江苏省启东中学2020-2020年上学期高一数学期中试卷及答案.docx

高 一 数 学 试 卷（考试时间120分钟，满分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|0}A x x =>，{|12}B x x =-≤≤，则A B = .2．下列四个图像中，是函数图像的是 .3．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|2x －3y ＋4＝0}，则A ∩B ＝________. 4．函数()110,1x y aa a -=+>≠过定点 .5．集合{}10b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则a b -= ____________.6．设函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a = .7．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时有()121x f x =+， 则当0x <时()f x = .8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上时增函数，若()30f -=，则()0f x x<的解集为 . 9．已知集合{}023|2=+-=x ax x A ,若A 中至多有一个元素，则a 的取值范围是 .10．已知关于x 的方程221x x a -+=-在1,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒有实数根，则实数a 的取值范围是 .11．已知函数268y kx kx k =-++[)0,+∞，则k 的取值范围是 . 12．已知函数()()223,f x x tx t x t R =-++∈的最大值是()u t ，当()u t 取得最小值时，t 的13．设函数()f x 满足()0f x >和()()()f a b f a f b +=⋅，且()24f =，则()()()()()()242012132011f f f f f f +++= . 14．若函数⎩⎨⎧∉∈=]1,0[,]1,0[,2)(x x x x f ，则使2)]([=x f f 成立的实数x 的集合为 .二．计算题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．设全集R U =，集合A =}31|{<≤-x x ，B =}242|{-≥-x x x 。

江苏省启东中学2020届高三期中考试数学试题Ⅱ（选修）附加题部分21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B , ，AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，求证：O C P D 、 、 、 四点共圆． B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值．C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知点()00O ,，()4P π ，求以OP 为直径的圆的极坐标方程． D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>，若棱1C C 上存在点P满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围．PCD1A 1B 1C 1D MPABOC D （第21—A 题）23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．数学Ⅱ（选修物理）附加题部分 参考答案及评分细则21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B , ，AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，求证：O C P D 、 、 、 四点共圆．【证明】因为PA ，PB 为圆O 的两条切线，所以OP 垂直平分弦AB ， 在Rt OAP ∆中，2OM MP AM ⋅=， …………………………4分在圆O 中，AM BM CM DM ⋅=⋅， 所以，MPABOC D（第21—A 题）OM MP CM DM ⋅=⋅， …………………………8分又弦CD 不过圆心O ，所以O C P D , , , 四点共圆． ………………………10分B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值． 【解】由题意得01110000002011mn m n ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩, , …………………………6分化简得100002m n m n =⎧⎪⋅=⎪⎨⋅=⎪⎪=⎩,, ,,所以12m n =⎧⎨=⎩,.…………………………10分 C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知点()00O ,，()4P π ，求以OP 为直径的圆的极坐标方程． 【解】设点()Q ρθ,为以OP 为直径的圆上任意一点， 在Rt OQP ∆中，()4ρθπ=-，故所求圆的极坐标方程为()4ρθπ=-． …………………………10分D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【证明】由2123a ab b --++=得()2113ab a b --=+-， …………………………3分PA BCD1A 1B 1C1D （第22题图）（第22题图）y又正实数a ，b 满足1a b -+≥，即1ab -≤()214a b -+，（当且仅当a b =时取“=”） …………………………6分所以()213a b-+-≤()214a b -+，即证1a b -+≤2． …………………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>， 若棱1C C 上存在点P 满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围．【解】如图，以点D 为原点O ，1DA DC DD , , 分别为x y z , , 轴建立 空间直角坐标系O xyz -，则()000D ,, ，()110B , , ，()110A λ, , ， 设()01P x ,, ，其中[]0x λ∈, ， …………………………3分 因为1A P ⊥平面PBD ， 所以10A P BP ⋅=u u u r u u u r，即()()11100x x λ--⋅-=,, , , ， …………………………化简得210x x λ-+=，[]0x λ∈,， …………………………故判别式24λ∆=-≥0，且0λ>，解得λ≥2． …………………………10分 23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．【解】（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=， 所以，22222nn n A =⨯⨯⋅⋅⋅⨯=14243个相乘； …………………………4分（2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠， 所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-， 设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤, , ，不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则12212j j k i i k a +=->∑=4）； 同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=，这说明212j j k k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， …………………………6分又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0， 所以，11222C 22C 22C n n n n n n n B --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+ …………………………8分 11222(2+C 2C 2C )22n n n n nn n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯2(12)22n n =+-⨯2(32)n n =-． …………………………10分。

江苏省启东中学2020届高三期中考试数学试题Ⅰ（选修）2020．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1． 已知集合{}1A =，{}19B =,，则A B =U ▲ . 2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 设定义在区间()π02,上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图 象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7． 若集合{}22011x x <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ . 8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-, , ，则该函数的单调减区间为 ▲ . 12．已知函数e x y =的图象在点(e )k a k a ,处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN u u u u r≤，则OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤ {}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--u u u r u u u r u u u r , , , , , , 且//AD BC u u u r u u u r．（1）求x 与y 之间的关系式；（第11题图）（2）若AC BD ⊥u u u r u u u r，求四边形ABCD 的面积．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N ,的最小正周期为T ． （1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+． （1）求sin b B c的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=o ，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．1l2lDABC1l2lDABC（图甲） （图乙）19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间． （1）已知12()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分146分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．2020届高三年级期中考试 数学Ⅰ（选修物理）2020．11参考答案及评分建议一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1． 已知集合{}1A =，{}19B =,，则A B =U ▲ .2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 设定义在区间()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()f x =式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =▲ .7． 若集合{}22011x x <()a ⊆-∞, ，则整数a 8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、372、327、354、361、345、337，则打印出的第59． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+= （在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、中选填一种）10．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式： 211122S n n =+，322111326S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-,, ，则该函数的单调减区间为 ▲ .（第11题图）12．已知函数e x y =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN u u u u r ≤，则OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是 ▲ .【填空题答案】1. {}1 9，；2. ；3. 0 sin x x x ∀>>，；； 5.(01), ；6. 1；7. 11；8. 8 361，；9. 充分不必要； 10. 14；11. ⎣⎦； 12. 6-； 13. )2⎡⎣ ； 14. 1 . 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--u u u r u u u r u u u r , , , , , , 且//AD BC u u u r u u u r．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥u u u r u u u r，求四边形ABCD 的面积．【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-u u u r u u u r u u u r u u u r，,()BC x y =u u u r ,, ………………………2分 因为//AD BC u u u r u u u r，所以(4)(2)0x y y x +--=，即20x y +=，① …………………………………………………4分（2）由题意得(6 1)AC AB BC x y =+=++u u u r u u u r u u u r，，(2 3)BD BC CD x y =+=--u u u r u u u r u u u r ，， ………………6分因为AC BD ⊥u u u r u u u r，所以(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② ………………………8分由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.x y =-⎧⎨=⎩，……………………………………………………………………10分 当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8 0)AC =u u u r ，，(0 4)BD =-u u u r ，，则1=162ABCD S AC BD =u u u r u u u r 四边形 …………………12分当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0 4)AC =u u u r ，，(8 0)BD =-u u u r ，，则1=162ABCD S AC BD =u u u r u u u r 四边形 …………………14分所以，四边形ABCD 的面积为16．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N ,的最小正周期为T ． （1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．【解】（1）当1n =，(1)1f =时，sin cos 1ωω+=(0)ω>， 化简得()sin ωπ+=4 ………………………………………………………………………2分因为0ω>，所以()minωπ3π+=44，即min ωπ=2， 所以，T 的最大值为8．…………………………………………………………………………6分（2）当4n =时，44()sin cos f x x x ωω=+ ()22222sin cos 2sin cos x x x x ωωωω=+-()212sin cos x x ωω=- 211sin 22x ω=-()11cos 4122x ω-=-13cos 444x ω=+(0)ω>， (10)分因为244T ωπ==，所以8ωπ=， …………………………………………………………………12分此时，13()cos 424x f x π==+，所以3(1)4f =．……………………………………………………14分17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+． （1）求sin b B c的值； （2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．【解】（1）由222b ac bc =-+得2221cos 22b c a A bc +-==， 在△ABC 中，A π=3， ……………………………………………………………………………3分由2b ac =得sin sin b B a B c c =，由正弦定理得sin sin a B A c =， 所以，sin b B c ………………………………………………………………………………7分（2）△ABC 为等边三角形，下证之：…………………………………………………………………9分由222b ac a c bc ==-+知 不失一般性，可设1c =， 则221b a a b ==+-，消去a 得241b b b =+-，即32(1)(1)0b b b -++=，所以1b =，1a =，即证．