2020年江苏省南通市启东中学创新班高一(下)期中数学试卷

江苏省启东市 2020 学年高一数学放学期期中试题（创新班，无答案）（考试时间 120 分钟满分 160 分）一. 填空题 ( 每题 5 分，共 70 分) 1．已知全集 U ＝ {0,1,2,3, 4} ，会合 A ＝ {1,2,3} ， B ＝ {2,4} ，则 ( ?U A ) ∪B 为2． A{ ( x, y) y 2x 5}，B { ( x, y) y 1 2x} ，则 A B ＝ _______3．2 弧度圆心角所对的弦长为 2sin1 ，则这个圆心角所夹扇形的面积为 ______.4．在映照 f ： A → B 中， A ＝ B ＝{( x ， y )| x ， y ∈ R} ，且 f ： ( x ，y ) →(x ＋y ， x － y ) ，则与 A 中的元素(1,2) 对应的中的元素为B5．函数3x 2 lg( 3 1) 的定义域是f ( x)1xx___________.3 1 1 (7 01 42 2 2.6．( )33 )84() 3 ＝263f ( x) x 21, x 1,k 的取7．已知函数log 1x ,若对于 x 的方程 f (x) k 有三个不一样的实根，则实数x ≥ 1.2值范围是．8．方程 log 2 x1 1 的解是log x1 29．已知角终边经过点 P3, m m0 ，且 cosm, 则 sin α=________6x 2 ax 5, ( x 1)10．已知函数 f ( x)a( x ＞1)是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是x11．函数 f ( x ) ＝ x2(1,2)内，则实数 a 的取值范围是 ________2 － x － a 的一个零点在区间12．f ( x ) 是 R 上的以 3 为周期的奇函数，且f (2)=0, 则 f ( x )=0 在 [0,6] 内解的个数为 ________．ax 2－2 －1， x ≥0，13．已知函数 f (x )＝x 2＋bx ＋c ，x <0是偶函数 ，直线 y ＝ t 与函数 y ＝ f ( x ) 的图像自左向右挨次交于四个不一样点 A ， B ， C ， D . 若 AB ＝ BC ，则实数 t 的值为 ________．14 ．设会合 ＝ x | x 2 ＋ 2x － 3＞0 ，会合 ＝ {x | x 2－ 2ax －1≤0， a ＞ 0} . 若 ∩ 中恰含有一个整数，A { }BA B则实数 a 的取值范围是 ________．二．解答题 (共 90分)15．设会合A＝{ x|－1≤ x≤2}， B＝{ x| x2－(2 m＋1) x＋2m<0}．1(1)当 m<2时，把会合B 用区间表达；(2)若 A∪ B＝ A，务实数 m的取值范围；16．已知0,，且 f a cos 1sin1cos. 1sin1cos2sin（ 1）化简f a ；（ 2）若f a 3sin cos的值 .，求1sin5 1 cos17．f x 是定义在0,上的减函数，知足 f x f y f xy .（ 1）求证：f xf y f x；y（ 2）若f 44，解不等式1.f x f x 121218．某上市股票在 30 天内每股的交易价钱( 元) 与时间t ( 天) 构成有序数对 (t， )，点(， )落在P P t P 下列图中的两条线段上，该股票在30 天内的日交易量Q(万股)与时间 t (天)的部分数据以下表所示：第 t 天4 10 16 22 (万股 )36302418Q(1) 依据供给 的图象，写出该种股票每股交易价钱P ( 元 ) 与时间 t ( 天) 所知足的函数关系式；(2) 依据表中 数据确立日交易量 Q ( 万股 ) 与时间 t ( 天 ) 的一次函数关系式；(3) 在 (2) 的结论下，用 y 表示该股票日 交易额 ( 万元 ) ，写出 y 对于 t 的 函数关系式，并求在这 30 天中第几日日交易额最大，最大值是多少？19．已知函数f (x) ax 2 bx c (a 0) 知足 f (0)1，对随意 x R 都有 f ( x) x 1，且f (1x)f (1 x) ． 22（ 1）求函数 f ( x) 的分析式；（ 2）能否存在实数 a ，使函数 g( x)log 1 [ f (a)] x 在 (, ) 上为减函数？若存在，求出实数2a 的取值范围；若不存在，说明原因．( x＋ 1)( x＋a) 20．已知函数 f ( x)＝x2为偶函数．(1)务实数 a 的值；记会合 E＝{ y| y＝ f ( x)， x∈{－1,1,2}}21λ 与E(2)，λ＝(lg 2)＋ lg 2lg 5＋ lg 5 －4，判断的关系；(3) 当x∈1， 1m n( m>0，n>0) 时，若函数 f ( x)的值域为[2 － 3m,2－3n] ，求m， n 的值．。

一、选择题1．(0分)[ID ：12426]已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥2．(0分)[ID ：12424]圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ）A ．1B ．221-C ．22D ．23．(0分)[ID ：12422]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ）A ．4330x y --=B ．3430x y --=C ．3440x y --=D ．4340x y --=4．(0分)[ID ：12412]一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）． A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形 5．(0分)[ID ：12411]已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥6．(0分)[ID ：12382]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为433，则球O 的半径为( ) A ．3 B ．1 C ．2 D ．47．(0分)[ID ：12379]已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．28．(0分)[ID ：12374]如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π9．(0分)[ID ：12373]已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β10．(0分)[ID ：12356]在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C ．32D ．32- 11．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A ．26 B ．36 C ．23 D ．2212．(0分)[ID ：12380]如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π13．(0分)[ID ：12335]已知平面αβ⊥且l αβ=，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥ 14．(0分)[ID ：12368]α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ） A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n βB ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α15．(0分)[ID ：12360]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题16．(0分)[ID ：12488]经过两条直线2310x y ++=和340x y -+=的交点，并且平行于直线3470x y +-=的直线方程是________.17．(0分)[ID ：12477]已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ；②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)18．(0分)[ID ：12462]若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 . 19．(0分)[ID ：12523]已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．20．(0分)[ID ：12521]已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120，则点A 到BCD 所在平面的距离等于 ．21．(0分)[ID ：12509]已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.22．(0分)[ID ：12480]已知α∈R ，()ππ2k k Z α≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①直线l 的方向向量与向量()cos , sin a αα=共线；②若π04α<<，则直线l 与直线y x =的夹角为π4α-； ③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行； 写出所有真命题的序号________23．(0分)[ID ：12441]如上图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1AB CC 、的中点，1MB P ∆的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题：A ．平面1MB P 1ND ⊥； B ．平面1MB P ⊥平面11ND A ；C ．∆1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值；D ．∆1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是__________.24．(0分)[ID ：12431]已知棱长等于31111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.25．(0分)[ID ：12448]已知直线:0l x my m ++=，且与以A (-1,1)、B (2,2)为端点的线段相交，实数m 的取值范围为___________.三、解答题26．(0分)[ID ：12623]如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．27．(0分)[ID ：12597]已知点(3,3)M ，圆22:(1)(2)4C x y -+-=.（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）若直线40()ax y a -+=∈R 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求实数a 的值.28．(0分)[ID ：12596]如图，梯形ABCS 中，//AS BC ，AB BC ⊥，122AB BC AS ===，D 、E 分别是SA ，SC 的中点，现将SCD ∆沿CD 翻折到PCD ∆位置，使23PB =（1）证明：PD ⊥面ABCD ；（2）求二面角E BD C --的平面角的正切值；（3）求AB 与平面BDE 所成的角的正弦值.29．(0分)[ID ：12562]如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，点F 为PC 的中点.（1）求证：PA ∥平面BDF ；（2）求证：PC ⊥BD .30．(0分)[ID ：12619]如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ,平面11AAC C ⊥平面ABC ，12AB AC AA ===,点P 、M 分别为棱BC 、1CC 的中点，过点B 、M 的平面交棱1AA 于点N ,使得AP ∥平面BMN .（1）求证：AB ⊥平面11AAC C ;（2）若四棱锥B ACMN -31A AC ∠的正弦值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．B3．D4．C5．C6．C7．D8．C9．D10．A11．A12．A13．D14．D15．D二、填空题16．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题17．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P＝A1Q＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF则PQ∥平面ME F又平面MEF∩平面MPQ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC故18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积19．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB的中点OAC的中点E连OCOE则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关20．【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O在三角形ABD中因为∠A＝120°AB＝2可得AO＝1过A作面BCD的垂线垂足E则AE即为所求由题得∠AOE＝180°−∠AOC＝180°−120°＝6 021．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O的半径为R球心O到平面的距离为d 由O是的中点得解得作平面ABC垂足为的外心22．①②【解析】【分析】①求出直线l的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l和直线y＝x的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l的方23．【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断对于A当动点P与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面A为假命题；对于B易证所以平面所以平面⊥平面故B为真命题；对于C在底面上的射影图形的面积为定值24．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【25．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.考点：空间点线面位置关系．2．B解析：B【解析】【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=，圆心到直线的距离d ==所以圆上的点到直线的距离的最小值为1.故选B.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.3．D解析：D【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.4．C解析：C【解析】【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案.【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.5．C解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.6．C解析：C【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．7．D解析：D【解析】【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值.【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1． 因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形． ∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小， 此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>． 又min 21PC k =+，222221+1k ⎛⎫∴=+，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题. 8．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形，其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心， 半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π. 9．