推荐-江苏省启东中学高一数学[函数的应用] 精品

第十五课时 §1.3.4 三角函数的应用（1）【教学目标】一、知识与技能：会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题；体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型二、过程与方法从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用三、情感态度价值观：培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活教学重点难点：建立三角函数的模型【教学过程】一．复习回顾1、回顾课本 “三角函数的周期性”2、求函数sin()y A x k ωϕ=++的解析式3、查阅物理中“单摆运动”二．新课讲解：一定条件下，单摆运动是一种周期性的运动，从而引出对具有周期性现象的问题的研究，可用具有周期性规律的三角函数来描述。

实际上，三角函数能够描述、模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用。

三、例题分析：例1、 （教材P42例1）点评：本题是简谐运动的问题，在利用三角函数描述问题时，首先分析此现象具有周期性，其次结合题意作出函数草图，然后根据图象用“待定系数法”求出sin()y A x k ωϕ=++。

例2、 （教材P43例2）点评：①本题是圆周运动的问题；②寻找变量间的关系是关键，结合图形建立恰当的直角坐标系，将几何问题代数化已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图例3、如图所示，求函数的一个解析式。

例4、已知函数cos()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的最小值是5-，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4π，且图象经过点5(0,2-，求这个函数的解析式。

x33π56π3O例5、已知函数sin()y A x B ωϕ=++（0A >，0ω>，||ϕπ<）的最大值为，最小值为，周期为23π，且图象过点(0,，求这个函数的解析式四、课堂小结：本课所学内容，重点应用了三角函数的什么性质？以后研究哪类问题可以借助于三角函数模拟呢？五、作业：（补充）1．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||ϕπ<）的周期是23π，最小值是2-，且图象过点5(,0)9π，求这个函数的解析式；2．函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的最小值是2-，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标的差是3π，又图象经过点(0,1)，求这个函数的解析式3．如图为函数sin()y A x ωϕ=+（||2πϕ<，x R ∈）的图象中的一段，根据图象求它的解析式。

第二章函数§2.1函数的观点第 4 课时函数的表示方法教案 11主备人:龚凯宏一.学习目标1.认识函数的三种表示方法:列表法、分析法、图象法.2.掌握用分段函数表示函数分析式，会利用函数的分析式求函数的值.二.温故习新一、函数的三种表示法：1、列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.如：海尔某型号彩电单价为3100 元，买彩电的台数 x 与付款款额 y 的函数关系以下表示x 1 2 3 4 5y 3100 6200 9300 12400 15500 列表法长处：不用经过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.弊端：但表示方法一般不完好 .2、分析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，y这个等式叫做函数的分析表达式，简称分析式.如：上述问题也可利用分析式y=3100x， x∈N﹡来表示 .分析法长处：简洁、全面的归纳了变量之间的关系，能够求出随意一个自变量的值所对应的函数值.弊端：抽象、不直观31003、图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.O 1 x 如：上述问题也可借助图象来表示. 图象法长处：直观形象地表示出函数值的变化状况.弊端：不正确。

二、分段函数的观点在定义域内不一样部分上，有不一样的分析式表达式，这样的函数叫分段函数。

三．释疑拓展题型一：函数的图象例题 1：设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于以下四个图象，不行作为函数y＝ f(x)的图象的是 ________．变式追踪1：函数 y＝ f( x)的图象与直线x＝ 2 的公共点有 ________个．题型二：已知函数分析式求函数值例题 2：⑴已知函数f ( x) x2 2x 3 ，分别求 f (4), f (2a), f [ f (1)] ， f ( x2 1)x 1, x 0(2)已知函数f ( x) , x 0 ，则 f f ( 2) =________。

数学必修1 第1课时§2.1 函数的概念和图象⑴【学习目标】（1）了解函数概念产生的背景，学习和掌握函数的概念，能借助函数的知识表述、刻画事物的变化规律；（2）理解用集合的思想定义的函数定义域和值域；（3）理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出其定义域、函数值；（4）通过本节的学习，逐步培养学生的抽象思维能力、渗透辩证唯物主义【教学重点】在对应的基础上理解函数的概念【教学难点】函数概念的理解【教学过程】一、问题情境1、在初中我们学习了函数的概念，请同学们回想一下，它是怎样表述的?2、让学生观察书P23三个实例。

二、学生活动问题1：让学生观察、讨论：在上述三个问题中，有什么共同特点？★都有两个量，如年份与人口数、时间与距离、时间与气温；★当一个量的取值确定后，另一个量就确定了，并且是惟一确定的。

问题2：让学生观察、讨论：如何用集合语言来阐述上述问题的共同特点？★每一个问题都涉及两个非空数集A，B；如在问题1中：年份组成集合：A={1949，1954，1959，1964，1969，1974，1979，1984，1989，1994，1999}人口数组成集合：B={542，603，672，705，807，909，975，1035，1107，1177，1246}讨论总结：存在某种对应法则，对于A中任意元素x，B中总有唯一个元素y与之对应。

三、建构函数的新定义1、观察下列两个非空数集A、B之间的元素有什么对应关系？A 乘2B A 平方 B A 求倒数Bvv(1) (2) (3)它们的共同特点是：A，B都是两个非空数集；对于集合A中的每一个数，按某种对应关系，在集合B中都有惟一的数和它对应。

2、函数定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为：y=f(x)，x∈A 其中，x称为自变量，所有的（输入值）x组成的集合A叫做函数的定义域。

第5讲 函数的概念和图象一、知识新授：1．函数的定义：设A, B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为 .其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的 .所有的输出值y 组成的集合C 叫做函数()y f x =的 .2．对于函数的意义应从以下几个方面去理解：⑴对于变量x 允许取的每一个值，合在一起组成了x 的取值范围，即定义域.⑵变量x 与y 有确定的对应关系，即对于x 允许取的每一个值（即输入值），y 都有惟一确定的值（即输出值）与它对应.3．函数的三要素：定义域、值域和对应法则.二、例题分析：例1：判断下列对应是否为函数： ⑴R x x xx ∈≠→,0,2 ⑵R y N x x y y x ∈∈=→,,,2 （3）R y R x y y x ∈∈=→,,5,；（4）*,|,2|,N y Z x x y y x ∈∈-=→。

