基础拓扑学第4章答案

基础拓扑学讲义1. 引言拓扑学是数学的一个分支，研究的是空间中的集合如何存在和连接的学科。

在拓扑学中，我们关注的是集合之间的关系，而不是集合的具体性质。

本讲义将介绍拓扑学的基础知识和常见概念。

2. 基本概念2.1 集合在拓扑学中，一个集合是指由元素组成的无序对象的集合。

示例：- 集合 A = {1, 2, 3, 4}- 集合 B = {a, b, c}2.2 拓扑空间拓扑空间是指一个集合论中的空间，其中具有一组满足特定条件的子集。

示例：- 欧几里得空间- 流形空间- 度量空间2.3 拓扑结构拓扑结构是指在拓扑空间中定义的一组特殊集合的集合，它满足特定的公理。

示例：- 开集- 闭集- 连通集- 紧集3. 拓扑学的基本性质3.1 连通性在拓扑学中，连通性是指一个拓扑空间中不存在将空间分为两个或更多部分的拓扑属性。

示例：- 实数集 R 是一个连通集- 平面上的一个圆形是一个连通集3.2 完备性在拓扑学中，完备性是指拓扑空间中的每个柯西序列都有一个收敛的极限。

示例：- 实数集 R 是一个完备的度量空间3.3 紧集在拓扑学中，一个集合被称为紧集，如果它的每个开覆盖都具有有限子覆盖。

示例：- 闭区间 [0, 1] 是一个紧集4. 拓扑学的应用拓扑学在各个领域都有广泛的应用，包括物理学、生物学、计算机科学等。

示例：- 电路板设计中的连接问题- 生物分子的空间构象研究- 网络拓扑结构的分析与优化5. 总结本讲义介绍了拓扑学的基本概念、拓扑结构和其应用。

拓扑学作为一门重要的数学学科，对于理解和描述空间的性质具有重要的作用。

希望通过本讲义的学习，能够对拓扑学有一个初步了解，并能够应用于实际问题中。

注意：本讲义只是拓扑学的入门讲义，如果想深入学习拓扑学，请参考相关的高级教材和论文。

点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题2分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T②{,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③{,,{},{,}}X a a b φ=T④{,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ②{,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③{,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ②{,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③{,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④{,,{},{}}X a b φ=T4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ②{,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③{,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.①{,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ②{,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③{,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④{,,{},{},{,}}X a c a c φ=T6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ②{,,{,},{,}}X a b b c φ=T③{,,{},{,}}X a a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）①φ②X ③{}b ④{,,}b c d8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）①φ②X ③{}b ④{,,}b c d9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ②X ③{}a ④{}b10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）①φ②X ③{}a ④{}b11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ②X ③{,}a b ④{,,}b c d12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）①φ②X ③{,}a c ④{,,}b c d13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 414、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 415、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 0②1③ 2④ 316、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0②1③ 2④ 317、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 418、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 419、在实数空间中，有理数集Q 的部Q 是（ ）①φ②Q ③R -Q ④R20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）①φ②Q ③R -Q ④R21、在实数空间中，整数集Z 的部Z 是（ ）①φ②Z ③R -Z ④R22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ）①φ②Z ③R -Z ④R23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）①φ②[2,3]③{2,3}④(2,3)25、在实数空间中，区间[0,1)的部是（ ）①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ） ①()()()d A B d A d B ⋃=⋃②A B A B ⋃=⋃③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④A A =27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ①()()()d A B d A d B ⋃=⋃②A B A B -=-③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④A A =28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ①()d A B A B ⋃=⋃②A B A B -=-③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④(())()d d A A d A ⊂⋃29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ①()d A φ=②()d A X A =-③()d A A =④()d A X =30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（）①若A φ=,则()d A φ=② 若0{}A x =,则()d A X A =-③若A={12,x x },则()d A X =④ 若A X ≠, 则()d A X ≠31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（）①若A φ=,则()d A φ=② 若0{}A x =,则()d A X =③若A={12,x x },则()d A X A =-④若12{,}A x x =,则()d A A =32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③{ X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.①{{,}|{}}B p x x X p =∈-②{{}|}B x x X =∈③{{,}|}B p x x X =∈④{{}|{}}B x x X p =∈-34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（）以{,,{}}S X a φ=为子基.①{ X ,φ,{a },{a ,c }} ② {X ,φ,{a }}③{ X ,φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ}35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭④非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭④非开非闭37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ②R ③A ∪{0}④A39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（）①整数集②[)b a ,③有理数集④无理数集40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（）①整数集Z ②有理数集③ 无理数集④ 整数集Z 的补集Z '41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）①1 ②2 ③3 ④442、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）①1个 ②2个③3个④4个43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3② 5③ 7④ 944、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉②T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}φ=T ②{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③{,,{1},{2}}T A φ=④{,,{1},{2}}T X φ=48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )①{,{1},{3},{1,3}}T φ=②{,,{1}}T A φ=③{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=④{,,{1}}T X φ=49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )①{,{3},{2,3}}φ=T ②{,,{2},{3}}T A φ=③{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=④{,,{3}}T X φ=50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{1}}T φ=②{,,{1,2}}T A φ=③{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=④{,,{1}}T X φ=51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}T φ=②{,}T A φ=③{,,{2}}T X φ=④{,,{1,2}}T X φ=52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}T φ=②{,{},{1,3}}T X φ=③{,,{3}}T X φ=④{,{3}}T φ=53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）①{,}T Z φ=②()T P Z =③T Z =④{}T Z =54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ） ①A B A B ⨯≠⨯②A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯④()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）①不连通子集② 连通子集③开集④以上都不对62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）①不连通子集② 连通子集③开集④以上都不对63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）①不连通子集② 连通子集③开集④以上都不对64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 区间或一点71、下列叙述中正确的个数为（ ）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③3 ④ 472、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对75、无理数集作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对78、2维欧氏间空间2R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对79、3维欧氏间空间3R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ②连通性③离散性④第一可数性公理81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ②连通性③第二可数性公理④平庸性82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ②可分性③第二可数性公理④ 离散性83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ②可分性③离散性④第二可数性公理84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④以上都不对85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 道路连通空间87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈与x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 与A 的每一个开邻域U ，都存在A的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④正规空间97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④正规空间98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④正则空间99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ②正则空间③4T 空间④正规空间100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ②正则空间③4T 空间④正规空间101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ②正则空间③4T 空间④正规空间102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（） ① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（ ）①1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间二、填空题（每题2分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的部为 ;11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的部为 ;13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的部为 ; 18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个.20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 ;21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 ；25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ;26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ;29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个；34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个 ；36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;38、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个0T 空间;39、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个1T 空间;40、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个2T 空间;41、正则的1T 空间称为 ；42、正规的1T 空间称为 ；43、完全正则的1T 空间称为 ；44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个 .46、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .47、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个 .48、设X 是一个拓扑空间.如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .三．判断（每题3分，判断1分，理由2分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（ ）11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )四．名词解释(每题2分)1．同胚映射2、集合A 的点3、集合A 的部4．拓扑空间(,)T X 的基5．闭包6、序列7、导集8、不连通空间9、连通子集10、不连通子集11、1 A 空间12、2 A 空间13、可分空间14、0T 空间：15、1T 空间：16、2T 空间：17、正则空间：18、正规空间：19、完全正则空间：20、紧致空间21、紧致子集22、可数紧致空间23、列紧空间24、序列紧致空间五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →,:g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.13、试说明实数空间R 是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.16、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.17、设(,)X T 是一个1T 空间，∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =⋃∞和*X =⋃*T T {}，试说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间.18、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ∀∈与x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 与A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.22、如果X Y ⨯是紧致空间，则X 是紧致空间.23、如果X Y ⨯是紧致空间，则Y 是紧致空间.24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.六、证明题（每题8分）1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集.5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理，证明：Y 也满足第二可数性公理.11、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理，证明：Y 也满足第一可数性公理.12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。

拓扑习题及答案拓扑学是数学中的一个分支，研究的是空间的性质和变形。

在拓扑学中，习题是帮助我们理解和掌握基本概念和定理的重要工具。

在本文中，我将为大家提供一些拓扑学的习题及其答案，希望能够帮助大家更好地理解这门学科。

1. 问题：什么是拓扑空间？答案：拓扑空间是一个集合，其中包含一些特定的子集，这些子集被称为开集，满足一些特定的性质。

拓扑空间中的开集可以用来描述集合中元素之间的相互关系。

2. 问题：什么是连通性？答案：在拓扑空间中，如果存在一条路径将空间中的任意两点连接起来，那么这个空间就是连通的。

换句话说，连通性描述了空间中不存在分离的部分。

3. 问题：什么是紧致性？答案：在拓扑空间中，如果空间中的任意开覆盖都可以找到有限个开集作为子覆盖，那么这个空间就是紧致的。

紧致性描述了空间中的元素有限性质。

4. 问题：什么是同胚？答案：在拓扑学中，如果两个拓扑空间之间存在一个双射函数，并且这个函数和其逆函数都是连续的，那么这两个空间就是同胚的。

同胚关系描述了两个空间之间的拓扑性质相同。

5. 问题：什么是拓扑不变量？答案：拓扑不变量是指在同胚变换下保持不变的性质。

例如，欧拉数是一个拓扑不变量，它描述了一个拓扑空间中的曲面的特征。

6. 问题：什么是连续映射？答案：在拓扑学中，如果一个函数将一个拓扑空间中的开集映射到另一个拓扑空间中的开集，那么这个函数就是连续的。

连续映射描述了空间中元素之间的连续性。

7. 问题：什么是同伦等价？答案：在拓扑学中，如果两个拓扑空间中的映射可以通过连续变形相互转化，那么这两个空间就是同伦等价的。

同伦等价关系描述了空间中的元素可以通过连续变形相互转化。

通过以上几个习题及其答案，我们可以初步了解拓扑学的基本概念和性质。

拓扑学作为一门抽象的数学学科，其应用范围非常广泛。

例如，在计算机科学中，拓扑学可以用来描述网络的结构和连接方式；在物理学中，拓扑学可以用来研究物质的性质和相变；在生物学中，拓扑学可以用来研究分子的结构和相互作用等等。

马克阿姆斯特朗基础拓扑学答案马克阿姆斯特朗()是美国著名的物理学家、发明家。

他于1946年在哥伦比亚大学获得物理学博士学位,1953年开始在耶鲁大学教授物理学,1969年开始在美国斯坦福大学任教。

1971年至1977年担任美国国家科学院院士。

1985年获得美国艺术与科学院外籍院士。

他还是美国物理学会、国际数学会议和()等学术组织的成员。

一、拓扑学研究的主要内容是什么？拓扑学是研究一类不定的几何图形和空间形式之间的相互关系的一门学科。

它的基本思想是：对给定的几何图形或空间形式，可求出任意几何图形或空间形式上所对应着的有限个数。

拓扑学包括两个部分：一为线性拓扑学；二为几何拓扑学。

线性拓扑学指对于给定几何图形或空间形式在有限个数范围内，可求出任意几何图形或空间形式上所对应着的有限个数；几何拓扑学则是将不定几何图形、空间形式上所对应着的有限个数推广到有限个数范围内，并求得该有限个数对应着某个区间或领域内某一具体对象或事物中之最小个数或最大个数点所对应着的有限个数。

拓扑学通过对给定几何图形或空间形式上所对应着有限个数或最大个位数个点所对应着相应事物中之最小个数或最大个位数点所对应着有限个数或最大个位数点所对应着之最大个数点对应着相应事物中之最小个数点所在区域或领域所对应着之最小点所对应着的总个数（包括其个数大小和方向）来解决有限个数或最大个位数、局部个数和领域个数之间的关系。

