甘肃省兰州第一中学高二上学期期末考试数学理试题含答案

2019-2020学年甘肃省兰州高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（每小题5分）1．（5分）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项2．（5分）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6] B．（﹣∞，10] C．[2，10] D．（﹣∞，6]4．（5分）已知等差数列{an }的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣107．（5分）抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．48．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n9．（5分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B ．“x=﹣1”是“x 2﹣2x+3=0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2+x+1＜0”D ．命题“若x=y ，则cosx=cosy”的逆否命题为真命题 11．（5分）已知x ，y ＞0，且，则x+2y 的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．12．（5分）已知椭圆（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上不存在点P ，使得∠F 1PF 2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题（每小题5分） 13．（5分）若当x ＞2时，不等式恒成立，则a 的取值范围是 ．14．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若（a 2+c 2﹣b 2）tan B=ac ，则角B 的值为 ．15．（5分）已知F 1，F 2为椭圆的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A|+|F 2B|=12，则|AB|= ． 16．（5分）设双曲线C ：分别为双曲线C 的左、右焦点．若双曲线C 存在点M ，满足|（O 为原点），则双曲线C 的离心率为 ．三、解答题17．（10分）在等差数列{a n }中，a 2=4，a 4+a 7=15． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设，求b 1+b 2+b 3+…+b 10的值．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=2，c=5，cosB=． （1）求b 的值；（2）求sinC 的值．19．（12分）已知集合A 是函数y=lg （20﹣8x ﹣x 2）的定义域，集合B 是不等式x 2﹣2x+1﹣a 2≥0（a ＞0）的解集，p ：x ∈A ，q ：x ∈B ． （1）若A ∩B=∅，求实数a 的取值范围；（2）若￢p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．20．（12分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB=AD=2，CD=4，M 为CE 的中点． （1）求证：BC ⊥平面BDE ；（2）求平面BEC 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知函数f （x ）=ax 2﹣ax ﹣1（a ∈R ）．（1）若对任意实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式f （x ）＜2x ﹣3． 22．（12分）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F 2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M （1，0）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点N （3，2），记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，问：k 1+k 2是否为定值？并证明你的结论．2019-2020学年兰州高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分）1．（5分）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项【解答】解：数列1，2，，…就是数列，，，，，…，∴a==，∴=2=，∴n=26，故2是这个数列的第26项，故选：C．2．（5分）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形【解答】解析：∵2cosB•sinA=sinC=sin（A+B）⇒sin（A﹣B）=0，又B、A为三角形的内角，∴A=B．答案：C3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6] B．（﹣∞，10] C．[2，10] D．（﹣∞，6]【解答】解：根据变量x，y满足约束条件画出可行域，由⇒A （3，﹣3），由图得当z=x ﹣y 过点A （3，﹣3）时，Z 最大为6． 故所求z=x ﹣y 的取值范围是（﹣∞，6] 故选：D ．4．（5分）已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于（ ） A ．﹣4 B ．﹣6 C ．﹣8 D ．﹣10【解答】解：∵等差数列{a n }的公差为2，a 1，a 3，a 4成等比数列， ∴（a 1+4）2=a 1（a 1+6）， ∴a 1=﹣8， ∴a 2=﹣6． 故选：B ．5．（5分）若a ＜b ＜0，下列不等式成立的是（ ） A ．a 2＜b 2 B ．a 2＜ab C ．D ．【解答】解：方法一：若a ＜b ＜0，不妨设a=﹣2，b=﹣1代入各个选项，错误的是A 、B 、D ， 故选C ．方法二：∵a ＜b ＜0∴a 2﹣b 2=（a ﹣b ）（a+b ）＞0即a 2＞b 2，故选项A 不正确； ∵a ＜b ＜0∴a 2﹣ab=a （a ﹣b ）＞0即a 2＞ab ，故选项B 不正确； ∵a ＜b ＜0∴﹣1=＜0即＜1，故选项C 正确；∵a＜b＜0∴＞0即，故选项D不正确；故选C6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣10【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），∴﹣，是方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a＜0，∴﹣=﹣+，=﹣×，解得a=﹣12，b=﹣2，∴a+b=﹣14故选：B7．（5分）抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．4【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y=2x2，其标准方程为x2=y，其中p=，则抛物线的焦点到准线的距离p=，故选：C．8．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．9．（5分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若与共线，则1×2﹣m （m ﹣1）=0， 即m 2﹣m ﹣2=0，得m=2或m=﹣1，则“m=2”是“与共线”的充分不必要条件， 故选：A10．（5分）下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2＞1，则x ＞1”的否命题为“若x 2＞1，则x ≤1”B ．“x=﹣1”是“x 2﹣2x+3=0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2+x+1＜0”D ．命题“若x=y ，则cosx=cosy”的逆否命题为真命题【解答】解：命题“若x 2＞1，则x ＞1”的否命题为：“若x 2≤1，则x ≤1”，故A 错误； “x=﹣1”是“x 2﹣2x+3=0”的既不充分又不必要条件，故B 错误；命题“∃x ∈R ，x 2+x+1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2+x+1≥0”，故C 错误； 若x=y ，则x 与y 的各三角函数值相等，再由逆否命题与原命题等价，故D 正确； 故选D ．11．（5分）已知x ，y ＞0，且，则x+2y 的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：由得，，∴，当且仅当x=y=时取等号．故选：D ．12．（5分）已知椭圆（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上不存在点P ，使得∠F 1PF 2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵点P 取端轴的一个端点时，使得∠F 1PF 2是最大角． 已知椭圆上不存在点P ，使得∠F 1PF 2是钝角，∴b ≥c ， 可得a 2﹣c 2≥c 2，可得：a ．∴．故选：A ．二、填空题（每小题5分） 13．（5分）若当x ＞2时，不等式恒成立，则a 的取值范围是 （﹣∞，2+2] ．【解答】解：当x ＞2时，不等式恒成立，即求解x+的最小值，x+=x ﹣2++2=2+2，当且仅当x=2+时，等号成立．所以a 的取值范围是：（﹣∞，2+2]．故答案为：（﹣∞，2+2]．14．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若（a 2+c 2﹣b 2）tan B=ac ，则角B 的值为 或 ．【解答】解：∵，∴cosB ×tanB=sinB=∴B=或故选B ．15．（5分）已知F 1，F 2为椭圆的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A|+|F 2B|=12，则|AB|= 8 ． 【解答】解：根据题意，椭圆的方程为，则a=5，由椭圆的定义得，|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a=10， 两式相加得|AB|+|AF 2|+|BF 2|=20， 又由|F 2A|+|F 2B|=12， 则|AB|=8， 故答案为：8．16．（5分）设双曲线C ：分别为双曲线C 的左、右焦点．若双曲线C 存在点M ，满足|（O 为原点），则双曲线C 的离心率为．【解答】解：如图，由题意可设M （），代入双曲线方程，可得，∴，由，可得|MF 1|=3|MF 2|，又|MF 1|﹣|MF 2|=2a ，则|MF 2|=a ，∴， 整理得：c 2=2a 2，即．故答案为：．三、解答题17．（10分）在等差数列{a n }中，a 2=4，a 4+a 7=15． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设，求b 1+b 2+b 3+…+b 10的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得解得…（4分）∴a n =3+（n ﹣1）×1，即a n =n+2…（6分） （2）由（1）知，b 1+b 2+b 3+…+b 10=21+22+…+210=…（10分）=2046…（12分）18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=2，c=5，cosB=． （1）求b 的值； （2）求sinC 的值．【解答】解：（1）由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB ， 代入数据可得b 2=4+25﹣2×2×5×=17， ∴b=；（2）∵cosB=，∴sinB==由正弦定理=，即=，解得sinC=19．（12分）已知集合A 是函数y=lg （20﹣8x ﹣x 2）的定义域，集合B 是不等式x 2﹣2x+1﹣a 2≥0（a ＞0）的解集，p ：x ∈A ，q ：x ∈B ． （1）若A ∩B=∅，求实数a 的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由条件得：A={x|﹣10＜x＜2}，B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}若A∩B=∅，则必须满足所以，a的取值范围的取值范围为：a≥11；（2）易得：¬p：x≥2或x≤﹣10，∵¬p是q的充分不必要条件，∴{x|x≥2或x≤﹣10}是B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}的真子集，则∴a的取值范围的取值范围为：0＜a≤1．20．（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．（1）求证：BC⊥平面BDE；（2）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵ADEF为正方形，∴ED⊥AD．又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD．又∵ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD．又∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC．∵AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，∴BD=BC==2，∴BD2+BC2=CD2，∴BD⊥BC，∵BD∩ED=D，∴BC⊥平面BDE．解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，2，0），E（0，0，2），C（0，4，0），=（2，2，﹣2），=（0，4，﹣2），设平面BEC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（1，1，2），平面ADEF的法向量=（0，1，0），设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ，则cosθ===．∴平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣1（a∈R）．（1）若对任意实数x，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜2x﹣3．【解答】解：（1）对任意实数x，f（x）＜0恒成立，即有a=0时，﹣1＜0恒成立；a＜0时，判别式小于0，即为a2+4a＜0，解得﹣4＜a＜0；a＞0时，不等式不恒成立．综上可得，a的范围是（﹣4，0]；（2）由题意可得ax2﹣（2+a）x+2＜0，可化为（x ﹣1）（ax ﹣2）＜0，a ＞0，10当0＜a ＜2时，∴＞1，其解集为（1，）；20当a=2时，即=1，其解集为∅，30当a ＞2，即＜1，其解集为（，1）．22．（12分）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F 2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M （1，0）．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点N （3，2），记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，问：k 1+k 2是否为定值？并证明你的结论．【解答】解：（1）∵椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F 2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M （1，0），∴，解得，b=1， ∴椭圆C 的方程为=1．（2）k 1+k 2是定值． 证明如下：设过M 的直线：y=k （x ﹣1）=kx ﹣k 或者x=1①x=1时，代入椭圆，y=±，∴令A （1，），B （1，﹣），k 1=，k 2=，∴k 1+k 2=2．②y=kx ﹣k 代入椭圆，（3k 2+1）x 2﹣6k 2x+（3k 2﹣3）=0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．则x 1+x 2=，x 1x 2=，y 1+y 2=﹣2k=， y 1y 2=k 2x 1x 2﹣k 2（x 1+x 2）+k 2=﹣，k 1=，k 2=，∴k 1+k 2==2．。