变式练习：判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数⑴、A 为正实数集，R B =，对于任意的A x ∈，x x →的算术平方根；⑵、}5,4,3,2,1{=A ，}8,6,4,2,0{=B ，对于任意的A x ∈，x x 2→。

例2：求下列函数的定义域：⑴1)(-=x x f ； ⑵x x x f -+-=21||4)( ⑶x x x x f -+=||)1()(0例3： 判断下列函数是为同一函数： ⑴1==y xx y 与 ⑵1112-=+⋅-=x y x x y 与 ⑶2)(x y x y ==与例4：求下列两个函数的值域：⑴}3,2,1,0,1{,1)1()(2-∈+-=x x x f ⑵1)1()(2+-=x x f例5：作出下列函数的图象： ⑴]3,1[,2-∈-=x x y ；⑵21,{1,2,3}y x x =-∈；⑶1,,y x x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 110≥<<x x例6：某人开车沿直线旅行，先前进了a km ，到达目的地后游玩用去了一段时间，然后原路返回b km(b<a)，再前进c km ，此人离起点的距离s 与t 的关系示意图是下图中的① ② ③ ④例7：已知函数2()1f x x =+，求)1(f ，)]1([),2(),4(f f a f f ，(1),[()]f x f f x -.tttt三、拓展延伸、例8：已知函数f (x) =21x 2–x+23的定义域为{x |1b x ≤≤}， 值域为{y|1b y ≤≤}其中b>1,求实数b 的值.四、课后研学：1．下列四组函数中表示同一函数的序号是 _______________.① f (x)=| x | 与g(x)=2x ；②y=x 0 与y=1； ③y=x+1与y=112--x x ；④y=x －1与y=122+-x x . 2．已知f(x)=⎩⎨⎧>+-≤+)1(3)1(1x x x x ,则f(f(25))=____________.3．已知函数43)(2--=x x x f 的定义域为[]m ,0，值域为,4,425⎥⎦⎤⎢⎣⎡-- 则实数m 的取值范围是_____________________.4．求下列函数的定义域：（1）|x |x 1)x (f -= ； （2）13x x 1)x (f -++-= . （3） 函数y=12-+x x 的定义域为 ____________________.5．作出下列函数的图象：⑴；}3,2,1,0,1{,)1(-∈-=x y x⑵1y x =--； ⑶ ⎩⎨⎧-+=x x y 312 00>≤x x .6．求下列函数的值域：⑴]3,1(,12∈-=x x y ；⑵)3,1[),0(,1-∈≠-=x m mx y ；⑶]3,1[,3422-∈+-=x x x y 。