…………………………………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=o ，据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．【解】（1）如图甲，设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α-o ，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 60αα=-o ，………………………………………1l2l DABC1l2lDABC（图甲）（图乙）2分解得tan α，……………………………………………………………………………………4分所以，养殖区的面积()()22231sin 6091sin 60)sin tan S αα=⋅=+⋅=oo； ………………6分（2）如图乙，设AD 与1l 所成夹角为α，()120 180BAD θ∠=∈o o ，，则AB 与2l 所成夹角为()180θα-+o，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 180αθα=-+o ，……………………………………8分 解得sin tan 2cos θαθ=+，……………………………………………………………………………10分 所以，养殖区的面积()23sin sin S θα=⋅()2191sin tan θα=+⋅()54cos 9sin θθ+=，………………12分由()()254cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得 4cos 5θ=-， ………………………………………………………………………………………14分经检验得，当4cos 5θ=-时，养殖区的面积2min =27(m )S ． ………………………………16分答：（1）养殖区的面积为2；（2）养殖区的最小面积为227m ．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间． （1）已知12()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】（1）因为()f x=是[)0+∞，上的正函数，且()f x=在[)0+∞，上单调递增，所以当[]x a b∈，时，() ()f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即ab=，，…………………………………………………3分解得01a b==，，故函数()f x的“等域区间”为[]0 1，；……………………………………………………………5分（2）因为函数2()g x x m=+是() 0-∞，上的减函数，所以当[]x a b∈，时，()()g a bg b a⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即22a m bb m a⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，…………………………………………………7分两式相减得22a b b a-=-，即()1b a=-+，……………………………………………………9分代入2a m b+=得210a a m+++=，由0a b<<，且()1b a=-+得112a-<<-，……………………………………………………11分故关于a的方程210a a m+++=在区间()112--，内有实数解，………………………………13分记()21h a a a m=+++，则()()10102hh->⎧⎪⎨-<⎪⎩，，解得()314m∈--，．……………………………………………………………16分20．(本小题满分146分)设()kf n为关于n的k()k∈N次多项式．数列{a n}的首项11a=，前n项和为nS．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）．因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==．而且当2n ≥时，2n n a S +=， ①112n n a S --+=， ②①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥．若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ．故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列． ………………………………………………4分【解】（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去．(ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数），当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③11(1)n n a S b n c --+=-+， ④③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．……………………………………………………………7分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数）， 而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+．…9分(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数），当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， ………………………………………………12分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有2n a an b a d =+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ， 此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．……………………………………………14分(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列．综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列． ……………………………………16分。

2023-2024学年度江苏省启东中学高一期中考试（数学）一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.对于全集U 的子集M ，N ，若M 是N 的真子集，则下列集合中必为空集的是（）．A.()UNM ⋂ð B.()U M Nð C.()()UUM N ⋂痧 D.M N⋂【答案】B 【解析】【分析】根据题目给出的全集是U ，M ，N 是全集的子集，M 是N 的真子集画出集合图形，由图形表示出三个集合间的关系，从而看出是空集的选项．【详解】解：集合U ，M ，N 的关系如图，由图形看出，只有()U N M I ð是空集．故选：B ．【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题.本题解题的关键在于根据题意，给出集合的图形表示法，数形结合解．2.已知集合{}20A x R x a =∈+>，且2A ∉，则实数a 的取值范围是（）A.{}4a a ≤ B.{}4a a ≥ C.{}4a a ≤- D.{}4a a ≥-【答案】C 【解析】【分析】结合元素与集合的关系得到220a +≤，解不等式即可求出结果.【详解】由题意可得220a +≤，解得4a ≤-，故选：C3.已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9z x y =-的取值范围是（）A.{}726z z -≤≤B.{}120z z -≤≤C.{}415z z ≤≤ D.{}115z z ≤≤【答案】B 【解析】【分析】令m x y =-，4n x y =-，可得85933z x y n m =-=-，再根据,m n 的范围求解即可.【详解】令m x y =-，4n x y =-，则343n m x n my -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以85933z x y n m =-=-．因为41m -≤≤-，所以5520333m ≤-≤．因为15n -≤≤，所以8840333n -≤≤，所以120z -≤≤.故选：B4.加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（）A.甲方案B.乙方案C.一样D.无法确定【答案】B 【解析】【分析】设两次加油的油价分别为x ，y （,0x y >，且x y ≠），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得.【详解】设两次加油的油价分别为x ，y （,0x y >，且x y ≠），甲方案每次加油的量为()0a a >；乙方案每次加油的钱数为()0b b >，则甲方案的平均油价为：22ax ay x ya ++=，乙方案的平均油价为：22211bxy b bx y x yx y==+++，因为22()022()x y xy x y x y x y +--=>++，所以22x y xy x y+>+，即乙方案更经济．故选：B ．5.若a 为实数，则“1a =”是“3()3+=-x x a f x a为奇函数的”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数的的偶性的定义及判定方法，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】当1a =时,函数31()31+=-x x f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 关于原点对称，且3131313()()1331313x x x x xx x xf x f x --+++-===-=----，即()()f x f x -=-，此时函数()f x 为奇函数，所以充分性成立；反之：当3()3+=-x x a f x a ，则满足()()f x f x -=-，即3333x xx xa aa a--++=---，即133133x x xxa aa a +⋅+=--⋅-，解得1a =±，所以必要性不成立.综上可得，1a =是函数3()3+=-x x a f x a为奇函数的充分不必要条件.故选：A.6.若函数()()2,16,1x ax x f x a x a x ⎧-+<⎪=⎨--⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A.(-∞，2] B.(1,2)C.[2，6)D.72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】由题意()f x 是R 上的增函数，所以分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，列出不等式组求出a 的取值范围即可.【详解】根据题意，任意实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，所以函数()f x 是R 上的增函数，则分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，所以()21216016a a a a a⎧-⎪⨯-⎪⎪->⎨⎪-+--⎪⎪⎩，解得：723a ≤≤，所以实数a 的取值范围是：[2,7]3.故选：D.7.已知()4y f x =+是定义域为R 的奇函数，()2y g x =-是定义域为R 的偶函数，且()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，则（）A.()y f x =是奇函数B.()y g x =是偶函数C.()y f x =关于点()2,0对称D.()y g x =关于直线4x =对称【答案】A 【解析】【分析】根据函数()4y f x =+，()2y g x =-的奇偶性可推出()y f x =以及()y g x =的对称性，结合()y f x =与(y g x =的图象关于y 轴对称，推出()y f x =的奇偶性以及对称性，判断A,C;同理推得()y g x =的奇偶性以及对称性，判断B,D.【详解】由于()4y f x =+是定义域为R 的奇函数，则()y f x =的图象关于(4,0)成中心对称，()2y g x =-是定义域为R 的偶函数，则()y g x =的图象关于2x =-对称，因为()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，则()y f x =的图象关于2x =对称，又()y f x =的图象关于(4,0)成中心对称，则()y f x =的图象关于(0,0)成中心对称，故()y f x =为奇函数，A 正确；因为()y f x =为奇函数，故()()f x f x -=-，由()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，可得()(),()()f x g x g x f x =-=-，故()()()()g x f x f x g x -==--=-，故()y g x =为奇函数，B 错误；由A 的分析可知()y f x =的图象关于2x =对称，故C 错误；由A 的分析可知()y f x =的图象关于(4,0)成中心对称，()y f x =为奇函数，则()y f x =的图象也关于(4,0)-成中心对称，而()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，则()y g x =的图象关于(4,0)成中心对称，故D 错误，故选：A【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性以及对称性的应用，对抽象函数的性质的考查能较好地反映学生的思维能力和数学素养，解答时要注意综合应用函数性质的相关知识解答.8.已知函数()22f x ax x =+的定义域为区间[m ，n ]，其中,,a m n R ∈，若f （x ）的值域为[-4，4]，则n m -的取值范围是（）A.[4，]B.，]C.[4，]D.，8]【答案】C 【解析】【分析】先讨论0a =，再结合二次函数的图象与性质分析0a >时，n m -的最大值与最小值，同理可得a<0时的情况即可得解.【详解】若0a =，()2f x x =，函数为增函数，[,]x m n ∈时，则()24,()24f m m f n n ==-==，所以2(2)4n m -=--=，当0a >时，作图如下，为使n m -取最大，应使n 尽量大，m 尽量小，此时14a =，由22()424()424f n am m f m an n =⎧+=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，即2240ax x +-=，所以24,m n mn a a+=-=-，所以n m -=，即n m -≤，当14a -<-时，即10a 4<<时，此时,m n 在对称轴同侧时n m -最小，由抛物线的对称性，不妨设,n m 都在对称轴右侧，则由22()24,()24f n an n f m am m =+==+=-，解得24162416,22n m a a-+-==，42n m a a∴-==，当且仅当1414a a+=-,即0a =时取等号，但0a >，等号取不到，4n m ∴->，a<0时，同理，当14a =-时，max ()n m -=，当14a >-时，()min 4n m ->，综上，nm -的取值范围是，故选：C二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是（）A.若0,R a b >∈，则“a b >”是“a b >”的必要不充分条件B.“0c <”是“二次方程20(,R)x bx c b c ++=∈有两个不等实根”的充分不必要条件C.“A B B = ”是“()B A B ⊆ ”的充分不必要条件D.若“x >m ”是“2021x <或“2022x >”的充分不必要条件，则m 的最小值为2022【答案】BD 【解析】【分析】根据充分、必要条件逐个分析判断.【详解】对A ：若a b >，则a b b >≥，即a b >若a b >，比如：12a b =>=-，则a b >不成立∴“a b >”是“a b >”的充分不必要条件，A 错误；对B ：若0c <，则240b c ∆=->，即二次方程20(,R)x bx c b c ++=∈有两个不等实根若二次方程20(,R)x bx c b c ++=∈有两个不等实根，等价于240b c ∆=->比如：3,1b c ==满足0∆>，但0c <不成立∴“0c <”是“二次方程20(,R)x bx c b c ++=∈有两个不等实根”的充分不必要条件，B 正确；对C ：∵A B B B A =⇔⊆ 且()B A B B A ⊆⋂⇔⊆则()A B B B A B =⇔⊆⋂ ∴“A B B = ”是“()B A B ⊆ ”的充要条件，C 错误；对D ：根据题意可得：2021m ≥，则m 的最小值为2022，D 正确；故选：BD.10.设矩形ABCD （AB BC >）的周长为定值2a ，把ABC 沿AC 向ADC △折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，如图，则下列说法正确的是（）A.矩形ABCD 的面积有最大值B.APD △的周长为定值C.APD △的面积有最大值D.线段PC 有最大值【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式的性质，结合图形折叠的性质，结合对钩函数的性质逐一判断即可.