1）先把不等式的解集求出来，得到集合A，利用十字分解法求出集合B，再根据子集的定义求出a的范围；（2）已知A∩B=∅，说明集合A，B没有共同的元素，从而进行求解；【解答】解：由题意＞0，即（x﹣2）（x﹣4）＜0，解的2＜x＜4，所以集合A=（2，4），由x2+（2a﹣3）x+a2﹣3a+2＜0得到（x+a﹣2）（x+a﹣1）＜0，解得1﹣a＜x＜2﹣a，所以B=（1﹣a，2﹣a）．（1）因为B⊆A，则，解得﹣2≤a≤﹣1，（2）要使A∩B=∅，需满足2﹣a≤2或1﹣a≥4，解得a≥0或a≤﹣3．【点评】此题主要考查不等式解集的求法，以及子集的性质，是一道基础题17．（14分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）．（1）当m=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数m的取值范围．【分析】（1）当m=时，f（x）在[1，+∞）上为增函数，将1代入可得函数f （x）的最小值；（2）在区间[1，+∞）上，f（x）=＞0恒成立，等价于x2+4x+m＞0恒成立，结合二次函数的图象和性质将问题转化为最值问题后，可得实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=时，f（x）=x++4．设1≤x1＜x2，有f（x1）﹣f（x2）=x1++4﹣x2﹣﹣4=（x1﹣x2）（1﹣），由1≤x1＜x2，可得x1﹣x2＜0，1﹣＞0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[1，+∞）上为增函数．所以，f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1）=；（2）在区间[1，+∞）上，f（x）＞0恒成立，等价于x2+4x+m＞0恒成立．设y=x2+4x+m，x∈[1，+∞），由y=x2+4x+m=（x+2）2+m﹣4在[1，+∞）上递增，则当x=1时，y min=5+m．于是，当且仅当y min=5+m＞0时，f（x）＞0恒成立．此时实数m的取值范围为（﹣5，+∞）．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．18．（16分）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a，b∈R，满足f（ab）=af（b）+bf（a）．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f（2）=2，试求的值．【分析】（1）令a=b=0可得f（0），令a=b=1可得f（1）；（2）求出f（﹣1）=0，再令a=x，b=﹣1可得结论；（3）先计算f（4），再计算f（）．【解答】解：（1）令a=b=0得f（0）=0，令a=b=1得f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0．（2）令a=b=﹣1，得f（1）=﹣f（﹣1）﹣f（﹣1）=﹣2f（﹣1），∴f（﹣1）=0，令a=x，b=﹣1，得f（﹣x）=xf（﹣1）﹣f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．（3）f（4）=2f（2）+2f（2）=4f（2）=8，∴f（1）=4f（）+f（4）=0，∴f（）=﹣．【点评】本题考查了抽象函数的性质，属于中档题．19．（16分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2tx在区间[﹣1，5]上是单调函数，求实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，求实数m 的取值范围（注：相等的实数根算一个）．【分析】（1）根据二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，利用待定系数法，可得f（x）的解析式；（2）由g（x）=f（x）﹣2tx=x2﹣（2t+1）x+1的图象关于直线x=对称，结合函数g（x）在[﹣1，5]上是单调函数，可得≤﹣1或，解得实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，则函数h （x）在（﹣1，2）上有唯一的零点，分类讨论，可得实数m的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）代入f（x+1）﹣f（x）=2x得2ax+a+b=2x对于x∈R恒成立，故…（3分）又由f（0）=1得c=1，解得a=1，b=﹣1，c=1，所以f（x）=x2﹣x+1．…（5分）（2）因为g（x）=f（x）﹣2tx=x2﹣（2t+1）x+1的图象关于直线x=对称，又函数g（x）在[﹣1，5]上是单调函数，故≤﹣1或，…（8分）解得t≤或故实数t的取值范围是（﹣∞，]∪[，+∞）．…（10分）（3）由方程f（x）=x+m得x2﹣2x+1﹣m=0，令h（x）=x2﹣2x+1﹣m，x∈（﹣1，2），即要求函数h（x）在（﹣1，2）上有唯一的零点，…（11分）①若h（﹣1）=0，则m=4，代入原方程得x=﹣1或3，不合题意；…（12分）②若h（2）=0，则m=1，代入原方程得x=0或2，满足题意，故m=1成立；…（13分）③若△=0，则m=0，代入原方程得x=1，满足题意，故m=0成立；…（14分）④若m≠4且m≠1且m≠0时，由得1＜m＜4．综上，实数m的取值范围是{0}∪[1，4）．…（16分）（说明：第3小题若采用数形结合的方法进行求解，正确的给（3分），不正确的得0分）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．20．（16分）已知二次函数f（x）=x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的解析式；（2）求（1）中g（m）的最大值；（3）若函数y=|f（x）|在[2，4]上是单调增函数，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用对称轴和区间[﹣1，1]的关系进行分类讨论，求出函数的最小值g（m）．（2）利用g（m）的表达式求函数g（m）的最大值．（3）利用条件y=|f（x）|在[2，4]上是单调增函数，确定实数m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣mx+m﹣1=，对称轴为x=．①若，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，所以最小值g（m）=f（﹣1）=2m．②若，此时当x=时，函数f（x）最小，最小值g（m）=f（）=．③若，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，所以最小值g（m）=f（1）=0．综上g（m）=．（2）由（1）知g（m）=．当m＜﹣2时，g（m）=2m＜﹣4，当﹣2≤m≤2，g（m）==当m＞2时，g（m）=0．综上g（m）的最大值为0．（3）要使函数y=|f（x）|在[2，4]上是单调增函数，则f（x）在[2，4]上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，∴，所以或，解得m≤3或m≥8．【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，综合性较强，要求熟练掌握二次函数性质和应用．。

江苏省南通市启东中学2017-2018学年高一（上）第二次月考数学试卷一、填空题1．（5分）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N=．2．（5分）将时钟的分针拨快30min，则时针转过的弧度为．3．（5分）设f（2x﹣1）=2x﹣1，则f（x）的定义域是．4．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x 取值范围是．5．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=．6．（5分）已知，（|a|≤1），则cos（+θ）的值为．7．（5分）函数y=ax2+bx与y=（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是．8．（5分）已知函数，则f（x）的值域是．9．（5分）实数x满足log3x=1+sinθ，则|x﹣1|+|x﹣9|的值为．10．（5分）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是．11．（5分）函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，下列结论：①图象C关于直线x=对称；②图象C关于点（）对称；③f（x）在区间（）上是增函数；④函数g（x）=3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到f（x）的图象，其中正确的命题序号是．12．（5分）已知，则sin y﹣cos2x的最大值为．13．（5分）已知函数f（x）=是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是．二、解答题15．（14分）已知角α的终边经过点P（﹣，y），且sin α=y（y≠0），判断角α所在的象限，并求cos α，tan α的值．16．（14分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣ax+a﹣1=0}，C={x|x2﹣mx+2=0}，且A ∪B=A，A∩C=C，求实数a，m的取值范围．17．（15分）已知a＞0，函数f（x）=﹣2a sin（2x+）+2a+b，当x∈[0，]时，﹣5≤f（x）≤1．（1）求常数a，b的值；（2）设g（x）=f（x+）且lg g（x）＞0，求g（x）的单调区间．18．（15分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（Ⅰ）请分析函数y=+2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（Ⅱ）若该公司采用函数模型y=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．19．（16分）已知幂函数（m∈N*）．（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若函数f（x）的图象经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．20．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的范围；（Ⅲ）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0有三个不同的实数解，求实数k的范围．【参考答案】一、填空题1．{0，1}【解析】因为集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}={x|x=0，1}，则M∩N={0，1}．故答案为：{0，1}2．﹣【解析】分针拨快30min，是按照顺时针方向，得到的角是一负角，把钟表拨快30min，时针走过30度的，∴时针走过的弧度数是﹣×=﹣，故答案为：﹣．3．（﹣1，+∞）【解析】∵x∈R，∴2x＞0，∴2x﹣1＞﹣1，∴f（x）的定义域是（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）.4．（，）【解析】如图所示：∵f（2x﹣1）＜f（）∴﹣＜2x﹣1＜，即＜x＜．故答案为：（，）5．【解析】∵f（x）•f（x+2）=13∴f（x+2）•f（x+4）=13，∴f（x+4）=f（x），∴f（x）是一个周期为4的周期函数，∴f（99）=f（4×25﹣1）=f（﹣1）==．故答案为：．6．﹣a【解析】∵已知，（|a|≤1），则cos（+θ）=﹣cos[π﹣（+θ）]=﹣cos（﹣θ）=﹣a，故答案为：﹣a．7．④【解析】（1）若||＞1，则单调递增，①，②符合；由①，②中函数y=ax2+bx 的图象知||，与此时||不符，所以排除①，②．（2）若0＜||＜1，则x单调递减，③，④符合；由③中y=ax2+bx的图象知，与此时0＜||不符，所以排除③．故答案为：④．8．【解析】=画图可得f（x）的值域是，故答案为：.9．8【解析】由于﹣1≤sinθ≤1，∴0≤1+sinθ≤2．又log3x=1+sinθ，∴0＜1+sinθ≤2．x=31+sinθ∈（1，9]．故|x﹣1|+|x﹣9|=x﹣1+9﹣x=8，故答案为：8.10．[﹣5，﹣2）∪（0，2）【解析】由于奇函数关于原点对称，故函数（x）在定义域为[﹣5，5]的图象如图：由图象知不等式f（x）＜0的解集是[﹣5，﹣2）∪（0，2）故答案为：[﹣5，﹣2）∪（0，2）11．③【解析】函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，令x=，求得f（x）=0，故图象C不关于直线x=对称，故排除①；令x=﹣，求得f（x）=﹣，故图象C不关于点（，0）对称，故排除②；在区间（）上，2x﹣∈（﹣，），故f（x）在区间（）上是增函数，故③正确；把函数g（x）=3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到y=3sin（2x﹣）的图象，故④不正确，故答案为：③．12．【解析】∵，∴sin y=﹣sin x，∵﹣1≤﹣sin x≤1，∴﹣≤sin x≤1，∴sin y﹣cos2x=﹣sin x﹣（1﹣sin2x）=，∴sin x=﹣时，sin y﹣cos2x的最大值为=，故答案为．13．[，]【解析】函数f（x）=是定义域上的递减函数，可得：，解得＜a≤，故答案为：[，]．14．（1，2]【解析】∵函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，∴g（x）在[m，+∞）上有一个零点，在（﹣∞，m）上有两个零点；∴；解得，1＜m≤2；故答案为：（1，2]．二、解答题15．解：∵角α的终边经过点P（﹣，y），且sin α=y（y≠0），∴r=|OP|=，∴sin α==y．∵y≠0，∴9+3y2=16，解得y=±，∴角α在第二或第三象限，r==，当角α在第二象限时，y=，cos α===﹣，tan α===﹣；当角α在第三象限时，y=﹣，cos α===﹣，tan α===．16．解：由已知得A={1，2}，B={x|（x﹣1）（x﹣a+1）=0}，由A∪B=A，知B⊆A由题意知B≠∅，当B为单元素集合时，只需a=2，此时B={1}满足题意．