拓扑学中一些特殊几何图形和空间形式所对应着一系列数学问题都属于拓扑学理论中所涉及到之问题。

二、对一条长波在时空中运动是什么性质？解析：由于运动波是波传播过程中产生的一种特殊的传播现象，因此，对于一条运动波波速必须满足如下条件：波穿过空间（或时间）必须有一个连续的运动状态，在该运动状态中，波向一个特定地方或一个方向（或几个方向）运动而不能出现位移叠加等现象。

否则该波将被视作一个静止波，其能量为0。

此外，运动波是一种波速传播过程中产生或传播方向相反的运动状态，因此传播波波速必须满足以下条件：一是运动波向该运动状态所处方向相切才能实现对波与波之间相互作用作用（波速与振幅方向）所产生频率变化速率相一致；二是波速与运动方向相切才能实现对波与波之间相互作用作用（波速与振幅方向相一致）所产生频率变化速率相一致。

拓扑学尤承业答案【篇一：点集拓扑学】工业大学数学学院预备知识1.点集拓扑的定义《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。

是数学与应用数学专业的主干课。

点集拓扑学（point set topology），有时也被称为一般拓扑学（general topology），是数学的拓扑学的一个分支。

它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。

这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。

它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。

通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。

2.点集拓扑的起源点集拓扑学产生于19世纪。

g.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。

1906年m.-r.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。

3.一些参考书籍（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版（2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版（3）《一版拓扑学讲义》，彭良雪，科学出版社，2011年2月第一版2第一章集合论初步在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识等。

这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，这对大部分读者已经是足够了．那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关公理集合论的专著。

1.1 集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体。

例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”, “所有整数的集合”等等．集合也常称为集。

拓扑学复习题与参考答案精讲点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题2分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c dφ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（）是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d8、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d9、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（）①φ ② X ③ {}a ④ {}b10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（）①φ ② X ③ {}a ④ {}b11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（）①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（）①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 414、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 415、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 316、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 317、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 418、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 419、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（）① φ ② Q ③ R -Q ④ R20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ?是（）① φ ② Q ③ R -Q ④ R21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（）① φ ② Z ③ R -Z ④ R22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ?是（）① φ ② Z ③ R -Z ④ R23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（）① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3)25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（）① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B ?=?③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A =27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（）① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A =28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（）① ()d A B A B ?=? ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ (())()d d A A d A ??29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（）① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A =32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=?∈?T 是X 的拓扑，则（）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈-34、设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（）以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }35、离散空间的任一子集为( )① 开集② 闭集③ 即开又闭④ 非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集② 闭集③ 即开又闭④ 非开非闭37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集② 闭集③ 既开又闭④ 非开非闭38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（）①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（）① 整数集② [)b a , ③ 有理数集④ 无理数集40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（）① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集④ 整数集Z 的补集Z '41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 442、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（）① 1个② 2个③ 3个④ 4个43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 944、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈? ② T ,T X φ?∈③当T T '?时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '?时,T T U U '∈∈45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（）① 开集② 闭集③ 既是开集又是闭集④ 非开非闭46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ?,且满足()d A B A ??,则B 是（）① 开集② 闭集③ 既是开集又是闭集④ 非开非闭47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③{,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（）① {,}T Z φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z =54、设126X X X X =是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（）① 单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射55、设126X X X X =是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（）① 单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射56、设126X X X X =是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（）① 单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射57、设126X X X X =是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（）① 单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射58、设126X X X X =是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（）① 单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射59、设126X X X X =是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（）① 单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ?是它们的积空间,1A X ?，2B X ?，则有（）① A B A B ?≠? ② A B A B ?=?③()A B A B ?≠? ④ ()()()A B A B ??=61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（）① 不连通子集② 连通子集③ 开集④ 以上都不对62、整数集Z 是实数空间R 的一个（）① 不连通子集② 连通子集③ 开集④ 以上都不对63、无理数集是实数空间R 的一个（）① 不连通子集② 连通子集③ 开集④ 以上都不对64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ??, 则Z 为( )①不连通子集② 连通子集③ 闭集④ 开集65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ?是（）① 离散空间② 不一定是平庸空间③ 平庸空间④ 不连通空间66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ?是（）① 离散空间② 不一定是离散空间③ 平庸空间④ 连通空间67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ?是（）① 离散空间② 不一定是连通空间③ 平庸空间④ 连通空间68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间② 闭区间③区间④ 以上都不对69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间② 闭区间③ 区间④ 以上都不对70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间② 闭区间③ 区间④ 区间或一点71、下列叙述中正确的个数为（）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的；（Ⅱ）{0}R -是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的（Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 472、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理④ 以上都不对73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理④ 以上都不对74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理④ 以上都不对75、无理数集作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理④ 以上都不对76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理④ 以上都不对77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理④ 以上都不对78、2维欧氏间空间2R （）① 仅满足第一可数性公理② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理④ 以上都不对79、3维欧氏间空间3R （）① 仅满足第一可数性公理② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理④ 以上都不对80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）① 平庸性② 连通性③ 离散性④ 第一可数性公理81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）① 第一可数性公理② 连通性③ 第二可数性公理④ 平庸性82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）① 第一可数性公理② 可分性③ 第二可数性公理④ 离散性83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）① 平庸性② 可分性③ 离散性④ 第二可数性公理84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ?∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )① 0T 空间② 1T 空间③ 2T 空间④ 以上都不对85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间② 1T 空间③ 2T 空间④ 以上都不对86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间② 1T 空间③ 2T 空间④ 道路连通空间87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间② 1T 空间③ 2T 空间④ 以上都不对88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间② 1T 空间③ 2T 空间④ 以上都不对89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间② 1T 空间③ 2T 空间④ 以上都不对90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间② 1T 空间③ 2T 空间④ 以上都不对91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间② 1T 空间③ 2T 空间④ 以上都不对92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（）①正则空间②正规空间③ 1T 空间④ 4T 空间93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（）①正则空间②正规空间③ 1T 空间④ 4T 空间94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ?∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ?,则X 是（）①正则空间②正规空间③ 1T 空间④ 4T 空间95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A的一个开邻域V ,使得V U ?,则X 是（）①正则空间②正规空间③ 1T 空间④ 4T 空间96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间② 1T 空间③ 2T空间④ 正规空间97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间② 1T 空间③ 2T 空间④ 正规空间98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间② 1T 空间③ 2T 空间④ 正则空间99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间② 正则空间③ 4T 空间④ 正规空间100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间② 正则空间③ 4T 空间④ 正规空间101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间② 正则空间③ 4T 空间④ 正规空间102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（）① 连通空间② 道路连通空间③ 紧致空间④ 可分空间103、紧致空间中的每一个闭子集都是（）① 连通子集② 道路连通子集③ 紧致子集④ 以上都不对104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（）① 连通子集② 开集③ 闭集④ 以上都不对105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（）① 连通子集② 开集③ 闭集④ 以上都不对106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（）① 连通子集② 紧致子集③ 非紧致子集④ 开集107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（）① 连通子集② 紧致子集③开集④ 非紧致子集108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（）① 连通子集② 紧致子集③开集④ 非紧致子集109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（）① 1T 空间② 紧致空间③ 可数补空间④ 非紧致空间二、填空题（每题2分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;6、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则()d A= ;7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则A= ;8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则()d A= ;9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则A= ;10、设{1,2,3}X=,X的拓扑{,,{2},{2,3}}=,则X的子集{1,2}A=的内部T Xφ为 ;11、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3} X=,X的拓扑{,,{1},{2,3T Xφ为 ;12、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,2}T XφX=,X的拓扑{,,{1},{2,3为 ;13、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3} X=,X的拓扑{,,{2},{2,3}}T Xφ为 ;14、设{,,}=,则X的平庸拓扑为 ;X a b c15、设{,,}=,则X的离散拓扑为 ;X a b c16、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3}T XφX=,X的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}为 ;17、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,2}T XφX=,X的拓扑{,,{1},{3},{1,3}为 ;18、:f X Y→是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X的一个同胚，则称映射f是一个 .19、:f X Y→是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个 .20、设,→是一个映射，若X中任何一个开集U的象集X Y是两个拓扑空间，:f X Yf U是Y中的一个开集，则称映射f是一个;()21、设,→是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集X Y是两个拓扑空间，:f X Y()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=,则X 是一个；23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=,则X 是一个；24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个；25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ?满足Y Z Y ??，则Z 也是X 的一个 ;26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个；27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个；28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X 也具有性质P ，则性质P 称为 ;29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ?=,则称X 是一个；30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ?满足 ;31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ?也满足 ;32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个；34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个；35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个；36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;38、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个0T 空间;39、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个1T 空间;40、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个2T 空间;41、正则的1T 空间称为；42、正规的1T 空间称为；43、完全正则的1T 空间称为；44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个 .46、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个 .48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .三．判断（每题3分，判断1分，理由2分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( )3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（）4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （）5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （）6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （）7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=（）8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（）10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（）11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（）12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )16、3T 空间一定是2T 空间.（）17、4T 空间一定是3T 空间.（）18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ?是一个紧致子集.( )19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )四．名词解释(每题2分)1．同胚映射2、集合A 的内点3、集合A 的内部4．拓扑空间(,)T X 的基5．闭包6、序列7、导集8、不连通空间9、连通子集10、不连通子集11、1 A 空间12、2 A 空间13、可分空间14、0T 空间：15、1T 空间：16、2T 空间：17、正则空间：18、正规空间：19、完全正则空间：20、紧致空间21、紧致子集22、可数紧致空间23、列紧空间24、序列紧致空间五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ?.试说明()()dA dB ?.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ?.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ?.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.13、试说明实数空间R 是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.16、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.17、设(,)X T 是一个1T 空间，∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =?∞和*X =?*T T {}，试说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间.18、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ?∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ?.19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ?.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.22、如果X Y ?是紧致空间，则X 是紧致空间.23、如果X Y ?是紧致空间，则Y 是紧致空间.24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.六、证明题（每题8分）1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ??,则或者A Y ?,或者B Y ?.3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ??,则或者A Y ?,或者B Y ?.4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ?满足Y Z Y ??，则Z 也是X 的一个连通子集.5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ?≠,则A B ?.7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ?≠.8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理，证明：Y 也满足第二可数性公理.11、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理，证明：Y 也满足第一可数性公理.12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。

点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题2分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 414、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 415、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 316、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 317、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 418、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 419、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）① φ ② Z ③ R -Z ④ R22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ）① φ ② Z ③ R -Z ④ R23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3)25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ） ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（ ）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A =32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈-34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 442、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 944、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）① {,}T Z φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z =54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ） ① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点71、下列叙述中正确的个数为（ ）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 472、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对75、无理数集作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对78、2维欧氏间空间2R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对79、3维欧氏间空间3R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ② 连通性③ 离散性 ④ 第一可数性公理81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ② 连通性③ 第二可数性公理 ④ 平庸性82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ② 可分性③ 第二可数性公理 ④ 离散性83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ② 可分性③ 离散性 ④ 第二可数性公理84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（）① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（ ）① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间二、填空题（每题2分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;6、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则()d A= ;7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则A= ;8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则()d A= ;9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则A= ;10、设{1,2,3}X=,X的拓扑{,,{2},{2,3}}=,则X的子集{1,2}A=的内部T Xφ为 ;11、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3} X=,X的拓扑{,,{1},{2,3}}T Xφ为 ;12、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,2}T XφX=,X的拓扑{,,{1},{2,3}}为 ;13、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3} X=,X的拓扑{,,{2},{2,3}}T Xφ为 ;14、设{,,}=,则X的平庸拓扑为 ;X a b c15、设{,,}=,则X的离散拓扑为 ;X a b c16、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,3}T XφX=,X的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}为 ;17、设{1,2,3}A=的内部=,则X的子集{1,2}T XφX=,X的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}为 ;18、:f X Y→是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集()f X的一个同胚，则称映射f是一个 .19、:f X Y→是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个 .20、设,→是一个映射，若X中任何一个开集U的象集X Y是两个拓扑空间，:f X Yf U是Y中的一个开集，则称映射f是一个;()21、设,→是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集X Y是两个拓扑空间，:f X Y()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 ；25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ;26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ;29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P为 ;33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个 ；34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个 ；36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;38、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个0T 空间;39、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个1T 空间;40、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个2T 空间;41、正则的1T 空间称为 ；42、正规的1T 空间称为 ；43、完全正则的1T 空间称为 ；44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个 .46、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个 .48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .三．判断（每题3分，判断1分，理由2分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（ ）11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )四．名词解释(每题2分)1．同胚映射2、集合A 的内点3、集合A 的内部4．拓扑空间(,)T X 的基5．闭包6、序列7、导集8、不连通空间9、连通子集10、不连通子集11、1 A 空间12、2 A 空间13、可分空间14、0T 空间：15、1T 空间：16、2T 空间：17、正则空间：18、正规空间：19、完全正则空间：20、紧致空间21、紧致子集22、可数紧致空间23、列紧空间24、序列紧致空间五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.13、试说明实数空间R 是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.16、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.17、设(,)X T 是一个1T 空间，∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =⋃∞和*X =⋃*T T {}，试说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间.18、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.22、如果X Y ⨯是紧致空间，则X 是紧致空间.23、如果X Y ⨯是紧致空间，则Y 是紧致空间.24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.六、证明题（每题8分）1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集.5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理，证明：Y 也满足第二可数性公理.11、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理，证明：Y 也满足第一可数性公理.12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。

