高等代数(北大版)第7章习题参考答案75840

高等代数北大版第章习题参考答案SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

第七章 线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是：1〕在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2〕在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3〕在P 3中,A ),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4〕在P 3中,A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5〕在P[x ]中,A )1()(+=x f x f ；6〕在P[x ]中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7〕把复数域上看作复数域上的线性空间,A ξξ=.8〕在P nn ⨯中,A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1>当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2>当0=α时,是;当0≠α时,不是.3>不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A<)α.4>是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β, A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α,故A 是P 3上的线性变换.5>是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g , 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f , 故A 为][x P 上的线性变换.6>是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ), A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f .7>不是,例如取a=1,k=I,则A <ka>=-i , k<A a>=i, A <ka >≠k A <a>. 8>是,因任取二矩阵Y X ,nn P⨯∈,则A <=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ,A <k X >=k BXC k kXB ==)()(A X ,故A 是nn P⨯上的线性变换.2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换,证明：A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2,并检验<AB >2=A 2B 2是否成立. 解 任取一向量a=<x,y,z>,则有 1) 因为A a=<x,-z,y>, A 2a=<x,-y,-z>,A 3a=<x,z,-y>, A 4a=<x,y,z>,B a=<z,y,-x>, B 2a=<-x,y,-z>,B 3a=<-z,y,x>, B 4a=<x,y,z>,C a=<-y,x,z>, C 2a=<-x,-y,z>,C 3a=<y,-x,z>, C 4a=<x,y,z>, 所以A 4=B 4=C 4=E.2) 因为AB <a>=A <z,y,-x>=<z,x,y>,BA <a>=B <x,-z,y>=<y,-z,-x>, 所以AB ≠BA.3>因为A 2B 2<a>=A 2<-x,y,-z>=<-x,-y,z>,B 2A 2<a>=B 2<x,-y,-z>=<-x,-y,z>, 所以A 2B 2=B 2A 2.3) 因为<AB >2<a>=<AB ><AB <a>>_=AB <z,x,y>=<y,z,x>,A 2B 2<a>=<-x,-y,z>, 所以<AB >2≠A 2B 2.3.在P[x] 中,A ')(f x f =),(x B )()(x xf x f =,证明:AB-BA=E. 证 任取∈)(x f P[x],则有<AB-BA >)(x f =AB )(x f -BA )(x f =A <))(x xf -B <'f ))(x =;)(xf x f +)(x -'xf )(x =)(x f所以 AB-BA=E.4.设A,B 是线性变换,如果AB-BA=E,证明：A kB-BA k=k A 1-k <k>1>.证 采用数学归纳法.当k=2时A 2B-BA 2=<A 2B-ABA>+<ABA-BA 2>=A<AB-BA>+<AB-BA>A=AE+EA=2ª,结论成立. 归纳假设m k =时结论成立,即A mB-BA m=m A 1-m .则当1+=m k 时,有A 1+m B-BA1+m =<A1+m B-A m BA>+<A m BA-BA1+m >=A m<AB-BA>+<A mB-BA m>A=A mE+mA1-m A=)1(+m A m.即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立. 5.证明：可逆变换是双射.证 设A 是可逆变换,它的逆变换为A1-.若a ≠b ,则必有A a ≠A b,不然设Aa=A b,两边左乘A1-,有a=b,这与条件矛盾.其次,对任一向量b,必有a 使A a=b,事实上,令A 1-b=a 即可.因此,A 是一个双射.6.设1ε,2ε, ,n ε是线性空间V 的一组基,A 是V 上的线性变换.证明：A 是可逆变换当且仅当A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关.证 因A <1ε,2ε, ,n ε>=<A 1ε,A 2ε, ,A n ε>=<1ε,2ε, ,n ε>A,故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆,而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关,故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关.. 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1) 第1题4>中变换A 在基1ε=<1,0,0>,2ε=<0,1,0>,3ε=<0,0,1>下的矩阵；2) [o; 1ε,2ε]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B 是平面上的向量对2ε的垂直投影,求A,B,AB 在基1ε,2ε下的矩阵； 3) 在空间P [x]n 中,设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→, 试求A 在基i ε=!1)1()1(i i x x x +-- <I=1,2, ,n-1>下的矩阵A ； 4) 六个函数1ε=eaxcos bx ,2ε=eaxsin bx ,3ε=x e axcos bx ,4ε=x eaxsin bx ,1ε=221x e ax cos bx ,1ε=21e ax 2x sin bx ,的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换D 在基i ε<i=1,2, ,6>下的矩阵； 5) 已知P3中线性变换A 在基1η=<-1,1,1>,2η=<1,0,-1>,3η=<0,1,1>下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101,求A 在基1ε=<1,0,0>,2ε=<0,1,0>,3ε=<0,0,1>下的矩阵； 6) 在P 3中,A 定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=)9,1,5()6,1,0()3,0,5(321ηηηA A A , 其中⎪⎩⎪⎨⎧-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(321ηηη, 求在基1ε=<1,0,0>,2ε=<0,1,0>,3ε=<0,0,1>下的矩阵； 7) 同上,求A 在1η,2η,3η下的矩阵.解 1>A 1ε=<2,0,1>=21ε+3ε,A 2ε=<-1,1,0>=-1ε+2ε,A 3ε=<0,1,0>=2ε,故在基1ε,2ε,3ε下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-001110012.2〕取1ε=〔1,0〕,2ε=〔0,1〕,则A 1ε=211ε+212ε,A 2ε=211ε+212ε,故A 在基1ε,2ε下的矩阵为A=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21212121. 