当B为双元素集合时，只需a=3，此时B={1，2}也满足题意所以a=2或a=3，由A∩C=C得C⊆A当C是空集时，△=m2﹣8＜0即﹣2＜m＜2；当C为单元素集合时，△=0，求得m=±2，此时C={}或C={﹣}，此时不满足题意，舍去；当C为双元素集合时，C只能为{1，2}，此时m=3；综上m的取值集合为{m|m=3或﹣2＜m＜2}．17．解：f（x）=﹣2a sin（2x+）+2a+b，（1）当x∈[0，]时，2x+∈[，]．∴﹣≤sin（2x+）≤1．∴﹣2a≤﹣2a sin（2x+）≤a．则b≤f（x）≤3a+b．∵﹣5≤f（x）≤1．∴，解得：a=2，b=﹣5得f（x）=﹣4sin（2x+）﹣1．（2）g（x）=f（x+），即g（x）=﹣4sin[2（x）+]﹣1=﹣4sin（2x+）﹣1=4sin（2x+）﹣1．∵lg g（x）＞0，即lg g（x）＞lg1．可得：4sin（2x+）﹣1＞1．∴sin（2x+）＞．可得：＜2x+≤，k∈Z．求g（x）的单调增区间．∴＜2x+≤，k∈Z．解得：kπ＜x≤．g（x）的单调增区间为（kπ，]，k∈Z．求g（x）的单调减区间．∴≤2x+＜，解得：≤x单调减区间为[，），k∈Z．18．解：（Ⅰ）对于函数模型f（x）=+2当x∈[10，1000]时，f（x）为增函数，f（x）max=f（1000）=+2=+2＜9，所以f（x）≤9恒成立；）但当x=10时，f（10）=+2＞，即f（x）≤不恒成立故函数模型y=+2不符合公司要求；（Ⅱ）对于函数模型g（x）=，即g（x）=10﹣当3a+20＞0，即a＞﹣时递增，为使g（x）≤9对x∈[10，1000]恒成立，即要g（1000）≤9，3a+18≥1000，即a≥，为使g（x）≤对x∈[10，1000]恒成立，即要≤，即x2﹣48x+15a≥0恒成立，即（x﹣24）2+15a﹣576≥0（x∈[10，1000]）恒成立，又x=24∈[10.1000]，故只需15a﹣576≥0即可，所以a≥，综上所述，a≥，所以满足条件的最小的正整数a的值为328.19．解：（1）m为正整数，则：m2+m=m（m+1）为偶数，令m2+m=2k，则：，据此可得函数的定义域为[0，+∞），函数在定义域内单调递增．（2）由题意可得：，求解关于正整数m的方程组可得：m=1（m=﹣2舍去），则：，不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）脱去f符号可得：2﹣a＞a﹣1≥0，求解不等式可得实数a的取值范围是：．20．解：（Ⅰ）（1）g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数故当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数故∵b＜1∴a=1，b=0（Ⅱ）由（Ⅰ）即g（x）=x2﹣2x+1.．方程f（2x）﹣k•2x≥0化为，，令，k≤t2﹣2t+1，∵x∈[﹣1，1]∴记φ（t）=t2﹣2t+1，∴φ（t）min=0，∴k≤0；（Ⅲ）方程，化为，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1记φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k）则或∴k＞0．。

江苏省启东中学2017—2018学年度上学期期初考试高一数学理试题(创新班)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上1．已知集合，，若，则实数的值为________．2．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝ .3．若则 ．4．奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集为 ．5.已知集合，，若则实数的取值范围是，其中 ．6．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则实数的值为____________．7.方程在区间上的解为________________.8．如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 边的中点，AF 交BD 于E ，若，则 ．9. 函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为___________． 10.函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若则实数的取值范围是________． 11.已知函数的定义域是（为整数），值域是，则满足条件的整数数对共有 个.12.奇函数满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根,则1234_________.x x x x +++=13．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°，若，则 ．14．已知，若21cos sin cos sin 2=+-y x y x ，则的最小值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本题14分).设集合，}0)4)(2(|{<+-=x x x B .(1)求集合；(2)若不等式的解集为，求的值.16．(本题14分)．已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b（1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．17．(本题14分).某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产百台时，又需可变成本(即另增加投入)万元．市场对此商品的年需求量为百台，销售的收入(单位:万元)函数为()()215052R x x x x =-≤≤，其中是产品生产的数量（单位：百台）.（1）将利润表示为产量的函数； （2）年产量是多少时，企业所得利润最大？18．(本题16分).已知函数其中，．（1）若cos cos,sin sin 0,44ππϕϕ3-=求的值； （2）在（1）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数．19．(本题16分).若函数满足下列条件：在定义域内存在使得()()()1100f x f x f +=+成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质．(1)证明：函数具有性质，并求出对应的的值；(2)已知函数具有性质，求的取值范围．20.(本题16分)．已知时，解不等式．(1)当时，解不等式；(2)若关于的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰有一个元素，求的取值范围；(3)设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过，求的取值范围．。

2016—2017学年江苏省南通市启东中学高一（上）9月段考数学试卷（创新班）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．不等式x2+2x＜3的解集为（答案要求用集合形式表达）2．在△ABC中，已知AB=3,BC=2，∠B=60°，则AC=．3．已知等比数列{a n｝的各项都是正数,且a4a10=16，则a7=．4．设△ABC的内角A，B,C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为．5．方程3sinx=1+cos2x在区间［0，2π]上的解为．6．在数列｛a n}中，a1=2，a n+1=1﹣a n（n∈N＊），S n为数列的前n项和，则S2015﹣2S2016+S2017的值为．7．函数f(x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是．8．若x，y满足,则2x+y的最大值为．9．已知正数a，b满足ab=a+b+3,则a+b的最小值为．10．已知数列{a n}是以3为公差的等差数列，S n是其前n项和，若S10是数列｛S n｝中的唯一最小项，则数列{a n}的首项a1的取值范围是．11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=．12．各项均为正数的等比数列｛a n}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是．13．已知函数f（x）=，a∈R．若对于任意的x∈N*，f （x）≥4恒成立，则a的取值范围是．14．无穷数列｛a n｝由k个不同的数组成，S n为｛a n｝的前n项和,若对任意n∈N*,S n∈｛2，3｝，则k的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．(Ⅰ）求∠B的大小；(Ⅱ)求cosA+cosC的最大值．16．（14分)在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b,c,已知2（tanA+tanB)=+．(Ⅰ）证明:a+b=2c；（Ⅱ)求cosC的最小值．17．（14分）对于实数x∈（0,），f（x）=+．（1）若f（x）≥t恒成立，求t的最大值M;（2）在(1）的条件下，求不等式x2+｜x﹣2｜+M≥3的解集．18．（16分）已知数列｛a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n｝是等差数列,且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列｛b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列｛c n}的前n项和T n．19．（16分)请用多种方法证明不等式：（用一种方法得8分，两种方法得14分，三种方法得16分．）已知a，b∈（0,+∞），证明：+≥+．20．（16分）设A是由有限个正整数组成的集合，若存在两个集合B，C满足:①B∩C=∅；②B∪C=A；③B的元素之和等于C的元素之和,则称集合A“可均分"．（1）证明：集合A={1,2，3,4，5，6，7，8}“可均分”;(2)证明：集合A={2015+1,2015+2，…,2015+93｝“可均分”;（3）求出所有的正整数k，使得A=｛2015+1，2015+2，…，2015+k｝“可均分”．2016—2017学年江苏省南通市启东中学高一（上)9月段考数学试卷（创新班）参考答案与试题解析一、填空题(共14小题，每小题5分，满分70分)1．不等式x2+2x＜3的解集为（﹣3，1）（答案要求用集合形式表达）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；函数思想；分析法;不等式的解法及应用．【分析】构造函数y=x2+2x﹣3，根据二次函数的图象和性质，分别函数y=x2+2x﹣3的图象的开口方向及与x轴的交点坐标，进而得到不等式x2+2x＜3的解集．【解答】解：令y=x2+2x﹣3，函数y=x2+3x+2的图象是开口方向朝上的抛物线且函数的图象与x轴交于（﹣3，0）,（1，0）点故当x∈（﹣3，1）时,y=x2+2x﹣3＜0，故不等式x2+2x＜3的解集为（﹣3，﹣1)，故答案为：(﹣3,1）【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，其中熟练掌握二次函数与对应二次不等式解集之间的关系,将将不等式问题转化为分析函数图象问题，是解答本题的关键．2．在△ABC中,已知AB=3，BC=2,∠B=60°,则AC=．【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想;综合法；解三角形．【分析】由已知利用余弦定理即可计算求值得解．【解答】解：∵在△ABC中，已知AB=3，BC=2，∠B=60°，∴由余弦定理可得：AC===．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题．3．已知等比数列｛a n｝的各项都是正数，且a4a10=16，则a7=4．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题;转化思想;定义法；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质得a4a10==16，由此能求出a7．【解答】解：∵等比数列{a n}的各项都是正数,a4a10==16，a7=4，或a7=﹣4．(舍）故答案为：4．【点评】本题考查等比数列的第7项的求法,是基础题,解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．4．设△ABC的内角A，B,C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状为直角三角形．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA 的值进而求得A，判断出三角形的形状．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A,∵sinA≠0,∴sinA=1，A=,故三角形为直角三角形，故答案为：直角三角形．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦．5．方程3sinx=1+cos2x在区间［0,2π］上的解为或．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题；规律型;转化思想；三角函数的求值．【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．【解答】解:方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2,（舍去）sinx=，x∈[0,2π］解得x=或．故答案为:或．【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．6．在数列｛a n}中,a1=2,a n+1=1﹣a n（n∈N*），S n为数列的前n项和，则S2015﹣2S2016+S2017的值为3．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由a1=2，a n+1=1﹣a n（n∈N*)，a2=﹣1，a3=2，a4=﹣1,数列的奇数项为2，偶数项为﹣1，S2015﹣2S2016+S2017=﹣a2016+a2017=2﹣（﹣1)=3．