【详解】设AB x =，则BC a x =-，因为AB BC >，所以,2a x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭．矩形ABCD 的面积22()24x a x a S AB BC x a x +-⎛⎫=⋅=-<= ⎪⎝⎭，因为2ax ≠，所以无最大值．故A 错．根据图形折叠可知APD △与1CPB △全等，所以APD △周长为1AP PD DA AP PB DA AB DA a ++=++=+=．故B 正确．设DP m =，则AP PC x m ==-，有222DP DA AP +=，即222()()m a x x m +-=-，得22a m a x=-，22321313()224224ADP a a a S a a x ax a x x ⎛⎫⎛⎫-=--=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，当2x a =时，取最大值．故C 正确．22a PC x a x =+-，因为函数22a y x a x =+-在2(0,)2a 上单调递减，在2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当,2a x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，当2x a =时函数有最小值，无最大值．故D 错误．故选：BC ．【点睛】关键点睛：利用基本不等式的性质、对钩函数的性质是解题的关键.11.已知2log 3m =，3log 7n =，则42log 56的值不可能是（）A.31mn mn ++ B.321m n m n ++++ C.31mn mn m +++ D.31mn mn m +-+【答案】ABD 【解析】【分析】利用对数运算的公式计算即可.【详解】由换底公式得：223log 7log 3log 7mn =⋅=，71log 2mn=，()424242427878log 56log log log ⨯==+，其中4277771111711log 421log 61log 2log 311log mnmn m mn n=====++++++，424222233383242log log log log lo 67g 1mnm ====+++，故42313log 5611mn m mn m mn mn m mn +=++=+++++故选：ABD.12.已知关于x 的不等式(1)(3)20a x x -++>的解集是()12,x x ，其中12x x <，则下列结论中正确的是（）A.1220x x ++=B.1231x x -<<<C.124x x ->D.1230x x +<【答案】ACD 【解析】【分析】由一元二次不等式的解集可得12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩判断A 、D ，再将题设转化为()(1)(3)2f x a x x =-+>-，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B 、C.【详解】由题设，2(1)(3)22320a x x ax ax a -++=+-+>的解集为()12,x x ，∴a<0，则12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩，∴1220x x ++=，12230x x a+=<，则A 、D 正确；原不等式可化为()(1)(3)2f x a x x =-+>-的解集为()12,x x ，而()f x 的零点分别为3,1-且开口向下，又12x x <，如下图示，∴由图知：1231x x <-<<，124x x ->，故B 错误，C 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知“()2160x a +->”的必要不充分条件是“2x ≤-或3x ≥”，则实数a 的最大值为______．【答案】1【解析】【分析】首先解出不等式()2160x a +->，再根据题意得到4243a a --≤-⎧⎨-≥⎩，即可求出a 的取值范围，从而得解；【详解】解：由()2160x a +->，得4x a <--或4x a >-，因为()2160x a +->的必要不充分条件是“2x ≤-或3x ≥”，所以4243a a --≤-⎧⎨-≥⎩，解得21a -≤≤，所以实数a 的最大值为1；故答案为：114.已知0a >，0b >，下面四个结论:①22ab a b a b +≤+；②2a b +>a b >，则22c c a b ≤；④若11111a b +=++，则2+a b 的最小值为；其中正确结论的序号是______.(把你认为正确的结论的序号都填上)【答案】①③④【解析】【分析】①可以由222a b ab +≥得2224a b ab ab ++≥，然后变形可得是正确的，②可以由222a b ab +≥得222222()2()a b a b ab a b +≥++=+，然后变形可得是错误的，③可以()1112211a b a b ⎛⎫++++ ⎪++⎝⎭展开由基本不等式推导出来.【详解】因为222a b ab +≥，所以2224a b ab ab ++≥即2()4a b ab +≥所以22ab a ba b +≤+，故①正确因为222a b ab+≥所以222222()2()a b a b ab a b +≥++=+2a b +≥，故②错误因为0a b >>，所以11a b<因为2c ≥0，所以22c c a b≤，故③正确因为()112(1)1122121111b a a b a b a b ++⎛⎫++++=+++⎪++++⎝⎭3≥+，当且仅当2(1)111b a a b ++=++即2a b ==时取得最小值因为11111a b +=++，所以1223a b +++≥+即2a b +≥，故④正确故答案为：①③④【点睛】0a >，0b >22112a b aba b a b+≥≥=++15.关于x 的不等式22(1)ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是__．【答案】3443(,[,2332-- ．【解析】【分析】先将原不等式转化为[(1)1][(1)1]0a x a x +---<，再对a 分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数a 的取值范围．【详解】不等式22(1)ax x -<可化为[(1)1][(1)1]0a x a x +---<，①当1a =时，原不等式等价于210x ->，其解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，不满足题意；②当1a =-时，原不等式等价于210x +<，其解集为1 ,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，不满足题意；③当1a >时，原不等式等价于11011x x a a ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，其解集为11,11a a ⎛⎫ ⎪+-⎝⎭，其解集中恰有2个整数，∴12 1131a a ⎧<⎪⎪-⎨⎪⎪-⎩，解得：4332a ≤<；④当11a -<<时，原不等式等价于11011x x a a ⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，其解集为11(,,11a a ⎫⎛⎫-∞⋃+∞⎪ ⎪-+⎭⎝⎭，不满足题意；⑤当1a <-时，原不等式等价于11011x x a a ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，其解集为11,11a a ⎛⎫ ⎪+-⎝⎭，其解集中恰有2个整数，121131a a ⎧<-⎪⎪+∴⎨⎪-⎪+⎩，解得：3423a -<-，综合以上，可得：3443,,2332a ⎛⎤⎡⎫∈-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：3443,,2332a ⎛⎤⎡⎫∈-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍．16.已知函数()22,11,1x x f x x x x -≥⎧=⎨+-<⎩，那么()()4f f =___________若存在实数a ，使得()()()f a f f a =，则a 的个数是___________.【答案】①.1②.5【解析】【分析】求出()4f 的值，再计算()()4ff 的值；设()f a t =，则()f t t =，可求得1t =或1t =-，再解方程()1f a =或()1f a =-，可求得a 的值即可求解.【详解】因为()22,1,1x x f x x x x -≥⎧=⎨+-<⎩，所以()4242f =-=-，所以()()()()2422211ff f =-=---=，设()f a t =，则()f t t =，当1t ≥时，()2f t t t =-=，可得1t =，当1t <时，()21f t t t t =+-=，可得1t =-，所以()1f a =或()1f a =-，当1a ≥时，由()21f a a =-=或()21f a a =-=-可得1a =或3a =；当1a <时，()211f a a a =+-=或，()211f a a a =+-=-可得2a =-或1a =（舍）或1a =-或0a =，综上所述：2a =-，1-，0，1，3，有5个a 符合题意，故答案为：1；5.四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.计算下列各式：（102)--（2）23948(lg 2)lg 2lg 50lg 25(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+++⋅+【答案】（1）19（2）134【解析】【分析】（1）、利用指数幂的运算性质求解即可；（2）、利用对数的运算性质求解.【小问1详解】4032)18---)21216=19=+--+.【小问2详解】23948(lg 2)lg 2lg 50lg 25(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+++⋅+()23232111(lg2)lg2lg512lg5log 22log 3log 3223⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭23235(lg2)lg2lg5lg22lg5log 2log 326=++++⨯()5lg2lg2lg5+lg22lg54=+++52lg22lg54=++134=18.设集合{}12A x x =-≤≤，{}21B x m x =<<，{1C x x =<-或}2x >．（1）若A B B = ，求实数m 的取值范围；（2）若B C ⋂中只有一个整数，求实数m 的取值范围．【答案】（1）12m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭（2）312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据集合交集的性质，可得两集合之间的关系，分类讨论是否为空集，列出不等式，可得答案；（2）由题意，明确交集中的唯一的整数，结合这个整数，列出不等式，可得答案.【小问1详解】因为A B B = ，所以B A ⊆．①当B ≠∅时，由B A ⊆，得2121m m <⎧⎨≥-⎩，解得1122m -≤<；②当B =∅，即12m ≥时，B A ⊆成立．综上，实数m 的取值范围是12m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．【小问2详解】因为B C ⋂中只有一个整数，所以B ≠∅，且322m -≤<-，解得312m -≤<-，所以实数m 的取值范围是312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭．19.已知命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠；命题:q x R ∃∈，210ax ax ++≤（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p 与q 均为假命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()1,+∞；（2）[]0,1.【解析】【分析】（1）根据题意，可知命题p 为真命题，则0a ≠且Δ0<，即可求出a 的取值范围；（2）根据题意，分别求出p ⌝和q ⌝，由命题p 与q 均为假命题，可知p ⌝和q ⌝都是真命题，由p ⌝是真命题，得0a =或0Δ440a a ≠⎧⎨=-≥⎩，由q ⌝是真命题，得0a =或2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，化简计算后，可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：因为命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠，若命题p 为真命题，则0a ≠且Δ0<，即20240a a ≠⎧⎨-<⎩，解得：1a >，所以实数a 的取值范围是()1,+∞.【小问2详解】解：因为命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠；命题:q x R ∃∈，210ax ax ++≤，则:p x R ⌝∃∈，2210ax x ++=，:q x R ⌝∀∈，210ax ax ++>，若命题p 与q 均为假命题，则p ⌝和q ⌝都是真命题，由p ⌝是真命题，得0a =或0Δ440a a ≠⎧⎨=-≥⎩，解得：1a ≤，由q ⌝是真命题，得0a =或2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得：04a ≤<，联立104a a ≤⎧⎨≤<⎩，得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]0,1.20.十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆）需另投入成本y （万元），且210100,0100005014500,40x x x y x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润S （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）2104003000,040()100001500,40x x x S x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--≥⎪⎩（2）100百辆，最大利润为1300万【解析】【分析】（1）根据题意分情况列式即可；（2）根据分段函数的性质分别计算最值.【小问1详解】由题意得当040x <<时，22()500(10100)3000104003000S x x x x x x =-+-=-+-，当40x ≥时，1000010000()500501450030001500S x x x x x x ⎛⎫=-+--=-- ⎪⎝⎭，所以2104003000,040()100001500,40x x x S x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--≥⎪⎩,【小问2详解】由（1）得当040x <<时，2()104003000S x x x =-+-，当20x =时，max ()1000S x =，当40x ≥时，1000010000()15001500()S x x x x x=--=-+10000200x x +≥= ，当且仅当10000x x =，即100x =时等号成立，()150********S x ∴≤-=，100x ∴=时，max ()1300S x =，13001000> ，100x ∴=时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元.21.设函数()xxf x ka a-=-（0a >且1,a k R ≠∈），()f x 是定义域为R 的奇函数：，（1）求k 的值，（2）判断并证明当1a >时，函数()f x 在R 上的单调性；（3）已知3a =，若()()3f x f x λ≥⋅对于[]1,2x ∈时恒成立．请求出最大的整数λ．【答案】（1）1k =；（2）()f x 在R 上为增函数；证明见解析；（3）10．【解析】【分析】（1）由()00f =，解得1k =，再检验其成立；（2）利用定义法证明单调性；（3）用分离参数法求出919λ≤，即可得到λ的最大整数值．【详解】（1）∵()xxf x ka a -=-（0a >且1,a k R ≠∈）是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，解得1k =．此时()xxf x a a-=-，对任意x R ∈，有()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，即()f x 是R 上的奇函数，符合题意．故1k =．（2）由（1）得()xxf x a a-=-．判断该函数为增函数.下面证明：设12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()()1122121212xx x x x x x x f x f x a aaa a a a a -----=---=---12121212111()()()(1x x x x x x x x a a a a a a a +=---=-+∵1a >，且12x x <，∴120-<x x a a ，又12110x x a ++>∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在R 上为增函数．