超静定结构的内力计算

四、简单超静定结构的力法计算
用力法计算超静定结构可按下列步骤进行： (1) 确定超静定次数，去掉多余约束并以多余未知力代替，得到原结构的基本体系。 (2) 根据基本结构在多余未知力和荷载共同作用下，在所去掉各多余约束处的位移与原结构 相应位移相等的条件，建立力法的典型方程。 (3) 依次做出基本结构在各单位未知力和荷载单独作用下的内力图，然后利用积分法(或图 乘法)计算典型方程中的各个系数以及自由项。 (4) 求解典型方程，得出各多余未知力。 (5) 按照分析静定结构的方法，由平衡条件和叠加原理绘制结构的内力图。 6.11 (6) 校核。
超静定结构的内力计算
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6.1
超静定结构的内力计算
本章内容
•力 法 •位 移 法 •力矩分配法 •习 题
6.2
超静定结构的内力计算
教学要求：本章要求学生了解简单超静定结构的计算原理。掌握 超静定结构的受力特性和超静定次数的判断。能用力法、位移法、力 矩分配法求解简单超静定结构。
三、力法的基本原理与力法的典型方程
现以一个二次超静定刚架为例，说明力法的基本原理以及如何建立多次超静定结构的力法 方程；再进一步推广到 次超静定结构，得到力法典型方程。
如图6.9所示的刚架为二次超静定结构，分析时必须解除两个多余约束。现去掉铰支座A ， 相应的代以多余约束力X1 ，X2得到如图6.9(b)所示的基本体系，由于原结构在支座A 处没有水 平位移和竖向位移，因此，基本结构在荷载和多余未知力X1 、X2 的共同作用下，铰支座A 处 也没有水平位移和竖向位移。即A 点沿X1 和X2 方向的位移： 6.7
Δ1 11 X1 12 X 2 L 1n X n Δ1P 0
Δ
2
21 X1 M
22 X 2
L
2n Xn Δ2P
0
Δn n1 X1 n2 X 2 L nn X n ΔnP 0
(6-1)
6.9
超静定结构的内力计算
力法
式(6-1)通常称为力法典型方程，其物理意义是：基本结构在多余未知力和荷载共同作用下， 多余约束处的位移和原来超静定结构相应的位移相等。
取AC，如图6.12(a)所示，分别由∑MA=0 ，∑x=0 ，∑y=0 ，得
QAC
QCA
3ql 28
，NAC =NCA
取CB，如图6.12(b)所示，分别由∑MB=0 ， ∑x=0 ，得：
QCB
4 7
ql
N BC
NCB
3 ql 28
取C结点，如图6.12(c)所示，由∑y=0 得：
6.15
4
NCA QCB 7 ql
δij= δji 典型方程中的各系数和自由项，都是基本结构在已知力作用下的位移计算，完全可以通过 静定结构的位移计算求出。 将求得的系数与自由项代入力法典型方程，解出各多余未知力X1，X2，…， Xn然后将已求 得的多余未知力和荷载共同作用在基本结构上，利用平衡条件，求出其余的反力和内力。在绘 制原结构的最后内力图时，可利用基本结构的单位内力图与荷载内力图按叠加法得到，即：
超静定结构的内力计算
力法
△1 ＝0 ， △2＝0
6.8
图6.9 力法解二次超静定刚架
超静定结构的内力计算
力法
设各单位未知力X1=1、X2=1 和荷载分别作用于基本结构上，A点沿X1 方向的位移分别为 δ11、 δ12、 △1P ；沿X2 方向的位移分别为δ21、 δ22、 △2P (如图6.9(c)、(d)、(e))所示。根据叠加 原理，上述位移条件可表示为：
在上述方程中，主对角线上未知力的系数δii( i=1，2，…，n) 称为主系数，它代表单位未知 力Xi=1 单独作用在基本结构上时，在i 处沿Xi 自身方向上所引起的位移，其值恒为正。其余的 系数δij( i≠j ) 称为副系数，它代表基本结构在未知力Xi 处，由未知力Xj=1 单独作用时引起的沿 Xi 方向的位移。自由项△iP 表示外荷载(或温度改变、支座移动)作用下，基本结构沿未知力Xi 方向所引起的位移。副系数δij( i≠j ) 和自由项△iP 的值可以为正、负或零。根据位移互等定理， 副系数存在以下关系：
七、超静定结构的特性
超静定结构有不同于静定结构的一些特性： (1) 由于存在多余约束，超静定结构的内力仅由静力平衡条件不能确定，必须同时考虑变形 条件才能求出，因此超静定结构的内力与材料性质和截面尺寸有关，即与杆件的刚度有关。 6.18
【例6.3】 如图6.13(a)所示的等截面梁 ，已知 端支座转动角度为 ， 端支座下沉位移 。试求 梁的弯矩图。
6.16
图6.13 例6.3图
超静定结构的内力计算
力法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解 (1) AB为一次超静定梁，去掉B支座多余约束，代以多余约束反力X1，基本体系如图6.13(b) 所示。