第十八天　函数的基本概念与简单性质1. 求函数的定义域时一定要找出自变量满足的所有条件．2. 函数f (x )的值域可以记为{y |y ＝f (x )，x ∈A }．3. 函数可以理解为非空数集A 与非空数集B 之间建立的一个单值对应．4. 函数的单调性：如果函数f (x )在D 上是增函数，当x 1<x 2时，那么f (x 1)<f (x 2)，如果f (x )在D 上是减函数，结论则相反．5. 判断函数奇偶性的原则：即首先要看定义域是否关于原点对称；其次看f (－x )与f (x )之间的关系．偶函数的图象关于y 轴对称，图象关于y 轴对称的函数一定是偶函数；奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．1. 求下列函数的定义域：(1) f (x )＝；(2) g (x )＝.x －11x ＋1_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2. 求下列函数的值域：(1) f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}；(2) f (x )＝(x －1)2＋1._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3. 求下列函数的最小值：(1) y ＝x 2－2x ；(2) y ＝，x ∈[1,3]．1x_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4. 判断函数f (x )＝x 3＋5x 是否具有奇偶性．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________　(参考时间60分钟　满分100分)班级________ 姓名________ 成绩________ 家长签字________一、 选择题(每题5分，共30分)1. (*)下列图象表示函数图象的是( )2. (*)设函数f (x )＝Error!则f (f (－2))＝( )A. －1B. 14C.D. 12323. (*)函数y ＝的定义域是( )x ＋32xA. [－3，＋∞)B. (0，＋∞)C. (－3，＋∞)D. [－3,0)∪(0，＋∞)4. (*)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f 的x 取值(13)范围是( )A. B. (13，23)[13，23)C. D. (12，23)[12，23)5. (**)已知奇函数f (x )在x ≥0时的图象如图所示，则不等式xf (x )<0的解集为( )A. (1,2)B. (－2，－1)C. (－2，－1)∪(1,2)D. (－1,1)6. (**)若函数f (x )＝单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. B. (94，3)[94，3)C. (1,3)D. (2,3)二、 填空题(每题5分，共20分)7. (**)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.8. (**)已知函数f (x )＝ax 2＋(b －3)x ＋3，x ∈[a 2－2，a ]是偶函数，则a ＋b ＝_________________________________________________________________.9. (**)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f (x )，若函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式<0的解集为________．f x x10. (***)记max{a ，b }＝Error!则函数f (x )＝max{x 2，－x ＋2}的最小值为_________________________________________________________________．三、 解答题(第11、12题每题16分，第13题18分)11. (**)已知函数f (x )满足2f (x )＋f ＝3x ，求f (x )．(1x )______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________12. (**)已知函数f (x )＝(a ∈R )，且x ∈R 时，总有f (－x )＝－f (x )成立．a －2x1＋2x(1) 求a的值；(2) 判断并证明函数f(x)的单调性；(3) 求f(x)在[0,2]上的值域．_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 13. (***)已知函数f(x)对于一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1) 求f(0)的值，并证明：f(x)为奇函数；(2) 若f(1)＝3，求f(－3)的值．_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________第十八天　函数的基本概念与简单性质教材例题回顾练1. (1) {x|x≥1}　(2) {x|x≠－1且x∈R}2. (1) {1，2,5}　(2) {y|y≥1}3. (1) y min ＝－1　(2) y min ＝4. 奇函数13暑期限时检测1. C 解析：根据函数的定义，对任意的一个x 都存在唯一的y 与之对应，而A 、B 、D 都是一对多，只有C 是多对一．故选：C.2. C 解析：因为Error!所以f (－2)＝2－2＝，f (f (－2))＝f ＝1－＝.14(14)14123. D 解析：由Error!得x ≥－3且x ≠0.所以函数y ＝的定义域是[－3,0)∪(0，＋x ＋32x ∞)．故选D.4.A 解析：因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，所以不等式等价为f (|2x －1|)<f ，因为f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，(13)所以|2x －1|<，解得<x <.故选A.1313235. C 解析：(1) x >0时，f (x )<0，所以1<x <2，(2) x <0时，f (x )>0，所以－2<x <－1，所以不等式xf (x )<0的解集为(－2，－1)∪(1,2)．6. B 解析：因为函数f (x )＝Error!单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3－a >0且a >1.但应当注意两段函数在衔接点x ＝7处的函数值大小的比较，即7(3－a )－3≤a ，解得a ≥，综上，实94数a 的取值范围是.故选B.[94，3)7. 12　解析：因为当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，所以f (－2)＝－12，又因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (2)＝12.8. 4　解析：因为函数f (x )＝ax 2＋(b －3)x ＋3，x ∈[a 2－2，a ]是偶函数，所以a 2－2＋a ＝0，所以a ＝－2或a ＝1.因为a 2－2<a ，所以a ＝1.因为偶函数的图象关于y 轴对称，所以－＝0，所以b ＝3，所以a ＋b ＝4.故答案为4.b －32a9. (－1,0)∪(0,1)　解析：由题意得到f (x )与x 异号，故不等式<0可转化为f x xError!或Error!根据题意可作函数图象，如图所示：由图象可得：当f (x )>0，x <0时，－1<x <0；当f (x )<0，x >0时，0<x <1，则不等式<0f x x 的解集是(－1,0)∪(0,1)．10. 111. 解：因为2f (x )＋f＝3x ①，(1x )所以2f ＋f (x )＝　②，(1x )3x 所以由2①－②，得3f (x )＝6x －，3x所以f (x )＝2x －.1x12. 解：(1) 因为f (－x )＝－f (x )，所以＝－，即＝，所以a ＝a －2－x 1＋2－x a －2x 1＋2x a ·2x －11＋2x 2x －a 1＋2x 1，所以f (x )＝.1－2x1＋2x(2) 函数f (x )为R 上的减函数．因为f (x )的定义域为R ，所以任取x 1，x 2∈R ，且x 2>x 1，所以f (x 2)－f (x 1)＝－1－2x 21＋2x 21－2x 11＋2x 1＝，2 2x 1－2x 2 1＋2x 1 1＋2x 2因为x 2>x 1，所以2x 2>2x 1>0，所以f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)，所以函数f (x )为R 上的减函数．(3) 由(2)知，函数f (x )在[0,2]上为减函数，所以f (2)≤f (x )≤f (0)，即－35≤f (x )≤0，即函数的值域为.[－35，0]13. 解：(1) 因为函数f (x )对于一切实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝0，则f (x )＝f (x )＋f (0)，所以f (0)＝0.令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )，所以f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2) 因为f (1)＝3，所以f (2)＝f (1)＋f (1)＝6，f (3)＝f (1)＋f (2)＝9.又f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝－9.。

数学必修 第2课时 §2.1 函数的概念和图象⑵【学习目标】一、知识与技能能根据函数表达式求出其定义域，会求简单的复合函数的定义域；二、过程与方法：探究与活动，掌握常见求定义域的方法。

对函数不同角度的认识。

三、情感、态度与价值观对用数学知识研究生活中相关联量有一个认知，从而增加对学数学的兴趣.【教学重点】函数定义域的求法【教学难点】复合函数的定义域的求法。

【教学过程】一、 复习二、 例题分析：例1、求下列函数的定义域，并用区间来表示。

⑴ 23)(+=x x f ； ⑵ xx x f -+-=21||4)(；⑶ x y 11111++=⑷x x x x f -+=||)1()(0 ；例2、⑴已知函数)(x f 定义域是[]2,0，求函数)(2x f 的定义域。

⑵已知函数)72(+x f 定义域是[]5,2-，求函数)(x f 定义域。

⑶已知函数)(x f 定义域是()1,0 , 求)(x g =)21()21(--+x f x f 的定义域。

课堂练习1：⑴已知函数)(x f 定义域是[]2,3-，求函数)3(+x f 的定义域。

⑵已知函数)12(-x f 定义域是[]2,0, 求函数)(x f 定义域。

小结：根据函数解析式y=f(x) 确定定义域时，常有以下几种情况：①如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R②如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分不等于零的监察部数的集合；③如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；④如果f(x)是由几个部分数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分数学式子都有意义的实数的集合的交集； ⑤如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式有意义且符合实际意义的实数的集合。

如一矩形的宽为x ，长是宽的2倍，其面积为y=2x 2，此函数的定义域为x>0而不是全体实数例3.k 为何值时，函数12822++-=kx kx kx y 的定义域为R ？。

第10课时 §2.1 函数的简单性质⑸-习题课【教学目标】一、知识与技能1．从形与数的两个方面进行引导，使学生理解函数单调性、奇偶性的概念；2．通过复合函数单调性、奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象能力，渗透数形结合的数学思想方法；二、过程与方法从代数角度来严格论证并总结规律三、情感、态度与价值观数学化、符号化思考问题【教学重点】复合函数单调性、奇偶性的判断【教学难点】复合函数单调性、奇偶性的综合运用【教学过程】一、复习回顾1、函数单调性、单调区间；2、函数奇偶性；3、复合函数的奇偶性和单调性的综合运用。