又因为B 1ε=0,B 2ε=2ε,所以B 在基1ε,2ε下的矩阵为B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000,另外,〔AB 〕2ε=A 〔B 2ε〕=A 2ε=211ε+212ε,所以AB 在基1ε,2ε下的矩阵为AB =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛210210. 3〕因为 )!1()]2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n εεεε, 所以A 0110=-=ε,A 01)1(εε=-+=x x , A )!1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=-n n x x x n n x x x n ε=)!1()]3([)1(----n n x x x {)]2([)1(---+n x x }=2-n ε,所以A 在基0ε,1ε, ,1-n ε下的矩阵为A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011010 .4〕因为D 1ε=a 1ε-b 2ε,D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε, D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε, D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε,所以D 在给定基下的矩阵为D =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000000100001000010001a b b a a b b a ab b a. 5〕因为<1η,2η,3η>=<1ε,2ε,3ε>⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011,所以 <1ε,2ε,3ε>=<1η,2η,3η>⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101110111=<1η,2η,3η>X,故A 在基1ε,2ε,3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211. 6〕因为<1η,2η,3η>=<1ε,2ε,3ε>⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--012110301,所以A <1η,2η,3η>=A <1ε,2ε,3ε>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--012110301,但已知A <1η,2η,3η>=<1ε,2ε,3ε>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505,故A <1ε,2ε,3ε>=<1ε,2ε,3ε>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0121103011-=<1ε,2ε,3ε>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---717172717672737371=<1ε,2ε,3ε>⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----72471872772757472072075. 7〕因为<1ε,2ε,3ε>=<1η,2η,3η>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0121103011-,所以A <1η,2η,3η>=<1η,2η,3η>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0121103011-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----963110505 =<1η,2η,3η>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011101532.8．在P22⨯中定义线性变换A1<X >=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a X,A 2<X >=X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a , A 2<X >=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ,求A 1, A 2, A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵. 解 因A 1E 11=a E 11+c E 12, A 1E 12=a E 12+c E 22,A 1E 21=b E 11+d E 21, A 1E 22= b E 21+d E 22,故A 1在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛d cdc b a b a 00000000. 又因A 2E 11=a E 11+b E 12, A 2E 12= c E 11+d E 12, A 2E 21= a E 21+b E 22, A 2E 22= c E 21+d E 22,故A 2在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 2=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛d b c a db ca 00000000.又因A 3E 11= a 2E 11+ab E 12+ac E 21+bc E 22, A 3E 12= ac E 11+ad E 12+c 2E 21+cd E 22, A 3E 21= ab E 11+b 2E 12+ad E 21+bd E 22, A 3E 22 = bc E 11+bd E 12+cd E 21+d 2E 22,故A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22223d bdcd bc cd ad c ac bd b adab bc ab aca A . 9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a , 1) 求A 在基123,,εεε下的矩阵； 2) 求A 在基321,,εεεk 下的矩阵,其中且； 3) 求A 在基3221,,εεεε+下的矩阵. 解 1>因A 3ε=333εa +a +223ε13a 1ε, A 2ε=+332εa +222εa 112εa ,A 1ε=+331εa +221εa 111εa ,故A 在基123,,εεε下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112132122233132333a a a a a a a a a B . 2>因 A 1ε=111εa ++)(221εk ka 331εa , A <k 2ε>=k 112εa +)(222εk a +332εka , A 3ε=13a 1ε+ka 23<2εk >+333εa , 故A 在321,,εεεk 下的矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3332312322211312112a ka a k a a k aa ka a B . 3>因A <21εε+>=<1211a a +><31εε+>+<12112221a a a a --+>2ε+<3231a a +>3ε, A 2ε=12a <21εε+>+<1222a a ->2ε+332εa , A 3ε=13a <21εε+>+<1323a a ->2ε+333εa ,故A 基3221,,εεεε+下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----+-=333232311323122212112221131212113a a a a a a a a a a a a a a a a B . 10. 设A 是线性空间V 上的线性变换,如果Aε1-k ≠0,但A εk =0,求证：ε,A ε,, A ε1-k <k >0>线性无关.证 设有线性关系0121=+++-εεεk k A l A l l ,用A1-k 作用于上式,得1l A ε1-k =0<因A 0=εn 对一切n k ≥均成立>,又因为Aε1-k ≠0,所以01=l ,于是有01232=+++-εεεk k A l A l A l ,再用A 2-k 作用之,得2l Aε1-k =0.再由,可得2l =0.同理,继续作用下去,便可得021====k l l l ,即证ε,A ε,, Aε1-k <k >0>线性无关.11.