2017-2018学年甘肃省兰州高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（每小题5分）1．（5分）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项B．第24项C．第26项D．第28项2．（5分）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6] B．（﹣∞，10] C．[2，10] D．（﹣∞，6]4．（5分）已知等差数列{an }的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣107．（5分）抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．48．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n9．（5分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．“x=﹣1”是“x2﹣2x+3=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为真命题11．（5分）已知x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分）13．（5分）若当x＞2时，不等式恒成立，则a的取值范围是．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tan B=ac，则角B的值为．15．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|= ．16．（5分）设双曲线C：分别为双曲线C的左、右焦点．若双曲线C存在点M，满足|（O为原点），则双曲线C的离心率为．三、解答题17．（10分）在等差数列{an }中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．（1）求b 的值； （2）求sinC 的值．19．（12分）已知集合A 是函数y=lg （20﹣8x ﹣x 2）的定义域，集合B 是不等式x 2﹣2x+1﹣a 2≥0（a ＞0）的解集，p ：x ∈A ，q ：x ∈B ． （1）若A ∩B=∅，求实数a 的取值范围；（2）若￢p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．20．（12分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB=AD=2，CD=4，M 为CE 的中点． （1）求证：BC ⊥平面BDE ；（2）求平面BEC 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知函数f （x ）=ax 2﹣ax ﹣1（a ∈R ）．（1）若对任意实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式f （x ）＜2x ﹣3．22．（12分）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1（﹣，0），F 2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M （1，0）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点N （3，2），记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，问：k 1+k 2是否为定值？并证明你的结论．2017-2018学年兰州高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分）1．（5分）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项B．第24项C．第26项D．第28项【解答】解：数列1，2，，…就是数列，，，，，…，∴a==，n∴=2=，∴n=26，故2是这个数列的第26项，故选：C．2．（5分）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形【解答】解析：∵2cosB•sinA=sinC=sin（A+B）⇒sin（A﹣B）=0，又B、A为三角形的内角，∴A=B．答案：C3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6] B．（﹣∞，10] C．[2，10] D．（﹣∞，6]【解答】解：根据变量x，y满足约束条件画出可行域，由⇒A（3，﹣3），由图得当z=x﹣y过点A（3，﹣3）时，最大为6．故所求z=x﹣y的取值范围是（﹣∞，6]故选：D．4．（5分）已知等差数列{an }的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵等差数列{an }的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．5．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．【解答】解：方法一：若a＜b＜0，不妨设a=﹣2，b=﹣1代入各个选项，错误的是A、B、D，故选C．方法二：∵a＜b＜0∴a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）＞0即a2＞b2，故选项A不正确；∵a＜b＜0∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0即a2＞ab，故选项B不正确；∵a＜b＜0∴﹣1=＜0即＜1，故选项C正确；∵a＜b＜0∴＞0即，故选项D不正确；故选C6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣10【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），∴﹣，是方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a＜0，∴﹣=﹣+，=﹣×，解得a=﹣12，b=﹣2，∴a+b=﹣14故选：B7．（5分）抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．4【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y=2x2，其标准方程为x2=y，其中p=，则抛物线的焦点到准线的距离p=，故选：C．8．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．9．（5分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若与共线，则1×2﹣m（m﹣1）=0，即m2﹣m﹣2=0，得m=2或m=﹣1，则“m=2”是“与共线”的充分不必要条件，故选：A10．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．“x=﹣1”是“x2﹣2x+3=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为真命题【解答】解：命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为：“若x2≤1，则x≤1”，故A错误；“x=﹣1”是“x2﹣2x+3=0”的既不充分又不必要条件，故B错误；命题“∃x∈R，x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+x+1≥0”，故C错误；若x=y，则x与y的各三角函数值相等，再由逆否命题与原命题等价，故D正确；故选D．11．（5分）已知x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由得，，∴，当且仅当x=y=时取等号．故选：D．12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，∴b≥c，可得a2﹣c2≥c2，可得：a．∴．故选：A．二、填空题（每小题5分）13．（5分）若当x＞2时，不等式恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，2+2] ．【解答】解：当x＞2时，不等式恒成立，即求解x+的最小值，x+=x﹣2++2=2+2，当且仅当x=2+时，等号成立．所以a的取值范围是：（﹣∞，2+2]．故答案为：（﹣∞，2+2]．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tan B=ac，则角B的值为或．【解答】解：∵，∴cosB×tanB=sinB=∴B=或故选B．15．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|= 8 ．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为，则a=5，由椭圆的定义得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=20，又由|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8，故答案为：8．16．（5分）设双曲线C：分别为双曲线C的左、右焦点．若双曲线C存在点M，满足|（O为原点），则双曲线C的离心率为．【解答】解：如图，由题意可设M（），代入双曲线方程，可得，∴，由，可得|MF1|=3|MF2|，又|MF1|﹣|MF2|=2a，则|MF2|=a，∴，整理得：c2=2a2，即．故答案为：．三、解答题17．（10分）在等差数列{an }中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知得解得…（4分）∴an =3+（n﹣1）×1，即an=n+2…（6分）（2）由（1）知，b 1+b2+b3+…+b10=21+22+…+210=…（10分）=2046…（12分）18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．（1）求b的值；（2）求sinC的值．【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入数据可得b2=4+25﹣2×2×5×=17，∴b=；（2）∵cosB=，∴sinB==由正弦定理=，即=，解得sinC=19．（12分）已知集合A是函数y=lg（20﹣8x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由条件得：A={x|﹣10＜x＜2}，B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}若A∩B=∅，则必须满足所以，a的取值范围的取值范围为：a≥11；（2）易得：¬p：x≥2或x≤﹣10，∵¬p是q的充分不必要条件，∴{x|x≥2或x≤﹣10}是B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}的真子集，则∴a的取值范围的取值范围为：0＜a≤1．20．（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．（1）求证：BC⊥平面BDE；（2）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵ADEF为正方形，∴ED⊥AD．又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD．又∵ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD．又∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC．∵AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，∴BD=BC==2，∴BD2+BC2=CD2，∴BD⊥BC，∵BD∩ED=D，∴BC⊥平面BDE．解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，2，0），E（0，0，2），C（0，4，0），=（2，2，﹣2），=（0，4，﹣2），设平面BEC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（1，1，2），平面ADEF的法向量=（0，1，0），设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ，则cosθ===．∴平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知函数f （x ）=ax 2﹣ax ﹣1（a ∈R ）．（1）若对任意实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式f （x ）＜2x ﹣3．【解答】解：（1）对任意实数x ，f （x ）＜0恒成立，即有a=0时，﹣1＜0恒成立；a ＜0时，判别式小于0，即为a 2+4a ＜0，解得﹣4＜a ＜0；a ＞0时，不等式不恒成立．综上可得，a 的范围是（﹣4，0]；（2）由题意可得ax 2﹣（2+a ）x+2＜0，可化为（x ﹣1）（ax ﹣2）＜0，a ＞0，10当0＜a ＜2时， ∴＞1，其解集为（1，）；20当a=2时，即=1，其解集为∅，30当a ＞2，即＜1，其解集为（，1）．22．（12分）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1（﹣，0），F 2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M （1，0）．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点N （3，2），记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，问：k 1+k 2是否为定值？并证明你的结论．【解答】解：（1）∵椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1（﹣，0），F 2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M （1，0）， ∴，解得，b=1，∴椭圆C 的方程为=1．（2）k 1+k 2是定值．证明如下：设过M 的直线：y=k （x ﹣1）=kx ﹣k 或者x=1①x=1时，代入椭圆，y=±，∴令A （1，），B （1，﹣）， k 1=，k 2=，∴k 1+k 2=2．②y=kx ﹣k 代入椭圆，（3k 2+1）x 2﹣6k 2x+（3k 2﹣3）=0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．则x 1+x 2=，x 1x 2=，y 1+y 2=﹣2k=，y 1y 2=k 2x 1x 2﹣k 2（x 1+x 2）+k 2=﹣，k 1=，k 2=，∴k 1+k 2==2．。

