2019-2020学年江苏省南通市启东中学创新班高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

江苏省启东中学2019～2020学年度第一学期第一次月考高一创新班数学试卷本卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{1A =，22cos 2θ，3}，集合{cos }B θ=，若[0θ∈，2π)且B A ⊆，则θ= ( )A ．0B ．π2C ．πD ．3π22．已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos <m ，n 13>=．若n ⊥(t m +n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．4-C ．94-D ．943．下列说法正确的是( ) A ．因为sin(π)sin x x -=，所以π是函数sin y x =的一个周期；B ．因为tan(2π)tan x x +=，所以2π是函数tan y x =的最小正周期；C ．因为π4x =时，等式πsin()sin 2x x +=成立，所以π2是函数sin y x =的一个周期；D ．因为πcos()cos 3x x +≠，所以π3不是函数cos y x =的一个周期．4．将函数πsin(2)3y x =-图象上的点π(4P ，)t 向左平移(0)s s >个单位长度得到点P '．若 P '位于函数sin 2y x =的图象上，则( )A ．12t =，s 的最小值为π6 B ．t ，s 的最小值为π6C ．12t =，s 的最小值为π3D ．t ，s 的最小值为π35．已知ABC △是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为( )A ．58-B ．18C ．14D ．1186．若π3cos()45α-=，则sin2α=( )A ．725 B ．15C ．15-D ．725-7．已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02Cx x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则 ABC △一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．正三角形8．已知α∈R ，sin 2cos αα+=，则tan2α=( )A ．43B ．34C ．34-D ．43-9．已知方程2cos cos 0x x a +-=有解，则a 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[1，2]C ．1[4-，2]D ．1[4-，)+∞10．已知sin cos 2sin cos αααα+=-，则3πsin(5π)sin()2αα-⋅-=( )A ．34 B ．310C ．310±D ．310-11．如果函数3cos(2)y x ϕ=+的图象关于点4π(3，0)中心对称，则||ϕ的最小值为( )A ．π6B ．π4 C ．π3D ．π212．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足||||||DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-， 动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值是( )A ．434B ．494C D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数2tan 1y x =-的定义域是 ．14．已知a r 的方向与x 轴的正向所成的角为120o ，且||2a =r，则a r 的坐标为 ． 15．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4c o s 5A =，5cos 13C =，1a =， 则b = ．16．设a ，b ∈R ，[0c ∈，2π)，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(a ，b ，)c 的组数为 ．三、解答题：本大题共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+． ⑴证明：2a b c +=； ⑵求证：cos C ≥12． 18．(本题满分12分)已知α为第三象限角，且f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan （－α＋π）sin （π＋α）tan （2π－α）．⑴化简f (α)； ⑵若3π1cos()25α-=，求()f α的值； ⑶若32π3α=-，求()f α的值．19．(本题满分12分)已知x ∈R ，a ∈R 且0a ≠，向量2(cos OA a x =，1)，(2OB =sin 2)x a -， ()f x OA OB =⋅．⑴求函数()f x 的解析式，并求当0a >时，()f x 的单调递增区间；⑵当[0x ∈，π]2时，()f x 的最大值为5，求a 的值；⑶当1a =时，若不等式|()|2f x m -<在[0x ∈，π]2上恒成立，求实数m 的取值范围．20．(本题满分12分)已知在ABC △中，D 为BC 中点，1an 2t BAD ∠=，1an 3t CAD ∠=．⑴求BAC ∠的值；⑵若AD =，求ABC △面积．21．(本题满分12分) 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花．若BC ＝a ，∠ABC ＝θ，设△ABC 的面积为 S 1，正方形的面积为S 2．⑴用a ，θ表示S 1和S 2； ⑵当a 固定，θ变化时，求12S S 取最小值时的角θ．22．(本题满分12分)设O 为坐标原点，定义非零向量(OM a =，)b 的“相伴函数”为()sin cos ()f x a x b x x =+∈R ，向量OM =(a ，)b 称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．⑴设函数ππ()2sin()cos()36h x x x =--+，求证：()h x S ∈；⑵记(0OM =，2)的“相伴函数”为()f x，若函数()()sin |1g x f x x =+-，[0x ∈，2π]与直线y k =有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；⑶已知点(M a ，)b 满足22431a ab b -+=，向量OM 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值．当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围．。

江苏省南通市启东中学2019-2020学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.若1∈{x ，x 2}，则x =（ ） A. 1B. 1-C. 0或1D. 0或1或1-【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果 【详解】根据题意，若1∈{x ，x 2}，则必有x =1或x 2=1， 进而分类讨论：①、当x =1时，x 2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去， ②、当x 2=1，解可得x =-1或x =1（舍）， 当x =-1时，x 2=1，符合题意， 综合可得，x =-1， 故选B ．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.2.已知集合{|1}P x y x ==+，集合{|1}Q y y x ==+，则P 与Q 的关系是（ ）A. P Q =B. P Q ⊆C. P Q ⊇D. P Q φ⋂=【答案】C 【解析】试题分析：因为集合代表的是函数的定义域，代表函数的值域，，.所以，故选C.考点：集合的包含关系.3.已知集合A ={a -2，2a 2+5a ，12}，-3∈A ，则a 的值为（ ） A. 1-B. 32-C. 1或32-D. 1-或32- 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果 【详解】∵-3∈A ∴-3=a -2或-3=2a 2+5a ∴a =-1或a =-32， ∴当a =-1时，a -2=-3，2a 2+5a =-3，不符合集合中元素的互异性，故a =-1应舍去当a =-32时，a -2=-72，2a 2+5a =-3，满足． ∴a =-32．故选B ．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.4.如果集合S ={x |x =3n +1，n ∈N }，T ={x |x =3k -2，k ∈Z }，则（ ） A. S n T B. T S ⊆C. S T =D. S T ≠【答案】A 【解析】 【分析】先将两集合元素表示形式统一，再比较确定包含关系.【详解】由T ={x |x =3k -2=3（k -1）+1，k ∈Z }={x |x =3（k -1）+1，k -1∈Z } 令t =k -1，则t ∈Z ，则T ={x |x =3t +1，t ∈Z } 通过对比S 、T ，且由常用数集N 与Z 可知N n Z故S n T. 故选A ．【点睛】本题考查集合间包含关系，考查基本分析判断能力，属基础题.5.已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ）A. 50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []1,4-C. 1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. []5,5-【答案】C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2，即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.6.函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A. ()0,4B. [)0,4C. []0,4D. (]0,4【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意可知210mx mx ++>恒成立，当0m =时10>恒成立；当0m ≠时需满足0m >⎧⎨∆<⎩，代入解不等式可得04m <<，综上可知实数m 的取值范围是[)0,4考点：函数定义域7.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭x 取值范围是（）A. 12,33⎛⎫⎪⎝⎭B. 1233⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C. 12,23⎛⎫⎪⎝⎭D. 1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得1(21)()3f x f -<，再利用函数的单调性和奇偶性可得1213x -<，由此求得x 的取值范围，得到答案.【详解】由题意，函数()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞上为单调递增函数，又因为1(21)()03f x f --<，即1(21)()3f x f -<，所以1213x -<，即112133x -<-<，求得1233x <<，故选A.【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用，其中根据函数的奇偶性和函数的单调性，把不等式转化为1213x -<求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A. ()3f x x =- B. 2()3f x x x =- C. 1()1f x x =-+ D. ()f x x =-【答案】C 【解析】 【分析】由题意知A 和D 在（0，+∞）上为减函数；B 在（0，+∞）上先减后增；c 在（0，+∞）上为增函数，根据基本函数的性质判断即可.【详解】观察函数∵f (x )=3−x 在(0,+∞)上为减函数，∴A 不正确； ∵2()3f x x x =-是开口向上对称轴为32x =的抛物线,所以它在(0,+∞)上先减后增，∴B 不正确；()11f x x =-+Q 在()0,∞+上y 随x 的增大而增大，所它为增函数，∴C 正确；∵f (x )=−|x |在(0,+∞)上y 随x 的增大而减小，所以它为减函数，∴D 不正确，故选C. 【点睛】一次函数的单调性由k 的正负确定。

江苏省启东中学2018-2019学年高一数学上学期期中试题（创新班）（考试用时：120分钟 总分：150）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6＝( ) A ．－3 B ．－4 C ．－5 D ．2 2．直线x －3y －1＝0的倾斜角α的大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．已知直线l 过定点P (－1，2)，且与以A (－2，－3)，B (－4，5)为端点的线段(包含端点)有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．[－1，5] B ．(－1，5)C ．(－∞，－1]∪[5，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(5，＋∞) 4．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则{a n }的第10项等于( ) A ．1210 B ．129 C ．15D ．1105．已知{a n }的通项公式是a n ＝nn 2＋156(n ∈N ＋)，则数列的最大项是第( )项A ．12B ．13C ．12或13D ．不确定6．已知点P (x ，y )到A (0，4)和B (－2，0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为( ) A ．2 B ．4 2 C ．4 D ．8 27．设直线l 的斜率为k ，且－1＜k ≤3，求直线l 的倾斜角α的取值范围( ) A ．[0，π3)∪(3π4，π) B ．[0，π6)∪(3π4，π) C ．(π6，3π4) D ．[0，π3]∪(3π4，π)8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2，n ∈N +，设其前n 项和为S n ，则使S n ＜－5成立的正整数n 有( )A ． 最小值63B ． 最大值63C ． 最小值31D ． 最大值31 9．设入射线光线沿直线2x －y ＋1＝0射向直线y ＝x ，则被y ＝x 反射后，反射光线所在的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．3x －2y ＋1＝0D ．x ＋2y ＋3＝0 10．给出下列五个命题:①过点(－1，2)的直线方程一定可以表示为y －2＝k (x ＋1)(k ∈R)的形式； ②过点(－1，2)且在x ，y 轴截距相等的直线方程是x ＋y －1=0；③过点M (－1，2)且与直线l :Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)垂直的直线方程是B (x ＋1)＋A (y －2)＝0；④设点M (－1，2)不在直线l :Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)上,则过点M 且与直线l 平行的直线方程是A (x ＋1)＋B (y －2)＝0；⑤点P (－1，2)到直线ax ＋y ＋a 2＋a ＝0的距离不小于2． 以上命题中，正确的序号是 .A ．②③⑤B ．④⑤C ．①④⑤D ．①③11．对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数．已知正数数列{a n }满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，n ∈N +，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则1[S 1]＋1[S 2]＋…＋1[S 80]＝( )A ．2323140B ．5241280C ．2603140D ．517128012．已知数列{a n }中，a 1＝2，n (a n +1－a n )＝a n ＋1，n ∈N +．若对于任意的t ∈[0，1]，不等式a n +1n +1＜－2t 2－(a ＋1)t ＋a 2－a ＋3恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D ．[－1，3] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则a n ＝ .14．将一张坐标纸折叠一次，使点(10，0)与(－6，8)重合，则与点(－4，2)重合的点是 . 15．已知a ，b ，c 均为正数，且(2a ＋b )(b ＋2c )＝1，则1a +b +c的最大值是 ． 16．对于任一实数序列A ＝{ a 1，a 2，a 3，…}，定义A 为序列{ a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…}，它的第n 项是a n +1－a n ，假定序列(A )的所有项都是1，且a 18＝a 2017＝0，则a 2018＝________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知直线l 1：ax ＋by ＋1＝0(a ，b 不同时为0)，l 2：(a －2)x ＋y ＋a ＝0． (1)若b ＝0且l 1⊥l 2，求实数a 的值；(2)当b ＝3且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离．18．(本小题满分12分)已知直线l1：2x－y＋2＝0与l2：x＋2y－4＝0，点P(1，m)．