拓扑学课程详

拓扑学课程教学大纲【课程编码】JSZX0500【适用专业】数学与应用数学【课时】54课时【学分】3学分【课程性质、目标和要求】本课程是数学与应用数学专业的一门专业课。

它系统而完整地介绍了点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。

其主要任务是使学生获得拓扑学的基本思想与拓扑空间、连续映射、连通性、可数性、分离性、紧致性等方面的系统知识。

它既能从较高的观点总结一、二年级学过的有关概念、理论和方法，又能使学生抽象思维能力和逻辑论证能力得到进一步训练，为今后深入学习拓扑、几何、泛函等学科提供基础。

通过学习本课程，使学生理解拓扑学的一些基本概念，掌握拓扑学的基本理论和基本方法，并能运用这些基本概念、基本理论和基本方法解决拓扑学中的相关问题。

从而，有助于培养学生辨证唯物主义基本观点与学生抽象思维能力。

【教学时间安排】本课程计3学分，54学时, 学时分配如下：【教学内容要点】第一章集合论初步一、学习目的要求本章属预备知识，集合的概念与运算已经在数学分析课程中学过了，建议由学生自学。

关系与等价关系、映射、集族及其运算作为重点掌握的内容。

通过本章的学习，使学生正确理解关系与等价关系、映射、集族等基本概念，掌握单射、满射、一一映射的等价刻画及集族的基本运算，了解Cantor-Bernstein 定理、连续统假设及广义连续统假设。

二、主要教学内容1、集合的基本概念；2、集合的基本运算；3、关系；4、等价关系5、映射；6、集族及其运算；7、可数集，不可数集，基数；8、选择公理。

第二章拓扑空间与连续映射一、学习目的要求本章属于拓扑学的重要内容，通过本章的学习，使学生理解度量空间的概念，由度量导出的球邻域、开集，闭集、收敛性等概念，度量空间之间的连续映射概念及其等价描述；掌握拓扑空间的定义，由拓扑导出的邻域与邻域系，集合的聚点与闭包，内部与边界等概念，这些概念之间的联系；正确理解拓扑空间的基，以邻域系为基生成拓扑的方法，由闭包公理生成拓扑，子基概念及由子基生成拓扑的方法；拓扑空间的映射的连续性及其等价描述，同胚映射及同胚的概念。

《拓扑学》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求拓扑学是继欧氏几何、解析几何、微分几何、射影几何之后的一门较新的研究图形（或集合）在连续变形下不变的几何分支。

《拓扑学》课程是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的基础课程之一。

本课程的目的是利用拓扑学的思想，结合解析几何和数学分析的知识，使学生掌握与拓扑空间有关的基本概念和拓扑空间上连续映射的性质，掌握从已知拓扑空间构造新拓扑空间的一些方法，掌握各种连通性、可数性、分离性和紧致性等拓扑性质及其应用。

培养学生抽象思维，逻辑推理的能力，对学生在科学方法及科学思维上进行训练，为他们学习其它数学理论，如代数拓扑、微分拓扑、广义度量空间等后续课程打下基础；为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。

教学时间应安排在第六学期。

这时，学生已学完数学分析、解析几何、实变函数，这是学习《点集拓扑学》课程必要的基础知识。

第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用由熊金城编写的、高等教育出版社1998年第二版一书，作为本课程的主教材。

为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：江泽涵，拓扑学引论，上海科学技术出版社，1979年6月2、M. A. Armstrong，（孙以丰译），基础拓扑学，北京大学出版社，1983年1月第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章集合论初步本章主要内容是介绍集合论的初步知识，介绍集合的基本概念、基本运算；引入等价关系的定义对集合进行分类；从关系来定义映射并介绍一些常见的映射；定义集族及其运算，并介绍可数集、不可数集、基数；最后介绍集合论中著名的连续统假设和选择公理。