在n 维线性空间中,设有线性变换A 与向量ε使得A ε1-n 0≠,求证A 在某组下的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0101010 . 证 由上题知,ε,A ε,A ε2,, Aε1-n 线性无关,故ε,A ε,A ε2,, A ε1-n 为线性空间V的一组基.又因为A ⋅+⋅+⋅=010εεεA A ε2+⋅+0 Aε1-n ,A <A ε>=ε⋅0+⋅0 A ε+⋅1 A ε2+⋅+0 A ε1-n ,…………………………… A 〔Aε1-n 〕=ε⋅0+⋅0 A ε+⋅0 A ε2+⋅+0 A ε1-n ,故A 在这组基下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0101010 . 12． 设V 是数域P 上的维线性空间,证明：与V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换.证 因为在某组确定的基下,线性变换与n 级方阵的对应是双射,而与一切n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K.13. A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换,证明：如果A 在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换.证 设A 在基n εεε,,,21 下的矩阵为A=<ij a >,只要证明A 为数量矩阵即可.设X 为任一非退化方阵,且<n ηηη,,21>=<n εεε,,,21 >X, 则12,,,n ηηη也是V 的一组基,且A 在这组基下的矩阵是AX X 1-,从而有AX=XA,这说明A 与一切非退化矩阵可交换. 若取⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n X 211,则由A 1X =1X A 知ij a =0<i ≠j>,即得A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn a a a2211, 再取2X =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001100001000010由A 2X =2X A,可得nn a a a === 2211.故A 为数量矩阵,从而A 为数乘变换.14.设321,,εεε,4ε是四维线性空间V 的一组基,已知线性变换A 在这组基下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201,1) 求A 在基42112εεη+-=,4443343222,,3εηεεηεεεη=+=--=下 的矩阵； 2) 求A 的核与值域；3) 在A 的核中选一组基,把它扩充为V 的一组基,并求A 在这组基下的矩阵； 4) 在A 的值域中选一组基, 把它扩充为V 的一组基, 并求A 在这组基下的矩阵. 解 1>由题设,知<4321,,,ηηηη>=<321,,εεε,4ε>⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2111011000320001,故A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为B=AX X 1-=12111011000320001-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2111011000320001 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----87103403403163831031034322332. 2> 先求A1-<0>.设∈ξ A1-<0>,它在321,,εεε,4ε下的坐标为<1χ,432,,χχχ>,且A ε在321,,εεε,4ε下的坐标为<0,0,0,0,>,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000.因rank<A>=2,故由⎩⎨⎧=+++-=++032024321431x x x x x x x , 可求得基础解系为X 1=)0,1,23,2('--,X 2=)1,0,2,1('--. 若令1α=<321,,εεε,4ε>X 1,2α=<321,,εεε,4ε>X 2, 则12,αα即为A 1-<0>的一组基,所以A1-<0>=12(,)L αα.再求A 的值域A V.因为A 1ε=43212εεεε++-, A 2ε=432222εεε-+, A 3ε=432152εεεε+++, A 4ε3ε=4321253εεεε-++,rank<A>=2,故A 1ε ,A 2ε, A 3ε, A 4ε的秩也为2,且A 1ε ,A 2ε线性无关,故A 1ε ,A 2ε可组成A V 的基,从而A V=L<A 1ε ,A 2ε>.4) 由2>知12,αα是A 1-<0>的一组基,且知,1ε2ε,12,αα是V 的一组基,又<,1ε2ε, a 1, a 2>=<321,,εεε,4ε>⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10000100223101201, 故A 在基,1ε2ε,12,αα下的矩阵为B=11000100223101201-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---10000100223101201=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00220021001290025.4> 由2>知A 1ε=43212εεεε++-, A 2ε=432222εεε-+ 易知A 1ε, A 2ε,43,εε是V 的一组基,且<A 1ε, A 2ε,43,εε>=<321,,εεε,4ε>⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1021012100210001, 故A 在基A 1ε, A 2ε,43,εε下的矩阵为C=11021012100210001-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1021012100210001 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000002231291225. 15. 给定P 3的两组基⎪⎩⎪⎨⎧===)1,1,1()0,1,2()1,0,1(321εεε⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=)1,1,2()1,2,2()1,2,1(321ηηη, 定义线性变换A : A i ε=i η<i =1,2,3>,1) 写出由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵； 2) 写出在基321,,εεε下的矩阵； 3) 写出在基321,,ηηη下的矩阵.解 1>由<321,,ηηη>=<321,,εεε>X,引入P 3的一组基1e =<1,0,0>, 2e =<0,1,0>, 3e =<0,0,1>,则<321,,εεε>=<1e ,2e ,3e >⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101110121=<1e ,2e ,3e >A,所以<321,,ηηη>=<1e ,2e ,3e >⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122221=<1e ,2e ,3e >B=<1e ,2e ,3e >A 1-B, 故由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵为X= A 1-B=1101110121-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122221=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---252112323123232. 2>因A <321,,εεε>=<321,,ηηη>=<321,,εεε>⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---252112323123232, 故A 在基321,,εεε下的矩阵为A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---252112323123232. 4) 因A <321,,ηηη>=A <321,,εεε>X=<321,,ηηη>X,故A 在基321,,ηηη下的矩阵仍为X..16.证明⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i ii λλλ21相似,其中<n i i i ,,,21 >是1,2,n , 的一个排列.