(1)若点P到直线l1，l2的距离相等，求实数m的值；(2)当m＝1时，已知直线l经过点P且分别与l1，l2相交于A，B两点，若P恰好平分线段AB，求A，B两点的坐标及直线l的方程．19．(本小题满分12分)已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为S n，且满足2S n＝(n＋1)a n(n∈N+)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n＝3n－λa2n，若数列{b n}为递增数列，求λ的取值范围．20．(本小题满分12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3 m，|AD|＝2 m.(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则AN的长度应在什么范围内？(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小值．21．(本小题满分12分)已知△ABC 的两条高所在直线方程为x ＋y ＝0，2x －3y ＋1＝0，顶点A (1，2)，求直线BC 的方程22．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，记b n ＝4＋a n1－a n (n ∈N +)． (1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)求证：①b 2k －1＋b 2k ＜8对k ∈N +恒成立．②R n ＜4n 对n ∈N +恒成立，其中R n 为数列{b n }的前n 项和．(3)记c n ＝b 2n －b 2n －1(n ∈N +)，T n 为{c n }的前n 项和，求证：对任意正整数n ，都有T n ＜32.期中考试答案AAACC BDAAB BC13．a n ＝14．(4,-2) 15．1 16．1000 17．(1) a=2；(2)18． [解] (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ，∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴n ＋1an ＋1＝n an ，∴n an ＝n －1an －1＝…＝1a1＝1， ∴a n ＝n (n ∈N)． (2)b n ＝3n－λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2)＝2·3n －λ(2n ＋1)．∵数列{b n }为递增数列，∴2·3n－λ(2n ＋1)>0，即λ<2n ＋12·3n.令c n ＝2n ＋12·3n ，即cn cn ＋1＝2n ＋32·3n ＋1·2·3n 2n ＋1＝2n ＋36n ＋3>1.∴{c n }为递增数列，∴λ<c 1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．19．解：(1)由题意得5|4－m|＝5|2m －3|，解得m ＝－1或m ＝37．(2)设A (a ，2a ＋2)，B (4－2b ，b )，则（2a ＋2）＋b ＝2，a ＋（4－2b ）＝2，解得a ＝－52，b ＝54．所以A 56，B 54，所以k l ＝52＝－71，所以l ：y －1＝－71(x －1)， 即x ＋7y －8＝0．20.设AN 的长为x m(x >2)，则由|AN||DN|＝|AM||DC|得|AM |＝x －23x.所以S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝x －23x2.(1)由S矩形AMPN>32，得x －23x2>32.又x >2，所以3x 2－32x ＋64>0，解得2<x <38，或x >8.所以AN 的长度的取值范围为38∪(8，＋∞)．(2)因为S 矩形AMPN ＝x －23x2＝x －23(x －22＋12(x －2＋12＝3(x －2)＋x －212＋12≥2x －212＋12＝24，当且仅当3(x －2)＝x －212，即x ＝4时，等号成立．所以当AN 的长度是4 m 时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24 m 2.21.2x+3y+7=022.(1)当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，∴a 1＝－41. 又∵a n ＝5S n ＋1，a n ＋1＝5S n ＋1＋1， ∴a n ＋1－a n ＝5a n ＋1，即a n ＋1＝－41a n ，∴数列{a n }成等比数列，其首项为a 1＝－41，公比q ＝－41，∴a n ＝(－41)n，∴b n ＝n 1.(2)由(1)知b n ＝4＋(－4n －15.∵b 2k －1＋b 2k ＝8＋(－42k －1－15＋(－42k －15＝8＋16k －15－16k ＋420＝8－(16k －1(16k ＋415×16k －40＜8， ∴当n 为偶数时，设n ＝2m (m ∈N *)，则R n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2m －1＋b 2m )＜8m ＝4n ； 当n 为奇数时，设n ＝2m －1(m ∈N *)，则R n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2m －3＋b 2m －2)＋b 2m －1＜8(m －1)＋4＝8m －4＝4n ， ∴对一切的正整数n ，都有R n ＜4n ， ∴不存在正整数k ，使得R n ≥4k 成立． (3)由(1)知b n ＝4＋(－4n －15，∴c n ＝b 2n －b 2n －1＝42n －15＋42n －1＋15＝(16n －1(16n ＋425×16n＝(16n2＋3×16n －425×16n＜(16n225×16n ＝16n 25.又b 1＝3，b 2＝313，∴c 1＝34.当n ＝1时，T 1＜23；当n ≥2时，T n ＜34＋25×(1621＋1631＋…＋16n 1)＝34＋25×161＜34＋25×161＝4869＜23，∴对任意正整数n ，都有T n ＜23.。

江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期第一次月考高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 若1∈{x ，x 2}，则x =（ ）A.1B. C. 0或1 D. 0或1或2. 已知集合，集合，则P 与Q 的关系是A.B. C. D.3. 已知集合A ={a -2，2a 2+5a ，12}，-3∈A ，则a 的值为（ ）A.B. C. D.4. 如果集合S ={x |x =3n +1，n ∈N }，T ={x |x =3k -2，k ∈Z }，则（ ）A.B. C. D.5. 已知函数y =f （x ）定义域是[-2，3]，则y =f （2x -1）的定义域是（ ）.A.B. C. D.6. 函数f （x ）=的定义域为，则实数m 的取值范围是（ ）A.B. C. D.7. 已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f （2x -1）＜f （）的x 取值范围是（ ）A. B. C. D.8. 下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ）A. B. C.D.9.已知函数f（x）=4x2+kx-1在区间[1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是（）B.A.D.C.10.已知函数y =f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，且f（2a-1）＜f（1-a），则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.11.函数的最小值为（）A.0 B. C. D.12.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），若函数y=|x2-2x-3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=（）A. 0B. mC. 2mD. 4m二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设集合M={x|-1＜x＜2}，N={x|x-k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是______ ．14.设A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是______ ．15.已知集合A={x|ax2-3x+2=0，a∈R}，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值为______ ．16.已知函数是R上的递增函数，则实数m的取值范围是_____________.三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.求值：（1）-（2-π）0-+；（2）已知0＜x＜1，且x+x-1=3，求．18.设集合A={x|x2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}．（1）求集合A∩B；（2）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为A∪B，求a、b的值．19.已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；（2）若A是空集，求a的取值范围；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．20.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为P（x）（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入Q（x）（万元）满足Q（x）=，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？21.设函数是增函数，对于任意x，都有．求；证明奇函数；解不等式．22.已知二次函数满足，且．(Ⅰ)求a , b的值；(Ⅱ)若，在区间上的最小值为，最大值为，求的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，需要注意集合中元素的互异性，属于基础题.根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x=1或x2=1，进而分类讨论：x=1或者x2=1，每种情况下求出x的值，并验证是否符合集合中元素的性质，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x=1或x2=1，进而分类讨论：①、当x=1时，x2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，②、当x2=1，解可得x=-1或x=1（舍），当x=-1时，x2=1，符合题意，综合可得，x=-1，故选B．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的表示方法，进行集合间的元素或判断集合间的关系时，应该先化简各个集合，再借助数轴或韦恩图进行运算或判断，属于基础题.通过求集合P中函数的定义域化简集合p，通过求集合Q中函数的值域化简集合Q，利用集合间元素的关系判断出集合的关系．【解答】解：依题意得，P={x|x+1≥0}={x|x≥-1}，Q={y|y≥0}，∴Q⊆P，故选C．3.【答案】B【解析】【分析】由于-3∈A则a-2=-3或2a2+5a=-3，求出a的值然后再代入再根据集合中元素的互异性对a进行取舍．本题主要考察了集合中元素的互异性，属常考题型，较难．解题的关键是求出a的值后要回代到集合中利用集合中元素的互异性进行检验．【解答】解：∵-3∈A∴-3=a-2或-3=2a2+5a∴a=-1或a=-，∴当a=-1时，a-2=-3，2a2+5a=-3，不符合集合中元素的互异性，故a=-1应舍去当a=-时，a-2=-，2a2+5a=-3，满足．∴a=-．故选B．4.【答案】A【解析】解：由T={x|x=3k-2=3（k-1）+1，k∈Z}={x|x=3（k-1）+1，k-1∈Z}令t=k-1，则t∈Z，则T={x|x=3t+1，t∈Z}通过对比S、T，且由常用数集N与Z可知N⊊Z故S⊊T故选A．若t=k-1，则将T化简为S的形式，对比常用数集即可得到答案本题考查了集合间相等关系的判断与应用，属于基础题5.【答案】C【解析】【分析】本题考查复合函数定义域的求解，是基础题.根据复合函数定义域之间的关系得-2≤2x-1≤3，计算得结论．【解答】解：因为函数y=f（x）定义域是[-2，3]，所以-2≤2x-1≤3，解得-≤x≤2，因此函数y=f（2x-1）的定义域为[-，2].故选C．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数的定义域，考查含有参数的不等式恒成立问题，考查运算求解能力和分类讨论思想，属于基础题．根据题意，可得在上恒成立，当时，有在上恒成立；当时，可得，即可求出结果.【解答】解：函数的定义域为，在上恒成立，①当时，有在上恒成立，符合条件；②当时，则，解得；综上，实数的取值范围是.故选.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性及单调性,同时考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（|x|），∴不等式等价为f（|2x-1|），∵f（x）在区间[0，+∞）单调递增，∴，解得．故选A．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的单调性与单调区间的知识点，属于基础题.根据各选项逐一分析各函数的单调性即可得出答案．【解答】解：A.∵f（x）=3-x在（0，+∞）上为减函数，故A不正确；B.∵f（x）=x2-3x是开口向上对称轴为x=的抛物线，所以它在（0，+∞）上先减后增，故B不正确；C.∵f（x）=-在（0，+∞）上y随x的增大而增大，所它为增函数，故C正确；D.∵f（x）=-|x|在（0，+∞）上y随x的增大而减小，所以它为减函数，故D不正确，故选C.9.【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数的单调性的判断，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题．求出f（x）的对称轴方程，讨论f（x）在区间[1，2]上是单调增函数和减函数，注意对称轴和区间的关系，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=4x2+kx-1的对称轴为x=-，若f（x）在区间[1，2]上是单调增函数，可得-≤1，解得k≥-8；若f（x）在区间[1，2]上是单调减函数，可得-≥2，解得k≤-16，综上可得k的范围是.故选A.10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的性质的运用，利用函数y=f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，将f（2a-1）＜f（1-a）转化为：2a-1＞1-a求解，注意定义域的范围．【解答】解：函数y=f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，则有：，解得：.故选B．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的最值，属于基础题.利用换元方法，设,t≥0，则x=t2-1,将已知函数化为关于t的二次函数们进一步求出最小值.【解答】解：设=t,t≥0，则x=t2-1,,解析式化为y=,t≥0，所以t=1时，原函数的最小值为-1.故选C.12.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度中档．根据已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），分析函数的对称性，可得函数y=|x2-2x-3|与y=f（x）图象的交点关于直线x=1对称，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，又函数y=|x2-2x-3|的图象也关于直线x=1对称，故函数y=|x2-2x-3|与y=f（x）图象的交点也关于直线x=1对称，故x i=×2=m，故选B．13.【答案】(-1，+∞）【解析】【分析】本题考查集合之间的基本运算问题，是基础题．因集合M、N是数集，容易得出结论．【解答】解：∵集合M={x|-1＜x＜2}，N={x|x-k≤0}={x|x≤k}，且M∩N≠∅，∴k的取值范围是：(-1，+∞）．故答案为(-1，+∞）．14.【答案】m≤3【解析】【分析】A∩B=B⇔B⊆A，利用集合的基本关系转化为元素与集合，元素与元素的关系求解．注意B=∅情情形．本题考查的知识点是交集及其运算及集合的包含关系判断及应用，解答时容易漏掉B=∅的情况．【解答】解：①由B={x|m+1≤x≤2m-1}=∅，可得m+1＞2m-1，m＜2，满足A∩B=B．②B≠∅时，需，解得2≤m≤3，综上所述，实数m的取值范围是m＜2或2≤m≤3，即m≤3．故答案为：m≤3．15.【答案】0或【解析】【分析】通过集合A={x|ax2-3x+2=0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，方程只有一个解或重根，求出a 的值即可．解题时容易漏掉a=0的情况，当方程，不等式，函数最高次项系数带有参数时，要根据情况进行讨论．【解答】解：因为集合A={x|ax2-3x+2=0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，当a=0时，ax2-3x+2=0只有一个解x=，当a≠0时，一元二次方程只有一个元素则方程有重根，即△=9-8a=0即a=．所以实数a=0或．故答案为0或．16.【答案】m≤-10【解析】【分析】本题考查分段函数的单调性及一次、二次函数，函数f（x）是R上的单调递增函数，可得两段都是增函数，再结合函数在x=1时，二次函数的取值要大于或等于一次函数的取值，即可得出实数m的取值范围.