【解答】解：由题意可知：a1=2，a n+1=1﹣a n(n∈N＊）,∴a2=﹣1，a3=2，a4=﹣1∴数列的奇数项为2,偶数项为﹣1，S2015﹣2S2016+S2017=﹣a2016+a2017=2﹣(﹣1）=3，故答案选:3．【点评】本题考查利用数列的递推公式求解数列的项,考查数列的周期性,考查计算能力，属于基础题．7．函数f(x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】转化思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】利用辅助角公式以及三角函数的倍角公式将函数进行化简，结合三角函数的周期公式进行求解即可．【解答】解：f（x）=（sinx+cosx)(cosx﹣sinx)=2sin（x+）×2cos（x+）=2sin （2x+)，则函数的周期T==π，故答案为：π．【点评】本题主要考查三角函数周期的计算，根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．8．若x，y满足，则2x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解,求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得,即A(1,2）,代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知正数a，b满足ab=a+b+3，则a+b的最小值为6．【考点】基本不等式．【专题】计算题;转化思想；综合法；不等式．【分析】本题从形式上看可以利用基本不等式把所给的等式转化为关于a+b不等式，解出其范围,即可得到所求的最小值．【解答】解：∵a、b都为正数且满足ab=a+b+3，∴（)2≥ab=a+b+3等号当a=b时成立．∴(a+b)2﹣4（a+b）﹣12≥0∴a+b≥6或a+b≤﹣2（舍）a+b的最小值为6，故答案为：6．【点评】本题考查基本不等式,求解本题的关键是利用基本不等式的特点将方程变为不等式，从而解不等式得出所求的范围，由于基本不等式有几种形式，故解题时要根据题设中的条件选择恰当的形式进行变换．10．已知数列{a n｝是以3为公差的等差数列，S n是其前n项和，若S10是数列｛S n}中的唯一最小项,则数列｛a n｝的首项a1的取值范围是（﹣30，﹣27）．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】先根据其为等差数列得到其前n项和的表达式，再结合开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小得到关于首项a1的不等式，解不等式即可求出首项a1的取值范围【解答】解：因为数列{a n｝是以3为公差的等差数列；所以：=n=+(）n．对称轴n==．∵若S10是数列｛S n}中的唯一最小项，∴9＜n＜10，即⇒﹣30＜a1＜﹣27．故答案为：(﹣30，﹣27）．【点评】本题主要考查等差数列的基本性质以及二次函数的性质应用，是对基础知识的综合考查，考查计算能力以及分析能力．11．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A= 30°．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a,再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解:将sinC=2sinB利用正弦定理化简得:c=2b，代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2,∴由余弦定理得：cosA===,∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为：30°【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．12．各项均为正数的等比数列｛a n｝中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是．【考点】简单线性规划；等比数列；等比数列的通项公式．【专题】计算题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】根据题中的不等式组，联想到运用线性规划的知识解决问题．因此,将所得的不等式的两边都取常用对数，得到关于lga1和lgq的一次不等式组，换元:令lga1=x，lgq=y，lga4=t,得到关于x、y的二次一次不等式组，再利用直线平移法进行观察，即可得到a4的取值范围．【解答】解：设等比数列的公比为q，根据题意得：，∴各不式的两边取常用对数，得令lga1=x，lgq=y，lga4=t将不等式组化为:,作出以上不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部其中A(0，lg2），B(2lg2﹣lg3，lg3﹣lg2），C（0，lg3）将直线l：t=x+3y进行平移，可得当l经过点A时，t=3lg2取得最大值；当l经过点B时,t=﹣lg2+2lg3取得最小值∴t=lga4∈[﹣lg2+2lg3，3lg2],即lga4∈[lg，lg8]由此可得a4的取值范围是故答案为：【点评】本题给出等比数列，在已知a1≥1，a2≤2，a3≥3的情况下求a4的取值范围．着重考查了等比数列的通项公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．13．已知函数f（x)=,a∈R．若对于任意的x∈N*，f (x）≥4恒成立,则a的取值范围是［，+∞）．【考点】基本不等式；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数f （x）=,a∈R．若对于任意的x∈N＊，f （x）≥4恒成立，我们可将其转化为a≥恒成立，进而将其转化为a≥g(x）max=，解不等式可得a的取值范围．【解答】解：∵函数f （x）=,且f （x)≥4，对于任意的x∈N＊恒成立即a≥==令g(x）=，则g（x)≤6﹣4，当且仅当x=2﹣1时g（x)取最大值又∵x∈N＊，∴当x=2时，g（x）取最大值故a≥即a的取值范围是［,+∞）故答案为：［，+∞）【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，其中将其转化为函数的最值，是转化思想在解答此类问题时的亮点，应引起大家的注意．14．无穷数列｛a n｝由k个不同的数组成，S n为｛a n}的前n项和，若对任意n∈N*,S n∈｛2，3｝，则k的最大值为4．【考点】数列与函数的综合．【专题】分类讨论；分析法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】对任意n∈N*，S n∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4．【解答】解：对任意n∈N＊，S n∈｛2，3},可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2,由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2,0;或2,1；或3，0；或3,﹣1；若n=3，由S3∈{2，3｝，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1;或2,1,0;或2，1，﹣1；或3，0,0;或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1,﹣1;若n=4，由S3∈{2，3｝，可得数列的前四项为2,0，0，0；或2，0,0，1；或2,0，1，0;或2，0,1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0,﹣1；或2，1，﹣1,0;或2，1,﹣1，1;或3，0，0，0；或3，0,0，﹣1；或3，0,﹣1，0；或3，0，﹣1,1;或3,﹣1,0，0；或3，﹣1，0，1；或3,﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4,不同的四个数均为2,0,1,﹣1，或3，0，1，﹣1．故答案为：4．【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法,注意运用归纳思想，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分,请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）(2016•北京)在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大小;（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形．【分析】（Ⅰ）根据已知和余弦定理，可得cosB=，进而得到答案;（Ⅱ）由（I)得:C=﹣A，结合正弦型函数的图象和性质,可得cosA+cosC的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a2+c2=b2+ac．∴a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∴B=(Ⅱ）由（I）得：C=﹣A,∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=cosA+sinA=sin（A+）．∵A∈（0，)，∴A+∈（，π)，故当A+=时,sin（A+)取最大值1,即cosA+cosC的最大值为1．【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档．16．（14分)(2016•山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b,c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ)证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理;余弦定理．【专题】计算题；证明题;综合法；解三角形．【分析】(Ⅰ）由切化弦公式,带入并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC,从而根据正弦定理便可得出a+b=2c；(Ⅱ)根据a+b=2c，两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2，从而得出a2+b2=4c2﹣2ab，并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab，也就得到了，这样由余弦定理便可得出,从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值．【解答】解：(Ⅰ)证明:由得:；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin(A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1)；根据正弦定理，；∴，带入(1）得:；∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2;∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号;又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=;∴cosC的最小值为．【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理,不等式a2+b2≥2ab的应用，不等式的性质．17．（14分）对于实数x∈（0，），f（x)=+．(1）若f（x)≥t恒成立，求t的最大值M；（2）在(1)的条件下，求不等式x2+|x﹣2｜+M≥3的解集．【考点】函数的最值及其几何意义;绝对值不等式的解法．【专题】综合题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（1）利用“1"的代换，结合基本不等式，求出t的最大值M；(2）在（1）的条件下，不等式x2+|x﹣2|+M≥3，即不等式x2+｜x﹣2｜﹣2≥0，分类讨论，可得解．【解答】解：（1)f（x）=+=（sin2x+cos2x)（+）=++≥1，当且仅当=时取等号．∵f（x）≥t恒成立，∴t≤1，∴t的最大值M=1；（2)不等式x2+｜x﹣2｜+M≥3,即不等式x2+｜x﹣2｜﹣2≥0．x≥2时,x2+x﹣4≥0，∴x≥2；x＜2时，x2﹣x≥0，∴x≤0或1≤x＜2；综上所述x≤0或x≥1,∴不等式x2+|x﹣2|+M≥3的解集为{x｜x≤0或x≥1｝．【点评】本题考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．18．(16分）（2016•山东）已知数列｛a n｝的前n项和S n=3n2+8n，｛b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．(Ⅰ）求数列{b n｝的通项公式;（Ⅱ)令c n=，求数列｛c n｝的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；转化思想;综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ)求出数列｛a n}的通项公式,再求数列｛b n}的通项公式;（Ⅱ）求出数列{c n｝的通项，利用错位相减法求数列｛c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1,∴a n﹣1=b n﹣1+b n，∴a n﹣a n﹣1=b n+1﹣b n﹣1．∴2d=6,∴d=3,∵a1=b1+b2,∴11=2b1+3，∴b1=4,∴b n=4+3(n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n===6(n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n］①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1)•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣(n+1)•2n+1］=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．