二、例题分析例1、（1）已知：函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0,)+∞上是增函数，证明：()y f x =在(,0)-∞上也是增函数（2）已知)(x f 是偶函数，它在区间],[b a 上是减函数，)0(b a <<，试证：)(x f 在区间],[a b --上是增函数。

说明：函数的奇偶性和单调性的综合：奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致；偶函数则在在对称于原点的两个区间上的单调性相反！例3、若)(x f 在),0()0,(+∞⋃-∞上为奇函数，且在),0(+∞上为增函数，0)2(=-f解不等式0)(<⋅x f x例4、已知)(x f 是定义在R 上的函数，对任意的R y x ∈,都有)()(2)()(y f x f y x f y x f ⋅=-++，且)0)0(≠f（1）求证：1)0(=f （2）判断函数)(x f 的奇偶性例5、设函数)(x f 对于任意R y x ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，0)(<x f ，2)1(-=f 。

（1）求证：)(x f 是奇函数 （2）试问在33≤≤-x 时，)(x f 是否具有最值？如果有，求出最值，如果没有，说明理由。

三、巩固练习：1、函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是增函数，若)2()(f a f ≤，则 实数a 的取值范围是（ ）A.2≤aB.2-≥aC.22≤≤-aD.22≥-≤a a 或2、已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） ①|)(|x f y = ②)(x f y -= ③)(x f x y ⋅= ④x x f y +=)(A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④3、设函数))((R x x f ∈为奇函数，)2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=，则=)5(f （ ） A. 0 B.1 C.25 D.5 4、设奇函数)(x f 的定义域为[-5，5]，若当]5,0[∈x 时，)(x f 的图象如右图，则不等式0)(<x f 的解集为5、已知函数()f x 是定义在 R①()0f x =；②若 ()f x 在 [0, )∞+上有最小值 -1，则()f x 在)(0,∞-上有最大值1；③若 ()f x 在 [1, )∞+上为增函数，则()f x 在](1,-∞-上为减函数；其中正确的序号是：6、偶函数()f x 在[]0,π上单调递增，则(3),()2f f f π--从小到大排列的顺序是 ；四、作业。