甘肃兰州高二上册期末数学试题一、单选题(每小题5分，共60分)1．已知复数其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为A ． 1B ．C ．D ．2．若命题p ：∀x ∈，tan x >sin x ，则命题p 为( )A.∃x 0∈，tan x 0≥sin x 0 B ．∃x 0∈，tan x 0>sin x 0 C.∃x 0∈，tan x 0≤sin x 0 D ．∃x 0∈∪，tan x 0>sin x 03．下列说法错误的是（）A ．对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小B ．在回归直线方程ˆy=0.2x+0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位C ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1D ．回归直线过样本点的中心（x ， y ） 4．已知0,0>>y x ，若m x yxx y 2822+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m≥4或m≤－2 B ．m≥2或m≤－4 C ．－2＜m ＜4 D ．－4＜m ＜25．若变量满足，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．6．“函数在区间上单调递增”是“”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件7.点到双曲线渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且若=⋅C B sin sin A A sin sin ⋅，则的形状是A.等腰三角形B.直角三角形C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 9．=+⨯+⨯+⨯+⨯)2(1751531311n n A)2(1+n n B ．)211(21+-n C ．)211123(21+-+-n n D ．)111(21+-n10．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过F 直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且MN 的中点为，则双曲线的方程为A ．B ．C ．D ．11．已知三角形的三边分别为a ，b ，c ，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为R .类比三角形的面积可得四面体的体积为( )A ．B ．C ．D ．12．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题5分，共20分） 13．等差数列中，，，则当取最大值时，的值为__________．14．在中，分别是内角的对边，且，，，，若n m⊥，则__________．15．已知点为双曲线的右焦点，直线交于两点，若，，则的虚轴长为________16．函数1223+-=ax x y 只有一个零点，则实数a 的取值范围为______． 三、解答题（共70分.第17题10分，其余每题各12分，写出必要的解答过程） 17．（10分）已知等比数列的前n 项为和，且，，数列中，，．求数列，的通项和；设n n n b a c .=，求数列的前n 项和．18．（12分）的内角所对的边分别为,且满足0232cos cos =++abc A C (Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若外接圆半径为,求的面积.19．（12分）《道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《道路交通安全法》 第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份1 2 3 4 5 违章驾驶员人数1201051009085（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：能否据此判断有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？不礼让斑马线 礼让斑马线 合计 驾龄不超过1年 22 8 30 驾龄1年以上 8 12 20 合计302050参考公式及数据：.（其中）20．（12分）16．已知抛物线x y =2与直线：l )1-(x k y =相交于A 、B 两点，点O 为坐标原点 .（1）当k=1时,求OB OA ⋅的值； （2）若OAB ∆的面积等于45，求直线l 的方程. 21．（12分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调区间22．（12分）已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆的左顶点坐标为，离心率为．求椭圆E 的方程； 过点作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使⋅为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案：1__5CCADD6__10BCCCD 11__12BB6【详解】若，则对称轴，所以在上为单调递增，取，则对称轴，在上为单调递增，但，所以“在上为单调递增”是“”的必要不充分条件.11.根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，则的面积为，对应于四面体的体积为，故选B．12.构造函数，当时，，故函数在上单调递减.由于是奇函数，故为偶函数.所以函数在上单调递增，且，即.根据函数的单调性可知，当或时，，当时，.所以当或时，.故选B.13．14．1516．16.，，由得或，在上递增，在上递减，或在上递增，在上递减，函数有两个极值点，因为只有一个零点，所以，解得，故答案为.17．（1）；（2）.（1）设等比数列的公比为，∵，，∴，，解得，，∴数列是等比数列，∴．∵，即数列是以2为公差的等差数列，又，∴；（2）∵∵，∴，两式相减得：，∴．18．（1）（2）（Ⅰ）由及正弦定理得从而即又中, ∴.（Ⅱ）外接圆半径为3,,由正弦定理得再由余弦定理,及得∴的面积.19．（1）；（2）有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．（1）由表中数据知，，∴，∴，∴所求回归直线方程为。

兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题高二数学（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共10 小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上．．．．．．．．．．.） 1. 命题p 对∀ x ∈R ，x 3-x 2+1≤0，则⌝p 是（ ） A.不存在x ∈R ，x 3-x 2+1≤0 B. ∃ x ∈R ，x 3-x 2+1≥0C. ∃ x ∈R ，x 3-x 2+1>0D.对∀ x ∈R ，x 3-x 2+1>02. 抛物线y 2=2px 上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是（ ） A.4 B.8C.16D.323. 若a 、b 为实数, 且a+b=2, 则3a +3b 的最小值为（ ） A ．6B ． 18C ．23D ．2434. 椭圆24x +y 2=1的焦点为F 1、F 2，经过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为P ，则|2PF uuu r|等于（ ）72D.4 5．2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是（ ）A ．－21＜x ＜3B ．－21＜x ＜0C ．－3＜x ＜21D ．－1＜x ＜66． 过双曲线221169x y -=左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF D （F 2为右焦点）的周长是（ ）A ．28B ．22C ．14D ．127．已知空间四边形ABCD 中，OA a OB b OC c ===，，，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ）A ．c b a 213221+-B ．c b a 212132++-C ．212121-+D ．213232-+8．已知双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A. 2233125100x y -=B. 221205x y -=C. 221520x y -=D. 2233110025x y -=9．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E, F 分别是 BC, AD 的中点，则AE CF ⋅=（ ） A ．0 B ．21C ．43-D ．21-10. 椭圆上22221(0)x y a b a b+=>>一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]124ππα∈，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A．B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题）二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 11. 已知a ＝(1,2，-y)，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b)∥(2a-b)，则x+y= ．12. 已知y x ,满足43035251x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z=2x-y 的最小值为 .13. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，直线l 的方程为 ．14．设双曲线2222by a x -=1（0＜b ＜a ）的半焦距为c ，直线l 经过双曲线的右顶点和虚轴的上端点.已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 .兰州一中2019-2020-1学期期末考试答题卡高二数学（理）一、选择题（本大题共10 小题，每小题4分，共40分）二、填空题（每小题4分，共16分）11． ； 12． ；13． ； 14． . 三、解答题（本大题共5 小题，共44分） 15.（本小题8分）己知a ，b ，c 都是正数，且a ，b ，c 成等比数列. 求证：a 2+b 2+c 2>(a-b+c)2.题号1 2 3 4 5 6 78 9 10答案16．（本小题8分）已知命题p 函数y=x 2+mx+1在(-1，+∞）上单调递增，命题q ：对函数y=-4x 2+4(2- m)x-1, y ≤0恒成立．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．17．（本小题8分）如图，在长方体ABCD- A 1B 1C 1B 1中，AA 1=2AB=2AD=4，点E 在CC 1上且C 1E=3EC ．利用空间向量解决下列问题：（1）证明：A 1C ⊥平面BED ； （2）求锐二面角A 1-DE-B 的余弦值．ABCD E A 1B 1C 1D 118．（本小题10分）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若平行于OA(O为坐标原点)的直线l与抛物线C相交于M、N两点，且|MN|.求∆AMN 的面积．19. (本小题10分)如图所示，O 为坐标原点， A 、B 、C 是椭圆上的三点，点A(2,0)是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ，且AC BC ⋅=0，|BC|=2|AC|． (1)求椭圆方程；AB ．A BCyx兰州一中2019-2020-1学期期末考试参考答案高二数学（理）一、选择题（本大题共10 小题，每小题4分，共40分）二、填空题（每小题4分，共16分） 11．-72； 12．-125； 13．082=-+y x ；14三、解答题（本大题共5 小题，共44分）15.（8分）证明：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2=ac ∵a ，b ，c 都是正数，c a ca acb +<+≤=<∴20 ∴a+c>b , ……………………………4分 ∴a 2+b 2+c 2-(a-b+c)2=2(ab+bc-ca ）=2(ab+bc- b 2）=2b(a+c-b)>0 ∴ a 2+b 2+c 2>(a-b+c)2. ……………………………8分 16．（8分）解：若函数y=x 2+mx+1∴m ≥2，即p ：m ≥2 ……………………………2分 若函数y=-4x 2+4（2- m ）x-1≤0恒成立，则△=16（m-2）2-16≤0， 解得1≤m≤3，即q：1≤m≤3 ……………………………4分 ∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 一真一假 当p 真q 假时，由213m m m ≥⎧⎨<>⎩或 解得：m>3 ……………………………6分当p 假q 真时，由213m m <⎧⎨≤≤⎩解得：1≤m<2综上，m 的取值范围是{m|m>3或1≤m<2} …………………………8分 17．（8分）解：（Ⅰ）证明：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，． (021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． 因为10AC DB =，10AC DE =，故1A C BD ⊥，1A C DE ⊥． 又DBDE D =，所以1A C ⊥平面DBE ．……………………………4分（Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ．……………………………6分4214==．所以二面角1A DE B --的余弦值为大小为42．……………………………8分 18．（10分）解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p·1，所以p ＝2.故抛物线方程为y 2＝4x ，准线为x ＝-1. ……………………………3分 (2)设直线l 的方程为y ＝－2x ＋t ， 由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋ty 2＝4x得y 2＋2y －2t ＝0. ∴y 1+y 2=-2,y 1y 2=-2t, ……………………………5分∵直线l 与抛物线C 有公共点，∴Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－12.由|MN |得t=4， ……………………………8分 又A 到直线l 的距离为……………………………9分∴∆AMN 的面积为S=12|MN |﹒d=6. ……………………………10分19. (10分221y b=(0)a b >>，则a=2由AC BC ⋅=0， |BC|=2|AC|得∆AOC 为等腰直角三角形，∴C(1，1)，代入得b,2314y +=. ……………………………4分 （2）证明：设PC 斜率为k ,则QC 斜率为-k ，、∴直线PC 的方程为y=k(x-1)+1, 直线QC 的方程为y=-k(x-1)+1,由221)13=4y k x x y =-+⎧⎨+⎩( 得（1+3k 2）x 2-6k(k-1)x+3k 2-6k-1=0. ……………………5分 又x C =1, 且x C x P =2236131k k k --+，∴x P =2236131k k k --+, 同理x Q =223+6131k k k -+ (7)分 2222(31)2()213112331P Q P Q k k k k x x k k k x x k ----+===--+.…………9分,所以//PQ AB λ，即一定存在实数λ，使PQ AB λ=．……………………10分。