【解答】解: 由题意可得，解得，所以m≤-10，故答案为m≤-10.17.【答案】解：（1）-（2-π）0-（+；原式=-1-+=-1-+=-+8=8.（2）由题意：0＜x＜1，∴＜0所以：（）2=x+x-1-2．∵x+x-1=3,∴（）2=1,故得=-1.【解析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出．（2）由题意0＜x＜1，且x+x-1=3，判断x-x的值为负，采用两边平方后，再开方可得答案．本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．18.【答案】解：集合A={x|x2＜9}={x|-3＜x＜3}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}={x|-4＜x＜2}；（1）集合A∩B={x|-3＜x＜2}；（2）∵A∪B={x|-4＜x＜3}，且不等式2x2+ax+b＜0的解集为（-4，3），∴2x2+ax+b=0的根是-4和3，由根与系数的关系得，解得a=2，b=-24．【解析】本题考查了集合的化简与运算，以及根与系数的关系应用问题，是基础题目．（1）化简集合A、B，根据交集的定义进行计算即可；（2）求出A、B的并集，再由根与系数的关系，即可求出a、b的值．19.【答案】解：（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-，当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，（2）若A是空集，则方程ax2+2x+1=0无解，此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1.【解析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程ax2+2x+1=0根的情况，是解答本题的关键．（1）若A中只有一个元素，表示方程ax2+2x+1=0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值，（2）A为空集，表示方程ax2+2x+1=0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．（3）若A中至多只有一个元素，则集合A为空集或A中只有一个元素，由（1）（2）的结论，将（1）（2）中a的取值并进来即可得到答案．20.【答案】解：（1）由题意得P（x）=12+10x，则f（x）=Q（x）-P（x）=,即为f（x）=；（2）当x＞16时，函数f（x）递减，即有f（x）＜f（16）=212-160=52万元当0≤x≤16时，函数f（x）=-0.5x2+12x-12，=-0.5（x-12）2+60，当x=12时，f（x）有最大值60万元，所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．【解析】本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查函数的最值问题，正确求出分段函数式，求出各段的最值是解题的关键，属于中档题．（1）先求得P（x），再由f（x）=Q（x）-P（x），由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最值，注意运用一次函数和二次函数的最值求法，即可得到．21.【答案】解：（1）由题设，令x=y=0，恒等式可变为f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0；（2）证明：令y=-x，则由f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数；（3）∵，，即，又由已知f（x+y）=f（x）+f（y）得：f（x+x）=2f（x），∴f（x2-3x）＞f（2x），由函数f（x）是增函数，不等式转化为x2-3x＞2x，即x2-5x＞0，∴不等式的解集{x|x＜0或x＞5}．【解析】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f（0）；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f（x）是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等式f（x2）-f（x）＞f（3x）的解集即可．22.【答案】解：（I）根据题意得，f(1)=a-4+b=-2，又因为f(x)=f(4-x)，所以二次函数的对称轴为，解得a=1，所以b=1，(II)由（I）可知，f(x)=，当m>2时，最小值，最大值，所以；当m+1<2<m+2，即0<m<1时，最小值为，最大值，所以；当m≤2<m+1，即1<m≤2，最小值为，最大值为，所以；当m+2≤2时，即m≤0时，最小值为，最大值，所以；所以，函数的图象如下：观察图象可知，函数的值域为.【解析】本题主要考查函数的解析式与分段函数，利用函数的图象求函数的值域，利用二次函数的性质研究最值.（1）利用二次函数的对称轴，即可得；（2）利用二次函数的性质，即可得最值，借助函数的图象，即可得分段函数的的值域.。

江苏省启东中学2019年创新人才培养实验班自主招生考试数学试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1． 把2232x y xy y -+分解因式正确的是 A ．()222y x xy y -+B ．()2y x y -C ．()22y x y -D ．()2y x y +2． 已知a ，b 为一元二次方程2290x x +-=的两个根，那么2a a b +-的值为A ．﹣7B ．0C ．7D ．113． 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，O 是△ABC 的内心，以O 为圆心，r 为半径的圆与线段AB 有交点，则r 的取值范围是 A ．r ≥1B ．1≤r ≤ 5C ．1≤r ≤10D ．1≤r ≤44． 如图，等边△ABC 中，AC ＝4，点D ，E ，F 分别在三边AB ，BC ，AC 上，且AF ＝1，FD ⊥DE ，且∠DFE ＝60°，则AD 的长为 A ．0.5B ．1C ．1.5D ．25． 如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝4cm ，∠ABC ＝120°，点P 是射线AB 上的一个动点，∠MPN ＝∠ACP ，点Q 是射线PM 上的一个动点．则CQ 长的最小值为 AB ．2C．D ．4（第3题）B C（第4题）（第5题）NMQPCAB6． 二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x << 时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为 A ．8 B ．10-C ．42-D ．24-二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7． 计算－82015×(－0.125)2016＝ ▲ ．8． 市政府为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x ，由题意，可列方程为 ▲ ．9． 在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别A (3，0)，B (8，0)，若点P 在y 轴上，且△P AB 是等腰三角形，则点P 的坐标为 ▲ ． 10．关于x 的方程2101x ax +-=-的解是正数，则a 的取值范围是 ▲ ． 11．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为8的正方形，M (8，s )，N (t ，8)分别是边AB ，BC 上的两个动点，且OM ⊥12．如图，△ABC 在第一象限，其面积为5．点P 从点A 出发，沿△ABC 的边从A —B —C —A运动一周，作点P 关于原点O 的对称点Q ，再以PQ 为边作等边三角形PQM ，点M 在第二象限，点M 随点P 的运动而运动，则点M 随点P 运动所形成的图形的面积为 ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）图113．（本小题满分15分）阅读下面材料，并解决问题．材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+与双曲线2ky x=交于 A （1，3）和B （－3，－1①当3x =-或1时，12y y =；②当30x -<<或x 即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax b +>问题：求不等式32440x x x +-->的解集．下面是他的探究过程，请将（2），（3），（4（1）将不等式按条件进行转化当x ＝0时，原不等式不成立；当x ＞0时，原不等式可以转化为2441x x x +->； 当x ＜0时，原不等式可以转化为2441x x x+-<． （2）构造函数，画出图象设2341y x x =+-，44y x=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象． 双曲线44y x=如图2画出抛物线．．．．．2341y x x =+-．（3）确定两个函数图象公共点的横坐标代入函数解析式验证可知满足34y y =所有x 的值为 ▲ ； （4）借助图象，写出解集结合（1可知不等式32440x x x +-->如图，“元旦”期间，学校在综合楼上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅，小明和小芳所在的教学楼正好在综合楼的对面．小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为30 o ，测得条幅端点B 的俯角为45o ；小芳在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为45o ，测得条幅端点B 的俯角为30 o ．若楼层高度CD 为3米，请你根据小明和小芳测得的数据求出条幅AB 的长．（结果保留根号）15．（本小题满分14分）如图1，A ，B ，C ，D 四点都在⊙O 上，AC 平分∠BAD ，过点C 的切线与AB 的延长线交于点E ．（1）求证：CE ∥BD ；（2）如图2，若AB 为⊙O 的直径，AC =2BC ，BE ＝5，求⊙O 的半径．（第14题）（第15题）图1图2惠民超市试销一种进价为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于进价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）满足一次函数y ＝kx ＋b ，且当x ＝70时，y ＝50；当x ＝80时，y ＝40． （1）求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式；（2）设该超市获得的利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，超市可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该超市预期的利润不低于500元，试确定销售单价x 的取值范围．17．（本小题满分16分）如图，已知抛物线223y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ． （1）求直线B C 的解析式；（2）点M 在抛物线上，且△BMC 的面积与△BCD 的面积相等，求点M 的坐标； （3）若点P 在抛物线上，点Q 在y 轴上，以P ，Q ，B ，D 四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P 的坐标．（第如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴和y轴上，OA＝8，OB＝6．点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动，点P，点M同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为t秒（0≤t≤6）．（1）连接矩形的对角线AB，当t为何值时，以P，O，M为顶点的三角形与△AOB 相似；（2）在点P，点M运动过程中，线段PM的中点Q也随着运动，请求出CQ的最小值；（3）将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点能否在对角线AB上，如果能，求出此时t的值，如果不能，请说明理由．数学答案一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1． B2． D3． C4． C5． A6． D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7．－0.1258． ()272156x -= 9．（0，4），（0，－4） 10． a ＜－1且a ≠－211． 1012． 15三、解答题（本大题共6小题，共90分） 13．（本小题满分15分）（2）抛物线如图所示； ……………………5分（3）x =4-，1-或1；……………………11分 （4）41x -<<-或1x >．…………………15分14．（本小题满分12分）过D 作DM ⊥AE 于M ，过C 作CN ⊥AE 于N ，则DM ＝CN ，MN ＝CD ＝3米， 设AM ＝x ，则AN ＝x ＋3，由题意：∠ADM ＝30ｏ， ∴∠MAD ＝60ｏ． 在Rt △ADM 中，DM ＝AM ·tan60ｏ．在Rt △ANC 中，CN ＝AN ＝x ＋3， ………6分＝x ＋3，解之得，)312x =，…………10分∵MB ＝MD ，∴AB ＝AM ＋MB ＝x＝6＋．……12分EF15．（1）连接OC ，∵CE 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CE ．……………………………………2分 ∵AC 平分∠BAD ，∴点C 平分弧BD ．∴OC ⊥BD ……………………………4分 ∵BD ∥CE ． ………………………6分 （2）∵BD ∥CE ，∴∠CBD ＝∠BCE ．∵∠CBD ＝∠CAD ，∠CAD ＝∠CAE ， ∴∠CAE ＝∠BCE ． ∵∠E ＝∠E ，∴△ACE ∽△CBE ． ………………10分 ∴AC AE CE CBCEBE==．∴25AE CE CE==．∴CE =10，AE =20， ………………………12分 ∴AB =15，⊙O 的半径为7.5． ………………………14分16．（1）根据题意得7050,8040.k b k b ì+=ïí+=ïî解得k ＝－1，b ＝120．所求一次函数的表达式为y ＝－x ＋120． ………………………4分 （2）()()60120W x x =--+21807200x x =-+-()290900x =--+．…………………8分抛物线的开口向下，∴当x ＜90时，W 随x 的增大而增大， 而60≤x ≤84，∴当x ＝84时，()28490900864W =--+=．∴当销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元．……10分（3）由W ＝500，得500＝－x 2＋180x －7200，整理得，x 2－180x ＋7700＝0，解得，x 1＝70，x 2＝110． ……………………13分 由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之 间．而60≤x ≤84，所以，销售单价x 的取值范围是70≤x ≤84．…………………15分17．（1）易得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3) ，D (1，4)，所以直线BC 的解析式为 y ＝－x ＋3 …………………4分 （2）过点D 作直线BC 的平行线交y 轴于点E ，直线DE 与抛物线的交点即为所求的点M ．易得直线DE 的解析式为y ＝－x ＋5，所以点E 的坐标为（0，5）．解25,23y x y x x ì=-+ïí=-++ïî 得点M 的坐标为（2，3）． …………………6分 在y 轴上取F (0，1)，则CE ＝CF ，所以过F 且平行于BC 的直线与抛物线的交点也是所要求的M 点． 解21,23y x y x x ì=-+ïí=-++ïî得点M 的坐标为：． …………………………10分 综合得点M 的坐标为： （2，3），．（3）符合要求的点P 有三个：（4，－5），（－2，－5），（2，3）． ……………16分（第17题）18．（1）由题意得OM ＝6－t ，OP ＝t ．若△POM ∽△AOB ，则624,867t tt -==解得； ……………3分若△POM ∽△BOA ，则618,687t tt -==解得． ……………6分 （2）过点Q 作QH ⊥OP ，垂足为易得1122OH OP t ==，QH ∴点Q （6,22t t-）．过点Q 作QG ⊥AC ，垂足为则182QG t =-,662t CG -=-∴CQ ∴当t =5时，CQ 有最小值2． ……… ……12分 （3）不能．理由如下：设OD 与PM 相交于点E ，则OE ⊥PM ，OD ＝2OE ．在Rt △POM 中， PM 则OE ＝2OP OM PM ?当t ＝3时，2(3)9t --+有最大值9， 所以，当t ＝3时，OE 所以OD 有最大值O 到AB 的最短距离为684.810´=． 因为 4.8，所以，点D 不可能在AB 上． ……………18分。

