(全)基本不等式应用_利用基本不等式求最值的技巧_题型分析

基本不等式应用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

基本不等式应用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

基本不等式求最值技巧解析技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。

技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。

当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。

技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++）当,即t =时,4259y t t≥⨯+=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。

利用基本不等式求最值的技巧一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

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4x 5解：因4x 0,所以首先要“调整”符号，又（4x4x 0，y 4x 2 1 54x 5 2）J 不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项, 4x 1 3 2 3 15 4x1—，即x 1时，上式等号成立，5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

利用基本不等式求最值的类型及方法基本不等式是利用数学推理和不等式性质来求解最值问题的一种方法。

在解决最值问题时，运用基本不等式能够有效地简化计算过程，并找到最优解。

下面将介绍几种常见的类型和方法。

1.求函数最值：假设已知一个函数f(x)，要求其在一些区间[a,b]上的最大值或最小值。

可以利用基本不等式结合导数来求解。

首先，对函数f(x)求导得到极值点，即f'(x)=0的解，然后利用基本不等式推论得到最值。

2. 求二次函数最值：对于一个二次函数f(x) = ax² + bx + c(a≠0)，可以通过求解二次函数的顶点来确定其最值。

二次函数的最大值或最小值在顶点处取得。

通过计算出二次函数的顶点坐标，可以得到函数的最值。

3.求几何问题最值：在几何问题中，常常需要求解最长距离、最短路径等最值问题。

对于空间几何问题，可以利用三角不等式和柯西-施瓦茨不等式等基本不等式进行推导，找到满足条件的最优解。

4.求代数问题最值：在代数问题中，常常需要求解最大值或最小值。

例如，求解多项式函数的最值、线性规划等问题。

可以利用基本不等式来对多项式进行分解和化简，从而找到最大值或最小值。

5.求概率问题最值：在概率问题中，需要求解满足一定概率条件的最值问题。

例如，已知一些事件发生的概率，求解最大化或最小化概率的问题。

通过利用基本不等式可以对概率进行推导和计算，找到满足条件的最值。

在使用基本不等式求解最值问题时，需要注意以下几个基本方法：1.将问题抽象化：将具体的问题转化为符号运算和数学模型，将需要求解的最值问题用数学语言表达出来。

2.应用基本不等式：根据不同的问题类型，运用相应的基本不等式进行推导和计算。

常用的基本不等式有柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、三角不等式等。

3.约束条件转化：将约束条件转化为等式或不等式，以便进行运算。

4.求解极值点：通过对函数求导，找到函数的极值点。

利用基本不等式结合导数求解最值问题。

一.基本不等式注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” . （2） 求最值的条件“一正，二定，三取等”（3） 均值定理在求最值、应用一：求最值 例1 :求下列函数的值域基本不等式应用1解：(1) y = 3x 2 + 21^ 1X = - 2例1 ：已知x 4，求函数y4x 2 —1—的最大值。

4x 5解：因4x 5 0 ,所以首先要 “调整”符号，又（4x 」不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项, Qx 544x 0, y4x 21---- 54x 52)g4x 54x 32 3 15 4x11一，即x 1时， 5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数当且仅当5 4x上式等号成立, 故当x 1时，y max 1。

1. (1)若 a,b R ，则 a 1 2b 2 *2ab (2)若a,bR ，则 ab 2. (1)若 a,b R *，则2Jab ⑵若a,b R ，则 a b2 .2a —L （当且仅当a22J OE （当且仅当ab 时取“二”） b 时取“=”)⑶若a,b R ,则ab（当且仅当a b 时取“=”)3.若x 0，则x— 2 （当且仅当x 1时取“=”x若x 0，则 x 1 1 1 2 即 X — 2 或 X - -2 (x x X 3.若 ab 0，则 a b .2 （当且仅当a b 时取b a1时取“=”)若ab 0,则- b-2（当且仅当a b 时取“=”）4.若 a,b2 .2a—L (当且仅当 2b 时取“=”)比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.(1) y = 3x 2+ 女1(2) y = x + x“=”)当且仅当a b 时取“=”）2例1.当Dux 4时，求y x(8 2x)的最大值。

