第一章、拓扑学基础1.1拓扑空间概念拓扑空间是一个二元组(S, O)，这里S是给定集合，O是由S的一些子集构成的集类，其元素称为开集，并满足如下开集公理：T1 ∅, S∈O（即，∅, S是开集）；T2 若U1，U2∈O，则U1⋂U2∈O（即，O对有限交封闭）；T3 开集的任意并集还是开集（即，O对任意并封闭）。
註记满足上述开集公理的O，也称为集合S上的拓扑，（S, O）为相应的拓扑空间，也记为S。
例子实数集合ℝ上的标准拓扑：开集定义为若干个开区间的并集。
不难验证：这里定义的开集满足开集公理。
只需说明：两个开区间的交集为空集或开区间。
例子离散拓扑与平凡拓扑对给定的集合S，定义下列两个拓扑：(S,O1): O1由S的所有子集构成，它是S上的拓扑（最大拓扑）。
(S,O2): O2={∅，S}，它是S上的拓扑（最小拓扑）。
练习给出实数集合ℝ上三种不同的拓扑空间结构。
练习设S是一个集合，O由∅，S及S的某个固定子集A的所有子集构成。
验证O是S上的拓扑。
从而，(S，O)是一个拓扑空间。
概念设(S, O)是拓扑空间，称A⊂S是闭集，如果S\A是开集。
拓扑空间S的所有闭集构成集合，记为C。
命题拓扑空间S中的闭集满足闭集公理C1 ∅, S∈C；C2 若A1，A2∈C，则A1⋃A2∈C（即，C对有限并封闭）；C3 闭集的任意交集还是闭集（即，C对任意交封闭）。
证明：利用下列等式可证。
S\(A1⋃A2)=(S\A1)⋂(S\A2)，S\(B ii。
i)=(S\B i)註记开集公理与闭集公理是等价的：若S中的某些子集指定为闭集，并满足闭集公理。
则S是拓扑空间，其开集由闭集的余集所构成。
概念对拓扑空间S，点u∈S的开邻域是指包含u的开集U；子集A⊂S的开邻域是指包含A的开子集；一个点（或子集）的邻域是一个子集，它包含该点（或该子集）的一个开邻域。
例子对拓扑空间ℝ，U=(-1，1)是0的开邻域；W=[-1，1]是0的邻域。
概念设S是一个拓扑空间。
称S是第一可数空间，如果对∀u∈S，存在点u的邻域的序列{U1，…，U n，…}={U n}，使得对u的任意邻域 U，必有n满足U n⊂U（也称{U n}为点u处的邻域基）。
子集ℬ⊂O称为S的拓扑基，如果任何开集可以表示成ℬ中若干个成员的并。
称S是第二可数空间，如果S有可数拓扑基。
例子ℝ是第二可数空间，它有可数拓扑基，由下列开区间构成：(a，b)，这里a，b是有理数。
（註这里用到有理数在实数集中的稠密性）结论任何第二可数空间，也是第一可数空间。
证明：设ℬ={B n}是可数拓扑基，s∈S。
令ℬ(s)={B n；s∈B n}即可。
引理（Lindelof引理）设S是第二可数空间，A是S的子集。
则A的任意开覆盖，都有可数子覆盖。
证明：设ℬ={B n}是S的可数拓扑基，A有开覆盖{Uα}。
即，Uα是S的开集，且A⊂⋃Uα。
对∀p∈A，存在α，n使p∈B n⊂Uα。
此时，选定一个α(n)使得p∈B n⊂Uα(n)。
于是所有这些Uα(n)构成A的一个可数开覆盖。
概念设S是拓扑空间，A⊂S是子集。
A的闭包cl(A)是所有包含A的闭集的交；A的内部int(A)是所有包含于A中的开集的并；A的边界bd(A)定义为：bd(A)=cl(A)⋂cl(S\A)。
註记闭包cl(A)及边界bd(A)是闭子集；int(A)是开子集。
概念称A⊂S是S的稠密子集，如果cl(A)=S；称A⊂S是S的无处稠密子集，如果S\cl(A)在S中稠密；称S是可分的拓扑空间，如果它有可数的稠密子集；称u∈S是A的聚点，如果u的任意邻域中包含A\{u}的点；称A的所有聚点的集合为A的导集，记为der(A)；称A的点a是孤立点，如果存在a的邻域U，使U⋂A={a}。