（3）由（1），不等式()()3f x f x λ≥⋅对于[]1,2x ∈时恒成立，即3333(33)x x x x λ---≥-，亦即不等式22(33)(313)(33),[1,2]x x x x x x x λ---≥∈-++-恒成立．令33,[1,2]x x t x -∈=-，则880,39t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，问题转化为关于t 的不等式2(3)t t t λ+≥对任意880,39t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，亦即不等式2+3t λ≤，对任意880,39t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．当83t =时，2min 91(3)9t +=，919λ∴≤，则λ的最大整数为10．【点睛】（1）函数奇偶性的应用:①一般用()()f x f x =-或()()f x f x =-;②有时为了计算简便,我们可以对x 取特殊值:(1)(1)f f =-或(1)(1)f f =-.（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.22.已知二次函数2()f x ax bx c =++满足对任意实数x ，不等式212()(1)2x f x x ≤≤+恒成立.（1）求a b c ++的值；（2）若该二次函数与x 轴有两个不同的交点，其横坐标分别为1x ､2x .①求a 的取值范围；②证明：12x x 为定值.【答案】（1）2；（2）①10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；②证明见解析.【解析】【分析】(1)由212()(1)2x f x x ≤≤+取1x =可求a b c ++，(2)由2()x f x ≤恒成立，结合(1)可得a ，b ，c 的关系，再由()f x 与x 轴有两个不同的交点可求a 的范围，并证明12x x 为定值.【详解】解：（1）对任意实数x ，不等式2212(1)2x ax bx c x ≤++≤+恒成立.令212(1)2x x =+得x =1令x =1，得2≤a +b +c ≤2，∴a +b +c =2.（2）①当a +b +c =2时，22ax bx c x ++≥，即()220ax b x c +-+≥恒成立，所以()()()22202440a b ac a c ac a c >⎧⎪⎨--=+-=-≤⎪⎩，所以0,22a c b a =>=-.因为二次函数有两个不同的零点，所以()22244140b ac a a -=-->，解得12a <∴a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭②由韦达定理得121c x x a ==，∴12x x 为定值。

2020届江苏省启东中学高三上学期期初考试数学试题一、填空题1．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________. 【答案】－1【解析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出． 【详解】()()212122i i i z i i i +-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 【答案】二【解析】由点P （tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限． 【详解】因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0， 则角α的终边在第二象限， 故答案为二．点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号． 3．设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a mab ⊥-，则m =_________. 【答案】-1.【解析】根据,a b 坐标表示出ma b -r r，再根据()a ma b ⊥-，得坐标关系，解方程即可.【详解】(1,0),(1,)a b m ==-，(,0)(1,)(1,)ma b m m m m ∴-=--=+-，由()a ma b ⊥-得：()0a ma b ⋅-=，()10a ma b m ∴⋅-=+=，即1m =-. 【点睛】此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则①1221//0a b x y x y ⇔-=；②12120a b x x y y ⊥⇔+=.4．已知复数z 满足(1i)34i z +=-（i 是虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】利用复数的运算法则求出z ，根据模长的概念即可得出结果． 【详解】复数z 满足(1i)34i z +=-（i 为虚数单位），∴()()()()341341711122i i i z i i i i ---===--++-，则2z ==，故答案为2. 【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．化简：tan17tan133(tan17tan13)++=________. 【答案】1【解析】逆用两角和的正切公式：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-即可求得答案． 【详解】∵()tan13tan17tan 30tan 13171tan13tan17︒+︒︒=︒+︒==-︒︒∴)tan13tan171tan13tan17︒+︒=-︒︒，∴)tan13tan17tan13tan171︒︒+︒=． 故答案为1. 【点睛】本题考查两角和的正切函数公式的在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，逆用公式是关键，属于中档题． 6．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= __________. 【答案】6425【解析】先利用同角三角函数的基本关系把1换成22sin cos αα+，22222cos 2sin2cos 4sin cos cos 2sin21sin cos ααααααααα+++==+， 分子分母同时除以2cos α，最后把tan α的值代入即可求得答案．【详解】22222cos 2sin2cos 4sin cos cos 2sin21sin cos ααααααααα+++==+ 2231414tan 644.tan 125314αα⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭即答案为6425. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值．解题的关键是把原式中的弦转化成切，利用已知条件求得问题的解决．7．在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC的面积为BC 的长是____．【解析】由题可知：1sin sin 2AB AC A A ⋅⋅==，又为锐角三角形，所以60A =，由余弦定理222cos 2b c a A a BC bc+-=⇒== 8．已知02πα-<<，且5cos 13α=．则2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值为_____.【答案】2316-【解析】由已知利用同角三角函数关系式可求sin α和tan α，根据诱导公式化简所求后即可代入求值．【详解】 ∵02πα-<<，且5cos 13α=， ∴12sin 13α=-，12tan 5α=-， ∴12232cos()3sin()2cos 3sin 23tan 235124cos()sin(2)4cos sin 4tan 1645παπαααααπαααα⎛⎫-+⨯- ⎪--+-+-+⎝⎭====--+---+， 故答案为2316-. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及诱导公式的应用，三角函数齐次式值的求法，属于基础题.9．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值等于____. 【答案】32【解析】先根据函数在区间[,]34ππ-上的最小值是2-确定x ω的取值范围，求出ω的范围得到答案． 【详解】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-， 而x ω的取值范围是[]34ωπωπ-，， 当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-，∴232k ωπππ-≤-+，且 242k ωπππ≥-+，k Z ∈， ∴362k ω-≤，82k ω≥-，k Z ∈， ∵0>ω， ∴ω的最小值等于32， 故答案为32． 【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力，属于中档题. 10．设α为锐角，若π3cos()65α+=，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_______.【答案】50【解析】由条件求得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用二倍角公式求得sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再根据221234sin sin πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差的正弦公式计算求得结果． 【详解】∵α为锐角，π3cos()65α+=，∴465sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴24sin 22sin cos 36625πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 27cos 22cos 13625ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故sin 2sin 21234πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 2cos cos 2sin 3434ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2472525=+=50. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．11．已知函数()()(0)6f x sin x cos x πωωω＝＋－＞．若函数()f x 的图象关于直线x＝2π对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数，则ω的取值集合为______. 【答案】154,,363⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】()1sin cos sin cos sin 6226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2x π=是一条对称轴，2=+62k πππωπ∴-，得()1=+32kk Z ω∈， 又()f x 在区间44，ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调， 2T ππω∴=≥，得2ω≤，且462{462πππωπππω--≥--≤，得403ω<≤，154=363ω∴，，，集合表示为154363⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，。

江苏省启东中学2020-2021学年高一数学上学期期初考试试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．下列叙述正确的是 （ ） A. 若|a |＝|b |，则a ＝bB. 若|a |＝|b |，则a ＝±bC. 若a ＜b ，则|a |＜|b |D. 若|a |＞|b |，则a ＞b2．二次根式＝－a 成立的条件是 （ ）a2A. a >0 B. a <0 C. a ≤0 D. a 是任意实数3．不论a 、b 为何实数，a 2＋b 2－2a －4b ＋4的值 （ ）A. 总是正数B. 总是非负数C. 可以是零D. 可以是一切实数4．若x 2－kxy ＋4y 2是一个完全平方式，则常数k 的值为 （ ）A. 4B. －4C. ±4D. 无法确定5．一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是（）6．若集合中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，则此三角形一定不是（{},,a b c ）A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形7．已知m ，n 是方程x 2＋5x ＋3＝0的两根，则m ＋n 的值为 （ ）n m mn A. －2 B. 2 C. ±2 D. 以上都不对3338．如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC 于点E .如果＝，那AE EC 23么＝（ ）AB AC A. B. C. D. 13252335二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．满足下列条件的△ABC ，是直角三角形的是 （ ）A. b 2＝a 2－c 2B. ∠C ＝∠A ＋∠BC. ∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5D. a ∶b ∶c ＝12∶13∶510．方程(x 2－4)＝0的解可以是 （ ）2x －1A. x ＝－2 B. x ＝－ C. x ＝ D. x ＝2121211．若x 2＋xy －2y 2＝0，则的值可以为 （ ）x2＋3xy ＋y2x2＋y2A. － B. － C. D. 5215155212．如图，已知直线y ＝3x ＋3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C (3，0)．若该抛物线的对称轴上存在点Q满足△ABQ 是等腰三角形，则点Q 的坐标可以是（ ）A. (1,－)B. (1,0)C. (1,1)D.(1,6)6 第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若关于x 的不等式>0的解集为(－∞,－1)∪(1,＋∞)，则实数a ＝________．x －ax ＋114．若|x －2y －1|＋|2x －y －5|＝0，则x －y ＝______．15．在Rt△ABC 中，已知∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ∶BC ＝3∶2，则BD ∶AD 的值为______．16．设a ＝，则a 是一元二次方程____________的一个实数根，据此得5－12a 4＋a 2＋4a －3＝________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）将函数的解析式变形为yx 2－(y ＋2)x ＋y ＝0，试求出函数y 的最大值、最小122+-=x x x y 值．18．（本小题满分12分）把下列各式分解因式：（1）a 7－ab 6 ；（2）(x 2＋x )2－5(x 2＋x )＋6 ；（3）x 3＋19x －20 ．19．（本小题满分12分）解下列不等式：（1）－4＋x －x 2＜0；（2）≥2；（3）|2x ＋1|＋|x －2|>4．x ＋13x －220．（本小题满分12分）若x 1，x 2是方程x 2－2x －2 020＝0的两个根，试求下列各式的值：（1） x ＋x ；（2） ；（3）(x 1－5)(x 2－5)；（4） |x 1－x 2|．2122111x x21．（本小题满分12分）已知关于x的方程x2＋2mx＋m＋2＝0．（1）m为何值时，方程的两个根都是正数？（2）m为何值时，方程的两个根一个大于0，另一个小于0，且负根的绝对值较小？（3）m为何值时，方程的两个根均不小于1?22．（本小题满分12分）（1）已知关于x的方程x2＋x－a－1＝0在0≤x≤1上有解，求实数a的取值范围；（2）已知关于x的方程x2＋x－a－1 > 0在0≤x≤1上有解，求实数a的取值范围；（3）已知关于x的方程x2＋x－a－1 > 0在0≤x≤1上恒成立，求实数a的取值范围．江苏省启东中学2020～2021学年度第一学期期初考试高一数学试卷一、BCDCC，DAC二、9. ABD ；10. CD ；11. BD ；12. ABC三、13. 1 ； 14. 2 ； 15. 4∶9 ； 16. x 2＋x －1=0，0四、解答题17. 解：（1） 当y ＝0时，x ＝0；（2） 当y≠0时，关于x 的一元二次方程yx 2－(y ＋2)x ＋y ＝0，由于x 是实数，所以其判别式Δ≥0一定成立．由y≠0以及Δ＝(y ＋2)2－4y 2≥0，解得－≤y≤2且y≠0.32综上所述，－≤y≤2.32所以函数y 的最大值、最小值分别是2和－.3218.解：（1） a 7－ab 6＝a(a 6－b 6)＝a(a 3＋b 3)(a 3－b 3)＝a(a ＋b)(a 2－ab ＋b 2)(a －b)(a 2＋ab ＋b 2)＝a(a ＋b)(a －b)(a 2＋ab ＋b 2)(a 2－ab ＋b 2)（2）(x 2＋x )2－5(x 2＋x )＋6＝(x 2＋x －2)(x 2＋x －3)＝(x ＋2)(x －1)(x ＋)(x ＋2131 )；213-1（3）x 3＋19x －20＝(x 3－1)＋19(x －1)＝(x －1)(x 2＋x ＋1＋19)＝(x －1)(x 2＋x ＋20)19.解：（1）整理得x 2－x ＋4＞0.∵ Δ＜0，∴ 原不等式的解集为一切实数．（2）<x≤123（3）当x≤－时，原不等式可化为－2x －1＋2－x>4，∴ x<－1，此时x<－1；12当－<x<2时，原不等式可化为2x ＋1＋2－x>4，∴ x>1，此时1<x<2；12当x≥2时，原不等式可化为2x ＋1＋x －2>4，∴ x>，此时x≥2.53综上可得，原不等式的解集为x<－1或x>1.20.解：由题意，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2 020.（1）x ＋x ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝22－2×(－2 020)＝4 044.212（2） ＋＝＝＝－.1x11x2x1＋x2x1x22－2 02011 010（3）(x 1－5)(x 2－5)＝x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋25＝－2 020－5×2＋25＝－2 005.（4）|x 1－x 2|＝＝＝＝2（x1－x2）2（x1＋x2）2－4x1x222－4×（－2 020）.2 02121.解：(1) ⇒－2＜m≤－1.{Δ≥0，x1＋x2＞0，x1x2＞0)(2) ⇒m ＜－2.{Δ＞0，x1x2＜0，x1＋x2＞0)(3) ⇒m=－1.⎪⎩⎪⎨⎧≥-⋅-≥-+-≥∆0)1()10)1()101111x x x x （（22．解：（1）将方程变形为a ＝x 2＋x －1，要求a 的取值范围，就是求y ＝x 2＋x －1的取值范围，即y ＝(x ＋)2－，0≤x≤1，1254所以当x ＝0时，y 取得最小值为－1；当x ＝1时，y 取得最大值为1，所以y 的取值范围是－1≤y≤1，即实数a 的取值范围是－1≤a≤1.（2）由（1）知a < 1．（3）由（1）知a < －1．。