江苏省南通市启东中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知()f x 为定义在R 上且周期为5的函数，当[)0,5x ∈时，()243f x x x =-+.则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的增区间为()()15,2535,55k k k k ++⋃++，k Z ∈B ．若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1C ．当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4 D ．若()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，则k 的取值范围为12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】首先作出()f x 的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如1k =时经分析可得()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；对于选项B ：由图知若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1， 故选项B 正确；对于选项C ：()10f =，()43f =，由图知当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4，故选项C 正确；对于选项D ：当1k =时，直线为2y x =-过点()5,3，()f x 也过点()5,3，当10x =时，1028y =-=，直线过点()10,8，而点()10,8不在()f x 图象上，由图知：当1k =时，直线为2y x =-与()y f x =有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，故选：BC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2．函数()()1xf x x R x=∈+，以下四个结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是()1,1- B ．对任意x ∈R ，都有()()12120f x f x x x ->-C ．若规定()()()()()11,n n f x f x f x ff x +==，则对任意的(),1n xn N f x n x*∈=+ D ．对任意的[]1,1x ∈-，若函数()2122f x t at ≤-+恒成立，则当[]1,1a ∈-时，2t ≤-或2t ≥【答案】ABC 【分析】由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C 中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围. 【详解】由函数解析式可得11,01()11,01x x f x x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪-⎩，有如下函数图象：∴()f x 的值域是()1,1-，且单调递增即()()12120f x f x x x ->-(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB 正确； 对于C ，有()11x f x x =+，若()1,1(1)n x n N f x n x*-∈=+-， ∴当2n ≥时，11(1)||()(())1||1||1(1)||n n xx n x f x f f x x n x n x -+-===+++-，故有(),1n xn N f x n x*∈=+.正确. 对于D ，[]1,1x ∈-上max 1()(1)2f x f ==，若函数()2122f x t at ≤-+恒成立，即有211222t at -+≥，220t at -≥恒成立，令2()2h a at t =-+，即[]1,1a ∈-上()0h a ≥， ∴0t >时，2(1)20h t t =-+≥，有2t ≥或0t ≤（舍去）；0t =时，()0h a 故恒成立；0t <时，2(1)20h t t -=+≥，有2t ≤-或0t ≥（舍去）；综上，有2t ≥或0t =或2t ≤-；错误. 故选：ABC 【点睛】 方法点睛：1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.2、数学归纳法：当1n =结论成立，若1n -时结论也成立，证明n 时结论成立即可.3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.3．已知函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根个数可能为（ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】ABC 【分析】以()1f x =的特殊情形为突破口，解出1x =或3或45或4-，将12x x+-看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可. 【详解】 由基本不等式可得120x x +-≥或124x x+-≤-， 作出函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩的图像，如下：①当2a >时，1224x x +-≤-或1021x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为4； ②当2a =时，1224x x +-=-或1021x x <+-<或122x x+-=， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为6； ③当12a <<时，12424x x -<+-<-或1021x x <+-<或1122x x<+-< 或1223x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为8； ④当1a =时，124x x +-=-或1021x x <+-<或121x x +-=或123x x+-=，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为7； ⑤当01a <<时，1420x x -<+-<或1324x x<+-<，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2； ⑥当0a =时，120x x +-=或1324x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为3； ⑦当0a <时，123x x+->， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2； 故选：ABC 【点睛】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.4．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1xf x e x =+，下列命题正确的是（ ）A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1xf x e x =+B ．若()()33f x f x --=-，则()()32g x f x e =+在()6,0x ∈-上有3个零点 C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<D ．若()()3f x f x +=，方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为2312k e e-<<- 【答案】BC 【分析】A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e =-有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，则2312k e e-<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1xf x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函数，所以()()()1xf x f x ex -=-=-+，A 错误；B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2xf x ex '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()323f e-=-，()2120f e-=-<，()10f -=， 作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e=-有3个交点，即函数()()32g x f x e=+在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()2120f e -=-<，所以2312k e e -<≤-，D 错误. 故选：BC 【点睛】本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.5．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（ ）A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有3个零点 D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立, 即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,又(1)1g =,所以max 212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.6．若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x ，当0x <时，23()22f x x ax a =++(a ∈R )，则下列说法正确的是（ ）A ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a << B ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则48a << C ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a > D ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则4a > 【答案】AC 【分析】由题知()f x 是R 上的奇函数，则由0x <时的解析式可求出()f x 在R 上的解析式.先讨论特殊情况0x =为方程的根，则可求出0a =，此时方程化为()0f x =，而函数()f x 为R 上的减函数，则方程仅有一个根.当0x ≠时，由分段函数分类讨论得出0x <时，1(1)2(1)a x x =-+++-+，0x >时，4242a x x =-++-.利用数形结合思想，画出图象，则可得知方程()2af x ax =+不同的实数根个数分别为2个和4时，参数a 的取值范围. 【详解】 因为()()0f x f x 所以()()f x f x -=-，所以()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =， 当0x >时，0x -<，23()22f x x ax a -=-+， 所以23()()22f x f x x ax a =--=-+-， 综上2232,02()0,032,02x ax a x f x x x ax a x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪-+->⎩，若0x =是方程()2af x ax =+的一个根， 则0a =，此时()2af x ax =+，即()0f x =， 而22,0()0,0,0x x f x x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，在R 上单调递减，当0a =时，原方程有一个实根. 当0x <时，23222a x ax a ax ++=+， 所以20x ax a ++=，当1x =-时不满足，所以21(1)21(1)x a x x x =-=-++++-+， 当0x >时，23222ax ax a ax -+-=+， 所以220x ax a -+=，当2x =时不满足，所以242422x a x x x ==-++--，如图：若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根， 则0a <或48a <<；若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a >. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程()2af x ax =+进行参数分离，再借助数形结合法，求出对应的参数的取值范围.7．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ） A ．()f x x =B ．()222f x x x =-+C ．()1f x x x=+D ．()1f x x=【答案】ABD 【分析】根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.【详解】解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，A ：())0f x x =≥，若()()f m mf n n⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，所以()f x =“和谐区间”[]0,1；B ：()()222f x x x x R =-+∈，若 ()()222222f m m m m f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩， 所以()222f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m mf n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；若()()11f m m nmf n n mn⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，即 21111m n m m m n n m n ⎧+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩，化简得：2210(1)m m m m ++=+， 即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1f x x x=+不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，， 单调递减，则 ()()11f m n mf n mn ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 不妨令122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以()1f x x =存在“和谐区间”1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.8．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x mh x g x m⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）A ．()2f x x =，()g x =B ．()102xf x -=+，()23x g x x-=C ．()21x f x x+=，()ln 1ln x x g x x +=D ．()221x f x x =+，()()21xg x x e -=--【答案】BD 【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】解：()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，()()0,()()f x g x f x g x -→>．对于①，()2f x x =，()g x =当1x >时，令()()()2F x f x g x x =-=，由于()20F x x '=->，所以()h x 为增函数，不符合x →∞时，()()0f x g x -→，所以不存在分渐近线； 对于②，()1022xf x -=+>，()232,(1)x g x x x-=<> ()()f x g x ∴>，2313()()10210xxx f x g x x x--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，因为当1x >且x →∞时，()()0f x g x -→，所以存在分渐近线；对于③，21()x f x x+=，ln 1()ln x x g x x +=，21111111()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x++-=-=+--=-当1x >且x →∞时，1x 与1ln x 均单调递减，但1x的递减速度比1ln x 快，所以当x →∞时，()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，22()1x f x x =+，()()21xg x x e -=--，当x →∞时，22()()220+1222+1x x x f x g x x e x x e--=-+++=→，且()()0f x g x ->，因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是BD ． 故选：BD ． 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.二、导数及其应用多选题9．已知2()ln f x x x =，2()()f x g x x'=，()'f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点C ．当120x x e <<< 时，221212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32m ≥D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()g x ，再利用导数确定()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，得1212ln 10ln 2x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确2ln 1()x g x x+=， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得121ln 2x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<， 故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在12e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数．当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >()g x ∴的大致图象为()g x ∴只有一个零点，故B 错．记2()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥32m ∴≥． 故C 正确．2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个交点．()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得320x e -=，当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，332203()21202H x e e --⎡⎤⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0(0,)x x ∈时，322ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．10．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上 B ．若阿基米德三角形PAB 为正三角形，则其面积为334C ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩， 解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx mx kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，1122x x =-⇒=-， 因此正三角形PAB， 所以正三角形PAB的面积为11sin 602224︒==， 故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时， 所以1212121222121122122114PAPBx x x xx x kk x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：14y kx =+所以P 点坐标为：1(,)24k -，点 P 到直线AB 的距离为：=||AB ===，因为12121,4x x k x x +==-，所以21AB k =+， 因此直角PAB的面积为：2111(1)224k ⨯+=≥， 当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以1||AB x x ===-，点P 到直线AB 的距离为：212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=， 故本选项说法不正确.故选：ABC【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.。