【点评】本题考查数列的通项与求和,着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．19．（16分）请用多种方法证明不等式:（用一种方法得8分，两种方法得14分，三种方法得16分．）已知a，b∈（0,+∞），证明：+≥+．【考点】不等式的证明．【专题】证明题;转化思想；演绎法；不等式．【分析】方法一：利用基本不等式，即可证明结论．方法二：利用分析法,即可证明结论．方法三:利用作差法，即可证明结论．【解答】证明：方法一：+≥2，+≥2，∴+++≥2+，∴+≥+．方法二：要证明+≥+，只要证明+++≥2+，只要证明+≥2，+≥2，显然成立，∴+≥+．方法三：+﹣﹣=+=≥0，∴+≥+．【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，比较基础．20．（16分）设A是由有限个正整数组成的集合，若存在两个集合B，C满足：①B∩C=∅；②B∪C=A；③B的元素之和等于C的元素之和,则称集合A“可均分"．（1）证明：集合A=｛1，2，3，4，5，6，7,8｝“可均分”；（2）证明：集合A=｛2015+1,2015+2，…,2015+93}“可均分”；（3）求出所有的正整数k，使得A={2015+1，2015+2，…,2015+k}“可均分”．【考点】集合的表示法．【专题】新定义；集合思想；集合．【分析】（1）根据“可均分”的定义进行判断即可；（2）结合可均分的定义进行证明；(3)根据“可均分”的定义进行求解．【解答】（1)证明：设B1={2，3，6,7｝，C1=｛1，4，5,8｝，则得到的B，C满足条件①②③，则A=｛1，2,3，4，5,6，7，8｝“可均分”；（2）证明：设B1={2015+1，2015+2，…，2015+47｝,C1={2015+48,2015+49，…，2015+93}，考虑到［（2015+48）+(2015+49)+…+（2015+93）］﹣[（2015+1）+（2015+2)+…+（2015+47)］=46×46﹣（2015+1）=100．将B1中的2015+1与C1中的2015+51交换，得到集合B，C，则得到的B，C满足条件①②③，则集合A=｛2015+1,2015+2,…,2015+93｝“可均分”；(3）解:一方面,假设A={2015+1，2015+2，…，2015+k}“可均分”，则存在B，C满足条件①②③，∴(2015+1）+（2015+2）+…+(2015+k)=2016k+为偶数，∴k=4a或k=4a+1（a∈N*）．设k=4a+1，不妨设B中的元素个数大于等于2a+1，C中的元素个数小于等于2a，于是B的元素之和S B≥（2015+1）+（2015+2)+…+［2015+（2a+1)]，C的元素之和S C≤[2015+(2a+2）]+[2015+(2a+3）]+…+［2015+（4a+1)］，整理得：（2015+1）+（2015+2）+…+[2015+(2a+1)]≤[2015+(2a+2）］+［2015+（2a+3）］+…+［2015+(4a+1）］，即2016(2a+1）+≤2a（2017+2a）+，即4032a+2016+4a2+a≤4034a+4a2+2a2﹣a，解得：a2≥504，即a≥23，∴k=4a(a∈N＊）或k=4a+1（a≥23，a∈N＊）;另一方面，当k=4a（a∈N＊）时，A=｛2015+1，2015+2,…,2015+k｝中的连续四个必可分成两两一组，其和相等；∴A={2015+1,2015+2,…，2015+k}“可均分”；当k=4a+1(a≥23，a∈N＊)时，由（Ⅱ）问可知A=｛2015+1，2015+2，…,2015+k｝的前93个数组成的集合“可均分", 由前面的讨论知可将剩下的4p个元素分成和相等的两个不相交的子集，即此时A=｛2015+1，2015+2，…，2015+k｝“可均分”．综上，k=4a（a∈N*)或k=4a+1（a≥23，a∈N＊）．【点评】本题主要考查与集合有关的新定义的应用，综合性较强，难度较大．。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则集合A∩B= ．2．已知A={﹣1，3，m}，集合B={3，4}，若B⊆A，则实数m= ．3．函数y=定义域．（区间表示）4．若f（1﹣x）=x2，则f（1）= ．5．若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B的真子集个数为．6．函数f（x）=x（1﹣x）的单调增区间为．7．给定映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），则映射f下的对应元素为（3，1），则它原来的元素为．8．若函数的定义域和值域都是[1，b]，则b的值为．9．若集合A={x|kx2+4x+4=0}，x∈R中只有一个元素，则实数k的值为．10．函数f（x）=1﹣的最大值是．11．若函数y=的定义域为R，则实数a的取值范围．12．函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数且为增函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，求a的范围．13．函数f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，则不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集为．（用区间表示）14．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则m的取值范围是．二、解答题（本大题6小题，共90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}．若B⊆A，求实数a的值．16．已知函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使等式f（x0）=x0成立，则称x=x0为函数f（x）的不动点，若x=±1均为函数f（x）=的不动点．（1）求a，b的值．（2）求证：f（x）是奇函数．17．某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}试求实数a 的取值范围使C⊆A∩B．19．已知二次函数f（x）=x2﹣4x﹣4在闭区间[t，t+2]（t∈R）上的最大值记为g（t），求g（t）的表达式，并求出g（t）的最小值．20．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=2，任取a，b∈[﹣1，1]，a+b ≠0，都有＞0成立．（1）证明函数f（x）在[﹣1，1]上是单调增函数．（2）解不等式f（x）＜f（x2）．（3）若对任意x∈[﹣1，1]，函数f（x）≤2m2﹣2am+3对所有的a∈[0，]恒成立，求m 的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则集合A∩B= {x|2＜x＜3} ．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的交集即可．解答：解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知A={﹣1，3，m}，集合B={3，4}，若B⊆A，则实数m= 4 ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：先由B⊆A知，集合B是集合A的子集，然后利用集合子集的定义得集合A必定含有4求出m即可．解答：解：已知A={﹣1，3，m}，集合B={3，4}，若B⊆A，即集合B是集合A的子集．则实数m=4．故填：4．点评：本题主要考查了集合的关系，属于求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型．3．函数y=定义域（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）．（区间表示）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．解答：解：要使函数f（x）有意义，则，即，解得x＞﹣2且x≠﹣1，即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞），故答案为：（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．4．若f（1﹣x）=x2，则f（1）= 0 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式，进行转化即可．解答：解：∵f（1﹣x）=x2，∴f（1）=f（1﹣0）=02=0，故答案为：0点评：本题主要考查函数值的计算，比较基础．5．若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B的真子集个数为15 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的并集，找出并集的真子集个数即可．解答：解：∵A={1，2，3}，B={1，3，4}，∴A∪B={1，2，3，4}，则A∪B的真子集个数为24﹣1=15．故答案为：15点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．6．函数f（x）=x（1﹣x）的单调增区间为（﹣∞，] ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=﹣+，可得函数的增区间．解答：解：由于函数f（x）=x（1﹣x）=﹣+，故函数的增区间为（﹣∞，]，故答案为：（﹣∞，]．点评：本题主要考查二次函数的单调性，属于基础题．7．给定映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），则映射f下的对应元素为（3，1），则它原来的元素为（1，1）．考点：映射．专题：函数的性质及应用．分析：本题已知映射f的对应法则和映射的象，可列出参数x、y相应的关系式，解方程组求出原象，得到本题题结论．解答：解：∵映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），映射f下的对应元素为（3，1），∴，∴．∴（3，1）原来的元素为（1，1）．点评：本题考查的是映射的对应关系，要正确理解概念，本题运算不大，属于容易题．8．若函数的定义域和值域都是[1，b]，则b的值为 3 ．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：先根据f（x）在[1，b]上为增函数，当x=1时，f（x）=1，当x=b时，f（x）=（b ﹣1）2+1=b，可得然后把b代入即可得出答案．解答：解：∵函数的定义域和值域都是[1，b]，且f（x）在[1，b]上为增函数，∴当x=1时，f（x）=1，当x=b时，f（x）=（b﹣1）2+1=b，解得：b=3或b=1（舍去），∴b的值为3，故答案为：3．点评：本题考查了函数的值域及函数的定义域的求法，属于基础题，关键是根据f（x）在[1，b]上的单调性求解．9．若集合A={x|kx2+4x+4=0}，x∈R中只有一个元素，则实数k的值为0或1 ．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：集合A表示的是方程的解；讨论当二次项系数为0时是一次方程满足题意；再讨论二次项系数非0时，令判别式等于0即可．解答：解：当k=0时，A={x|4x+4=0}={﹣1}满足题意当k≠0时，要集合A仅含一个元素需满足△=16﹣16k=0解得k=1故k的值为0；1故答案为：0或1点评：本题考查解决二次型方程的根的个数问题时需考虑二次项系数为0的情况、考虑判别式的情况．10．函数f（x）=1﹣的最大值是 1 ．考点：函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由观察法可直接得到函数的最大值．解答：解：∵≥0，∴1﹣≤1，即函数f（x）=1﹣的最大值是1．故答案为：1．点评：本题考查了函数的最大值的求法，本题用到了观察法，属于基础题．11．若函数y=的定义域为R，则实数a的取值范围[0，）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意得不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：，解得：0≤a＜，故答案为：[0，）．点评：本题考查了二次函数，二次根式的性质，是一道基础题．12．函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数且为增函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，求a的范围．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：将不等式进行转化，利用函数的单调性和奇偶性，即可得到结论．解答：解答：解：∵f（x）为奇函数，∴f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0可化为f（1﹣a）＞﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），又f（x）在定义域（﹣1，1）上递增，∴，即，解得0＜a＜1．∴a的取值范围为：0＜a＜1．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查抽象不等式的求解，考查学生的转化能力．综合考查函数的性质．13．函数f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，则不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集为（1，2] ．（用区间表示）考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先求出当x∈[0，2]时，解集为（1，2]，再由函数的奇偶性求出当x∈[﹣2，0]时，解集为（1，2]，即可求出不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集．