证 设有线性变换A ,使A )21,,,(n εεε =)21,,,(n εεε ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21=)21,,,(n εεε D 1, 则A < ,,21i i εε,n i ε>=< ,,21i i εε,n i ε>⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i ii λλλ21=< ,,21i i εε,n i ε>D 2, 于是D 1与D 2为同一线性变换A 在两组不同基下的矩阵,故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i ii λλλ21相似. 17.如果A 可逆,证明AB 与BA 相似. 证 因A 可逆,故A1-存在,从而A1-<AB>A=< A 1-A>BA=BA,所以AB 与BA 相似.18.如果A 与B 相似,C 与D 相似,证明：0000A B B D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与相似.证 由已知,可设B=X 1-AX, D=Y 1-CY ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1100Y X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛C A 00⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Y X0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 00,这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1100Y X =⎪⎪⎭⎫⎝⎛Y X001-,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 00相似. 19.求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量.已知A 在一组基下的矩阵为：1>A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2543 2>A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00a a 3>A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------111111*********1 4>A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121101365 5>A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 6>A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---031302120 7>A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----284014013解 1>设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A,且A 的特征多项式为A E -λ=2543----λλ=2λ-5λ-14=<7-λ><2+λ>,故A 的特征值为7,-2.先求属于特征值λ=7的特征向量.解方程组⎩⎨⎧=+-=-0550442121x x x x ,它的基础解系为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11,因此A 的属于特征值7的全部特征向量为k 1ξ <k 0≠>,其中1ξ=1ε+2ε.再解方程组⎩⎨⎧=--=--0450452121x x x x ,它的基础解系为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,因此A 的属于特征值-2的全部特征响向量为k 2ξ<k 0≠>,其中2ξ=41ε-52ε.2>设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A,且当a=0时,有A=0,所以AE -λ=λλ00=2λ, 故A 的特征值为1λ=2λ=0.解方程组⎩⎨⎧=+=+0000002121x x x x ,它的基础解系为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01,⎪⎪⎭⎫⎝⎛10,因此A 的属于特征值0的两个线性无关特征向量为1ξ=1ε,2ξ=2ε,故A 以V 的任一非零向量为其特征向量.当a ≠0时,AE -λ=λλa a -=2λ+a 2=<ai +λ><ai -λ>,故 A 的特征值为1λ=ai ,2λ= -ai .当1λ=ai 时,方程组⎩⎨⎧=+=-002121aix ax ax aix 的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1i ,故A 的属于特征值ai 的全部特征向量为k 1ξ<k 0≠>,其中1ξ=-1εi +2ε.当2λ= -ai 时,方程组⎩⎨⎧=-=--002121aix ax ax aix 的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛1i ,故A 的属于特征值-ai 的全部特征向量为k 2ξ <k 0≠>,其中2ξ=1εi +2ε.3>设A 在 给定基1ε,2ε,3ε,4ε下的矩阵为A,因为A E -λ=<2-λ>3<2+λ>,故A 的特征值为1λ=2λ=2,243-==λλ.当2=λ时,相应特征方程组的基础解系为X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001,0101,0011321X X ,故A 的属于特征值2的全部特征向量为11εk +22k ε+k33ε <k 321,,k k 不全为零>,其中1ξ=1ε+2ε,2ξ=1ε+3ε,3ξ=1ε+4ε.当2-=λ时,特征方程组的基础解系为X =4⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111,故A 的属于特征值-2的全部特征向量为k 4ξ <k 0≠>,其中4ξ=1ε-2ε-43εε-. 4） 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A,因A E -λ==+-----12111365λλλ43-λ422++λλ=<2-λ><31--λ><31+-λ>,故A 的特征值为1λ=2,2λ=3λ.当1λ=2时, 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+=+--032020363321321321x x x x x x x x x 的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-012,故A 的属于特征值2的全部特征向量为k 1ξ <k 0≠>,其中1ξ=12ε-2ε.当λ=1+3时, 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-++=+-+-0)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x 的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3213,故A的属于特征值1+3的全部特征向量为k 2ξ <k 0≠>,其中2ξ=13ε-2ε+<23->3ε.当λ=1-3时, 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=--+=+---0)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x 的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-3213,故A的属于特征值13-的全部特征向量为k 3ξ <k 0≠>,其中3ξ=13ε-2ε+<23+>3ε. 5) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A,因A E -λ=λλλ0101010---=<1-λ>2<1+λ>,故A 的特征值为1,1321-===λλλ.当121==λλ,方程组⎩⎨⎧=+-=-003131x x x x 的基础解系为,101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,故A 的属于特征值1的全部特征向量为112212(,)k k k k ξξ+不全为零,其中311εεξ+=,22εξ=.