第二十二天 函数的性质的综合应用1. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法：利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质．如若f (x )，g (x )为增函数，则：① f (x )＋g (x )为增函数；② 1f x为减函数(f (x )>0)；③ f x 为增函数(f (x )≥0)；④ f (x )g (x )为增函数(f (x )>0，g (x )>0)；⑤ －f (x )为减函数．(3) 利用复合函数关系判断单调性法则是“同增异减”，即若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．(4) 图象法奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2. 函数奇偶性和单调性的相关关系(1) 注意函数y ＝f (x )与y ＝kf (x )的单调性与k (k ≠0)有关． (2) 注意函数y ＝f (x )与y ＝1f x的单调性之间的关系．(3) 奇函数在[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相反的单调性．(参考时间60分钟 满分100分)班级________ 姓名________ 成绩________ 家长签字________一、 选择题(每题5分，共30分)1. (*)已知函数f (x )＝1x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B ＝( )A. 12B. －12C. 1D. －12. (*)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A. y ＝1xB. y ＝lg xC. y ＝|x |－1D. y ＝2－x 23. (*)已知偶函数f (x )的定义域是R ，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则a ＝f (－2)，b ＝f (π)，c ＝f (－3)的大小关系是( )A. a <c <bB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b4. (**)已知奇函数f (x )在区间[1,6]是增函数，且最大值为10，最小值为4，则其在[－6，－1]上的最大值、最小值分别是( )A. －4，－10B. 4，－10C. 10,4D. 不确定5. (**)已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋b 是偶函数，那么函数g (x )＝log a x －1的定义域为( )A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12B. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C. (0,2]D. [2，＋∞)6. (**)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A. －1B. 1C. 6D. 12二、 填空题(每题5分，共20分)7. (**)已知函数f (x )＝2x 2－kx ＋1在区间[1,3]上是单调函数，则实数k 的取值范围为________．8. (**)已知y ＝f (x )在定义域R 上为减函数，且f (1－a )<f (2a －5)，则a 的取值范围是________．9. (**)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则f (1)，f (－2)，f (3)的大小关系是________．10. (**)若函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间(2，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围为________．三、 解答题(第11、12题每题16分，第13题18分)11. (**)已知函数f (x )＝x ＋1x.(1) 用定义证明：f (x )在[1，＋∞)上是增函数； (2) 求f (x )在[1,4]上的最大值及最小值．_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 12. (**)已知函数f (x )＝3x＋m3x ＋1是奇函数．(1) 求实数m 的值；(2) 用函数单调性定义证明：f (x )是R 上的增函数．_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 13. (***)已知f (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )． (1) 求函数f (x )的定义域；(2) 判断函数f (x )的奇偶性，并加以证明； (3) 解不等式：f (x －1)＋f (1－x 2)<0._________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________。

2.1.1 函数的概念、定义域一.学习目标1.理解函数的概念，明确函数的三要素；2.会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法。

二.温故习新1、观察下列两个非空数集A 、B 之间的元素有什么对应关系？A 乘2B A 平方 B A 求倒数 Bvv (1) (2) (3)它们的共同特点是：A ，B 都是两个非空数集；对于集合A 中的每一个数，按某种对应关系，在集合B 中都有惟一的数和它对应。

2、函数定义：一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为：y=f(x)， x ∈A其中，x 称为自变量，所有的（输入值）x 组成的集合A 叫做函数的定义域。

与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，所有（输出值）y 组成的集合{ y|y=f(x)，x ∈A }叫做函数的值域。

由集合A 、集合B 和对应法则三部分组成，称为函数的三要素。

三．释疑拓展题型一：判断一个对应关系是否为函数关系 例题1 判断下列对应是否为函数：⑴R x x xx ∈≠→,0,2； ⑵y x →，这里R y N x x y ∈∈=,,2； ⑶R y R x y y x ∈∈=→,,5,； ⑷[][]2,0,4,0,2∈∈→y x xx ；⑸N y Z x x y y x ∈∈-=→,|,2|,； ⑹[)R y x x y y x ∈+∞∈=→,,0,,；变式跟踪1 下列5个对应中能构成A 到B 的函数的序号为 。

（1）A ＝R ，B {}0>=x x ，对应法则x x f →:;(2)A=Z,B=N,对应法则,:B A f →求平方； (3)A ＝Z ，B ＝Z ，对应法则B A f →:，求算术平方根；(4)A ＝N ，B ＝Z ，对应法则,:B A f →求平方根；(5)[][]3,3,2,2-=-=B A ，对应法则B A f →:，求立方。

第十课时 §1.3.2 三角函数的图象与性质（1）【教学目标】 一、知识与技能：1.会用五点法画正弦、余弦函数的图象；2.记住正弦、余弦函数的特征；3.弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系 二、过程与方法通过作图来认识三角函数性质，充分发挥图象在认识和研究函数性质中的作用，渗透“数形结合”思想。

三、情感态度价值观：通过正余弦函数图象的理解，使学生从感性到理性的进步，体会从图形概括抽象，使学生理解动与静的辨证关系教学重点难点：几何法作正弦曲线 【教学过程】一、新课讲解1．利用单位圆中正弦线作正弦函数图象作法：（几何作法）（1）在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从⊙1O 与x 轴的交点A 起，把⊙1O 分成12等份，过⊙1O 上各点作x 轴的垂线，可得对应于0,,,,,2632ππππ等角的正弦线；（2）把x 轴上0~2π这一段分成12等份，把角x 的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与x 轴上的点x 重合； （3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象。

sin y x =，x R ∈ππ- 2π- cos y x =，x R ∈2π32π2π-32π- 因为终边相同的角的函数值相同，所以，函数sin y x =，[2,2(1)]x k k ππ∈+（k Z ∈）且0k ≠的图象与函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象的形状完全相同，只是位置不同，于是只要将函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象向左、右平移，就可得到函数sin y x =，x R ∈的图象。