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.10．A解析：A【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =. 又112,222MN BD NP AC ====, ∴PNM ∆为等边三角形，∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值． 11．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=233323⨯=， ∴116133OO =-=， ∴高SD=2OO 1=263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =34， ∴132623436S ABC V -=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．12．A解析：A【解析】【分析】【详解】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体， 故该几何体的表面积是20＋3π，故选A.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积. 13．D解析：D【解析】【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确；选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.14．D解析：D【解析】【分析】A 中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B 中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C 中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m ′，所以m ′与n 是两条相交直线，m ′⊂β，n ⊂β，且m ′∥β，n ∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案．【详解】由题意，对于A 中，若m ，n 是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A 错误．对于B 中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B 错误．对于C 中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C 错误．对于D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m′，所以m′与n 是两条相交直线，m′⊂β，n ⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．15．D解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题16．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题 解析：1934011x y ++= 【解析】【分析】 先求出两相交直线的交点，设出平行于直线3470x y +-=的直线方程，根据交点在直线上，求出直线方程.【详解】联立直线的方程23103470x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，得到两直线的交点坐标135(,)1111-， 平行于直线3470x y +-=的直线方程设为340x y c ++=，则1353()4()+01111c ⋅-+⋅= 所以直线的方程为：1934011x y ++= 故答案为：1934011x y ++= 【点睛】 本题考查了直线的交点，以及与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.17．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P ＝A1Q ＝x ∴PQ ∥B1D1∥BD ∥EF 则P Q ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ ＝l ∴PQ ∥ll ∥EF ∴l ∥平面ABCD 故①成立；又EF ⊥AC ∴l ⊥AC 故解析：④【解析】【详解】连接BD ，B 1D 1，∵A 1P ＝A 1Q ＝x ，∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ，则PQ ∥平面MEF ， 又平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，∴PQ ∥l ，l ∥EF ，∴l ∥平面ABCD ，故①成立；又EF ⊥AC ，∴l ⊥AC ，故②成立；∵l ∥EF ∥BD ，故直线l 与平面BCC 1B 1不垂直，故③成立；当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故④不成立．即不成立的结论是④.18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积解析：2π 【解析】 试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有2πr =2⇒r =1π，故底面面积S =πr 2=π×(1π)2=1π，故圆柱的体积V =Sh =1π×2=2π. 考点：圆柱的体积19．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB 的中点OAC 的中点E 连OCOE 则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O 为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关 解析：323π 【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如图所示，由条件可得在底面ACB ∆中，90,22ACB AC BC ∠=︒==。

江苏省启东中学2019-2020学年高一数学下学期期初考试试题（创新班）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在ABC ∆中，7AC =，2BC =，60B =o ，则BC 边上的中线AD 的长为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．72．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中 “努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ） A ．定B ．有C ．收D ．获3．直线cos 320x y α++=的倾斜角的范围是（ ）A ．π[6，π5π][26U ，π)B ．[0，π5π][66U ，π)C ．[0，5π]6D ．π[6，5π]64．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，则下列结论中错误的是（ ） A ．1D O ∥平面11A BCB ．1D O ⊥平面AMC C ．异面直线1BC 与AC 所成角为60︒D ．点B 到平面AMC 的距离为25．已知直线2y x =是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C 的坐标为（ ）A ．(－2，4)B ．(－2，－4)C ．(2，4)D ．(2，－4)6．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水 柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在 B 点测得水柱顶端的仰角为30︒，则水柱的高度是（ ）A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m7．已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示（ ） A ．过点P 1且与l 垂直的直线 B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线8．如图，2π3BAC ∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且()AP xAD y AE x y =+∈R u u u r u u u r u u u r、，则x y +的取值范围是（ ） A ．[1，423]+ B ．[423-，423]+ C ．[1，23]+D ．[23-，23]+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线a ，两个不重合的平面α，β．若αβ∥，a α⊂，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．α与β内所有直线平行B ．α与β内的无数条直线平行C ．α与β内的任意直线都不垂直D ．α与β没有公共点10．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的命题是（ ） A ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆一定是等边三角形 B ．若cos cos a A b B =，则ABC ∆一定是等腰三角形 C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC ∆一定是等腰三角形D ．若222+a b c >，则ABC ∆一定是锐角三角形11．下列说法正确的是（ ） A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B ．点(0， 2)关于直线1y x =+的对称点为(1，1) C ．过1(x ，1)y 、2(x ，2)y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--D ．经过点(1，1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=12．设有一组圆224*:(1)()()k C x y k k k -+-=∈N ．下列四个命题正确的是（ ） A ．存在k ，使圆与x 轴相切B ．存在一条直线与所有的圆均相交C ．存在一条直线与所有的圆均不相交D ．所有的圆均不经过原点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 13．直线3x －4y ＋5＝0关于点M (2，－3)对称的直线的方程为 ． 14．已知圆1C ：229x y +=，圆2C ：224x y +=，定点(1M ，0)，动点A 、B 分别在圆2C 和圆1C 上，满足90AMB ︒∠=，则线段AB 的取值范围 ．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2cos A (b cos C ＋c cos B )＝a ＝13，△ABC 的面积为33，则A ＝________，b ＋c ＝________. (本题第一空2分，第二空3分)16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (1，－1)，点P 为圆(x －4)2＋y 2＝4上任意一点，记△OAP 和△OBP 的面积分别为S 1和S 2，则12S S 的最小值是________． 四、解答题：本题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分)已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2sin cos cos b C a C c A =+，2π3B =，3c =． ⑴求角C ；⑵若点E 满足2AE EC =u u u r u u u r，求BE 的长．18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点． ⑴求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；⑵若D 在边BC 上，AD ⊥DC 1，求证：MN ⊥AD ．19． (本小题满分12分)已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3，4)．⑴证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；⑵当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．20．(本小题满分12分)树林的边界是直线l(如图CD所在的直线)，一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A点和B点处，AB BC a==(a为正常数)，若兔子沿AD方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段BM（M CD∈）方向以速度μ进行追击(μ为正常数)，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子．⑴求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积()S a；⑵若兔子要想不被狼吃掉，求θ(DACθ=∠的取值范围．21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝64，以O1(9，0)为圆心的圆记为圆O1，已知圆O1上的点与圆O上的点之间距离的最大值为21．⑴求圆O1的标准方程；⑵求过点M(5，5)且与圆O1相切的直线的方程；⑶已知直线l与x轴不垂直，且与圆O，圆O1都相交，记直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若dd1＝2，求证：直线l过定点．22．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2，4)，圆O ：x 2＋y 2＝4与x 轴的正半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ． ⑴若直线l 与y 轴交于D ，且DP →·DQ →＝16，求直线l 的方程； ⑵设直线QA ，QB 的斜率分别是k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；⑶设AB 的中点为M ，点N （43，0），若MN ＝133OM ，求△QAB 的面积．江苏省启东中学高一创新班数学答案（2020.4.8）一：单项选择题：1：D ，2:B ．，3:B.，4:D ， 5:C ，6:A ，7:C.，8：B . 二：多项选择题：9: BD.10: AC.11:AB12: ABD 三：填空题：13:3x －4y －41＝0.14:[132,132+-]15: （1）π3 (2) 716:2－3 四：解答题：本题共6小题，共70分。