解析：由0 < J <4知，S- 2工> 0|,利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子 积的形式，但其和不是定值。

基本不等式应用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

基本不等式应用一：直接应用求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）二：凑项 例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

变式 12,33yx x x =+>- 三：凑系数 例3. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

变式1：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。

基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧 应用一：求最值例1：求以下函数的值域〔1〕y ＝3x 2＋12x 2〔2〕y ＝x ＋1x 解：〔1〕y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞〕〔2〕当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －〔－ x －1x 〕≤－2x ·1x=－2 ∴值域为〔－∞，－2]∪[2，+∞〕解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

评注：此题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

评注：此题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。

专题2.1 基本不等式的应用技巧(解析版)基本不等式的应用技巧基本不等式是数学中常见的一种重要工具，通过它可以解决各种问题。

本文将介绍一些基本不等式的应用技巧，并通过解析版的方式进行具体分析。

1. 不等式的加减变形不等式的加减变形是不等式求解中常用的技巧。

通过对不等式两边同时加减同一个数，可以改变不等式的形式，从而更好地进行化简和求解。

例如，对于不等式 a + x < b，我们可以通过减去 a 并加上负数 x，得到 x < b - a。

这样，原不等式就被转化为一个更简单的形式，使得求解变得更加容易。

2. 不等式的乘除变形和加减变形类似，不等式的乘除变形也是常见的求解技巧之一。

通过对不等式两边同时乘除同一个数（要求该数不为0），可以改变不等式的方向以及取值范围。

例如，对于不等式 a/x > b，若 a 和 b 均为正数，我们可以将不等式两边同时乘以正数 x，得到 a > b*x。

这样，原不等式的方向被颠倒，变为大于号，并且取值范围也随之改变。

3. 绝对值不等式的应用绝对值不等式是基本不等式中的一个重要分支。

它关注的是具有绝对值符号的不等式，需要特别注意其取值范围的变化。

例如，对于不等式 |x - a| < b，我们可以通过分情况讨论来解决。

当x - a > 0 时，原不等式可以简化为 x - a < b；当 x - a < 0 时，原不等式可以简化为 a - x < b。

通过进一步化简和求解，可以得到不等式的解集。

4. 不等式的应用实例分析接下来，我们通过一个具体实例来进行不等式的应用分析。

假设有一条长为 20m 的绳子，要将其分成两段，其中一段的长度是另一段的3倍。

我们需要求解这两段绳子的长度。

设绳子的一段长度为 x，则另一段长度为 3x。

根据题意，我们可以得到以下不等式：x + 3x = 20，即 4x = 20。

通过解方程，可得 x = 5，因此一段绳子的长度是 5m，另一段绳子的长度是 15m。