(2) 在X1 和θ、a共同作用下，基本体系与原结构受力相同。为了使两者变形也相同，必须 令基本体系在多余约束处的位移与原结构相同，即：
超静定结构的内力计算
力法
6.13
(2) 由已知点的位移条件，列出力法的典型方程：
11 X1 12 X 2 1P 0 21 X1 22 X 2 2P 0
(3) 作基本体系的 M 1, M 2, M P 图，利用图乘法求系数和自由项，并解方程求得X1、X2。
11
2
M 1 ds
1 (1 l l 2 l)
取结点B，由∑X=0 ，已知
x2
3 7
ql
得
3
NBC
ql 7
图6.12 求各杆轴力及剪力
超静定结构的内力计算
力法
同一超静定结构在求解时可选择各种不同形式的基本结构，结果必然相同。
五、超静定结构在温度变化、支座移动时的内力计算
对于超静定结构，即使没有荷载作用时也可能产生内力，如支座移动、温度变化以及制造 装配方面的误差都可以引起结构的内力。用力法计算由于支座移动、温度变化等引起结构的内 力时，其基本思路、原理和步骤与荷载作用下的内力计算基本相同，不同的只是力法的典型方 程中自由项的计算。以下只以支座移动时的计算为例来讲述。
图6.7 解除超静定结构多余约束
6.6
超静定结构的内力计算
力法
【例6.1】 确定如图6.8(a)所示结构的超静定次数。
图6.8 超静定结构
解 此结构去掉与地面相连的三根支杆后，桁架内部可看做两刚片(如图6.8(b)所示)用四根链杆 相连，是一次超静定结构。欲使其成为静定结构，在这四根链杆中任意去掉一根都可以。形成 的静定结构如图6.8(c)所示，被截断的杆件的作用力以一对多余未知力X1代替。
超静定结构的内力计算
力法
下面结合具体例子说明力法的运用。 【例6.2】 用力法计算如图6.10(a)所示的刚架，各杆的EI 相等且为常数，绘制内力图。
图6.10 超静定刚架
解 (1) 由几何组成分析知，该结构是二次超静定结构，去掉处的两个多余约束，得到基本结 构，如图6.10(b)所示。 6.12
l3
EI 2
3 3EI
X1
3EI l2
(
a) l
(3) 求内力。原超静定结构内力与基本体系相同，而支座移动在基本体系(静定结构)中不引
起内力，所以最后弯矩为：
M＝ M i X i
6.17
i
超静定结构的内力计算
力法
原结构的弯矩图如图6.13(e)所示。 由此可以看出，计算超静定结构由于支座移动引起的内力时，其力法方程右端项应等于原 结构相应处的位移，而自由项为基本结构由于支座移动产生的与多余未知力相应的位移。该两 项可直接由基本结构中变形关系求出。结构的最后内力全部由多余未知力引起。
图6.2 超静定梁
6.4
图6.3 超静定刚架 图6.4 超静定拱
超静定结构的内力计算
力法
(4) 超静定桁架，如图6.5所示。 (5) 超静定组合结构，如图6.6所示。
图6.5 超静定桁架
图6.6 超静定组合结构
超静定结构的计算方法很多，依据基本未知量选择的不同可以分为两类：一类是以多余未 知力为未知量的力法，即本节将要介绍的；另一类是以结点位移为未知量的位移法。其他的计 算方法大多由这两种方法派生而来，比如力矩分配法等。
二、超静定次数的确定
超静定结构多余约束力的数目，称为超静定次数。 结构的超静定次数可以这样来确定：如果结构去掉 个多余约束后即变为静定结构，则该结 构的超静定次数就为 。 解除超静定结构多余约束的方法主要有如下几种： (1) 去掉一根支杆或切断一根链杆，相当于解除一个约束(如图6.7(a)、(b)所示)。
6.5
超静定结构的内力计算
力法
(2) 去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当于解除两个约束(如图6.7(c)、(d)所示)。 (3) 去掉一个固定支座或切断一根梁式杆件，相当于解除三个约束(如图6.7(e)、(f)所示)。 (4) 将固定支座改为固定铰支座或将梁式杆件中某截面加一单铰(刚结改成铰结)，相当于解 除一个约束(如图6.7(g)、(h)所示)。 注意：(1)不能去掉必要约束，使剩余结构成为几何可变体系；(2)应把多余约束全部去掉，不能 只是去掉其中的一部分。运用该方法确定超静定结构的超静定次数时，应尽量使解除多余约束 后的静定结构为我们所熟悉的简支梁、悬臂梁等形式。
2P
M 2M Pds 1 (1 l ql2 3 l ql2 l l) 5ql4
EI
EI 3 2 4 2
8EI
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力法
将各系数、自由项代入典型方程，得
X1
3 28
ql
3 X 2 7 ql
(4) 由公式 M M 1X1 M 2 X2 M P 求各截面弯矩值，并绘制弯矩图，如图6.11(a)所示。