通过这一章的学习，要求学习者掌握初步的集合论知识，特别要对映射的有关性质以及集族的运算等内容的理解，为进一步学习后续内容打好基础。

本章的主要教学内容（教学时数安排：4学时）：§1.1集合的基本概念§1.2集合的基本运算§1.3关系§1.4等价关系§1.5映射§1.6集族及其运算§1.7可数集，不可数集，基数§1.8选择公理。

拓扑学原书第二版课程设计1. 简介本课程设计基于Munkres所著的《Topology》第二版，旨在让学生深入理解拓扑学最基本的概念和定理。

通过课程设计，将帮助学生：•理解集合论的基本概念和符号；•了解基本的拓扑学概念和定理，如开集、闭集、连通性、紧性等；•掌握一些拓扑学的基本技巧和方法；•能够应用拓扑学的知识解决一些实际问题。

2. 课程内容本课程设计具体内容如下：2.1 集合论基础首先我们需要了解一些集合论基本概念和符号，包括集合、子集、并集、交集等。

此外，我们还会介绍一些集合论的基本定理和技巧，如幂集、笛卡尔积、函数等。

2.2 拓扑学基础接下来我们会进入拓扑学的基础知识，如拓扑空间的定义和基本性质，开集和闭集的定义以及它们之间的关系，紧性和连通性的定义等。

在学习这些概念的同时，我们也会讲解一些常见的定理和证明方法，如Heine-Borel定理、闭映射定理、开映射定理等。

2.3 拓扑学的应用最后，我们将介绍一些拓扑学的应用，如拓扑数据分析、网络拓扑结构等，以及如何使用拓扑学工具解决一些现实生活中的问题。

3. 课程要求针对不同的学习阶段，我们对学生的要求也有所不同。

3.1 初学者对于初学者我们要求他们能够熟练掌握集合论的基本概念和符号，理解拓扑空间、开集和闭集的定义以及它们之间的关系，能够熟练使用基本的证明技巧和方法，如归纳法、反证法、构造法等。

3.2 中级阶段对于中级阶段的学生，我们要求他们能够理解并掌握更多拓扑学的基本概念和定理，如连通性、紧性、Tychonoff定理、Urysohn引理等，能够灵活应用证明技巧和方法解决一些较为复杂的问题。

3.3 高级阶段对于高级阶段的学生，我们要求他们深刻理解拓扑学的各种概念和定理，并能够独立完成较为复杂的证明。

此外，我们也希望他们能够探究拓扑学在数学和其他领域的交叉应用，进行一些研究性学习。

4. 课程评估本课程的评估方式主要包括考试和课程作业。

4.1 考试我们将安排定期的期中和期末考试，期中考试占20%成绩，期末考试占40%成绩。

一般拓扑学基础课程设计一、课程概述本课程是一门关于一般拓扑学基础知识的入门课程。

在本门课程中，学生将学会如何将经典的拓扑分析工具应用到现实问题中，帮助他们更好地理解拓扑学在其他领域中的应用。

二、课程目标本课程的目标是：1.了解一般拓扑学的基本知识，包括拓扑空间、连通性、紧性、分离性、连续映射和同胚等。

2.掌握一些基础的拓扑分析方法，如映射次数、Brouwer度、Lefschetz不动点定理等。

3.学会如何把拓扑学应用到其他领域中去，如物理、几何、无穷维拓扑学等。

4.发展学生逻辑思维和分析问题的能力。

三、课程大纲第一章：引论1.什么是拓扑学？2.拓扑学的发展历史。

3.拓扑学在其他领域中的应用。

第二章：拓扑空间1.拓扑空间的定义和基本性质。

2.连通性、紧性、分离性、可度量性等基本概念及其关系。

第三章：连续映射和同胚1.连续映射的定义和基本性质。

2.同胚的定义和基本性质。

3.一些基于同胚概念的定理。

第四章：拓扑分析1.映射次数和Brouwer度的定义和性质。

2.Lefschetz不动点定理及其应用。

第五章：应用1.拓扑学在物理中的应用。

2.拓扑学在几何中的应用。

3.拓扑学在无穷维空间中的应用。

四、教学方法本课程采用讲授、讨论、案例分析和实验等多种教学方法，其中案例分析和实验为重点。

在案例分析中，将引导学生运用课程中所学知识进行数据分析，并通过讨论进一步加深学生对拓扑学的理解；在实验中，将学生分为小组，进行小规模拓扑学实验，并通过自主思考和讨论，激发学生的创新思维。