江苏省南通中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.直线y =的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】B 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 【详解】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．∴tanθ= ∴θ＝60°， 故选：B ．【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝2b sin A ，则sin B 的值为（ ）B. 2C.12D.2【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理，把边化为角的正弦，再计算sin B 的值．【详解】△ABC a ＝2b sin A ，sin A ＝2sin B sin A ， 又A ∈（0，π），所以sin A ≠0，=2sin B ，解得sin B 2=．故选：B【点睛】本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．3.若直线过点)3-和点()0,4-，则该直线的方程为( )A. 4y x =- B. 4y x =+C. 6y =-D. 23y x =+ 【答案】A 【解析】 【分析】（法一）利用直线的两点式方程直接求解；（法二）利用斜率公式知直线的斜率，再用点斜式写出直线方程．【详解】解：（法一）因为直线过点)3-和点()0,4-，所以直线的方程为()()344y ---=--，整理得4y x =-；（法二）因为直线过点)3-和点()0,4-，所以直线的斜率为k =，所以直线的方程为4y x +=，整理得4y x =-； 故选：A ．【点睛】本题主要考查直线的两点式方程的应用，属于基础题． 4.已知角θ的始边为x 轴非负半轴，终边经过点P （1，2），则sin sin cos θθθ+的值为（ ）A. 13- B.13C. 23-D. 23【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tan θ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【详解】∵角θ的始边为x 轴非负半轴，终边经过点P （1，2）， ∴tan θ＝2， 则sin tan 22sin cos tan 1213θθθθθ===+++.故选：D【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式，属于基础题． 5.已知圆()()22:684,C x y -+-=O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程( ) A. ()()2234100x y -++= B. ()()2234100x y ++-= C .()()223425x y -+-= D. ()()22+3425x y +-=【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心和半径，即得圆的方程. 【详解】由题得OC 中点坐标为（3,4）， ，所以圆的方程为()()223425x y -+-=. 故选C【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.函数22sin 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ） A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为2π的偶函数【答案】A 【解析】 【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性，即可得解．【详解】函数22sin 1cos 2sin 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数的最小正周期22T ππ==，且该函数为奇函数. 故选：A.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，考查了正弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．7.一艘轮船按照北偏东40︒方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20︒方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为63海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ） A. 6海里 B. 12海里C. 6海里或12海里D. 63海里 【答案】A 【解析】 【分析】根据方位角可知120CAB ∠=，利用余弦定理构造方程可解得结果.【详解】记轮船最初位置为A ，灯塔位置为B ，20分钟后轮船位置为C ，如下图所示：由题意得：11863AC =⨯=，1804020120CAB ∠=--=，63BC =则222cos 2AC AB BC CAB AC AB +-∠=⋅，即：2361081122AB AB +-=-，解得：6AB =即灯塔与轮船原来的距离为6海里本题正确选项：A【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，关键是能够利用余弦定理构造方程，解方程求得结果.8.已知圆C 与x 轴的正半轴相切于点A ，圆心在直线2y x =上，若点A 在直线40x y --=，则圆C 的标准方程为（ ） A. 22(2)(4)4x y -++= B. 22(2)(4)16x y +++= C. 22(2)4)(4x y -+-= D. 22(2)(4)16x y -+-=【答案】D 【解析】 【分析】设圆心(),2C a a ，利用点到直线距离可构造方程求得a ，根据点A 的位置可确定圆心、半径，从而得到圆的标准方程. 【详解】圆C 的圆心在直线2y x =上，∴可设(),2C a a ，圆C 与x 轴正半轴相切与点A ，0a ∴>且圆C 的半径2r a =，(),0A a .A 到直线40x y --=的距离d =d ∴==6a =或2a =，()2,0A ∴或()6,0A ，A 在直线40x y --=的左上方，()2,0A ∴，()2,4C ∴，4r =， ∴圆C 的标准方程为：()()222416x y -+-=.故选：D【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，涉及到点到直线距离公式的应用；关键是能够采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得变量. 二、多项选择题（本大题共4小题，每道题5分）9.点P 是直线x +y ﹣3＝0上的动点，由点P 向圆O ：x 2+y 2＝4作切线，则切线长可能为（ ）A.2B.12C. 1D.2【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，设T 为切点，分析圆的圆心与半径，可得|PT |222||||4PO r PO =-=-，进而可得|PT |的最小值，分析选项即可得解．【详解】根据题意，由点P 向圆O ：x 2+y 2＝4做切线，设T 为切点，连接OP 、OT ，如图：圆O ：x 2+y 2＝4，其圆心为（0,0），半径r ＝2； 则切线长222||||4PT PO r PO =-=- 当PO 最小时，PT 最小，当PO 与直线垂直时，PO 取最小值，则min 33211PO -==+， 所以min1222PT==， 分析选项：A 、C 、D 都满足22PT ≥. 故选：ACD ．【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质，涉及切线长的计算，属于基础题．10.在△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，根据下列条件解三角形，其中只有一解的为（ ） A. a ＝50，b ＝30，A ＝60°B. a ＝30，b ＝65，A ＝30°C. a ＝30，b ＝50，A ＝30°D. a ＝30，b ＝60，A ＝30°【答案】AD 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理求解sin B ，再由正弦函数的值域及三角形中大边对大角分析得答案． 【详解】对于A ，由a ＝50，b ＝30，A ＝60°， 利用正弦定理可得：503060sin sinB=︒则sin B 10=， ∵a ＞b ，且A 为锐角，∴B 有一解，故三角形只有一解； 对于B ，由a ＝30，b ＝65，A ＝30°， 利用正弦定理可得：306530sin sinB=︒则sin B 13112=>，此三角形无解； 对于C ，由a ＝30，b ＝50，A ＝30°， 利用正弦定理可得：305030sin sinB=︒则sin B 56=， ∵b ＞a ，且A 为锐角，则角B 有两解，故三角形有两解； 对于D ，由a ＝30，b ＝60，A ＝30°， 利用正弦定理可得：306030sin sinB=︒，则sin B ＝1，B ＝90°，三角形为直角三角形，仅有一解． 故选：AD【点睛】本题考查三角形解的个数的判定，考查正弦定理的应用，注意三角形中大边对大角是关键，是中档题．11.在ABC ∆中,若cos cos a A b B =,则ABC ∆的形状可能为( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形【答案】ABCD 【解析】【分析】 根据正弦定理sin sin a b A B=,将cos cos a A b B =化简为:sin cos sin cos A A B B =,故sin 2sin 2A B =,即可求得答案.【详解】根据正弦定理sin sin a b A B= cos cos a A b B =∴ sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,∴ 22A B =或22A B π+=.即A B =或2A B π+=,∴ABC ∆可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.故选:ABCD.【点睛】本题考查了判断三角形的形状,解题关键是掌握正弦定理和正弦的二倍角公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.12.已知圆M ：22(1cos )(2sin )1x y θθ--+--=，直线l ：20kx y k --+=，下列四个选项，其中正确的是（ ）A .对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点 B. 存在实数k 与θ，直线l 和圆M 相离C. 对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切D. 对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切 【答案】AC 【解析】 【分析】先确定圆的圆心坐标、直线所过的定点，根据直线与圆的位置关系，结合两点的距离公式、点到直线的距离公式、辅助角公式进行判断即可.【详解】根据题意知圆M 的圆心坐标为M （1+cos θ，2+sin θ），半径为1，202(1)kx y k y k x--+=⇒-=-，直线l恒过定点N（1，2），||1MN=，所以定点N（1，2）在圆M上，无论θ取何值，都由（1﹣1﹣cosθ）2+（2﹣2﹣sinθ）2＝1，因此直线l和圆M有公共点，所以选项A正确，选项B错误；圆心M到直线l的距离d===sin()βθ=-，（其中sinβ=，cosβ=，tanβ＝k）当()2n n Zπβθπ-=+∈时，1d=，所以对任意实数k，tanβ＝k，所以必存在实数θ，使得直线l与圆M相切，所以C正确．当θ＝0°时，()2n n Zπβπ=+∈，tanβ不存在，所以D不正确．故选：AC【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力，属于中档题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分）13.化简：()2cossinπαπα-=⎛⎫+⎪⎝⎭_____．【答案】-1【解析】【分析】由诱导公式即可求解．【详解】()12cos coscossinπααπαα--==-⎛⎫+⎪⎝⎭．故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.已知点（1，a ）（a ＞0）到直线l ：x +y ﹣2＝0的距离为1，则a 的值为_____． 【答案】21+ 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式，代入计算即可得到a 的值．【详解】由题可知，点 （1，a ）（a ＞0）到直线l ：x +y ﹣2＝0的距离为:221211211a a d +--===+，解得：21a =+．故答案：21+．【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题． 15.若tan(2)2αβ+=，tan 3β=-，则tan()αβ+=__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据()2αβαββ+=+-,利用两角差的正切公式计算即可得结果. 【详解】()()tan tan 2αβαββ⎡⎤+=+-⎣⎦ ()()231123--==-+⨯-.【点睛】该题考查的是有关角的正切值的求解，涉及到的知识点有两角差的正切公式，属于简单题目.16.在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 y 2＝8与圆C 2 : x 2y 22xy a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.【答案】{}8,825,825-+ 【解析】 【分析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d ,因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即d =所以2d =,2d ==,解得8a =±当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =,故答案为：{8,8-+【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想四、解答题（本小题共6小题，共70分）17.已知函数f （x ）＝cos 2xx cos x ﹣sin 2x ．（1）求函数f （x ）的最小正周期（2）求函数f （x ）单调增区间．【答案】（1）T =π；（2）[k π3π-，k π6π+]，k ∈Z ． 【解析】【分析】（1）利用辅助角二倍角公式化简，即可求函数f （x ）的最小正周期（2）根据三角函数的性质即可求出函数f （x ）单调增区间．【详解】函数f （x ）＝cos 2xx cos x ﹣sin 2x ．化简可得：f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2xsin x cos x ＝cos2xx 12cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭＝2sin （2x 6π+）， （1）∵ω＝2，∴f （x ）的最小正周期为T 2πω==π； （2）令2k π2π-≤2x 6π+≤2k π2π+（k ∈Z ）， 解得：k π3π-≤x ≤π6π+，k ∈Z ， 则f （x ）的单调增区间为[k π3π-，k π6π+]，k ∈Z ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．18.已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //．（1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．【答案】（12）22x (y 1)5++=．【解析】【分析】 ()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程．【详解】解：()121l //l ，a 28a 211+∴=≠，解得a 4=， 1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=，故直线1l 与2l的距离d ===． ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-，所以切点A 的坐标为()2,2--，从而直线AC 的方程为()1y 2x 22+=+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-．由()1知C的半径为5，所以所求圆的标准方程为：22x (y 1)5++=．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题．19.如图，在一条海防警戒线上的点A B C 、、处各有一个水声监测点，B C 、两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A C 、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1．5千米/秒．（1）设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B C 、到P 的距离，并求x 的值；（2）求P 到海防警戒线AC 的距离．【答案】（1）31x =；（2）21【解析】试题分析：（1）依题意，有PA PC ==x ， 1.5812PB x x =-⨯=-，根据余弦定理，列出方程，即可求解x 的值；（2）作PD AC ⊥于D ，在ADP ∆中，由cos PAD ∠，得sin PAD ∠，即可求解点P 到海防警戒线AC 的距离．试题解析：（1）依题意，有PA PC ==x ， 1.5812PB x x =-⨯=-．在PAB △中，20AB =，22222220(12)332cos 22205PA AB PB x x x PAB PA AB x x+-+--+∠===⋅⋅， 同理在PAC ∆中，50AC =，2222225025cos 2250PA AC PC x x PAC PA AC x x+-+-∠===⋅⋅． ∵cos cos PAB PAC ∠=∠，∴332255x x x+=，解得：31x =． （2）作PD AC ⊥于D ，在ADP ∆中，由25cos 31PAD ∠=， 得221sin 1cos 31PAD PAD ∠=-∠=，∴421sin 3142131PD PA PAD =∠=⨯=千米．故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为21考点：解三角形的实际应用．【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到解三角形的正弦定理于余弦定理的应用以及三角形的高线的应用等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于基础题，此类问题的解答中关键在于灵活运用正弦定理和余弦定理找到解决问题的途径．