基本不等式应用技巧之高级篇

不等式的应用解题方法与技巧解不等式的问题需要掌握一些基本的数学知识，以下是一些解决不等式问题的方法和技巧：
1. 熟悉基本概念：理解不等式的基本定义，知道什么是大于、小于、等于以及他们的符号表示。

此外，还要了解绝对值、平方根等基本数学概念。

2. 掌握求解步骤：一般情况下，求解一个不等式需要先移项，再化简，最后确定解集。

在移项时要注意变号，在化简时要灵活运用乘法分配律等基础知识。

3. 注意系数正负：在移项过程中，如果某个项的系数为负，那么这个项就需要改变符号。

因此，注意每个项的系数是正还是负是非常重要的。

4. 能够识别图形：有时不等式的问题会转化为几何问题，这时能够识别直角坐标系中的直线、圆、抛物线等各种图形是非常有用的。

5. 利用特殊值检验：当无法直接求出解集时，可以尝试使用特殊值来检验答案是否正确。

比如，对于形如ax + b > 0的不等式，可以尝试取x = -b/a看看是否满足不等式。

6. 不断练习：解决不等式问题需要一定的技巧和经验，多做题目可以帮助你更好地理解和熟练这些技巧。

基本不等式及其应用一、待定系数法1、设,,(0,)x y z ∈+∝，且222541x y z ++=，则+xy yz 的范围是． 解析：设22221=(5)4x ty t y z ++-+≥+，∵ xy 与yz 系数相同)4t =⇒=，∴ 144xy yz ≥+1xy yz +≤，∴ 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==222244zy y x ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===29210252z y x 时等号成立． 即28t ≤，解得2222≤≤-t ．所以+a b 的范围是]22,22[-．2、设0x y z >、、，则222+223xy yzx y z ++的范围是．解析：2222+(2)3x ty t y z +-+≥+，12，解得76=t，故2222+232)x y z xy yz +≥+，所以222max+223xy yzx y z =++ 小结：同时三个（或以上）变量的平方和为常数时，求两个变量乘积之和的最值时，可利用待定系数法将其中一个变量的系数进行拆分，然后利用基本不等式，配凑出变量系数之比等于所求变量系数之比，从而求出最值．二、柯西不等式1、已知+∈R y x ,，22=+y x ，则22y x x ++的最小值为．解析：58)2(545453])54()53)[((222222=+=++≥+++=++y x y x x y x x y x x ，当且仅当53=x ，54=y 时，等号成立．2、已知⎩⎨⎧≥--≤--03201y x y x ，)0,0(>>+=b a by ax z 最小值为52，则22b a +的最小值为____________．解析：由题意得)0,0(52>>=+b a b a ，设20)2()12)((22222=+≥++b a b a ，所以422≥+b a ，即22b a +的最小值为4．3、已知,,0a b c >，且1a b c ++=，则222(+1)+49a b c +的最小值是．解析：因为1a b c ++=，所以(+1)+2a b c +=，2222211[(+1)+49][1+()+()]23a b c +4)1(]313212)1[(22=+++=⨯+⨯++≥c b a c b a ，故222144(+1)+4949a b c +≥222(+1)+49a b c +的最小值是14449．三、权方和不等式1、 已知1>a ，0>b ，若2=+b a 恒成立，则ba 211+-的最小值是________．解析：2231)21()2(11211222+=-++≥+-=+-b a b a b a ，当且仅当b a 211=-，即2=a ，22-=b 时取等号.2、设x 、y 是正实数，且1=+y x ，则2221y x x y +++的最小值是________．解析：222()12134y x y x x y x y ++≥=++++，当21y x x y =++，即2=x ，1=y 时，等号成立，∴ 2221y x x y +++的最小值是41.3、已知1>a 、1>b ，则2211ab b a +--的最小值是________． 解析：令)0(2>=-+t t b a ，2222()(2)4=48112a b t a b t b a a b t t +++≥=++≥--+-当2211a b a b b a +-=⎧⎪⎨=⎪--⎩时，即2a =，2=b ，两个等号同时成立. 4、对任意实数1>x ，21>y ，不等式1)1(4)12(2222≥-+-x a y y a x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：min2221412⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-≤x y y x a ，设220x y t +-=>，则844)2(22)2(14122222≥++=+=-++≥-+-t t t t y x y x x y y x ，当⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+1212222x y y x y x 即2x =， 1=y ，两个等号同时成立.5、若正实数x ，y 满足1=+y x ，则1x +的最小值为________．