五、考核方式1.平时成绩：包括课堂表现、小组讨论、实验报告等，占总评成绩的30%。

2.期末考试：占总评成绩的70%。

六、教材及参考资料主要教材1.《拓扑学导论》 Munkres (J. R. Munkres) 著，刘大永等译，高等教育出版社；2.《初等拓扑学》 Jun-iti Nagata 著，刘祥良译，高等教育出版社。

参考资料1.《拓扑学基础》 Wolfgang J. Thron 著，贺令方送审改编，北京大学出版社；2.《拓扑学：一门新的数学分支》 Heinz Hopf 著，任潇等译，科学出版社。

拓扑学（科）一、课程说明课程编号：130925Z10课程名称（中/英文）拓扑学（科）/Topology：课程类别：专业核心课学时/学分：80学时/5学分先修课程：数学分析、高等代数适用专业：数学科学班教材、教学参考书：《TOPOLOGY》, James. Munkres, Prentice Hall, 2000；《点集拓扑讲义》，熊金城编，高等教育出版社，2003年12月，第三版；《点集拓扑学》，徐森林等，高等教育出版社，2007。

二、课程设置的目的意义拓扑学是对连续性的最一般研究，与近代数学的许多分支有密切的内在联系。

本课程介绍一般拓扑学的基础知识，包括基本概念、基本理论与基本方法。

拓扑学对于培养学生的抽象思维能力，提高分析问题和解决问题的能力，为进一步掌握和奠定近代数学的一些基础知识，都是不可缺少的一门课程。

三、课程的基本要求知识：掌握点集拓扑学中拓扑空间与连续映射等最基本概念；掌握各种拓扑不变性质，包括分离性、可数性、连通性和紧致性。

掌握与上述基本概念和重要性质相关的大量具体实例，包括正面的典型例子与能澄清概念的有用反例。

能力：拓扑学是几何学的一个分支，要求学生对拓扑学中的基本概念与定理具有一定的几何想象能力；拓扑学的许多概念、理论和方法在数学的其他分支（主要是分析分支与几何分支）有着广泛应用，要求学生具有能将抽象的拓扑学内容应用于解决具体的分析学与几何学问题的能力。

素质：通过课程学习中的分析、讨论与辩论，培养学生的分析沟通交流素质；培养学生利用形象思维与抽象思维相结合的方法去分析问题与解决问题的素质；培养学生严谨的思维习惯。

四、教学内容、重点难点及教学设计（一）课程的基本内容1．集合论的有关知识集合的基本概念；集合的基本运算；关系；等价关系；映射；集族及其运算；可数集，不可数集，基数；选择公理2．拓扑空间及连续映射拓扑，拓扑基，拓扑子基，拓扑空间，序拓扑；邻域与邻域系；极限点，闭集，闭包；内部，边界；连续映射；网，网的收敛；拓扑空间与连续映射；度量空间与连续映射3．拓扑不变性质，包括分离性、可数性、连通性与紧致性连通空间；连通性的某些简单应用；连通分支；局部连通空间；道路连通空间；第一与第二可数性公理；可分空间；T0,T1,T2，Hausdorff空间；正则，正规，T3,T4空间；完全正则性与Tychonoff空间，可度量化空间；紧致空间，紧致子集，单点紧化；紧致性与分离性；欧氏空间的紧致集，度量空间的紧致集；几种紧致性及相互关系。

《拓扑学》研究生课程教学大纲一、课程基本信息1、课程名称：（中文）：《拓扑学》2、课程名称：（英文）：《Topology》3、课程性质：学位课4、总学时数：12学时5、学分：2学分6、适用专业：数学以及工科相关专业7、先修课程：《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》8、授课方式：多媒体演示、演讲与板书相结合9、大纲执笔：应用数学教研室10、大纲审批：理学院学术委员会11、制定(修订)时间：2015年10月二、课程的目的与任务本课程主要向学生介绍拓扑空间的基本概念和一些基本的拓扑性质。