20.已知圆E 经过M （﹣1，0），N （0，1），P （12，2-）三点． （1）求圆E 的方程；（2）若过点C （2，2）作圆E 的两条切线，切点分别是A ，B ，求直线AB 的方程．【答案】（1）x 2+y 2＝1；（2）2x +2y ﹣1＝0．【解析】【分析】（1）根据题意，设圆E 的圆心E 坐标为（a ，b ），半径为r ，结合题意可得222222222(1)(1)1()(22a b r a b ra b r ⎧⎪++=⎪⎪+-=⎨⎪⎪-++=⎪⎩，解可得a 、b 、r 的值，由圆的标准方程的形式分析可得答案. （2）设以C 为圆心，CA 为半径的圆C ，其半径为R ，由切线长公式计算可得R 的值，分析可得圆C 的方程，又由直线AB 为圆E 与圆C 的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，变形分析可得答案．【详解】（1）根据题意，设圆E 的圆心E 坐标为（a ，b ），半径为r ， 则有222222222(1)(1)1()()22a b r a b r a b r ⎧⎪++=⎪⎪+-=⎨⎪⎪-++=⎪⎩，解可得001a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆E 的方程为x 2+y 2＝1；（2）根据题意，过点C （2，2）作圆E 的两条切线，切点分别是A ，B ，设以C 为圆心，CA 为半径的圆C ，其半径为R ，则有R ＝|CA|==则圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝7，即x 2+y 2﹣4x ﹣4y +1＝0，又由直线AB 为圆E 与圆C 的公共弦所在的直线， 则有222214410x y x y x y ⎧+=⎨+--+=⎩， 解可得2x +2y ﹣1＝0，则AB 的方程为：2x +2y ﹣1＝0．【点睛】本题考查直线与圆的方程，关键是求出圆E 的方程，属于基础题．21.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）满足下列3个条件中的2个条件： ①函数()f x 的周期为π； ②6x π=是函数()f x 的对称轴； ③04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭且在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调. （Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.【答案】（Ⅰ）只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（Ⅱ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）03x π≤≤得到52666x πππ≤+≤，得到函数值域. 【详解】（Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=；由②得：6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-，k Z ∈； 由③得，44m m πωπωϕπϕπ+=⇒=-，m Z ∈，220322633T πππππωω≥-=⇒≥⇒<≤； 若①②成立，则2ω=，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若①③成立，则42m m πωπϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意， 若②③成立，则264k m ππωπωππ+-=-12()66m k ω⇒=--≥，,m k Z ∈，与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立，所以只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （Ⅱ）由题意得，5102()136662x x f x ππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤， 所以函数()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.22.如图，在直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与圆O 交于M ，N 两点.（1）若12,2AM AN k k ==-，求△AMN 的面积； （2）过点P （33-5，）作圆O 的两条切线，切点分别为E ，F ，求PE PF ⋅；（3）若2AM AN k k ⋅=-，求证：直线MN 过定点.【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【解析】试题分析：（1）直线AM 的方程为，直线AN 的方程为，由中位线定理知，，由此能求出的面积．（2）由已知条件推导出，，由此能求出PF PE ⋅．（3）设直线的方程，则直线的方程为，联立方程，得同理，由此能证明直线过定点．试题解析：（1）由题知，得直线的方程为，直线的方程为 所以，圆心到直线的距离，所以，，由中位线定理知， AN=，由题知，所以⊥，=.（2）22(33)(5)443PE +--=｜｜＝，22(33)(5)213PO =+-=，所以4323cos 21313OPE ∠==. 所以222311cos 2cos 12()11313FPE OPE ∠=∠-=-=， 所以211528||cos (43)1313PE PF PE PF EPF ⋅=∠=⨯= （3）由题知直线和直线AN 的斜率都存在，且都不为0，不妨设直线的的方程(2)y k x =+，则直线AN 的方程为，所以，联立方程22(2){4y k x x y =++=，所以，22(2)[(1)22]0x k x k +++-=，得2x =-或22221k x k -=+， 所以222224(,)11k k M k k-++， 同理，， 因为轴上存在一点D 2(,0)3-，所以，=，同理，所以，=，所以，直线过定点2(,0)3.考点：直线与圆锥曲线的综合问题.。

2019-2020学年南通市启东中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,−1)，B(2,0)，过A 的直线交x 轴于点C(a,0)，若直线AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则a =( )A. 14B. 34C. 1D. 432. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，则下列等式恒成立的是( )A. b =acosC +ccosAB. b =acosA +ccosCC. b =asinC +csinAD. b =acosC −ccosA3. 如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①BM//平面ADE ；②CN//平面ABF ；③平面BDM//平面AFN ；④平面BDE//平面NCF ． 以上四个命题中，真命题的序号是( )A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④4. 经过点M(2,2)且在两轴上截距相等的直线是( )A. x +y =4B. x +y =2C. x =2或y =2D. x +y =4或x =y5. 在△ABC 中，∠A =90°，AB =1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. 1B. −1C. 0D. √26. 已知x 、y 满足x 2+(y −2)2=3，则yx 的取值范围是( )A. [−√3,√3]B. [−√33,√33] C. (−∞,−√3]∪[√3,+∞)D. (−∞,−√33]∪[√33,+∞)7. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且ca =cosB1+cosA ，则△ABC 为( )A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 三边均不相等的三角形8. 设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，若l//α，l//β，α∩β=m ，则( )A. l 与m 平行B. l 与m 相交C. l 与m 异面D. l 与m 垂直9. 在 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是，若，则 △ABC 的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形10. 若圆(x −1)2+(y +2)2=r 2(r >0)上有且仅有两个点到直线2x −y +6=0的距离等于√5，则r 的取值范围是( )A. (0,2√5)B. (√5,3√5)C. (√5,2√5)D. (2√5,3√5)二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11.其中真命题是 .(写出所有真命题的序号)12. 已知直线ax −y +a =0与直线x +2y −2=0平行，则实数a 的值为______．13. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2√3的半圆，若该圆锥的顶点及底面圆周在球O 的表面上，则球O 的体积为______．14. 在△ABC 中，若，则角的值是 ．15. 已知集合A ={x|(12)x >14}，B ={x|log 2(x −1)<2}.则A ∩B = ______ ． 16. 在△ABC 中，，则的值为________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在如图所示的五面体ABCDEF 中，AB//CD ，AB =2AD =2，∠ADC =∠BCD =120°，四边形EDCF 为正方形，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(1)证明：在线段AB上存在一点G，使得EG//平面BDF；(2)求该五面体的体积．18.已知向量m⃗⃗⃗ =(2sinx,2cosx),n⃗=(√3cosx,cosx),f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−1．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移π6单位，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在区间[0,π8]上的最小值．19.飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度1000km/ℎ，飞行员先看到山顶的俯角为18°30′，经过150s后又看到山顶的俯角为81°，求山顶的海拔高度(精确到1m)(sin18.5°≈0.317，sin81°≈0.988)20. 已知抛物线C ：y 2=4x ．(Ⅰ)过抛物线C 上的点P 向x 轴作垂线PQ ，交x 轴于点Q ，求PQ 中点R 的轨迹D 的方程； (Ⅱ)在曲线D 上求一点M ，使它到点N(3,0)的距离最小．21. 在△ABC 中，若|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅cosA +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅cosC =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅sinB (1)求角B 的大小； (2)求△ABC 的面积S ．22.如图，已知⊙O：x2+y2=1和定点A(2,2)，由⊙O外一点P(a,b)向⊙O引切线PQ，Q为切点，且满足|PQ|=|PA|．(Ⅰ)求实数a，b之间满足的关系式；(Ⅱ)求线段PQ的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：【试题解析】本题考查直线的斜率公式和二倍角公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．设直线AC的倾斜角β是直线AB倾斜角α的2倍，即有tanβ=tan2α，运用两点的斜率公式和二倍角公式，解方程可得a的值．解：设直线AC的倾斜角β是直线AB倾斜角α的2倍，即有tanβ=tan2α=2tanα1−tanα，由k AC=1a ，k AB=12，即有1a =2×121−14，解得a=34．故选B．2.答案：A解析：解：选项A，等式右边=a⋅a2+b2−c22ab +c⋅b2+c2−a22bc=2b22b=b=左边，即选项A正确；选项B，等式右边=a⋅b2+c2−a22bc +c⋅a2+b2−c22ab≠左边，即选项B错误；选项C，由正弦定理知，asinA =bsinB=csinC，若选项C成立，则sinB=sinAsinC+sinCsinA，∵A+B+C=π，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，∴sinC=cosC，sinA=cosA，∴A=C=π4，B=π2，即只有当A=C=π4，B=π2时，选项C才是正确的，故并不是恒成立，选项C错误；选项D，等式右边=a⋅a2+b2−c22ab −c⋅b2+c2−a22bc=2(a2−c2)2b≠左边，即选项D错误．故选：A．根据余弦定理，对选项A，B和D中等式右边的式子进行化简，看能否恒等于左边；结合正弦定理、三角形的内角和与两角和公式可判断选项C．本题考查解三角形，熟练运用正弦定理和余弦定理是解题的关键，属于基础题．3.答案：A解析：解：由正方体的平面展开图可得此正方形为ABCD−EFMN，由图可得：①②③④均正确，故选：A．先由正方体的平面展开图可得此正方形为ABCD−EFMN，再由图结合线面平行，面面平行的判定定理可得①②③④正确，得解，本题考查了线面平行，面面平行的判定定理，属中档题．4.答案：D解析：本题主要考查用两点式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，用两点式求得直线方程；当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为x+y=k，把点M(2,2)代入，求得k=4，可得直线方程，综合可得结论．解：当直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，方程为y−02−0=x−02−0，即x=y．当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为x+y=k，把点M(2,2)代入可得2+2=k，求得k=4，可得直线方程为x+y=4．故所求直线方程为x=y或x+y=4．故选D．5.答案：B解析：解：如图，∵∠A =90°； ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0； 又AB =1；∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0−1 =−1． 故选：B ．可画出图形，根据条件可得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1，而BC ⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，带入AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 进行数量积的运算即可求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．考查向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算．6.答案：D解析：设直线方程为y =kx ，再根据圆心(0,2)到直线的距离小于等于半径，求得yx 的取值范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线的斜率公式，属于基础题．解：由题意可得，yx 表示圆x 2+(y −2)2=3上的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率，设为k ， 故此直线方程为y =kx ，再根据圆心(0,2)到直线的距离小于等于半径，可得√k 2+1≤√3， 求得k ≤−√33或k ≥√33，故yx 的取值范围是k ≤−√33或k ≥√33，故选D ．7.答案：C解析：解：由余弦定理，可得cosA=b2+c2−a22bc ，cosB=a2+c2−b22ac，代入已知等式，得ca =a2+c2−b22ac1+b2+c2−a22bc去分母化简，整理可得，b(a2+c2−b2)=2bc2+c(b2+c2−a2)…(2分)整理，得(c+b)(b2+c2−a2)=0，∵b+c>0，∴b2+c2−a2=0，…(6分)因此，b2+c2=a2可得△ABC是以A为直角的直角三角形，.…(8分)故选：C．把余弦定理代入已知条件，化简可得(c+b)(b2+c2−a2)=0，故有b2+c2=a2，由此即可判断△ABC的形状．