东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校课程名称： 拓扑学基础 （答案） 试卷： A 考试形式：闭卷授课专业：数学与应用数学 考试日期： 2013年 7月 试卷：共 3 页一、填空题：（每空2分，共20分）1．设{1,2,3}X =，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链 平凡拓扑 ，{,,{3},{1,3}}X ∅，{,,{1}}X ∅， {,,{2}}X ∅，{,,{3}}X ∅。

（注：答案不唯一，正确即可）2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ，抛物线的连通分支的个数是 1 。

3．字母Y 的割点个数为 无穷 。

字母T 中指数为3的点个数为 1 。

4．叙述同胚映射的定义 拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也是连续的 。

二、选择题：（每题2分，共8分） 1．下列说法中正确的是（ B ）A 连通空间一定是道路连通空间B 道路连通空间一定是连通空间C 道路连通空间一定局部道路连通D 以上说法都不对 2．下列说法正确的是（ A ）A 紧空间的闭子集紧致B 紧致空间未必局部紧致C 有限空间一定不紧致D 列紧空间是紧致空间 3．下列说法错误的是（ A ）A 离散空间都是1T 空间B 2T 空间中单点集是闭集C ¡赋予余有限拓扑不是2T 空间D 第二可数空间可分 4．下列不具可乘性的是（ D ）A 紧致性B 连通性C 道路连通性D 商映射三、计算题：（共16分）1．在¡上赋予余有限拓扑，记¤为有理数集合，[0,1]I =。

试求'¤和I 。

（4分） 答：'=ぁ，I =¡。

2．确定欧式平面上子集22{(,)|01}A x y x y =<+≤的内部、外部、边界和闭包。

（8分）答：内部，22{(,)|01}x y x y <+<； 外部，22{(,)|1}x y x y <+ 边界，22{(,)|1}x y x y +=； 闭包 A A =。

拓扑学基础试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 拓扑空间中，以下哪个概念不是基本的？A. 开集B. 闭集C. 连续函数D. 距离函数答案：D2. 以下哪个选项不是拓扑空间的性质？A. 空集和整个空间是开集B. 任意开集的并集是开集C. 有限个开集的交集是开集D. 任意集合的补集是闭集答案：D3. 在拓扑学中，两个拓扑空间之间的映射被称为？A. 同胚B. 连续映射C. 同伦D. 同调答案：B4. 拓扑空间中的邻域系统是指？A. 包含某点的所有开集的集合B. 包含某点的任意集合的集合C. 包含某点的有限个开集的交集D. 包含某点的任意开集答案：A5. 拓扑空间中的连通性是指？A. 空间不能被分割成两个不相交的非空开集B. 空间中的任意两点都可以通过连续路径相连C. 空间中的任意两点都可以通过直线相连D. 空间中的任意两点都可以通过曲线相连答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果拓扑空间中任意两个不同的点都存在不相交的邻域，则称该空间为________。

答案：豪斯多夫空间2. 拓扑空间中的紧致性是指该空间的任意开覆盖都有________。

答案：有限子覆盖3. 拓扑空间中的连通空间是指不能表示为两个不相交的非空开集的并集的空间，这种性质也称为________。

答案：不可分割性4. 拓扑空间中的基是指由开集构成的集合，使得空间中的每一个开集都可以表示为基中集合的________。

答案：并集5. 拓扑空间中的同胚是指两个拓扑空间之间存在一个双射的连续映射，并且其逆映射也是连续的，这种映射也称为________。

答案：同胚映射三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述拓扑空间中闭集的定义。

答案：在拓扑空间中，如果一个集合的补集是开集，则称该集合为闭集。

2. 请解释什么是拓扑空间中的同伦等价。

答案：如果存在两个拓扑空间之间的连续映射，使得这两个映射的复合与各自空间上的恒等映射是同伦的，则称这两个空间是同伦等价的。

“拓扑学基础”试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共20分）1、设{1,2,3}X =，则下列是X 的拓扑的是【 A 】A 、{,,{1}}X φB 、{,,{1,2},{2,3}}X φC 、{,,{2},{3}}X φD 、{,,{1},{2},{3}}X φ2、下列有关连续映射:f X Y →正确的是【 B 】A 、对X 中的任意开集U ，有()f U 是Y 中的一个开集B 、Y 中的任何一个闭集B ，有1()f B -是X 中的一个闭集C 、Y 中的任何一个子集A ，有11()()f A f A --⊂D 、若f 还是一一映射，则f 是一个同胚映射3、设X 和Y 是两个拓扑空间，A 是X 的一个子集，则下列错误的是【 C 】A 、若:f X Y →是连续的，则|:A f A X →也是连续的B 、若:f X Y →是一个同胚，则|:()A f A f A →也是一个同胚。

C 、:()f X f X →是一个连续映射，则:f X Y →不一定是一个连续映射D 、若X 可嵌入Y ，则X 的任何一个子空间也可嵌入Y4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，则()A ∂=【 D 】A 、A A -'⋂B 、00A A ''⋃C 、0()A ∂D 、()X A ∂-5、下列有关连通性的命题正确的是【 C 】A 、若A 和B 是拓扑空间X 中的两个隔离子集，且X A B =⋃，则X 是不连通的。

B 、有理数集Q 作为实数空间子空间是一个连通空间C 、若12,Y Y 均为X 的连通子集，且12Y Y φ⋂≠，则12Y Y ⋃也是X 的一个连通子集D 、设Y 是X 的一个连通子集，Z X ⊂，若Y Z ⊂，则Z 也是X 的一个连通子集6、下列拓扑性质中，没有继承性的是【 D 】A 、1T 空间B 、2T 空间C 、3T 空间D 、4T 空间7、下列有关命题，正确的是【 B 】A 、若拓扑空间X 是连通的，则X 一定是局部连通的B 、若拓扑空间X 是道路连通的，则X 一定是连通的C 、若拓扑空间X 是局部连通的，则X 一定是道路连通的D 、若拓扑空间X 是连通的，则X 一定是道路连通的8、下列有关实数空间，不正确的是【 D 】A 、它满足第一可数性公理B 、它满足第二可数性公理C 、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理D 、它的任何一个子空间都是连通的9、下列有关Lindel öff 空间的描述正确的是【 A 】A 、任何一个满足第二可数性公理的空间都是Linde öff 空间B 、任何一个Lindel öff 空间都是第二可数性空间C 、Lindel öff 空间的子空间还是Linde öff 空间D 、满足第一可数性公理的空间的每一个子空间都是Linde öff 空间10、设A 是度量空间（,X ρ）中的一个非空子集，则下列命题错误的是【 C 】A 、()x d A ∈当且仅当(,{})0x A x ρ-=B 、()x d A ∈当且仅当(,)0x A ρ=C 、对x A ∀∈，且有(,)B x A εφ⋂≠，则A 为X 中的一个开集D 、x A ∈当且仅当(,)0x A ρ=二、填空题（每空2分，共20分）请将答案写在横线上。