江苏省启东中学2020学年度第一学期期中考试高一数学（普通）（考试用时：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下图中，能表示函数的图象的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象是否存在一对多的情况，即可得答案．【详解】根据题意，对于A、B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于C图，当x=0时，有两个y值对应；对于D图，每个x都有唯一的y值对应．因此，D图可以表示函数y=f（x），故选：D．【点睛】本题考查函数的定义，关键是理解函数的定义“每个x都有唯一的y值对应”．2.下列五个写法：，其中错误写法的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据“∈”用于元素与集合间，“∩”用于集合与集合间，判断出①⑤错；∅是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；据集合元素的三要素判断出③对．【详解】对于①，“∈”是用于元素与集合的关系故①错，对于②，∅是任意集合的子集，故②对，对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性故③对，对于④，因为∅是不含任何元素的集合故④错，对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系的，故⑤错．故选：C．【点睛】此题是基础题，考查对元素与集合关系的判断，以及列举法表示集合，特别注意对空集的理解．3.下列各组函数表示同一函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，对选项逐一判断，即可得到结论．【详解】对于A，f（x）==|x|，g（x）=（）2=x（x≥0），定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；对于B， f（x）=1（x∈R），g（x）=x0=1（x≠0），定义域不同，故不为同一函数；对于C，f（x）=x，g（x）==x，定义域和对应法则均为R，故为同一函数；对于D，f（x）=x+1，（x∈R），g（x）==x+1（x≠1），定义域不同，故不为同一函数．故选：C．【点睛】本题考查同一函数的判断，运用定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，属于基础题．4.已知，则（）A. 5B. -1C. -7D. 2【答案】D【解析】【分析】根据所给解析式先求f（2），再求f[f（2）]．【详解】∵∴f（2）=﹣2×2+3=﹣1，∴f[f（2）]=f（﹣1）=（﹣1）2+1=2．故选：D．【点睛】本题考查分段函数求值问题，属基础题，关键看清所给自变量的值所在范围．5.已知集合，则适合的非空集合B的个数为（）A. 31B. 63C. 64D. 62【答案】B【解析】【分析】由A∪B=A得B⊆A，根据集合关系进行求解．【详解】∵A∪B=A，∴B⊆A，∵，∴满足A∪B=A的非空集合B的个数为26﹣1=63．故选：B．【点睛】本题主要考查集合的基本关系，将A∪B=A转化为B⊆A是解决本题的关键．6.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】∵函数f（x）=+lg（3x+1），∴；解得﹣＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（﹣，1）．故选：B．【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．7.若a>0,将表示成分数指数幂,其结果是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由根式与分数指数幂的互化规则所给的根式化简即可将其表示成分数指数幂，求得其结果选出正确选项．【详解】由题意=故选：C．【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，解题的关键是掌握并能熟练运用根式与分数指数幂互化的规则．8.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据连续函数，可得f（3），f（4）的函数值的符号，由此得到函数的零点所在的区间．【详解】∵连续减函数，∴f（3）=2﹣log23＞0，f（4）=﹣log24＜0，∴函数的零点所在的区间是（3，4），故选：C．【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．9.直线与函数图象的交点个数为( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】A【解析】【分析】函数y=|x2﹣6x|可讨论x去掉绝对值，得到分段函数，画出图象，然后画出y=3，观察交点个数．【详解】由函数的图象可得，显然有4个交点，故选：A．【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．10.已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由f（x）是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出y轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出f（x）的正负，由图象可求出x的范围得结果．【详解】（1）x＞0时，f（x）＜0，∴1＜x＜2，（2）x＜0时，f（x）＞0，∴﹣2＜x＜﹣1，∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2）．故选：C．【点睛】由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自变量的范围．11.已知是定义在上的减函数,则实数的取值范围是( ).A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可．【详解】当x≥1时，函数f（x）=﹣x+1为减函数，此时函数的最大值为f（1）=0，要使f（x）在R上的减函数，则满足，即，解集≤a＜，故选：B．【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键．12.已知函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】【分析】对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x2]，使得g（x1）＞f（x2），可得g（x1）min＞f（x2），根据基本不等式求出f（x2）min=1，再分类讨论，求出g（x）min，即可求出k的范围．min【详解】对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x2]，使得g（x1）＞f（x2），∴g（x1）min＞f（x2）min，∵f（x）=x2+﹣3≥2﹣3=4﹣3=1，当且仅当x=时取等号，∴f（x2）min=1，当k＞0时，g（x）=kx+2，在x∈[﹣1，2]为增函数，∴g（x）min=f（﹣1）=2﹣k，∴2﹣k＞1，解得0＜k＜1当k＜0时，g（x）=kx+2，在x∈[﹣1，2]为减函数，∴g（x）min=f（2）=2k+2，∴2k+2＞1，解得﹣＜k＜0，当k=0时，g（x）=2，2＞1成立，综上所述k的取值范围为（﹣，1）故选：A．【点睛】本题考查了函数恒成立问题和存在性问题，以及基本不等式，属中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

江苏省启东市2020学年度第一学期高一数学期中考试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分160分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分；每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<，则A B ⋃=A ． {}|0x x ≤B ． {}|2x x ≥C ． {0x ≤≤ D ． {}|02x x <<2．下列各组函数中，表示同一函数的是A ． xxy y ==,1 B ． x y x y lg 2,lg 2== C ． 33,x y x y ==D ． ()2,x y x y ==3．化简)31()3()(656131212132b a b a b a ÷-⨯的结果A ． a 6B ． a -C ． a 9-D ． 29a４．与0457-角的终边相同的角的集合是A ．},360263|{0Z k k ∈⨯+=αα B ．},360263|{0Z k k ∈⨯+-=αα C ．},360457|{0Z k k ∈⨯+=αα D ．},36093|{0Z k k ∈⨯+=αα５.4log 16log 327的值是A ．1B ．32 C ．23D ．２ ６．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin ７．函数sin |cos |tan |cot ||sin |cos |tan |cot x x x x y x x x x=+++的值域是A ． {－2，4}B ．{－2，0，4}C ．{－2，0，2，4}D ．{－4，－2，0，4}８．若0tan ,0sin <<αα，则α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角９．若)sin(ϕω+=x A y 在同一周期内,当12π=x 时取得最大值2=y ,当127π=x 时取得最小值 2-=y ,则函数的解析式是A. )32sin(2π+=x yB. )62sin(2π-=x y C. )62sin(2π+=x y D. )32sin(2π-=x y10．已知函数⎩⎨⎧=xx x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，则)]41([f f 的值是 A ． 91B ． 9C ． －91 D ．－9 11．要得到函数)42cos(π-=x y 的图象,只需将函数x y 2sin =的图象A. 向左平移8π个单位 B. 向右平移8π个单位 C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移4π个单位12．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是A ．t x 60=B ．t t x 5060+=C ．=x ⎩⎨⎧>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t tD ．=x ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t二．填空题: 本大题共６小题，每小题５分，满分３０分． 13．满足等式2lg )2lg()1lg(=-+-x x 的x 集合为*********** 14．函数|2|)(+=x x f 的单调减区间是***********15．已知53()8f x x ax bx =++-,若(2)10f -=,则(2)f =***********16．若α的终边上有一点(39,2)P a a -+，满足0cos ≤α且0sin >α，则a ∈．********** 17．若()sin,6n f n π=则)7()5()3()1(f f f f ⋅⋅⋅…)17(f =*******．18．如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，若每个小长方形的面积都为1，则阴影部分的面积是************.三．解答题:本大题共5小题,满分70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（本题满分12分）若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a的值.20．（本题满分14分）已知函数=y │x 21log │．（1）求函数的定义域和值域： （2）作出函数的图象；（3）若规定定义域为[],a b ，值域为[]0,2，求b 的值．21．(本题满分14分) 电流)(A I 随时间)(s t 变化的关系式是),0[,sin +∞∈=t t A I ω，设4,100==A πω．（1）求电流I 变化的周期和频率； （2）当501,2003,1001,2001,0=t 时，求电流I ； （3）画出电流)(A I 随时间)(s t 变化的简单图象．第16题图22．（本题满分14分）已知函数xq px x f 32)(2-+=是奇函数，且35)2(f -=.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）判断函数)(x f 在)1,0(上的单调性，并加以证明.23.(本题满分16分)如图,圆O 的半径为r ,l 为圆O 外一直线,圆心O 到直线l 的距离m OA =||,P为圆周上一点,且∠AOP =θ,一质点从P 点出发在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动, P 点绕圆O 转一周需T 秒．若t 秒后质点运动到Q ,求Q 点到直线l 的距离.[参考答案]一．选择题：二．填空题：13．{}3 14．]2,(--∞ 15．26- 16．32≤<-a 17．()()+∞⋃,21,0 18．5 三．解答题：19．解 由26023x x x +-=⇒=-或；因此，{}2,3M =-（1）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆； -----------------6分 （2）若0a ≠时，得1N a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若N M ⊆,满足1123a a==-或 即1123a a ==-或 ，故所求实数a 的值为0或12或13-． -------------12分20．解（1）定义域为),0(+∞，值域为),0[+∞； ---------------4分（2）图略； -----------------9分 （3）1=b 或4=b ． -----------------14分 21．解（1）50,501； -----------------4分 （2）0，5，0，-5，0； ------------------9分 （3）图略． -------------------14分 22．解（1）∵f(x)是奇函数，∴对定义域内的任意的x ，都有)x (f )x (f -=-，即x3q 2px x 3q 2px 22-+-=++，整理得：x 3q x 3q +-=+ ∴q=0 ----------------3分又∵35)2(f -=，∴3562p 4)2(f -=-+=， 解得p=2 ∴所求解析式为x 32x 2)x (f 2-+= ----------------7分（2）由（1）可得x 32x 2)x (f 2-+==)x1x (32+-，设1021<<<x x ，则由于)]x 1x 1()x x [(32)]x 1x ()x 1x [(32)x (f )x (f 1212112221-+-=+-+=- =2121212*********x x x x 1)x x (32)1x x 1)(x x (32]x x x x )x x [(32-⨯-=--=-+- 因此，当1x x 021≤<<时，1x x 021<<，从而得到0)x (f )x (f 21<-即，)x (f )x (f 21< ∴]1,0(是f(x)的递增区间．-----------14分23．解: 质点每秒钟转过的角度为Tπ2, --------------5分∴t 秒后质点共转过了t T π2弧度,此时OQ 与OA 所成的角为θπ+t T2, -------------10分 Q 到直线l 的距离为)2cos(||θπ+-=t Tr m QR .∴t 秒钟后质点到直线l 的距离为)2cos(||θπ+-=t Tr m QR .)0(≥t ． --------------16分。