结论 A⊂S是无处稠密的⇔int(cl(A))=∅。
证明：⇒反证。
若V=int(cl(A))≠∅，它是S的开子集。
从而有S=cl(S\cl(A))⊂cl(S\V)=S\V，这与V≠∅相矛盾。
⇐利用等式S\int(cl(A))=cl(S\cl(A))(下面命题)推导如下：反证。
若S≠cl(S\cl(A))，则V=S\cl(S\cl(A))是S的非空开集。
但是，V=S\(S\int(cl(A)))=int(cl(A))，与假设矛盾。
例子ℝ是可分的拓扑空间：有理数集合是ℝ的稠密子集。
命题设S是拓扑空间，A⊂S是子集，则有下列结论(1)u∈cl(A)⇔对u的任意邻域U，有U⋂A≠∅；(2)u∈int(A)⇔存在u的邻域U，使得u∈U⊂A；(3)u∈bd(A)⇔对u的任意邻域U，有U⋂A≠∅，且U⋂(S\A)≠∅。
证明：只证明(1)，(2)-(3)的证明是类似的。
由定义，u∉cl(A)⇔存在闭子集C⊃A，使u∉C⇔存在u的邻域U，使得U⋂A=∅。
从而结论(1)成立。
命题设A，B是S的子集，则有下列结论(1)A⊂B⇒int(A)⊂int(B)，cl(A)⊂cl(B)，der(A)⊂der(B)；(2)S\cl(A)=int(S\A)，S\int(A)=cl(S\A)，cl(A)=A⋃derA=A⋃bd(A)；(3)cl(∅)=int(∅)=∅，cl(S)=int(S)=S，cl(cl(A))=cl(A)，int(int(A))=int(A)；证明：由定义及上述命题不难直接验证，这些结论成立。
命题设A，B，A i（i∈I）是S的子集，则有下列结论(1)cl(A⋃B)=cl(A)⋃cl(B)，der(A⋃B)=der(A)⋃der(B)，int(A⋃B)⊃int(A)⋃int(B)；(2)cl(A⋂B)⊂cl(A)⋂cl(B)，der(A⋂B)⊂der(A)⋂der(B),int(A⋂B)=int(A)⋂int(B)；(3)cl(A ii∈I，i∈I)⊂cl(A i)i∈I)⊃cl(A i)i，cl(A iint(A ii∈I。
i∈I)⊂int(A i)i∈I)⊃int(A i)i，int(A i证明：由定义不难直接验证，这些结论成立（反证(1)中第二式）。
概念 设S 是拓扑空间，{u n }是S 中序列。
称{u n }是收敛序列，如果存在 点u ∈S ，对u 的任意邻域U ，∃N ，当n ≥N 时，u n ∈U 。
此时，称u n 收敛于u 或u 是u n 的极限点，记为u n →u 或lim n u n =u 。
命题 设S 是第一可数空间，A ⊂S 。
则a ∈cl(A)⇔存在A 中的序列a n ，使得a n →a 。
证明：⇐由定义不难直接验证，结论成立。
⇒取点a 处的可数邻域基{U n }，使得U n+1⊂U n 。
由条件U n ⋂A ≠∅,取a n ∈U n ⋂A 。
对a 的任意邻域U ，存在N ，使得U N ⊂U 。
从而，当n ≥N 时，U n ⊂U N ⊂U 。
即，当n ≥N 时，a n ∈U 。
例子 实数序列{2，0，3/2，-1/2，4/3，-2/3，…}有聚点1，-1。
例子 设S 是平凡空间，则S 中的任意序列收敛到S 中的任意点。
概念 称S 是一个Hausdorff 空间，如果任意不同的两点有不相交的邻域； 称S 是正则空间，如果它是Hausdorff 空间，且对任意闭子集A 及点x ∉A ，A 与x 有不相交的邻域。