解析：21(1)2(12)511114==112121212222224y y x x y x y x y x y x y --+++++=++-≥-=++++++ 当14222x y =+，即32=x ，13y =时等号成立，故121x x y ++的最小值45.6、若正实数x ，y 满足1=+y x ，则2281x y+的最小值为________．解析：33322222(12)8112=27()x y x y x y +++≥=+，当12x y =，即31=x ，23y =时等号成立，故2281x y +的最小值27.小结：在a 、b 、x 、y ＞0，y x b a y b x a ++≥+222)(，当yb x a =时等号成立，它是柯西不等式的变形．四、切线放缩法1、0>a ，0>b ，482=++b a ，则ba 13+的最小值为________．解析：21)(x x f +=在)3,1(处的切线为38+=x y ，可知)0(3882>+≥+x x x∴384++≥b a ，即43≤+b a ，4434322541434349)13(4313=⋅+≥+++=++≥+b a a b b a a b b a b a b a 当且仅当1==b a 时等号成立，ba 13+的最小值为4.2、若正实数x ，y 满足1=+y x ，则2281x y+的最小值为________．解析：∵21x y =在)9,31(处的切线2754+-=x y ，∴x x542712-≥，同理y y 545482-≥ 所以2281(2754)(5454)27x y x y+≥-+-=，当且仅当31=x ，32=y 时取等号．3、已知正实数x ，y 满足2215=-y x ，则2233y x y x --+的最小值是________．解析：设23)(x x x f -=在23=x 处的切线方程为 29415-=x y ，所以2941523-≥-x x x ，4)(223y y y y y y -≥-=-，所以129422294152233=-=--≥--+y x y x y x当且仅当 23=x ，21=y 时等号成立．五、放缩法1、若不等式C B C A B k sin sin 19sin sin sin 2>+对任意△ABC 都成立，则k 的最小值为________．解析：由正弦定理可得bc ac kb 192>+，则219bac bc k ->， 由⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=--<-⇒->b c b c bc b c c c b c c b b c b ac b c c b a ,20)(,18)(||1919||2222当b c ≤时，1918)(2≤+bc b c当b c >时，10020)(2≤+-bc b c所以，100≤k .2、在△ABC 中，角A 、B 、C 分别为a 、b 、c ． 若kbc ab c >+22，则实数k 的最大值是________．解析：ca b c bc ab c k +=+≤222，∵ c b a ->，所以1221222-≥-+=-+>+c b b c c c b b c c a b c ，所以122-≤k .3、若实数x 、y 、z 、t 满足100001≤≤≤≤≤t z y x ，则tz y x +的最小值是________．解析：5011000012100001=⋅≥+≥+yy y y tz y x ，易错提醒：50001100001100001=+≥+tz y x ，这个结果是不对的，矛盾出现在哪里呢？观察以下，已知条件100001≤≤≤≤≤t z y x ，不难发现当x 和z 取得最小值时，11≤≤y ，即1=y ，同理y 和t 取得最大值时，z 会等于10000，因为x 、z 和y 、t 交叉相等! 故先只对x 、t 放缩，tz y t z y x +≥+1，对于y 、z ，不妨研究z ，显然z 放缩到1时，则1=y ，z 的最小值为y ，所以5011000012100001=⋅≥+≥+yy y y t z y x .。

基本不等式最值解题技巧
1、分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

2、
基本不等式解题技巧得深入拓展——拼凑定和，拼凑定积，拼凑常数降幂，拼凑常数升幂，约分配凑，引入参数拼凑，引入对偶式拼凑，确立主元拼凑。

基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。

其表述为：两个正实数
的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

在采用基本不等式时，必须牢记“一正”“二定”“三成正比”的七字真言。

“一正”就是指两个式子都为正数，“二定”就是指应用领域基本不等式谋最值时，和或四维定值，“三成正比”就是指因且仅当两个式子成正比时，就可以挑等号。

两大技巧
“1”的妙用。

题目中如果发生了两个式子之和为常数，建议这两个式子的倒数之和
的最小值，通常用所求这个式子除以1，然后把1用前面的常数则表示出，并将两个式子
进行即可排序。

如果题目未知两个式子倒数之和为常数，谋两个式子之和的最小值，方法
同上。

调整系数。

有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是
很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。