江苏省启东中学2020-2021学年度第一学期期中考试高一年级数学试卷命题人:宋媛媛一、填空题:(本大题包括14小题，每小题5分，共70分，把答案写在答题纸相应的横线上)1．已知集合{}{}0,,1,2,M x N ==若==N M N M 则},1{ .2．函数y =的定义域是 . 3．函数⎩⎨⎧<+≥-=)4)(3()4(3)(x x f x x x f ，则(1)f -= . 4．函数x x y 21--=值域为 .5．22log 3321272log 8-⨯+= . 6．若函数2()lg 21f x x a x =-+的图像与x 轴有两个交点，则实数a 的取值范围是 .7．方程x x 24lg -=的根(),1x k k ∈+，k Z ∈，则k = .8．对,a b R ∈,记{},max ,,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数{}()max 1,2()f x x x x R =+-∈的最小值 是 .9．函数()log 23a y x =-图象恒过定点P ,P 在幂函数()f x 图象上，则()9f = ． 10．函数()()122-+-+=a x b a ax x f 是定义在()()22,00,--a a 上的偶函数，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+522b a f . 11．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，那么不等式()210f x -<的解集是 .12．函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足))](()([2121x x x f x f --0<对定义域中的任意两个不相等的12,x x 都成立，则a 的取值范围是 .13．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21x f x x -=+，若对任意实数1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()10f t a f t +-->恒成立，则实数a 的取值范围是 .14．已知函数)1,0(1log )(≠>-=a a x x f a ，若1234x x x x <<<，且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则12341111x x x x +++= . 二、解答题:(本大题包括6小题，共90分. 请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程)15.(本题满分14分)设全集{|5U x x =≤且*2},{|50}x N A x x x q ∈=-+=，2{|120}B x x px =++=且(){1,3,4,5}U C A B ⋃=，求实数,p q 的值.16．(本题满分14分) 已知集合{}2514A x y x x ==--，)}127lg(|{2---==x x y x B ，}121|{-≤≤+=m x m x C ．(1)求A B ；(2)若A C A = ，求实数m 的取值范围．17. (本题满分15分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1所示的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2所示的抛物线表示。

江苏省启东中学2019～2020学年度第一学期第一次月考高一创新班数学试卷本卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{1A =，22cos 2θ，3}，集合{cos }B θ=，若[0θ∈，2π)且B A ⊆，则θ= ( )A ．0B ．π2C ．πD ．3π22．已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos <m ，n 13>=．若n ⊥(t m +n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．4-C ．94-D ．943．下列说法正确的是( ) A ．因为sin(π)sin x x -=，所以π是函数sin y x =的一个周期；B ．因为tan(2π)tan x x +=，所以2π是函数tan y x =的最小正周期；C ．因为π4x =时，等式πsin()sin 2x x +=成立，所以π2是函数sin y x =的一个周期；D ．因为πcos()cos 3x x +≠，所以π3不是函数cos y x =的一个周期．4．将函数πsin(2)3y x =-图象上的点π(4P ，)t 向左平移(0)s s >个单位长度得到点P '．若 P '位于函数sin 2y x =的图象上，则( ) A ．12t =，s 的最小值为π6 B ．3t =，s 的最小值为π6C ．12t =，s 的最小值为π3D ．3t =，s 的最小值为π35．已知ABC △是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为( )A ．58-B ．18C ．14D ．1186．若π3cos()45α-=，则sin2α=( )A ．725 B ．15C ．15-D ．725-7．已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02Cx x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则 ABC △一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．正三角形8．已知α∈R ，sin 2cos αα+=，则tan2α=( )A ．43B ．34 C ．34-D ．43-9．已知方程2cos cos 0x x a +-=有解，则a 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[1，2]C ．1[4-，2]D ．1[4-，)+∞10．已知sin cos 2sin cos αααα+=-，则3πsin(5π)sin()2αα-⋅-=( )A ．34 B ．310C ．310±D ．310-11．如果函数3cos(2)y x ϕ=+的图象关于点4π(3，0)中心对称，则||ϕ的最小值为( )A ．π6B ．π4 C ．π3D ．π212．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足||||||DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-， 动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值是( )A ．434B ．494C 3763+ D 37233+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数2tan 1y x =-的定义域是 ．14．已知a r 的方向与x 轴的正向所成的角为120o ，且||2a =r，则a r 的坐标为 ． 15．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =， 则b = ．16．设a ，b ∈R ，[0c ∈，2π)，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(a ，b ，)c 的组数为 ．三、解答题：本大题共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+． ⑴证明：2a b c +=； ⑵求证：cos C ≥12． 18．(本题满分12分)已知α为第三象限角，且f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan （－α＋π）sin （π＋α）tan （2π－α）．⑴化简f (α)； ⑵若3π1cos()25α-=，求()f α的值； ⑶若32π3α=-，求()f α的值．19．(本题满分12分)已知x ∈R ，a ∈R 且0a ≠，向量2(cos OA a x =，1)，(2OB =3sin 2)a x a -， ()f x OA OB =⋅．⑴求函数()f x 的解析式，并求当0a >时，()f x 的单调递增区间；⑵当[0x ∈，π]2时，()f x 的最大值为5，求a 的值；⑶当1a =时，若不等式|()|2f x m -<在[0x ∈，π]2上恒成立，求实数m 的取值范围．20．(本题满分12分)已知在ABC △中，D 为BC 中点，1an 2t BAD ∠=，1an 3t CAD ∠=．⑴求BAC ∠的值；⑵若10AD ABC △面积．21．(本题满分12分)如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的 内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花．若BC ＝a ，∠ABC ＝θ，设△ABC 的面积为 S 1，正方形的面积为S 2． ⑴用a ，θ表示S 1和S 2； ⑵当a 固定，θ变化时，求12S S 取最小值时的角θ．22．(本题满分12分)设O 为坐标原点，定义非零向量(OM a =，)b 的“相伴函数”为()sin cos ()f x a x b x x =+∈R ， 向量OM =(a ，)b 称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”．记平面内所有向量的“相 伴函数”构成的集合为S ．⑴设函数ππ()2sin()cos()36h x x x =--+，求证：()h x S ∈；⑵记(0OM =，2)的“相伴函数”为()f x ，若函数()()3sin |1g x f x x =+-，[0x ∈，2π] 与直线y k =有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；⑶已知点(M a ，)b 满足22431a ab b -+=，向量OM 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得 最大值．当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围．。

江苏省启东中学2020学年度第一学期期中考试高一数学（普通）（考试用时：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下图中，能表示函数的图象的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象是否存在一对多的情况，即可得答案．【详解】根据题意，对于A、B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于C图，当x=0时，有两个y值对应；对于D图，每个x都有唯一的y值对应．因此，D图可以表示函数y=f（x），故选：D．【点睛】本题考查函数的定义，关键是理解函数的定义“每个x都有唯一的y值对应”．2.下列五个写法：，其中错误写法的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据“∈”用于元素与集合间，“∩”用于集合与集合间，判断出①⑤错；∅是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；据集合元素的三要素判断出③对．【详解】对于①，“∈”是用于元素与集合的关系故①错，对于②，∅是任意集合的子集，故②对，对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性故③对，对于④，因为∅是不含任何元素的集合故④错，对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系的，故⑤错．故选：C．【点睛】此题是基础题，考查对元素与集合关系的判断，以及列举法表示集合，特别注意对空集的理解．3.下列各组函数表示同一函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，对选项逐一判断，即可得到结论．【详解】对于A，f（x）==|x|，g（x）=（）2=x（x≥0），定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；对于B， f（x）=1（x∈R），g（x）=x0=1（x≠0），定义域不同，故不为同一函数；对于C，f（x）=x，g（x）==x，定义域和对应法则均为R，故为同一函数；对于D，f（x）=x+1，（x∈R），g（x）==x+1（x≠1），定义域不同，故不为同一函数．故选：C．【点睛】本题考查同一函数的判断，运用定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，属于基础题．4.已知，则（）A. 5B. -1C. -7D. 2【答案】D【解析】【分析】根据所给解析式先求f（2），再求f[f（2）]．【详解】∵∴f（2）=﹣2×2+3=﹣1，∴f[f（2）]=f（﹣1）=（﹣1）2+1=2．故选：D．【点睛】本题考查分段函数求值问题，属基础题，关键看清所给自变量的值所在范围．5.已知集合，则适合的非空集合B的个数为（）A. 31B. 63C. 64D. 62【答案】B【解析】【分析】由A∪B=A得B⊆A，根据集合关系进行求解．【详解】∵A∪B=A，∴B⊆A，∵，∴满足A∪B=A的非空集合B的个数为26﹣1=63．故选：B．【点睛】本题主要考查集合的基本关系，将A∪B=A转化为B⊆A是解决本题的关键．6.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】∵函数f（x）=+lg（3x+1），∴；解得﹣＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（﹣，1）．故选：B．【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．7.若a>0,将表示成分数指数幂,其结果是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由根式与分数指数幂的互化规则所给的根式化简即可将其表示成分数指数幂，求得其结果选出正确选项．【详解】由题意=故选：C．【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，解题的关键是掌握并能熟练运用根式与分数指数幂互化的规则．8.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据连续函数，可得f（3），f（4）的函数值的符号，由此得到函数的零点所在的区间．【详解】∵连续减函数，∴f（3）=2﹣log23＞0，f（4）=﹣log24＜0，∴函数的零点所在的区间是（3，4），故选：C．【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．9.直线与函数图象的交点个数为( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】A【解析】【分析】函数y=|x2﹣6x|可讨论x去掉绝对值，得到分段函数，画出图象，然后画出y=3，观察交点个数．【详解】由函数的图象可得，显然有4个交点，故选：A．【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．10.已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由f（x）是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出y轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出f（x）的正负，由图象可求出x的范围得结果．【详解】（1）x＞0时，f（x）＜0，∴1＜x＜2，（2）x＜0时，f（x）＞0，∴﹣2＜x＜﹣1，∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2）．故选：C．【点睛】由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自变量的范围．11.已知是定义在上的减函数,则实数的取值范围是( ).A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可．【详解】当x≥1时，函数f（x）=﹣x+1为减函数，此时函数的最大值为f（1）=0，要使f（x）在R上的减函数，则满足，即，解集≤a＜，故选：B．【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键．12.已知函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】【分析】对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x2]，使得g（x1）＞f（x2），可得g（x1）min＞f（x2），根据基本不等式求出f（x2）min=1，再分类讨论，求出g（x）min，即可求出k的范围．min【详解】对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x2]，使得g（x1）＞f（x2），∴g（x1）min＞f（x2）min，∵f（x）=x2+﹣3≥2﹣3=4﹣3=1，当且仅当x=时取等号，∴f（x2）min=1，当k＞0时，g（x）=kx+2，在x∈[﹣1，2]为增函数，∴g（x）min=f（﹣1）=2﹣k，∴2﹣k＞1，解得0＜k＜1当k＜0时，g（x）=kx+2，在x∈[﹣1，2]为减函数，∴g（x）min=f（2）=2k+2，∴2k+2＞1，解得﹣＜k＜0，当k=0时，g（x）=2，2＞1成立，综上所述k的取值范围为（﹣，1）故选：A．【点睛】本题考查了函数恒成立问题和存在性问题，以及基本不等式，属中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 已知实数a ∈{1,3，a 2}，则a 的值为( )A. 1B. 1，3C. 0，3D. 0，1 2. 集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|a −1≤x ≤2a −1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A. a ≤1B. a <1C. 0≤a ≤1D. 0<a <13. 函数f(x)=√2x −1+12−x 的定义域为( )A. {x|x ≥12} B. {x|x >12} C. {x|x ≥12且x ≠2}D. {x|x >12且x ≠2} 4. 函数y =3−x2+2x+1的值域是 ( )A. (−∞,9]B. [9,+∞)C. (0,9]D. [0,9]5. 