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西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室第八章简单的超静定问题§8-1 概述静定结构: 仅靠静力平衡方程就可以求出结构的全部未知的约束反力或内力FAB2A F1BααC平面任意力系：3个平衡方程平面共点力系：2个平衡方程独立平衡方程数：超静定结构(静不定结构): 仅凭静力学平衡方程不能求解全部未知内力或反力的结构。
超静定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的数目；两者的差值称为超静定的次数。
BD C A 132FααF F CF B F A BC ABCADA FααF N1y xF N3F N2BD C A 132FααF F CF B F A BC AA FααF N1y xF N3F N2•习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约束，相应的约束反力称为多余未知力。
•超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。
•注意：从提高结构的强度和刚度的角度来说，多余约束往往是必需的，并不是多余的。
超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、物理关系列出需要的补充方程；则可求解超静定问题。
F F CF B F A BC A•补充方程的数目=多余未知力的数目=多余约束数。
•根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程，结合物理关系（胡克定律），则可列出需要的力的补充方程。
•补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧与关键。
此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题进行说明。
BD C A 132FααF F CF B F A BC AA FααF N1yxF N3F N2§8.2 拉压超静定问题1拉压超静定问题解法例两端固定的等直杆AB ，在C 处承受轴向力F 如图，杆的拉压刚度为EA ，求杆的支反力.解：一次超静定问题=−+F F F B A F BA F AB ablFC (1) 由节点A 的平衡条件列出杆轴线方向的平衡方程（2）变形：补充方程(变形协调条件)可选取固定端B 为多余约束，予以解除，在该处的施加对应的约束反力F B ，得到一个作用有原荷载和多余未知力的静定结构--称为原超静定结构的基本静定系或相当系统注意原超静定结构的 B 端约束情况，相当系统要保持和原结构相等，则相当系统在B 点的位移为零。
超静定问题的解题步骤概述说明以及解释1. 引言1.1 概述目前，超静定问题在工程设计和科学研究中扮演着至关重要的角色。
超静定问题是指那些具有多余约束条件的力学系统，在这种情况下，物体的运动过程不止一个可能的解。
解决超静定问题需要使用特定的数学工具和分析方法。
本文将介绍解题步骤，为读者提供一个清晰而简洁的指南。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分。
在引言部分，我们将概述文章内容，并简要介绍超静定问题及其重要性。
第二部分将对超静定问题进行详细讨论，包括定义、背景知识以及实际应用场景。
接下来，第三部分将总结解题步骤，并概括每个步骤所需考虑的关键点。
第四部分则会更加详细地解释每个步骤，并提供具体操作步骤和示例。
最后，在结论与总结部分，我们将总结解题步骤，并讨论可能遇到的困难与挑战，以及其他相关问题和研究方向。
1.3 目的本文旨在帮助读者全面了解超静定问题和解题步骤。
通过详细讲解每个步骤的要点和操作方法，读者将能够更加轻松地解决超静定问题，并理解其在实际工程和科学领域的应用。
我们希望本文能成为读者解题过程中的有价值的参考资料，提供清晰而系统化的指导。
2. 超静定问题简介:2.1 定义和背景知识:超静定问题是指在静力学中，物体受到的约束超过了必要的约束数量。
