第十章 超静定拱

第十章超静定结构一、内容提要1、理解超静定结构中的一些基本概念，即：静定与超静定、超静定次数、多余约束、超静定系统（结构）、基本静定系以及相当系统等。

2、熟练掌握用力法求解超静定结构。

3、掌握对称与反对称性质并能熟练应用这些性质求解超静定结构。

4、了解连续梁的概念以及三弯矩方程。

二、基本内容1、超静定系统中的一些基本概念超静定结构或系统：用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构或结构系统。

静定结构或系统：无多余联系的几何不变的承载结构系统，其全部约束反力与内力都可由静力平衡方程求出的机构或结构系统。

多余约束：在无多余联系的几何不变的静定系统上增加约束或联系。

外超静定：超静定结构的外部约束反力不能全由静力平衡方程求出的情况。

内超静定：超静定结构内部约束(或联系)形成的内力不能单由静力平衡方程求出的情况。

混合超静定结构：对于内、外超静定兼而有之的结构。

基本静定系：解除超静定结构的某些约束后得到静定结构，称为原超静定结构的基本静定系（简称为静定基）。

静定基的选择可根据方便来选取，同一问题可以有不同选择。

相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统称为静不定问题的相当系统。

超静定次数：超静定结构的所有未知约束反力和内力的总数与结构所能提供的独立的静力平衡方程数之差。

2、力法与正则方程力法：以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，通过变形协调条件作为补充方程求来解未知约束力，这种方法称为力法，又叫柔度法。

应用力法求解超静定问题的步骤：1）根据问题，确定其是静定还是超静定问题，如为后者，则确定超静定次数。

2）确定哪些约束是多余约束，分析可供选择的基本静定系，并注意利用对称性，反对称性，选定合适的静定系统，在静定系上加上外力和多余约束力，形成相当系统。

3）比较相当系统与原系统，在多余约束处，确定变形协调条件，并列写正则方程（对有n个多余约束的结构）011212111=∆++⋅⋅⋅++F Rn n R R F F F δδδ022222121=∆++⋅⋅⋅++F Rn n R R F F F δδδ.02211=∆++⋅⋅⋅++nF Rn nn R n R n F F F δδδ其中F Ri 表示n 个多余约束力，δij 表示F Rj ＝1引起i 处沿F Ri 方向的位移，∆iF 表示结构所有已知载荷产生的在i 处沿F Ri 方向的位移。

第十章静定结构和超静定结构课题：第一节结构的计算简图[教学目标]一、知识目标：1、理解结构计算简图的作用和意义。

2、掌握结构计算简图基本的简化方法。

二、能力目标：通过对结构计算简图的讲解，提高学生分析问题的能力。

三、素质目标：培养学生善于区分事物的主要矛盾和次要矛盾[教学重点]1、支座的简化和节点的简化。

2、计算简图的概念和要求。

[难点分析]计算简图简化的原理。

[学生分析]学生由于缺乏实际工程知识，不太理解计算简图的作用以及这种分析方法。

[辅助教学手段]理论联系实际、分析、讨论的方法[课时安排]1课时[教学内容]一、导入新课何谓结构？结构的举例。

通过启发学生联系工程实例，理解结构的概念。

二、新课讲解1．结构的计算简图2．结构的计算简图应满足的要求（1）基本上反映结构的实际工作性能（2）计算简便3．实际结构的计算简图的简化（1）支座的简化三种形式；简支梁、阳台、柱的实例。

（2）节点的简化铰节点和刚节点的特点及其应用（3）构件的简化实际上是力学中杆件的简化（4）荷载的简化集中荷载和均布荷载三、讨论1 牛腿柱的计算简图2 雨蓬的计算简图四、小结在结构设计中，选定了结构的计算简图后，在按简图计算的同时，还必须采取相应的措施，以保证实际结构的受力和变形特点与计算简图相符。

五、作业思考题：1课题：第二节平面结构的几何组成分析[教学目标]一、知识目标：1、理解几何组成分析的作用和意义。

2、了解结构从几何组成的观点的分类。

3、了解结构几何组成分析的规则和方法。

4、了解静定结构和超静定结构的概念。

5、会对简单结构进行几何组成分析。

二、能力目标：通过对结构几何组成分析的讲解，提高学生分析问题的能力。

三、质目标：培养学生善于区分事物的主要矛盾和次要矛盾[教学重点]1、几何组成分析的意义和结果。

2、几何组成分析的方法。

[难点分析]结构几何组成分析的概念和方法都比较抽象，尤其是方法，学生学习起来比较困难。

讲解时，淡化理论，结合例题讲解。

弹性中心法求解超静定拱范坤杰（哈尔滨工业大学（威海）土木工程系，山东 威海 264200）摘 要：对弹性中心法进行了简述与介绍，并详细分析了其简化的原理以及一般运用计算的过程。