已知函数f(x)={1−x 2 (x ≤1),x 2+x −2 (x >1),则f(1f(2))的值为( )A. 1516 B. 89 C. −2716D. 186. 函数e|x|3x的部分图象可能是( )A.B.C.D.7. 已知函数f(x)=x 2−ax +4，若f(x +1)是偶函数，则实数a 的值为( )A. 1B. −1C. −2D. 28. 函数y =log 12(2x 2−3x +1)的递减区间为( ) A. (1,+∞)B. (−∞,34] C. (12,+∞) D. [34,+∞) 9. 若函数f(x)的定义域是[−1,4]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−5,5]D. [−3,7]10. 已知f(x)是R 上的偶函数，且在(−∞,0]是减函数，若f(3)=0，则不等式f(x)+f(−x)x<0的解集是( )A. (−∞,−3)∪(3,+∞)B. (−3,0)∪(3,+∞)C. (−∞,−3)∪(0,3)D. (−3,0)∪(0,3)11. 已知奇函数f(x)是定义在(−2,2)上的减函数，则不等式f(x3)+f(2x −1)>0的解集是( )A. (−∞,37) B. [−12,+∞) C. (−6,−12) D. (−12,37)12. 已知y =f(x)是奇函数，且满足f(x +2)+3f(−x)=0，当x ∈[0,2]时，f(x)=x 2−2x ，则当x ∈[−4,−2]时，f(x)的最小值为 ( )A. −1B. 13C. −19D. 19二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知函数f(x)=(m 2−m −5)x m−1是幂函数，且当x ∈(0,+∞)时，f(x)是增函数，则实数m的值为__________． 14. 已知集合，则A ∩B =______．15.lg32−lg4lg2+(27)23=________.16. 已知函数f(x)为偶函数，且当x ≥0时，f(x)=1−|x −1|，则方程f(f(x))=0根的个数为_____． 三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）17. 已知R 为全集，A ={x|log 12(3−x)≥−2}，B ={x |5x+2≥1}． (1)求A ∩B ；(2)求(∁R A)∩B 与(∁R A)∪B ．18. 定义在R 上的奇函数f (x)，当x ≥0时，f (x)={−2x x+1,x ∈[0,1),1−|x −3|,x ∈[1,+∞),求函数F(x)=f (x)−1π的所有零点之和．19.已知f(x)=a⋅2x+a−2(x∈R)，若f(x)满足f(−x)+f(x)=0，2x+1(1)求实数a的值及f(3)；(2)判断函数的单调性，并加以证明．20.某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产一百台，需要新增加投入2.5t2(万元)，(0<万元．经调查，市场一年对此产品的需求量为500台；销售收入为R(t)=6t−12 t≤5)，其中t是产品售出的数量(单位：百台)．(说明：①利润=销售收入−成本；②产量高于500台时，会产生库存，库存产品不计于年利润．)(1)把年利润y表示为年产量x(x>0)的函数；(2)当年产量为多少时，工厂所获得年利润最大？21.已知函数f(x)=(x−2)|x+a|(a∈R).(1)当a=1时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x∈[−2,2]时，函数f(x)的最大值为g(a)，求g(a)的表达式．22.已知函数g(x)=4x−a是奇函数，f(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数．2x(1)求a和b的值．(2)说明函数g(x)的单调性；若对任意的t∈[0,+∞)，不等式g(t2−2t)+g(2t2−k)>0恒成立，求实数k的取值范围．x，若存在x∈(−∞,1]，使不等式g(x)>ℎ[lg(10a+9)]成立，求实数a(3)设ℎ(x)=f(x)+12的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：a =1，则a 2=1，不符合互异性； a =a 2，则a =1(不符合互异性)，或a =0； a =3，则a 2=9，成立； 故a =0或a =3时符合条件， 故选C ．本题考查元素与集合的关系，集合中元素的互异性，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．2.答案：A解析：解：∵集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|a −1≤x ≤2a −1}，B ⊆A ， ∴当B =⌀时，a −1>2a −1，解得a <0， 当B ≠⌀时，{a −1≤2a −1a −1≥−12a −1≤1，解得0≤a ≤1．综上，实数a 的取值范围是{a|a ≤1}． 故选：A ．当B =⌀时，a −1>2a −1；当B ≠⌀时，{a −1≤2a −1a −1≥−12a −1≤1，由此能求出实数a 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查集合的包含关系、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.答案：C解析： 【分析】考查函数定义域的概念及求法，属于基础题型．要使得原函数有意义，则需满足{2x −1≥02−x ≠0，解出x 的范围即可．【解答】解：要使原函数有意义，则：{2x −1≥02−x ≠0, ∴x >12且x ≠2，∴原函数的定义域为.{x|x ≥12且x ≠2} ， 故选：C ．4.答案：C解析： 【分析】本题考查了指数函数，二次函数的性质，是一道基础题．结合二次函数的性质求出指数的最大值，从而求出函数的值域即可． 【解答】解：令f(x)=1+2x −x 2=−(x −1)2+2， 故f(x)max =f(1)=2， 当x =1时，y 的最大值是9， 又当x ∈R 时，y =3x >0， 故函数y =3−x 2+2x+1的值域为(0,9]．故选C ．5.答案：A解析： 【分析】本题考查分段函数求值，属于基础题．先求1f(2)的值．再根据所得值代入相应的解析式求值即可． 【解答】解：当x >1时，f(x)=x 2+x −2， 则f(2)=22+2−2=4， ∴1f(2)=14，当x ≤1时，f(x)=1−x 2， ∴f(1f(2))=f(14)=1−116=1516． 故选A ．6.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的解析式，利用函数图象的特点进行排除是解决本题的关键．属于中档题.根据函数解析式，分别从对称性，单调性以及函数取值进行排除即可． 【解答】解：函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B ， 当x =1时，y =e3<1，排除A ， 当x →+∞时，e |x|3x →+∞，排除D ，故选：C ．7.答案：D解析： 【分析】本题考查的是函数的奇偶性，属于基础题． 【解答】解：函数f(x)=x 2−ax +4的对称轴为x =a2， 因为f(x +1)是偶函数，所以a2−1=0，解得a =2， 故选D ．8.答案：A解析： 【分析】本题考查函数的定义域、复合函数的单调性，属基础题． 【解答】解：由2x 2−3x +1>0，得函数的定义域为(−∞,12)∪(1,+∞)． 令t =2x 2−3x +1，则y =log 12t ． 因为t =2x 2−3x +1=2(x −34)2−18，所以t =2x 2−3x +1的单调增区间为(1,+∞).又y =log 12t 在(0,+∞)上是减函数， 所以函数y =log 12(2x 2−3x +1)的单调减区间为(1,+∞)． 9.答案：A解析：∵函数f(x)的定义域是[−1,4]，∴函数y =f(2x −1)的定义域满足−1≤2x −1≤4，∴0≤x ≤52， ∴y =f(2x −1)的定义域是[0,52]．10.答案：C解析：解：因为y =f(x)为偶函数，所以f(x)+f(−x)x<0等价为2f(x)x<0，所以不等式等价为{x >0f(x)<0或{x <0f(x)>0．因为函数y =f(x)为偶函数，且在(−∞,0]上是减函数，又f(3)=0， 所以f(x)在[0,+∞)是增函数，则对应的图象如图： 所以解得x <−3或0<x <3， 即不等式的解集为(−∞,−3)∪(0,3)． 故选：C ．利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．本题主要考查函数奇偶性和单调性的性质，根据函数性质的综合应用，将不等式转化是解决本题的关键．11.答案：D解析： 【分析】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用问题，解题时应注意定义域的限制．利用函数是奇函数，将不等式转化为f(x3)>−f(2x −1)=f(1−2x)，然后利用函数的单调性求解即可． 【解答】解：f(x)是奇函数，所以不等式f(x3)+f(2x −1)>0等价于 f(x3)>−f(2x −1)=f(1−2x)， 又f(x)是定义在(−2,2)上的减函数， 所以{−2<x3<2−2<1−2x <2x3<1−2x ，即{−6<x <6−12<x <32x <37，解得−12<x <37， 则不等式的解集为(−12,37). 故选：D ．12.答案：C【分析】定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+3f(−x)=0，可得出f(x)=13f(x+2)，由此关系求出求出x∈[−4,−2]上的解析式，再配方求其最值本题考查函数的最值及其几何意义，解题的关键是正确正解定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，且由此关系求出x∈[−4,−2]上的解析式，做题时要善于利用恒等式．【解答】解：由题意定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+3f(−x)=0，即f(x+2)=3f(x)，任取x∈[−4,−2]，则f(x)=13f(x+2)=19f(x+4)由于x+4∈[0,2]，当x∈[0,2]时，f(x)=x2−2x，故f(x)=13f(x+2)=19f(x+4)=19[(x+4)2−2(x+4)]=19[x2+6x+8]=19[(x+3)2−1]，x∈[−4,−2]当x=−3时，f(x)的最小值是−19，故选C．13.答案：3解析：【分析】本题考查幂函数．根据幂函数的定义可得=1，解得m=−2或m=3，检验得结果．【解答】解：由幂函数的定义得=1，解得：m=−2或m=3，当m=−2时，f(x)=x−3，不符合x∈(0,+∞)时，f(x)是增函数，所以m=3．故答案为3．14.答案：{1,6}【分析】本题主要考查集合的运算，属于基础题．直接利用交集的定义求解即可．【解答】解：因为集合，A∩B={1,6}．故答案为{1,6}．15.答案：12解析：【分析】本题主要考查了指数与对数的运算性质，属于基础题．根据指数与对数的运算性质求解．【解答】解：lg32−lg4lg2+(27)23=lg8lg2+(33)23=3lg2lg2+32=3+9=12．故答案为12．16.答案：5解析：【分析】本题考查函数的性质的应用，函数的零点．令f(x)=t，根据已知及偶函数的性质解得t=0或2或−2，再分别求解f(x)=0或2或−2即可．【解答】解：当x≥0时，f(x)=1−|x−1|，令f(x)=t则方程f(f(x))=0，即为f(t)=0，所以t⩾0时，f(t)=1−|t−1|=0，解得t=0或2，因为函数f(x)为偶函数，所以t=−2也为f(t)=0的解，令f(x)=0，解得x=0或2或−2，令f(x)=2，无解令f(x)=−2，则1−|x−1|=−2解得x=4，根据函数f(x)为偶函数，x=−4也为f(x)=−2的解，综上方程f(f(x))=0根的个数为5．故答案为5．17.答案：解：(1)由，得{3−x >0,3−x ⩽4.即A ={x|−1≤x <3}． 由5x+2≥1，得x−3x+2≤0，即B ={x|−2<x ≤3}，所以A ∩B ={x|−1≤x <3}．(2)因为∁R A ={x|x <−1或x ≥3}， 故(∁R A)∩B ={x|−2<x <−1或x =3}，则(∁R A)∪B =R ．解析：本题主要考查了交，并，补集的混合运算，以及对数函数的性质，属于中等题；(1)根据条件得到A ={x|−1≤x <3}和B ={x|−2<x ≤3}即可得到A ∩B ；(2)根据集合的定义可得(∁R A)∩B 与(∁R A)∪B ．18.答案：解：由题意知，当x <0时，f (x)={−2x 1−x ,x ∈(−1,0)|x +3|−1,x ∈(−∞,−1]作出函数f (x)的图象如图所示，设函数y =f (x)的图象与y =1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1+x 2=−6，x 4+x 5=6，x 1+x 2+x 4+x 5=0，令−2x 1−x =1π，解得x 3=11−2π，所以函数F(x)=f (x)−1π的所有零点之和为11−2π．解析：本题主要考查函数奇偶性，分段函数模型，由函数奇偶性可得x <0时函数f(x)的解析式，作出函数f (x)的图象，根据图象结合函数的对称性质列式解答即可．19.答案：解：(1)∵f(−x)+f(x)=0，且x ∈R ，∴函数f(x)是奇函数，则f(0)=a⋅20+a−220+1=0， 解得a =1，则f(x)=2x −12x +1， 所以f(3)=23−123+1=79； 证明：(2)f(x)是R 上的增函数，设x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=2x 1−12x 1+1−2x 2−12x 2+1 =(2x 2+1)(2x 1−1)−(2x 1+1)(2x 2−1)(2x 1+1)(2x 2+1)=2⋅2x 1−2x 2(2x 1+1)(2x 2+1)，∵x 1<x 2，∴2x 1−2x 2<0，∵2x 1+1>0，且2x 2+1>0，∴f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在R 上是增函数．解析：(1)由题意和奇函数的定义判断出f(x)是奇函数，根据奇函数的性质得：f(0)=0，列出方程求出a 的值，代入f(x)求出f(3)；(2)先判断出函数的单调性，根据函数单调性的定义，以及步骤：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明即可．本题考查了奇函数的定义与性质，函数单调性的定义，以及证明单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论，考查化简、变形能力．20.答案：解：(1)当0<x ≤5时，f(x)=6x −12x 2−0.5−2.5x =−12x 2+3.5x −0.5， 当x >5时，f(x)=6×5−12×52−0.5−2.5x =17−2.5x ， 即f(x)={−0.5x 2+3.5x −0.5(0<x ≤5)17−2.5x(x >5), (2)当0<x ≤5时，f(x)=−12(x 2−7x +1)=−12(x −72)2+458， ∴当x =3.5∈(0,5]时，f(x)max =458=5.625，当x >5时，f(x)为(5,+∞)上的减函数，f(x)<f(5)=17−2.5×5=4.5．又5.625>4.5，∴f(x)max =f(3.5)=5.625．故当年产量为350台时，工厂所获年利润最大．解析：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用二次函数性质求最值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)利润函数y =销售收入函数R(x)−成本函数，讨论x 的大小，利用分段函数表示出年利润y 表示为年产量x(x >0)的函数；(2)由利润函数是分段函数，分段求出最大值，利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x 的值，比较两段的最大值即可求出所求．21.答案：解：(1)a =1时，f(x)=(x −2)|x +1|，当x ≤−1时，f(x)=−(x −2)(x +1)=−x 2+x +2，此时函数为增函数；当x >−1时，f(x)=(x −2)(x +1)=x 2−x −2，此时函数在(−1,12]上为减函数，在[12,+∞)上为增函数，综上可得：当a =1时，函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−1]，[12,+∞)；(2)当x ∈[−2,2]时，函数f(x)={−(x −2)(x +a),x <−a (x −2)(x +a),x ≥−a， ①当−a ≤−2，即a ≥2时，若x ∈[−2,2]，则f(x)=(x −2)(x +a )，则f(x)≤0，故g(a)=f(2)=0；②当−a ≥2，即a ≤−2时，若x ∈[−2,2]，则f (x )=−(x −2)(x +a )，则f(x)≤0，故g(a)=f(2)=0；③当−2<−a <2，即−2<a <2时，若x ∈[−2,2]，则f(x)≤0，故g(a)=f(2)=0；综上可得：g(a)=0．解析：本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，函数的最值及其几何意义，难度中档．(1)a =1时，f(x)=(x −2)|x +1|，分段讨论可得函数的单调递增区间；(2)当x ∈[−2,2]时，函数f(x)={−(x −2)(x +a),x <−a (x −2)(x +a),x ≥−a，分段讨论可得函数f(x)的最大值g(a)的表达式．22.答案：解：(1)由g(0)=0得，a =1，则g(x)=4x −12x ，经检验g(x)是奇函数，故a =1，由f(−1)=f(1)得，则f(x)=lg(10x +1)−12x ，故b =−12，经检验f(x)是偶函数∴a =1，b =−12…(4分)(2)∵g(x)=4x −12x =2x −12x ，且g(x)在(−∞,+∞)单调递增，且g(x)为奇函数．∴由g(t 2−2t)+g(2t 2−k)>0恒成立，得g(t 2−2t)>−g(2t 2−k)=g(−2t 2+k)，∴t 2−2t >−2t 2+k ，t ∈[0,+∞)恒成立即3t 2−2t >k ，t ∈[0,+∞)恒成立令F(x)=3t 2−2t ，在[0,+∞)的最小值为F(13)=−13∴k <−13…(9分)(3)ℎ(x)=lg(10x +1)，ℎ(lg(10a +9))=lg[10lg(10a+9)+1]=lg(10a +10)则由已知得，存在x ∈(−∞,1]，使不等式g(x)>lg(10a +10)成立，而g(x)在(−∞,1]单增，∴g max (x)=g(1)=32∴lg(10a +10)<32=lg1032=lg 10√10 ∴10a +10<10√10又a <√10−1又∵{10a +9>010a +10>0∴a >−910∴−910<a <√10−1…(14分)解析：(1)由函数g(x)=4x −a2x 是奇函数，f(x)=lg(10x +1)+bx 是偶函数，可得g(0)=0，f(−1)=f(1)，进而可得a 和b 的值．(2)g(x)在(−∞,+∞)单调递增，且g(x)为奇函数．若g(t 2−2t)+g(2t 2−k)>0恒成立，则3t 2−2t>k，t∈[0,+∞)恒成立，令F(x)=3t2−2t，求其最值，可得答案；(3)ℎ(x)=lg(10x+1)，若存在x∈(−∞,1]，使不等式g(x)>lg(10a+10)成立，则lg(10a+10)<3=lg1032=lg10√10，解得答案．2本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的奇偶性，函数的单调性，存在性问题，对数函数的图象和性质，难度中档．。