基本不等式技巧总结
以下是 6 条关于基本不等式技巧总结：
1. 嘿，你知道吗？利用基本不等式的时候要注意“一正二定三相等”啊！就像走路一样，得一步一步来。

比如说，要求 2x + 3/x（x>0）的最小值，咱就得先确定这都是正数，然后用基本不等式算出来，这不是小菜一碟嘛！
2. 哇塞，基本不等式有时候就像一把神奇的钥匙！你看啊，当碰到一些式子要找最值的时候，马上就想到它。

像给一个房间找最舒服的布置一样，咱得找对方法呀！比如求x² + 4 / x²（x ≠ 0）的最小值，用基本不等式不就轻
松搞定啦！
3. 哎呀呀，基本不等式的技巧可重要啦！就跟搭积木一样，得搭对了才稳。

好比要算 3x + 4 / (3x)（x>0）的最值，那咱就按照规则来，不就稳稳地得到答案啦，多有意思呀！
4. 嘿哟，基本不等式在解题中那可是大功臣呀！它能让复杂的式子变得简单明了。

就好比在迷雾中找到一条清晰的路。

像求(a + 1)(b + 1) / ab（a，
b>0）的最小值，用基本不等式一用，哇塞，答案一下子就出来了，神奇吧？
5. 哈哈，基本不等式的技巧简直绝了！就像战场上的秘密武器一样。

你想想，要算 5x + 9 / (5x)（x>0）的最小值，普通方法可能费劲，但是用基本不等式，那真是轻松加愉快呀！
6. 哇哦，可别小看基本不等式的技巧呀！这可是数学的宝贝呀！比如说，要让一块蛋糕怎么分最合理，基本不等式就能帮上大忙啦。

就像一把精准的尺子，量出最合适的答案呢！
我的观点结论就是：掌握好基本不等式的技巧，那解题真的会变得超有趣而且超高效呀！。

重难点突破：基本不等式4大应用9大技巧一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值典例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解析：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2，∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）技巧一：凑项 例1. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

高考数学：不等式高级水平必备在高考数学中，不等式是考察学生数学思维和解决问题能力的重要部分。

不等式的解法和应用涉及到众多数学思想和技巧，比如转化思想、基本不等式、不等式的性质等。

因此，掌握不等式的高级水平是高考数学取得高分的必要条件之一。

基本不等式是高中数学中最重要的不等式之一，也是解决实际问题中经常用到的。

基本不等式主要涉及到算术平均数和几何平均数之间的关系，即“平均数大于等于几何平均数”。

在应用基本不等式时，需要注意等号成立的条件和取值范围。

例题：已知x>0，求(x + 1/x)的最小值。

解：由基本不等式可得，x + 1/x ≥ 2√(x × 1/x) = 2，当且仅当x = 1时取等号。

因此，(x + 1/x)的最小值为2。

不等式的性质是解决不等式问题的基石，包括传递性、可加性、可乘性等。

在解复杂的不等式时，常常需要通过变形将其转化为几个简单的不等式组，再分别解不等式组。

例题：解不等式(x - 1)(x + 2) > 0。

解：由不等式的可加性和可乘性可得，不等式(x - 1)(x + 2) > 0等价于两个简单的不等式组：①x - 1 > 0且x + 2 > 0；②x - 1 < 0且x + 2 < 0。

解得第一个不等式组的解集为x > 1，第二个不等式组的解集为x < -2。

因此，原不等式的解集为{x|x > 1或x < -2}。

绝对值不等式是高中数学中一个重要的不等式，它涉及到绝对值的性质和运算规则。

绝对值不等式的解法一般需要先去掉绝对值符号，再解不等式。

例题：解不等式|x - 3| < x - 1。

∣x−3∣=−(x−3)。

因此，原不等式等价于两个简单的不等式组：①x - 3 < x - 1；②- (x - 3) < x - 1。

解得第一个不等式组的解集为空集，第二个不等式组的解集为{x|x > 2}。

利用基本不等式求最值的技巧注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数 例２. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x=+的单调性。