说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．) 1．如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，那么（ ）A ．命题p 、q 都是真命题B ．命题p 、q 都是假命题C ．命题p 、q 至少有一个是真命题D ．命题p 、q 只有一个真命题 2．过点P （2,4）且与抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点的的直线有（ ） A ．0条 B ． 1条 C ．2 条 D ． 3条 3．双曲线的一条渐近线方程是 ( ) A ． B ． C ． D ． 4．曲线()2216106xym mm+=<--与曲线()2215959xn nny +=<<--的（）A ．焦距相等B ．离心率相等C ．准线相同D ． 焦点相同 5．设点()()()3,3,1,1,0,5,0,1,0A B C ，则AB 的中点到C 的距离为（ ） A ． B ． C ． D ． 6．下列命题错误．．的是 ( ) A ．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”. B ．若命题，，则“”为：.C ．若命题p :或；命题q :或，则是的必要不充分条件.D ．“”是“”的充分不必要条件.7．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且，则k 的值为（ ）A ． 1B ．C ．D ． 8．已知线段AB 、BD 在平面α内，∠ABD =120°，线段AC ⊥α，如果AB =a ，BD =b ，AC =c ，则线段CD 的长为（ ） A ． B ． C ． D ．9．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 1、F 1分别是A 1B 1、C 1D 1 上的点，并且4B 1E 1＝4D 1F 1＝A 1B 1，则BE 1与DF 1所成角的余弦 值是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 ( )A ． (1，+∞)B ．(1,2)C ．(1,1+)D ．(2,1+)第II 卷（非选择题）二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共18分，将答案写在答题．．．．．．．卡上．．） 11．已知点，在抛物线上找一点P ，使得取最小值（F 为抛物线的焦点），此时点P 的坐标是 . 12．对于以下命题：①是共线的充要条件； ②对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若2OP OA OB OC =-+，则P 、A 、B 、C 四点共面.③如果,那么与的夹角为钝角④若为空间一个基底，则构成空间的另一个基底； ⑤若23,246m a b c n a b c =-+=-+-，则.其中不正确结论的序号是___________________.13．已知椭圆与双曲线的公共焦点为F 1，F 2，点P 是两条曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2的值为 .14．若椭圆221(0,0)mx ny m n +=>>与直线交于A ，B 两点，若，则过原点与线段AB 的中点M 的连线的斜率为 ．兰州一中2014-2015学年第一学期高二年级期末数学试题参考答案 （理科）第I 卷（选择题）二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共16分）11． 12．①③ 13． 14． 三、解答题（本题共5小题，共54分）15．（本小题满分10分）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点． （Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若点在双曲线上，求证：. 解析：（Ⅰ）由题意，可设双曲线方程为，又双曲线过点，解得故双曲线方程为. ……………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，， ∴， ∴()13,MF m =--，， ∴，又点在双曲线上， ∴， ∴， 即.……………………………10分16．(本小题满分10分) 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB和BC 的中点，试在棱B 1B 上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.证明：分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0， M (1,1，m )．∴AC →＝(－1,1,0)，又E 、F 分别为AB 、BC 的中点，∴EF →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 又∵B 1E →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1，D 1M →＝(1,1，m －1)， ∵D 1M ⊥平面FEB 1，∴D 1M ⊥EF 且D 1M ⊥B 1E . 即D 1M →·EF →＝0，且D 1M →·B 1E →＝0. ∴⎩⎨⎧－12＋12＋(m －1)·0＝00－12＋(1－m )＝0，∴m ＝12.故取B 1B 的中点M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1.17．（本小题满分10分）已知定点（1,0）和定圆B ：,x y x 015222=-++动圆P 和定圆B 相切并过A 点，（Ⅰ）求动圆P 的圆心P 的轨迹C 的方程. （Ⅱ）设Q 是轨迹C 上任意一点，求的最大值. 解析：（Ⅰ）设，则,所以点P 的轨迹是以A ,B 为焦点，长轴长为4的椭圆所以点P 的轨迹方程是 ……………………………………………………4分 （Ⅱ）设则2112616242242222=-+≥-=--+=-+=∠∴)n m (mn mn mn )n m (mn n m AQB cos当且仅当时取“=”，，的最大值是.……………………………………………………10分 注：其它解答参考给分.18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，190,22ACB AC AA BC ∠====.（Ⅰ）若D 为中点，求证：平面⊥平面； （Ⅱ）若二面角B 1—DC —C 1的大小为60°，求AD 的长. 解法1：（Ⅰ）∵，∴，又由直三棱柱性质知，∴平面ACC 1A 1.∴……① 由D 为中点可知，，∴即……②由①②可知平面，又平面，故平面平面.………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（1）可知平面ACC 1A 1，如图，在面ACC 1A 1内过C 1作，交CD 或延长线或于E ，连EB 1，可知为二面角B 1—DC —C 1的平面角， ∴由B 1C 1=2知，，设AD=x ，则∵的面积为1，∴，解得，即 ……………………………………………………12分解法二：（Ⅰ）如图，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则 C （0，0，0），A （1，0，0），B 1（0，2，2），C 1（0，0，2），D （1，0，1）即11(0,2,0),(1,0,1),(1,0,1)C B DC CD ==-=0101)1,0,1()1,0,1(;,0000)0,2,0()1,0,1(111=++-=-⋅=⋅⊥=++=⋅=⋅DC B C CD C 由得由得；又，∴平面B 1C 1D .又平面B 1CD ，∴平面平面…………………………………………6分 （Ⅱ）设AD=a ，则D 点坐标为（1，0，a ），， 设平面B 1CD 的法向量为. 则由,1,0220001-=⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z z y ax x CB 令 得， 又平面C 1DC 的法向量为，则由212160cos 2=+a，即， 故………………………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)如图，动直线与椭圆有且仅有一个公 共点，点是直线上的两点，且． 求四边形面积的最大值．解析：(Ⅰ)依题意，设椭圆的方程为． 构成等差数列，11222242a PF PF F F a ⇒=+==⇒=．又，故．从而，椭圆的方程为． …………………………………………4分 (Ⅱ)将直线的方程代入椭圆的方程中，得：01248)34(222=-+++m kmx x k ． ……………………5分 由直线与椭圆仅有一个公共点知，2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=，化简得：． …………………………6分 设，， …………………………8分 （法一）当时，设直线的倾斜角为， 则12tan d d MN θ-=⨯，，22121212221()221m d d d d S d d k k k --=+==+mm m m1814322+=+-=， …………………………10分又，当时，，3343131=+>+m m ，． 当时，四边形是矩形，．故四边形面积的最大值为． ……………………………12分（法二）222222212222()2(53)11m k k d d k k +++=+==++，222122233311m k k d d k k -+====++．MN ⇒===．四边形的面积， ………10分。

一、单选题1．等差数列中，，，则等于（ ） {}n a 4515a a +=712a =2a A ． B ． 33-C ．D ．3232-【答案】A【分析】利用等差数列的性质，，即可得出结果. 4527a a a a +=+【详解】解：由等差数列的性质，可得， 4527a a a a +=+所以. 215123a =-=故选：A.2．在等比数列中，，则 {}n a 44a =26a a ⋅=A ． B ． C ． D ．416832【答案】B【详解】等比数列的性质可知,故选.226416a a a ⋅==B 3．等比数列{an }的各项都是正数，若＝81，＝16，则它的前5项的和是（ ） 1a 5a A ．179 B ．211 C ．243 D ．275【答案】B【分析】设公比为，根据＝81，＝16，求得公比，再根据等比数列前n 项和的公式即可的解. q 1a 5a 【详解】解：设公比为，q 因为＝81，＝16，所以q 4＝，且q >0， 1a 5a 451162813a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴q ＝，∴S 5＝＝＝211.23()5111a q q--281163213-⨯-故选：B.4．若直线过点（1，2），（4，2，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A【分析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角．【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为． k ==30︒故选：A ．5．圆 与直线 的位置关系是（ ） 22(3)(3)8x y -+-=3460x y ++=A ．相交 B ．相切C ．相离D ．无法确定【答案】C【解析】求出圆心到直线的距离，与半径大小作比较，得出位置关系【详解】圆心为，半径()3,3r =圆心到直线的距离为()3,33460x y ++=333462755d r ⨯+⨯+==>所以直线与圆相离 故选：C【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．6．设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则1F 2F 221445x y -=P 1235PF PF =的面积等于（ ） 12PF F △A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据双曲线定义得到，，用余弦定理和面积公式求出答案.110PF =26PF =【详解】设，，则由双曲线的定义可得：，所15PF x =23PF x =1253224PF PF x x x a -=-===以，故，，又，故，故2x =110PF =26PF =1214F F =12100361961cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以的面积为12sin F PF ∠=12PF F △11062⨯⨯=故选：C.7．直线被圆所截得的弦长为（ ） :3410l x y +-=22:(1)(2)9C x y -+-=A ．B ．4C ．D ．【答案】A【分析】由已知，根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长.【详解】由已知，圆，圆心坐标为，半径为， 22:(1)(2)9C x y -+-=()12C ，3所以点到直线，()12C ，:3410l x y +-=2所以，直线被圆截得的弦长为=故选：A.8．已知椭圆上存在点P ，使得，其中，分别为椭圆的左、()222210x y a b a b +=>>213PF PF =1F 2F 右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】由已知结合椭圆定义，用a 表示出和，再借助焦点三角形建立不等关系求解即1||PF 2||PF 得.【详解】因点P 在椭圆上，则，又，22221x y a b +=12||||2PF PF a +=213PF PF =于是得，，132PF a =212PF a =而，当且仅当点P 在椭圆右顶点时取“=”，1212|||||2PF PF F F c -≤=|即，解得，31222a a c -≤12c e a =≥所以，椭圆的离心率取值范围是.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：D.9．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目25C 看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，254!240C ⨯=故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.二、多选题10．给出下列几个问题，其中是组合问题的是（ ） A ．求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数 B ．求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数C ．3人去做5种不同的工作，每人做1种，求不同的安排种数D ．求由1，2，3组成无重复数字的两位数的个数 【答案】AB【分析】根据组合的定义判断可得选项.【详解】解：A ，B 中选出元素就完成了这件事，是组合问题； 而C ，D 中选出的元素还需排列，与顺序有关，是排列问题. 故选：AB.11．关于抛物线，下列说法正确的是（ ） 22y x =-A ．开口向左 B ．焦点坐标为 C ．准线为D ．对称轴为轴()1,0-1x =x 【答案】AD【分析】根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A ，，开口向左，故A 正确；22y x =-对选项B ，，焦点为，故B 错误；22y x =-1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭对选项C ，，准线方程为，故C 错误；22y x =-12x =对选项D ，，对称轴为轴，故D 正确. 22y x =-x 故选：AD12．已知双曲线，（ ） 22:121x y W m m -=++A ．(2,1)m ∈--B ．若的顶点坐标为，则 W (0,3m =-C ．的焦点坐标为W ()1,0±D ．若，则的渐近线方程为 0m =W 0x =【答案】BD【分析】本题首先可根据双曲线的解析式得出，通过计算即可判断出A 错误，然()()210m m ++>后根据双曲线的顶点的相关性质即可判断出B 正确，再然后分为、两种情况，依次1m >-2m <-求出，即可判断出C 错误，最后根据双曲线的渐近线方程的求法即可得出结果.2c 【详解】A 项：因为方程表示双曲线，22121x y m m -=++所以，解得或，A 错误； ()()210m m ++>1m >-2m <-B 项：因为的顶点坐标为，W (0,所以，解得，B 正确；21m --=3m =-C 项：当时，，1m >-()()22123c m m m =+++=+当时，，C 错误；2m <-()()22123c m m m =-+-+=--D 项：当时，双曲线的标准方程为，0m =W 2212x y -=则渐近线方程为，D 正确， 0x =故选：BD.三、填空题13．数列的前项和为，则它的通项公式为________.