江苏省启东市2020届高三上学期期中考试数学试题2019．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}21x x -<<，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A B ＝ ．2．函数()sin(3)6f x x ππ=-的最小正周期为 ．3．“x ＞3”是“232x x -+＞0”的 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cosB ＝2b sinA ，则cosB ＝ ． 5．记n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，122a a +=，454a a +=，则96S S ＝ ． 6．如图所示，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为24，E 为线段B 1C 上的一点，则棱锥A —DED 1的体积为 ． 7．已知函数1()ln 2f x x x m =-+的最小值为1，则m ＝ ． 8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x -=，若当0≤x ≤1时，()2xf x =-cos2xπ，则(2019)f ＝ ．9．若02πα-<<，1cos()43πα-=-，则cos 2α＝ ． 10．如图，在平面四边形ABCD 中，∠CAD ＝2π，AD ＝2，AB ＝BC ＝CA ＝4，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，则AE AF ⋅＝ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线3y x =上，该曲线在点A 处的切线l 与x 轴交于点B ．若AC ⊥x 轴，垂足为C ，且BC 长为1，则切线l 的斜率为 ．12．已知函数254, 1()88, 1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，则不等式(2)()f x f x +>的解集是 ．13．若函数3()xf x a x =-(a ＞0，a ≠1)有两个不同的零点，则a 的取值范围是 ． 14．如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两个三等分点，AB AD 2AC AE ⋅=⋅，则cosB 的最小值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，平面PAB ⊥底面ABCD ，∠PAB ＝90°．（1）求证：PB ∥平面AEC ；（2）求证：平面PAC ⊥平面ABCD ．16．（本题满分14分）已知a ＝cos(x ＋3π))，b ＝(sin x ，1)，x ∈[56π-，6π-]．（1）若30a =，求cos2x 的值； （2）求函数()f x a b =⋅的单调区间和值域． 17．（本题满分14分）已知函数()xxf x a b =+(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)是偶函数． （1）求ab 的值；（2）若(lg )(1)f x f <，求x 的取值范围． 18．（本题满分16分）如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°，沿倾斜角为α(其中tan α＝12)后到达D 到达山项B ．（1）求山的高度BE ；（2）现山顶处有一塔CB ＝38km ，从A 到D 的登山途中，队员在点P 处测得塔的视角为θ(∠CPB ＝θ)．若点P 处高度PF 为x km ，则x 为何值时，视角θ最大?19．（本题满分16分）已知函数22()ln xae f x x x x=+-(a ∈R)．（1）当a ＝0时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间(0，2)内有两个极值点，求实数a 的取值范围． 20．（本题满分16分）数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．已知对任意的n N *∈，存在实数p ，q满足2n n S pa qn =+．（1）若2n a n =，求p ，q 的值；（2）若1a ，2a ，3a 成等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．附加题（40分）21．（本小题满分10分）在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(0,1,2)C ，点P 满足AP AC λ=uu u r uuu r．（1）求点P 的坐标（用λ表示）； （2）若OP BC ⊥，求λ的值．22．（本小题满分10分）确定函数()cos24cos f x x x =+，()02πx ∈，的单调区间． 23．（本小题满分10分）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD == （1）求二面角11D AC B --的余弦值；（2）试问线段11A B 上是否存在点E ，使得直线//DE 平面1ACB ？若存在，求线段1A E 的长；若不存在，说明理由．24．（本小题满分10分）已知1x >，11()1n n n x S x x +-=+，(1)(1)()2n n x T x +-=，n *∈N ．（1）比较2()S x 与2()T x 的大小；（2）比较()n S x 与()n T x （n *∈N ）大小，并加以证明．1D。

○…………○…………绝密★启用前江苏省南通市启东市2019-2020学年高一上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{}| 1A x x =>，{}0,1,2B =，则A B =（ ）A.{}0B.{}2C.{}1,2D.{}0,1,22．函数()f x 的定义域为（ ）A.(],1-∞B.(),1-∞C.()(],44,1-∞--D.()(),44,1-∞--3．已知幂函数()f x 的图象经过点()12,4，则1()4f 的值为（ ）A.116B.12C.2D.164．下列函数中，值域为[)0,+∞的是（ ） A.12y x =B.3x y =C.2log y x =D.1x y x =- 5．已知函数()log ()a f x x b =+的图象如图，则ab =（ ）A.－6B.－8C.6D.86．二次函数2()2f x x tx =-+在[)1,+∞上最大值为3，则实数t ＝（ ） A. C.2D.27．已知函数()2x f x =，若()()()0.222,,lo 52g a f b f c f ===，则（ ） A.a ＜b ＜cB.c ＜b ＜aC.b ＜a ＜cD.a ＜c ＜b8．已知函数321,3,()21,3,3x x f x x x x -⎧+≤⎪=⎨+>⎪-⎩满足()3f a =，则a 的值是（ ）A.4B.8C.10D.4或109．函数212()log (43)f x x x =-+的单调递增区间是A.(,1)-∞B.(,2)-∞C.(2,)+∞D.(3,)+∞10．已知定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x ≥时，22()f x x a a =--，若对任意实数x 有()()f x a f x -≤成立，则正数a 的取值范围为（ ） A.)1,4⎡+∞⎢⎣ B.)1,2⎡+∞⎢⎣ C.(10,4⎤⎥⎦D.(10,2⎤⎥⎦第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．计算：()1321log 827--=____．12．已知2211()f x x x x-=+，则(2)f =______．13．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且当x ＜0时2()1f x x =-，则当x ＞0时()f x =____．14．正数,x y 满足2232x y xy -=，则22x yx y-+的值为______．15．某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚得78元．则这两筐椰子原来共有______个． 16．已知函数()22,,2,.x x m f x x x m x m +<⎧=⎨+-≥⎩若函数()f x 恰有2个不同的零点，则实数m 的取值范围是______．三、解答题17．已知集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋2}，{}|[1,8]B y y x =∈-． （1）求集合B ；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围． 18．已知函数()121xaf x =++为奇函数． （1）求a 的值，并证明()f x 是R 上的增函数；（2）若关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0的解集非空，求实数k 的取值范围．19．已知函数11()1(0)2f x x x =-+>．（1）若0m n >>时，()()f m f n =，求11m n+的值； （2）若0m n >>时，函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，求所有,m n 值．20．设函数()(01)x x f x t t t t -=->≠,，3(1)2f -=．（1）求t 的值；（2）求函数()442()x x g x kf x -=++，[]0,1x ∈的最大值()h k ．21．某市每年春节前后，由于大量的烟花炮竹的燃放，空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现，每天空气污染的指数()f t 随时刻t (时)变化的规律满足表达式()3()lg 1328f t t a a =+-++，[]0,24t ∈，其中a 为空气治理调节参数，且(0,1)a ∈． （1）令()3lg 18x t =+，求x 的取值范围；（2）若规定每天中()f t 的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过5，试求调节参数a 的取值范围． 22．已知函数()2(0)mf x x x x=+->的最小值为0．（1）求实数m 的值；（2）函数222()(2)2kg x f x x k x x =-+--有6个不同零点，求实数k 的取值范围．参考答案1．B 【解析】 【分析】直接在集合B 中找到大于1的元素即可. 【详解】{}0,1,2B =,只有2满足大于1,故AB ={}2.故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算. 2．C 【解析】 【分析】由()f x ,易得1040x x -≥⎧⎨+≠⎩,求解即可. 【详解】 由题, 101,440x x x x -≥⎧⇒≤≠-⎨+≠⎩,故定义域为()(],44,1-∞--,故选：C. 【点睛】 常见定义域：(1)根号下大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0. 3．D 【解析】 【分析】由题可设幂函数表达式,再代入点()12,4求解参数即可算出表达式,再计算1()4f 即可.【详解】设()af x x =,因为函数过()12,4,故2122224a a a -=⇒=⇒=-,所以2()f x x -=,故2211()41644f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】已知幂函数可设()a f x x =,仅含一个参数,故代入一个点即可求得参数a . 4．A 【解析】 【分析】直接对每个选项进行值域分析即可. 【详解】 对A：12y x ==函数单调递增,值域为[)0,+∞；对B ：指数函数3xy =单调递增,值域为()0,+∞；对C ：对数函数2log y x =值域为R ； 对D ：1111111xx y x x x -+===+---,值域为()(),11,-∞+∞；故选：A. 【点睛】指数函数定义域为R ,值域为()0,+∞,对数函数定义域为()0,+∞,值域为R .幂函数需要根据指数的值来判定值域. 5．D 【解析】 【分析】由图得, ()log ()a f x x b =+过(0,2)和(3,0)-,代入求解算出,a b 即可. 【详解】()log ()a f x x b =+过(0,2)和(3,0)-,故()22log 0log 331a a ba b b b =⎧⎧=⇒⎨⎨=--=⎩⎩,因为0a >且1a ≠,所以24a b =⎧⎨=⎩,故8ab =.【点睛】已知函数过点求参数范围,直接代入点计算参数即可. 6．B 【解析】 【分析】先求二次函数对称轴,分析对称轴与区间的位置关系来判定在哪点处取得最大值. 【详解】对称轴x t =,判断对称轴与区间的位置关系,当1t ≤时,2()2f x x tx =-+在区间[)1,+∞上单调递减, max ()(1)21f x f t ==-, 此时213,2t t -==,不满足1t ≤；当1t >时,222max ()()2f x f t t t t ==-+=,此时23t t =⇒=又1t >所以t =. 故选：B. 【点睛】求二次函数最值问题,需要分析开口方向与对称轴和区间的位置关系,从而得到最大最小值处的取值,同时分类讨论需要注意大前提与得出的结论需要取交集. 7．A 【解析】 【分析】由于()2x f x =为增函数,故只需判断()f x 中自变量的大小关系即可. 【详解】由题,()2x f x =为增函数,且0.21222<=,222log 4log 5=<,故0.2222log 5<<,所以()()()0.2222lo 5g f f f <<,故a b c <<.故选：A. 【点睛】本题主要考查指数函数的单调性,当()f x 为增函数时,自变量越大则函数值越大. 8．C 【解析】分情况3x ≤和3x >解出a 的值,并注意判断是否满足分段的标准即可. 【详解】当3a ≤时,令32134a a -+=⇒=,不满足3a ≤； 当3a >时,令2132139103a a a a a +=⇒+=-⇒=-,满足3a >.所以10a =. 故选：C. 【点睛】分段函数求等式时,需要注意分情况讨论,解出的值要检验是否满足定义域. 9．A 【解析】 试题分析：由得函数的定义域为(3,)(,1)+∞⋃-∞,再根据复合函数的单调性可知内函数的减区间即为原函数的增区间，所以f(x)的单调递增区间为(,1)-∞. 考点：复合函数的定义域，单调区间。

江苏省启东中学2020 学年高一数学上学期第一次质量检测试题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.若 1∈{x，x2} ，则x=（）A. 1B.C.0 或1D. 0或 1 或2.已知会合，会合，则 P与 Q的关系是A. B. C. D.3. 已知会合={ -2，22+5 ， 12} ，- 3∈，则a 的值为（）A aa a AA. B. C. D.4.假如会合 S={ x| x=3n+1， n∈ N}， T={ x| x=3k-2， k∈ Z}，则（）A. B. C. D.5.已知函数 y=f （ x）定义域是[-2，3]，则 y=f （2x-1）的定义域是（）.A. B. C. D.6.函数 f （ x）=的定义域为，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知偶函数 f （ x）在区间[0，+∞）单一递加，则知足 f （2x-1）＜ f （）的 x 取值范围是（）A. B. C. D.8. 以下四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A. B. C.D.9.已知函数 f（ x）=4x2+kx-1在区间[1，2]上是单一函数，则实数 k 的取值范围是（）A. B.C. D.10.已知函数y =f （ x）在定义域（-1，1）上是减函数，且f （2a-1）＜ f （1- a），则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.11.函数的最小值为（）A.0B.C.D.12.已知函数 f （ x）（ x∈ R）知足 f （ x）=f （2- x），若函数 y=| x2-2 x-3|与 y=f （ x）图象的交点为（x 1， 1），（x2，2），，（xm，m），则xi =（）y y yA. 0B. mC. 2 mD. 4 m二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0分）13.设会合 M={ x|-1＜ x＜2}， N={ x| x- k≤0}，若 M∩ N≠?，则 k 的取值范围是______．14.设 A={ x|- 2≤ x≤5}， B={ x| m+1≤ x≤2m-1}，若 A∩B=B，则实数 m的取值范围是______．15.已知会合 A={ x| ax2-3 x+2=0，a∈ R}，若会合 A 中只有一个元素，则实数 a 的取值为______．16.已知函数是R上的递加函数，则实数m的取值范围是_____________.三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17.求值：（1）- （ 2 - π）0-+；（2）已知 0＜x＜ 1，且x+x-1 =3，求．18.设会合A={x|x2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}．（1）求会合A∩ B；2（2）若不等式2x +ax+b＜ 0 的解集为A∪ B，求 a、 b 的值．19.已知会合 A={ x| ax2+2x+1=0， a∈ R}，（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；（2）若A是空集，求a的取值范围；（ 3）若A中至多有一个元素，求 a 的取值范围．20.