解答：解：当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1＞0，即有x＞1，解集为（1，2]，函数f（x）是偶函数，所以图象是对称的，当x∈[﹣2，0]时，解集为（1，2]，综上所述，不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集为（1，2]，故答案为：解集为（1，2]．点评：本题主要考察了函数奇偶性的性质，属于基础题．14．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则m的取值范围是．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：根据题意确定函数的解析式为f（x）=，画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时m的取值范围．解答：解：由 2x﹣1≤x﹣1 可得 x≤0，由 2x﹣1＞x﹣1 可得 x＞0．∴根据题意得f（x）=．即 f（x）=，画出函数的图象，从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，函数的图象和直线y=m有三个不同的交点．再根据函数的极大值为f（）=，可得m的取值范围是（0，），故答案为（0，）．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．二、解答题（本大题6小题，共90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}．若B⊆A，求实数a的值．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题；分类讨论．分析：已知B⊆A，分两种情况：①B=∅，②B≠∅，然后再根据子集的定义进行求解；解答：解：显然集合A={﹣1，1}，对于集合B={x|ax=1}，当a=0时，集合B=∅，满足B⊆A，即a=0；当a≠0时，集合，而B⊆A，则，或，得a=﹣1，或a=1，综上得：实数a的值为﹣1，0，或1．点评：此题主要考查子集的定义及其性质，此题还用到分类讨论的思想，注意B=∅，这种情况不能漏掉；16．已知函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使等式f（x0）=x0成立，则称x=x0为函数f（x）的不动点，若x=±1均为函数f（x）=的不动点．（1）求a，b的值．（2）求证：f（x）是奇函数．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）直接利用定义把条件转化为f（﹣1）=﹣1，f（1）=1联立即可求a，b的值及f（x）的表达式；（2）根据奇函数的定义进行证明．解答：解：（1）有题意可得：解得：；（2）由（1）知，，故f（x）=，定义域是R，设任意x，则，f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故函数f（x）是奇函数．点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的奇偶性，属于基础题．17．某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题．分析：（1）先设月产量为x台，写出总成本进而得出利润函数的解析式；（2）分两段求出函数的最大值：当0≤x≤400时，和当x＞400时，最后得出当月产量为多少台时，公司所获利润最大及最大利润即可．解答：解：（1）设月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而利润（2）当0≤x≤400时，f（x）=，所以当x=300时，有最大值25000；当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，所以f（x）=60000﹣100×400＜25000．所以当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．点评：函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}试求实数a 的取值范围使C⊆A∩B．考点：一元二次不等式的解法；集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：先求出集合A与集合B，从而求出A∩B，讨论a的正负，根据条件C⊆A∩B建立不等关系，解之即可．解答：解：依题意得：A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＞1或x＜﹣3，}∴A∩B={x|1＜x＜4}（1）当a=0时，C=Φ，符合C⊆A∩B；（2）当a＞0时，C={x|a＜x＜2a}，要使C⊆A∩B，则，解得：1≤a≤2；（3）当a＜0时，C={x|2a＜x＜a}，∵a＜0，C∩（A∩B）=Φ，∴a＜0不符合题设．∴综合上述得：1≤a≤2或a=0．点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合关系中的参数取值问题，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．19．已知二次函数f（x）=x2﹣4x﹣4在闭区间[t，t+2]（t∈R）上的最大值记为g（t），求g（t）的表达式，并求出g（t）的最小值．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：首先不二次函数的一般式转化成顶点式，进一步求出对称轴方程，根据轴固定和区间不固定进行分类讨论，然后确定函数的单调性，进一步求出最大值和最小值．解答：解：（1）二次函数f（x）=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8二次函数的开口方向向上，对称轴方程：x=2①当t=1时，x∈[t，t+2]距离对称轴的距离相等，所以②当0＜t＜1时，x=t+2距离对称轴的距离比x=t的距离远，所以③当1＜t＜2时，x=t离对称轴的距离必x=t+2的距离远，所以④当t＜0时，函数为单调递减函数，所以⑤当t＞2时，函数是单调递增函数，所以（2）①当0＜t＜2时，f（x）min=﹣8②当t＜0时，函数为单调递减函数，所以③当t＞2时，函数为单调递增函数，所以故答案为：①当t=1时，②当0＜t＜1时，③当1＜t＜2时，④当t＜0时，⑤当t＞2时，（2）①当0＜t＜2时，f（x）min=﹣8②当t＜0时，③当t＞2时，点评：本题考查的知识点：二次函数一般式与顶点式的转换，对称轴方程，二次函数轴固定与区间不固定之间的讨论，求二次函数的最值．20．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=2，任取a，b∈[﹣1，1]，a+b ≠0，都有＞0成立．（1）证明函数f（x）在[﹣1，1]上是单调增函数．（2）解不等式f（x）＜f（x2）．（3）若对任意x∈[﹣1，1]，函数f（x）≤2m2﹣2am+3对所有的a∈[0，]恒成立，求m 的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：（1）根据函数的奇偶性及已知不等式可得差的符号，由单调性的定义可作出判断；（2）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式可求，注意函数定义域；（3）对所有x[﹣1，1]，f（x）≤2m2﹣2am+3成立，等价于f（x）max≤2m2﹣2am+3，由单调性易求f（x）max，从而可化为关于a的一次函数，利用一次函数的性质可得关于m的不等式组．解答：解：（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，又f（x）是奇函数，于是f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=．据已知＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数．（2）f（x）＜f（x2），由函数单调性性质知，x＜x2，而﹣1≤x≤1，﹣1≤x2≤1故不等式的解集为{x|﹣1≤x＜0}．（3）对所有x[﹣1，1]，f（x）≤2m2﹣2am+3成立，等价于f（x）max≤2m2﹣2am+3，由f（x）在[﹣1，1]上的单调递增知，f（x）max=f（1）=2，所以2≤2m2﹣2am+3，即0≤2m2﹣2am+1，又对a∈[0，]恒成立，则有，解得m≤或m≥1，故实数m的取值范围为m≤或m≥1．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用，考查恒成立问题．考查转化思想，在解题时要利用好单调性和奇偶性的定义．。

2017年江苏省南通市启东中学高一上学期数学期初考试试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 不等式的解集为．2. 分解因式：．3. 函数的定义域为．4. 化简：（式中字母都是正数）．5. 已知（，为常数）的图象过点，则的值域为．6. 不等式的解集为．7. 若关于的方程的一个根大于、另一个根小于，则实数的取值范围为．8. 已知集合，且中至少有一个奇数，则这样的集合共有个．9. 已知集合，，若，则实数的取值范围为．10. 已知集合，且，，则实数的取值范围是．11. 已知，则．12. 已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为．13. 已知函数在区间上的最大值与最小值的差是，则实数的值为．14. 函数的定义域为，若满足①在内是单调函数，②存在，使在上的值域为，那么叫做闭函数，现有是闭函数，那么的取值范围是．二、解答题（共6小题；共78分）15. 已知，是一元二次方程的两个实数根．（1）是否存在实数，成立?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（2）求使的值为整数的实数的整数值．16. 已知集合，，若，求实数，满足的条件．17. （1）求函数的值域；（2）求函数的值域；（3）求函数，的值域．18. 某工厂生产一种机器的固定成本为元，且每生产部，需要加大投入元．对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年部，已知销售收入函数为，其中是产品售出的数量．（1）若为年产量，表示利润，求的解析式；（2）当年产量为何值时，工厂的年利润最大?其最大值是多少?19. 函数是定义在上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）用定义证明在上是增函数；（3）解不等式．20. 已知函数（且）．（1）求函数的定义域；（2）讨论函数的奇偶性；（3）求的取值范围，使在定义域上恒成立．答案第一部分 1.【解析】当 时， ， ，不等式化为 ，解得： ，此时不等式解集为 ；当 时， ， ，不等式化为 ，即 ，此时不等式解集为 ；当 时， ， ，不等式化为 ，解得： ，此时不等式解集为 ，综上，原不等式的解集为 ． 2.【解析】3. 4.【解析】原式5.【解析】由题意可得： ，解得： ， 则函数的解析式为： ，函数 单调递增，且： ， ， 据此可得函数 的值域为 ． 6. 或 【解析】由不等式，可得，穿根：可得不等式的解集为 或 ． 7.【解析】因为关于 的方程 的一个根大于 、另一个根小于 ，令 ，则 ，求得． 8.【解析】根据题意，集合，且中至少有一个奇数，即中必须有元素或，则，即这样的集合共有个．9.【解析】因为，所以①若，则，此时．②若，则解得．由①，②可得，实数的取值范围为．10.【解析】由题意知，，所以解得或．11. （或）【解析】因为所以（或）．12.【解析】由题意得，函数的定义域是，且，所以是奇函数，又，所以在上单调递增，所以可化为：，由递增知：，即，则对任意的，恒成立，等价于对任意的，恒成立，所以解得，即的取值范围是．13.【解析】当时，在上单调递增，所以当时，取到最小值，当时，取到最大值，所以，解得；当时，在上单调递减，所以当时，取到最大值，当时，取到最小值，所以，解得．14.【解析】函数的定义域为，且在定义域内是增函数，故满足①，又在上的值域为，所以，，所以，且，所以，且，且，，即故和是方程在上的两个根，令，则有解得，那么的取值范围是．第二部分15. （1）因为，是一元二次方程的两个实数根，所以所以，由根与系数的关系可得：，，所以，解得，而，所以不存在实数使得成立．（2）由根与系数的关系可得：，因为的值为整数，而为整数，所以只能取，，，又，所以整数的值为或或．16. 集合，因为，所以，所以集合有种情况：①，②，③，④．以下对种情况逐一解答：①，说明中的方程无解，即，经化简得；②，说明中的方程有两个不同的解分别是，，故，即，且满足所以③，说明中的方程有两个相同的解，均为，故，即，且满足，所以④，说明中的方程有两个相同的解，均为，故，即，且满足，所以综上①②③④可得：或或或17. （1）令，则，则，因为，所以，所以函数的值域是．（2），因为，所以，所以值域是．（3），因为，所以值域是．18. （1）利润等于销售收入减去成本，故（2）利用二次函数的性质可得，当时，函数取得最大值为（元），即：当年产量为部时，工厂的年利润最大，其最大值为：元．19. （1）依题意得即所以所以．（2）任取，则．因为，所以，，．又因为，所以，所以，所以在上是增函数．（3）原不等式等价于．因为在上是增函数，所以，解得．20. （1）函数（且）．由于，则，所以，故得函数的定义域为且．（2）对于定义域内任意的，有所以是偶函数．（3）①当时，对，所以，即，所以，又时，，，即时，，由（）知，是偶函数，即，则当时，，有成立，综上可知，当时，在定义域上恒成立．②当时，，当时，，此时，不满足题意；当时，，有，也不满足题意．综上可知，所求的取值范围是．即的取值范围为．。