{}n a n 231n S n n =++【答案】 5,122,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩【详解】由数列的前项和为，当时，，当时，{}n a n 231n S n n =++1n =115a S ==2n ≥，当时上式不成立，()()22131131122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎣⎦1n =，故答案为. ()()51222n n a n n ⎧=⎪∴=⎨+≥⎪⎩()()51222n n a n n ⎧=⎪=⎨+≥⎪⎩【方法点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属n 1(2)n n n a S S n -=-≥于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由n S n a 1n =11a S =1a 2n ≥，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表1n n n a S S -=-n a 1a 示；（4）写出的完整表达式.n a n a 14．在的展开式中，常数项是______．（用数字作答）6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】60【分析】根据展开式的通项公式即得.【详解】因为的展开式的通项公式为， 6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()6261231661C 212C rr r r r rr r T x x x ---+⎛⎫=-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭令，可得，1230r -=4r =所以展开式中常数项为， ()424612C 60-⋅⋅=故答案为：.6015．过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于，两点，若线段的中点的横坐标为24y x =A B AB M 2，则_________. ||AB =【答案】6【分析】利用中点坐标公式和焦点弦弦长公式即可得出．【详解】解：由抛物线可得．设，．24y x =2p =11(,)A x y 22(,)B x y 线段的中点的横坐标为，． AB M 212224x x ∴+=⨯=直线过焦点，AB F ．12||426AB x x p ∴=++=+=故答案为：．616．已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小值(32)M ，F 22y x =P PM PF +时，点的坐标为_______． P 【答案】()2,2【解析】设点M 在准线上的射影为D ，由抛物线的定义把问题转化为求|PM |+|PD |的最小值，同时可推断出当D ，P ，M 三点共线时|PM |+|PD |最小，答案可得． 【详解】设点M 在准线上的射影为D ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PD | ∴要求|PM |+|PF |的最小值，即求|PM |+|PD |的最小值，只有当D ，P ，M 三点共线时|PM |+|PD |最小，此时P 纵坐标为2，则横坐标为2故答案为：()2,2【点睛】本题考查抛物线的简单性质，涉及与抛物线有关的最值问题，属中档题．四、解答题17．求满足下列条件的直线方程：(1)过点，与直线平行； ()1,4A -2350x y ++=(2)过点，与直线垂直． ()1,4A -2350x y -+=【答案】(1)； 23100x y ++=(2). 3250x y ++=【分析】（1）由直线的斜率为，利用直线平行可得所求直线的斜率，由点斜式可2350x y ++=23-得结果；（2）由直线的斜率为，利用直线垂直可得所求直线的斜率，由点斜式可得结果. 2350x y -+=23【详解】（1）因为直线的斜率为，所求直线与直线平行，2350x y ++=23-2350x y ++=所以所求直线的斜率是，23-因为所求直线过点， ()1,4A -所以所求的直线方程是，即； ()2413y x +=--23100x y ++=（2）因为直线的斜率为，2350x y -+=23所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率是，2350x y -+=32-因为所求直线过点， ()1,4A -所以直线方程为，即. ()3241y x +-=-3250x y ++=18．求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程．(1)经过点，两点的椭圆；()P -()0,2Q(2)与双曲线有公共焦点且经过点的双曲线；221164x y -=()2(3)准线为的抛物线．1y =-【答案】(1)；221124x y +=(2)； 221128x y -=(3). 24x y =【分析】（1）由题意可得，，从而可求出椭圆的标准方程，a =2b =（2）由题意设双曲线的方程为，则，再将的坐标代入()222210,0x y m n m n-=>>2220m n +=()2方程，进而即得；（3）由题可设，结合条件即得.()220x py p =>【详解】（1）因为椭圆经过点，，(P -(0,2)Q 所以P 、Q 分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x 轴上，可设方程为， ()222210x y a b a b +=>>所以，，a =2b =所以椭圆的标准方程为；221124x y +=（2）因为双曲线的焦点为，221164x y -=()±可设双曲线的方程为，且，()222210,0x y m n m n-=>>2220m n +=将点代入曲线方程可得，()2221841m n-=解得,m n ==所以双曲线的标准方程为；221128x y -=（3）由题可知抛物线焦点在轴正半轴，可设抛物线方程为，y ()220x py p =>所以，即， 12p-=-2p =所以抛物线的方程为.24x y =19．现有8个人（5男3女）站成一排． (1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？ (2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？ (3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？ (4)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？ (5)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？ (6)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？ 【答案】(1)5040 (2)4320 (3)21600 (4)20160 (5)14400 (6)2880【分析】（1）分两步，先考虑甲必须站在排头的特殊要求，用特殊元素优先法可解； （2）女生必须排在一起，用捆绑法求解； （3）甲、乙两人不能排在两端，用插空法求解； （4）甲在乙的左边，可采用倍缩法求解；（5）甲、乙不能排在前3位，用特殊元素或特殊位置优先法可解； （6）女生两旁必须有男生，用插空法求解.【详解】（1）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有种情况，77A 则甲必须站在排头有种排法；77A 5040=（2）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，33A 将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种；66A 3636A A 4320=（3）根据题意，将甲、乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有26A 66A种情况，则甲、乙两人不能排在两端有种排法；2666A A 21600=（4）根据题意，将8人全排列，有种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相88A 同，则甲在乙的左边有种不同的排法；881A 201602=（5）根据题意，将甲、乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，25A 将剩下的6人全排列，有种情况，甲、乙不能排在前3位，有种不同排法；66A 2656A A 14400=（6）根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位55A 中任选3个，安排3名女生，有种情况，34A 则女生两旁必须有男生，有种不同排法．5354A A 2880=20．已知等差数列满足：，．的前n 项和为． {}n a 37a =5726a a +={}n a n S （Ⅰ）求及； n a n S （Ⅱ）令（）,求数列的前项和． 211n n b a =-n N +∈{}n b n n T 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．21,(2)n n a n S n n =+=+4(1)nn +【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得{}n a d 3577,26a a a =+= 1127{21026a d a d +=+=解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可 1,a d n a n S 111()41n b n n =-+试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，{}n a d 37a =5726a a +=1127{21026a d a d +=+=解得，所以，. 13,2a d==32(1)21n a n n =+-=+2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+（2）由（1）知，， 21n a n =+所以， 22111111(1(21)14(1)41n nb a n n n n n ====--+-++所以， 11111111(1)(1)42231414(1)n n T n n n n =-+-++-=-=+++ 即数列的前项和.{}n b n 4(1)n nT n =+【解析】等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和n 21．求和：.1231222322,n n n N +⨯+⨯+⨯++⨯∈ 【答案】1(1)22+=-⋅+n n S n 【分析】设，结合乘公比错位相减求和，即可求解.1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ 【详解】设，1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ 则，23412122232(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得 ()1231121222222212nn n n n S n n ++--=++++-⨯=-⨯- ，111222(1)22n n n n n +++=--⨯=-⨯-所以.1(1)22+=-⋅+n n S n 22．已知为椭圆内一定点，经过P 引一条弦AB ，使弦AB 被P 点平分，求弦AB ()1,1P 22142x y +=所在的直线方程及弦长．【答案】230x y +-=【分析】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，利用点差法可求得直线的斜()11,A x y ()22,B x y AB 率，进而可求得直线的方程，然后联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式即得.【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，()11,A x y ()22,B x y 由于点为弦的中点，则，得， P 12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩121222x x y y +=⎧⎨+=⎩由题意得，两式相减得， 22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()12121212042x x x x y y y y -+-++=所以，直线的斜率为， AB ()()1212121222214422x x y y x x y y +-⨯=-=-=--+⨯所以，弦所在的直线方程为，即； ()1112y x -=--230x y +-=由，可得， 22230142x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩261250y y -+=所以， 121252,6y y y y +==所以AB ==。

2019-2020学年甘肃省兰州市城关区兰州第一中学高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．下列命题中,正确命题的个数为( ) ①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“若0ab ＝，则0a ＝”的否命题；③“正三角形的三个角均为60︒”的逆否命题． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】对各个命题分别进行判断． 【详解】“全等三角形的面积相等”的逆命题是错的；“若0ab ＝，则0a ＝”的否命题是“若0ab ≠，则0a ≠”，正确； “正三角形的三个角均为60︒”是正确命题，其逆否命题也是正确的， 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，注意逆否命题与原命题同真假． 2．命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是( ) A ．**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B ．**00N,()N n f n ∃∈∉或00()f n n >C ．**00N ,()N n f n ∃∈∉且00()f n n >D ．**,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >【答案】B【解析】把结论否定，把全称量词改为存在量词． 【详解】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是**00N ,()N n f n ∃∈∉或00()f n n >．故选：B ． 【点睛】本题考查命题的否定，命题否定除结论要否定外，全称量词与存在量词要互换． 3．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．1C ．14D ．18【答案】D【解析】将抛物线方程写成标准形式再分析即可. 【详解】 由y ＝4x 2得214x y =,所以124p =,18p =则抛物线的焦点到准线的距离为18. 故选：D 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质,属于基础题型.4．已知命题:p x R ∃∈，220x ax a ++≤，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,1]C ．(,0)(1,)-∞+∞UD ．(,0][1,)-∞⋃+∞【答案】A【解析】P 为假,知“不存在x ∈R ,使x 2+2ax +a ⩽0”为真，即“∀x ∈R ,x 2+2ax +a >0”为真， ∴△=4a 2−4a <0⇒0<a <1. 本题选择A 选项.5．若k ∈R ，则方程22132x y k k +=++表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是( )A ．32k -<<-B ．3k <-C ．3k <-或2k >-D ．2k >-【答案】A【解析】x 下面分母为正，y 下面分母为负． 【详解】由3020k k +>⎧⎨+<⎩，得32k -<<-．故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，属于基础题．