这意味着通过仅使用平衡方程无法求解未知变量的值。
超静定问题在工程、建筑和力学领域中经常出现，并需要特殊的解题方法来找到合适的解决方案。
2.2 超静定问题的重要性:理解和解决超静定问题对于设计和分析结构非常重要。
一些实际应用场景中，超静定结构可以提供更高的刚度、稳定性和可持续性。
因此，研究人员和工程师需要掌握解决超静定问题的技巧。
2.3 实际应用场景:超静定问题广泛应用于建筑、土木工程、桥梁设计以及机械工程等领域。
例如，在建筑设计中，支撑柱或梁受到多个支点约束时可能会出现超静定问题。
在机械工程中，一些连接件或装配件也可能涉及到超静定问题。
了解超静定问题的定义、背景知识以及其在实际应用中的重要性对于理解本文后续将介绍的解题步骤至关重要。
静定结构和超静定结构的优缺点及工程应用一、静定结构和超静定结构的概念静定结构与超静定结构都是几何不变体系。
在几何构造方面，两者不同在于：静定结构无多余联系，而超静定结构则具有多余联系。
有多余约束( n > 0)的几何不变体系——超静定结构；无多余约束( n = 0)的几何不变体系——静定结构。
静定结构──几何特征为无多余约束几何不变，是实际结构的基础。
因为静定结构撤销约束或不适当的更改约束配置可以使其变成可变体系，而增加约束又可以使其成为有多余约束的不变体系（即超静定结构）。
静定结构的约束反力或内力均能通过静力平衡方程求解， 也就是说，其未知的约束反力或内力的数目等于独立的静力平衡方程的数目。
静定结构在工程中被广泛应用，同时是超静定结构分析的基础。
超静定结构——几何特征为几何不变但存在多余约束的结构体系，是实际工程经常采用的结构体系。
由于多余约束的存在，使得该类结构在部分约束或连接失效后仍可以承担外荷载，但需要注意的是，此时的超静定结构的受力状态与以前是大不一样的，如果需要的话，要重新核算。
因为其结构中有不需要的多余联系，所以所受的约束反力或内力仅凭静力平衡方程不能全部求解，也就是未知力的数目多于独立的静力平衡方程的个数。
二、静定结构的基本特性及优缺点1、静定结构是几何不变体系，无多余约束，全部支座反力和内力只要用静力平衡条件就能确定，而且解答是唯一的。
2、静定结构的支座反力和内力与结构所用材料的性质、截面的大小和形状都没有关系。
3、静定结构在温度改变、支座移动、材料伸缩和制造误差等因素影响下，都不产生制作反力和内力。
即没有荷载作用在静定结构上时，支座反力均为零，所以内力也均为零。
4、静定结构的局部平衡特性 在一组平衡力系作用下，如果静定结构中的某一几何不变部分可以与荷载平衡，则只会是该部分产生内力，其余部分的支座反力和内力均为零。
当平衡力系作用于静定结构的任何本身几何不变部分上时，若设想其余部分均不受力而将它们撤去，则所剩部分由于本身是温度变化（自由地产生弯曲变形，不产生内力）支座移动（刚体位移，不产生内力）制造误差几何不变的，在平衡力系作用下仍能独立地维持平衡。
扭转超静定问题扭转的超静定问题 —— 受扭圆杆的未知反力偶或扭矩的数目超过独立的静力平衡方程数目。
静定轴 —— 由平衡条件就可确定全部未知力偶矩的轴。
超静定轴（静不定轴）—— 仅根据平衡条件不能确定全部未知力偶矩的轴。
La(a)M (b)AAAI M bM eeM BI BBBM ca b超静定问题的解法：（1）建立静力平衡方程，确定静不定次数； （2）由变形几何关系建立变形协调方程；（3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系： 代入变形协调方程，得到补充方程；（4）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未GI Tl =P知反力偶或扭矩。
有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）一组合杆由实心杆1和空心管2固接在一起所组成，杆和管的材料相同。
剪切弹性模量为G ，试求组合杆承受外力偶矩M 以后，杆和管内的最大切应力。