本题主要考查余弦定理的应用，判断三角形的形状，式子的变形，是解题的关键，属于中档题．8.答案：A解析：本题考查了空间中的直线与平面的位置关系应用问题，是基础题．根据题意画出图形，结合图形即可得出结论．解：如图所示，α，β是两个不同的平面，l是一条直线，当l//α，l//β，且α∩β=m时，l//m．故选A．9.答案：D解析：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用与化简运算的能力．由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得cosA(sinB−sinA)=0，从而可得或B=A或B=π−A(舍去)．解：∵c−acosB=(2a−b)cosA，C=π−(A+B)，∴由正弦定理得：sinC−sinAcosB=2sinAcosA−sinBcosA，∴sinAcosB+cosAsinB−sinAcosB=2sinAcosA−sinBcosA，∴cosA(sinB−sinA)=0，∵cosA=0，或sinB=sinA，∴或B=A或B=π−A(舍去)，故选：D．10.答案：B解析：解：∵圆(x−1)2+(y+2)2=r2(r>0)的圆心到直线2x−y+6=0的距离为d= =2√5，√5当r=√5时，圆上只有一个点到直线的距离等于√5，当r=3√5时，圆上有三个点到直线的距离等于√5，∴圆(x−1)2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线2x−y+6=0的距离等于√5时，圆的半径r的取值范围是：√5<r<3√5，故选：B．先求出圆心到直线的距离，将此距离和圆的半径结合在一起考虑，求出圆上有三个点到直线的距离等于√5，以及圆上只有一个点到直线的距离等于√5的条件，可得要求的r的范围．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．11.答案：④.解析：本题由题设条件，对四个选项逐一判断即可，①选项用线线平行的条件进行判断；②选项用线面平行的条件判断；③选项用线面垂直的条件进行判断；④选项用面面垂直的条件进行判断，解：①选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；②选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；③选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；④选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直．其中正确的命题是④．故答案为：④．12.答案：−12解析：解：∵直线ax−y+a=0与直线x+2y−2=0平行，∴a1=−12≠a−2，解得a=−12，∴实数a的值为−12．故答案为：−12．利用直线ax−y+a=0与直线x+2y−2=0平行的性质能求出实数a的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.答案：解析：本题考查球体的体积的计算，考查外接球模型的应用，考查了计算能力，是中档题．由题中条件得出圆锥的母线长l，根据圆锥的侧面展开图弧长等于底面圆周长可计算出底面圆半径r，再利用勾股定理可计算出圆锥的高h，利用公式2R=l2ℎ求出球O的半径，最后利用球体体积公式可得出答案．解：设圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，球O 的半径为R ， 则πl =2πr ，得r =l2=√3，圆锥的高为ℎ=√l 2−r 2=√(2√3)2−(√3)2=3， ∴球O 的直径为2R =l 2ℎ=(2√3)23=4，∴R =2．因此，球O 的体积为V =43π×R 3=32π3．故答案为：32π3．14.答案：解析：试题分析：根据题意，由于，那么由正弦定理可知因为A >B ，因此可知角A 的值为两个解，分别是60°或120°。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.直线x+y+1=0的倾斜角是（）A. B. C. D.2.棱长均为1的正四面体的表面积是（）A. B. C. D.3.设函数，则函数f（x）的最小正周期为（）A. 2πB. 4πC. 2D. 44.在△ABC中，若2sin A sin B=1+cos C，则下列结论一定成立的是（）A. A=BB. A=CC. B=CD. A=B=C5.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n③若m∥α，n⊂α，则m∥n④若α∥β，γ∩α=m，γ∩β=n，则m∥n其中正确命题的序号是（）A. ①④B. ①②C. ②③④D. ④6.已知直线l1：（k-3）x+ky+1=0与直线l2：x+（k-3）y+3=0垂直，则实数k的值是（）A. 3B. 1C. 3或-1D. -3或17.已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程长为（）A. 8cmB. cmC. 10cmD. 5πcm8.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A=sin2B，则该三角形的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形9.已知△ABC中，满足a=3，b=2，∠B=30°，则这样的三角形有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个10.在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x-my-2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.过点A（1，1）且与直线2x+3y-1=0平行的直线l的方程为______．12.在△ABC中，B=120°，BC=1，且△ABC的面积为，则AC=______．13.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，且PA=PB=PC=PD，已知四棱锥的表面积是12，则它的体积为______．14.在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，△ABC的面积S满足，若a=4，则△ABC外接圆的面积为______．15.如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=2，AC=4，BD=6，则CD的长为______．16.已知m∈R，动直线l1：x+my-1=0过定点A，动直线l2：mx-y-2m+3=0过定点B，若l1与l2交于点P（异于点A，B），则|PA|+|PB|的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（2b-c）cos A=a cos C．（1）求角A的大小；（2）若a=4且，求b+c的值，18.已知直线l1的方程为x+2y-4=0，若l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2．（1）求直线l1和l2的交点坐标；（2）已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程．19.如图，已知四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，AP=AD，AB∥CD，CD=2AB，M是PD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：平面PBC⊥平面PCD．20.如图，正三角形ABC的边长为4，D，E，F分别在三边AB，BC，CA上，且D为AB的中点，∠EDF=90°，∠BDE=θ（0°＜θ＜90°）（1）若θ=60°，求△DEF的面积；（2）求△DEF的面积S的最小值，及使得S取得最小值时θ的值．21.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ACC1A1与底面ABC垂直，侧棱与底面所成的角为60°，AA1⊥A1C，AC⊥BC，AC=4，BC=2．（1）求证：平面ABB1A1⊥平面A1BC；（2）若D为A1B1的中点，求三棱锥A1-BCD的体积．22.已知函数f（x）=log3（9x+1）-kx是偶函数．（1）求实数k的值；（2）当x≥0时，函数g（x）=f（x）-x-a存在零点，求实数a的取值范围；（3）设函数h（x）=log3（m•3x-2m），若函数f（x）与h（x）的图象只有一个公答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角、直线的斜率，考查计算能力，是基础题．设出直线的倾斜角，求出斜率，就是倾斜角的正切值，然后求出倾斜角．【解答】解：设直线的倾斜角为α，由题意直线的斜率为，即tanα=所以α=故选：D．2.【答案】A【解析】解：棱长均为1的正四面体的每一个面都是等边三角形，其面积等于=，∴棱长均为1的正四面体的表面积是S=4S1=．故选：A．棱长均为1的正四面体的每一个面都是等边三角形，其面积等于=，由此能求出正四面体的表面积．本题考查正四面体的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3.【答案】D【解析】解：由函数，得T==4，所以函数f（x）的最小正周期为4．故选：D．根据函数f（x）的解析式，利用T=即可求出函数的最小正周期．本题考查了根据三角函数解析式求最小正周期的问题，是基础题．4.【答案】A【解析】解：2sin A sin B=1+cos C=1-cos（A+B），∴2sin A sin B=1-cos（A+B）=1-cos A cos B+sin A sin B，∴sin A sin B+cos A cos B=1即cos（A-B）=1，又∵A、B均为三角形内角，∴A=B，故选：A．由已知利用诱导公式及两角和的余弦公式即可求解判断，本题主要考查了和角的三角公式的简单应用，属于基础题.5.【答案】D【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在①中，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ相交或平行，故①错误；在②中，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故②错误；在③中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故③错误；在④中，若α∥β，γ∩α=m，γ∩β=n，则由面面平行的性质定理得m∥n，故④正确．故选：D．在①中，α与γ相交或平行；在②中，m与n相交、平行或异面；在③中，m与n平行或异面；在④中，由面面平行的性质定理得m∥n．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.【答案】C【解析】解：∵直线l1：（k-3）x+ky+1=0与直线l2：x+（k-3）y+3=0垂直，∴（k-3）×1+k（k-3）=0，即（k+1）（k-3）=0，解得k=-1或k=3，故选：C．利用两条直线相互垂直与斜率的关系即可得出．本题考查了两条直线相互垂直与斜率的关系，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：如图，由圆锥的底面半径为cm，得展开后扇形的弧长为，由弧长公式可得展开后扇形的弧度数为．过P作PB⊥AA′，即，又PA=5，求得AA′=2AB=．故选：B．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”求解．本题考查圆锥的展开图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8.【答案】D【解析】解：由sin2A=sin2B，又2A，2B∈（0，2π），可得2A=2B，或2A+2B=π，即A=B，或A+B=．即该三角形的形状是等腰三角形或直角三角形．故选：D．由已知结合范围2A，2B∈（0，2π），可得2A=2B，或2A+2B=π，进而可求该三角形的形状．本题主要考查了正弦函数的性质，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．利用正弦定理和三角形的边角关系，即可判断这样的三角形有2个．【解答】解：△ABC中，a=3，b=2，∠B=30°，由正弦定理得，=，=，∴sin A=，A∈（0，π），且a＞b，∴这样的三角形有2个．故选：C．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．由题意d==，当sin（θ-α）=1时，d max=1+≤3．由此能求出d的最大值．【解答】解：由题意d==，其中tanα=，∴当sin（θ-α）=1时，d max=1+≤3．当且仅当时取等号，∴d的最大值为3．故选C．11.【答案】2x+3y-5=0【解析】解：设经过点A（1，1），且与直线2x+3y-1=0平行的直线方程为2x+3y+c=0，把点A（1，1）代入，得：2+3+c=0，解得c=-5，∴所求直线方程为：2x+3y-5=0．故答案为：2x+3y-5=0．设经过点A（1，1），且与直线2x+3y-1=0平行的直线方程为2x+3y+c=0，把点A（1，1）代入，能求出直线方程．本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意直线平行的条件的灵活运用．12.【答案】【解析】解：∵B=120°，BC=1，且△ABC的面积为=AB•BC•sin B=，∴解得：AB=2，∴由余弦定理可得：AC===．故答案为：．由已知利用三角形的面积公式可求AB的值，进而根据余弦定理可求AC的值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．13.【答案】【解析】解：设正四棱锥的斜高为h′，则，解得h′=2，则正四棱锥的高PO=．∴正四棱锥的体积V=．故答案为：．由已知求得正四棱锥的斜高，进一步求得高，代入棱锥体积公式求解．本题考查多面体表面积与体积的求法，是基础的计算题．14.【答案】16π【解析】【分析】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，是中档题．由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可得tan A，结合范围A∈（0，π），可求A，利用正弦定理可求△ABC外接圆的半径，即可求△ABC外接圆的面积．【解答】解：∵，∴4×bc sin A=2bc cos A，可得：tan A=，∵A∈（0，π），∴A=，∴则△ABC外接圆的半径R==．∴则△ABC外接圆的面积S=πR2=16π．故答案为：16π．15.【答案】4【解析】解：∵60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．AB=2，AC=4，BD=6，∴=，∴=+2=16+4+36+2×4×6×cos120°=32，∴CD的长为|CD|==4．故答案为：4．推导出=，由此能求出CD的长．本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．16.【答案】【解析】解：对于直线x+my-1=0，令y=0，可得x=1，故它过定点A（1，0），且它的斜率为-．对于动直线l2：mx-y-2m+3=0，即m（x-2）-y+3=0，令x-2=0，求得x=2，y=3，过定点B（2，3），且它的斜率为m，故l1与l2垂直．∵l1与l2交于点P（异于点A，B），∴PA2+PB2=AB2=10．∵≤=5，∴≤，∴PA+PB≤2，当且仅当PA=PB时，|PA|+|PB|的最大值为2，故答案为：2．求出直线l1过定点A的坐标和直线l2过定点B的坐标，l1与l2交于点P，根据两条直线的斜率不难发现有则有PA⊥PB，可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，再利用基本不等式的性质可得|PA|+|PB|的最大值．本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．17.【答案】解：（1）在△ABC中，∵（2b-c）cos A=a cos C，∴由正弦定理可得：2sin B cos A-sin C cos A=sin A cos C，∴化简可得2sin B cos A=sin（A+C）=sin B，∵sin B＞0，∴得：cos A=，∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵a=4，A=，且S△ABC=4，∴4=bc sin A=bc，解得：bc=16，∵由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A，可得：16=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=（b+c）2-48，∴解得：b+c=8．【解析】（1）由条件利用正弦定理可得2sin B cos A-sin C cos A=sin A cos C，利用两角和的正弦公式化简求得cos A的值，结合A的范围可求A的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求bc=16，由余弦定理即可解得b+c的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（1）∵l1⊥l2，∴==2．