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基本不等式的应用技巧
如果积xy 是定值P ，当0,0x y >>时，和x y +有最值吗？若有，请求出来。
如果和x y +是定值S ，当0,0x y >>时，积xy 有最值吗？若有，请求出来。
例1．（1）310,28x y x y +-=+已知求的最小值.
（2）0,0,3,a b ab a b ab >>=++已知求的最小值.
（3）已知1(),()f x x f x x
=+求的值域
法一：凑形法：构造均值不等式中“和” 或“积”为定值。
1.04,(82)x y x x <<=-当时求的最大值。
2.51,24454x y x x
<=-+-已知求函数的最大值。
法二：分离常数法：分式结构中构造分子或分母, 进行常数分离。
3.2710(1)1
x x y x x ++=>-+求的值域。
法三：化归思想：将分母为多项式化成分母为单项式。
4.114,a b c a b b c a c
>>+≥---已知求证：
法四：换元法：将不易分析的部分, 可适当采用换元化简。
5.y =求函数
法五：整体代换法：利用分式与整式间隐含的“1”整体代换该部分。
111(0,),1,9a b c a b c a b c
∈+∞++=++≥6.已知、、且求证：
法六：平方法：一般针对含根式的问题。
15
()22
y x =<<7.求函数的最大值。
基本不等式常用方法
不等式在数学中有着广泛的应用，解决不等式时，常用的方法包括：
1. 代数方法
加减法：在不等式两边同时加上或减去相同的数字
乘除法：在不等式两边同时乘以或除以相同的正数，但若乘以或除以负数，则不等号需逆转
平方或取绝对值：当不等式中出现根式或绝对值时，可以平方或取绝对值，这时需要考虑平方或取绝对值后的符号变化
因式分解：将不等式中的多项式因式分解，然后根据因式之间的大小关系确定不等式的解
2. 几何方法
数轴法：将不等式表示在数轴上，不等号的符号决定了数轴上
被包含或排除的区域
直线法：当不等式涉及一次函数时，可以用直线方程表示不等式，直线上下方区域满足不等式
圆或椭圆法：当不等式涉及二次函数时，可以用圆或椭圆表示不等式，圆或椭圆内部或外部区域满足不等式
3. 代换法
代入法：给定不等式的解，将其代入不等式两边进行验证
换元法：引进新的变量，将不等式中的复杂表达式用新变量表示，简化不等式便于求解
4. 反证法
反证法：假设不等式不成立，推导出矛盾，从而证明不等式成立
背理法：假设不等式成立的否定，通过推理得到矛盾，从而证明不等式成立
5. 其它方法
分步传递法：将不等式分步传递，每一步都得到一个新的不等式，直到得到最终结果
数学归纳法：当不等式涉及自然数时，可以使用数学归纳法证明不等式对所有自然数成立
反例法：找出一个反例，证明不等式不成立。
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是求解数学问题中常用的工具，可以通过基本不等式来求解最值问题。
下面将介绍六种使用基本不等式求解最值问题的方法。
方法一：两边平方法若要求一个式子的最大值或最小值，在不改变问题的本质情况下，可以通过平方的方式将问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，我们要求a+b 的最小值，可以通过平方的方式将其转化为一个更易处理的问题，即(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，然后应用基本不等式，得到(a+b)^2≥ 2ab。
由此可见，通过两边平方后，可使用基本不等式求得 a+b 的最小值。
方法二：四平方法四平方法指的是对式子的四个项分别平方，将一些复杂的问题转化为四个简单展开的项的和，然后再应用基本不等式进行推导。
例如，我们要求 a^2 + b^2 的最小值，可以采用四平方法将其转化为 a^2/2 + a^2/2 + b^2/2 + b^2/2 的和，即 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2)，然后应用基本不等式，得到(a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2) ≥2√[(a^2/2)(b^2/2)] = ab。
方法三：绝对值法绝对值法是将问题中的绝对值项用不等式进行替代，然后使用基本不等式进行求解。
例如，我们要求，x-2，的最小值，可以将其转化为不等式形式，即x-2≥0或x-2≤0。
然后根据这两个不等式分别求解x的取值范围，得到最小值。
方法四：极值法极值法是将要求最值的式子看作一个函数，通过求函数的极值点来确定最值。
例如，我们要求 f(x) = x^2 的最小值，可以求函数的极值点。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其极值点的横坐标是 -b/2a，通过求解方程 -b/2a = 0，可以得到 x = 0。
因此，f(x) = x^2 的最小值是 f(0) = 0。
方法五：辅助不等式法辅助不等式法是引入一个辅助不等式，通过该不等式来推导求解最值问题。