MM2d 1d 121 静力平衡关系2 变形几何关系 解：例1 3 物理关系1 T1 22T 1T （1） （2）（3）1141=π32T ld G ϕ12=T T T M+=12=ϕϕ224421=π-32T lG d d ϕ（）4 最大切应力计算杆1： 管2： 代入变形协调方程，得补充方程MM2d 1d （4）41124421=()d T T d d -41142=d T T d 4421242-=d d T T d （5）1111341P1216=ππ16T T Td d W d τ==（6） 2223341P222216=ππ[1()]16T T Td W d d d τ==-（7）。
静定与超静定问题物体系统的平衡问题
（一次课教案）
教案编写者：许庆春
说明：本教案是以课时为单位编制的教学具体方案，即文字教案，由教师采用多媒体课件与黑板、粉笔同时施教。
教案中的红色数字为多媒体课件中的页面号，为我校研制的、由高等教育出版社出版的《理论力学课堂教学系统（上）》中的内容；教案中的*. ppt（红色字体）是教师根据课堂教学需要、利用Powerpoint制作的增加内容。
平面问题
平面问题
图（b ）
图（c ）
图（d ）
3-4 静定与超静定问题 物体系统的平衡问题
一、有关概念
1．自由度
完全确定物体在空间位置所需的独立变量的个数称为它的自由度，用k 表示。
2．结构与机构
自由度： k=3 k=1 k=0 k=0
从约束来看：自由体(无约束) 非自由体(有约束) 非自由体 非自由体 从自由度来看：机构（k >0） 机构 结构（k=0） 结构 未知力的个数 Nr = 3 Nr = 4
独立平衡方程的个数 Ne = 3 Ne = 3 Nr = Ne Nr > Ne
静定问题 超静定问题
二、静定与超静定问题
在研究的平衡问题中，如果未知量的个数等于独立的平衡方程的个数，这时所有的未知量可用平衡方程求出，这类问题——静定问题，如图（c ）所示；如果未知量的个
xu4-5.ppt
开始
图（a ）
xu4-5.ppt 结束
30开始
30结束 31开始
31结束 数多于独立的平衡方程的个数，这时未知量不能或不能全部用平衡方程求出唯一解，这类问题——超静定问题，如图（d ）所示。
屏幕上，第一排三个例子是静定问题，第二排三个例子是超静定问题。
超静定问题工程上非常多，如这是超静定
拱、超静定梁、超静定桁架。
这里我们只研究静定问题，这是因为：①求解静定问题是求解超静定问题的基础；②解超静定问题要考虑物体的变形，而我们的研究对象是刚体，不考虑变形，因此目前我们无法解超静定问题，在后续课程材料力学、结构力学中，我们将研究超静定问题。
在前面的讨论的平衡问题中，研究对象大多是一个物体，但在实际工程中，我们研究的对象往往比较复杂，由若干个物体组成，这若干个物体组成的系统，我们就称为物体系统，下面我们研究物体系统的平衡问题。
三、物体系统的平衡问题
屏幕上的物体系统由AB 、BC 两部分组成，对整个系统而言，铰B 是系统内物体之间的联系——内约束，对应的约束力——内约束力；支座A 、D 、E 是系统外部其它物体与系统的联系——外约束，相应的约束力——外约束力。
注意：内约束与外约束、内力与外力是相对的，是相对一定的研究对象而言的。
如铰B 处的约束力对整个系统而言是内力，但对AB 或BC 而言就是外力了。
如果物体系统平衡，则组成物体系统的每一个物体也平衡。
如ABC 平衡，则AB 、BC 也平衡。
对物体系统中的每个物体列平衡方程即可求解。
若物体系统由n 个物体组成，每个物体都受到平面力系作用，则独立的平衡方程总共可列出3n 个，可解3n 个未知量。
xu4-6.ppt 开始
xu4-6.ppt 结束
33开始
33结束
繁！
34
如果这n 个物体中，有的只受到平面汇交力系或平面力偶系或平面平行力系作用，则独立的平衡方程还可以列出3n 个吗？——（第一层提问）
例1：组合梁，已知F=5 kN ，q=2.5 kN/m ，M=5 kN ·m ，试求A 、B 、D 处的约束力。
分析（利用黑板）：
解物体系统的平衡问题，关键是研究对象的选取。
一般先考虑整体，不行再拆开。
研究对象选取后，列平衡方程时，要尽可能一个方程解一个未知量，不要列出一组方程，再联立求解。
本题研究对象选 整体（有4个未知力，独立的平衡方程有3个） AC （有5个未知力，独立的平衡方程有3个）
CB （有3个未知力，独立的平衡方程有3个，可以解）
① B Ci F M ⇒=∑0
②（此时B F 作为已知量） D Ai F M ⇒=∑0