2．余弦函数的图象由于cos cos()sin[()]sin()22y x x x x ππ==-=--=+，所以余弦函数cos y x =， x R ∈与函数sin()2y x π=+,x R ∈是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：正弦曲线向左平移2π个单位得到，即：3．五点法作图：找出关键五点：平衡点、最高（低）点sin y x =，[0,2]x π∈；向左平移2π个单位 32π2ππ 2π注意：（1）与函数y=sin(x+2π的图象相同（2）将y=sinx 的图象向左平移2π即得y=cosx 的图象 （3）也同样可用五点法作图：的五个点关键是：(0,1) (2π-1) (23π4、正弦、余弦函数的定义域正、余弦函数的值域二、例题分析例1、 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]，(2)y=－cosx ，x ∈[0，2π]，例2、利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x例3、求下列函数的定义域：（1）y = （2）1sin 1y x =+；（3）lgsin y x =例4、求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么？ （1）cos 1y x =+，x R ∈； （2）sin 2y x =，x R ∈．三、课堂小结：1．正弦、余弦函数的图象的几何作法；2．“五点法”作图3.运用函数图象求解函数定义域. 四、作业：1．用五点法作图：（1）y=1-sinx ， x ∈ [0，2π] （2）y=3cosx ，x ∈[0，2π] （3）y=2sinx-1，x ∈[0，2π] （4）y=sin|x|，x ∈[-2π，2π] 2．求函数定义域 (1)1sin 1-=x y (2) )3sin 2lg(+=x y (3)xy sin 1-= (4))3sin 2lg(+=x y +29x -3．求函数最值域并求出此时自变量x 的集合 （1）32sin y x =+； （2）cos 3cos 2x y x +=+（3）sin sin 2xy x =+。

江苏省启东中学2018-2019 年高中数学苏教版必修一教案设计：第11讲+函数的奇偶性（1）第 11 讲函数的奇偶性（1）一、知识新授、1．假如对于随意的x A ，都有f(-x)= f(x)，那么称函数f(x)是偶函数；假如对于随意的x A ，都有f(-x)=-f(x)，那么称函数f(x)是奇函数 .假如函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)拥有奇偶性。

2．一般地，奇函数的图象对于原点对称，反过来，假如一个函数的图象对于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象对于 y 轴对称，反过来，假如一个函数的图象对于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

二、例题剖析：例 1、判断以下函数能否为偶函数或奇函数：（ 1） f(x)＝ x2－1；（2）f(x)＝2x；（3）f(x)＝2| x|；（ 4） f(x)＝ (x－ 1) 2；（5）f(x)＝x3＋5x．例 2、判断函数f(x)=x3+5x 能否拥有奇偶性。

研究：已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f (2) =10,则f(2)=______.例 3、判断以下函数的奇偶性：① f ( x) 1 x2x21② f ( x) 1 x 2| x 2 | 2x2 (x1),x0③g (x) 0,x0x2 ( x1),x0三、拓展延长：例 4、21．已知函数 f ( x )=x +ax+3（ 1）若 f (x)为偶函数，务实数 a 的值；（ 2）若 f (x)在1,内递加，务实数 a 的取值范围。

2．已知 f ( x) (m21)x2(m 1)x n 2 ，当 m, n 为什么值时， f ( x) 为奇函数。

3.设奇函数 f (x) 的定义域为[-5，5]，若当 x[ 0,5]时，yf ( x) 的图象以以下图，则不等式 f ( x) 0 的解集y=f(x)为。

5 xO2例 5 、已知定义在(, ) 上的函数 f ( x) 的图象关于原点对称，且当x0 时，f ( x) x 22x 2 ，求函数 f (x) 的分析式。

2.2。

9课时 函数性质的应用一、学习目标1．会利用函数单调性和奇偶性证明问题;2．能综合应用函数的奇偶性和单调性解决问题．二、释疑拓展题型一 利用函数单调性和奇偶性证明问题例1.若)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在),0(+∞上是增函数,求证：)(x f 在)0,(-∞上是单调增函数．变式跟踪1：（1）已知函数)(x f 定义在)0)(,(>-l l l 上,求证：)()(x f x f -+是偶函数，)()(x f x f --是奇函数．（2）已知函数)(x f y =是奇函数，它在),0(+∞上是单调增函数，且0)(<x f ，试问：)(1)(x f x F =在)0,(-∞上是单调增函数还是单调减函数？证明你的结论．题型二 函数单调性和奇偶性的综合应用例2．(1）已知函数)(x f 在定义域[]1,1-上是奇函数，且是减函数，若0)1()1(2<-+-a f a f，求实数a 的取值范围．（2）定义在[]2,2-上的偶函数)(x f 在区间[]2,0上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实数m 的取值范围．变式跟踪2：（1）设函数)(x f 在R 上是偶函数,在区间()0,∞-上单调递增,且)322()12(22+-<++a a f a a f ,求实数a 的取值范围．（2）已知)0,0,,,(1)(2>>∈++=b a R c b a cbx ax x f 是奇函数，当0>x 时， )(x f 有最小值2,且)(x f 的单调增区间是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21，试求c b a ,,的值．三、反馈提炼1．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的奇函数，且2)(5)(3)(++=x g x f x F ,若b a F =)(,则)(a F -=_____________．2．已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调递减,且0)2(=f .若0)1(>-x f ，则x的取值范围是____________．3．若函数[]3,3,2)()(-∈+=x x g x f ，且)(x g 满足)()(x g x g -=-，若)(x f 的最大值和最小值分别是M 和m ，则=+m M ____________．4．若奇函数)(x f 在区间[]7,3上是单调减函数，在区间[]7,3上的最大值为8，最小值为-1，则=-+-)3()7(2f f ____________．5．函数)(),(x g x f 在区间[])0(,>-a a a 上都是奇函数,有下列结论：1.)()(x g x f -在[]a a ,-上是奇函数；2.)()(x g x f +在[]a a ,-上是奇函数；3.)()(x g x f ⋅在[]a a ,-上是偶函数；4.0)0()0(=+g f 。

3.1.2指数函数的综合应用一、学习目标1．了解指数函数模型在实际中的应用．2．巩固指数函数的图像及其性质二、温固习新1．已知：,1,10>><<y x a 则下列各式中正确的是 ．①a a y x < ②y x a a < ③y x a a > ④a x y a >2.若函数)(x f y =的定义域为)1,0(，则函数)2(x f 的定义域为 ．3.若关于x 的方程a a x -+=523)43(有负实根，则实数a 的取值范围是 ．4.若函数141)(++=x a x f 是奇函数，则=a ． 若函数141)(-+=x a x f 是奇函数，则=a ． 5. 函数342)21()(-+-=x x x f 的增区间是 ，减区间是 ．6.函数21)31()(x x f -=的定义域是 ，值域是 ．三、释疑拓展【例1】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的84%，写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．变式跟踪1：某种储蓄按复利计算，若本金为a 元，每期利率为r ，设存期是x ，本利和（本金加上利息）为y 元。