包含开集族的定义、拓扑空间的基和基生成拓扑、闭集和闭包的定义及性质、映射的连续性和同胚性、集合的连通性、集合的紧致性和分离性等基本内容。

通过教学使学生掌握拓扑空间的开集族定义；学会利用基生成拓扑，熟悉开集、闭集的各种性质；掌握映射的连续性和同胚性；了解连通性、紧致性、分离性等基本的拓扑性质。

三、课程的基本要求1、掌握开集族的定义和开集的刻画。

2、掌握拓扑空间基的定义，可以利用基生成开集族。

3、掌握闭集和闭包的定义和性质。

4、掌握 Hausdorff空间的定义和性质，了解其他各种分离性质。

5、掌握连续映射的定义和等价刻画；了解同胚映射的定义；了解拓扑性质。

6、掌握度量的定义，掌握利用度量构造拓扑的方法。

7、掌握连通性的定义和性质；了解道路联通的定义和性质。

8、掌握紧致性的定义和性质。

四、教学内容及学时分配1、基础知识（2学时）（1）掌握集合的定义和性质；（2）了解序关系的概念；（3）理解可数集与不可数集的基本概念；（4）掌握关系和映射的概念。

2、拓扑空间的概念（3学时）（1）掌握开集族的定义;（2）掌握邻域的定义和开集的等价邻域刻画；（3）掌握拓扑空间的基的定义，了解标准拓扑的概念，掌握基生成拓扑的方法；（4）掌握欧氏空间上的拓扑；（5）掌握闭集的定义，理解闭包的概念，了解内部、闭包的性质。

重点：开集族的定义、基的定义、闭集的定义。

《拓扑学》课程大纲一、课程简介课程名称：拓扑学学时/学分：3先修课程：数学分析, 抽象代数面向对象：理科班教学目标：介绍拓扑学的基础概念和基础理论。

希望通过这门课程的学习，培养学生抽象概括能力，空间想象能力，逻辑推理能力等，并为进一步学习现代数学打下必要的基础。

主要内容：拓扑空间及其几个重要性质, 同胚, 同伦, Euler数, 同伦群, 单纯同调, 奇异同调, 等等.二、教学内容第一章拓扑空间主要内容：拓扑空间, 子空间拓扑, 拓扑基第二章拓扑性质主要内容：连通性, 紧致性, Hausdorff性质第三章拓扑空间的构造主要内容：同胚, 乘积空间, 商空间第四章同伦主要内容：同伦, 同伦等价, Brouwer不动点定理, 向量场第五章Euler数主要内容：单纯复形, Euler数, Euler数及曲面第六章同伦群主要内容：同伦群, 诱导同态, 基本群, 道路连通性, Van Kampen定理第七章单纯同调主要内容：Mod2系数单纯同调, 整系数单纯同调第八章奇异同调主要内容：奇异同调, 同调以及连续映射, 同伦不变性, 重心重分, Mayer-Vietoris序列第九章拓扑空间的更多构造主要内容：向量丛, 纤维丛三、教学进度安排四、课程考核及说明20%为平时成绩（大作业等）80%为考试成绩五、教材与参考书教材:Crossley, Martin D.Essential topology. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer-Verlag London, Ltd., London,2005.参考书:1．Armstrong著，孙以丰译，基础拓扑学，北京大学出版社，1983年。

2．Munkres, J. R., Topology: a first course, Prentice-Hall, Inc., 1975. 3．Terry, Lawson, Topology: a geometric approach,Oxford University Press, 2003.。