当13-=λ时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--002031231x x x x x 的基础解系为101⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭,故A 的属于特征值-1的全部特征向量为)0(3≠k k ξ,其中313εεξ-=. 6) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A,因A E -λ==---λλλ313212)14(2+λλ=)14)(14(i i +-λλλ,故A 的特征值为i i 14,14,0321-===λλλ.当01=λ时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=--0303202213132x x x x x x 的基础解系为312⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,故A 的属于特征值0的全部特征向量为)0(1≠k k ξ,其中321123εεεξ+-=.当i 142=λ时,该特征方程组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+101432146ii ,故A 的属于特征值i 14的全部特征向量为)0(2≠k k ξ,其中321210)1432()146(εεεξ-+-++=i i .当i 14-=λ时,该特征方程组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----101432146ii ,故A 的属于特征值i 14-的全部特征向量为)0(3≠k k ξ,其中321310)1432()146(εεεξ---+-=i i .7) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A,因A E -λ=28414013+-+--λλλ=<1-λ>2<2+λ>,故A 的特征值为2,1321-===λλλ.当121==λλ,该特征方程组的基础解系为3620⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,故A 的属于特征值1的全部特征向量为)0(1≠k k ξ,其中32112063εεεξ+-=.当23-=λ,该特征方程组的基础解系为001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,故A 的属于特征值-2的全部特征向量为)0(2≠k k ξ,其中32εξ=.20.在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形?在可以化成对角形的情况下,写出相应的基变换的过度矩阵T,并验算T1-AT.解已知线形变换A 在某一组基下为对角形的充要条件是有n 个线形无关的特征向量,故上题中1>~6>可以化成对角形,而7>不能.下面分别求过渡矩阵T. 1) 因为12(,)ξξ=<21,εε>⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5141,所以过渡矩阵T=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5141,T 1-AT=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-91919495⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2543⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5141=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2007. 2)0,a =当时已是对角型.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠11),(),(,02121i i a εεξξ有时当,过渡矩阵T=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11i i , T 1-AT=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ai ai i i a a i i001100212212. 3>因为<4321,,,ξξξξ>=<4321,,,εεεε>⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1100101010011111,过渡矩阵T=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1100101010011111, T 1-AT=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2222. 4>因为<),,321ξξξ=<⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----32320111332),,321εεε, 过渡矩阵T=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----32320111332,T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-313121AT .5>因为 <),,321ξξξ=<321,,εεε>⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010101,过渡矩阵T=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010101,11100011011002201001001001011100101001022T AT -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎪⎝⎭.6>因为 <⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+---+=101021432143211461463),,(),,321321i i i i εεεξξξ,即过渡矩阵为 T=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+---+101021432143211461463i i i i ,且T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-i i AT 140001401. 21.在P[x]n <n>1>中,求微分变换D 的特征多项式,并证明D 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵.解 取P[x]n 的一组基1,x,21,...,2(1)!n x x n --,则D 在此基下的矩阵为 D=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0 (00)01...000...............0...1000 (010),从而n D E λλλλλ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-...0001...000...............0...100 01, 故D 的特征值是n (0=λ重>,且D 的属于特征值0的特征向量ξ只能是非零常数.从而线性无关的特征向量个数是1,它小于空间的维数n,故D 在任一组基下的矩阵都不可能是对角形.22.设 A=142034043⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,求A k.解:因为=---+---=-34430241λλλλA E <)5)(5)(1+--λλλ,故A 的特征值为5,5,1321-===λλλ,且A 的属于特征值1的一个特征向量为X '1)0,0,1(=,A 的属于特征值5的一个特征向量为X '2)2,1,2(=,A 的属于特征值-5 的一个特征向量为X '3)1,2,1(-=.于是只要记T=<X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120210121),,321X X ,则T B AT =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-5000500011,且 B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k kk )5(00050001. 于是A ==-1T TB k k ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5152052510101)5(00050001120210121k k =[][][][][][]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅--+⋅-+⋅⋅-+-+---+-k K k k k k k k k k k k )1(45)1(1520)1(152)1(41501)1(45)1(1521111111111. 