2017-2018高一数学上学期期初试题（带答案江苏启东中学）江苏省启东中学2017－2018学年度第一学期期初考试高一数学试卷【满分160分考试时间120分钟命题人：杨黄健】一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．不等式的解为．2．分解因式：＝．3．函数f(x)＝x＋1＋12－x的定义域是；4．化简：（式中字母都是正数）＝__________．5．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象过点(2,1)，则f(x)的值域为________．6．不等式的解为．7．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个根大于1、另一个根小于1，则实数a的取值范围为．8.已知集合M{2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合共有________个．9.若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且BA，则m的取值范围为．10.已知集合A＝xax－1x－a0，且2∈A，3A，则实数a的取值范围是________．11．已知f（x＋1x）＝x3＋1x3，则f（x）；12．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)0恒成立，则x的取值范围为____________．13．已知函数在区间上的最大值与最小值的差是1，则实数的值为．14.函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数，②存在[a，b]D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y＝f(x)叫做闭函数，现有f(x)＝x＋2＋k 是闭函数，那么k的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本题满分14分）已知、是一元二次方程的两个实数根．（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（2）求使的值为整数的实数的整数值．16.（本题满分14分）已知集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若A∪B＝A，求实数a，b满足的条件．17.（本题满分15分）(1)求函数f(x)＝2x＋41－x的值域；(2)求函数f(x)＝5x＋4x－2的值域．(3)函数f(x)＝x2－2x－3,x∈(－1,4]的值域．18.（本题满分15分）某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100台需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500台，已知销售收入函数为：H(x)＝500x－12x2，其中x是产品售出的数量，且0≤x≤500.(1)若x为年产量，y为利润，求y＝f(x)的解析式；(2)当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？19.（本题满分16分）函数是定义在上的奇函数,且．（1）确定函数的解析式；（2）用定义证明在上是增函数；（3）解不等式．20.（本题满分16分）已知函数f(x)＝1ax－1＋12x3(a0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立．2017年江苏省启东中学高一年级开学考试数学答案1.答案：2.答案：3.{x|x≥－1且x≠2}4.a2．5.[1,9]6.7.8.69.{m|m≤3}10.13，12∪(2，3]11.f（x）＝x3－3x12.－2，2313.或14.－94，－215.答案：（1）由≠0和△≥0＜0，∵，∴，∴，而＜0，∴不存在。

江苏省启东中学2017－2018学年度第一学期期初考试高一数学试卷【满分160分 考试时间120分钟 命题人：杨黄健】一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．不等式 327x x ++-<的解为 ．2．分解因式：222(231)22331x x x x -+-+-＝ ．3．函数f (x )＝x ＋1＋12－x的定义域是 ；4．化简：（式中字母都是正数）2369)(a ·2639)(a ＝__________．5．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象过点(2,1)，则f (x )的值域为________．6．不等式1611x x <--的解为 ．7．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个根大于1、另一个根小于1，则实数a 的取值范围为 ．8. 已知集合M ⊆{2，3，5}，且M 中至少有一个奇数，则这样的集合共有________个．9. 若集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆ A ，则m 的取值范围为 ．10. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ax －1x －a <0，且2∈A ，3∉ A ，则实数a 的取值范围是________．11．已知f （x ＋1x ）＝x 3＋1x 3，则f （x ） ；12．已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为____________．13．已知函数xy a =(0,1)a a >≠在区间[1,1]-上的最大值与最小值的差是1，则实数a 的值为 ．14. 函数f(x)的定义域为D ，若满足① f(x)在D 内是单调函数，② 存在[a ，b]D ，使f(x)在[a ，b]上的值域为[a ，b]，那么y ＝f(x)叫做闭函数，现有f(x)＝x ＋2＋k 是闭函数，那么k 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本题满分14分）已知1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．（2）求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．16.（本题满分14分）已知集合A ＝{x |x 2－1＝0}，B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a ，b 满足的条件．17.（本题满分15分）(1)求函数f (x )＝2x ＋41－x 的值域； (2)求函数f (x )＝5x ＋4x －2的值域．(3)函数f (x )＝x 2－2x －3,x ∈(－1,4]的值域．18.（本题满分15分）某工厂生产一种机器的固定成本为5 000元，且每生产100台需要增加投入2 500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500台，已知销售收入函数为：H(x)＝500x －12x 2，其中x 是产品售出的数量，且0≤x ≤500.(1) 若x 为年产量，y 为利润，求y ＝f(x)的解析式；(2) 当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？19.（本题满分16分）函数2()1ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数,且12()25f =． （1）确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数； （3）解不等式(1)()0f t f t -+<．20.（本题满分16分）已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3(a>0且a ≠1)．(1) 求函数f(x)的定义域； (2) 讨论函数f(x)的奇偶性；(3) 求a 的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．2017年江苏省启东中学高一年级开学考试数学答案1. 答案：43x -<<2. 答案： (23)(3)(23)x x x x --+3. {x |x ≥－1且x ≠2}4. a 2．5. [1,9]6. 315x x -<<>或7. 2a <-8. 69. {m|m ≤3} 10. ⎣⎡⎭⎫13，12∪(2，3]11. f （x ）＝x 3－3x12. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，2313. a =或a = 14. ⎝⎛⎦⎤－94，－2 15. 答案：（1）由k ≠0和△≥0⇒k ＜0，∵121x x +=，1214k x x k+=∴212121212(2)(2)2()9x x x x x x x x --=+-9342k k +=-=-，∴95k =，而k ＜0，∴不存在。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（上）期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分、1、不等式|x+3|+|x﹣2|＜7解为、2、分解因式：（2x2﹣3x+1）2﹣22x2+33x﹣1=、3、函数f（x）=+定义域为、4、化简：（式中字母都是正数）（）2•（）2=、5、已知f（x）=3x﹣b（2≤x≤4，b为常数）图象过点（2，1），则f（x）值域为、6、不等式＜x﹣1解为、7、若关于x方程x2+x+a=0一个根大于1、另一个根小于1，则实数a取值范围为、8、已知集合M⊆{2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样集合共有个、9、已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m取值范围是、10、已知集合，且2∈A，3∉A，则实数a取值范围是、11、已知f（x+）=x3+，则f（x）=、12、已知函数f（x）=x3+x，对任意m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x取值范围为、13、已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，1]上最大值与最小值差是1，则实数a值为、14、函数f（x）定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]，那么y=f（x）叫做闭函数，现有f（x）=+k是闭函数，那么k取值范围是、二、解答题：本大题共6小题，共90分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、15、已知x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0两个实数根、（1）是否存在实数k，（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由、（2）求使+﹣2值为整数实数k整数值、16、已知集合A={x|x2﹣1=0}，B={x|x2﹣2ax+b=0}，若A∪B=A，求实数a，b满足条件、17、（1）求函数f（x）=2x+4值域；（2）求函数f（x）=值域、（3）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，4]值域、18、某工厂生产一种机器固定成本为5000元，且每生产100部，需要加大投入2500元、对销售市场进行调查后得知，市场对此产品需求量为每年500部，已知销售收入函数为，其中x是产品售出数量0≤x≤500、（1）若为x年产量，y表示利润，求y=f（x）解析式（2）当年产量为何值时，工厂年利润最大？其最大值是多少？19、函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上奇函数，且f（）=、（1）确定函数f（x）解析式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0、20、已知函数f（x）=（+）x3（a＞0且a≠1）、（1）求函数f（x）定义域；（2）讨论函数f（x）奇偶性；（3）求a取值范围，使f（x）＞0在定义域上恒成立、2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分、1、不等式|x+3|+|x﹣2|＜7解为（﹣4，3）、【考点】R5：绝对值不等式解法、【分析】根据﹣3和2，以及0分范围分类讨论求出x范围即可、【解答】解：当x＜﹣3时，x+3＜0，x﹣2＜0，不等式化为﹣x﹣3﹣x+2＜7，解得：x＞﹣4，此时不等式解集为﹣4＜x＜﹣3；当﹣3≤x＜2时，x+3≥0，x﹣2＜0，不等式化为x+3﹣x+2＜7，即5＜7，此时不等式解集为﹣3≤x＜2；当x≥2时，x+3＞0，x﹣2≥0，不等式化为x+3+x﹣2＜7，解得：x＜3，此时不等式解集为2≤x＜3，综上，原不等式解集为﹣4＜x＜3；故答案为：（﹣4，3）、2、分解因式：（2x2﹣3x+1）2﹣22x2+33x﹣1=x（2x﹣3）（x﹣3）（2x+3）、【考点】&M：因式分解定理、【分析】变形为（2x2﹣3x+1）2﹣22x2+33x﹣1=（2x2﹣3x+1）2﹣11（2x2﹣3x+1）+10，再利用“+字相乘法”即可得出、【解答】解：（2x2﹣3x+1）2﹣22x2+33x﹣1=（2x2﹣3x+1）2﹣11（2x2﹣3x+1）+10 =（2x2﹣3x+1﹣1）（2x2﹣3x+1﹣10）=x（2x﹣3）（x﹣3）（2x+3）、故答案为：x（2x﹣3）（x﹣3）（2x+3）、3、函数f（x）=+定义域为[﹣1，2）U（2，+∞）、【考点】33：函数定义域及其求法、【分析】根据负数不能开偶次方根和分母不能为零来求解，两者求解结果取交集、【解答】解：根据题意：解得：x≥﹣1且x≠2∴定义域是：[﹣1，2）∪（2，+∞）故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞）4、化简：（式中字母都是正数）（）2•（）2=a2、【考点】46：有理数指数幂化简求值、【分析】利用指数幂运算性质即可得出、【解答】解：（）2•（）2原式=（•）2=（•）2=（•）2==a2、故答案为：a2、5、已知f（x）=3x﹣b（2≤x≤4，b为常数）图象过点（2，1），则f（x）值域为[1，9] 、【考点】49：指数函数图象与性质、【分析】由题意首先确定函数解析式，然后结合函数单调性求解函数值域即可、【解答】解：由题意可得：1=32﹣b，解得：b=2，则函数解析式为：f（x）=3x﹣2，函数f（x）单调递增，且：f（2）=1，f（4）=9，据此可得函数f（x）值域为[1，9]、故答案为：[1，9]、6、不等式＜x﹣1解为{x|﹣3＜x＜1，或x＞5} 