江苏省南通市启东中学2019-2020学年高一数学上学期第一次质量检测试题（创新班，含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{1A =，22cos 2θ，3}，集合{cos }B θ=，若[0θ∈，2π)且B A ⊆，则θ= ( )A. 0B.π2C. πD.3π2【答案】A 【解析】 【分析】B ⊆A ，可得：cos θ＝1，或cos θ222cosθ=，或cos θ＝3（舍去），由θ∈[0，2π），即可得出θ【详解】∵B ⊆A ，∴cos θ＝1，或cos θ222cosθ=，或cos θ＝3（舍去），∵θ∈[0，2π），∴由cos θ＝1，可得θ＝0， 由cos θ222222coscos θθ==-1，无解．综上可得：θ＝0． 故选：A ．【点睛】本题考查了集合之间的关系、元素与集合之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力，属于基础题．2.已知非零向量,m n 满足43m n =，cos ,m n =13．若()n tm n ⊥+，则实数t 的值为 A. 4 B. –4C. 94D. –94【答案】B 【解析】【详解】由43m n =，可设3,4(0)m k n k k ==>， 又()n tm n ⊥+，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+=+=所以4t =-，故选B ． 【此处有视频，请去附件查看】3.下列说法正确的是( )A. 因为sin(π)sin x x -=，所以π是函数sin y x =的一个周期；B. 因为tan(2π)tan x x +=，所以2π是函数tan y x =的最小正周期；C. 因为π4x =时，等式πsin()sin 2x x +=成立，所以π2是函数sin y x =的一个周期；D. 因为πcos()cos 3x x +≠，所以π3不是函数cos y x =的一个周期．【答案】D 【解析】 【分析】 由周期函数的定义可判断A ；由tan （x +π）＝tan x ，结合周期函数的定义可判断B ；由x 3π=，等式2sin x sinx π⎛⎫+=⎪⎝⎭不成立，结合周期函数的定义可判断C ；由周期函数的定义，可判断D ．【详解】由sin(π)sin x x -=，不满足周期函数的定义，故A 错误；tan （2π+x ）＝tan x ，所以2π是函数y ＝tan x 的一个正周期，由tan （x +π）＝tan x ， 可得π是函数y ＝tan x 的最小正周期，故B 错误；4x π=时，等式2sin x sinx π⎛⎫+=⎪⎝⎭成立，但x 3π=，等式2sin x sinx π⎛⎫+= ⎪⎝⎭不成立，所以2π不是函数y ＝sin x 的一个周期，故C 错误； 由3cos x cosx π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，由周期函数的定义，可得3π不是函数y ＝cos x 的一个周期，故D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查周期函数的定义和应用，考查诱导公式的应用，以及推理能力，属于基础题．4.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ） A. 12t =，s 的最小值为6πB. 3t =，s的最小值为6πC. 12t =，s 的最小值为3πD. 3t =，s的最小值为3π【答案】A 【解析】【详解】由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=， 可得，因为 P'位于函数sin 2y x=的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.5.ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC 的值为（ ）A. 58- B.18C.14D.118【答案】B 【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．6.若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） A. 725 B. 15C. 15-D. 725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．7.已知关于x 的方程22cos cos 2sin02Cx x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC 一定是( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形 【答案】B 【解析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B ，即可确定出三角形形状．详解：设已知方程的两根分别为x 1，x 2， 根据韦达定理得：x 1+x 2=cosAcosB ，x 1x 2=2sin 22C=1﹣cosC ， ∵x 1+x 2=12x 1x 2， ∴2cosAcosB=1﹣cosC ， ∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos （A+B ）=﹣cosAcosB+sinAsinB ， ∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos （A ﹣B ）=1， ∴A ﹣B=0，即A=B ， ∴△ABC 为等腰三角形． 故选B ．点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．8.已知α∈R ，sin 2cos αα+=，则tan2α=( ) A.43B.34 C. 34-D. 43-【答案】C 【解析】 【分析】将sin 2cos αα+=两边同时平方，利用商数关系将正弦和余弦化为正切，通过解方程求出tan α，再利用二倍角的正切公式即可求出tan2α. 【详解】()22222225sin 4sin cos 4cos sin 2cos =sin 4sin cos 4cos =2sin cos αααααααααααα++=++++再同时除以2cos α，整理得22tan 4tan 45tan 12ααα++=⇒+23tan 8tan 30αα--= 故tan 3α=或1tan 3α=-，代入22tan tan21tan ααα=-，得3tan 24α=-. 故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，考查了二倍角的正切公式以及平方关系，商数关系，属于基础题.9.已知方程2cos cos 0x x a +-=有解，则a 的取值范围是( ) A. [0，2] B. [1，2]C. 1[4-，2]D. 1[4-，)+∞【答案】C 【解析】 【分析】方程cos 2x +cos x ﹣a ＝0有解⇔函数f （x ）＝cos 2x +cos x ，与函数g （x ）＝a 的图象有交点,由f （x ）＝cos 2x +cos x 211()24cosx =+-利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】方程cos 2x +cos x ﹣a ＝0有解⇔函数f （x ）＝cos 2x +cos x ，与函数g （x ）＝a 的图象有交点．f （x ）＝cos 2x +cos x 211()24cosx =+-∈124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 则a ∈124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，函数f （x ）＝cos 2x +cos x ，与函数g （x ）＝a 的图象有交点． 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与三角函数的单调性、方程的解转化为函数图象的交点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知sin cos 2sin cos αααα+=-，则3πsin(5π)sin()2αα-⋅-=( )A.34 B.310C. 310±D. 310-【答案】B 【解析】 【分析】 由sin cos 2sin cos αααα+=-得tan α，根据诱导公式和同角三角函数间的基本关系化简所求为tan α的齐次式即可求出原式的值． 【详解】已知sin cos 2sin cos αααα+=-故tan α＝3，又()223πsin cos sin(5π)sin()sin cos 2sin cos αααααααα-⋅-=--=+ 故原式＝2tan 31tan 10αα=+． 故选：B【点睛】此题考查学生灵活运用同角三角函数的基本关系及诱导公式化简求值，是一道综合题．11.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点403，π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.6πB. 4πC.3π D.2π 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的对称中心，求出ϕ的表达式，然后确定| ϕ |的最小值． 【详解】∵函数y ＝3cos （2x +ϕ）的图象关于点403，π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称， ∴4232k ππϕπ⋅+=+，得136k πϕπ=-，k ∈Z ，由此得||6min πϕ=． 故选A.【点睛】本题是基础题，考查三角函数中余弦函数的对称性，考查计算能力，对于k 的取值，确定|ϕ |的最小值，是基本方法．12.在平面内，定点A，B，C，D 满足DA=DB=DC,DA⋅DB=DB⋅DC=DC⋅DA=–2，动点P，M满足AP=1，PM=MC，则2BM的最大值是A.434B.494C.3763+D.37233+【答案】B【解析】试题分析：甴已知易得120,2ADC ADB BDC DA DB DC∠=∠=∠=︒===.以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()2,0,1,3,1,3.A B C---设(),,P x y由已知1AP=，得()2221x y-+=，又13133,,,,,222x y x yPM MC M BM⎛⎫⎛⎫-+++=∴∴=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222+1334x yBM++∴=，它表示圆()2221x y-+=上的点()x y，与点()1,33--的距离的平方的14，()()2222max149333144BM⎛⎫∴=++=⎪⎝⎭，故选B.【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC===，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点,,,A B C D的坐标，同时动点P的轨迹是圆，则()(22214x y BM +++=，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.函数2tan 1y x =-的定义域是______．【答案】(),,2442k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫-+⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】利用正切函数性质及分母不为0列不等式求解即可 【详解】由题知：原式有意义则22k x k ππππ-<<+且 tan 1x ≠即224k x k x k ππππππ⎧-<<+⎪⎪⎨⎪≠+⎪⎩，故函数2tan 1y x =-的定义域是(),,2442k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫-+⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：(),,2442k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫-+⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查函数的定义域的求法，熟记正切函数的基本性质是关键，考查计算能力． 14.已知a 的方向与x 轴的正向所成的角为120，且||2a =，则a 的坐标为_______________． 【答案】（﹣11， 【解析】 【分析】根据题意画出向量，利用三角函数的定义求得对应点的坐标即可． 【详解】向量a 的方向与x 轴的正向所成的角为120°，且|a |＝2， 如图所示，向量a 的终点为A 或B ， 由三角函数的定义，可得A （﹣1，B （﹣1，3-）；所以a 的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，3-）． 故答案为：（﹣1，3）或（﹣1，3-）．【点睛】本题考查了平面向量的坐标求法问题，是基础题． 15.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___.【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16.设[),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数都有()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组的组数为 .【答案】4 【解析】【详解】试题分析：当2a =时，5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，5(,)(3,)3b c π=，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3b c π=-，注意到[0,2)c π∈，所以只有2组：5(23,)3π，,4(23,)3π-，满足题意；当2a =-时，同理可得出满足题意的也有2组：(23,)3π--，,2(23,)3π-，，故共有4组. 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到a 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到,b c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 三、解答题：本大题共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+． (1)证明：2a b c +=； (2)求证：cos C ≥12． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先切化弦并将分式通分，利用两角和正弦公式结合正弦定理即可证明 （2）利用余弦定理结合基本不等式证明 【详解】（1）tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+则sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B B A+=+⋅⋅，即()sin sin cos sin cos sin sin sin sin 2()2cos cos cos cos cos cos cos cos A B A B B A A BA B A B A B A B A B++++=∴=⋅⋅ 由正弦定理得2c a b =+（2）由余弦定理得()22222222332124242cos 22222a b ab ab a b a b ab a b c C ab ab ab ab +⎛⎫+-+-⨯- ⎪+-⎝⎭===≥=当且仅当a b =等号成立，则cos C ≥12成立 【点睛】本题考查余弦定理，两角和的正弦、余弦公式，商的关系的综合应用，熟练掌握公式并会应用是解本题的关键，考查学生的化简计算能力． 18.已知α为第三象限角，且f (α)＝sin()cos(2)tan()sin()tan(2)παπααππαπα---++- ．（1）化简f (α)； （2）若3π1cos()25α-=，求()f α的值； （3）若32π3α=-，求()f α的值． 【答案】（1）f （α）＝﹣cos α；（2）f（α）=（3）f （α）＝12【解析】 【分析】（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理后，利用同角三角函数的基本关系约分求得函数f （α）的解析式．