6．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0)2，，直线37y x =+与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( )A ．22=1 1220x y +B ．22=1 812x y +C ．22=1 128x y +D ．22=1 412x y +【答案】B【解析】根据标准方程确定,a b ，结合222c a b =-用排除法可得． 【详解】焦点在y 轴，排除C ，又2c =，224a b -=，只有B 满足，A ，D 都不满足， 故选：B ． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题． 7．的一个必要不充分条件是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】首先求解不等式，然后确定其必要不充分条件即可. 【详解】 求解不等式可得，结合所给的选项可知的一个必要不充分条件是.本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，充分条件与必要条件的理解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．双曲线C 的渐近线方程为33y x =±，一个焦点为(0,7F -，点)2,0A ，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，PAF ∆周长的最小值为 A ．8 B ．10C ．437+D ．3317+【答案】B【解析】由已知双曲线方程为22143y x -=，设双曲线的上焦点为F '，则4PF PF ='+，△PAF 的周长为43PF PA AF PF PA ++=+++'，当P 点在第一象限时，PF PA '+的最小值为3AF '=，故△PAF 的周长的最小值为10.故选B.点晴：本题考查的是双曲线定义的应用.由双曲线的定义及点P 为双曲线第一象限内的点可得4PF PF ='+，于是可表示为△PAF 的周长7PF PA AF PF PA ++=++'，在点P 的位置变化过程中，当折线变成直线，即三点共线时PF PA '+的最小值为3AF '=，于是可得三角形周长的最小值.9．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E, F 分别是 BC , AD 的中点，则AE CF ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．0 B ．12C ．34-D ．12-【答案】D 【解析】AE CF ⋅u u u v u u u v ()11·22AB AC AD AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭u u uv u u u v u u u v u u u v 1111····4422AB AD AC AD AB AC AC AC =+--u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()000111cos6011cos602cos6024=⨯⨯+⨯⨯-⨯- =﹣12. 故答案为：D 。

兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题高二数学（理）命题人: 审题人：说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1．下列命题中,正确命题的个数为( ) ①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．A ．0B ．1C ．2D ．3 2．命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是( )A ．**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n >B ．**00,()n N f n N ∃∈∉或00()f n n > C ．**00,()n N f n N ∃∈∉且00()f n n > D ．**,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >3．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．1C ．14D ．184．已知命题:p R x ∈∃，022≤++a ax x .若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[0,1] C ．(,0)(1,)-∞+∞ D ．(,0][1,)-∞+∞5．若R k ∈，则方程12322=+++k y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是( )A ．23-<<-kB ．3-<kC ．3-<k 或2->kD ．2->k6．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( ) A ．x 212＋y 220＝1B ．x 28＋y 212＝1C ．x 212＋y 28＝1D ．x 24＋y 212＝17．2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是（ ） A ．－21＜x ＜3 B ．－21＜x ＜0 C ．－3＜x ＜21D ．－1＜x ＜6 8．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( ) A ．8B ．10C ．4＋37D ．3＋3179．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E , F 分别是 BC , AD 的中点，则AE CF ⋅=( ) A ．0 B ．21C ．43-D ．21-10．不等式111x <-的解集记为p ，关于x 的不等式2(1)0x a x a +-->的解集记为q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,1]-- B.[2,1]-- C ．(][),21,-∞--+∞D ．(,2)(1,)-∞--+∞11．已知直线l 的斜率为k ，它与抛物线x y 42=相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点， 若 ,则||k ＝( )A ．22B ．33C ．3D ．42 12．已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．[2，2＋6] B ．[2，3＋1] C ．[2，2＋6]D ．[2，3＋1]第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 13．已知a ＝(1,2，-y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a -b )，则x +y = ．FBAF 3=14． 若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最小值为________．15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余的13，第3关收税金为剩余的14，第4关收税金为剩余的15，第5关收税金为剩余的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x ．16．过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 作渐近线的垂线，设垂足为P （P 为第一象限的点），延长FP 交抛物线22y px =（0p >）于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若1()2OP OF OQ =+，则双曲线的离心率的平方为 ．三、解答题（本大题共6 小题，共70分） 17．（本小题满分10分）已知命题p ： 函数y =x 2+mx +1在(-1，+∞）上单调递增，命题q ： 对函数y =-4x 2+4(2-m )x -1， y ≤0恒成立．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围． 18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1 的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB =2．(1)求证：BC 1∥平面A 1CD ； (2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．19．（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)若平行于OA (O 为坐标原点)的直线l 与抛物线C 相交于M 、N 两点，且|MN |，求∆AMN 的面积．20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点.(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －PA －C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点M (1，0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点N (3，2)，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值．兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题高二数学（理）命题人: 审题人：说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1．下列命题中,正确命题的个数为( ) ①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C2．命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是( )A ．**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n >B ．**00,()n N f n N ∃∈∉或00()f n n > C ．**00,()n N f n N ∃∈∉且00()f n n > D ．**,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >答案 B3．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．1C ．14D ．18解析 由y ＝4x 2得x 2＝14y ，所以2p ＝14，p ＝18，则抛物线的焦点到准线的距离为18. 答案 D4．已知命题:p R x ∈∃，022≤++a ax x .若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[0,1] C ．(,0)(1,)-∞+∞ D ．(,0][1,)-∞+∞答案 A5．若R k ∈，则方程12322=+++k y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是( )A ．23-<<-kB ．3-<kC ．3-<k 或2->kD ．2->k 答案 A6．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( ) A ．x 212＋y 220＝1 B ．x 28＋y 212＝1 C ．x 212＋y 28＝1D ．x 24＋y 212＝1答案 B7．2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是（ ） A ．－21＜x ＜3 B ．－21＜x ＜0 C ．－3＜x ＜21D ．－1＜x ＜6 答案 D8．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( ) A ．8 B ．10C ．4＋37D ．3＋317答案 B9．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E , F 分别是 BC , AD 的中点，则AE CF ⋅=( ) A ．0 B ．21C ．43-D ．21-答案 D10．不等式111x <-的解集记为p ，关于x 的不等式2(1)0x a x a +-->的解集记为q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,1]-- B.[2,1]-- C ．(][),21,-∞--+∞D ．(,2)(1,)-∞--+∞答案 A11．已知直线l 的斜率为k ，它与抛物线x y 42=相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若,则||k ＝( )A ．22B ．33C ．3D ．42 答案 C12．已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．[2，2＋6] B ．[2，3＋1] C ．[2，2＋6] D ．[2，3＋1]答案 D第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 13．已知a ＝(1,2，-y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a -b )，则x +y = ． 答案 14． 若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最小值为________． 答案 615．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余的13，第3关收税金为剩余的14，第4关收税金为剩余的15，第5关收税金为剩余的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x ． 答案 1723=16．过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 作渐近线的垂线，设垂足为P （P 为第一象限的点），延长FP 交抛物线22y px =（0p >）于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若1()2OP OF OQ =+，则双曲线的离心率的平方为 ．答案 212e =三、解答题（本大题共6 小题，共70分） 17．（本小题满分10分）已知命题p ： 函数y =x 2+mx +1在(-1，+∞）上单调递增，命题q ： 对函数y =-4x 2+4(2-m )x -1， y ≤0恒成立．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．解：若函数y =x 2+mx ∴m ≥2，即p ：m ≥2 ……………………………2分若函数y =-4x 2+4（2- m ）x -1≤0恒成立，则△=16（m -2）2-16≤0，解得1≤m ≤3，即q ：1≤m ≤3 ……………………………5分 ∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 一真一假当p 真q 假时，由213m m m ≥⎧⎨<>⎩或 解得：m >3 ……………………………7分 当p 假q 真时，由213m m <⎧⎨≤≤⎩ 解得：1≤m <2 ……………………………9分 综上，m 的取值范围是{m |m >3或1≤m <2} ………………………… 10分 18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1 的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB =2．(1)求证：BC 1∥平面A 1CD ； (2)求二面角D －A 1C －E 的余弦值．解析：(1)证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD . .............................4分 (2)由AC ＝CB ＝22AB ，得AC ⊥BC以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz. 