∴直线l2的方程为：y-0=2（x-），化为：y=2x-3．联立，解得．∴直线l1和l2的交点坐标为（2，1）．（2）当直线l3经过原点时，可得方程：y=x．当直线l3不经过过原点时，设在x轴上截距为a≠0，则在y轴上的截距的2a倍，其方程为：+=1，把交点坐标（2，1）代入可得：+=1，解得a=．可得方程：2x+y=5．综上可得直线l3的方程为：x-2y=0，2x+y-5=0．【解析】（1）利用l1⊥l2，可得斜率．利用点斜式可得直线l2的方程，与直线l1和l2的交点坐标为（2，1）．（2）当直线l3经过原点时，可得方程．当直线l3不经过过原点时，设在x轴上截距为a≠0，则在y轴上的截距的2a倍，其方程为：+=1，把交点坐标（2，1）代入可得a．本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.【答案】证明：（1）取CP的中点N，连接MN．∵M，N分别是PD，PC的中点，∴MN∥CD，MN=CD，∵AB∥CD，AB=CD，∴AB∥MN，AB=MN．∴四边形ABNM是平行四边形，∴AM∥BN，又AM⊄平面PBC，BN⊂平面PBC，∴AM∥平面PBC．（2）∵CD⊥平面PAD，AM⊂平面PAD，∴AM⊥CD，∵AP=AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD，又PD∩CD=D，∴AM⊥平面PCD，由（1）可知AM∥BN，∴BN⊥平面PCD，又BN⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．【解析】（1）取CP的中点N，连接MN，证明四边形ABNM是平行四边形得出AM∥BN，故而AM∥平面PBC；（2）证明AM⊥平面PCD，得出BN⊥平面PCD，于是平面PBC⊥平面PCD．本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．20.【答案】解：（1）在△BDE中，由正弦定理得DE==2；在△ADF中，由正弦定理得：DF==；所以S△DEF=DE•DF=×2×=．（2）S=DE•DF=×=×=×=；当θ=450时，S取最小值：=6（2-）．【解析】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力，转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．（1）在△BDE，△ADF中，由正弦定理得DE，DF，即可得面积．（2）由已知利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S=；利用正弦函数的图象和性质可求S的最小值．21.【答案】（1）证明：∵平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，AC⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥AA1．又∵AA1⊥A1C，BC∩⊥A1C=C，∴AA1⊥平面A1BC，又∵AA1⊆平面ABB1A1，∴平面ABB1A1⊥平面A1BC；（2）解：由（1）可知，AA1⊥平面A1BC，BC⊥平面ACC1A1，则BB1⊥平面A1BC，BC⊥A1C．∴点D到平面A1BC的距离等于1，又侧棱与底面所成的角为60°，∴∠A1AC=60°．∵AC=4，∴．则，∴=．【解析】（1）由已知条件可求出BC⊥平面ACC1A1，再利用线面垂直、面面垂直的判定即可证得结论；（2）结合（1）可得BC⊥A1C，进一步求出△A1BC的面积，然后利用等体积法即可求出三棱锥A1-BCD的体积．本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查多面体的体积的求法，是中档题．22.【答案】解：（1）由f（x）=log3（9x+1）-kx是偶函数．则f（x）=f（-x）恒成立，则2（k-1）x=0恒成立，即k=1；（2）当x≥0时，g（x）=f（x）-x-a存在零点，即a=log3（9x+1）-2x在x∈[0，+∞）有解，设φ（x）=log3（9x+1）-2x（x≥0），φ（x）=log3（+1），因为x≥0，所以+1∈（1，2]，所以φ（x）∈（0，log32]，即实数a的取值范围为：（0，log32]，（3）函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，则关于x的方程log3（m•3x-2m）=log3（9x+1）-x只有一个解，所以m•3x-2m=3x+3-x，令t=3x（t＞0），得：（m-1）t2-2mt-1=0，①当m-1=0即m=1时，此方程的解为t=-，不满足题意，②当m-1＞0即m＞1时，由韦达定理可知，此方程有一正一负根，故满足题意，③当m-1＜0即m＜1时，由方程（m-1）t2-2mt-1=0只有一正根，则需，解得m=，综合①②③得：实数m的取值范围为：∪（1，+∞）．【解析】（1）由函数的奇偶性得：f（x）=f（-x）恒成立，则2（k-1）x=0恒成立，即k=1；（2）由函数的零点与方程的根得：当x≥0时，g（x）=f（x）-x-a存在零点，即a=log3（9x+1）-2x在x∈[0，+∞）有解，构造函数求值域即可；（3）函数图象的交点与方程的根的相互转化得：函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，等价于关于x的方程log3（m•3x-2m）=log3（9x+1）-x只有一个解，讨论（m-1）t2-2mt-1=0的正根即可．本题考查了函数的奇偶性、函数的零点与方程的根、函数图象的交点与方程的根的相互转化，属难度较大的题型．。

2019-2020学年南通市启东中学创新班高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）1. 设z 为复数z =12−i 的共轭复数，则(z −z)2016( ) A. 22016 B. −22016 C. 22016i D. −i2. (a +2b −3c)4的展开式中abc 2的系数为( )A. 208B. 216C. 217D. 218 3. 椭圆a 2x 2−a 2y 2=1的一个焦点是(−2,0)，则a 等于( )A. 1−√34 B. 1−√54 C. −1±√34 D. −1±√544. 为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通．现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种5. 用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有( )A. 16个B. 12个C. 9个D. 8个6. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有( )种．A. 432B. 384C. 308D. 2887. 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中任意抽取一张，则四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的概率是( )A. 14B. 38C. 124D. 9256 8. 以正方体的顶点为顶点的四面体共有( ).A. 70个B. 64个C. 58个D. 52个 9. 若二项式(2x +a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a =( )A. 2B. √45C. 1D. √2410.把一个n位数从左到右的每个数字依次记为a1，a2，a3，…，a k，…，a n，如果k+a k(k=1,2，3，…，n)都是完全平方数，则称这个数为“方数”.现将1，2，3按照任意顺序排成一个没有重复数字的三位数，这个数是“方数”的概率为()A. 0B. 16C. 13D. 12二、单空题（本大题共6小题，共18.0分）11.将“你能HOLD住吗”8个汉字及英文字母填入5×4的方格内，其中“你”字填入左上角，“吗”字填入右下角，将其余6个汉字及英文字母依次填入方格，要求只能横读或竖读成一句原话，如图所示为一种填法，则共有______ 种不同的填法．(用数字作答)你能H OL D住吗12.(x−y)2(x+y)7的展开式中x3y6的系数为______(用数字作答)．13.14.5人排成一排．其中甲乙相邻，且甲己均不与丙相邻的排法共有______种．15.A，B，C，D四名学生按任意次序站成一横排，则A在边上，B不在边上的概率是______ ．16.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲学生不能分到其中的A班，则不同分法的种数为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.求证：z1±z2−=z1−±z2−．18. 已知x ，y ∈R ，若x 2+2x +(2y +x)i 和3x −(y +1)i 互为共轭复数，求复数z =x +yi 和z −．19. (1)有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？(用两种不同的方法求解)(2)用1、2、3、4这4个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有1个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数有多少个？20. 已知二项式(√x +2x 4)n 的展开式中，前三项的系数成等差数列． (1)求n ；(2)求展开式中的一次项；(3)求展开式中所有项的二项式系数之和．21. 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与25．(1)若甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；(2)若甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率．22. 已知f(x)=(2x −3)n 展开式的二项式系数和为512，且(2x −3)n =a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a n (x −1)n(1)求a 2的值；(2)求a 1+a 2+a 3+⋯+a n 的值；(3)求f(20)−20除以6的余数．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵z=12−i，∴共轭复数z=12+i，则(z−z)2016=(12−i−12−i)=(−2i)2016=22016，故选：A．先求出z，从而求出(z−z)2016的值即可．本题考查了复数的运算性质，是一道基础题．2.答案：B解析：解：(a+2b−3c)4表示4个因式(a+2b−3c)的乘积，故其中一个因式取a，一个因式取2b，余下的2个因式都取−3c，可得展开式中abc2的系数，故展开式中abc2的系数为C41⋅C31⋅2⋅C22⋅(−3)2=216，故选：B．根据其中一个因式取a，一个因式取2b，余下的2个因式都取−3c，可得展开式中abc2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，幂的意义，属于基础题．3.答案：B解析：解：椭圆a2x2−a2y2=1可化为x21a2+y2−2a=1．∵椭圆a2x2−a2y2=1的一个焦点是(−2,0)，∴1a2−2−a=4，∴a=1−√54．故选：B．先把椭圆方程化为标准方程，然后根据题意列一方程组，解出即可．本题考查椭圆的标准方程及简单性质，属基础题．4.答案：C解析：本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意用捆绑法分析．根据题意，分2步分析：①，用捆绑法将甲乙两人看做一个整体，进而将4个元素分成3组，②，将分好的3组全排列，对应三个不同的路口，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步分析：①，把甲、乙两人看做一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3组，有C42=6种分法；②，将分好的3组全排列，对应三个不同的路口，有A33=6种情况，则有6×6=36种不同的分配方案；故选：C．5.答案：D解析：解：根据题意，要求的四位数比2000大，则其首位数字必须是2、3、4中一个，则分3种情况讨论：①、首位数字为2时，其个位数字必须为4，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，②、首位数字为3时，其个位数字必须为2或4，有2种情况，将剩下的2个数字全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有2×2=4个比2000大的偶数，③、首位数字为4时，其个位数字必须为2，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，则一共有2+4+2=8个比2000大的偶数，故选D．根据题意，分析可得要求四位数的首位数字必须是2、3、4中一个，据此按首位数字的不同分3种情况讨论，求出每一种情况的四位数数目，由加法原理计算可得答案．本题考查分类计数原理的应用，解题时注意“大于2000”的数字的特征，由此对四位数的千位数字进行分类讨论．6.答案：A解析：解：根据题意，所取出的数字之和为10，共有三种情况：①4，4，1，1；②4，3，2，1；③3，3，2，2；则分3种情况讨论：①取出的卡片数字为4，4，1，1时；有A44种取法；②取出的卡片数字为3，3，2，2时；有A44种取法；③取出的卡片数字为4，3，2，1时；每个数字都有两种不同的取法，则有24×A44种取法，则一共有A44+A44+24×A44=432种；故选：A．根据题意，分析可得，数字之和为10的情况有①4，4，1，1；②4，3，2，1；③3，3，2，2；再依次利用排列组合公式求得每种情况下的排法数目，进而由分类计数原理，将其相加即可得答案．本题考查排列、组合的应用，解题时需要分析所取出的数字来自一种卡片还是两种卡片．7.答案：B解析：解：四张贺卡四人来取，总的取法有4×3×2×1=24种四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的种数为3×(1×1×1+2×1×1)=9四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的概率是924=38故答案选B本题要先用分步计数原理求出总的取法，再根据计数原理求出所抽取的都不是自己所写的贺卡的种数，再用古典概型公式求解即可本题考查计数原理与等可能事件的概率的求法，是概率中的基本题型．8.答案：C解析：9.答案：C解析：本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为−3，求出a即可．解：二项式(2x+ax )7的展开式即(ax+2x)7的展开式中x−3项的系数为84，所以T r+1=C7r(2x)r(ax)7−r=C7r2r a7−r x−7+2r，令−7+2r=−3，解得r=2，代入得：C72a522=84，解得a=1，故选C．10.答案：B解析：解：将1，2，3按照任意顺序排成一个没有重复数字的三位数，共有3×2×1=6种，其中3，2，1是“方数”．∴所求概率为16．故选：B．确定基本事件总数，再利用“方数”的定义，找出“方数”，即可求出概率．本题考查等可能事件的概率，确定基本事件的个数是关键．11.答案：35解析：解：根据题意，所给的8个汉字及英文字母只能向下或向右读，即将“能HOLD住”填在表格中，只能按向下或向右的顺序填写，分析可得，从左上角的“你”到右下角的“吗”需要向下3次，向右4次，共7次，只需在7次选3次向下即可，有C73=35种情况，故答案为35．根据题意，分析可得，从左上角的“你”到右下角的“吗”需要向下3次，向右4次，共7次，只需在7次选3次向下即可，由组合数公式，计算可得答案．本题考查组合的应用，解题的关键是将原问题转化为“在7次选3次向下”的组合问题．12.答案：0解析：解：多项式(x−y)2(x+y)7=(x2−2xy+y2)(x+y)7，设(x+y)7的通项公式为T r+1=C7r x7−r y r，令r=6，则T7=C76xy6=7xy6，令r=5，则T6=C75x2y5=21x2y5，令r=4，则T5=C74x3y4=35x3y4，∴(x−y)2(x+y)7的展开式中x3y6的系数为：1×7−2×21+1×35=0，故答案为：0．由题意，进行求解即可．本题考查了二项展开式的特定项与特定项的系数，考查了计算能力，属于中档题．13.答案：100解析：解：由题意知：故答案是100．14.答案：24解析：解：根据题意，假设5人中出甲乙丙之外的两人为A、B，分3步进行分析：①，将甲乙看成一个整体，考虑2人的顺序，有A22=2种情况，②，将A、B全排列，有A22=2种情况，排好后有3个空位，③，在3个空位中任选2个，安排甲乙整体与丙，有A32=6种情况，则满足题意的排法有2×2×6=24种；故答案为：24．根据题意，假设5人中出甲乙丙之外的两人为A、B，分3步进行分析：①，用捆绑法分析甲乙，将甲乙看成一个整体，②，将A、B全排列，③，在3个空位中任选2个，安排甲乙整体与丙，由分步计数原理计算可得答案．