基本不等式应用一．基本不等式22ab R ，就 a 2b2 1.（1）如 a,b 2ab （当且仅当 a b 时取“=”）(2) 如 a,b R ，就 ab22 a b **R 如 a, bR 如 2. (1) (2)，就 a b ab （当且仅当 a b 时取“ =”） ，就a,bab22a b *a,bR ，就 a b 时取“ =”）(3) 如 当且仅当 ( ab21 x1 x3. 如 x 0 ，就 x 1 时取“ =”）; 如 x 0 ，就 x 1时取“ =”）x 2 当且仅当 x 2 ( 当且仅当 ( 1x b a1 x1 xx 0 ，就 ab 时取“ 如 ( 当且仅当 =”）2即 x2或 xx -2 a bab0 ，就 a b 时取“ =”）3. 如 ( 当且仅当 2 a b b a2即a ba2或a baab 0 ，就如 -2 ( 当且仅当 a b 时取“ =”） 22( a b)2ab 4. 如 a,b R ，就 a b 时取“ =”）（当且仅当 2 2注：（ 1）当两个正数地积为定植时，可以求它们地与地最小值，当两个正数地与为定植时，可以求它们地积地最小值，正所谓“积定与最小，与定积最大”（ 2）求最值地条件“一正，二定，三取等”．(3) 均值定理在求最值， 应用一：求最值 例 1：求以下函数地值域比较大小， 求变量地取值范畴， 证明不等式， 解决实际问题方面有广泛地应用．12x1x（ 1） y ＝ 3x 2＋ （ 2） y ＝ x ＋211解：（ 1） y ＝3x 2＋ 2 23x · ≥ 2＝ ∴值域为 6 ，+∞）6 [ 2 2x2x1 （ 2）当 x ＞ 0 时， y ＝ x ＋ x 1x · x≥ 2 ＝2； 当 x ＜0 时， y ＝ x ＋ 11 x －x）≤－ 1x · x= －（－=－22 x ∴值域为（－∞，－ 解题技巧： 技巧一：凑项 2] ∪[2 ， +∞）5 ，求函数 41 4x 例 1：已知 地最大值； xy 4x 251 4x 解： 因 4x 5 0 ，所以第一要 4x2 要进行拆， 凑项， “调整” 符号， 又 (4 x 不为常数， 所以对2)55 4 1 4 x 1 4x0 ， 2 3 1x , 5 4x y 4 x 25 4x355 14xx 1时，上式等号成立，故当x 1 时， 当且仅当 ，即 5 4 xy max 1 ；5 评注：此题需要调整项地符号，又要配凑项地系数，使其积为定值； 技巧二：凑系数时，求 y 知， 但其与不为定值；x(8 2x) 地最大值；，利用基本不等式求最值，必需与为定值或积为定值，此题为两个式子 例 1. 当 解析：由积地形式， 留意到 2 x (8 2x)8 为定值， 故只需将 y x(8 2x) 凑上一个系数即可；当 ，即 x ＝2 时取等号当 x ＝2 时， y x(8 2 x ) 地最大值为 8；评注： 此题无法直接运用基本不等式求解， 但凑系数后可得到与为定值， 从而可利用基本不等式求最大值；3 2变式：设 0x，求函数 y 4x(3 2 x ) 地最大值；23 22 x3 22x9 2解：∵ 32x 0 ∴ 0x∴ y 4x(3 2 x ) 2 2 x (3 2x) 23 40, 3时等号成立； 2当且仅当 2 x 3 2 x , 即 x技巧三 ： 分别 x27x 10 例 3. 求 y(x 1) 地值域；x 1解析一：此题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋ 1）地项，再将其分别；4 y2 （ x 当 , 即时 , 9 （当且仅当 x ＝1 时取“＝”号）； 1)5 x 1技巧四：换元 解析二：此题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x ＋ 1，化简原式在分别求最值；221）+10 (t 1)7(t tt 5t t 4 4 ty=t 54 t当, 即 时 , t=y 2 t5 9 （当 t=2 即 x ＝ 1 时取“＝”号）；评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最 A g(x)ymg ( x )B ( A 0, B 0) ，g( x) 恒正或恒负地形式， 值；即化为 然后运用基本不等式来求最值；a xf ( x ) 技巧五：留意：在应用最值定理求最值时，如遇等号取不到地情形，应结合函数x地单调性；2x5 4例：求函数y地值域； x21 1( t 2 x5 42x2解：令4 t (t 2) ，就 x4t t 2) y22x4x1 t 1 解得 t因 t 1 不在区间 2,t0,t1 ，但 t，故等号不成立，考虑单调性；1在区间t5 ；21,2, 由于 y ty单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故 5, 2所以，所求函数地值域为；练习．求以下函数地最小值，并求取得最小值时，x 地值 .21 sin x1 x3x x 1y 2sin x , x (0, )y,( x 0) y 2x , x 3 （ 1） (3) （2） x 3 2 x，求函数31，求函数 y x(1 x) 地最大值 y x(2 3x) 地最大值 2．