拓扑学(Topology)一、基本信息适用专业：数学与应用数学专业课程编号：教学时数：72学时学分：4课程性质：专业核心课开课系部：数学与计算机科学院使用教材：梁基华，蒋继光《拓扑学基础》.高等教育出版社参考书[1]（美）亚当斯著，沈以淡等译《拓扑学基础及应用》.机械工业出版社;[2]Munkries "Topology" 2nd ed. Prentice Hall；[3]尤承业《基础拓扑学讲义》. 北京大学出版社.二、课程介绍拓扑学要求掌握一般拓扑学的基本知识，学习处理拓扑学问题的基本方法。

了解拓扑学与其他一些学科的联系，强化抽象思维与逻辑推理能力，提高数学素养,为进一步学习奠定基础三、考试形式考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，，期末考试百分之八十。

期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。

四、课程教学内容及课时分配第一章集，映射与序结构要求(1) 熟练笛卡儿积和商集的构造。

(2)了解选择公理与等价的引理，并能在证明中正确应用。

(3)掌握映射的基本性质(4)了解偏序集，保序映射，定向与可滤，上，下确界，格与完备格的概念主要内容作为准备，本章介绍有关集合的基本概念，可数集与不可数集的有关结果。

集合的交，并，补，笛卡儿积，商集运算极其性质，刻画。

选择公理和Zorn引理。

映射极其基本性质，偏序集的有关概念和结果，保序映射，序同构。

难点定向与可滤，上，下确界，格与完备格的概念课时安排（8学时）a) 映射及其性质（1学时）b) 序论基础（6学时）c)笛卡儿积与选择公理（1学时）第二章拓扑空间要求本章是拓扑学最基础的内容，要求理解，熟悉本章的各种概念及其相互联系。

熟练应用生成拓扑的各种方法，了解几个具体的拓扑空间。

理解分离性和可数性及其等价刻画。

主要内容拓扑空间的定义，开集，闭集。

生成拓扑的各种方法。

基，邻域，闭包，内部极其刻画。

正规，正则分离性。

《拓扑学》教案教案整本书全书电子教案拓扑学教案完整版一、教学目标- 了解拓扑学的基本概念和原理- 掌握拓扑空间的性质和基本性质- 能够应用拓扑学的方法解决实际问题二、教学内容1. 拓扑学概述- 定义和基本概念- 拓扑空间与度量空间的比较- 拓扑基础知识2. 拓扑空间- 拓扑空间的定义- 拓扑空间的性质和基本性质- 拓扑空间的分类3. 连通性与紧性- 连通性的概念和判定方法- 紧性的概念和判定方法- 连通性和紧性的关系4. 映射与同胚- 映射的定义和性质- 同胚的概念和判定方法- 同胚的基本性质和应用5. 因子空间与商拓扑- 因子空间的定义和性质- 商拓扑的概念和判定方法- 因子空间和商拓扑的关系三、教学方法1. 授课讲解：通过系统的讲解拓扑学的理论知识和概念，引导学生对拓扑学进行深入理解。

2. 示例分析：通过具体的例子和实际问题，指导学生运用拓扑学的方法进行分析和解决问题。

3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流和合作，提高学生的问题解决能力和拓扑思维能力。

4. 实践应用：组织学生参与实际拓扑学相关问题的实践活动，提升学生的实际应用能力和创新能力。

四、教学评价1. 课堂表现：考察学生对拓扑学知识的理解和掌握情况，包括积极参与讨论、提问和回答问题等方面。

2. 作业评定：布置与拓扑学相关的作业，通过评定作业的完成情况和质量，评价学生的拓扑学研究效果。

3. 考试评测：通过拓扑学的理论考试，评测学生对拓扑学知识的掌握情况和应用能力。

五、教学资源- 教材：《拓扑学教材》- 参考书：《拓扑学导论》、《拓扑学原理》- 多媒体教具：投影仪、电脑、幻灯片等六、教学进度安排1. 第一周：概述、拓扑空间2. 第二周：连通性与紧性3. 第三周：映射与同胚4. 第四周：因子空间与商拓扑5. 第五周：复和总结以上是《拓扑学》教案完整版，希望能够帮助到您。

如有需要，可以进一步讨论和调整。