变式已知2>x ，求2632-+-=x x x y 的最小值. 例：求函数2y =练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数y =的最大值.；3．203x <<，求函数y =.条件求最值1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx 11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值 技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

基本不等式应用题解题技巧
1. 嘿，你知道不，遇到基本不等式应用题，咱得先看清题目呀！就像走路得先知道往哪儿走。

好比说，给你个例子，要建个篱笆围个矩形场地，一边靠墙，其他三边用篱笆，篱笆长度一定，问怎么围面积最大。

这时候是不是就得用基本不等式解题技巧啦？
2. 哎呀，一定要抓住关键信息呀！就像抓小偷得知道从哪儿下手。

比如说一个制作盒子的问题，给定材料面积，问怎么制作盒子容积最大。

这里面可藏着好多解题技巧要用起来呢！
3. 嘿呀，注意等量关系呀！这可太重要啦，就像开锁找对钥匙一样。

比如一道买东西算最值的题，总价不能超，问怎么买最合适。

不注意这些咋解题呢！
4. 哇塞，要合理设未知数啊！这可不能马虎，好比给自己选一件合适的衣服。

像那种两个数和一定求积最大的题目，设好未知数不就好解决多啦！
5. 哈哈，分类讨论也很关键呐！这就像走不同的路去目的地。

例如不同条件下用基本不等式求最值，那可得认真探讨呀！
6. 嘿，别忘了检查结果合不合理呀！可不能像没头苍蝇乱撞。

比如说算出来的边长不可能是负数之类的，一定得留意呀！
7. 哎哟喂，多做几道题练练手呀！不然技巧怎么能熟练运用呢。

像是那种生产产品数量和利润的问题，多做几遍不就熟了嘛！
8. 哇哦，和同学讨论讨论也很棒呀！三个臭皮匠还顶个诸葛亮呢！比如那道关于资源分配求最优的题，大家一起讨论肯定思路更广呀！
9. 总之，学会这些基本不等式应用题解题技巧，那解题就像囊中取物一样简单！咱可得好好掌握呀！。

高中不等式的解题方法与技巧高中不等式是数学中的一个重要部分，它在数学竞赛和日常生活中都有广泛应用。

解决不等式问题需要掌握一些方法和技巧，下面将介绍一些常用的解题方法。

1. 移项法移项法是解决不等式问题最基本的方法之一。

当我们遇到一个不等式时，可以将其看做一个方程，然后通过移项使不等式符号变为相反的符号。

例如：2x + 5 > 7移项后得到：2x > 2x > 12. 合并同类项法合并同类项法是指将含有相同未知数的项合并在一起。

例如：3x + 5 > 4x - 1合并同类项后得到：x > -63. 因式分解法因式分解法是指将不等式中的多项式因式分解，并根据因子的正负性来确定未知数的取值范围。

例如：2x^2 - x - 3 > 0将其因式分解得到：(2x + 3)(x - 1) > 0由于两个因子都为二次函数，所以可以画出函数图像来确定未知数的取值范围。

4. 借助图像法借助图像法是指通过画出函数图像来确定未知数的取值范围。

例如：x^2 - 4x + 3 > 0将其转化为函数图像的形式，得到：从图像中可以看出，不等式的解为x < 1或x > 3。

5. 取绝对值法取绝对值法是指将不等式中的绝对值转化为两个不等式，并根据两个不等式的解来确定原不等式的解。

例如：|2x - 3| > 5将其转化为两个不等式，得到：2x - 3 > 5 或者 2x - 3 < -5解得：x > 4 或者 x < -1综合起来，原不等式的解为x < -1或者 x > 4。

以上是一些常用的高中不等式解题方法和技巧。

需要注意的是，在解决问题时要注意符号的变化和特殊情况。

同时，还需要多做题、多思考、多总结，才能够掌握这些方法和技巧，并在实际应用中灵活运用。