第四章习题参考解答1. 设B 为拓扑空间在的一个拓扑基, 则(,)X T X 为紧空间当且仅当由B 中开集组成的任意开覆盖存在有限子覆盖.证明 (⇒)是显然的，我们只需证().⇐设ϕ是生成拓扑基B 的拓扑子基，由于B 中元构成的开覆盖存在有限子覆盖，而ϕ⊂B ，所以ϕ中元构成的每一个开覆盖存在有限子覆盖，由Alexander 子基定理，X 为紧空间.2. 证明: 拓扑空间中有限个紧子集的并集也是紧集. 举例说明无限个紧子集的并集未必是紧的.证明 设是拓扑空间1,,k A A X 中有限个紧集，令1k i i A A ==∪. 若U 是A 的一开覆盖，则i ∀(1i k ≤≤), . 由的紧性，存在i A A ⊂⊂∪U i A 1{,,i i i }s is U U ⊂U ，有1i i s i j A U =⊂∪(其中), 则i s ∈ 111i s k k i i i j ij A A U ====∪⊂∪∪. 即{1,1,2,,ij i U j s i ≤≤= }k 是U 的有限子覆盖. 从而，A 是X 中紧集.举例：{[,]}n n n −∈ 是实直线中无限个紧集，，但不是紧的. 事实上有一个开覆盖1[,n n n ∞==∪− ] {(,)}n n n −∈ 没有有限子覆盖，所以不紧.3. 证明: (1) 有限余拓扑空间是紧空间; （2）在离散空间中, 子集A 为紧集当且仅当A 为有限集合.证明 (1) 设X 为有限余拓扑空间，其拓扑T {U X X U =⊂\为有限集}，设U {}U λλ=∈Λ为X 的任意开覆盖，任取0λ∈Λ，0U λφ≠. 因为0U λ是X中开集，所以0\X U λ为有限集. 不妨设0\X U λ12{,,,}k x x x = ，i ∀(1),i k ≤≤i λ∃∈Λ使得i i x U λ∈，故00010(\)()i i k k i i X X U U U U U λλλλ===∪⊂∪∪=∪λ从而，X 为紧空间. (2) 设X 为离散空间() 设⇐12{,,,}k A x x x = 为X 中有限集，U 为A 的任意开覆盖，即A ⊂∪U . (1), i ∀i n ≤≤i U ∃∈U ，有i i x U ∈，故0i n i A U λ=⊂∪，从而为的有限子族构成的1{}i i n U ≤≤U X 的覆盖，从而A 紧.(⇒) 设A 为X 的紧子集，x A ∀∈，{}x 为X 中开集，因为，由{}x A A x ∈⊂∪A 的紧性，存在{{}}x x A ∈中有限子族1{{},,{}}n x x 使得1{}n i i A x =⊂∪=1{,,}n x x . 从而，A 为X 的有限子集.4. 设为无限集, X ,x y X ∈且x y ≠, 令={,T ,|X U U φ\{,}}X x y ⊂, 则 (1) (,是拓扑空间; (2) )X T \{}A X x =与\{}B X y =均为X 紧子集; (3)A B ∩不是紧子集.证明 (1) 因为φ∈T , X ∈T , 故公理真; 对于1()O 1A ∀2\{,}A X x y ⊂, 因为12A A ⊂∩\{,}X x y , 即, 则 也真; 下面验证 真.12A A ∈∩T 2()O 3()O 设{}，如果U λλ∈Λ⊂T λ∃∈Λ使得U X λ=，则U X λλ∈Λ=∈∪T ；如果λ∀∈Λ，U X λ≠，则. 从而, \{,}U X x y λ⊂\{,}U X x y λλ∈Λ=∪. 因此, ，故T 为U λλ∈Λ∈∪T X 上的一个拓扑.(2) 设U 是\{}A X x =的任意开覆盖，则\{}y X x ∈⊂∪U ，有，故y U ∃∈U y y U ∈y U X =. 所以{}{}y U X =是U 关于A 的子覆盖，从而A 紧.同理，\{}B X y =也是X 的紧子集.(3) 因为(\{})(\{})\{,}A B X x X y X x y ==∩∩是离散拓扑空间，如果紧，则A B ∩\{,}X x y 为有限集，这与X 为无限集矛盾.5. 设是紧空间, , 为闭集, 则X 2T F X ⊂F {|F U U =∩是的紧邻域}. F 证明 设为的所有紧邻域的族，我们证明：V ()F F ∩V ()F F =.是显然的，因此只需证： F ⊂∩V ()F ∩V ()F F ⊂.0x ∀∈V ()F ，如果0\x X F ∈，则，由于0\{}F X x X ⊂⊂开X 为紧的，所以2T X 正规，故存在W 使得X ⊂开0\{}F W W X x ⊂⊂⊂. 故W 为的紧邻域，F W ⊂V ()F ，从而0x ∈V ()F W ⊂，这与0x W ∉矛盾，故必有0x F ∈，所以∩V ()F F ⊂.6. 设为X 1A 列紧空间, 为拓扑空间, Y :f X Y →为连续映射, 则()f X 在中也是列紧集.Y 证明 设{}n n y ∈ 为中的任意一序列，()f X n ∀∈ ，取n x X ∈使得()n n f x y =. 因为{}n n x ∈ 是列紧空间X 中点列，故有一收敛子列{}，不妨设k n k x ∈ k n x x X →∈，记()y f x =，现在来证：()k n f x ()k kn y y f =⎯⎯→=x y 事实上，()W µ∀∈，由的连续性，:f X Y →1()()x fW x µ−∈∈, 所以，有0k ∃∈ 0k k ∀≥1()k n x f W −∈，故()k k n n y f x W =∈，从而，即为列紧的.k kn y y ⎯⎯→()f X7. 设为不可数集合, 则可数余拓扑空间(,是Lindeloff 空间, 但不是X )X T 1A 空间.证明 设(,X J )为可列余拓扑空间，即J {U X X U =⊂\为至多可列集}{}φ∪，对于X 的任一开覆盖U ，任取0U ∈U ，0U φ≠，则0\X U 至多可列.不妨设012\{,,,,}n X U x x x = ，则，至多可列n ∀∈ n U ∃∈U 使得n n x U ∈，则{}n n U ω∈为U 的可数子族，满足00(\)n n X X U U U ω∈=∪⊂∪从而，X 为Lindelof 空间，下证X 不是空间.1A 如果X 是空间.，即，点有单调递减的可数开邻域基{}. 因为1A x X ∀∈x n n V ∈ \(n n n n \)X V X ∈∈∩=∪ V 至多可数，所以n n V X ∈∩⊂ 开，即n V ∈n ∩ 为点的开邻域. 从而，x 0n ∃∈ 使得，即00n n n V V ∈⊂∩⊂ n V 0n n n V V ∈∩= . 取，则0\{}n y V x ∈\{}X y 为的开邻域，所以x 1n ∃∈ 有1\{}n x V X y ∈⊂，所以，这与1n y V ∉01n n y V V ∈n ∈=∩⊂ 矛盾.从而，X 不是空间. 1A8. Lindelof 空间的连续像仍是Lindelof 空间.证明 设X 是Lindelof 空间，为连续映射，Y 为一拓扑空间. 设U 为的任一开覆盖，则:f X Y →()f X 1{()fU U −∈U }为X 的开覆盖，由X 的Lindelof 性，使得{}i i U ∈∃⊂U 1()i X f U −∈=∪ ,1()[()]i i i i f X f f U U −∈=∪=∪ ()f X ∈ ，则是Lindelof 空间.9. 设f 为从紧空间到空间的连续映射, 证明: 2T f 是闭映射. 即闭集映射成闭集的映射.证明 设X 是紧空间，Y 是空间，为连续映射，对于2T :f X Y →F X ∀⊂闭，为F X 的紧子集，所以为Y 的紧子集. 又因为空间中的紧子集是闭的，所以()f F 2T ()f F Y ⊂闭，从而为闭映射.:f X Y →10. 若拓扑空间的任意无穷子集至少有一个聚点, 则称为子集紧的. 试证明: 可数紧空间是子集紧的.X X 证明 设X 为可数紧空间，A 为X 的任意无穷子集. 取{}为n n x ∈ A 中任意两项都不相等的一个点列. 由定理4.2.2中（i ）和（iii ）的等价性，{}有一个聚点n n x ∈ *x . 因此，存在{}n n x ∈ 的一个子例*k n x x →(k →∞), 则 对于U ∀∈*()x U ，使得0k ∃∈ 0k k ∀≥有k n x U ∈. 因为**0(\{}){|}\{}k n U x A x k k x φ⊃≥≠∩，则*(\{})U x A φ≠∩. 从而，0x 为A 的聚点，即X 是子集紧的.11. 对于空间, 子集紧空间也是可数紧的.1T 证明 设X 为子集紧空间，如果1T X 不是可数紧的，则由定理4.2.1，存在一个递降非空闭集列12n F F F ⊃⊃⊃⊃ 使得1n n F φ∞==∩.对于，取n ∀∈ n n x F ∈，并即，则12{,,,,}n A x x x = A 为无穷集合. 事实上，若A 为有限集，则必有一个元在A 中出现无限次. 即{}n x 有一个子列{}k n x 使得，k ∀∈ *k n x x X =∈. 从而, n ∀∈ ，k ∃∈ 有. 故k n n ≥*k n x x =∈k n F F ∈⊂n n ，故*1n x F ∞=∈∩. 这与1n n F φ∞==∩矛盾. 所以，A 为无穷集合.现在来证：A 没有聚点. 这就与X 为子集紧矛盾.事实上，x X ∀∈，因为1n n F φ∞==∩，所以i ∃∈ 使得i x F ∉，则121(\)\[{,,,}\{}]i i U X F x x x x −=为点的开邻域并且. 这是因为，对于x {}U A x ⊂∩n ∀∈ ，若n x x ≠，则当121{,,,}n i x x x x −∈ 时，n x U ∉；当121{,,,}n i x x x x −∉ 时，则n . 因此，i ≥n n i x F F ∈⊂，故121(\)\[{,,,}\{}]n i i x U X F x x x x −∉=从而，， 即[\{}U A x ∩⊂{}]U x A φ∩=. 故A 没有聚点.12. 证明: 可数紧空间的闭子集仍是可数紧的.证明 设X 为可数紧空间，A 为X 的任意一闭子空间，{}i i U ∈ 为A 的可数开覆盖.i ∀∈ ，i V X ∃⊂开使得，则i i U A V =∩{}i V i ∈ 为X 的可数开集族，V {\}X A =∪{}i V i ∈ 为X 的一可数开覆盖. 由X 的可数紧性，存在有限子族，使得1{,,,\}k i i V V X A ⊂ V 1()kj ij X V ==∪∪(\)X A ，故11()()k k k j ij j ij j i 1j A A V A V ====∩∪=∪∩=∪U从而，A 是可数紧空间.13. 证明: 可数紧空间的连续像是可数紧的.证明 设X ，Y 是两个拓扑空间，连续，:f X Y →X 可数紧. 又设是的一个开覆盖，即，故1{}n n V ∞=Y 1n Y V ∞=⊂∪n 11()n n X fV ∞−=⊂∪，由的连续性，{(:f X Y →11)}n n f V −∞=为X 的开覆盖，再由X 的可数紧性，111{(),,()}k n n f V f V −−∃ 11{()}n n f V −∞=⊂使得，故 11()i k i X fV −=⊂∪n ()Y f X =⊂1111[()]()i i k k i n i n i 1i k n f f V f f V V −−===⊂∪∪ =∪从而，Y 可数紧.14. 举例说明度量空间的连续像可以不是局部紧的.解：设(,是一个非局部紧的拓扑空间，现在以)X T X 为底集合在X 上赋予离散度量ρ, 即:X X ρ+×→ 合于1,(,)0,x yx y x yρ≠⎧=⎨=⎩则(,)X ρ是一个度量空间，恒等映射:(,)(,)id X X ρ→T 是一个连续映射，度量空间(,)X ρ在id 下的连续像(,不是局部紧的. )X T15. 证明: 拓扑空间与某个紧空间Y 的一个闭子空间同胚当且仅当是一个紧空间.X X 证明:(设与某个紧空间Y 的一个闭子空间)⇒X Z 同胚，即存在同胚映射:f X Z →. 对于X 的任意开覆盖U ，V ={()|}f U U ∈U 是Z 的开覆盖. 因为Z 为紧空间Y 的闭子集，由定理4.1.6，Z 是紧子空间. 因此，存在有限集合族使得1{,,}n U U ⊂U 1()n i i Z f U ==∪i ，则1111()()n n i i i X f Z f f U U −−=====∪∪故X 是紧空间.()⇐ 设X 是紧空间，则存在紧空间Y X =的一个闭子空间Z X =使得恒等映射是一个同胚映射. 于是，结论得证.:X id X Z →。

1《基础拓扑学讲义》部分习题解答四ex.1（P.43）称X 满足0T 公理，如果对X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点。

试举出满足0T 公理但不满足1T 公理的拓扑空间的例子。

答：{,,}X a b c =,{,,{},{,},{,}}X a a b a c τ=∅，则X 满足0T 公理但不满足1T 公理。

ex.6（P.43）证明X 为Hausdorff 空间当且仅当}|),{()(X x x x X ∈=∆是乘积空间X X ×的闭集。

证：（必要性）要证)(X ∆为闭集，只要证它的余集是开集。

CX y x ))((),(∆∈∀，),(y x 为内点。

由C X y x ))((),(∆∈知，y x ≠，因X 为Hausdorff 空间知，存在x 的开邻域U ，y 的开邻域V ，使得Φ=V U ∩，于是CX V U y x ))((),(∆⊂×∈，所以),(y x 为内点，这就证明了)(X ∆为闭集。

（充分性）对,,x y X x y ∀∈≠，由()X ∆的定义知，(,)()x y X ∉∆，即(,)(())Cx y X ∈∆，由)(X ∆为闭集知：()C X ∆为开集，于是存在开集,U V 使得C X V U y x ))((),(∆⊂×∈，由(())CU V X ×⊂∆知，,U V 为,x y2的不相交的邻域，这就证明了X 为Hausdorff 空间。