23.设εεε,,2143,ε是四维线性空间V 的一个基,线性变换A 在这组基下的矩阵为A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=711310252921323133425.1) 求A 的基432112εεεεη+++=,321232εεεη++=,33εη=,44εη=下的矩阵； 2) 求A 的特征值与特征向量； 3) 求一可逆矩阵T,使TAT 1-成对角形.解 1>由已知得<X ),,,(1001011100320021),,,(),,,432143214321εεεεεεεεηηηη=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=, 故求得A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为B=X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-2500232700450056001AX .2> A 的特征多项式为=)(λf )1)(21(2--=-=-λλλλλB E A E ,所以A 的特征值为1,21,04321====λλλλ. A 的属于特征值0=λ的全部特征向量为2211ξξk k +,其中21,k k 不全为零,且4212εεεξ+--=.A 的属于特征值21=λ的全部特征向量为33ξk ,其中 03≠k ,且321324εεεξ+--=+64ε.A 的属于特征值1=λ的全部特征向量为44ξk ,其中04≠k ,且4321423εεεεξ-++=.3〕因为〔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2610110112133412),,,(),,,43214321εεεεξξξξ,所求可逆阵为 T=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----2610110112133412,且 T ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-121001AT 为对角矩阵. 24.1>设21,λλ是线性变换A 的两个不同特征值,21,εε是分别属于21,λλ的特征向量,证明：21εε+不是A 的特征向量；2>证明:如果线性空间V 的线性变换A 以V 中每个非零向量作为它的特征向量,那么A 是数乘变换.证 1>由题设知A 111)(ελε=, A 222)(ελε=, 且21λλ≠,若21εε+是A 的特征向量,则存在0≠λ使 A 〔21εε+〕=)(21εελ+=21λελε+, A 〔21εε+〕=2211ελελ+=21λελε+, 即 0)()(2211=-+-ελλελλ.再由21,εε的线性无关性,知021=-=-λλλλ,即21λλλ==,这是不可能的. 故21εε+不是A 的特征向量.2〕设V 的一组基为12,,...,n εεε,则它也是A 的n 个线性无关的特征向量,故存在特征值λλ,12,,...,n λ 使A i i i ελε=)(),...,2,1(n i =.由1〕即知12...n k λλλ====.由已知,又有A ααk =)()(V ∈∀α,即证A 是数乘变换.25.设V 是复数域上的n 维线性空间,A ,B 是V 上的线性变换,且AB =BA .,证明： 1) 如过0λ是A 的一个特征值,那么0λV 是B 的不变子空间； 2) A ,B 至少有一个公共的特征向量.证 1>设0λαV ∈,则A 0αλα=,于是由题设知 A <B α>=B <A α>=B <=)0αλ0λ<B α>, 故B α∈0λV ,即证0λV 是B 的不变子空间.3) 由1>知0λV 是B 的不变子空间,若记B|0λV =B 0,则B 0也是复数域上线性空间0λV 的一个线性变换,它必有特征值,0μ使B 0B =0μB <B ∈0λV ,且B 0≠>, 显然也有A <B >=0μB ,故B 即为A 与B 的公共特征向量.26. 设V 是复数域上的n 维线性空间,而线性变换A 在基n εεε,...,,21下的矩阵是一若当块.证明：1) V 中包含1ε的A -子空间只有V 自身； 2) V 中任一非零A -子空间都包含n ε；3) V 不能分解成两个非平凡的A -子空间的直和.证 1>由题设,知A <n εεε,...,,21>=<n εεε,...,,21>⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅λλλ1.....1,即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=--n n nn n a A A A λεεελεεελεεελεε11322211.........................,设W 为A -子空间,且∈1εW,则∈1εA W, 进而有∈-=112λεεεA W ∈⇒2εA W, ∈-=223λεεεA W ∈⇒3εA W,………………………………….∈-=--11n n n A λεεεW,故W=L{n εεε,...,,21}=V.2>设W 为任一非零的A -子空间,对任一非零向量∈αW,有 不妨设01≠κ,则A nn A A A εκεκεκα+++= (2211)=1κ<21ελε+>+2κ<32ελε+>+…+n n λεκ =∈++++-n n εκεκεκλα13221...W 于是 ∈+++-n n εκεκεκ13221...W同理可得 ∈+++-n n εκεκεκ24231...W,…,∈n εκ1W 从而∈n εW,即证V 中任一非零的A -子空间W 都包含n ε. 3〕设W ,1W 2是任意两个非平凡的A -子空间,则由2〕知∈n εW 1且∈n εW 2,于是∈n εW ⋂1W 2,故V 不能分解成两个非平凡的A -子空间的直和. 27．求下列矩阵的最小多项式：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001010100)1, 2>⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------3131131331311313 解 1>设=A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001010100,因为A 2-E =0,是所以12-λA 的零化多项式,但A -E 0≠,A +E 0≠,故A 的最小多项式为1)(2-=λλA m .2>因为4)(λλλ=-=A E f ,所以A 的最小多项式为432,,,λλλλ之一,代入计算可得A的最小多项式为2)(λλ=A m .二 补充题参考解答1. 设A,B 是线性变换, A 2= A, B 2=B 证明:1) 如果<A+B >2 =A+B 那么AB=0; 2) 如果, AB=BA 那么<A+B-AB>2=A+B-AB. 证 1>因为A 2= A, B 2=B, <A+B >2=A+B 由<A+B >2 =<A+B> <A+B>= A 2 +AB+BA+ B 2, 故A+B= A +AB+BA+ B, 即AB+BA=0.又2AB=AB+AB=AB-BA= A 2B-B 2A= A 2B+ABA= A <AB+BA>= A0=0 所以AB=0.2> 因为A 2= A, B 2=B, AB=BA所以<A+B-AB>2= <A+B-AB> <A+B-AB>= A 2+BA- AB A+ AB+ B 2- AB 2-A 2B-BAB +ABAB = A+AB - AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB = A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB = A+B- AB .2. 设V 是数域P 上维线性空间,证明:由V 的全体变换组成的线性空间是2n 维的.证 21112121n n n n n n n nn E E E E E E P P n ⨯⨯因，，，，，，，是的一组基，是维的.V 的全体线性变换与n n P ⨯同构,故V 的全体线性变换组成的线性空间是2n 维的. 3. 设A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换,证明:1) 在][x P 中有一次数2n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f ; 2) 如果)(,0)(==A g A f ,那么)(=A d ,这里.)()()(的最大公因式与是x g x f x d ；3) A 可逆的充分必要条件是:有一常数项不为零的多项式()()0f x f A =使.