、【考点】7E：其他不等式解法、【分析】原不等式即＞0，用穿根法求得它解集、【解答】解：由不等式＜x﹣1，可得＞0，穿根：可得不等式解集为{x|﹣3＜x＜1，或x＞5}，故答案为：{x|﹣3＜x＜1，或x＞5}、7、若关于x方程x2+x+a=0一个根大于1、另一个根小于1，则实数a取值范围为（﹣∞，﹣2）、【考点】7H：一元二次方程根分布与系数关系、【分析】令f（x）=x2+x+a，则由题意可得f（1）=2+a＜0，求得a范围、【解答】解：∵关于x方程x2+x+a=0一个根大于1、另一个根小于1，令f（x）=x2+x+a，则f（1）=2+a＜0，求得a＜﹣2，故答案为：（﹣∞，﹣2）、8、已知集合M⊆{2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样集合共有4个、【考点】16：子集与真子集、【分析】根据题意，列举符合条件集合M，即可得答案、【解答】解：根据题意，集合M⊆{2，3，5}，且M中至少有一个奇数，即M中必须有元素3，则M={3}、{2，3}、{3，5}、{2，3，5}即这样集合共有4个；故答案为：4、9、已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m取值范围是（﹣∞，3] 、【考点】18：集合包含关系判断及应用、【分析】根据B⊆A可分B=∅，和B≠∅两种情况：B=∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，这样便可得出实数m取值范围、【解答】解：①若B=∅，则m+1＞2m﹣1；∴m＜2；②若B≠∅，则m应满足：，解得2≤m≤3；综上得m≤3；∴实数m取值范围是（﹣∞，3]、故答案为：（﹣∞，3]、10、已知集合，且2∈A，3∉A，则实数a取值范围是、【考点】12：元素与集合关系判断、【分析】根据集合，且2∈A，3∉A，知道2满足不等式，3不满足该不等式，即，解此不等式组即可求得实数a取值范围、【解答】解：∵，且2∈A，3∉A，∴，解得：≤a或2＜a≤3故答案为、11、已知f（x+）=x3+，则f（x）=x3﹣3x（x≥2或x≤﹣2）、、【考点】36：函数解析式求解及常用方法；45：有理数指数幂运算性质、【分析】由f（x+）=x3+==，能求出f（x）、【解答】解：∵f（x+）=x3+===，∴f（x）=x3﹣3x（x≥2或x≤﹣2）、故答案为：x3﹣3x（x≥2或x≤﹣2）、12、已知函数f（x）=x3+x，对任意m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x取值范围为（﹣2，）、【考点】3R：函数恒成立问题、【分析】先利用函数奇偶性定义判断出函数奇偶性，再由导数判断出函数单调性，利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性去掉不等式中符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数性质可得x不等式组，解出可得答案、【解答】解：由题意得，函数定义域是R，且f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣（x3+x）=﹣f（x），所以f（x）是奇函数，又f'（x）=3x2+1＞0，所以f（x）在R上单调递增，所以f（mx﹣2）+f（x）＜0可化为：f（mx﹣2）＜﹣f（x）=f（﹣x），由f（x）递增知：mx﹣2＜﹣x，即mx+x﹣2＜0，则对任意m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，等价于对任意m∈[﹣2，2]，mx+x﹣2＜0恒成立，所以，解得﹣2＜x＜，即x取值范围是（﹣2，），故答案为：（﹣2，）、13、已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，1]上最大值与最小值差是1，则实数a值为、【考点】49：指数函数图象与性质、【分析】分a＞1和0＜a＜1两种情况分别讨论y=a x在[﹣1，1]上最大值和最小值，结合题意求解即可、【解答】解：当a＞1时，y=a x在[﹣1，1]上单调递增，∴当x=﹣1时，y取到最小值a﹣1，当x=1时，y取到最大值a，∴a﹣a﹣1=1，解得a=；当0＜a＜1时，y=a x在[﹣1，1]上单调递减，∴当x=﹣1时，y取到最大值a﹣1，当x=1时，y取到最小值a，∴a﹣1﹣a=1，解得a=；故答案为：、14、函数f（x）定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]，那么y=f（x）叫做闭函数，现有f（x）=+k是闭函数，那么k取值范围是（﹣，a] 、【考点】3E：函数单调性判断与证明；34：函数值域、【分析】函数f（x）=+k 在定义域为[﹣2，+∞）内是增函数，由②可得f （a）=a，f（b）=b，由此推出a和b是方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0在[﹣2，+∞）上两个根、故有，解此不等式求得k 范围即为所求、【解答】解：函数f（x）=+k 定义域为[﹣2，+∞），且在定义域内是增函数，故满足①，又f（x）在[a，b]上值域为[a，b]，∴f（a）=a，f（b）=b，∴+k=a，且+k=b，∴a+2=（a﹣k）2，且b+2=（b﹣k）2，且k≤a，k ≤b、即，故a和 b 是方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0在[﹣2，+∞）上两个根、令g（x）=x2﹣（2k+1）x+k2﹣2，则有，解得a≥k＞﹣，那么k取值范围是（﹣，a]，故答案为：（﹣，a]、二、解答题：本大题共6小题，共90分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、15、已知x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0两个实数根、（1）是否存在实数k，（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由、（2）求使+﹣2值为整数实数k整数值、【考点】54：根存在性及根个数判断、【分析】（1）令判别式△≥0得出k范围，根据根与系数关系列方程得出k，即可得出结论；（2）根据根与系数关系化简，根据整数性质得出k值、【解答】解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0两个实数根，∴，∴k＜0，由根与系数关系可得：x1+x2=1，，∴=，解得，而k＜0，∴不存在实数k使得（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立、（2）由根与系数关系可得：==，∵值为整数，而k为整数，∴k+1只能取±1、±2、±4，又k＜0，∴整数k值为﹣2或﹣3或﹣5、16、已知集合A={x|x2﹣1=0}，B={x|x2﹣2ax+b=0}，若A∪B=A，求实数a，b满足条件、【考点】1D：并集及其运算、【分析】集合A={x|x2﹣1=0}={1，﹣1}，由A∪B=A，得B⊆A，从而集合B有4中情况：①B=∅，②B={1，﹣1}，③B={﹣1}，④B={1}、由此能求出实数a，b 满足条件、【解答】解：集合A={x|x2﹣1=0}={1，﹣1}，∵A∪B=A，∴B⊆A，∴集合B有4中情况：①B=∅，②B={1，﹣1}，③B={﹣1}，④B={1}、以下对4中情况逐一解答：①B=∅，说明B中方程无解，即△＜0，经化简得a2＜b；②B={1，﹣1}，说明B中方程有两个不同解分别是1，﹣1，故△＞0，即a2＞b，且满足，∴；③B={﹣1}，说明B中方程有两个相同解，均为﹣1，故△=0，即a2=b，且满足1+2a+b=0，∴；④B={1}，说明B中方程有两个相同解，均为1，故△=0，即a2=b，且满足1﹣2a+b=0，∴；综上①②③④可得：a2＜b或或或、17、（1）求函数f（x）=2x+4值域；（2）求函数f（x）=值域、（3）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，4]值域、【考点】34：函数值域、【分析】（1）利用换元法求函数值域即可；（2）分离常数后讨论函数值域即可；（3）对二次函数解析式配方，然后结合函数定义域即可求得函数值域、【解答】解：（1）令，则x=1﹣t2；则y=2（1﹣t2）+4t=﹣2（t﹣1）2+4，因为t≥0，所以y≤4，所以函数值域是（﹣∞，4]、（2），因为x﹣2≠0，所以y≠5，所以值域是{y|y≠5}、（3）y=（x﹣1）2﹣4，因为x∈（﹣1，4]，所以值域是[﹣4，5]、18、某工厂生产一种机器固定成本为5000元，且每生产100部，需要加大投入2500元、对销售市场进行调查后得知，市场对此产品需求量为每年500部，已知销售收入函数为，其中x是产品售出数量0≤x≤500、（1）若为x年产量，y表示利润，求y=f（x）解析式（2）当年产量为何值时，工厂年利润最大？其最大值是多少？【考点】3X：二次函数在闭区间上最值、【分析】（1）根据利润等于销售收入（）减去成本（25x+5000），求出y=f（x）解析式、（2）根据函数解析式，利用二次函数性质可得，当x=475时，函数y=f（x）取得最大值，计算可得结果、【解答】解：（1）利润等于销售收入（）减去成本（25x+5000），故，（0≤x≤500）；（2）利用二次函数性质可得，当x=475时，函数y=f（x）取得最大值为（元），即：当年产量为475部时，工厂年利润最大，其最大值为：元、19、函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上奇函数，且f（）=、（1）确定函数f（x）解析式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0、【考点】7E：其他不等式解法；36：函数解析式求解及常用方法；3E：函数单调性判断与证明、【分析】（1）根据函数奇偶性得到关于a，b方程组，求出a，b值，从而求出函数解析式即可；（2）根据函数单调性定义证明即可；（3）根据函数单调性，得到关于t不等式，解出即可、【解答】解：（1）由题意得，由此可解得，∴、（2）证明：设﹣1＜x1＜x2＜1，则有，∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，，，1﹣x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数、（3）f（t﹣1）+f（t）＜0，∴f（t﹣1）＜﹣f（t），即f（t﹣1）＜f（﹣t），∵f（x）在（﹣1，1）上是增函数，∴﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，解之得、20、已知函数f（x）=（+）x3（a＞0且a≠1）、（1）求函数f（x）定义域；（2）讨论函数f（x）奇偶性；（3）求a取值范围，使f（x）＞0在定义域上恒成立、【考点】3R：函数恒成立问题；33：函数定义域及其求法；3K：函数奇偶性判断、【分析】（1）由于a x﹣1≠0，则a x≠1，所以x≠0，可得定义域、（2）直接利用定义判断即可、（3）根据指数函数性质，对底数a进行讨论，结合定义域即可求出、【解答】解：函数f（x）=（+）x3（a＞0且a≠1）、（1）由于a x﹣1≠0，则a x≠1，∴x≠0，故得函数f（x）定义域为{x|x∈R，且x≠0}、（2）对于定义域内任意x，有f（﹣x）=（）（﹣x）3====f（x）∴f（x）是偶函数、（3）①当a＞1时，对x＞0，∴a x＞1，即a x﹣1＞0，∴+＞0、又x＞0时，x3＞0，f（x）=＞0、即a＞1时，f（x）＞0、由（2）知，f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x），则当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）=f（x）＞0成立、综上可知，当a＞1时，f（x）＞0在定义域上恒成立、②当0＜a＜1时，f（x）=当x＞0时，0＜a x＜1，此时f（x）＜0，不满足题意；当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）=f（x）＜0，也不满足题意、综上可知，所求a取值范围是a＞1、即a取值范围为（1，+∞）、。

启东市2018—2018学年度第一学期期中考试高一年级数学试卷时间：120分钟，分值150分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1、设集合A=}{2|2||＜-x x 以下结论中成立的是A 、A A ∈-∈ππ且B 、A A ∈-∈ππ但C 、A A ∉-∉ππ且D 、A A ∉-∉ππ但 2、下列各组函数中，表示同一函数的是A 、y=x 和y=2x B 、y=112--x x 和y=x+1C 、y=lgx 2和y=2lgx D 、y=lgx-2和y=lg 100x 3、下列函数中，值域为(O ，+∞)的是 A 、y=x 2-x+1 B 、y=342+-x xC 、y=x-⎪⎭⎫⎝⎛121 D 、y=),0(,121∞∈+x x4、设f(log 23)A 、-823 B 、111 C 、481 D 、2415、若不等式ax 2+bx+c ＞0（a ≠0）的解集是φ，则 A 、a ＜O 且b 2-4ac ＞0 B 、a ＜O 且b 2-4ac ＜0 C 、a ＜O 且b 2-4a c≥O D 、a ＜O 且b 2-4a c≤O6、设f(x)为定义在R 上的偶函数，当x∈(]0,∞-时，f(x)是减函数，则f(-2)， f(-10)，f(3)的大小A 、f(-10)>f(3)>f(-2)B 、f(-10)>f(2)>f(3)C 、f(-10)<f(3)<f(-2)D 、f(-10)<f(-2)<f(3) 7、函数y=21log (一x 2+6x_8)的单调递减区间A 、(]3,∞-B 、[)+∞,3C 、(]3,2D 、[)4,38、下列各式中正确的是A 、313232215121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛＜＜ B 、323231512121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛＜＜C 、323132212151⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛＜＜ D 、313232212151⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛＜＜ 9、幂函数y=(m 2+2m-2)mmx 42+-的图象过(O ，O)，则m 的取值应是A 、-3或1B 、-3C 、1D 、0<m<410、己知m log 53<1，则m 的范围是 A 、m ＞53 B 、0<m<53 C 、53<m<1 D 、0<m<53或m>l1l 、将函数y=x-2的图象 ，可得到函数y=12+-x +3的图象A 、向左平移1个单位，向上平移3个单位B 、向左平移1个单位，向下平移3个单位C 、向右平移1个单位，向上平移3个单位D 、向左平移1个单位，向下平移3个单位12、对于每一个实数x ，f(x)是y=2-x 2和y=x 这两个函数的较小者，则，f(x)的最大值是A 、1B 、2C 、OD 、-2二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分)13、如果7log [])(log log 23x =O ，那么21x = 。