（2）利用诱导公式求得sin α的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得cos α，代入（1）中函数解析式求得答案． （3）利用诱导公式化大角为小角代入求值即可【详解】（1）f （α）=sin()cos(2)tan()sin()tan(2)παπααππαπα---++-=sin cos t n t n sin ααααααα⋅⋅-=-⋅（）cos α（2）∵cos （a 32π-）15=，∴sin α15=-，∵a 是第三象限角， ∴cos α==，∴f （α）＝﹣cos α=（3）f （α）＝﹣cos 3241cos 332ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用．利用诱导公式的时候要特别留意三角函数值的正负．19.已知x ∈R ，a ∈R 且0a ≠，向量2(cos OA a x =，1)，(2OB =sin 2)x a -，()f x OA OB =⋅．（1）求函数()f x 的解析式，并求当0a >时，()f x 的单调递增区间； （2）当[0x ∈，π]2时，()f x 的最大值为5，求a 的值；（3）当1a =时，若不等式|()|2f x m -<在[0x ∈，π]2上恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）f （x ）=＝2a sin （2x 6π+），单调递增区间为[k π3π-，k π6π+]（k ∈Z ）；（2）a ＝﹣5或a 52=．（3）（0，1）． 【解析】 【分析】（1）化简f （x ）＝2a sin （2x 6π+），再利用三角函数性质求单调区间； （2）讨论a 的正负，确定最大值，求得a ；（3）化简不等式，转化恒成立问题为函数的最值问题，即可求解．【详解】（1）f （x ）OA =•OB =2a cos 2x sin2x ﹣a ＝2a sin （2x 6π+）， ∵a ＞0，∴2k π2π-≤2x 6π+≤2k π2π+（k ∈Z ）∴函数f （x ）的单调递增区间为[k π3π-，k π6π+]（k ∈Z ）（2）f （x ）＝2a sin （2x 6π+），当x ∈[0，2π]时，2x 6π+∈[6π，76π]；若a ＞0，2a ＝5，则a 52=； 若a ＜0，﹣a ＝5，则a ＝﹣5； 综上所述，a ＝﹣5或a 52=． （3）∵|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，2π]上恒成立， ∴f （x ）﹣2＜m ＜f （x ）+2，x ∈[0，2π]上恒成立，∴f （x ）max ﹣2＜m ＜f （x ）min +2，x ∈[0，2π]∵f （x ）＝2sin （2x 6π+）在[0，2π]上的最大值为2，最小值为﹣1．∴0＜m ＜1．即实数m 的取值范围为（0，1）．【点睛】本题考查了平面向量的应用，三角函数的单调性与最值，三角函数的化简，恒成立问题的处理及分类讨论的数学思想，综合性很强，属于难题． 20.已知在ABC 中，D 为BC 中点，1an 2t BAD ∠=，1an 3t CAD ∠=． (1)求BAC ∠的值；(2)若AD =ABC 面积． 【答案】（1）∠BAC 4π=（2）4．【解析】 【分析】（1）直接利用两角和的正切公式求出结果． （2）在△ABC 和△ABD，利用正弦定理得以AC AD =，求得AC ＝4，AB ＝，再利用三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（1）在△ABC 中，D 为BC 中点，12tan BAD ∠=，13tan CAD ∠=． 所以tan ∠BAC ＝tan （∠BAD +∠CAD ）1123111123+==-⋅，由于0＜∠BAC ＜π，故∠BAC 4π=．（2）如图由12tan BAD∠=，13tan CAD∠=，所以5sin BAD∠=，10sin CAD∠=．在△ABC和△ABD，利用正弦定理BD ADsin BAD sinB=∠，BC ACsin BAC sinB=∠得4BCsinACBDADsin BADπ=∠，又BC＝2BD，所以210ACAD=，由于10AD=，所以AC＝4，同理可得AB＝22．所以112224422ABCS AB ACsin BAC=⋅∠=⋅⋅⋅=．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的和角公式的运用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花．若BC＝a，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S1,正方形的面积为S2．(1)用a，θ表示S1和S2；(2)当a固定，θ变化时，求12SS取最小值时的角θ．【答案】（1）S 112=a 2sin θcos θ；S 2＝21asin cos sin cos θθθθ⎛⎫ ⎪+⎝⎭；（2）当θ4π=时，12S S 的值最小，最小值为94． 【解析】 【分析】（1）据题三角形ABC 为直角三角形，利用三角函数分别求出AC 和AB ，得出三角形ABC 的面积S 1；设正方形PQRS 的边长为x ，利用三角函数分别表示出BQ 和RC ，由BQ +QR +RC ＝a 列出方程求出x ，算出S 2；（2）化简比值12S S ，设t ＝sin2θ来化简求出S 1与S 2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值以及对应此时的θ．【详解】（1）在Rt △ABC 中，AB ＝a cos θ，AC ＝a sin θ，所以S 112=AB •AC 12=a 2sin θcos θ； 设正方形的边长为x 则BP xsinB=，AP ＝x cos θ，由BP +AP ＝AB ，得xsin θ+x cos θ＝a cos θ， 解得x 1asin cos sin cos θθθθ=+；所以S 2＝x 221asin cos sin cos θθθθ⎛⎫= ⎪+⎝⎭；（2）()212112sin cos S S sin cos θθθθ+=⋅ 211222sin sin θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1124sin θ=+sin2θ+1， 令t ＝sin2θ，因为 0＜θ2π＜，所以0＜2θ＜π，则t ＝sin2θ∈（0，1]，所以12114S S t =+t +1； 设g （t ）114t =+t +1， 则g ′（t ）2114t =-+，t ∈（0，1]；所以函数g （t ）在（0，1]上递减，因此当t ＝1时g （t ）有最小值g （t ）min ＝g （1）1114=+⨯1+194=， 此时sin2θ＝1，解得θ4π=；所以当θ4π=时，12S S 的值最小，最小值为94． 【点睛】本题考查了根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力，是综合题．22.设O 为坐标原点，定义非零向量(OM a =，)b 的“相伴函数”为()sin cos ()f x a x b x x =+∈R ，向量OM =(a ，)b 称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．(1)设函数ππ()2sin()cos()36h x x x =--+，求证：()h x S ∈；(2)记(0OM =，2)的“相伴函数”为()f x ，若函数()()sin |1g x f x x =+-，[0x ∈，2π]与直线y k =有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；(3)已知点(M a ，)b 满足22431a ab b -+=，向量OM 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值．当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）13k <<（3）34⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，【解析】 【分析】（1）依题意，将ππ()2sin()cos()36h x x x =--+可化为h （x）1sin 2x x =-于是结论可证；（2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k 的范围（3）由f （x）（x +φ）可求得x 0＝2k π2π+-φ，k ∈Z 时f （x ）取得最大值，其中tan x 0a b=，换元求得ab 的范围，再利用二倍角的正切可求得tan2x 0的范围．【详解】（1）∵ππ()2sin()cos()36h x x x =--+1sin 2x x =-∴函数h （x ）的相伴向量OM =（12-， ∴h （x ）∈S（2）∵()2cos f x x =则4sin 1,06()2cos 14cos 1,23x x g x x x x x πππππ⎧⎛⎫+-≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=+-=⎨⎛⎫⎪+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，[0x ∈，2π]则()g x 在03π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，3ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，53ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，523ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，又()()()401,3,1,5,2133g g g g g ππππ⎛⎫⎛⎫====-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；函数()()sin |1g x f x x =+-，[0x ∈，2π]与直线y k =有且仅有四个不同的交点，实数k 的取值范围为13k <<（3）OM 的相伴函数f （x ）＝a sin x +b cosx =（x +φ）， 其中cosφ=，sinφ=当x +φ＝2k π2π+，k ∈Z 即x 0＝2k π2π+-φ，k ∈Z 时f （x ）取得最大值，∴tan x 0＝tan （2k π2π+-φ）＝cot φa b=， ∴tan2x 0022022211()atanx b a b atan x b a b⨯===---． 令m b a =，则()()2223411043410m m a m m -+-=∴∆=-+≥ 解得113m ≤< （m=1不成立）则tan2x021mm=-，（113m≤<）∵1y mm=-单调递增，故m1m-∈8,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∴tan03 42x⎛⎤∈-∞-⎥⎝⎦，【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，考查二倍角的正切与向量的模，考查综合分析与解不等式的能力，难度大，属于难题．。

第1页，共21页江苏省启东中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题（创新班）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在数列{a n }中，a n +1=a n +2+a n ，a 1=2，a 2=5，则a 6的值是（ ）A. B. C. D. 19‒3‒11‒52.直线的倾斜角α=（ ）x ‒3y ‒1=0A. B. C. D. 30∘60∘120∘150∘3.已知直线l 过定点P （-1，2），且与以A （-2，-3），B （-4，5）为端点的线段有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A. B. [‒1,5](‒1,5)C. D. (‒∞,‒1]∪[5,+∞)(‒∞,‒1)∪(5,+∞)4.如果数列{a n }满足a 1=2，a 2=1，且（n ≥2），则这个数列的第10a n ‒1‒a na n ‒1=a n ‒a n +1a n +1项等于（ ）A. B. C.D.1210129151105.已知{a n }的通项公式是a n =（n ∈N +），则数列的最大项是第（ ）项nn 2+156A. 12B. 13C. 12或13D. 不确定6.已知点P （x ，y ）到A （0，4）和B （-2，0）的距离相等，则2x +4y 的最小值为（ ）A. 2B. 4C. D. 82427.设直线l 的斜率为k ，且-1，求直线l 的倾斜角α的取值范围（ ）＜k ≤3A.B.C.D.[0,π3)∪(3π4,π)[0,π6)∪(3π4,π)(π6,3π4)[0,π3]∪(3π4,π)8.已知数列{a n }的通项公式为a n =log 2（n ∈N *），设其前n 项和为S n ，则使S n ＜-n +1n +25成立的自然数n （ ）A. 有最小值63B. 有最大值63C. 有最小值31D. 有最大值319.设入射光线沿直线y =2x +1射向直线y =x ，则被y =x 反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）A. B. C. D. x ‒2y +3=0x ‒2y +1=03x ‒2y +1=0x ‒2y ‒1=010.给出下列五个命题：①过点（-1，2）的直线方程一定可以表示为y -2=k （x +1）（k ∈R ）的形式；②过点（-1，2）且在x ，y 轴截距相等的直线方程是x +y -1=0；③过点M （-1，2）且与直线l ：Ax +By +C =0（AB ≠0）垂直的直线方程是B （x +1）+A （y -2）=0；④设点M （-1，2）不在直线l ：Ax +By +C =0（AB ≠0）上，则过点M 且与直线l 平行的直线方程是A （x +1）+B （y -2）=0；⑤点P （-1，2）到直线ax +y +a 2+a =0的距离不小于2．以上命题中，正确的序号是（ ）A. B. C. D. ②③⑤④⑤①④⑤①③11.对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数．已知正数数列{a n }满足S n =（a n +），121a n n ∈N +，其中S n 为数列{a n }的前n项和，则++…+=（ ）1[S 1]1[S 2]1[S 80]A. B. C.D.232314052412802603140517128012.已知数列{a n }中，a 1=2，n （a n +1-a n ）=a n +1，n ∈N *．若对于任意的t ∈[0，1]，n ∈N *，不等式＜-2t 2-（a +1）t +a 2-a +3恒成立，则实数a 的取值范围为（ a n +1n +1）A. B. (‒∞,‒1)∪(3,+∞)(‒∞,‒2]∪[1,+∞)C. D. (‒∞,‒1]∪[3,+∞)[‒1,3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =2a n +1，则a n =______．14.将一张坐标纸折叠一次，使点（10，0）与点（-6，8）重合，则与点（-4，2）重合的点是______．第3页，共21页15.已知a ，b ，c均为正数，且（2a +b ）（b +2c ）=1，则的最大值是______．1a +b +c 16.对于任一实数序列A ={a 1，a 2，a 3…}，定义△A 为序列{a 2-a 1，a 3-a 2，a 4-a 3，…}，它的第n 项是a n +1-a n ，假定序列△（△A ）的所有项都是1，且a 18=a 2017=0，则a 2018=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l 1：ax +by +1=0（a ，b 不同时为0），l 2：（a -2）x +y +a =0，（1）若b =0，且l 1⊥l 2，求实数a 的值；（2）当b =3，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离．18.已知直线l 1：2x -y +2=0与l 2：x +2y -4=0，点P （1，m ）．（Ⅰ）若点P 到直线l 1，l 2的距离相等，求实数m 的值；（Ⅱ）当m =1时，已知直线l 经过点P 且分别与l 1，l 2相交于A ，B 两点，若P 恰好平分线段AB ，求A ，B 两点的坐标及直线l 的方程．19.已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足2S n =（n +1）a n ，（n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =3n -λa n 2，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围．20.如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB |=3米，|AD |=2米．（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积．21.已知△ABC 的两条高所在直线方程为x +y =0，2x -3y +1=0，若A （1，2），求直线BC 的方程．22.设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n =5S n +1成立，记b n =（n ∈N +）．4+a n1‒a n （1）求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；（2）求证：①b 2k -1+b 2k ＜8对k ∈N +恒成立．②R n ＜4n 对n ∈N +恒成立，其中R n 为数列{b n }的前n 项和．（3）记c n =b 2n -b 2n -1（n ∈N +），T n 为{c n }的前n 项和，求证：对任意正整数n ，都第5页，共21页有T n ＜．32答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵a1=2，a2=5，a n+1=a n+2+a n，∴令n=1代入上式得a2=a3+a1=5，∴a3=3依此类推得a4=1，a5=-2，a6=-3．故选：A．依次令n为1、2、3、4代入递推公式，利用前两项的值分别求出．本题主要考查了数列递推公式的应用，当所求的项数较小时，可以利用递推公式依次求出即可．