已知 0 x .；3． 0 .条件求最值a3b3 地最小值为a b 2 ，就 1. 如实数满意.a b分析：“与”到“积”为一个缩小地过程，而且 3 3 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，3a与3b都为正 3a3b≥ 23a3b3a b解： 2 63a3b 时等号成立，由 2 及 3a3 b得 a 3a3b地最小值为 当a b b 1即当ab 1时，6．1 x1 y变式：如 地最小值 .并求 x,y 地值log 4 x log 4 y2 ，求技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要留意取等号地条件地一样性，否就就会出错； ；1 x9 yx y 地最小值；2：已知 x 0, y0 ，且1，求 1 x 9y1 x 9 y9xyx 0, y 0 ，且 错．解．： x y 12 ；1 ， 故 x y x y 22 xy 12 minx y 2 xy x y ，在 1x 9y9 xy错因：解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件为 等号成立2 1 x9 y条件为即 y 9 x ,取等号地条件地不一样，产生错误；因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件为解题地必要步骤，而且为检验转换为否有误地一种方法； 1 0, y 0,x9 y1 x 9 yy x9 x y正解 ： 1， x x yx y10 6 10 16y x9x y1 x9 y1，可得 当且仅当12 时， x y 16 ；x 4, y 时，上式等号成立，又min 2 xy 1 ，求 变式： （ 1）如 x, y R且 1x1 y地最小值 ax技巧七 ， 已知 x ， y 为正实数，且 x 2＋y b yxy 地最小值a, b, x, y R1 ，求 (2) 已知 且 22＝ 1，求 x 1＋ y 地最大值 .2 2＋ b 2 2ab ≤ a 分析：因条件与结论分别为二次与一次，故采纳公式；221＋ y 21 21 2y 2 2前面地系数为 y 2 同时仍应化简 1＋y 中 ， x 1＋ y ＝ x2·＝ x ·＋ 2 2 21 y下面将 x ，＋ 分别看成两个因式：2 2221 2 2yy 1 ＋ 2 22 2＋( ＋ ＋ x ) x 22y22 2 2 1 y3 ＝ 4y ＝ 1 2 342x ·＋ ≤＝即 1＋ y ＝ 2 ·x＋ ≤x 22 21 ab 技巧八：已知 a ， b 为正实数， 2b ＋ ab ＋ a ＝ 30，求函数 地最小值 . 分析：这为一个二元函数地最值问题，通常有两个途径， 性或基本不等式求解，对此题来说，这种途径为可行地； 一为通过消元，转化为一元函数问题 ，再用单调二为直接用基本 不等式，对此题来说，因已知条件中既有与地形式，又有积地形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式地途径进行；－ 2 b 2＋30b 30－ 2bb ＋130－ 2bb ＋ 1 法一： a ＝ ，ab ＝ ·b ＝ b ＋ 1由 a ＞ 0 得， 0＜ b ＜ 15－ 2t 2＋ 34t － 31 t 16 t 16t 16t令 t ＝ b+1， 1＜ t ＜ 16，ab ＝ ＝－ 2（ t ＋ ）＋ 34∵ t ＋ ≥ 2t · ＝ 81 18∴ ab ≤ 18∴ y ≥当且仅当 t ＝ 4，即 b ＝ 3， a ＝ 6 时，等号成立；法二：由已知得： 30－ ab ＝ a ＋2b ∵ a ＋2b ≥ 2 ∴ 30－ ab ≥ 2 2 ab2 ab2令 u ＝ 就 u ＋ 2 2 u － 30≤ 0， － 5 2 ≤ u ≤ 3 ab2118∴ ≤ 3 2 ， ab ≤ 18，∴ y ≥ab a b ab （ a, b R ）地应用， 不等式地解法及运算才能； 点评： ①此题考查不等式 ②如何由已知不等22b 30（ a,b R ）动身求得 ab 地范畴， 关键为查找到 式 ab a a b 与ab 之间地关系， 由此想到不等a b ab （a , b ），这样将已知条件转换为含式ab 地不等式，进而解得 ab 地范畴 .R 2变式： 1.已知 a>0，b>0， ab － (a ＋b)＝ 1，求 a ＋ b 地最小值； 2.