最近几年来，雾霾日益严重，我们的工作、生活遇到了严重的影响，怎样改良空气质量已成为现在的热门问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，依据过去的生产销售经验获得下边相关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为P（ x）（万元），此中固定成本为12 万元，而且每生产 1 百台的生产成本为10 万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入Q（ x ）（万元）知足Q（ x ）=，假设该产品产销均衡（即生产的产品都能卖掉），依据以述统计规律，请达成以下问题：（1）求收益函数y=f（x）的分析式（收益 =销售收入 - 总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使收益最多？21. 设函数是增函数，对于随意x，都有．求；证明奇函数；解不等式．22. 已知二次函数知足，且．( Ⅰ) 求a , b 的值；(Ⅱ)若，求，在区间的取值范围．上的最小值为，最大值为答案和分析1.【答案】 B【分析】【剖析】此题观察元素与会合的关系，需要注意会合中元素的互异性，属于基础题.依据题意，若1∈{x，x2} ，则必有x=1 或x2=1，从而分类议论：x=1或许 x2=1，每种状况下求出 x 的值，并考证能否切合会合中元素的性质，综合即可得答案．【解答】解：依据题意，若 1∈{x，x2} ，则必有x=1 或x2=1，从而分类议论：①、当x=1时，x2=1，不切合会合中元素的互异性，舍去，②、当 x2=1，解可得 x=-1或 x=1（舍），当 x=-1时， x2=1，切合题意，综合可得， x=-1，应选 B．2.【答案】 C【分析】【剖析】此题观察了会合的表示方法，进行会合间的元素或判断会合间的关系时，应当先化简各个集合，再借助数轴或韦恩图进行运算或判断，属于基础题.经过求会合 P 中函数的定义域化简会合 p，经过求会合 Q中函数的值域化简会合 Q，利用会合间元素的关系判断出会合的关系．【解答】解：依题意得，P={ x| x+1≥0}={ x| x≥-1}，Q={ y| y≥0}，∴Q? P，应选 C．3. 【答案】B【分析】【剖析】因为 - 3∈A则a-2=-3或 2a2+5a=-3 ，求出a的值而后再代入再依据会合中元素的互异性对 a 进行弃取．此题主要观察了会合中元素的互异性，属常考题型，较难．解题的重点是求出 a 的值后要回代到会合中利用会合中元素的互异性进行查验．【解答】解：∵ - 3∈A∴-3= a-2 或 -3=2 a2+5a∴a=-1或 a=-，∴当 a=-1时， a-2=-3，2a2+5a=-3，不切合会合中元素的互异性，故a=-1应舍去当 a=-时， a-2=-，2a2+5a=-3，知足．∴ a=-．应选 B．4.【答案】 A【分析】解：由 T={ x| x=3k-2=3（ k-1）+1， k∈ Z}={ x| x=3（ k-1）+1， k- 1∈ Z}令 t =k-1，则 t ∈Z，则 T={ x| x=3t +1， t ∈ Z}经过对照 S、 T，且由常用数集N与 Z 可知 N?Z故 S?T应选 A．若 t =k-1，则将 T 化简为 S的形式，对照常用数集即可获得答案此题观察了会合间相等关系的判断与应用，属于基础题5.【答案】 C【分析】【剖析】此题观察复合函数定义域的求解，是基础题.依据复合函数定义域之间的关系得- 2≤2x- 1≤3，计算得结论．【解答】解：因为函数y=f （ x）定义域是[-2，3]，所以 - 2≤2x- 1≤3，解得 - ≤x≤2，所以函数 y=f （2x-1）的定义域为[-，2].应选 C．6.【答案】 B【分析】【剖析】此题主要观察函数的定义域，观察含有参数的不等式恒建立问题，观察运算求解能力和分类议论思想，属于基础题．依据题意，可得在上恒建立，当时，有在上恒建立；当时，可得，即可求出结果.【解答】解：函数的定义域为，在上恒建立，①当时，有在上恒建立，切合条件；②当时，则，解得；综上，实数的取值范围是.应选.7.【答案】 A【分析】【剖析】此题观察函数的奇偶性及单一性 , 同时观察不等式的求解，依据函数奇偶性和单一性的关系将不等式进行转变是解决此题的重点．依据函数奇偶性和单一性的性质，将不等式进行转变求解即可．【解答】解：∵ f （ x）是偶函数，∴ f （ x）=f （| x|），∴不等式等价为 f （|2 x-1|），∵ f （ x）在区间[0，+∞）单一递加，∴，解得．应选 A．8.【答案】 C【分析】【剖析】此题观察函数的单一性与单一区间的知识点，属于基础题.依据各选项逐个剖析各函数的单一性即可得出答案．【解答】解： A.∵f （ x）=3- x 在（0，+∞）上为减函数，故A不正确；. ∵f （） =x2-3x是张口向上对称轴为x=的抛物线，所以它在（ 0，+∞）上先减后增，故BB x不正确；C.∵ f （x）=-在（ 0，+∞）上y随x的增大而增大，所它为增函数，故C正确；D.∵ f （x）=-| x|在（0，+∞）上 y 随 x 的增大而减小，所以它为减函数，故D不正确，应选 .C9.【答案】 A【分析】【剖析】此题观察二次函数的单一性的判断，注意运用分类议论的思想方法，观察运算能力，属于基础题．求出 f （x）的对称轴方程，议论 f （x）在区间[1，2]上是单一增函数和减函数，注意对称轴和区间的关系，解不等式即可获得所求范围．【解答】解：函数 f （ x）=4x2+kx-1的对称轴为x=-，若 f （ x）在区间[1，2]上是单一增函数，可得 - ≤1，解得k≥ -8 ；若 f （ x）在区间[1，2]上是单一减函数，可得 - ≥2，解得k≤ -16 ，综上可得 k 的范围是.应选 A.10.【答案】 B【分析】【剖析】此题观察了函数的性质的运用，利用函数= （）在定义域（ -1 ，1）上是减函数，将（ 2a -1 ）y f x f＜f （1- a）转变成：2a-1＞1- a 求解，注意定义域的范围．【解答】解：函数 y=f （ x）在定义域（-1，1）上是减函数，则有：，解得：.应选 B．11.【答案】 C【分析】【剖析】此题观察函数的最值，属于基础题. 利用换元方法，设, t≥0，则x=t2-1, 将已知函数化为对于 t 的二次函数们进一步求出最小值.【解答】解：设= ,t ≥0，则= 2-1,, 分析式化为y=,t≥0，t x t所以 t=1 时，原函数的最小值为-1.应选 C.12.【答案】 B【分析】【剖析】此题观察的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度中档．依据已知函数f（ x）（ x∈ R）知足 f（ x）=f（2- x），剖析函数的对称性，可得函数y=| x2-2 x-3|与= （x ）图象的交点对于直线x=1 对称，从而获得答案．y f【解答】解：∵函数 f （ x）（ x∈ R）知足 f （x）=f （2- x），故函数 f （ x）的图象对于直线x=1对称，又函数 y=| x2-2 x-3|的图象也对于直线x=1对称，故函数y =|x2-2x-3|与=（）图象的交点也对于直线x=1 对称，y f x故x i=×2=m，应选 B．13.【答案】 (-1 ，+∞）【分析】【剖析】此题观察会合之间的基本运算问题，是基础题．因会合 M、 N是数集，简单得出结论．【解答】解：∵会合 M={ x|-1＜ x＜2}， N={ x| x- k≤0}={ x| x≤k}，且 M∩N≠?，∴k 的取值范围是：(-1，+∞）．故答案为 (-1 ，+∞）．14.【答案】 m≤3【分析】【剖析】A∩ B=B? B? A，利用会合的基本关系转变成元素与会合，元素与元素的关系求解．注意B=?情情况．此题观察的知识点是交集及其运算及会合的包括关系判断及应用，解答时简单遗漏况．【解答】解：①由 B={ x| m+1≤ x≤2m-1}= ?，可得 m+1＞2m-1， m＜2，B=?的情知足 A∩B=B．② B≠?时，需，解得2≤m≤3，综上所述，实数m的取值范围是m＜2或2≤ m≤3，即 m≤3．故答案为： m≤3．15.【答案】 0 或【分析】【剖析】经过会合 A={ x| ax2-3 x+2=0，x∈ R，a∈ R}有且只有一个元素，方程只有一个解或重根，求出a 的值即可．解题时简单遗漏a=0的状况，当方程，不等式，函数最高次项系数带有参数时，要依据状况进行议论．【解答】解：因为会合 ={ |ax2-3x+2=0，x∈，∈ } 有且只有一个元素，A x R a R当 a=0时， ax2-3 x+2=0只有一个解 x=，当a ≠0时，一元二次方程只有一个元素则方程有重根，即△ =9 -8a=0即 =．a所以实数 a=0或．故答案为0 或．16. 【答案】m≤-10【分析】【剖析】此题观察分段函数的单一性及一次、二次函数，函数 f （ x）是R 上的单一递加函数，可得两段都是增函数，再联合函数在x=1时，二次函数的取值要大于或等于一次函数的取值，即可得出实数m的取值范围.【解答】解 : 由题意可得，解得，所以 m≤-10，故答案为≤ -10.m17. 【答案】解：（ 1）- （ 2- π）0- （+；原式 =-1-+=-1-+=- +8=8 .（ 2）由题意： 0＜x＜ 1，∴＜ 0所以：（）2=x+x-1 -2 ．∵x+x-1=3,∴（）2=1,故得=-1.【分析】（ 1）利用指数幂的运算性质即可得出．（ 2）由题意0＜＜ 1，且+ -1=3，判断x -x的值为负，采纳两边平方后，再开方可得x x x答案．此题观察了指数幂的运算性质，属于基础题．18.【答案】解：会合 A={ x| x2＜9}={ x|-3＜ x＜3}，B={ x|（x-2）（ x+4）＜0}={ x|-4＜ x＜2}；（1）会合A∩B={ x|-3 ＜x＜ 2} ；（2）∵A∪B={ x|-4 ＜x＜ 3} ，2且不等式2x +ax+b＜0 的解集为（ -4 ，3），由根与系数的关系得，解得 a=2， b=-24．【分析】此题观察了会合的化简与运算，以及根与系数的关系应用问题，是基础题目．（ 1）化简会合A、 B，依据交集的定义进行计算即可；（ 2）求出A、B的并集，再由根与系数的关系，即可求出a、 b 的值．219. 【答案】解：（ 1）若A中只有一个元素，则方程ax +2x+1=0有且只有一个实根，当 a=0时，方程为一元一次方程，知足条件，此时 x=-，当a≠0，此时△=4 -4 a=0，解得： a=1，此时 x=-1，（2）若A是空集，则方程 ax2+2x+1=0无解，此时△ =4 -4 a＜ 0，解得：a＞ 1.（3）若A中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素，由（ 1），（ 2）得知足条件的 a 的取值范围是：a=0或 a≥1.【分析】此题观察的知识点是元素与会合关系的判断，依据题目要求确立会合中方程ax2+2x+1=0根的状况，是解答此题的重点．（ 1）若A 中只有一个元素，表示方程ax2+2 +1=0 为一次方程，或有两个等根的二次方程，分x别结构对于 a 的方程，即可求出知足条件的 a 值，（2）A为空集，表示方程ax2+2x+1=0 无解，依据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易获得一个对于 a 的不等式，解不等式即可获得答案．（3）若A中至多只有一个元素，则会合A为空集或A中只有一个元素，由（ 1）（ 2）的结论，将（ 1）（ 2）中a的取值并进来即可获得答案．20.【答案】解：（ 1）由题意得P（x） =12+10x，则 f （ x）=Q（ x）- P（ x）=,即为 f （x）=；（ 2）当x＞ 16 时，函数 f （ x）递减，即有 f （ x）＜ f （16）=212-160=52万元当 0≤x≤16 时，函数f（x） =-0.5 x2+12x-12 ，=-0.5 （x-12 ）2+60，当 x=12时， f （x）有最大值60万元，所以当工厂生产12 百台时，可使收益最大为60 万元．【分析】此题观察函数模型在实质问题中的应用，观察函数的最值问题，正确求出分段函数式，求出各段的最值是解题的重点，属于中档题．（1）先求得P（x），再由f（x） =Q（x） - P（x），由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最值，注意运用一次函数和二次函数的最值求法，即可获得．21.【答案】解：（ 1）由题设，令x=y=0，恒等式可变成f（0+0） = （ 0） + （0），解得f（ 0） =0；f f（ 2）证明：令y=- x，则由 f （x+y）=f （ x）+f （y）得 f （0）=0=f （ x）+f （- x），即 f （- x）=- f （x），故 f （ x）是奇函数；（3）∵，，即，又由已知 f （ x+y）=f （ x）+f （ y）得： f （ x+x）=2f （x），∴ f （ x2-3 x）＞ f （2x），由函数 f （ x）是增函数，不等式转变成x2-3 x＞2x，即 x2-5 x＞0，∴不等式的解集{ x| x＜ 0 或x＞ 5} ．【分析】此题主要观察了抽象函数及其应用，观察剖析问题和解决问题的能力，属于中档题．（ 1）利用已知条件经过x=y=0，直接求f（ 0）；（ 2）经过函数的奇偶性的定义，直接证明f （ x）是奇函数；（ 3）利用已知条件转变不等式．经过函数的单一性直接求解不等式f（x2） - f（x）＞f（ 3x）的解集即可．22.【答案】解：（ I ）依据题意得， f (1)= a-4+ b=-2，又因为 f ( x)= f (4- x)，所以二次函数的对称轴为，解得 a=1，所以 b=1，( II ) 由（I）可知，f ( x)=，当 m>2时，最小值，最大值，所以；当 m+1<2<m+2，即0<m<1时，最小值为，最大值，所以；当 m≤2<m+1，即1<m≤2，最小值为，最大值为，所以；当 m+2≤2时，即 m≤0时，最小值为，最大值，所以；所以，函数的图象以下：察看图象可知，函数的值域为.【分析】此题主要观察函数的分析式与分段函数，利用函数的图象求函数的值域，利用二次函数的性质研究最值 .（1）利用二次函数的对称轴，即可得；（2）利用二次函数的性质，即可得最值，借助函数的图象，即可得分段函数的的值域.。

2020-2021学年江苏省南通市启东市高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x||x|<2}，B ={x|x −1>0}，则A ∪B =( )A. {x|−2<x <1}B. {x|x >−2}C. {x|1<x <2}D. {x|x >1}2. 下列函数中，在区间(0,+∞)上是减函数为( )A. y =3xB. y =x 2C. y =x 13D. y =2−x3. 设函数f(x)={1+2x−1,x ≥2|x −1|+3,x <2，则f(f(0))=( )A. 5B. 8C. 9D. 174. 若关于x 的不等式ax +b <0的解集为(2,+∞)，则bx +a <0的解集是( )A. (−∞,12)B. (12,+∞)C. (−∞,−12)D. (−12,+∞)5. 若a =0.80.8，b =0.80.9，c =1.20.8，则( )A. c <b <aB. c <a <bC. b <a <cD. a <b <c6. 已知函数f(x)=x 2+(m 2−4)x +m 是偶函数，g(x)=x m 在(−∞,0)内单调递增，则实数m =( )A. 2B. ±2C. 0D. −27. 设命题甲：关于x 的不等式ax 2+2ax +1>0的解集是实数集R ；命题乙：0<a <1，则命题甲是命题乙成立的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要8. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=f(−x)，且在(0,+∞)上是增函数，不等式f(ax +2)≤f(−1)对于x ∈[1,2]恒成立，则a 的取值范围是( )A. [−32,−1]B. [−1,−12]C. [−12,0]D. [0,1]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 下列四组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是( )A. f(x)=x +1，g(x)=x 2−1x−1B. f(x)=√x +1⋅√1−x ，g(x)=√1−x 2C. f(x)=(x−1)0，g(x)=1D. f(x)=(√x)2x，g(x)=(√x)210.已知函数f(x)=e x−1e x+1(e为自然对数的底数)，则()A. f(x)为奇函数B. 方程f(x)=12的实数解为x=ln3C. f(x)的图象关于y轴对称D. ∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0 11.下列命题中正确的是()A. 若x>1，则x+1x >2 B. 若x<y<0，则1x<1yC. 若x<0，则x+1x ≤−2 D. 若yx<1，则y<x12.德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f(x)={1,x为有理数,0,x为无理数称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)有()A. f(f(x))=1B. 函数y=f(x)的图象是两条直线C. f(√2)>f(1)D. ∀x∈R，都有f(1−x)=f(1+x)三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.若集合{x∈N∗|x2+mx<0}恰有3个元素，则实数m的取值范围是．14.函数y=(12)x2−2x的值域为．15.已知x，y是正实数，且x+y=3，则1x+1+4y+4的最小值是．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰⋅纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a b=N⇔b=log a N.现已知a=log26，3b=36，则1a +2b=，2a b=．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)求值：(lg5)2+lg2⋅lg50+21+log25；(2)已知f(√x+√x)=x+x−1，求函数f(x)的解析式．18.已知函数f(x)=x2+mx−2m(m∈R)．(1)若函数f(x)在区间(−∞,2)上单调递减，求实数m的取值范围；(2)若对于任意x∈[−1,1]，都有f(x)<0成立，求实数m的取值范围．19.