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学创新班高一（上）期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且，则实数k=．3．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．4．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[（f （x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为．5．（5分）已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=．6．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是．7．（5分）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为．8．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，F是BC边的中点，AF交BD于E，若，则λ=．9．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值是．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（2﹣a2）＞f（a），求实数a 的取值范围．11．（5分）已知函数的定义域是[a，b]（a，b为整数），值域是[0，1]，则满足条件的整数数对（a，b）共有个．12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=．13．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．14．（5分）已知x，y∈[0，2π]，若，则x﹣y的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）.设集合A={x|x2＜9}，B={x|（x﹣2）（x+4）＜0}．（1）求集合A∩B；（2）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为A∪B，求a、b的值．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入（单位：万元）函数为：R（x）=5x﹣x2（0≤x≤5），其中x是产品生产的数量（单位：百台）．（1）将利润表示为产量的函数；（2）年产量是多少时，企业所得利润最大？18．（16分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）其中ω＞0，|φ|＜．（1）若cos cosφ﹣sin sinφ=0．求φ的值；（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f（x）的解析式；并求最小正实数m，使得函数f（x）的图象象左平移m个单位所对应的函数是偶函数．19．（16分）若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（1）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；（2）已知函数具有性质M，求a的取值范围．20．（16分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市启东中学创新班高一（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为1．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．2．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且，则实数k=3．【解答】解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1），∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），∵，∴（2﹣3）•=0∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，解得k=3．故答案为：3．3．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．4．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[（f （x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）．【解答】解：若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，又∵f（1）=0∴f（﹣1）=0则当x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，1）上时，f（x）＜0，f（x）﹣f（﹣x）＜0当x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）上时，f（x）＞0，f（x）﹣f（﹣x）＞0则不等式x[（f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）5．（5分）已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=4．【解答】解：A={x|log2x≤2}={x|0＜x≤4}而B=（﹣∞，a），∵A⊆B∴a＞4即实数a的取值范围是（4，+∞），故答案为：46．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．7．（5分）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为或．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=，x∈[0，2π]解得x=或．故答案为：或．8．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，F是BC边的中点，AF交BD于E，若，则λ=．【解答】解：∵AD∥BC，F是BC边的中点，∴==，∴=，∵，∴λ=，故答案为：9．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值是5．【解答】解：f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx=﹣2sin2x+6sinx+1．令t=sinx，t∈[﹣1，1]，则原函数化为y=，∴当t=1时，y有最大值为．故答案为：5．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（2﹣a2）＞f（a），求实数a的取值范围．【解答】解：当x≥0时f（x）=x2+4x，可知f（x）在[0，+∞）上递增，当x＜0时f（x）=4x﹣x2，可判断f（x）在（﹣∞，0）上递增，从而函数f（x）在R上单调递增由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a，即a2+a﹣2＜0．解得﹣2＜a＜1．11．（5分）已知函数的定义域是[a，b]（a，b为整数），值域是[0，1]，则满足条件的整数数对（a，b）共有5个．【解答】解：由=0得，得|x|+2=4，即|x|=2，得x=2或﹣2，由=1得，得|x|+2=2，即|x|=0，得x=0，则定义域为可能为[﹣2，0]，[﹣2，1]，[﹣2，2]，[﹣1，2]，[0，2]，则满足条件的整数数对（a，b）为（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，2），（0，2）共5个．故答案为：5．12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（x﹣4）=﹣f（x）=f（﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=﹣2对称，又f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+4），∴f（x﹣4）=f（x+4），∴f（x）周期为8，作出f（x）的大致函数图象如图：由图象可知f（x）=m的4个根中，两个关于直线x=﹣6对称，两个关于直线x=2对称，∴x1+x2+x3+x4=﹣6×2+2×2=﹣8．故答案为：﹣8．13．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=3．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且t anα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．14．（5分）已知x，y∈[0，2π]，若，则x﹣y的最小值为﹣．【解答】解：∵2sinxcosy﹣sinx+cosy=，∴2sinxcosy﹣sinx+cosy﹣=0，∴sinxcosy﹣sinx+cosy﹣=0，∴（sinx+）（cosy﹣）=0，∴sinx=﹣或cosy=，∵x，y∈[0，2π]∴x=或，y=或，当x=，y=时，x﹣y取得最小值，最小值为﹣=﹣．故答案为：﹣．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）.设集合A={x|x2＜9}，B={x|（x﹣2）（x+4）＜0}．（1）求集合A∩B；（2）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为A∪B，求a、b的值．【解答】解：集合A={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|（x﹣2）（x+4）＜0}={x|﹣4＜x＜2}；（1）集合A∩B={x|﹣3＜x＜2}；（2）∵A∪B={x|﹣4＜x＜3}，且不等式2x2+ax+b＜0的解集为（﹣4，3），∴2x2+ax+b=0的根是﹣4和3，由根与系数的关系得﹣4+3=﹣，﹣4×3=，解得a=2，b=﹣24．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【解答】解：（1）∵∥，∴cosx=3sinx，可得：tanx=．∵x∈[0，π]∴x=．（2）由f（x）=，∴f（x）=3cosx﹣sinx=2cos（x+）∵x∈[0，π]∴x+∈[，]当x+=时，即x=π时，f（x）取得最小值为=﹣3．当x+=时，即x=时，f（x）取得最大值为1×=2．17．（14分）某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入（单位：万元）函数为：R（x）=5x﹣x2（0≤x≤5），其中x是产品生产的数量（单位：百台）．（1）将利润表示为产量的函数；（2）年产量是多少时，企业所得利润最大？【解答】解：（1）依题意，得：利润函数G（x）=F（x）﹣R（x）=（5x﹣x2）﹣（0.5+0.25x）=﹣x2+4.75x﹣0.5 （其中0≤x≤5）；（2）利润函数G（x）=﹣x2+4.75x﹣0.5（其中0≤x≤5），当x=4.75时，G（x）有最大值；所以，当年产量为475台时，工厂所得利润最大．18．（16分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）其中ω＞0，|φ|＜．（1）若cos cosφ﹣sin sinφ=0．求φ的值；（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f（x）的解析式；并求最小正实数m，使得函数f（x）的图象象左平移m个单位所对应的函数是偶函数．【解答】解：（I）由得即又，∴（Ⅱ）解法一：由（I）得，依题意，又，故ω=3，∴函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g（x）是偶函数当且仅当即从而，最小正实数解法二：由（I）得，，依题意，又，故ω=3，∴函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为，g（x）是偶函数当且仅当g（﹣x）=g（x）对x∈R恒成立亦即对x∈R恒成立．∴=即对x∈R恒成立．∴故∴从而，最小正实数19．（16分）若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（1）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；（2）已知函数具有性质M，求a的取值范围．【解答】（1）证明：f（x）=2x代入f（x0+1）=f（x0）+f（1）得：，（2分）即：，解得x0=1．（5分）所以函数f（x）=2x具有性质M．（6分）（2）解：h（x）的定义域为R，且可得a＞0．因为h（x）具有性质M，所以存在x0，使h（x0+1）=h（x0）+h（1），代入得：．化为2（x02+1）=a（x0+1）2+a，整理得：（a﹣2）x02+2ax0+2a﹣2=0有实根．①若a=2，得．（8分）②若a≠2，得△≥0，即a2﹣6a+4≤0，解得：a，所以：a．（若未去掉a=2，扣1分）（14分）综上可得a．（16分）20．（16分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=5时，f（x）=log2（+5），由f（x）＞0；得log2（+5）＞0，即+5＞1，则＞﹣4，则+4=＞0，即x＞0或x＜﹣，即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣}．（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a ﹣5]=0．即log2（+a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=，若x=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣=设1﹣t=r，则0≤r≤，==，当r=0时，=0，当0＜r≤时，=，∵y=r+在（0，）上递减，∴r+≥=，∴==，∴实数a的取值范围是a≥．。