如直角三角形周长为 技巧九，取平方1，求它地面积最大值； 5， 已知 x ， y 为正实数， 3x ＋ 2y ＝ 10，求函数 W ＝ 3x ＋ 2y 地最值 . 2＋ b 2 2a ＋b 2 a 解法一：如利用算术平均与平方平均之间地不等关系，≤ ，此题很简洁3x ） 2＋（ ）2 3x ＋ 2y ≤ 2（ 2y ＝ 3x ＋ 2y ＝ 2 52 解法二：条件与结论均为与地形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积地形式，再向“与 为定值”条件靠拢；2＝ 3x ＋ 2y ＋2 3x · 2y ＝ 10＋2 3x · 2y ≤ 10＋ ( 3x )2· ( )2 ＝ 10＋ (3x ＋ 2y)＝ 20 2y W ＞ 0， W ∴ W ≤ 20 ＝ 2 515 2 x( 5 地最大值； )变式 : 求函数 y 2x 1 x 2 22 x 11与 5 2 x 地与为定值；解析：留意到 22 y( 2 x 5 0 2 x) 4 22 (2 x 1)(5 2 x) 4 (2 x 1) (5 2 x) 8又 y0 ，所以 y 23 22x1= 5 2x ，即 当且仅当 xy max2 2 时取等号；故 ；评注：此题将解析式两边平方构造出“与为定值”，为利用基本不等式制造了条件；总之，我们利用基本不等式求最值时，肯定要留意“一正二定三相等”，同时仍要留意一些变形技巧，积 极制造条件利用基本不等式； 应用二：利用基本不等式证明不等式a2b2c2a,b ,c 为两两不相等地实数，求证： ab bc ca1．已知 1）正数 a ， b ， c 满意 a ＋ b ＋ c ＝1，求证： (1－ a)(1－ b)(1－ c)≥ 8abc 1 a1 b1 cR 例 6：已知 a ， b ， c ，且 a b c 1；求证：111 8分析：不等式右边数字 8 ，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2 ”连乘，又1 a1 a b c2 bc a，可由此变形入手；1aa1 b2 ac b1 a1 a b c2 bc a， 1 c 2 ab cR 解： a ，b ，c， a b c 1；1；同理； 11 aa上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1 31 a1 b1 c2 bc 2 aac b2 ab c8 ；当且仅当 a b c111时取等号；应用三：基本不等式与恒成立问题 1 x9 y例：已知 x 0, y 0 且1 ，求使不等式 x y m 恒成立地实数m 地取值范畴；1 x9 yx y 9x 9 y ky10 ky kx 9 xky解：令 x y k, x 0, y 0,1 ，1.1kx10 k3 kk 16 ， m ,1612；应用四：均值定理在比较大小中地应用： 1lg a lg b ,Q(lg a 2 a b lg() ，就 2例：如 ab 1, P lg b), R P, Q, R 地大小关系为 .分析：∵ a b 1 ∴ lg a 0,lg b 0 12（ lg alg b)lg a lg bpQa b12R lg( ) lg ablg ab Q ∴ R>Q>P ；2。

基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。

基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理：一、基本不等式常用的结论1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）推论：ab ≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 223、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b（a ＞0，b ＞0）二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。

3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，4λ＋3μ＝2.解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。

5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。