2.【答案】A【解析】解：可得直线的斜率为k==，由斜率和倾斜角的关系可得tanα=，又∵0°≤α≤180°∴α=30°故选：A．由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．本题考查直线的倾斜角，由直线的方程求出直线的斜率是解决问题的关键，属基础题．3.【答案】A【解析】第7页，共21页解：直线PA 的斜率为 k 1==5，直线PB 的斜率为 k 2==-1，结合图象可得则直线l 的斜率k 的取值范围是k 2≤k≤k 1，即则直线l 的斜率k 的取值范围是[-1，5]，故选：A ．先利用斜率公式求得直线PA ，PB 的斜率结合图象可得则直线l 的斜率k 的取值范围．本题主要考查直线的斜率和倾斜角的关系，直线的斜率公式，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵，∴，∴===（），∴∴=，即{}为等差数列，（n≥2）．然后可得d=，，∴．故选：C ．由题设条件知，所以，由此能够得到{}为等差数列，从而得到第10项的值．本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．5.【答案】C【解析】解：{a n}的通项公式是a n=（n∈N+），令f（x）=（x≥1），则f′（x）==．∴x=时，函数f（x）取得极小值即最小值．∵＜13．又f（12）=f（13）==．则数列的最大项是第12或13项．故选：C．{a n}的通项公式是a n=（n∈N+），令f（x）=（x≥1），利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了数列的单调性、利用导数研究函数单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：因为点P（x，y）到A（0，4）和B（-2，0）的距离相等所以点P（x，y）在A，B的垂直平分线上，且过A B的中点（-1，2）所以垂线方程为：X+2Y-3=0 即X+2Y=3因为2X+4Y=2X+22Y，且2x＞0，22y＞0，所以2x+4y=2x+22y≥==所以最小值为，故选：D．首先根据因为点P（x，y）到A（0，4）和B（-2，0）的距离相等得到P在AB的垂直平分线上，然后求出垂线的方程，最后根据基本不等式求解．本题考查两点间的距离公式，以及基本不等式的应用，通过对题目的分析抽象出数学模型，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：直线l的斜率为k，且-1，∴-1＜tanα≤，α∈[0，π）．∴α∈∪．故选：D．直线l的斜率为k，且-1，可得-1＜tanα≤，α∈[0，π）．即可得出．本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵a n=log 2，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=log2+log 2+…+log 2=log 2=log2，又因为S n＜-5=log 2⇒⇒n＞62，故使S n＜-5成立的正整数n有最小值：63第9页，共21页故选：A．先有{a n}的通项公式和对数的运算性质，求出S n，再把S n＜-5转化为关于n 的不等式即可．本题考查了数列的求和以及对数的运算性质，是一道基础题．9.【答案】D【解析】解：联立解得：x=y=-1，所以入射线y=2x+1与直线y=x的交点为（-1，-1），在入射线y=2x+1上取一点（0，1），则它关于直线y=x的对称点（1，0）必在反射光线上，由两点式得反射线所在的直线方程为：=，即x-2y-1=0，故选：D．依据光学知识，入射线所在直线上点（0，1）关于y=x的对称点在反射线所在直线上．本题考查了与直线关于直线对称问题．属中档题．10.【答案】B【解析】解：对于①，过点（-1，2）的直线方程不一定可以表示为y-2=k（x+1）（k∈R）的形式，如斜率不存在时为x+1=0，∴①错误；对于②，过点（-1，2）且在x，y轴截距相等的直线方程是x+y-1=0或y=-2x，∴②错误；对于③，过点M（-1，2）且与直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0，代入点M的坐标求得m=-A-2B，故所求的直线方程为B（x-2）-A（y+1）=0，∴③错误；对于④，设点M（-1，2）不在直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）上，可设过点M且与直线l平行的直线方程为Ax+By+n=0，代入点M可得n=A-2B，故所求的直线方程是A（x+1）+B（y-2）=0，④正确；对于⑤，点P（-1，2）到直线ax+y+a2+a=0的距离为d===+≥2＞2，当且仅当a=±1时取“=”，∴⑤正确；综上所述，正确的命题序号是④⑤．故选：B．①斜率不存在时不满足方程；②截距相等且为0时的直线方程是y=-2x；③求出过点M且与直线l垂直的直线方程即可；④求出过点M且与直线l平行的直线方程即可；⑤求出点P到直线ax+y+a2+a=0的距离，并利用基本不等式求出最小值．本题考查了直线方程的应用问题，是综合题．11.【答案】B【解析】解：由S n =（a n +），令n=1，得a1=S1=（a1+），∵a n＞0，得a1=1．当n≥2时，S n =（a n +）=（S n-S n-1+），即S n2-S n-12=1，第11页，共21页因此，数列{S n2}是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n2=n，即S n=，[S1]=1，[S2]=1，[S3]=1，[S4]=…=[S8]=2，[S9]=…=[S15]=3，…，[S64]=…=[S80]=8，则++…+=1×3+×5+×7+×9+×11+×13+×15+×17=．故选：B．求得数列的首项，由数列矛盾递推式可得S n2-S n-12=1，数列{S n2}是首项为1，公差为1的等差数列，求得S n，结合新定义分别求得各项的值，相加可得所求和．本题考查数列的通项和求和的关系，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查新定义的理解和运用，以及化简运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：根据题意，数列{a n}中，n（a n+1-a n）=a n+1，∴na n+1-（n+1）a n=1，∴-==-，∴=（-）+（-）+…+（a2-a1）+a1，=（-）+（-）+…+（1-）+2=3-＜3，∵＜-2t2-（a+1）t+a2-a+3恒成立，∴3≤-2t2-（a+1）t+a2-a+3∴2t2+（a+1）t-a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立，设f（t）=2t2+（a+1）t-a2+a，t∈[0，1]，∴，即，解得a≤-1或a≥3，故选：C．根据题意，数列{a n}中，n（a n+1-a n）=a n+1，可得-=-，利用迭代法和裂项求和，以及放缩法可得＜3，则原不等式可转化为2t2+（a+1）t-a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立，构造函数f（a）=2t2+（a+1）t-a2+a，t∈[0，1]，可得，解得即可本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对n（a n+1-a n）=a n+1的变形，属于难题13.【答案】{1n=1 12⋅(32)n‒2n≥2【解析】解：∵S n=2a n+1，∴n≥2时，S n-1=2a n，两式相减可得a n=2a n+1-2a n，即：=∴数列{a n}从第2项起，是等比数列，∵a1=1，S1=2a2，∴a2=∴n≥2时，a n=∵a1=1，∴a n=第13页，共21页故答案为：直接利用已知条件求出a2，通过S n=2a n+1，推出数列{a n}从第2项起，是等比数列，即可求得结论．本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于中档题．14.【答案】（4，-2）【解析】解：已知点A（10，0），点B（-6，8），可得中点M（2，4）．则k AB==-．∴线段AB的垂直平分线为：y-4=2（x-2），化为2x-y=0．设点（-4，2）关于直线2x-y=0的对称点为P（a，b），则，解得．∴与点（-4，2）重合的点是（4，-2）．故答案为：（4，-2）．利用线段的垂直平分线的性质可得线段AB的垂直平分线即可得出．本题考查了线段的垂直平分线的性质，属于基础题．15.【答案】1【解析】解：根据题意，（2a+b）（b+2c）=1，则（2a+b）=，==，又由（2a+b）+≥2=2，则≤=1，即的最大值1；故答案为：1．根据题意，由（2a+b）（b+2c）=1可得（2a+b）=，进而可得==，利用基本不等式的性质可得（2a+b）+的值，据此分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是对的变形，属于基础题．16.【答案】1000【解析】解：设序列DA的首项为d，则序列DA为{d，d+1，d+2，…}，则它的第n项为d+（n-1），因此数列A的第n项，a n=a1+（a k+1-a k）=a1+d+（d+1）+…+（d+n-2）=a1+（n-1）d+（n-1）（n-2），则a n是关于n的二次多项式，其中n2的系数为，∵a18=a2017=0，∴必有a n=（n-18）（n-2017），则a2018=（2018-18）（2018-2017）=×2000×1=1000．故答案为：1000．根据高阶等差数列的定义，进行推理即可得到结论．第15页，共21页本题主要考查数列的概念和表示，根据定义进行递推关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．17.【答案】解：（1）b =0，直线l 1：ax +1=0（a ，b 不同时为0），l 2：（a -2）x +y +a =0，∵l 1⊥l 2，∴a -2=0，解得a =2．（2）b =3，直线l 1：ax +3y +1=0，由3（a -2）-a =0，解得a =3．∴两条方程分别化为：x +y +=0，x +y +3=0，满足l 1∥l 2，13∴直线l 1与l 2之间的距离==．|13‒3|2423【解析】（1）b=0，直线l 1：ax+1=0（a ，b 不同时为0），l 2：（a-2）x+y+a=0，根据l 1⊥l 2，可得a-2=0，解得a ．（2）b=3，直线l 1：ax+3y+1=0，由3（a-2）-a=0，解得a ．再利用平行线之间的距离公式即可得出．本题考查了平行线垂直直线与斜率之间的关系、平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（I ）由题意得，解得m =-1或m =|4‒m|5=|2m ‒3|573（II ）设A （a ，2a +2），B （4-2b ，b ）则{a +(4‒2b)=2(2a +2)+b =2解得a =-，b =2545∴A （-，），B （，）256512545∴k ==-1‒651‒(‒25)17∴直线l的方程为：y -1=-（x -1）即x +7y -8=017【解析】第17页，共21页（I ）根据点到直线的距离公式得出，求出m 即可．（II ）设出A 和B 的坐标公式，由中点坐标公式得出则，进而求出点A 和点B 的坐标以及直线l 的斜率，从而求出直线的斜率．此题考查了两直线的交点坐标、点到直线的距离公式以及直线方程的求出，解题过程中要仔细确保计算准确性，属于中档题．19.【答案】解：（1）∵2S n =（n +1）a n ，∴2S n +1=（n +2）a n +1，两式相减可得2a n +1=（n +2）a n +1-（n +1）a n ，即na n +1=（n +1）a n ，∴，a n +1n +1=a n n ∴，a n n=a n ‒1n ‒1=…=a 11=1∴a n =n （n ∈N *）．（2），b n =3n ‒λn 2.-（3n -λn 2）=2•3n -λ（2n +1）．b n +1‒b n =3n +1‒λ(n +1)2∵数列{b n }为递增数列，∴2•3n -λ（2n +1）＞0，即．λ＜2⋅3n2n +1令，则．c n =2⋅3n2n +1c n +1c n=2⋅3n +12n +3⋅2n +12⋅3n=6n +32n +1＞1∴{c n }为递增数列，∴λ＜c 1=2，即λ的取值范围为（-∞，2）．【解析】（1）运用数列的递推式：n=1时，a 1=S 1，n ＞1时，a n =S n -S n-1，将n 换为n+1，两式相减可得na n+1=（n+1）a n ，整理变形，即可得到所求通项公式；（2）数列{b n }为递增数列，作差可得2•3n -λ（2n+1）＞0，运用参数分离，构造，判断单调性，即可所求范围．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式：n=1时，a 1=S 1，n ＞1时，a n =S n -S n-1，考查数列的单调性的运用，注意运用分离参数，考查化简整理的运算和变形能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）解：设AN 的长为x 米（x ＞2）由题意可知：∵∴∴|DN||AN|=|DC||AM|x ‒2x=3|AM||AM|=3xx ‒2∴S AMPN =|AN|⋅|AM|=3x 2x ‒2由S AMPN ＞32得，3x 2x ‒2＞32∵x ＞2∴3x 2-32（x -2），即（3x -8）（x -8）＞0（x ＞2）解得：2＜x ＜83或x ＞8即AN 长的取值范围是(2，83)∪(8，+∞)（2）解法一：∵x ＞2，∴S AMPN=3x 2x ‒2=3(x ‒2)2+12(x ‒2)+12x ‒2=3(x ‒2)+12x ‒2+12≥23(x ‒2)12x ‒2+12=24(10分)当且仅当，即x =4时，取“=”号3(x ‒2)=12x ‒2即AN 的长为4米，矩形AMPN 的面积最小，最小为24米．解法二：∵∴S =3x 2x ‒2(x ＞2)S'=6x(x ‒2)‒3x 2(x ‒2)2=3x 2‒12x (x ‒2)2=3x(x ‒4)(x ‒2)2令S '=0得x =4当2＜x ＜4时，S '＜0当x ＞4时S '＞0当x =4时，S 取极小值，且为最小值．即AN 长为4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小为24平方米．【解析】（1）由题意设出AN 的长为x 米，因为三角形DNC ∽三角形ANM ，则对应线段成比例可知AM ，表示出矩形AMPN 的面积令其大于32得到关于x 的一第19页，共21页元二次不等式，求出解集即可；（2）解法1：利用当且仅当a=b 时取等号的方法求出S 的最大值即可；解法2：求出S′=0时函数的驻点，讨论函数的增减性得出函数的最大值即可．考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．以及用当且仅当a=b 时取等号的方法求最值的能力．21.【答案】解：设高线CD ：x +y =0，BE ：2x -3y +1=0，由{x +y =02x ‒3y +1=0求得，可得垂心H （-，）．{x =‒15y =151515∴高线AH 的斜率，k AH =2‒151‒(‒15)=32由“三条高线交于一点”可得：AH ⊥BC ，∴．k BC =‒23∵AC ⊥BE ，设AC ：3x +2y +m =0，代入A （1，2）解得：m =-7，∴AC ：3x +2y -7=0．把直线AC 、CD 的直线方程联立方程组，求得，∴C （7，-7）．{x =7y =‒7∴，整理后可得：2x +3y +7=0．BC ：y +7=‒23(x ‒7)即直线BC 的方程为：2x +3y +7=0．【解析】先求出垂心H 的坐标，可得AH 的斜率，进而得到BC 的斜率．用点斜式求得AC 的方程，把AC 的方程和高线CD 的方程联立方程组，求得点C 的坐标，再用点斜式求出BC 的方程．本题主要考查求两条直线的交点，用点斜式求直线的方程，属于基础题．22.【答案】（1）解：当n =1时，a 1=5a 1+1，∴a 1=-．14又∵a n =5S n +1，a n +1=5S n +1+1，∴a n +1-a n =5a n +1，即a n +1=-a n ，14∴数列{a n }成等比数列，其首项为a 1=-，公比q =-，1414∴a n =（-）n ，∴b n ==；144+a n1‒a n 4+(‒14)n1‒(‒14)n （2）证明：①由（1）知b n ==．4+(‒14)n1‒(‒14)n4+5(‒4)n ‒1∵b 2k -1+b 2k =8++=8-＜8；5(‒4)2k ‒1‒15(‒4)2k ‒115⋅16k ‒40(16k ‒1)(16k +4)②当n 为偶数时，设n =2m （m ∈N *），则R n =（b 1+b 2）+（b 3+b 4）+…+（b 2m -1+b 2m ）＜8m =4n ；当n 为奇数时，设n =2m -1（m ∈N *），则R n =（b 1+b 2）+（b 3+b 4）+…+（b 2m -3+b 2m -2）+b 2m -1＜8（m -1）+4=8m -4=4n ，∴对一切的正整数n ，都有R n ＜4n ；（3）证明：由（1）知b n ==，4+(‒14)n1‒(‒14)n 4+5(‒4)n ‒1得c n =b 2n -b 2n -1=+=＜．542n ‒1542n ‒1+115⋅16n(16n )2+3⋅16n ‒41516n 又b 1=3，b 2=，∴c 1=，13343∴当n =1时，T 1＜；32当n ≥2时，T n ＜+15（）＜=＜．431162+1163+…+116n43+116674832【解析】（1）把n=1代入a n =5S n +1中，即可求出首项a 1，然后把n 换为n+1，利用a n =5S n +1表示出a n+1，两个式子相减并利用S n+1-S n =a n 化简后即可得到的值即为公比，得到此数列为等比数列，然后根据首项和公比写出数列的通项公式即可，因而可得出b n 的通项公式；（2）①化简b n 的通项公式，可知b 2k-1+b 2k ＜8；②结合①对n 分类证明R n ＜4n 对n ∈N +恒成立；（3）由b n的通项公式，计算出{c n}的通项公式，再由放缩法证明对任意正整数n，都有T n ＜．本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，训练了利用放缩法证明数列不等式，属难题．第21页，共21页。