关键词：弹性中心法，超静定拱，力法，内力求算，简化过程拱结构在工程中的应用极为泛，桥梁工程方面，有闻名遐迩的赵州石拱桥；建筑工程方面，诸如比萨大教堂，圣彼得大教堂等著名建筑也都在不同程度上采用了拱结构。

时至今日，双曲拱桥，落地式拱顶结构，带拉杆式的拱式屋架等现代拱式结构已被大量运用于土木工程之中。

超静定拱绝大部分是无铰拱或是两铰拱。

两铰拱是一次超静定结构，求解时通常只需解除一水平约束，用力法一般步骤进行计算即可，只是由于拱是曲杆，在计算位移11δ，1P ∆时不能使用图乘法，必须进行积分，从而增大了计算量。

而无铰拱却是三次超静定结构，若采用普通的力法解题方案，解除三个约束，列出三元一次方程组进行求解，则计算量过于繁杂，正确性很难保证。

为此，力学专家们对无铰拱的计算进行了两部分简化，一是利用结构对称性的简化，二是利用刚臂的简化，最终形成了一种相对更简便清晰的方法——弹性中心法。

弹性中心法是力法的一种简化计算方法，它适用于对称无铰拱，对称封闭刚架和封闭环形结构的计算。

其基本思路：对以上适用的三种结构，首先选用对称的基本结构，同时将荷载分解成对称和反对称两组，并建立相应的求解多余未知力的力法联立方程；通过增加刚臂并调整刚臂的长度，使力法方程中的副系数等于0，从而将求解联立方程的问题转化为求解若干个独立方程的问题。

1 简化过程1．1利用结构对称性无铰拱为对称结构，在拱顶将其截开，如图1所示，以拱顶处弯矩1X 、轴力2X 和剪力3X 为多余未知力。

由于1X 与2X 为对称未知力，3X 为反对称未知力，则31δ=13δ=0，23δ=32δ=0。

由此消掉4个位移量，实现了方程组（a ）到方程组（b ）的转换。

（a ）111122133121122223323113223333+++=0+++=0+++=0P P P X X X X X X X X X δδδδδδδδδ∆∆∆（b ）111122121122223333++=0++=0+=0P P P X X X X X δδδδδ∆∆∆图1：1．2利用刚臂为使方程组进一步简化，考虑消掉12δ，21δ这两个位移量。

第七节超静定拱超静定拱结构是工程中应用很广泛的一种结构型式，广泛应用在桥梁、水利及建筑工程中。

在桥梁工程方面，常采用石拱桥和钢筋混凝土拱桥，比如历史上有著名的赵州石拱桥，近年来又有双曲拱桥被广泛应用，其外形在纵横两个方向均成弧形曲线，如图7-40(a)所示。

在建筑工程上，常采用带拉杆的拱式屋架，屋架中曲杆为钢筋混凝土构件，拉杆为角钢，吊杆是为了防止拉杆下垂而设的附件，如图7-40(b)所示。

超静定拱有两铰拱和无铰拱两种形式，其计算简图分别如图7-41(a)和图7-41(b)所示。

在屋盖结构中采用的两铰拱，通常在拱中设置具有一定刚度的拉杆，形成带拉杆的两铰拱，如图7-41(c)所示。

设置拉杆的目的，一方面是使砖墙或立柱不受推力，从而在砖墙或立柱中不产生弯矩；另一方面又使拱肋承受推力，从而减小了拱肋的弯矩。

工程中闭合环形结构（图7-41(d)）通常也可看作是无铰拱的一种特殊情形。

图7-40 拱式结构(a)双曲拱桥 (b)带拉杆的拱式屋架图7-41 两铰拱和无铰拱(a)两铰拱 (b)无铰拱 (c)带拉杆两铰拱 (d)闭合环形结构这节先讨论两铰拱的计算。

两铰拱包括不带拉杆的两铰拱和带拉杆的两铰拱，这里分开讨论。

一、不带拉杆两铰拱的计算如图7-42(a)所示两铰拱承受竖向荷载作用，已知拱肋抗拉压刚度EA、抗弯刚度EI。

两铰拱是一次超静定结构，下面采用力法计算。

图7-42 不带拉杆两铰拱的计算(a)不带拉杆两铰拱 (b)基本体系 (c)11X =单独作用 (d)原荷载单独作用（1）基本体系和力法方程力法计算时，将撤去支座B 处水平支杆得到的曲梁作为基本结构，基本体系如图7-42(b)所示。

基本未知量1X 为两铰拱支座B 处水平支反力。

根据基本结构在原荷载与1X 共同作用下，在支座B 处沿1X 方向的水平位移为零的变形条件，建立力法方程为：11110P X δ+∆= (7-16a)(2)计算系数和自由项这里要注意，拱是曲杆，系数11δ和自由项P 1∆的计算都不能采用图乘法，需积分计算。