证 1>因为P 上的n 维线性空间V 的线性变换组成的线性空间是2n 维的,所以2n +1个线性变换A2n ,A12-n ,、、、,A,E,一定线性相关,即存在一组不全为零的数22101,,,,n n a a a a -使2n a A 2n +12-n a A12-n ++1a A+0a E=0,令22221101()n nn n f x a xa x a x a --=++++,且22(0,1,2,,)i a i n f x n =∂≤不全为零，（（））.这就是说,在][x P 中存在一次数2n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f .即证. 2>由题设知)()()()()(x g x v x f x u x d +=因为0)(,0)(==A g A f , 所以)()()()()(A g A v A f A u A d +==0.3>必要性.由1>知,在][x P 中存在一次数2n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f .即2n a A 2n +12-n a A 12-n++1a A+0a E=0,若则,00≠a 22221101()n nn n f x a x a xa x a --=++++即为所求.若00a =,2n a A 2n +12-n a A 12-n++1a A+0a E=0,因 A 可逆,故存在右乘等式两边也存在，用1111)()()(,----=j j j A A A A ,得2n a Ajn-2+12-n a A12--j n+…+j a E=0令=)(x f 2n a jnx-2+12-n a 12--j nx +…+)0(≠j j a a ,即)(x f 为所求.充分性.设有一常数项不为零的多项式22221101()n n n n f x a x a xa x a --=++++)0(0≠a 使0)(=A f ,即00111=++++--E a A a Aa A a m m m m , 所以E a A a Aa A a m m m m 0111-=+++-- , 于是E A E a A a a m m =⋅++--)(1110, 又⋅A E E a A a a m m =++--)(1110, 故A 可逆.4. 设A 是线性空间V 上的可逆线性变换.1) 证明: A 的特征值一定不为0；2) 证明:如果λ是的A 特征值,那么λ1是1-A 的特征值. 证 1>设可逆线性变换A 对应的矩阵是A,则矩阵A 可逆,A 的特征多项式)(λf 为A a a a f n n nn n )1()()(12211-+++++-=- λλλ,A 可逆 ,故0≠A .又因为A 的特征值是的全部根,其积为0≠A ,故A 的特征值一定不为0. 2>设λ是的A特征值,那么存在非零向量ξ,使得111111,A A A A A ξλξξλξξξλλ----===用作用之，得（），于是，即是的特征值.5.设A 是线性空间V 上的线性变换,证明；A 的行列式为零的充要条件是A 以零作为一个特征值.证:设线性变换A 矩阵为A,则 A 的特征值之积为A .必要性,设0=A ,则A 的特征值至少有一个为零,即一另为一个特征值. 充分性,设A 有一个特征值00=λ,那么0=A .6. 设A 是一个n 阶下三角矩阵,证明：1) 如果)2,1,,(n j i j i a a jj ii =≠≠,那么A 相似于一对角矩阵；2) 如果a aa nn === 2211,而至少有一)(00000j i a j i >≠,那么A 不与对角矩阵相似.证：1>因为A 的多项式特征是()f λ=)())((2211a a a nn A E ---=-λλλλ ,又因)2,1,,(n j i j i aa jjii=≠≠,故A 有n 个不同的特征值,从而矩阵A 一定可对角化,故A 似于对角矩阵.2>假定 A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a aa j i1111110与对角矩阵B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλn21相似, 则它们有相同的特征值λλλn,,,21,因为A 的特征多项式()f λ=()na 11-λ,所以a n 1121====λλλ ,由于 B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a aa 111111=E a11是数量矩阵,它只能与自身相似,故A 不可能与对角矩阵相似.7.证明:对任一n n ⨯复系数矩阵A ,存在可逆矩阵T,使AT T 1- 证:存在一组基εεεεsr s r ,,,,11111 ，，,使与矩阵A 相应的线性变换A 在该基下的矩阵成若尔当标准形J,且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ελεεελεr r A A 111111211111, ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ελεεελεr r A A s s s s s s s s 1211 ,若过度矩阵为P,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-S J J J J AP P211, 重排基向量的次序,使之成为一组新基1111,,,,,,1s sr r s εεεε ,则由新基到旧基的过渡矩阵为Q=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s r r r B B B21,其中B j r =jr ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 , 于是 A 1111,,,,,,(1s sr r s εεεε >=1111,,,,,,(1s sr r s εεεε >J ', 故A 在此新基下的矩阵即为上三角形 即存在可逆矩阵T=PQ,使AT T 1-成上三角形.8. 如果s A A A ,,,21 是线性空间V 的两两不同的线性变换,那么在V 中必存在向量a ,使a A a A a A s ,,,21 也两两不同.证 令V }{a A A V jiij =∈=ααα, <s j i ,2,1,=>,因为ij j i V A A ∈==0,000,故`ij V 非空.又因为s A A A ,,,21 两两不同,所以对于每两个j i A A ,而言,总存在一个向量β,使ββj i A A ≠,故ij V 是V 的非空真子集.设则,,ij V ∈βαββααj i i A A A A ==,,于是)()(βαβα+=+j i A A ,即ij V ∈+βα.又)()(ααααk A kA kA k A j j i i ===,于是ij V k ∈α,故ij V 是V 的真子空间. 1>如果ij V 都是V 的非平凡子空间,在V 中至少有一个向量不属于所有的ij V ,设),,,2,1,(s j i V ij =∉α则ααj i A A ≠<s j i ,,2,1, =>,即证: 存在向量α使αααs A A A ,,,21 两两不同.2>如果{ij V }中有V 的平凡子空间00j i V ,则00j i V 只能是零空间.对于这种00j i V ,只要取0α≠,就有ααj i A A ≠,故这样的00j i V 可以去掉.因而问题可归于1>,即知也存在向量α使αααs A A A ,,,21 两两不同.,.,:A V W V AW W 9.设是有限维线性空间的线性变换是的子空间表示由中向量的像组成的子空间证明)dim ())0(dim ()dim (1W W A AW =⋂+-.证 因为故上的线形变换也是,W A W A ⋂-)0(1是.的子空间W 设W A ⋂-)0(1的维数 为r,W 的维数为s.今在W A ⋂-)0(1中取一组基,,,21r εεε 把它扩充成W 的一组基,,,21r εεε s r εε ,1+, 则),,,,(121s r r A A A A A L AW εεεεε +==),(1s r A A L εε +,且s r A A εε,1 +线性无关,所以)dim ())0(dim ()dim (1W W A AW =⋂+-. 10.设,,A B n V 是维线性空间的两个线性变换证明：rank <AB >rank ≥<A >+n B rank -)(.证 在分别为在这组基下对应的矩阵设线性变换中取一组基B A V ,,A,B,则线性变换对应的矩阵为AB AB.因为B A ,线性变换,的秩分别等于矩阵AB A,B,AB 的秩,所以对于矩阵A,B,AB 有rank <AB>rank ≥<A>+n rank -)B (,故对于B A ,线性变换,也有ABrank <AB >rank ≥<A >+n B rank -)(.11.设22,,A A B B ==证明：1>,A B AB B BA A ==与有相同值域的充要条件是； 2>,A B AB A BA B ==与有相同的核充要条件是. 证1>必要性,若βαβααA B V AV BV B V BV AV =∈=∈∈=使故存在向量则任取,,,,,于是αβββB A A AB ===2,ββα=A 故有的任意性由,.同理可证 A A =β. 充分性,若=AB B ,A BA =,任取则有,V AV Aa ⊂∈BV Aa B BAa Aa ∈==)(,于是BV AV ⊂,同理可证AV BV ⊂,故BV AV =.。