Ax ix
F F ⇒=∑0 Ay iy
F F
⇒=∑0
或者：① CB B Ci F M ⇒=∑0 ②D Ai F M ⇒=∑0
Cx ix
F F ⇒=∑0Ax ix F F ⇒=∑0 Cy iy
F F
⇒=∑0Ay iy F F ⇒=∑0
注意：
① 示力图请同学画在黑板上，并指出错误所在。
② 提问（第一层次）：画BC 的示力图时，能否先对分布力进行简化，得一合力F 1=4q ,作用在C 处，然后再取脱离体，画BC 的示力图？
0=∑Ci
M
中未涉及到分布力，没反映分布力的作用，与实际不符。
结论：
一个分布力作用在二个物体上，画部分示力图时，分布力不能在取脱离体之前进行简化。
解（利用课件演示）：
35结束 35开始
36
42 略！
例2：三铰拱。
已知F 1、F 2、a ，试求A 、B 处的约束力。
拱是在竖向荷载作用下产生水平推力的曲杆结构。
按连接方式分，可分为三铰拱、（静定问题）、二铰拱和无铰拱（超静定问题）。
拱结构在水利工程，土木工程中有着广泛的应用。
这是一座罕见的石砌“三铰拱”桥，如果大家
有机会去浙江的新安江，可去白沙桥的北引桥看一看。
上面这是拱顶，下面这两外是拱脚，拱顶和拱脚都是由二块带弧形的石块组成，它们只能相对转动，不能相对移动，拱顶可简化为“铰”，拱脚可简化为“固定铰支座”。
分析（利用黑板）
如何选研究对象？
整体（有
4个未知力，独立的平衡方程有3个）
AC （有4个未知力，独立的平衡方程有3个） BC （有4个未知力，独立的平衡方程有3个）
难道不能解吗？是静定问题，能解！
看整体的示力图，虽有4个未知力，但由于A 、B 在同一条水平线上（即等高程），所以出现了有3个未知力相交于一点的情况，以此汇交点为矩心，列力矩方程就可求出第4个未知力。
Ay Bi F M ⇒=∑0，By iy F F ⇒=∑0 Bx Ci F M ⇒=∑0，或Ax Ci F M ⇒=∑0 Ax ix F F ⇒=∑0或Bx F
还有其他方法，请同学们回去考虑，并与我们讲的这种方法作一比较。
解（利用课件演示）：
略！
问题（（第二层次）：若A 、B 不在同一条水平线上（即A 、B 不等高程），如何求A 、B 处约束力？上面的那套解法还适用吗？请大家回去考虑，下次课请你们回答。
下面请你们做二个题目：
讨论题1：已知q 、M 、a ，试求固定端A 、铰支座E 的约束力。
43开始 46
47开始
43结束
讨论（利用黑板）
① 首先让同学充分发言，介绍自己的解法，并让其他同学评价对错，对解法进行修正。
② 注意固定端约束力的表示，有力F Ax 、F Ay 及力偶M A （别丢了！） ③ 重点：二力杆的判断，力偶性质的应用。
④ 对各种解法进行比较，找出解题的最简便方法（所画的示力图少，所列的平衡方程少，且不解联立方程，即一个方程解一个未知量）。
解（利用课件演示）：
⇒=∑0i m a
M
F E 932=
⇒=∑0ix
F
a M F Ax 93=
⇒=∑0iy
F
a M qa F Ay 2-=
⇒=∑0A
M
3222M qa M A -=
讨论题2：组合结构，已知q 、a ，求杆1、2、3的内力。
讨论（利用黑板）
① 首先请同学介绍自己的解法——有难度，可引导学生采用逆推法。
② 要求杆1、2、3的内力，可选D 点为对象；D
点受到平面汇交力系作用，可写
出二个独立的平衡方程，但未知力却有三个；如果知道其中一根杆的内力，那另二根杆的内力就可求了。
如何求其中一杆的内力呢？抛开
D
点，与杆1、2、3有关的是杆AC 或BC ，可取其中一个为研究对象。
③ 取AC 或BC 作为对象时，一定要处理好“复铰”的问题，本题中有A 、B 、C 三个复铰，画示力图时，带铰与不带铰是有很大区别的，可引导学生针对“带铰与不带铰，施力体是谁”进行讨论——本题的重点。
解（利用课件演示）：
47结束
qa F M B Ai 30=⇒=∑
qa F M
Ci
68.103=⇒=∑
⇒=∑0ix
F
qa F 68.11=
⇒=∑0iy
F
qa F 5.12-=
问题（第二层次）：
回去消化今天讲的内容，总结求解物体系统平衡问题的解题步骤，要特别注意研究对象的选取。
下次课讲桁架内容。
作业：课内题 3-40、44、49
课外题 3-38、48、51（用最简捷方法解）。