设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，1(2,0,2)A ，CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，1(2,0,2)CA =．设(,,)n x y z =是平面A 1CD 的法向量，则{00221=+=⋅=+=⋅y x CD n z x CA n可取)1,1,1(--=．同理，设是平面A 1CE 的法向量，则{1=⋅=⋅可取)2,1,2(-=m ．从而33,cos =>=<. 即二面角D －A 1C －E 的余弦值为33.................................12分 19．（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)若平行于OA (O 为坐标原点)的直线l 与抛物线C 相交于M 、N 两点，且|MN |，求∆AMN 的面积．解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2. 故抛物线方程为y 2＝4x ，准线为x ＝-1. ……………………………4分 (2)设直线l 的方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋ty 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0. ∴y 1+y 2=-2, y 1y 2=-2t , ……………………………6分 ∵直线l 与抛物线C 有公共点，∴Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由|MN |得t =4， ……………………………10分 又A 到直线l 的距离为d……………………………11分∴∆AMN 的面积为S =12|MN |﹒d=6. ……………………………12分20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点. (1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －PA －C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．(1)证明 因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，所以AB 2＋BC 2＝AC 2，所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC . .............................6分 (2)解 如图，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz .由已知得O (0，0，0)，B (2，0，0)，A (0，－2，0)，C (0，2，0)，P (0，0，23)，AP →＝(0，2，23).取平面PAC 的一个法向量OB →＝(2，0，0). 设M (a ，2－a ，0)(0<a ≤2)，则AM →＝(0，4－a ，0). 设平面PAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z ).由AP →·n ＝0，AM →·n ＝0得 ⎩⎨⎧2y ＋23z ＝0，ax ＋（4－a ）y ＝0，可取n ＝(3(a －4)，3a ，－a )，所以cos 〈OB →，n 〉＝23（a －4）23（a －4）2＋3a 2＋a 2.由已知可得|cos 〈OB →，n 〉|＝32，所以23|a －4|23（a －4）2＋3a 2＋a 2＝32， 解得a ＝－4(舍去)，a ＝43，所以n ＝⎝⎛⎭⎫－833，433，－43.又PC →＝(0，2，－23)，所以cos 〈PC →，n 〉＝34. 所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34..............................12分21．（本小题满分12分）已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1. ..............................4分(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.②由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1...............................12分22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点M (1，0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点N (3，2)，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值．(1)解 依题意，得c ＝2，所以a 2－b 2＝2，由点M (1，0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，得b ＝|OM |＝1， 所以a ＝3，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. ..............................4分(2)证明 当直线l 的斜率不存在时，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 23＋y 2＝1， 解得x ＝1，y ＝±63.设A ⎝⎛⎭⎫1，63，B ⎝⎛⎭⎫1，－63，则k 1＋k 2＝2－632＋2＋632＝2为定值.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1).将y ＝k (x －1)代入x 23＋y 2＝1化简整理，得(3k 2＋1)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0，依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－33k 2＋1.又y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，所以k 1＋k 2＝2－y 13－x 1＋2－y 23－x 2＝（2－y 1）（3－x 2）＋（2－y 2）（3－x 1）（3－x 1）（3－x 2）＝[2－k （x 1－1）]（3－x 2）＋[2－k （x 2－1）]（3－x 1）9－3（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝12－2（x 1＋x 2）＋k [2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋6]9－3（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝12－2×6k 23k 2＋1＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3k2－33k 2＋1－4×6k 23k 2＋1＋69－3×6k 23k 2＋1＋3k 2－33k 2＋1＝12（2k 2＋1）6（2k 2＋1）＝2.综上，得k 1＋k 2＝2为定值. ..............................12分。

一、多选题1．已知是等比数列，，，则公比（ ） {}n a 22a =618a =q =A ．B ．C ．2D ．12-2-12【答案】AD【分析】利用等比数列的通项公式即可求解【详解】由题意可得，解得或 462116a q a ==12q =12-故选：AD2．下列说法的正确的是（ ）A ．直线恒过定点 ()20R mx y m m -++=∈()1,2-B ．经过定点的直线的方程都可以表示为 ()0,2P 2y kx =+C ．经过点和的直线可用截距式方程表示()0,0()0,2D ．经过任意两个不同的点、直线的方程都可以表示为()111,P x y ()222,P x y()()()()121121y y x x x x y y --=--【答案】AD【分析】对于A ，求出直线l 过的定点即可判断；对于B ，当斜率不存在的时候可判断；对于C ，由直线过原点即可判断；对于D ，结合两点式的概念及辨析进行分析即可 【详解】对于A ，由，得，()20R mx y m m -++=∈()120m x y +-+=由解得，因此无论m 为何值，直线l 恒过定点，故正确；1020x y +=⎧⎨-+=⎩12x y =-⎧⎨=⎩()1,2-对于B ，当直线的斜率不存在时，经过定点的直线的方程不可以表示为，故不正()0,2P 2y kx =+确；对于C ，经过原点的直线不可用截距式方程表示，故不正确；对于D ，为两点式的变形，包含与轴平行或重合的直线，故正()()()()121121y y x x x x y y --=--y 确； 故选：AD3．，为空间中两条不重合直线，为空间中一平面，则下列说法不正确的是（ ） m n αA ．若，，则 B ．若，，则 //m n n ⊂α//m αm α⊥//m n n α⊥C ．若，，则D ．若，，则//m αn ⊂α//m n m α⊥m n ⊥//n α【答案】ACD【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理可判断AC 的正误，根据线面垂直的性质可判断BD 的正误.【详解】对于A ，当时，虽有，，但不成立，故A 错误； m α⊂//m n n ⊂α//m α对于B ，若，则垂直于平面内的任意一条直线，m α⊥m α而，故垂直于平面内的任意一条直线，故，故B 正确； //m n n αn α⊥对于C ，若，，则或异面，故C 错误； //m αn ⊂α//m n ,m n 对于D ，若，，则或，故D 错误. m α⊥m n ⊥//n αn ⊂α故选：ACD.4．已知等差数列的公差为d ，前n 项和为，且，，以下命题正确的是（ ） {}n a n S 48S =832S =-A ．的最大值为 B ．数列是公差为的等差数列n S 212n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭32-C ．是4的倍数 D ．n a 50S <【答案】AB【分析】根据已知结合等差数列的通项公式和前项和公式及性质分析各选项即可判断．n 【详解】由，，得，解得,48S =832S =-1143482878322a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩113,32a d ==-所以不是4的倍数，故C 不正确； 1132a =所以等差数列的通项公式为， {}n a 11319(1)(1)(3)322n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+等差数列的前项和为， {}n a n ()3222n n n n n n a a S ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===21131986432233由二次函数的性质知，当取与最接近的整数即时，取最大值为，n 833n S 32=S ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=22864333213故A 正确；，故D 不正确； 2586435533=022S ⎛⎫--+⎪⎝⎭=>， 3163822n S n n n -+==-+所以， ()n n S S n n n n +⎡⎤⎛⎫-=-++--+=- ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭133********所以数列是公差为的等差数列，故B 正确n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭32-故选：AB5．在数列中，若，，则下列结论正确的有（ ）{}n a 113a =131nn naa a +=+A ．为等差数列B ．的前n 项和1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭23322n n T n =+C ．的通项公式为 D ．的最小值为{}n a 13n a n ={}n a 13【答案】ABC 【分析】由可得，可得是公差为3的等差数列，然后利用等差数列131n n n a a a +=+1113n na a +=+1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式和求和公式逐项进行分析即可 【详解】由可得，131n n n a a a +=+131113n n n na a a a ++==+所以是首项为，公差为3的等差数列，故A 正确；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭113a =，的前n 项和，故B 正确； ()13313n n n a =+-=1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()213333222n n n n T n n -=+⨯=+由可得，故C 正确； 13n n a =13n a n=因为，故的最小值不为，故D 错误；12111,36a a a ==<{}n a 13故选：ABC二、单选题6．直线的斜率为（ ） 350x y -+=A ．B ．3C ．D ．1313-3-【答案】B【分析】把直线方程写成斜截式，从而可求直线的斜率. 【详解】直线的斜截式方程为：， 350x y -+=35y x =+故该直线的斜率为：， 3故选：B.7．已知直线l 过，且与直线平行，则直线l 的方程是（ ）()2,1A -10x y --=A ．B ．C ．D ．30x y ++=30x y -+=30x y --=30x y +-=【答案】B【分析】设直线，代入点可求直线方程.:0l x y m -+=()2,1A -【详解】因为直线l 与直线平行，故可设直线， 10x y --=:0l x y m -+=代入，故有即， ()2,1A -210m --+=3m =故所求直线的方程为：， 30x y -+=故选：B8．在下列四个正方体中，能得出的是（ ）AB CD ⊥A ． B ． C ． D ．【答案】A【分析】由线面垂直的性质可判断A ，根据异面直线所成角的计算可判断BCD.【详解】对A ，如图，连接，则在正方体中，，又平面，平面BE CD BE ⊥⊥AE BCED CD ⊂，则，，平面，平面，，故ABCED AE CD ⊥AE BE E ⋂= CD \^ABE AB ⊂ ABE CD AB ∴⊥正确；对B ，如图，连接，易得，则为异面直线所成角，，故AE //CD AE BAE ∠,AB CD 60BAE ∠= 不垂直，故B 错误；,AB CD对C ，如图，，则为异面直线所成角，易得，故不垂//CD BE ABE ∠,AB CD 45ABE ∠= ,AB CD 直，故C 错误；对D ，如图，，则为异面直线所成角，显然，故不垂//CD BE ABE ∠,AB CD 90ABE ∠≠ ,AB CD 直，故D 错误.故选：A.9．记等差数列的前n 项和为，若，，则（ ） {}n a n S 35a =51120a a +=10S =A ．34 B ．35C ．68D ．75【答案】D【分析】由题意，进而可得，而，代入即可得答案．51120a a +=8220a =()3108102a S a +=【详解】，又，根据等差中项性质得，得， 35a =51120a a +=8220a =810a =则=,10S ()3810752a a +=故选：D.10．已知等比数列的前n 项和为，且，，则（ ） {}n a n S 53S =109S =15S =A ．20 B ．21C ．22D ．23【答案】B【分析】根据等比数列片段和的性质可求的值. 15S 【详解】因为为等比数列，其前n 项和为，{}n a n S故为等比数列，故为等比数列， 51051510,,S S S S S --153,6,9S -故，故， ()153936S -=1521S =故选：B.11．已知棱长为1的正方体的所有顶点均在一个球的球面上，则该球的表面积是（ ） A ． B ．C ．D ．π2π3π4π【答案】C【分析】利用正方体外接球的直径为正方体的体对角线，即可求解． 