空间。

ex.7（P.43）证明Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。

空间。

证：设X 是Hausdorff 空间，A 是X 的子空间。

,x y A ∀∈，则,x y X ∈。

因X 是Hausdorff 空间，故x ∃的邻域U ，y ∃的邻域V ，有U V =∅∩。

从而()()A U A V =∅∩∩∩，因A U ∩是x 在A 中的邻域，A V ∩是y 在A 中的邻域，所以A 是Hausdorff 空间。

基础拓扑学习题课教案习题课1为什么要进行公理集论的研究? 1903年, 著名的罗素悖论: 令A={x|x∉x}. 问A是A的元素吗? 若A∉A, 由A的定义, A∈A; 若A∈A, 仍由A的定义, A∉A. 1919年, 罗素给上述悖论以通俗的形式, 即所谓“理发师悖论”.1.(§1.5习题1(3)) 设X，Y是两个集合, f:X→Y是映射. 证明f是满射当且仅当B=f(f–1(B)), ∀B⊂Y.证设f是满射. 显然, ∀B⊂Y有f(f–1(B))⊂B. 若y∈B, ∃x∈X使得f(x)=y, 于是x∈f–1(B), 所以y=f(x)∈f(f–1(B)), 故B⊂f(f–1(B)). 反之, 若y∈Y=f(f–1(Y)), ∃x∈f–1(Y)使f(x)=y, 因而f是满射.2. (§1.5习题2)设X，Y是两个集合, f:X→Y是映射. 证明下列条件等价:(1) f是单射;(2) f(A∩B)=f(A)∩f(B), ∀A, B⊂X;(3) A=f–1(f(A)), ∀A⊂X;(4) f(X-A)=f(X)-f(A), ∀A⊂X.证(1)⇒(2). 显然, ∀A, B⊂X, f(A∩B)⊂f(A)∩f(B). 若y∈f(A)∩f(B), ∃a∈A, b∈B使得y=f(a), y=f(b). 因为f是单射, 所以a=b∈A∩B, 于是y∈f(A∩B).(2)⇒(3). ∀A⊂X, 显然, A⊂f–1(f(A)). 若x∈f–1(f(A)), 则f(x)∈f(A), 于是f(A∩{x})=f(A)∩{f(x)}={f(x)}, 所以x∈A.(3)⇒(4). ∀A⊂X, 显然, f(X)-f(A)⊂f(X-A). 若y∈f(X-A), 则∃x∈X-A使得y=f(x), 于是y∈f(X)且x∉A=f–1(f(A)), 从而f(x)∉f(A).(4)⇒(1). 若a≠b∈X, 则b∈X-{a}, 于是f(b)∈f(X-{a})=f(X)-f({a}), 从而f(a)≠f(b).3. (§1.5习题3)设X，Y是两个集合, f:X→Y是映射. 证明下列条件等价:(1) f是一一映射;(2) f–1是满射;(3) f–1︒f=i X和f︒f–1=i Y.证由一一映射的定义知(1)⇔(2).(1)⇒(3). 设f是一一的, 由f–1的定义, 当x∈X时, f–1(f(x))=x; 当y∈Y时, f(f–1(y))=y, 所以f–1︒f=i X和f︒f–1=i Y.(3)⇒(1). 若a ≠b ∈X, 则f –1︒f(a)=a ≠b=f –1︒f(b), 所以f(a)≠f(b), 从而f 是单射. ∀y ∈Y , 则f(f –1(y))=y, 于是f 是满射.4. (§1.7习题1) 证明Q 是可数集.证 记Q +={p/q | p, q ∈Z +}, Q -={p/q | -p, q ∈Z +}, 则Q ={0}∪Q +∪Q -. 由于Z +⨯Z +是可数集, 所以Q +, Q -都是可数集, 于是Q 是可数集.5. (§1.7习题3) 证明card R 2=ℵ.若存在从A 到B 的单射, 记|A|<|B|.证 由于存在R 到R 2的单射, 所以ℵ≤ card R 2. 由于存在R 到开区间(0, 1)的单射, 所以存在R 2到(0, 1)2的单射, 若证明了存在(0, 1)2到(0, 1)的单射, 则card R 2≤ℵ, 从而card R 2=ℵ.对(0, 1)中的点用小数表示, 则可建立单射如下:∀(x, y)∈(0, 1)2, (x, y)=(0.x 1x 2⋯x n ⋯, 0.y 1y 2⋯y n ⋯)→(0.x 1y 1x 2y 2⋯x n y n ⋯)∈(0, 1).6. 作业讲评.习题课21. (§2.1习题5) 集合X 的两个度量ρ1, ρ2称为等价的, 如果X 的子集A 是(X, ρ1)的开集当且仅当A 是(X, ρ2)的开集. 定义ρ, ρ1: R 2⨯R 2→R 如下:ρ(x, y)=222211)y -(x )y -(x +,ρ1(x, y)=max{|x 1-y 1|, |x 2-y 2|}.证明: ρ, ρ1是R 2的两个等价的度量.证 记X=R 2. 易验证ρ, ρ1都是X 的度量. 由于ρ1(x, y)≤ρ(x, y)≤2ρ1(x, y), 所以B 1(x, ε/2)⊂B(x, ε)⊂B 1(x, ε). 若A 是(X, ρ)的开集, ∀x ∈A, ∃ε>0使B(x, ε)⊂A, 于是B 1(x, ε/2)⊂A, 所以A 是(X, ρ1)的开集. 若A 是(X, ρ1)的开集, ∀x ∈A, ∃ε>0使B 1(x, ε)⊂A, 于是B(x, ε)⊂A, 所以A 是(X, ρ1)的开集.2. 在度量空间(X, ρ)中, 若x ∈B(y, ε1)∩B(z , ε2), 则∃δ>0使B(x, δ)⊂B(y, ε1)∩B(z , ε2). 证 由x ∈B(y, ε1)∩B(z , ε2)及定理2.1.1, ∃δ1>0使B(x, δ1)⊂B(y, ε1), ∃δ2>0使B(x, δ2)⊂B(z, ε2), 取δ=min{δ1, δ2}>0, 则B(x, δ)⊂B(x, δ1)∩B(x, δ2)⊂B(y, ε1)∩B(z , ε2).3. (§2.2习题6) 设(X, ρ)是一个度量空间. 证明作为拓扑空间X 是离散空间当且仅当ρ是一个离散度量.证 设X 是离散空间. ∀x ∈X, {x}是X 中的开集, ∃εx >0使B(x, εx )⊂{x}, 对于∀y ∈X, y ≠x,ρ(x, y)≥εx>εx/2. 反之, 设(X, ρ)是离散度量空间. ∀x∈X, ∃δx >0满足: ∀ y∈X, y≠x, ρ(x, y)>δx. 则B(x, δx)={x}, 所以{x}是由ρ导出的拓扑空间的开集. 若A⊂X, 则A=∪x∈A{x}是X的开集, 从而X是离散空间.4. (§2.2习题7) 离散空间是可度量化空间.证设(X, T)是离散空间. 按如下方式定义ρ: X⨯X→R是X上的离散度量: 当x=y时, ρ(x, y)=0; 当x≠y时, ρ(x, y)=1. 则在度量空间(X, ρ)中每一单点集是开集, 所以由ρ导出的度量拓扑是离散拓扑, 故X是可度量化空间.5. (§2.2习题12) 设X, Y是两个同胚的拓扑空间. 证明: 如果X是可度量化的, 则Y也是可度量化的.证设(X, T)是可度量化空间, 其中T由X上的度量ρ诱导出的拓扑. 让f: Y→X是同胚. 定义ρ1: Y⨯Y→R为ρ1(y1, y2)=ρ(f(y1), f(y2)), 则ρ1是Y的度量. 事实上, ∀y1, y2, z∈Y, ρ1(y1, y2)= ρ(f(y1), f(y2))≤ρ(f(y1), f(z))+ρ(f(z), f(y2))=ρ1(y1, z)+ρ1(z, y2).这时, y∈B1(y0, ε)⇔f(y)∈B(f(y0), ε). 于是, 对V⊂Y, V是拓扑空间Y中的开集⇔f(V)是拓扑空间X中的开集⇔f(V)是度量空间(X, ρ)中的开集⇔∀x∈f(V), ∃ε>0使B(x, ε)⊂f(V)⇔∀y∈V, ∃ε>0使B1(y, ε)⊂V⇔V是度量空间(Y, ρ1)中的开集.6. 作业讲评.习题课31. 设U是拓扑空间X的开集. 若A⊂X, 则U∩A-⊂(U∩A)-.证若x∈U∩A-, 对x的任意邻域V, V∩U是x的邻域,所以V∩U∩A≠∅, 从而x∈(U ∩A)-.由此, 若U是X的开集且U∩A=∅, 则U∩A-=∅.2. 度量空间中的每一有限集是闭集.证设(X, ρ)是度量空间. 只需证X的每一单点集是闭集. ∀x∈X, 对y∈X-{x}, 让ε=ρ(x, y)>0, 则B(y, ε/2)⊂X-{x}, 于是X-{x}是开集, 从而{x}是闭集.3. 设A是拓扑空间X的子集, 则∂(∂A))⊂∂A. (§2.5习题2(5))证∂A是X的闭集, 于是∂(∂A))=c(∂A)∩c(X-∂A)⊂c(∂A)=∂A.4.(§2.6习题1) 集合X的子集族B, B1是X的同一拓扑T的两个基的充分必要条件: (1) x∈B∈B⇒∃B1∈B1, x∈B1⊂B; (2) x∈B1∈B1⇒∃B∈B, x∈B⊂B1.证必要性. 如果x∈B∈B, 因为B∈T且B1是T的基, 由定理2.6.2, 所以∃B1∈B1, x∈B1⊂B, (1)得证. 同理, (2)成立.充分性. 设B, B1是X的拓扑T, T1的基. ∀U∈T, ∀x∈U, ∃B∈B, 使得x∈B⊂U, 由(1), ∃B1∈B1, x∈B1⊂B⊂U, 所以U∈T1, 于是T⊂T1. 同理, 由(2)知, T1⊂T.5. 证明:度量空间中每一子集的导集是闭集. (§2.4习题8)证设(X, ρ)是度量空间, A⊂X. 要证明d(d(A))⊂d(A). 若x∉d(A), ∃x的开邻域U使得U ∩(A-{x})=∅. 若∃y∈U∩(d(A)-{x}), 则∃ε>0使得B(y, ε)⊂U, 让2δ=ρ(x, y)>0, V=B(y, ε)∩B(y, δ), 则V是y的邻域, 且x∉V⊂U, 所以V∩A=∅, 从而y∉d(A), 矛盾. 因此, U∩(d(A)-{x})=∅, 从而x∉d(d(A)).存在较多问题的练习.1. 设A是有限补空间X中的一个无限子集. 求d(A), A︒.解对x∈X的邻域U, A-{x}⊄U'(有限集), 所以U∩(A-{x})≠∅, x∈d(A), 所以d(A)=X.若A︒≠∅, 由于X-A⊂X-A︒ (有限集), 所以X-A是有限集. 当X-A是有限集时, A是开集, A︒=A; 当X-A是无限集时, A︒=∅.进一步问: 设X是无限集. 若B是有限补空间X中的一个有限子集, 求d(B), B︒.这时, d(B)=∅, B︒=∅. (({x}∪(X-A))∩(A-{x}=∅)2.设X是一个度量空间. 证明: X有一个基只含有有限个元⇔X必为只含有有限个点的离散空间.证设度量空间(X, ρ)有基B只有n个元. 若X不是有限集, 取X中不相同的n+1个点{x1, x2,…,x n+1}, 让2ε=min{ρ(x i, x j):1≤i≠j≤n+1}>0. 由于B(x i, ε)是x i的邻域, 存在B i∈B使得x i∈B i⊂B(x i, ε). 若存在z∈B(x i, ε)∩B(x j, ε), 则ρ(x i, x j) ≤ρ(x i, z)+ ρ(z, x j)< 2ε, 从而i=j. 因此{B(x i, ε):i≤n+1}是n+1个不相同的元, 于是{B i: i≤n+1}是B中n+1个不相同的元, 矛盾. 故X 是有限集. 又由X是度量空间, 所以X是离散空间.反之, 设X={x1, x2,…,x n}是离散空间, 则B={{x i}:i≤n}是X的只含有限个元的基.3.证明:实数集合R有一个拓扑以集族{[a, +∞) | a∈R}∪{(-∞, b] | b∈R}为它的一个子基, 并说明这个拓扑的特点. (§2.6习题3)证由于R=[0, +∞)∪(-∞, 0], 所以上述集族是R上一拓扑的子基. 这拓扑是离散拓扑, 因为∀x∈R, {x}=[x, +∞]∩(-∞, x)是开集, 于是R的每一子集是开集.习题课41. 设X, Y是拓扑空间, A⊂X. 若f: X→Y连续, 则f|A: A→Y也连续. (§3.1习题7)证若U是Y中的开集, 则(f|A)-1(U)= f-1(U)∩A是A中的开集, 所以f|A连续. 同理, f|A: A→f(A)连续.2. 设X, Y是拓扑空间, A⊂X, B⊂Y, 则(A⨯B)-= A-⨯B-, (A⨯B)︒ = A︒⨯B︒.(§3.2习题4)证(1) 设p=(x, y) ∈(A⨯B)-, 对x, y分别在X, Y中的邻域U, V, U⨯V是p在X⨯Y中的邻域, (U⨯V)∩(A⨯B) ≠∅, 即U∩A≠∅且V∩B ≠∅, 所以x∈A-且y∈B-, 于是p=(x, y)∈A-⨯B-. 反之, 设p=(x, y)∈A-⨯B-, 对p在X⨯Y中的任一邻域W, 分别存在X, Y中的开集U, V, 使p∈U⨯V⊂W, 则x∈U且y∈V, 于是U∩A≠∅且V∩B ≠∅, 从而(U⨯V)∩(A⨯B) ≠∅, 因此W∩(A⨯B) ≠∅, 所以p=(x, y) ∈(A⨯B)-.由此, 有限积空间中, 各因子空间中闭集之积是积空间中的闭集.(2) X⨯Y的开集A︒⨯B︒⊂A⨯B, 所以A︒⨯B︒⊂(A⨯B)︒. 反之, 若p=(x, y)∈(A⨯B)︒, 分别存在X, Y中的开集U, V, 使p∈U⨯V⊂(A⨯B)︒⊂A⨯B, 于是x∈U⊂A且y∈V⊂B, 那么x∈A︒且y∈B︒, 故p∈A︒⨯B︒.3.积空间X⨯Y同胚于积空间Y⨯X. (§3.2习题6)证定义f: X⨯Y→Y⨯X为f(x, y)=(y, x). 则f是一一映射. 