（1）写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式；（2）如果存入本金1000元，每期利率为25.2%，计算5期后的本利和，按这样的利率，第几期后的本利和，开始超过本金的1.5倍？；（3）要使10期后的本利和翻一番，利率应为多少（精确到0.001）？（参考数据：11768.10225.15≈，49258.10225.118≈，5261.10225.119≈，07177.1210=）【例2】已知函数x ax x x g a f x f 43)(,18)2(,3)(-==+=的定义域为]1,0[， （1） 求函数)(x g 的解析式；（2） 证明函数)(x g 在]1,0[上是单调减函数，；（3） 求函数)(x g 的值域．变式跟踪2：已知函数x x f 2)(=，对于任意R x x ∈21,，能否确定)]()([2121x f x f +和 )2(21x x f +的大小关系，请说明理由．四、反馈提炼1.函数91312-=-x y 的定义域是 ，22)21(x x y -=值域是 ． 2.函数m x x f ++=131)(是奇函数，则=m ．3.函数)(x f y =的图像向右、向上分别平移1个单位得到函数x y 2=，则=)(x f ．4.设)()1221()(x f x F x ⋅-+=是偶函数，且)(x f 不恒等于0，则可得函数)(x f 是 函数（判断奇偶性）．5.已知c bx x x f +-=2)(满足)1()1(x f x f -=+且,3)0(=f 则)(πb f 和)(πc f 的大小关系是 ．6.某人向银行贷款10万元做生意，约定按年利率为7%复利计算利息，写出x 年后需要还款总数y (单位：万元)和x 之间的函数关系式是 ．7.一个电子元件厂去年生产某种规格的电子元件a 个，计划从今年开始的m 年内，每年生产此种规格的电子元件的产量比上一年增长%p ，则此种规格的电子元件的年产量y 随年数x 变化的函数关系是 ．8．某工厂的产值月平均增长率为r ，则年平均增长率是________________________。

2.1.3 函数的图像一.学习目标1.掌握作函数图像的一般步骤，会运用平移变换和翻转变换作图；2.掌握函数图像的简单应用。

二.温故习新3.函数的图像：将函数()f x 自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值0()f x 作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点00(,())x f x ，当 ，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图像。

三．释疑拓展题型一：函数图像的作法例题1 作出下列函数的图像：⑴ f(x)=x+1； ⑵f （x ）=()11-x 2+； ⑶(]3,2,1)(-∈=x xx f变式跟踪1：作出下列函数的图像：⑵ f(x)=x+1 {}4,3,2,1∈x ； ⑵f （x ）=()11-x 2+ [)31，∈x 。

题型二：函数图像的变化规律例题 2 在同一平面直角坐标系中作出函数2()f x x =，(1),(1),y f x y f x =-=+ ()1y f x =-，并指出它们之间的相互关系。

变式跟踪2：（1）作出223y x x =+-的图像 ，并指出由2y x =怎样变化得到。

（2）画出213-+-=x y 的图象例题3 作出下列函数的图象：⑴ x x x y 1|1|22--=； ⑵|32|2--=x x y ； ⑶3||22--=x x y变式跟踪3：作出下列函数的图象⑴ xx x y +-=||)1(0； ⑵62--=x x y ； ⑶1--=x y 。

题型三：利用图像解决函数中的问题例题4 画出2()1f x x =+的图像，并根据图像回答下列问题：（1） 比较(2),(1),(3)f f f -的大小；（2）若120x x <<（或120x x <<或12x x <），比较1()f x 与2()f x 的大小关系；（3）分别写出函数(]2()1(1,2)f x x x =+∈-，(]2()1(1,2)f x x x =+∈的值域。

2。

1。

2 函数的值、值域一.学习目标掌握求函数值域的基本思想方法；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某个区间上的值域的求法。

二。

温故习新1、若A 是函数的定义域，则对于A 中的每一个x,都有一个输出值，都有一个输出值y 与之对应，我们将 组成的集合称为函数的值域。

2、常见函数的值域(1）一次函数的定义域为 ,值域为 . （2）反比例函数的定义域为 ，值域为 。

（3)二次函数的定义域为 ，当时值域为 ；当时值域为 . 三．释疑拓展题型一：函数的值例题1 （1)已知函数25)(2+-=x x x f ，求)1(),(),2(),3(+-x f a f f f .（2)已知=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>),0(12),0(2),0(02x x x x 求)2(f ,)1(-f ，)]0([f f ,)]22([-f f ；跟踪练习1:①若⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,0,0,,0,1)(x x x x x f π，求)]}1([{-f f f 。

②已知函数⎩⎨⎧+-=))5((3)(x f f x x f )20()20(<≥x x ，求 ⑴)19(f ⑵)18(f 。

题型二：求函数的值域例题2 求下列函数的值域（1）32(11)y x x =+-≤≤;（2）2y =+1x y x =+； (4）3274222++-+=x x x x y 。

跟踪练习2 求下列函数的值域（1）312x y x +=-；(2)[)3,,1,1-∈-=x mx y ;（3）2y =4)34252+-=x x y 。

例题3 求函数2y x =+跟踪练习3 求函数12--=x x y 的值域。

题型三:二次函数最值的求解例题4 已知函数322-+=x x y ,分别求它在下列区间上的值域：（1）R x ∈； （2）{}3,2,1,0,1,2--∈x ； （3）[]2,2-∈x ;（4） []2,1∈x ； （5） [)+∞∈,0x ； （6)[]m x ,2-∈跟踪练习4 已知函数[]2()21(0),2,3f x ax ax a x =++≠∈-,求()f x 的最大值、最小值。