基本不等式使用的4个情形及注意事项一、基本不等式中常用公式（1）√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。
（当且仅当a=b时，等号成立）（2）√(ab)≤(a+b)/2。
（当且仅当a=b时，等号成立）（3）a²+b²≥2ab。
（当且仅当a=b时，等号成立）（4）ab≤(a+b)²/4。
（当且仅当a=b时，等号成立）（5）||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。
（当且仅当a=b时，等号成立）基本不等式公式四个二、高中4个基本不等式√[（a²+b²）/2]≥（a+b）/2≥√ab≥2/（1/a+1/b）。
平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数。
三、基本不等式两大技巧1.“1”的妙用。
题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。
如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
2．调整系数。
有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
1、基本不等式：（当且仅当a＝b时取“=”号）；变式：①，（当且仅当a＝b时取“=”号），即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
②；③；④；2、对于两个正数x，y，若已知xy，x+y，中的某一个为定值，可求出其余各个的最值，如：（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2 ，；（2）x+y=S（定值），那么当x=y时，积xy有最大值，；（3）已知x2+y2=p，则x+y有最大值为，。
3、应用基本的不等式解题时，注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件，即“一正、二定、三相等”。
三、对基本不等式的理解：(1)基本不等式的证明是利用重要不等式推导的，即，即有(2)基本不等式又称为均值定理、均值不等式等，其中的算术平均数，的几何平均数，本定理也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(3)要特别注意不等式成立的条件和等号成立的条件．均值不等式中：①当a=b时取等号，即对于两个正数x，y，若已知xy，x+y，中的某一个为定值，可求出其余各个的最值：如：（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2 ，；（2）x+y=S（定值），那么当x=y时，积xy有最大值，；（3）已知x2+y2=p，则x+y有最大值为，。
数学高一基本不等式解题技巧
数学基本不等式解题技巧如下：
1、作差∶作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果。
2、作商（常用于分数指数幂的代数式)﹔分析法﹔平方法;分子（或分母）有理化；利用函数的单调性﹔寻找中间里或放缩法﹔)图象法。
3、其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
注意事项：
一、符号：
1、不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。
2、不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
二、解集：
1、比两个值都大，就比大的还大(同大取大)。
2、比两个值都小，就比小的还小(同小取小)。
3、比大的大，比小的小，无解(大大小小取不了)。
4、比小的大，比大的小，有解在中间(小大大小取中间)。
5、三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。
三、数轴法：
把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。
有几个就要几个。
在确定一元二次不等式时，a>0，Δ=b^2-4ac>0时，不等式解集可用"大于取两边，小于取中间"求出。
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是指形如a≤b不等式。
在数学中，有许多方法可以使用基本不等式来求解最值的问题。
以下是六种常见的方法：方法一：直接使用基本不等式最常见的方法就是直接使用基本不等式求解最值。
这种方法适用于求解一个函数或表达式的最小值或最大值。
首先，找到要求解的函数或表达式，并用a表示自变量，用b表示函数的值或表达式。
然后，使用基本不等式将a和b进行比较，确定a和b之间的关系，从而得出最小值或最大值。
方法二：将问题转化为最值问题有时候，我们可以将原始问题转化为一个最值问题，然后再使用基本不等式求解。