若U, V分别是Y, X的开集, 则f-1(U⨯V)=V⨯U是X⨯Y的开集, 所以f连续. 若A, B分别是X, Y的开集, 则f(A⨯B)=B⨯A是Y⨯X的开集, 所以f-1连续.同理可证, 积空间(X⨯Y)⨯Z同胚于积空间X⨯(Y⨯Z); 积空间{x}⨯Y同胚于空间Y, {x}是单点空间. 仅证后一断言. 定义f: {x}⨯Y→Y为f(x, y)=y. 则f是一一映射. 若U是Y的开集, 则f-1(U)={x}⨯U是{x}⨯Y的开集, 所以f连续. 若V是Y的开集, 则f({x}⨯V)=V是Y的开集, 所以f-1连续.4. 设f: X→Y是一一映射. 下列等价:(1) f同胚; (2) f是连续的开映射; (3) f是连续的闭映射; (4) f是商映射.证(1)⇒(2)、(3). 设f同胚. 若A是X的开(闭)集, 由于f-1:Y→X连续, (f-1)-1(A)=f(A)是Y的开(闭)集, 所以f是开(闭)映射. 定理3.3.3已证(2)或(3)⇒(4). 最后证(4)⇒(1). 设f是商映射, 要验证f-1:Y→X连续. 若U是X的开集, 由于U= f-1(f(U)), 所以(f-1)-1(U)=f(U)是Y的开集, 于是f-1连续.5. 举例说明商映射可以既不是开映射也不是闭映射. (§3.3习题7)证在R上定义等价关系~: ∀x, y∈R, x~y⇔或者x, y∈Q, 或者x=y. 记P=R-Q, 则商集R/~={q}∪P, 自然投射f:R→R/~定义为f(Q)=q, f(p)=p, ∀p∈P. R赋予通常的欧氏拓扑, Y= R/~赋予商拓扑, 则f是商映射. 但f既不是开映射也不是闭映射.{0}是R的闭集, 若f是闭映射, 则f({0})={q}是Y的闭集, 由于f连续, 于是f-1({q})=Q 是R的闭集, 矛盾. 开区间(0, 1)=U是R的开集, 若f是开映射, 则f(U)是Y的开集, 由于f 连续, 于是f-1(f(U))=(0, 1)∪Q是R的开集, 矛盾.存在较多问题的练习.1. §3.2习题5:不清楚要证明什么, 关键在于说明这两个拓扑是同一基生成的;2.§3.3习题2: 不清楚证明商映射要证明什么, 与定义稍有不同, 关键在于给定依赖于拓扑的商映射的等价刻画.习题课51. 设X是一个拓扑空间, Y是X的一个子集, 证明: Y是不连通子集当且仅当存在X的开集(闭集)A和B使得Y⊂A∪B, A∩B⊂X-Y, A∩Y≠∅和B∩Y≠∅成立. (§4.1习题7)证设Y不连通, 则存在Y中非空的不相交开集(闭集)C和D使得Y=C∪D. 存在X中的开集(闭集)A和B使得C=A∩Y, D=B∩Y, 则Y⊂A∪B, A∩B⊂X-Y, A∩Y≠∅和B∩Y≠∅成立. 反之, 由假设条件, A∩Y, B∩Y是Y中一对非空的隔离集, 其并是Y, 所以Y不连通.2.证明:欧氏平面R2中所有至少有一个坐标为有理数的点构成的集合是一个连通子集. (§4.1习题14)证R2中所有至少有一个坐标为有理数的点构成的集合Y=(R×Q)∪(Q×R). ∀x=(x1, x2), y=(y1, y2)∈Y, 不妨设x1∈Q. 若y1∈Q, 则({x1}×R)∪(R×{0})∪({y1}×R)是Y的含点x, y的连通子集. 若y1∉Q, 则y2∈Q, 则({x1}×R)∪(R×{y2})是Y的含点x, y的连通子集.3.在欧氏平面R2中令Y={(0, y)∈R2|y∈R}∪{(x, 0)∈R2|x∈R}, 证明Y与实数空间R不同胚. (§4.3习题8)证若存在同胚f:Y→R, 则Y-{(0, 0)}与R-{f(0, 0)}同胚, 从而它们有相同个数的连通分支. Y-{(0, 0)}有4个连通分支, 而R-{f(0, 0)}仅有2个连通分支, 矛盾.4. 设A是n≥2维欧氏空间R n的一个可数子集, 证明R n-A是连通的. (§4.2习题4)证∀a, b∈R n, 记L(a, b)是R n中连接a, b两点的直线段.b∈R n-L(x, y)使b, x, y三点不共线. ∀z∈L(a, b), 让V(x, z,y)=L(x, z)∪L(z, y), 则不同的z所定义的折线V(x, z, y)仅在两端点处相交. 由于L(a, b)是不可数集, A是可数集, 所以存在c∈L(a, b)使V(x, c, y)∩A=∅, 即V(x, c, y)⊂Y是含点x, y的连通子集.5. 局部连通性是开遗传性质. (§4.4习题3)证设X是局部连通空间, U是X的开子空间, 要证U是局部连通的. 如果V是U的开集, 则V是X的开集, 于是V的任一连通分支C是X的开集(定理4.4.1), 从而C也是U的开集, 故U是局部连通的.6.连续映射未必保持局部连通性.证让N是自然数集, S={0}∪{1/n: n∈Z+}, 均赋予实直线的子空间拓扑. 则N是离散空间, 从而是局部连通空间. S不是局部连通空间(S的连通分支均是单点集). 定义f: N→S为f(0)=0, f(n)=1/n, n∈Z+, 则f连续.7. 证明拓扑学家的正弦曲线S1不是道路连通空间. (§4.5习题3)证仍使用例 4.4.1中的记号. 设f:[0, 1]→S1是S1中连结(0, 0)与(1, sin1)的道路. 让A={t∈[0, 1]: f(t)∈T}, 由于T是S1中的闭集, 所以A是[0, 1]中的闭集, 让c=supA, 则c∈A 且c<1.让g=f|[c, 1]:[c, 1]→S1, 则g连续, g(c)∈T, g(t)∈S, c<t≤1. 记f(t)=(x(t), y(t)), 则x(t), y(t)连续, x(c)=0, 且当c<t≤1时, x(t)>0, y(t)=sin(1/x(t)). 不妨设y(c)≠1, c=0. ∀n∈Z+, 选取z n满足: x(0)=0<z n<x(1/n), sin(1/z n)=1. 由于x(t)在[0, 1/n]上的连续性及介值性定理, ∃t n满足: 0<t n<1/n, x(t n)=z n. 于是序列{t n}收敛于0, 但是y(t n)=sin(1/x(t n))=1, 所以序列{y(t n)}不收敛于y(0), 矛盾.存在较多问题的练习.1. §4.1习题12, 在充分性的证明中要验证f的连续性.2. §4.4习题2, 有限补空间的连通性及局部连通性.习题课61. 证明:第一可数空间的连续开映像是第一可数空间.(定理5.1.4)证设f: X→Y连续、满、开映射, 其中X是A1空间. ∀y∈Y, ∃x∈X使f(x)=y. 因X是A1, 设V是点x的可数开邻域基, 则V*={f(V) | V∈V}是点y的可数开邻域基. 事实上, 设U是y在Y 中的邻域, 由f在x连续, 则f-1(U)是x的邻域, ∃V∈V使x∈V⊂f-1(U), y∈f(V)⊂U.2. 证明:第二可数空间中由互不相交开集构成的子集族是可数族. (5.1节习题4)证设{Uγ}γ∈Γ是A2空间X的互不相交开集族. 让B={B n}n∈N是X的可数基. ∀γ∈Γ, 取定xγ∈Uγ, ∃n∈N使xγ∈B n⊂Uγ, 由此定义函数h: Γ→N. 因为{Uγ}γ∈Γ是互不相交的, 所以h是单射, 而N是可数集, 所以Γ是可数集.3.可分性是开遗传性质.证设U是可分空间X的开子空间. 让D是X的可数稠密子集, 令E=D∩U, 则E是U的可数子集, 下证cl U(E)=U. ∀u∈U及u在U中的开邻域V, ∃X中开集W使W∩U=V, 所以V 是x在X中开邻域, ∃d∈V∩D=V∩E, 所以u∈cl U(E). 故U是可分子空间.4. 连续映射保持可分性. (5.2节习题4)证设f: X→Y连续满映射, X是可分空间, 要证明Y是可分空间. 让D是X的可数稠密子集, 则f(D)是Y的可数子集. ∀y∈Y, 让U是y在Y中的开邻域, ∃x∈X使f(x)=y, 由于f:X→Y 连续, f-1(U)是x在X中的开邻域, ∃d∈f-1(U)∩D, 从而f(d)∈U∩f(D), 故f(D)是Y的稠密子集. 另证: 设D-=X, 由f的连续性, f(X)=f(D-)⊂f(D)-, 所以f(X)=f(D)-.5.可分性是有限可积性.(5.2节习题5)证由于可分性是拓扑性质, 只要证明: 若X, Y都是可分空间, 则X⨯Y是可分空间. 让D, E分别是X, Y的可数稠密子集, 则D⨯E是X⨯Y的可数子集. 由于(D⨯E)-=D-⨯E-=X⨯Y(3.2节习题4), 故D⨯E是X⨯Y的可数稠密子集, 所以X⨯Y是可分空间.6.证明: D-=X⇔对X的不空开集U, U∩D≠∅.证设D-=X, 对X的不空开集U, 取定x∈U, 则U是x∈D-的邻域, 所以U∩D≠∅. 反之, 若D-≠X, 令U=X-D-, 则U是X的不空开集且U∩D=∅.7. Lindelőf空间的连续象是Lindelőf空间. (5.3节习题1)证设f: X→Y是连续满映射, 其中X是Lindelőf空间. 设U是空间Y的开覆盖, 则{f-1(U) | U∈U}是X的开覆盖, 它有可数子覆盖{f-1(U i)}i∈N, 于是{U i}i∈N是U的可数子覆盖. 故Y是Lindelőf空间.习题课7-81. 设f:X→Y, A⊂Y, B⊂X, 则有f(f-1(A)∩B)=A∩f(B).证∀y∈f(f-1(A)∩B), ∃x∈f-1(A)∩B使y=f(x)∈A∩f(B), 所以f(f-1(A)∩B)⊂A∩f(B). 另一方面, ∀y∈A∩f(B), ∃x∈B使y=f(x)∈A, 于是x∈f-1(A)∩B, 所以y=f(x)∈f(f-1(A)∩B), 因此A∩f(B)⊂f(f-1(A)∩B).拓扑空间的运算性质2. 若(X, T)是拓扑空间, Y是一个集合, f:X→Y是满射, 令T1={U⊂Y: f-1(U) ∈T}, 则T1是Y的一个拓扑.证直接验证T1满足拓扑的三个要求.3. 定义函数ρ:R⨯R→R如下: 对于任意的x, y∈R, 若x=y, 则ρ(x, y)=0; 若x≠y, 则ρ(x, y)=1. 证明:(1) (R, ρ)是度量空间;(2) 由ρ诱导的R上的度量拓扑是离散拓扑, 从而这度量拓扑不是R上的通常拓扑.证(1) 利用度量公理验证. 主要的三角不等式, 即∀x, y, z∈R, 有ρ(x, y)≤ρ(x, z)+ρ(z, y). 如果x=y, 上式成立; 如果x≠y, 则或者x≠z, 或者z≠y, 于是ρ(x, z)+ρ(z, y)≥1=ρ(x, y), 上式成立.(2) ∀x∈R, B(x, 1)={x}, 所以{x}是开集, 从而每一子集是开集, 故度量拓扑是离散拓扑.4.证明:在实数空间R中[0, 2[不是开集, 但在R的子空间[0, 5]中, [0, 2[是开集.证利用开集的定义及R的子空间拓扑来证明.5. 设X为拓扑空间, A为X的子集. 给出A的闭包的定义, 证明: x∈A－当且仅当对于x的任何邻域U, 有U∩A≠∅.证由定义 2.4.3, A－=A∪d(A); 由定义 2.4.1, x∈d(A)⇔对于x的任何邻域U, 有U∩(A-{x})≠∅. 设x∈A－, 则x∈A或x∈d(A). 若x∈A, 显然, 对于x的任何邻域U, x∈U∩A≠∅; 若x∈d(A), 则对于x的任何邻域U, 有U∩(A-{x})≠∅, 所以U∩A≠∅.反之, 设对于x的任何邻域U, 有U∩A≠∅. 若x∈A, 则x∈A－; 若x∉A, 则对于x的任何邻域U, U∩(A-{x})≠∅, 所以x∈d(A), 则x∈A－.6.若X是离散空间, X中序列{x k}收敛, 则存在自然数N, 使得当k,n>N时, x k=x n .(2.7节习题1)证利用{x}是开集及收敛的定义.7. 设f: X→Y是连续的双射. 下列等价:(1) f同胚; (2) f是连续的开映射; (3) f是连续的闭映射; (4) f是商映射.证(1)⇒(2)、(3). 设f同胚. 若A是X的开(闭)集, 由于f-1:Y→X连续, (f-1)-1(A)=f(A)是Y的开(闭)集, 所以f是开(闭)映射. 定理3.3.3已证(2)或(3)⇒(4). 最后证(4)⇒(1). 设f是商映射, 要验证f-1:Y→X连续. 若U是X的开集, 由于U= f-1(f(U)), 所以(f-1)-1(U)=f(U)是Y的开集, 于是f-1连续.8. 证明:空间X中不相交的开集是隔离的.证设X的开集U, V满足U∩V=∅, 则U－∩V=∅且U∩V－=∅.9.设A是空间X的连通子集, B是X的一个既开又闭的集合, 证明: 如果A∩B≠∅, 则A⊂B(4.1节习题6)证显然, A= (A∩B)∪(A-B), 而A∩B, A-B是子空间A的互不相交闭集, 于是它们是隔离集, 由A的连通性及A∩B≠∅, A-B=∅, 即A⊂B.10.设Y是空间X的连通子集. 证明: 如果A和B是X的两个无交的开集(闭集)使得Y⊂A∪B, 则或者Y⊂A或者Y⊂B. (4.1节习题8)证A, B是X的隔离集, 所以由Y的连通性及定理4.1.4, 或者Y⊂A或者Y⊂B. 也可直接证明如下: Y=(Y∩A)∪(Y∩B), 而Y∩A, Y∩B是Y的隔离集, 所以Y∩A=∅或Y∩B=∅, 于是Y⊂B或Y⊂A.11. 局部连通性是开遗传性质. (§4.4习题3)证设X是局部连通空间, U是X的开子空间, 要证U是局部连通的. 如果V是U的开集, 则V是X的开集, 于是V的任一连通分支C是X的开集(定理4.4.1), 从而C也是U的开集, 故U是局部连通的.。