本题考查分步计数原理的应用，注意相邻问题与不相邻问题的处理方法．15.答案：13解析：解：所有的排列顺序共有A 44=24种，其中A 在边上，B 不在边上的有C 21C 21A 22=8种， 故A 在边上，B 不在边上的概率为824=13，故答案为13．由于所有的排列顺序共有A 44=24种，其中A 在边上，B 不在边上的有C 21C 21A 22=8种，由此可得概率． 本题主要考查等可能事件的概率，求得A 在边上，B 不在边上的排法有12种，是解题的关键，属于基础题．16.答案：24解析：解：由题意，四名学生中有两名学生分在一个班有C 42种，再分到三个不同的班有A 33种，而甲学生分到其中的A 班，乙、丙、丁分到其余两个班级有C 32A 22种，乙、丙、丁中有1人分到A 班，其余2人其余两个班级有C 31A 22种∴满足条件的种数是C 42A 33−C 32A 22−C 31A 22=24．故答案为：24．由题意知本题可以先做出所有情况再减去不合题意的结果，用间接法解．本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，正确运用间接法是关键． 17.答案：证明：设z 1=a +bi ，z 2=c +di ，a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1+z 2=(a +c)+(b +d)i ， ∴z 1+z 2−=(a +c)−(b +d)i ，又z 1−+z 2−=(a −bi)+(c −d)i =(a +c)−(b +d)i∴z 1+z 2−=z 1−+z 2−同理可证：z 1−z 2−=z 1−−z 2−，故z 1±z 2−=z 1−±z 2−．解析：首先设出复数z 1，z 2的代数形式，再找出其共轭复数，再利用复数加减运算分别求出左右式，显然等．本题考查了共轭复数以及复数的加减运算；关键是明确两个复数互为共轭复数的关系． 18.答案：解：由x 2+2x +(2y +x)i 和3x −(y +1)i 互为共轭复数，所以{x 2+2x =3x (2y +x)−(y +1)=0， 解得{x =0y =1，或{x =1y =0， 当x =0，y =1时，复数z =i ，z −=−i ，当x =1，y =0时，复数z =1，z −=1．解析：根据互为共轭复数的定义列方程组求出x 、y 的值，即可写出复数z 和z −．本题考查了复数的定义与应用问题，也考查了方程思想，是基础题． 19.答案：解：(1)法1：由题意知本题是一个分类计数问题，至少有1个是一等品的不同取法分三类：恰有1个一等品的不同取法，共有C 161C 42恰有2个一等品的不同取法，共有C 162C 41恰有3个一等品的不同取法，共有C 163由分类计数原理有：C 161C 42+C 162C 41+C 163=1136种．法2：考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有C 203−C 163=1136种：；(2)首先把1，3全排列，得到排法种数为A 22，则1，3之间形成三个空，2，4要么在前两个空中全排列，要么在后两个空中全排列，∴四位数的个数为2A 22A 22=8．解析：本题考查分类、分步计数原理，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果．本题是一个中档题．(1)法1：至少有1个是一等品的不同取法包括恰有1个一等品的不同取法，共有C 161C 42；恰有2个一等品的不同取法，共有C 162C 41；恰有3个一等品的不同取法，根据分类加法原理得到结果；法2：考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法可得结论；(2)该问题可看作是一个排列问题，首先由1，3两个数字全排列，形成3个空，则2，4要么在最前边的空和1，3之间形成的空两个空中排列，要么在最后边的空和1，3之间形成的空两个空中排列，则答案可求．20.答案：解：(1)前三项的系数为C n 0,12C n 1,14C n 2，由题设，得C n 0+14×C n 2=2×12×C n 1， 即n 2−9n +8=0，解得n =8或n =1(舍去).(2)T r+1=C 8r (√x)8−r (2x 4)r =C 8r (12)r x 4−3r 4， 令4−3r4=1，得r =4．所以展开式中的一次项为T 5=C 84(12)4x =358x ．(3)∵C 80+C 81+C 8 2+⋯+C 8 8=28=256，∴所有项的二项式系数和为256．解析：(1)由题意二项式(√x 2√x 4)n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，可得出C n 0+14×C n 2=2×12×C n 1，解此方程求出n 的值；(2)由项的展开式T r+1=C 8r (√x)8−r (2√x 4)r 整理得T r+1=C 8r (12)r x 4−3r4，令x 的指数为1，解出r 的值，即可求得一次项；(3)二项式系数的和为C 80+C 81+C 82+⋯+C 88的和，计算出它的值即得．本题考查二项式系数的性质，考查了二项式的项，等差数列的性质，二项式系数和的公式，解题的关键是熟练掌握二项式的性质及等差数列的性质，二项式的性质是一个非常重要的考点，也是高考的必考点，本题很典型，包括了二项式的主要性质，题后注意总结．21.答案：解：(1)依题意，记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事B ，则P(A)=12，P(B)=25，P(A)=12，P(B)=35．甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的事件为AB +BA ， P(AB +BA)=12×35+25×12=12，∴甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率为12；(2)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次全不命中”的概率是P′=12×12×35×35=9100，∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为P =1−9100=91100，∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为91．100解析：(1)两次投球恰好命中一次包括两种情况，即甲能够命中而乙不能命中，或甲不能命中而乙能够命中，这两种情况是互斥的．根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果．(2)四次投球中至少有一次命中的对立事件是四次投球一次也不能命中，首先根据相互独立事件同时发生的概率做出一次也不能命中的概率，再用对立事件的概率公式得到结果．本题看出相互独立事件同时发生的概率和对立事件的概率，本题解题的关键是看清题目中所求的事件的概率的意义，正面来解释比较困难，可以选择应用对立事件来解决．22.答案：解：(1)根据题意，f(x)=(2x−3)n展开式的二项式系数和为512，则2n=512，解可得n=9；(2x−3)9=[2(x−1)−1]9，则a2=C97·22(−1)7=−144，(2)在(2x−3)9=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a n(x−1)n中，令x=1，可得a0=(2×1−3)9=−1，令x=2，可得a0+a1+a2+a3+⋯+a n=(2×2−3)9=1，则a1+a2+a3+⋯+a n=a0+a1+a2+a3+⋯+a n−a0=1−(−1)=2；(3)f(20)−20=379−20=(36+1)9−20=C90369+C91368+C92367+⋯+C9836+C99−20=C90369+C91368+C92367+⋯+C9836−19；因为(C90369+C91368+C92367+⋯+C9836)能被6整除，而−19=(−4)×6+5，即−19被6整除后余数为5；则f(20)−20除以6的余数为5．解析：(1)根据二项式定理，由f(x)=(2x−3)n展开式的二项式系数和为512，可得n=9；将n=9代入(2x−3)n中，变形可得[2(x−1)−1]9，则a2为其展开式中(x−1)2的系数，由二项式定理可得答案；(2)由(1)的结论，用赋值法，在(2x−3)9=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a n(x−1)n中，令x=1，可得a0的值，令x=2，可得a0+a1+a2+a3+⋯+a n的值，两者相减，可得答案；(3)根据题意，可得f(20)−20=379−20，变形可得f(20)−20=(36+1)9−20，由二项式定理展开可得f(20)−20=C90369+C91368+C92367+⋯+C9836−19，进而由整出整除的性质分析可得答案．本题考查二项式定理的运用，易错点为(3)中，对−19求余数，根据−19=(−4)×6+5，即−19被6整除后余数为5．。

江苏省启东中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________参考答案：1．C【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，然后利用复数相等的概念求解．【详解】设()i ,z a b a b =+ÎR ，则2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，2724iz =--Q ，227224a b ab ì-=-\í=-î，解得34a b =ìí=-î或334i 4a z b =-ì\=-í=î．或34i z =-+．所以复数z 的虚部为4±．故选：C.2．B【分析】当两个复数都是实数时能比较大小，据此判断A ；由复数相等的定义可判断B ；用特殊值可判断C 、D.【详解】对于A ，当两个复数均为实数时，这两个复数能比较大小，A 错误；对于B ，若i z a b a =+Î（R,b Î R )则当0a b ==时，i 0z a b =+=，反之，若i=0z a b a =+Î（R,b Î R )，则由复数相等的定义知，必有0a b ==成立，故若i z a b a =+Î（R,b Î R )，则当且仅当0a =且0b =时，0z =，B 正确；对于C ，令12i z z =1=，，则2222121i 0z z +=+=，此时不满足120z z ==，C 错误；若i 1i(,x y x y +=+ÎC )，不妨令i x =，i y =-，满足等式，此时1x y ==不成立，故D 错误．故选:B 3．B【分析】结合线面垂直的性质即可分析.【详解】过圆的圆心作此圆所在平面的垂线，则垂线上的点到圆周的各点距离相等，所以到一圆周上各点距离相等的点的集合是一条直线.故选：B.4．B【分析】把条件2222OA OB CA CB -=-转化为2222OA OB CA CB-=-uuur uuu r uuu r uuu r ，再根据向量的运算与a 的位置关系为：//b a 或故答案为：//b a 或b a Ì13．24,55æöç÷èø。

江苏省启东中学2019~2020学年度第二学期期初考试高一创新班数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在ABC V 中，2,60AC BC B ===o ，则BC 边上的中线AD 的长为( )A. 1B.C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理可得：2222cos 3AC AB BC AB BC B AB =+-⋅⇒=，在ABD V 中，由余弦定理可得：2222cos 7AD AB BD AB BD B =+-⋅=，即可．【详解】由余弦定理可得：22222cos 230AC AB BC AB BC B AB AB =+-⋅⇒--=．3AB ∴=在ABD V 中，由余弦定理可得：2222cos 7AD AB BD AB BD B =+-⋅=，AD ∴=故选D ．【点睛】本题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 2.水水水水水水水水水水水水水水水“水水水水水水水水水水水水水水水水水”水水水水水水水水水水水水水水水水水水水水水“水”水水水水水水水水水水水水水水水水水水水水 水A. 水B. 水C. 水D. 水【答案】B 【解析】试题分析：这是一个正方体的平面展开图，其直观图如下：共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”． 故选B ．考点：展开图与直观图.3.直线cos 20x α++=的倾斜角的范围是( )A. π[6，π5π][26⋃，π) B. [0，π5π][66⋃，π)C. [0，5π]6D. π[6，5π]6【答案】B 【解析】 【分析】求出直线斜率为k α=，根据cos α的范围即可求得斜率的范围，再由正切函数的图象即可求出直线倾斜角的范围.【详解】直线方程化为斜截式为：y x α=-，斜率为k α=，因为cos [1,1]α∈-，所以斜率[33k ∈-， 根据正切函数的图象可知直线倾斜角的范围为[0，π5π][66⋃，π). 故选：B【点睛】本题考查直线的倾斜角，三角函数的图象与性质，属于基础题.4.正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，则下列结论中错误的是( )A. 1//D O 平面11A BCB. 1D O ⊥平面AMCC. 异面直线1BC 与AC 所成角为60︒D. 点B 到平面AMC【答案】D 【解析】 分析】A 项，通过证明11//OD BO 来证明线面平行；B 项，建立空间直角坐标系，由10OD AM ⋅=u u u u r u u u u r 、10OD CM ⋅=u u u u r u u u u r推出1OD AM ⊥、1OD CM ⊥，从而证明线面垂直；C 项，利用公式11cos ||||AC BC AC BC θ⋅=⋅u u u r u u u u ru u ur u u u u r 可求得异面直线1BC 与AC 所成角的余弦值从而求得夹角；D 项，由等体积法求点到平面的距离即可判断.【详解】A 项，连接11B D ，交11A C 于点1O ，连接BD ，根据正方体的性质可知，11D O 与BO 平行且相等，所以四边形11BOD O 是平行四边形，即11//OD BO ，又因为1//D O 平面11A BC ，故A 选项正确；B 项，设正方体的边长为1，分别以BA ，BC ，1BB 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图：【则11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(,,0)22B A C O ，11(0,0,),(1,1,1)2M D ，所以111,,122OD ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，11,0,2AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，10,1,2CM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，因为10OD AM ⋅=u u u u r u u u u r ，10OD CM ⋅=u u u u r u u u u r，所以1OD AM ⊥，1OD CM ⊥，又因为AM CM M ⋂=，且AM ⊂平面AMC ，CM ⊂平面AMC ， 所以1D O ⊥平面AMC ，B 选项正确；C 项，根据B 项可得1(0,1,1)C ，所以1(0,1,1)BC =u u u u r ，(1,1,0)AC =-u u u r， 设异面直线1BC 与AC 所成角为θ，则111cos 2||||AC BC AC BC θ⋅==⋅u u u r u u u u ru u ur u u u u r ， 又0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以60θ︒=，C 选项正确； D 项，设正方体的边长为a，则2BO a =，所以由勾股定理可得2MO a ==，根据题意可知MA MC =，O 是AC 的中点，故MO AC ⊥，所以212MAC S AC MO =⋅=V ，设点B 到平面MAC 的距离为h ，则13B MAC MAC V S h -=⋅V ，又因为13B MAC M ABC ABC V V S MB --==⋅V，解得ABC MAC S MB h S ⋅==≠V V ，D 错误.故选：D【点睛】本题考查直线与平面平行和垂直的判定及异面直线和平面夹角的求解，属于中档题.5.已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C 的坐标为( )A. (－2，4)B. (－2，－4)C. (2，4)D. (2，－4)【答案】C【解析】【分析】求出A(水4水2)关于直线y水2x的对称点为(x水y)，可写出BC所在直线方程，与直线y＝2x联立，即可求出C 点坐标.【详解】设A(水4水2)关于直线y水2x的对称点为(x水y)水则221424222yxy x-⎧⨯=-⎪⎪+⎨+-+⎪=⨯⎪⎩水解得42xy=⎧⎨=-⎩水BC所在直线方程为y水1水2143---(x水3)水即3x水y水10水0. 联立直线y=2x水解得24xy=⎧⎨=⎩水则C(2水4)．故选C.【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点，属于中档题.6.