【详解】棱长为1而正方体的外接球直径即为正方体的体对角线，∴该球的表面积为224π4π3πS R ==⨯=故选：C12．如图，在直三棱柱中，D 为的中点，，111ABC A B C -11A B 11AB BC BB ===AC =直线BD 与AC 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】取的中点E ，易得（或其补角）为异面直线与所成的角，根据直棱柱11B C BDE ∠BD AC 的性质结合条件即得.【详解】如图，取的中点E ，连接，则，11B C ,BE DE 11////AC A C DE所以（或其补角）即为异面直线与所成的角，BDE ∠BD AC 由题可知，BD EB==12DE AC ==所以， 60BDE ∠=︒故选：C.三、填空题13．已知数列，均为等差数列，且其前n 项和分别为和．若，则{}n a {}n b n S n T 3221n n S n T n -=+33a b =______． 【答案】1311【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的，再由等差数列的求和公式，转化531315a a ab b b =++为，从而得到答案. 55S T 【详解】因为数列、均为等差数列，且， {}n a {}n b 3221n n S n T n -=+所以 3151533322a b a a a b b b =++=()()1551555252a a S b b T +==+1521310111-==+故答案为：131114．如果直线与直线互相垂直，则a 的值等于______． ()()1140a x a y -+++=()110x a y +--=【答案】1或2-【分析】由直线垂直的条件列方程求解即可． ()()11(1)10a a a -⨯++-=【详解】因为直线与直线互相垂直， ()()1140a x a y -+++=()110x a y +--=所以，解得：或()()11(1)10a a a -⨯++-=1a =2a =-故答案为：1或2-15．在正四棱锥中，，，则该四棱锥的体积是______． P ABCD -1AB =2PA =【分析】根据正四棱锥的性质可得正四棱锥的高，然后根据体积公式即得.【详解】过点作平面，则为正方形的中心，连接，易知P PO ⊥ABCD O ABCD ,AC BD ．AC BD O =因为， 1AB =所以， OA =2PA =所以， OP ===则四棱锥的体积P ABCD -2211133V AB OP =⋅⋅=⨯=16．已知直线l 过，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l 的方程是______． ()2,3A --【答案】或320x y -=10x y --=【分析】分直线过原点、不过原点讨论即可【详解】当直线过原点时，设直线为，此时在两坐标轴上的截距为0，满足题意， y kx =将点代入得：，解得， ()2,3A --()32k -=⋅-32k =所以此时直线方程为，即 32y x =320x y -=当直线不过原点时，设直线为， 1x y a a+=-将点代入得：()2,3A --2311a a a--+=⇒=-所以此时直线方程为； 11011x yx y +=⇒--=-综上，直线l 的方程是或 320x y -=10x y --=故答案为：或320x y -=10x y --=四、解答题17．已知直线过点． l ()1,2A -(1)若直线与直线垂直，求直线的方程； l 134y x =-l (2)若直线的一个方向向量为，求直线的方程． l ()1,2l 【答案】(1) 42y x =--(2) 24y x =+【分析】（1）根据直线垂直可设直线方程，将点代入求出参数即可； l A （2）根据直线方向向量的性质，结合直线点斜式方程进行求解即可. 【详解】（1）因为直线与直线垂直，故设直线方程为， l 134y x =-l 4y x b =-+因为直线过点，所以，解得， l ()1,2A -()241b =-⨯-+2b =-所以直线方程为.l 42y x =--（2）因为直线的一个方向向量为， l ()1,2所以直线的斜率， l 221k ==又直线过点，l ()1,2A -所以直线方程为，整理得.l 22(1)y x -=+24y x =+18．记为等差数列的前n 项和，已知，． n S {}n a 14a =-39S =-(1)求的通项公式； {}n a (2)求，并求的最小值． n S n S 【答案】(1) 5n a n =-(2) 10-【分析】（1）根据等差数列的前n 项和，与等差数列的性质求出的值，然后根据通项公式求出公2a 差，就能求通项公式.d （2）根据等差数列的前n 项和求出前n 项和再根据二次函数的性质求最小值.【详解】（1）为等差数列的前n 项和 n S {}n a 所以 ()132323323922S a a a a +⨯====-所以，又因为 23a =-14a =-所以21,1a a d d -=∴=所以()11415n a a n d n n =+-=-+-=-（2） ()()()21245119819222224n n n a a n n S n n n ⎡⎤+-+-⎛⎫===-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦又因为，所以当或时有最小值， *N n ∈4n =5n =n S 最小值为 ()241449102S =-⨯=-的最小值为n S 10-19．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2．（Ⅰ）证明：AC ⊥B 1D ；（Ⅱ）求三棱锥C-BDB 1的体积．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）．【详解】试题分析：(Ⅰ)要证明线线垂直，可以先证明线面垂直，然后根据线面垂直的性质定理，得到线线垂直，所以先证明平面；（Ⅱ）根据等体积转化，．试题解析：(Ⅰ)证明：是正方体，平面 平面底面为正方形平面 平面(Ⅱ)解： 平面 是三棱锥的高【解析】1．线面垂直的判定定理；2．几何体的高．20．已知等差数列单调递增，其前n 项和为，，其中，，成等比数列．{}n a n S 55a =1a 5a 25a (1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，的前n 项和记为，求证：． 1n nb S ={}n b n T 2n T <【答案】(1)n a n =(2)证明见解析【分析】（1）由已知条件列出关于公差的方程求解即可得到通项公式； （2）由（1）求得得到，利用裂项求和法求出即可证明.n S n b n T 【详解】（1）设等差数列的公差为{}n a ,d 因为，，成等比数列，，1a 5a 25a 55a =所以，即， 2512555a a a a ⎧=⎨=⎩()111252445a a d a d ⎧=+⎨+=⎩因为等差数列单调递增，解得，所以 {}n a 111d a =⎧⎨=⎩()111n a n n =+-⋅=（2）由（1）知：， ()()11122n n n n n S na d -+=+⨯=则， ()1211211⎛⎫===- ⎪++⎝⎭n n b S n n n n 所以 1211111112212122311n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭21．已知直线l 经过两条直线和的交点．250x y +-=310x y --=(1)若直线l 与直线平行，求直线l 的方程；210x y --=(2)若直线l 与直线垂直，求直线l 的方程．210x y --=【答案】(1)；230x y -+=(2).240x y +-=【分析】（1）先求两条直线的交点得，再利用直线平行设的方程为，(1,2)l ()11201x y C C -+=≠-把代入方程即得；(1,2)（2）由直线垂直设直线的方程为，把代入方程即得.l 220x y C ++=(1,2)【详解】（1）（1）由，可得， 250310x y x y +-=⎧⎨--=⎩12x y =⎧⎨=⎩即直线和的交点为，250x y +-=310x y --=(1,2)因为直线平行于直线，l 210x y --=可设直线的方程为，l ()11201x y C C -+=≠-把点代入方程得，解得，(1,2)11220C -⨯+=13C =所以直线的方程为；l 230x y -+=（2）设直线的方程为，l 220x y C ++=把点代入方程得，解得，(1,2)2220C ++=24C =-所以直线的方程为.l 240x y +-=22．如图，已知在四棱锥中，，，，P ABCD -2PA AD PD ===90BAD CDA ∠=∠=︒2AB CD =，E ，F 分别为棱PB ，PA 的中点．CD PA ⊥(1)求证：平面平面EFDC ；PAB ⊥(2)若直线PC 与平面PAD 所成的角为45°，求四棱锥的体积．P ABCD -【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）可证平面，从而得到，从而可证平面，再证明AB ⊥PDA AB DF ⊥DF ⊥PBA 四点共面，从而得到要求证的面面垂直；,,,E F D C （2）取的中点为，连接，可证为直线与平面所成的角且平面AD G PG CPD ∠PC PAD PG ⊥，根据体积公式可求四棱锥的体积．ABCD P ABCD -【详解】（1）因为在平面中，，故， ABCD 90BAD CDA ∠=∠=︒//AB CD 因为，故，而，CD PA ⊥AB PA ⊥AB DA ⊥，平面，故平面.DA PA A = ,DA PA ⊂PDA AB ⊥PDA 因为平面，故，DF ⊂PDA AB DF ⊥因为，，故，2AD PD ==AF PF =PA DF ⊥因为，平面，故平面. PA AB A = ,PA AB ⊂PBA DF ⊥PBA 因为分别为棱的中点，故， ,E F ,PB PA 1//,2EF AB EF AB =而，故， 1//,2DC AB DC AB =//,EF DC EF DC =故四点共面，而平面，,,,E F D C DF ⊂EFDC 故平面平面.PBA ⊥EFDC （2）取的中点为，连接， AD G PG 由（1）可得，，//AB CD ,AB PA AB AD ⊥⊥故，而平面， ,CD PA CD AD ⊥⊥,,PA AD A PA AD ⋂=⊂PAD 故平面，故为直线与平面所成的角， CD ⊥PAD CPD ∠PC PAD 故，45CPD ∠=︒因为平面，平面，故， CD ⊥PAD PD ⊂PAD CD PD ⊥故为等腰直角三角形，而，故，故， PCD A 2PD =2CD =4AB =故直角梯形的面积. ABCD ()124262S =⨯+⨯=又平面，故平面平面， CD ⊂ABCD PAD ⊥ABCD而为等边三角形，故，且PAD A PG AD ⊥2PG ==因为平面，平面平面， PG ⊂PAD PAD ⋂ABCD AD =故平面，PG ⊥ABCD故四棱锥的体积为P ABCD -163⨯=。

甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题——★ 参*考*答*案 ★——一．选择题(共12小题，每小题5分，共60分)二．填空题(共4小题，每小题5分，共20分，) 13．[4，+∞) 14．(1) y ＝±x ；(2)15．4、16．2三．解答题(共6小题，共70分)17．(10分)解：（Ⅰ）因为||22c =时，所以0x =． 且向量(21ka b k +=--，1k -，22)k +． 因为向量ka b +与c 垂直， 所以()0ka b c +=．即260k +=．所以实数x 和k 的值分别为0和3-．.................5分（Ⅱ）因为向量c 与向量a ，b 共面，所以设(,)c a b R λμλμ=+∈． 因为(x ，2，2)(2λ=-，1-，2)(1μ+-，1，2)，则：22222x λμμλλμ=--⎧⎪=-⎨⎪=+⎩解得121232x λμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩所以实数x 的值为12-．.................10分18．(10分) 解：∵命题p ：∀m ∈[﹣1，1]，不等式a 2﹣5a +7≥m +2恒成立， 即a 2﹣5a +7≥3，解得：a ≥4或a ≤1，故p 为真时，a ∈(﹣∞，1]∪[4，+∞)； 方程tx 2+ay 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，故q 为真时，0＜t ＜a ； ………… 4分 (Ⅰ)t ＝1时，q 为真时：a ＞1，∵(￢p )∨q 为假命题，∴￢p 假且q 假，即p 真且q 假， 则，即a ∈(﹣∞，1]． ……………………………… 8分(Ⅱ)若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，(t，+∞)(﹣∞，1]∪[4，+∞)，∴t≥4；故实数t的取值范围是：[4，+∞)．……………………………… 12分19．(12分)解：(1)由题意焦点在x轴上，焦距为2，过点的椭圆，a==，解得a＝2，知c＝1，2a＝24所以b＝．故椭圆C的方程为+＝1．……………………………… 6分(2)双曲线双曲线的焦点为，设双曲线的方程为，可得a2+b2＝3，将点代入双曲线方程可得，，解得，所求双曲线的方程为：．……………………………… 12分20．(12分)解：(1)设点B的坐标为(x0，y0)，则y0＞0，设线段AB的中点为点M(x，y)，由于点B在曲线Γ上，则x02+y02＝1，①因为点M为线段AB的中点，则2x＝x0+2，2y＝y0，得x0＝2x﹣2，y0＝2y，代入①式得(2x﹣2)2+y2＝1，化简得(x﹣1)2+y2＝，其中y＞0；…………… 4分(2)设B(x0，y0)，0＜y0≤1，三角形OAB的面积为•2y0＝y0，可得面积的最大值为1，且B(0，1)；……………………………… 8分(3)如下图所示，易知点D(2，2)，结合图形可知，点C在右半圆D：(x﹣2)2+(y﹣2)2＝1上运动，问题转化为，原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值，连接OD并延长交右半圆D于点C'，当点C与点C'重合时，|OC|取最大值，且|OC|max＝|OD|+1＝2+1．……………………………… 12分21．(12分) (1)证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D＝D，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE又A1C⊥CD，CD∩DE＝D，∴A1C⊥平面BCDE．……………………………… 4分(2)解：如图建系，则C(0，0，0)，D(﹣2，0，0)，A1(0，0，2)，B(0，3，0)，E(﹣2，2，0)，∴，，设平面A1BE法向量为，则，∴，∴，∴，又∵M(﹣1，0，)，∴＝(﹣1，0，)∴，∴CM与平面A1BE所成角的大小45°．……………………………… 8分(3)解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为(0，a，0)，则a∈[0，3]，∴，，设平面A1DP法向量为，则，∴，∴，假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，∴3a+12+3a＝0，6a＝﹣12，a＝﹣2，∵0≤a≤3，∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．………12分22．(12分)解：(1)由已知可得圆F的圆心为F(0，1)，半径为，设M(x，y)，动圆M半径r，因为动M与圆F外切，所以|MF|＝r+，又动M与直线y＝﹣相切，所以由题意可得y+＝r，所以|MF|＝y+1，即x2+(y﹣1)2＝(y+1)2，整理得x2＝4y，所以曲线C的方程为x2＝4y；……………………………… 6分(2)设A(x1，y1)B(x2，y2)，依题意可知，直l的斜率存在，故设直l的方程为y＝kx+1，联立消y可得x2﹣4kx﹣4＝0．则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，所以|AB|＝＝＝＝4(1+k2)，由y＝，得y′＝，所以过A点的切线方程为y﹣y1＝(x﹣x1)，又y，所以切线方程可化为y＝，令y＝﹣1，可得x＝＝2k，所以点N(2k，﹣1)，所以N到直l的距离为d＝＝2，所以S△ABN＝|AB|•d＝4≥4，当k＝0时，等号成立，所以三角形ABN面积的最小值为4．……………………………… 12分。