拓扑学第二次作业参考解答3.1证明：（1）⇒（2）设A X ⊂为任一子集，对于()y f A ∀∈，必x A ∃∈使得().f x y =于是()V N y ∀∈，由f 的连续性，1()()f V N x -∈，再由x A ∈知1().f V A φ-⋂≠即1()x f V A -'∃∈⋂，从而()()f x V f A '∈⋂，即().V f A φ⋂≠由的任意性，()y f A ∈，因此()().f A f A ⊂（2）⇒（3）设B Y ⊂为任一子集，记1()A f B -=，则由（2）知，()()f A f A ⊂，即1(())A f f A -⊂，即有1111()((()))().f B A f f f B f B ----=⊂⊂可见（3）真。

（3）⇒（4）设B Y ⊂为任一子集，由命题2.5知，()c c B B =，于是由（3）得 111111()(())[()][()][(())](()).c c c c c c c c f B f B f B f B f B f B ------==⊂==（4）⇒（1）对于Y 的任一开集V ，由假设（4），有1111()()(())()f V f V f V f V ----=⊂⊂，可见11()(())f V f V --=，即1()f V -是开集。

因此f 是连续映射。

■3.3证明：(1)(2)⇒：设f 是开映射，则对任一A X ⊂，由于A 是开集，故()f A 也是开集，进而由()()f A f A ⊂可知，()().f A f A ⊂(2)(3)⇒：B Y ∀⊂，记1()A f B -=，则由（2）知，()[()].f A f A ⊂且又有1()()f A f f B B -=⊂，因此()f A B ⊂于是，111[()]()().f B A f f A f B ---=⊂⊂(3)(4)⇒B Y ∀⊂，记C Y B =-，则在(3)中以C 取代B 可得：1111111()()()(())(())(())()X f B f Y B f C f C f Y B X f B X f B --------=-=⊃=-=-=- 可见11()().f B f B --⊂(4)(3)⇒B Y ∀⊂，记C Y B =-，则在(4)中以C 取代B 可得：11111(())(())(())()()()()f B f Y C X f C X f C X f C f Y C f B -----=-=-=-⊂-=-=即11[()]().f B f B --⊂(3)(1)⇒：设A 是X 的任一开集，记().B f A =则由（3）知，有11([()])(())[()].f f B f f B B f A --⊂⊂=另一方面，又有11([()])([(())])()().f f B f f f A f A f A --=⊃=因此有()[()]()f A f A f A ⊂⊂，从而()[()]f A f A =，因此()f A 是开集。

点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题2分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T②{,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③{,,{},{,}}X a a b φ=T④{,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ②{,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③{,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ②{,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③{,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④{,,{},{}}X a b φ=T4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ②{,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③{,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.①{,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ②{,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③{,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④{,,{},{},{,}}X a c a c φ=T6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.①{,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ②{,,{,},{,}}X a b b c φ=T③{,,{},{,}}X a a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）①φ②X ③{}b ④{,,}b c d8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）①φ②X ③{}b ④{,,}b c d9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ②X ③{}a ④{}b10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）①φ②X ③{}a ④{}b11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ②X ③{,}a b ④{,,}b c d12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）①φ②X ③{,}a c ④{,,}b c d13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 414、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 415、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 0②1③ 2④ 316、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0②1③ 2④ 317、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 418、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1②2③ 3④ 419、在实数空间中，有理数集Q 的部Q 是（ ）①φ②Q ③R -Q ④R20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）①φ②Q ③R -Q ④R21、在实数空间中，整数集Z 的部Z 是（ ）①φ②Z ③R -Z ④R22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ）①φ②Z ③R -Z ④R23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）①φ②[2,3]③{2,3}④(2,3)25、在实数空间中，区间[0,1)的部是（ ）①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ） ①()()()d A B d A d B ⋃=⋃②A B A B ⋃=⋃③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④A A =27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ①()()()d A B d A d B ⋃=⋃②A B A B -=-③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④A A =28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ①()d A B A B ⋃=⋃②A B A B -=-③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④(())()d d A A d A ⊂⋃29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ①()d A φ=②()d A X A =-③()d A A =④()d A X =30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（）①若A φ=,则()d A φ=② 若0{}A x =,则()d A X A =-③若A={12,x x },则()d A X =④ 若A X ≠, 则()d A X ≠31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（）①若A φ=,则()d A φ=② 若0{}A x =,则()d A X =③若A={12,x x },则()d A X A =-④若12{,}A x x =,则()d A A =32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③{ X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.①{{,}|{}}B p x x X p =∈-②{{}|}B x x X =∈③{{,}|}B p x x X =∈④{{}|{}}B x x X p =∈-34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（）以{,,{}}S X a φ=为子基.①{ X ,φ,{a },{a ,c }} ② {X ,φ,{a }}③{ X ,φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ}35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭④非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭④非开非闭37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ②R ③A ∪{0}④A39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（）①整数集②[)b a ,③有理数集④无理数集40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（）①整数集Z ②有理数集③ 无理数集④ 整数集Z 的补集Z '41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）①1 ②2 ③3 ④442、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）①1个 ②2个③3个④4个43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3② 5③ 7④ 944、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉②T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}φ=T ②{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③{,,{1},{2}}T A φ=④{,,{1},{2}}T X φ=48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )①{,{1},{3},{1,3}}T φ=②{,,{1}}T A φ=③{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=④{,,{1}}T X φ=49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A的拓扑为( )①{,{3},{2,3}}φ=T ②{,,{2},{3}}T A φ=③{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=④{,,{3}}T X φ=50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{1}}T φ=②{,,{1,2}}T A φ=③{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=④{,,{1}}T X φ=51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}T φ=②{,}T A φ=③{,,{2}}T X φ=④{,,{1,2}}T X φ=52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}T φ=②{,{},{1,3}}T X φ=③{,,{3}}T X φ=④{,{3}}T φ=53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）①{,}T Z φ=②()T P Z =③T Z =④{}T Z =54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ） ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ） ①A B A B ⨯≠⨯②A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯④()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）①不连通子集② 连通子集③开集④以上都不对62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）①不连通子集② 连通子集③开集④以上都不对63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）①不连通子集② 连通子集③开集④以上都不对64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 区间或一点71、下列叙述中正确的个数为（ ）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③3 ④ 472、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对75、无理数集作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对78、2维欧氏间空间2R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对79、3维欧氏间空间3R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ②连通性③离散性④第一可数性公理81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ②连通性③第二可数性公理④平庸性82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ②可分性③第二可数性公理④ 离散性83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ②可分性③离散性④第二可数性公理84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④以上都不对85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 道路连通空间87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④ 以上都不对92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈与x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 与A 的每一个开邻域U ，都存在A的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③1T 空间④4T 空间96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④正规空间97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④正规空间98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④正则空间99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ②正则空间③4T 空间④正规空间100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ②正则空间③4T 空间④正规空间101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ②正则空间③4T 空间④正规空间102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（） ① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（ ）①1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间二、填空题（每题2分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的部为 ;11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的部为 ;13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的部为 ; 18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个.20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 ;21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 ；25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ;26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ;29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个；34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个 ；36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;38、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个0T 空间;39、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个1T 空间;40、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个2T 空间;41、正则的1T 空间称为 ；42、正规的1T 空间称为 ；43、完全正则的1T 空间称为 ；44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个 .46、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .47、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个 .48、设X 是一个拓扑空间.如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .三．判断（每题3分，判断1分，理由2分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（ ）11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )四．名词解释(每题2分)1．同胚映射2、集合A 的点3、集合A 的部4．拓扑空间(,)T X 的基5．闭包6、序列7、导集8、不连通空间9、连通子集10、不连通子集11、1 A 空间12、2 A 空间13、可分空间14、0T 空间：15、1T 空间：16、2T 空间：17、正则空间：18、正规空间：19、完全正则空间：20、紧致空间21、紧致子集22、可数紧致空间23、列紧空间24、序列紧致空间五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →,:g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.13、试说明实数空间R 是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.16、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.17、设(,)X T 是一个1T 空间，∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =⋃∞和*X =⋃*T T {}，试说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间.18、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ∀∈与x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 与A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.22、如果X Y ⨯是紧致空间，则X 是紧致空间.23、如果X Y ⨯是紧致空间，则Y 是紧致空间.24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.六、证明题（每题8分）1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个连通子集.5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理，证明：Y 也满足第二可数性公理.11、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理，证明：Y 也满足第一可数性公理.12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。