对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}，记作A−B．(1)已知集合A=(−1,1)，B=(0,2)，求A−B，B−A；(直接写出结果即可)(2)已知集合P={x|(x+a)(x−2a)≥0}，Q=[1,2]，若Q−P=⌀，求实数a的取值范围．20.某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0<x<1).当治理面积达到这片沙漠面积一半时，正好用了10年时间．(1)求x的值；(2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的√2，按照规划至少还需多少年，使剩余2沙漠面积至多为原沙漠面积的1？4≥−1的解集为A，集合B={x|2ax2+(2−ab)x−b<0}．21.已知不等式5x−3(1)求集合A；(2)当a>0，b=1时，求集合B；(3)是否存在实数a，b使得x∈A是x∈B的充分条件，若存在，求出实数a，b满足的条件；若不存在，说明理由．(a x−a−x)，(a>0且a≠1)．22.已知函数f(x)=aa2−1(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)对于∀x∈[−1,1]，∃m∈[2,+∞)，使得f(x)=m2+km，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，属于基础题．解不等式，分别求出关于A，B，求出A，B的并集即可．【解答】解：∵A={x||x|<2}={x|−2<x<2}，B={x|x−1>0}={x|x>1}，∴A∪B={x|x>−2}，故选：B．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查基本函数的单调性的判断，是基本知识的考查．利用一次函数，二次函数，指数函数与幂函数的单调性判断结果即可．【解答】解：选项A，是一次函数是增函数，所以A不正确；选项B，函数是二次函数，在区间(0,+∞)上是增函数，所以B不正确；选项C，函数是幂函数，是增函数，所以C不正确选项D，y=2−x是指数函数，在区间(0,+∞)上是减函数，所以D正确；故选：D．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查分段函数函数值的计算，注意分段函数的性质，属于基础题．根据题意，由函数的解析式可得f(0)=4，据此可得f(f(0))=f(4)，计算可得答案．【解答】解：根据题意，f(x)={1+2x−1,x ≥2|x −1|+3,x <2，则f(0)=|0−1|+3=4， 则f(f(0))=f(4)=1+23=9， 故选：C ．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 由题意知，x =2是方程ax +b =0的根，且a <0，推出b =−2a ，再代入bx +a <0，解之即可． 【解答】解：由题意知，x =2是方程ax +b =0的根，且a <0， 所以b =−2a ，所以不等式bx +a <0可化为−2ax +a <0， 解得x <12， 故选：A ．5.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查了三个值的大小比较，合理应用指数函数和幂函数的单调性是本题的解题关键，属于基础题．由指数函数y =0.8x 的单调性可得a ，b 的大小关系，由幂函数y =x 0.8的单调性可得a ，c 的大小关系，从而得到a ，b ，c 的大小关系． 【解答】解：∵指数函数y =0.8x 在R 上单调递减，且0.8<0.9， ∴0.80.8>0.80.9，即a >b ，∵幂函数y=x0.8在(0,+∞)上单调递增，且0.8<1.2，∴0.80.8<1.20.8，即a<c，综上所述，b<a<c．故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数奇偶性的应用以及幂函数的性质，属于基础题．根据函数的奇偶性的性质求出m，结合幂函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵函数f(x)=x2+(m2−4)x+m是偶函数，∴f(−x)=f(x)，即f(−x)=x2−(m2−4)x+m=x2+(m2−4)x+m，则−(m2−4)=m2−4，解得m2−4=0，解得m=2或−2，∵若m=2，g(x)=x2在(−∞,0)内单调递减，不满足条件，若m=−2，g(x)=x−2在(−∞,0)内单调递增，满足条件，故选：D．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查命题的充分、必要、充要条件的判断，属于中档题．利用特殊值法，令a=0，可得1>0恒成立，来判断充分条件，再根据二次函数的性质判断必要条件，从而求解．【解答】解：已知命题甲：ax2+2ax+1>0，令a=0，可得1>0恒成立，∴命题甲推不出命题乙，由0<a<1，设y=ax2+2ax+1，则其中a>0，△=4a2−4a=4a(a−1)<0，图象开口向上，与x轴无交点，此时ax2+2ax+1>0恒成立，命题乙推出命题甲，∴命题甲：ax2+2ax+1>0是命题乙：0<a<1成立的必要不充分条件；故选：B．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数对称性，单调性，涉及不等式恒成立问题，利用分离参数法解不等式即可求出范围，属于基础题．根据条件可得f(x)图象关于y轴对称以及在(−∞,0)上递减，则−3x ≤a≤−1x在[1,2]上恒成立，解出范围即可．【解答】解：由题可知，f(x)的图象关于y轴对称，且函数f(x)在(−∞,0)上递减，由函数f(x)的图象特征可得−1≤ax+2≤1在[1,2]上恒成立，得−3x ≤a≤−1x在[1,2]上恒成立，易知(−3x)max=−32，(−1x)min=−1，所以−32≤a≤−1．故选：A．9.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一个函数．【解答】解：对于A，f(x)=x+1，定义域为R，g(x)=x2−1x−1=x+1的定义域为{x|x≠1}，两函数定义域不同，不是同一函数；对于B ，f(x)=√x +1⋅√1−x =√1−x 2，定义域为[−1,1]，g(x)=√1−x 2的定义域为[−1,1]，两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C ，f(x)=(x −1)0=1，定义域为{x|x ≠1}，g(x)=1的定义域为R ，两函数定义域不同，不是同一函数； 对于D ，f(x)=(√x)2x=1，定义域为(0,+∞)，g(x)=(√x)2=1的定义域为(0,+∞)，两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数． 故选：BD ．10.【答案】ABD【解析】 【分析】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，涉及函数值的计算，属于中档题． 根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，函数f(x)=e x −1e x +1，其定义域为R ，有f(−x)=e −x −1e −x +1=1−e x1+e x =−f(x)，即函数f(x)为奇函数，A 正确， 对于B ，若f(x)=e x −1e x +1=12，变形可得e x =3，解可得x =ln3，即方程f(x)=12的实数解为x =ln3，B 正确，对于C ，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，不关于y 轴对称，C 错误， 对于D ，f(x)=e x −1e x +1=e x +1−2e x +1=1−2e x +1，函数y =e x 为R 上的增函数，则f(x)为R 上的增函数，∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，D 正确，故选：ABD ．11.【答案】CA【解析】 【分析】本题考查基本不等式的应用，不等式的简单性质的应用，属于基础题．利用基本不等式以及不等式的基本性质，判断即可．【解答】解：x>1，因为x不能取到1，则x+1x>2，所以A正确；若x<y<0，则1x >1y，所以B不正确；若x<0，则x+1x =−(−x−1x)≤−2√(−x)(−1x)=−2，当且仅当x=−1时等号成立，所以C正确；若yx<1，则y<x也可能x<0<y，所以D不正确；故选：AC．12.【答案】AD【解析】【分析】本题考查了狄利克雷函数的性质，考查了学生对有理数和无理数的理解能力，属于基础题．对应各个选项，结合有理数和无理数以及狄利克雷函数的性质，即可判断各个选项正确与否．【解答】解：选项A：若x为有理数，则f(x)=1，所以f(f(x))=f(1)=1，若x为无理数，则f(x)=0，所以f(f(x))=f(0)=1，即不管x为有理数还是无理数，均有f(f(x))=1，A正确，选项B：在x轴上，有理数和无理数是分散的，图象不可能为直线，B错误，选项C：√2是无理数，所以f(√2)=0，而1为有理数，所以f(1)=1，所以f(√2)<f(1)，C错误，选项D：若x为无理数，则1−x与1+x都为无理数，所以f(1−x)=f(1+x)=0，若x为有理数，则1−x与1+x为有理数，所以f(1−x)=f(1+x)=1，故∀x∈R，都有f(1−x)=f(1+x)，D正确，故选：AD．13.【答案】{m|−4≤m <−3}【解析】【分析】本题主要考查不等式的求解以及分类讨论思想的应用，属于中档题目．分情况解二次不等式，结合已知条件即可求解结论．【解答】解：当m >0时，x 2+mx <0⇒−m <x <0，∵{x ∈N ∗|x 2+mx <0}恰有三个元素，此时没有正根，故舍去，当m <0时，x 2+mx <0⇒0<x <−m ，∵{x ∈N ∗|x 2+mx <0}恰有三个元素，∴3<−m ≤4⇒−4≤m <−3，当m =0时，x 2+mx <0⇒x 不存在，综上可得：实数m 的取值范围为：{m|−4≤m <−3}．14.【答案】(0,2]【解析】【分析】本题考查函数的单调性的应用，注意指数函数的性质，考查计算能力，属于基础题． 求出指数的取值范围，利用指数函数的单调性，即可求出函数的值域．【解答】解：因为x 2−2x =(x −1)2−1，所以x 2−2x ≥−1，又因为指数函数y =(12)x 是减函数，且y =(12)x >0，所以y =(12)x 2−2x ∈(0,2]．故答案为：(0,2]．15.【答案】98【解析】【分析】本题主要考查式子的变形及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题． 先对式子变形，再利用基本不等式求得结果即可．【解答】解：∵x ，y 是正实数，且x +y =3，∴(x +1)+(y +4)=8，∴1x +1+4y +4=18[(x +1)+(y +4)](1x +1+4y +4) =18[5+y+4x+1+4(x+1)y+4]≥18(5+2√4)=98， 当且仅当{x =53y =43时取“=“， 故答案为：98．16.【答案】1 √3【解析】【分析】本题考查了对数式和指数式的互化，以及换底公式，对数的运算性质．根据换底公式和对数的运算性质即可求出．【解答】解：a =log 26，3b =36，则b =log 336=2log 36则1a +2b =log 62+log 63=log 66=1，a b=log 262log 36=lg6lg22lg6lg3=lg32lg2=12log 23=log 2√3， 则2a b =2log 2√3=√3，故答案为：1；√3．17.【答案】解：(1)原式=(lg5)2+lg2⋅(1+lg5)+2⋅2log 25=(lg5)2+lg2+lg2⋅lg5+2×5=lg5(lg5+lg2)+lg2+10=lg5+lg2+10=11．(2)∵f(√x +√x )=x +x −1=(√x)2+(√x )2=(√x √x )2−2， 令t =√x √x ，则t ≥2，当且仅当x =1时取等号．∴f(t)=t 2−2 (t ≥2)，∴f(x)=x 2−2(x ≥2)．【解析】(1)利用对数的运算性质求解即可． (2)利用配凑法得到f(√x √x )=x +x −1=(√x +√x )2−2，再利用换元法令t =√x +√x ，求出t 的范围，从而得到函数f(x)的解析式．本题主要考查了对数的运算性质，考查了配凑法求函数解析式，是基础题．18.【答案】解：(1)因为f(x)=x 2+mx −2m 开口向上且在区间(−∞,2)上单调递减， 所以函数的对称轴是x =−m2≥2，解得m ≤−4，所以m 的取值范围是：{m|m ≤−4}．(2)因为对于任意x ∈[−1,1]，都有f(x)=x 2+mx −2m <0成立，所以{f(−1)<0f(1)<0，即{1−m −2m <01+m −2m <0， 解得m >1，因此，m 的取值范围是：{m|m >1}．【解析】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了一元二次不等式恒成立的应用问题．(1)根据二次函数的图象与性质，结合题意求得m 的取值范围；(2)利用二次函数的性质将不等式恒成立问题转化为{f(−1)<0f(1)<0，解之即可得m 的取值范围．19.【答案】解：(1)由定义A −B ={x|x ∈A 且x ∉B}.集合A =(−1,1)，B =(0,2)， ∴A −B =(−1,0]，B −A =[1,2)．(2)已知集合P ={x|(x +a)(x −2a)≥0}，Q =[1,2]，由Q −P =⌀，得Q ⊆P ．当a >0时，P =(−∞,−a ]∪[2a,+∞)，则0<2a ⩽1，解得0<a ⩽12；当a =0时，P =R ，满足Q ⊆P ；当a <0时，P =(−∞,2a ]∪[−a,+∞)，则0<−a ⩽1，解得−1⩽a <0．综上可得，实数a 的取值范围−1⩽a ⩽12．【解析】本题考查对新定义的理解和应用，解题时要认真审题，属于中档题．(1)根据定义A −B ={x|x ∈A 且x ∉B}.即可求解A −B ，B −A ；(2)由Q −P =⌀，结合定义A −B ={x|x ∈A 且x ∉B}.即可求解实数a 的取值范围．20.【答案】解：(1)由题意，a(1−x)10=12a ，∴1−x =(12)110，得x =1−(12)110； (2)设按照规划至少还需n 年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的14，则√22a(1−x)n ⩽14a ，将x =1−(12)110代入， 可得√22a[1−1+(12)110]n ⩽14a ， ∴(12)n 10⩽√24=2√2=(12)32，即n 10⩾32，得n ⩾15． 故按照规划至少还需15年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的14．【解析】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，正确理解题意是关键，是中档题．(1)由题意，a(1−x)10=12a ，即可求解x 值；(2)设按照规划至少还需n 年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的14，则√22a(1−x)n ⩽14a ，将x =1−(12)110代入，求解n 的范围得结论．21.【答案】解：(1)不等式5x−3≥−1，即x+2x−3≥0，解得x ≤−2或x >3，∴A =(−∞,−2]∪(3，+∞)；(2)a >0，b =1，则2ax 2+(2−a)x −1<0，即(2x−1)(ax+1)<0，解得−1a <x<12，即B=(−1a ,12 )；(3)x∈A是x∈B的充分条件，则A⊆B，由2ax2+(2−ab)x−b<0可得(ax+1)(2x−b)<0，当a=0时，2x−b<0，解得x<b2，不满足A⊆B，当a>0时，B=(−1a ,b2)或B=(b2,−1a)或B=⌀，不满足A⊆B，当a<0时，(ax+1)(2x−b)<0可化为(x+1a )(x−b2)>0，由于A⊆B，∴0<−1a ≤3且−2<b2≤3，即a≤−13且−4<b≤6，综上所述存在实数a，b满足a≤−13且−4<b≤6时，使得x∈A是x∈B的充分条件．【解析】本题考查了不等式的解法和充分条件的定义，考查了运算求解能力．(1)解不等式可得集合A；(2)解不等式可得集合B；(3)分类讨论，根据x∈A是x∈B的充分条件，即可求出．22.【答案】解：(1)函数的定义域为R，因为对于任意的x∈R，都有−x∈R，且f(−x)=aa2−1(a−x−a x)=−aa2−1(a x−a−x)=−f(x)，所以y=f(x)为奇函数．(2)①当a>1时，aa2−1>0，由函数y=a x是R上的增函数，y=a−x是R上的减函数，得y=a x−a−x是R上的增函数，从而函数f(x)=aa2−1(a x−a−x)是R上的增函数，②当0<a<1时，aa2−1<0，由函数y=a x是R上的减函数，y=a−x是R上的增函数，得y=a x−a−x是R上的减函数，从而函数f(x)=aa2−1(a x−a−x)是R上的增函数，综上所述，函数f(x)=aa2−1(a x−a−x)是R上的增函数．(3)由(2)知f(x)在区间[−1,1]上是增函数，由于f(1)=1，f(−1)=−1，所以f(x)在区间[−1,1]上的值域为[−1,1]，因为对于∀x∈[−1,1]，∃m∈[2,+∞)，使得f(x)=m2+km，记g(m)=m2+km，m∈[2,+∞)，所以[−1,1]是g(m)的值域的子集，即g(m)min≤−1，当−k2≥2即k≤−4时，g(m)min=g(−k2)=−k24≤−1，所以k≤−4，当−k2<2即k>−4时，g(m)min=g(2)=4+2k≤−1，所以−4<k≤−52．综上所述，k的取值范围是(−∞,−52].【解析】本题考查函数的性质，解题中注意分类讨论思想，转化思想的应用，属于拔高题．(1)函数的定义域为R，由函数的奇偶性定义，即可得出答案．(2)分两种情况：①当a>1时，②当0<a<1时，讨论函数f(x)是R上的单调性．(3)由f(x)单调性，推出f(x)在区间[−1,1]上的值域，g(m)=m2+km，m∈[2,+∞)，问题转化为[−1,1]是g(m)的值域的子集，进而解出k的取值范围．。