例如，如果要求解一个多项式函数在一些区间上的最小值或最大值，我们可以求解多项式函数的导函数，并使用基本不等式得出导函数的最小值或最大值，从而得到原始问题的最小值或最大值。
方法三：分解求值当需要求解一个复杂的问题时，可以尝试将问题分解为若干个简单的问题，并求解这些简单问题的最值。
然后，使用基本不等式求出这些最值的函数值，再将它们组合起来求解原始问题的最值。
方法四：结合其他数学工具在一些特殊情况下，可以将基本不等式与其他数学工具结合使用，来求解最值问题。
例如，可以将基本不等式与数列极限定理、曲线图像分析等方法结合使用，来求解最值问题。
方法五：利用结论和定理有时候，基本不等式的求解可以直接应用一些已知的结论和定理。
例如，利用切线和切点的性质可以简化问题的求解过程，从而得到最值。
方法六：假设法和反证法假设法和反证法在不少情况下也是求解最值问题的有效方法。
假设法是假设一些变量的取值，然后通过推导和比较得出最值的范围。
反证法是通过假设不存在一些取值，并推导出矛盾，从而得出最值的范围。
以上是使用基本不等式求解最值问题的六种常见方法。
根据具体问题的特点和要求，可以选择合适的方法进行求解。
掌握这些方法将有助于我们更好地理解和应用基本不等式，解决实际问题。
不等式的解题方法与技巧引言不等式是数学中一种重要的关系式，描述了数值之间的大小关系。
在解题过程中，掌握不等式的解题方法和技巧是十分关键的。
本文将介绍一些常见的不等式解题方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用不等式。
基本的不等式性质在解不等式之前，我们先来了解一些基本的不等式性质。
1.加减性质：如果对不等式两边同时加或减一个相同的数，则不等号方向不变。
例如，对于不等式a>b，若两边同时加上一个正数，不等号方向不变：a+c>b+c。
若两边同时减去一个正数，不等号方向也不变：a−c>b−c。
2.乘除性质：如果对不等式两边同时乘或除一个相同的正数，则不等号方向不变；若乘或除一个相同的负数，则不等号方向会改变。
例如，对于不等式a>b，若两边同时乘上一个正数，不等号方向不变：ac>bc。
若两边同时除以一个正数，不等号方向也不变：a/c>b/c。
若两边同时乘以一个负数，则不等号方向会改变：ac<bc。
若两边同时除以一个负数，不等号方向也会改变：a/c<b/c。
3.平方性质：对于非负实数a和b，若a>b2，则 $a > \\sqrt{a}$。
例如，对于不等式a>b2，两边同时开方，不等号方向不变：$\\sqrt{a} > b$。
4.绝对值性质：对于实数a和b，若|a|>|b|，则有两种情况：一种是a>b，另一种是a<−b。
例如，对于不等式|a|>|b|，两边可能有两种不等号关系：a>b或a<−b。
一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数x和一次项的不等式，例如ax+b>0。
下面介绍一些常见的解一元一次不等式的方法。
1.画数轴法：将未知数的取值范围绘制在数轴上，根据不等式的符号关系，在数轴上标记出满足不等式的区间，从而确定解的范围。
例如，对于不等式2x−5>0，首先将其转化为等式2x−5=0，求得 $x = \\frac{5}{2}$，然后在数轴上以 $\\frac{5}{2}$ 为标志，标记出正解的范围，即可以得到满足不等式的区间。
基本不等式使用的4个情形及注意事项1.数字和不等号的交换：基本不等式可以用来推导和证明数字和不等号的交换。
比如，当a>b时，可以使用基本不等式证明b<a。
这种情形是最基本的不等式应用，也是其他情形的基础。
2.加法和不等式的交换：基本不等式可以用来推导和证明加法和不等式的交换。
比如，当a>b且c>d时，可以使用基本不等式证明a+c>b+d。
这种情形常用于对多个不等式进行综合和推导的场景。
3. 乘法和不等式的交换：基本不等式可以用来推导和证明乘法和不等式的交换。
比如，当a > b 且 c > d 且 cd > 0时，可以使用基本不等式证明 ac > bd。
这种情形常用于对多个不等式进行综合和推导的场景。
4.推广和拓展：基本不等式还可以用来推广和拓展不等式的性质。
比如，通过变量的替换，可以将一个复杂的不等式转化为一个简单的基本不等式，然后再进行证明。
此外，还可以通过一系列推导，引出更复杂的不等式性质。
在使用基本不等式时，还需要注意以下几个事项：1.合理选取不等号：在使用基本不等式时，需要根据实际问题合理选取不等号的方向。
不等号的方向应该与实际问题中的大小关系相符。
比如，如果已知a>b，应该使用a-b>0作为基本不等式，而不是a-b<0。
2.合理选取变量的取值范围：在使用基本不等式时，需要根据实际问题合理选取变量的取值范围。
变量的取值范围应该满足问题的条件，并且能够使得基本不等式成立。
比如，如果已知a>0，应该选择a>0作为变量的取值范围。
3.根据问题的条件进行推导：在使用基本不等式时，还需要根据问题的条件进行推导。
问题的条件可以是已知的不等式、已知的数值关系等。
通过合理利用问题的条件，可以得到更加精确和准确的结论。
4.合理利用数学运算法则：在使用基本不等式时，还需要合理利用数学运算法则。
比如，可以利用加法交换律、乘法交换律、乘法分配律等数学运算法则，对不等式进行重新排列和推导。