《拓扑学》题库及答案一、单项选择1．关于笛卡儿积，下面等式成立的是（A ）)()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯=-⨯- （B ）)()()()(D C B A D B C A I I I ⨯=⨯⨯ （C ）)()()()(D B C A D C B A ⨯⨯=⨯Y Y Y （D ）D B C A ⨯⊆⨯当且仅当D C B A ⊆⊆,2．设Y X f →:是映射，)(,,X B A P ∈，)(,Y D C P ∈，则下面结论不成立的是： （A ）)()()(111D f C f D C f ---=Y Y （B ）)()()(111D f C f D C f---=I I（C ）)()()(B f A f B A f Y Y = （D ）)()()(B f A f B A f I I =3．在字典序拓扑空间++⨯Z Z 中，子集+⨯Z }2{是：（A ）开集，非闭集 （B ）闭集，非开集 （C ）即开，且闭集 （D ）即非开集，也非闭集4．设R R →2:d 为映射，（R 表示实数集合），R ∈∀y x ,，下面关于d 的定义中是R 的度量的是：（A ）2(,)()d x y x y '=- （B ）22),(y x y x d -=（C ）||||),(y x y x d += （D ）⎩⎨⎧=≠=yx yx y x d 01),(5．设)T ,(X 是平庸拓扑空间，b a X b a ≠∈,,，则交错序列Λb a b a ,,,在拓扑空间)T ,(X 中的收敛点集合是： （A ）∅ （B ）}{a （C ）},{b a （D ）X6．设}},{},{,,{},3,2,1{},,,{1b a a X Y c b a X ∅===T ，}}2{},3,2{},2,1{,,{2Y ∅=T ，}{b A =，}1{=B ，则在积空间Y X ⨯中B A ⨯等于（A ）)}1,{(b （B ）)}1,(),1,{(c b（C ）)}2,(),1,{(b b （D ）)}2,(),1,(),2,(),1,{(c c b b7．设},,,{d c b a X =，{,,{,,},{,,},{,}}x a b c b c d b c =∅T ，},,{d c a Y =，},{c a A =，则在子空间Y 中A 的内部等于：（A ）∅ （B ）}{a （C ）}{c （D ）},{c a8．拓扑空间的Lindel öff 性，可分性，紧致性，完全正则性中是有限可积性质的有： （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 9．下列拓扑空间的蕴涵关系中，成立的有完全正则空间⇒正则空间，完全正则空间⇒正规空间，连通空间⇒局部连通空间， 度量空间⇒可分空间，度量空间⇒Lindel öff 空间（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个10．拓扑空间的可分性，紧致性，Lindel öff 性，连通性中在连续射下保持不变的性质有： （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 11．设X X R ⨯⊆是一个等价关系，则R 不满足的条件是（A ）R X ⊆∆)( （B ）R ∩R -1=∅ （C ）R R R ⊆ο （D ）1-=R R12．设Y X f →:是映射，)(}|{X J A P ⊆∈αα，)(}|{Y r B r P ⊆Γ∈则下面等式中不成立的是 （A ）)()(ααααA f A f JJ∈∈=Y Y （B ）)()(ααααA f A f JJ∈∈=II（C ）)()(11r r r r B f B f-Γ∈Γ∈-=Y Y （D ）)()(11r r r r B f B f -Γ∈Γ∈-I I13．在字典序拓扑空间++⨯Z Z 中，子集+⨯Z }1{是：（A ）开集，非闭集 （B ）闭集，非开集 （C ）即开，且闭集 （D ）即非开集，亦非闭集14．设},,{c b a X =，}},{},{,,{b a a X ∅=T ，则在拓扑空间)T ,(X 中常值序列Λ,,a a 的 收敛点集合是 （A ）}{a （B ）},{c a （C ）},{b a （D ） X15．设},,{c b a X =，}3,2,1{=Y ，}{},{},{,,{c b a X ∅=1T ，}}3,2{},2{},2,1{,,{Y ∅=2T ，}2,1{},,{==B b a A ，则在积空间Y X ⨯中，0)(B A ⨯等于：（A ）∅ （B ）}{)2,(),1,(a a （C ）}{)2,(),1,(b b （D ）}{)2,(),1,(),2,(),1,(b b a a16.设},,,{d c b a X =，}},{},,,{},,,{,,{d c d c a d c b X ∅=T ，}{},,,{c A d c a Y ==，则在子空间Y 中，A 的闭包等于（A ）}{c （B ）},{a c （C ）},{b c （D ）},,{c d a17．设)T ,(X 是拓扑空间，)T ,(X 是可度量空间是指存在X 的度量R →2:X d 使得由d 诱导的拓扑d T 满足： (A)T T ⊆d (B)d T T ⊆ (C)d T T = (D))(X P T d = 18．拓扑空间的可分性，Lindel öff 性, 正规性、完全正则性中是遗传性质的有 （A ）1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 19．下列拓扑空间的蕴涵关系中成立的有满足第二可数理空间⇒可分空间 度量空间⇒Lindel öff 空间 正规空间⇒完全正则空间 度量空间⇒满足第一可数公理空间 正规空间⇒正则空间 完全正则空间⇒正则空间 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个20．设),(T X 是拓扑空间，则对X 中任意两个不相交闭集B A ,存在连续映射]1,0[:→X f 使得}0{)(⊆A f ，}1{)(⊆B f 当且仅当),(T X 是：（A ）正则空间 （B ）完全正则空间 （C ）正规空间 （D ）4T 空间 21．设X 是全集，,()A B X ∈P ，A B ⊆则当且仅当（A ）∅='B A I （B ）∅='B A I （C ）A B A =Y （D ）B B A =I 22．设Y X f →:是映射，,()A B y ∈P ，则下面结论不成立的是（A ）)()()(111B f A f B A f ---=Y Y （B ）111()()()f A B f A f B ---=I I （C ）)()()(111B f A fB A f----=- （D ）()B B f f =-)(123．在字典序拓扑空间+⨯Z }2,1{中，子集+⨯Z }2{是（A ）开集，非闭集 （B ）闭集，非开集 （C ）即开，且闭集 （D ）即非开集，亦非闭集 24．定义度量R R R →⨯22:d ，),(21x x x =∀，221),(R ∈=y y y ，}{|||,|m ax ),(2211y x y x y x d --=，则度量空间（d ,2R ）中的单位球是（A （B ）（C （D ）25．设)T ,(X 是离散拓扑空间，b a X b a ≠∈,,, 则在)T ,(X 中交错序列Λb a b a ,,,的收敛点集合是 （A ）∅ (B) }{a (C) },{b a (D)X26．设},,,,{d c b a X =}},{},,,{},,,{,,{c b d c b c b a X T ∅=，},,{c b a Y =，}{b A =，则在子空间Y 中A 的闭包等于（A ）}{b （B ）},{b a （C ）},{c b （D ）},,{c b a27．设}3,2,1{},,,{==Y c b a X ，}{,,{,},{},{,}X a b b b c =∅1T ，}{}2,1{},1{,,2Y ∅=T ，},{c b A =，}3,1{=B 则在积空间Y X ⨯中()o A B ⨯等于（A ）∅ （B ）}{)2,(),1,(b b （C ）}{)1,(),1,(c b （D ）}{(,1),(,2),(,1),(,2)b b c c28．拓扑空间的连通性、紧致性、可分性、完全正则性，Lindel öff 性，满足第二可数公理性中是可遗传性质的有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 29．下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有：满足第二可数合理空间⇒可分空间， 度量空间⇒满足第一可数公理空间 完全正则空间⇒正则空间， 紧致空间⇒Lindel öff 空间 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个}0{)(⊆A f ，}1{)(⊆B f 当且仅当),(T X 是：（A ）正则空间 （B ）完全正则空间 （C ）正规空间 （D ）4T 空间 31．设f Y X f ,⨯⊆是映射，则f 满足的条件是 （A ）X Y f =-)(1；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21y y =（B ）X Y f=-)(1；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21x x =（C ）Y X f =)(；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21y y = （D ）Y X f =)(；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21x x =32．设,,(),,(),R X Y A B Y C D X ⊆⨯∈∈P P 则下面等式成立的是 （A ）)()()(111B R A R B A R---=Y Y （B ）)()()(111B R A R B A R ---=I I（C ）)()()(D R C R D C R I I = （D ）)()()(D R C R D C R -=- 33．在字典序拓扑空间+⨯Z }2,1{中，子集+⨯Z }2{是（A ）开集，非闭集 （B ）闭集，非开集 （C ）即开，且闭集 （D ）即非开集，亦非闭集 34．设),(d X 是度量空间，d T 是X 的由d 诱导的拓扑，dU ∈T ，则下列关于U 的结论不正确的是（A ）存在0,>∈εX x 使得),(εx B U =（B ）+∈∃∈∀Z n U x ,使得U nx B ⊆)1,(（C ）0,>∃∈∀εU x 使得U x B ⊆),(ε（D ）存在}0,|),({>∈⊆εεX x x B U B 使得U U =U B35．设},,,{c b a X =}{},{},{,,{b a a X ∅=T ，则在拓扑空间),(T X 中常值序列,,,a a a …的收敛点集合是 （A ）}{a （B ）},{c a （C ）},{b a （D ）X36．设},,,{c b a X =}},{},,,{},,,{,,{c b d c b c b a X ∅=T ，},,,{d c a Y =},{c a A =，则在子空间Y 中A 的内部是（A ）∅ （B ）}{a （C ）}{c （D ）},{c a37．设},,,{c b a X =},3,2,1{=Y }},{},{,,{b a a X ∅=1T ，}}3,2{},2{},2,1{,,{2Y ∅=T ，}1{},{==B b A ，则在积空间Y X ⨯中，B A ⨯等于（A ）)}1,{(b （B ）)}1,(),1,{(c b（C ）)}2,(),1,{(b b （D ）)}2,(),1,(),2,(),1,{(c c b b38．拓扑空间的可分性，Lindel öff 性，紧致性，正规性，连通性中是有限可积的性质有： （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 39．下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有正规空间⇒正则空间 完全正则空间⇒正则空间 局部连通空间⇒连通空间 满足第二可数公理空间⇒可分空间 度量空间⇒满足第一可数公理空间 度量空间⇒可分空间}1{)(,0)(⊆=A f x f 当且仅当),(T X 是（A ）1T 空间 （B ）正规空间 （C ）完全正则空间 （D ）4T 空间二．证明题1.设Y X ,是两个拓扑空间，Y X f →:是映射，证明若f 是连续映射，则)(Y B Ρ∈∀，11()(())o o fB f B --⊆。