称S 是一个正规空间，如果它是Hausdorff 空间，且S 的任意 两个不相交的闭子集，有不相交的邻域。
练习 证明Hausdorff 空间中的单点集都是闭子集。
结论 设S 是第一可数空间，则S 是Hausdorff 空间⇔S 中的任何序列 至多有一个极限点。
证明：⇒由定义不难直接验证，结论成立。
⇐设x ≠y ，且对x 的任意邻域U n ，y 的任意邻域V n ，有U n ⋂V n ≠∅。
不妨设，U n 是x 处的可数邻域基，V n 是y 处的可数邻域基。
进一步，可以假定这两个邻域基满足前述命题中的序关系。
取a n ∈U n ⋂V n ，则a n →x ，a n →y 。
矛盾。
命题 设S 是第二可数空间，且S 是正则空间，则S 是正规空间。
证明：设A ，B 是S 中不相交的闭子集，p ∈A 。
由正则性条件，存在 点p 的开邻域U p ，B 的开邻域U B ，使得U p ⋂U B =∅⇒cl(U p )⋂B=∅。
由于{U p ；p ∈A}是A 的一个开覆盖，利用Lindelof 引理推出， 存在可数个成员{U k ；k=0，1，2，…}，也构成A 的开覆盖。
即，A ⊂ U k k ≥0，cl(U k )⋂B=∅。
类似地，有开集的序列{V k }，使得B ⊂ V k k ≥0，cl(V k )⋂A=∅。
令G 0=U 0，G n+1=U n+1\ cl(V k )n k=0，H n =V n \ cl(U k )n k=0。
⇒G n ，H n 都是开集，且A ⊂ G n n ≥0=G ，B ⊂ H n n ≥0=H ，G ⋂H=∅。
练习 证明任何第二可数空间都是可分空间。
提示：在拓扑基的每个成员中取一个元素，构成稠密可数子集。
练习 设S 是一个Hausdorff 空间。
证明：S 是正则空间⇔对∀p ∈S ， p 的任意邻域U ，存在p 的闭邻域V ，使得V ⊂U 。
提示：可以假设U 是开邻域，F=S\U 是闭子集。
1.2度量空间概念 集合M 上的度量是一个映射d: M ×M →ℝ，并满足M1非负性：d(m ，m)=0,∀m ∈M ，d(m ，n)>0，∀m ≠n ；M2对称性：d(m，n)=d(n，m)，∀m，n∈M；M3三角不等式：d(m，l)≤d(m，n)+d(n，l)，∀m，n，l∈M。
带有度量d的集合M称为一个度量空间，记为(M，d)或M。
例子ℝn是度量空间，这里ℝn={(x1,x2,…,x n)；x i∈ℝ，i=1,2,…,n}。
d((x1,x2,…,x n),( y1,y2,…,y n))=∑(x i−y i)2。
可以验证：d满足M1-M3，称ℝn为由欧氏度量确定的度量空间。
概念设(M，d)是度量空间，m∈M，ε>0。
令Dε(m)={m′∈M；d(m′，m)<ε}：以m为中心、ε为半径的开球。
令Bε(m)={m′∈M；d(m′，m)≤ε}：以m为中心、ε为半径的闭球。
称U⊂M是开集，如果U可以表示成若干个开球的并。
命题 (1)上述定义的开集满足开集公理。
从而，(M，d)是拓扑空间。
(2)U⊂M是开集⇔对∀m∈U，∃ε>0，使得Dε(m)⊂U。
证明：开集公理T1，T3显然成立。
关于T2，只需验证任何两个开球的交可以表示成一些开球的并。
设p∈Dε(m)⋂Dδ(n)，0<r<min(ε-d(p，m)，δ-d(p，n))。
则p∈D r(p)⊂Dε(m)⋂Dδ(n)：对x∈D r(p)，d(x，m)≤d(x，p)+d(p，m)<r+d(p，m)<ε。