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A. 50 mB. 100 mC. 120 mD. 150 m【答案】A【解析】分析】如图所示，设水柱CD的高度为h．在Rt水ACD中，由水DAC=45°，可得AC=h．由水BAE=30°，可得水CAB=60°．在Rt水BCD中，水CBD=30°，可得．在水ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcos60°．代入即可得出．【详解】如图所示，设水柱CD的高度为h．在Rt水ACD中，水水DAC=45°水水AC=h水水水BAE=30°水水水CAB=60°水又水B，A，C在同一水平面上，水水BCD是以C为直角顶点的直角三角形，在Rt水BCD 中，水在水ABC 中，由余弦定理可得：BC 2=AC 2+AB 2水2AC•ABcos60°水水2=h 2+1002水121002h ⨯⨯水 化为h 2+50h ﹣5000=0，解得h=50． 故选A ．【点睛】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 7.已知直线l 方程为(),0f x y =，()111,P x y 和()222,P x y 分别为直线l 上和l 外的点，则方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=表示（ ）A. 过点1P 且与l 垂直的直线B. 与l 重合的直线C. 过点2P 且与l 平行的直线D. 不过点2P ，但与l 平行的直线【答案】C 【解析】 【分析】先判断直线与l 平行，再判断直线过点2P ，得到答案.【详解】由题意直线l 方程为(),0f x y =，则方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --= 两条直线平行，()111,P x y 为直线l 上的点，()11,0f x y =，()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=，化为()()22,,0f x y f x y -=，显然()222,P x y 满足方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=，所以()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=表示过点2P 且与l 平行的直线． 故答案选C ．【点睛】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生对于直线方程的理解情况. 8.如图，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且()AP x AD y AE x y R =+∈u u u v u u u v u u u v、，则x y +的取值范围是（ ）A. 1,4⎡+⎣B. 4⎡-+⎣C. 1,2⎡+⎣D. 2⎡⎣【答案】B 【解析】连接AM 并延长分别交圆M 于Q T 、，连接DE ，DE 与AM 交于R ，显然1122AR AD AE u u u r u u u r u u u r=+，此时1x y +=，分别过Q T 、作DE 的平行线，由于01,120AD AE BAC ==∠=，则2,AM DM ==，则2AQ =-12AR =，2(4(2(212AQ AR AD AEu u u r u u u r u u u r u u u r -==-=+，此时4x y +=-，同理可得：(2(2AT AD AE u u u r u u u r u u u r=+++，4x y +=+B .【点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点P 在等和线DE 上1x y +=去求x y +的取值范围，由于点P 是圆M 及其内部任意一点，所以分别过Q T 、作圆的切线，求出两条等和线的x y +值，就可得出x y +的取值范围，本题型在高考中出现多次，要掌握解题方法.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知直线a ，两个不重合的平面α，β.若//αβ，a α⊂，则下列四个结论中正确的是( ) A. a 与β内所有直线平行 B. a 与β内的无数条直线平行 C. a 与β内的任意直线都不垂直 D. a 与β没有公共点【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解。

苏省启东中学2020学年度第二学期期中考试高一数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 在ABC ∆中，若2223c a bc b -=-，则=A ▲ ．2. 设直线l 的方程为03)1(=+++y m mx ，当直线l 垂直于x 轴时，m 的值为 ▲ ．3. 在等差数列}{n a 中，67=a ，则13S = ▲ ．4. 在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，则该三角形的形状为 ▲ 三角形.5. 已知直线上一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线的斜率=k ▲ ．6. 已知数列}{n a 满足161=a ，且3441-=+n n a a ．若01<⋅+k k a a ，则正整数k ＝__▲___.7. 在1和512中插入5个数，使这7个数成等比数列，则公比q 为 ▲_ ．8. 某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是___▲___km.9. 已知),(n m P 是直线2052=+y x 在第一象限部分上的一点，则n m 2lg 5lg +的最大值为 ▲_ ．10. 已知各项不为0的等差数列}{n a 满足08276=+-a a a ，数列}{n b 是等比数列，且77a b =，则=1182b b b ▲_ ．11. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝__▲___. 12. 已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集是}21|{<<-x x ，则关于x 的不等式0<++b xc ax 的解集为 ▲_ ． 13. 已知α为锐角，则αα2tan 3tan 2+的最小值为 ▲_ ． 14. 已知数列}{n a 满足：⎪⎩⎪⎨⎧+=--为偶数，为奇数，n a n a a n n n 11212若30272018=S ，则1a = ▲_ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.（14分）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程：(1)过定点)4,3( A ；(2)斜率为61．16.（14分）如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17.(1) 求sin∠BAD ；(2) 求BD ，AC 的长．17.（14分）已知集合}023|{2≥+-=x x x A ．（1）若集合}|{t x x B ≤=，且R B A =⋃，求实数t 的取值范围；（2）若集合}0|{2≤+-=b ax x x B ，且}32|{≤≤=⋂x x B A ，求实数a 的取值范围．18.（16分）已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，2+=n S b n n ． （1）已知}{n a 是等比数列，12=a ，15133=b ，求}{n a 的通项公式； （2）已知}{n a 是公差为)0(≠d d 的等差数列，若}{n b 也是等差数列，求d a 1的值．19.（16分）如图，有一壁画，最高点A 距离地面AE 为4米，最低点B 距离地面BE 为2米．如 果在距离地面高CF 为5.1米、与墙壁距离EF 为4米的C 处观赏壁画，但效果不佳．为了提高欣赏效果（视角θ=∠ACB 越大，效果越好），现在有两种方案可供选择：① 与壁画距离EF 不变，调节高度CF ；② 与地面距离CF 不变，调节与壁画的距离EF 。

江苏省南通市启东市2020-2021学年高一下学期期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．＝（）A．2 B．2i C．﹣2 D．﹣2i2．函数f（x）＝cos2x的最小正周期为（）A．2 B．4 C．2πD．4π3．设向量＝（1，﹣1），＝（m，2m﹣3），若⊥（+），则m＝（）A．B．1 C．3 D．54．某海域有A，B，C三座小岛，经测量，B岛在A岛的正东方向，且距离A岛10海里处，C岛在A岛的北偏西30°方向，且距离A岛20海里处，则B，C两座小岛间的距离为（）A．10海里B．10海里C．10海里D．10海里5．在△ABC中，若cos（2B+C）+cos C＞0，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上皆有可能6．瑞士数学家莱昂哈德•欧拉于1748年提出了著名的公式：e ix＝cos x+i sin x，其中e是自然对数的底数，i 是虚数单位，该公式被称为欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，|e2i﹣1|＝（）A．cos2 B．sin2 C．2sin1 D．2cos17．设a＝sin250°，b＝﹣cos50°，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b8．设点A的坐标为（a，b），O为坐标原点，向量绕着O点顺时针方向旋转θ后得到，则A′的坐标为（）A．（a cosθ﹣b sinθ，a sinθ+b cosθ）B．（a cosθ+b sinθ，b cosθ﹣a sinθ）C．（a sinθ+b cosθ，a cosθ﹣b sinθ）D．（b cosθ﹣a sinθ，b sinθ+a cosθ）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

启东中学高一下学期期中考试试卷1．（5分）若平面α和直线a ，b 满足a A α=I ，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是（ ） A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或异面2．（5分）一枚骰子连续掷了两次，则点数之和为2或3的概率是（ ） A ．112 B ．19 C ．18 D ．163．（5分）过点()2,1且与点()1,3距离最大的直线方程是（ ） A ．210x y --= B ．230x y +-= C ．20x y -=D ．240x y +-=4．（5分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知,13A a b π===，则B =（ ） A ．3π B ．6π C ．56π D ．6π或56π5．（5分）方程()222200x y ax ay a ++-=≠表示的圆（ ） A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线0x y +=对称D ．关于直线0x y -=对称6．（5分）已知曲线C 1：x 2+y 2﹣4y +3=0与y 轴交于A ，B 两点，P 为C 2：x ﹣y ﹣1=0上任意一点，则|P A |+|PB |的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．47．设锐角ABC V 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为心a ，b ，c ，若2a =，2B A =，则b 的取值范围是( )A ．2)B ．C ．D ．()0,28．（5分）如图，平行四边形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中4O A ''=，2O C ''=，30A O C '''∠=︒，则下列叙述正确的是（ ）A ．原图形是正方形B ．原图形是非正方形的菱形C ．原图形的面积是D ．原图形的面积是9．（5分）已知ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,3B a c π=+=,则ac=( ) A ．2B ．3C ．12D ．1310．（5分）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．11．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin (34A B Ck k ==为非零实数），则下列结论正确的是（ ） A ．当5k =时，ABC ∆是直角三角形 B ．当3k =时，ABC ∆是锐角三角形 C ．当2k =时，ABC ∆是钝角三角形D ．当1k =时，ABC ∆是钝角三角形12．（5分）已知圆C ：2220x y x +-=，点A 是直线3y kx =-上任意一点，若以点A为圆心，半径为1的圆A 与圆C 没有公共点，则整数k 的值可能为（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．113．（5分）某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为________.14．（5分）在ABC ∆中，若:1:2A B ∠∠=，且ACB ∠的平分线CD 把ABC ∆分成面积比为5∶3的两部分，则cos A =________.15．（5分）在一座m 20高的观测台顶测得对面水塔塔顶的仰角为ο60，塔底俯角为ο45，则这座水塔的高度是__________．16．（5分）已知直线20mx y m -++=与圆1C ：22(1)(2)1x y ++-=相交于A ，B两点，点P 是圆2C ：22(3)5x y -+=上的动点，则PAB △面积的最大值是______．17．（12分）在 ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7a =，060A =. （1）若ABC ∆的周长为20，求,b c ； （2）求ABC ∆周长的取值范围.18．（12分）设圆的方程为22450x y x +--=（1）求该圆的圆心坐标及半径.（2）若此圆的一条弦AB 的中点为(3,1)P ，求直线AB 的方程.19．（10分）已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)． (1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． 20．（12分）如图所求扇形OPQ 的半径为1，圆心角为3π，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记COPa ?.（1）当AB =时，求tan2α的值；（2）记矩形ABCD 的面积为()f α，求()f α最大值，并求此时α的值.21．（12分）在四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为梯形,//BC DE .设,,,CD BE AE AD 的中点分别为,,,M N P Q .(1)求证:,,,M N P Q 四点共面;(2)若AC DE ⊥,且AC =,求异面直线DE 与PN 所成角的大小.22．（12分）已知圆C 过点(0,2),(3,1)M N -，且圆心C 在直线210x y ++=上. （1） 求圆C 的方程；（2）问是否存在满足以下两个条件的直线l :①斜率为1；②直线被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆过原点. 若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由.启东中学高一下学期期中考试试卷参考答案1．D 【解析】 【分析】当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面. 【详解】当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面. 故答案为D 【点睛】本题考查了直线的位置关系，属于基础题型. 2．A【解析】如图所示：共有36种情况，点数之和为2或3的情况为11，12，21，共三种，所以点数之和为2或3的概率是313612=.故选A ． 考点：古典概率. 3．C 【解析】 【分析】所求直线与两点()2,1，()1,3连线垂直．由此得直线斜率，从而得直线方程． 【详解】 由题意31212-=--，所以所求直线斜率为12，直线方程为11(2)2y x -=-，即20x y -=． 故选：C. 【点睛】本题考查求直线方程，解题关键是掌握性质：过P 且与点A 距离最大的直线与PA 垂直．4．B 【解析】 【分析】 【详解】由已知知b a <，所以B ＜A=3π，由正弦定理sin sin a b A B=得，sin sin b A B a =1sin π⨯12，所以6B π=，故选B考点：正弦定理 5．C 【解析】 【分析】圆的圆心为(),a a -，直线y x =-过圆心，则直线为圆的一条对称轴。