第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数；是一固定的数；7） 把复数域上看作复数域上的线性空间，把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,A ≠)(αkk A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-==k A )(α， 故A 是P 3上的线性变换。

上的线性变换。

5) 是因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

习题习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。

证明：（1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则A 不可对角化。

证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。

（2）假设A 可对角化，即存在对角阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n B λλλO21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。

又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而E a a a a B nn 112211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与假设矛盾，所以A 不可对角化。

习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。

证明：（1）s V V V +++Λ21是直和；（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。

证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。

现用12,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121s s s s s ss s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。

第7章　线性变换1．设数域Ｐ上n×n 矩阵F 的特征多项式为f （x ）及从而对数域P 上多项式G （x ），degG （x ）≥1有（G （x ），f （x ））＝1当且仅当|G （F ）|≠0．证明：F 的特征多项式为f （x ）＝|xE －F|．于是f （a i ）＝|a i E －F|，i ＝1，2，…，m ，由于对数域Ｐ上非常数多项式G （x ）．（G （x ），f （x ））＝1当且仅当它们在复数域上没有公共根．设在复数域上G （x ）＝k （x －a 1）（x －a 2）…（x －a m ），k∈P，则当且仅当有某a i 使f （a i ）≠0时G （x ）与f （x ）有公共根．故（G （x ），f （x ））＝1当且仅当|g （F ）|≠0．2．n×n 复方阵A 称为幂零的，若有正整数k 使A k ＝0．证明：A 是幂零阵的充要条件是A 的全部特征值皆为零．证明：必要性．设λ0是A 的一个特征值，ξ≠0是属于λ0的特征向量．于是Aξ＝λ0ξ．则A k ξ＝ξ＝0．0kλ由于ξ≠0，故＝0，即λ0＝0．k充分性．A 的特征值全为零，故A 的特征多项式f （x ）等于x n （因f （x ）的根全为零）．由哈密顿-凯莱定理有A n ＝0，即A 是幂零的．3．n×n 复方阵A 称为半单的，如果A 相似于对角形．证明对n×n 复方阵A 存在n×n 复方阵B 及C 使得（1）A ＝B ＋C ；（2）B 是半单的，C 是幂零的；（3）BC ＝CB ．证明：A可相似于若尔当形矩阵，即有可逆阵T使T -1JT ＝A ，其中而令它们满足（1）B相似对角阵，故是半单的．（2）N i皆幂零，故C为幂零的．（3）λi E i与N i都交换，故B与C是交换的．（4）B＋C＝T-1JT＝A．完成了证明．4．证明与下述若尔当块证明：方法1 设B＝（b ij）满足AB＝BA．计算b1,n－1＝b2n＝0，b1n＝0，b11＝b22＝…＝b nn，b21＝b32＝…＝b n，n-1b31＝b42＝…＝b n，n-2，……b n-1，1＝b n2，b n1自由．故又可计算得故B ＝b 11E ＋b 21A ＋b 31A 2＋…＋b n1A n －1是A 的多项式．方法2运用空间观点．取n 维线性空间V ，给定一组基ε1，ε2，…，εn ．作线性变换使它在上述基下的矩阵为A ，于是有或这样基ε1，ε2，…，εn 可写成而V 中任一向量都是基的线性组合．设ε∈V，其中是的多项式．这证明了V 中任一向量ξ都是的某个多项式在这种线性变换作用在ε1上的像．现设是V 上的线性变换与交换．来证明是的某个多项式．，它必是，其中是的某个多项式，又对V 的任一向量，故与在V 的任一向量上的作用都相同．因此又设矩阵B 满足BA ＝AB ．作线性变换它在基ε1，ε2，…，εn 下矩阵为B ，且有于是是的一个多项式由线性变换的等式就得到对应的矩阵的等式B ＝f （A ）．5．求下列n 阶循环矩阵C 的特征值以及属于这些特征值的特征向量：解：有其中要证明为此可对k 作归纳法，k＝1显然成立．设k －1时等式已成立，对于k 时的情形，只要证。

习题7.4习题7.4.1设A 是一个n 阶下三角矩阵。

证明：（1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则A 不可对角化。

证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。

（2）假设A 可对角化，即存在对角阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n B λλλO21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。

又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而E a a a a B nn 112211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与假设矛盾，所以A 不可对角化。

习题7.4.2设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。

证明：（1）s V V V +++Λ21是直和；（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。

证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。

现用12,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121s s s s s ss s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。

第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3）在P 322 中，A(,,)(,,)x1xxxxxx；2312334）在P 3中，A(,,)(2,,)x1xxxxxxx2312231；5）在P[x]中，A f(x)f(x1)；6）在P[x]中，A()(),fxfx其中0 x P是一固定的数；07）把复数域上看作复数域上的线性空间，A。

nn中，A X=BXC其中B,CP 8）在P解1)当0时,是;当0时,不是。

nn是两个固定的矩阵.2)当0时,是;当0时,不是。

3)不是.例如当(1,0,0),k2时,k A()(2,0,0),A(k)(4,0,0), A(k)k A()。

4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有A()=A(x1y1,x2y2,x3y3)=(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1)=(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1)=A+A，A(k)A(kx1,kx2,kx3)(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1=k A()，3故A是P上的线性变换。

5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令u(x)f(x)g(x)则A(f(x)g(x))=A u(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=A f(x)+A(g(x))，再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)k A(f(x))，故A为P[x]上的线性变换。

6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x))，A(kf(x))kf(x0)k A(f(x))。

7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(A a)=i,A(ka)k A(a)。

第七章线性变换1.判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:1)在线性空间V 中，A ,其中 V 是一固定的向量;4) 在 P 3 中，A (X I ，X 2,X 3) (2X 15) 在 P[ X ]中，A f (x) f (x 1)6) 在P[ X ]中，A f (X) f(X o )，其中X o P 是一固定的数;7) 把复数域上看作复数域上的线性空间， A8)在P nn 中，A X=BXC 其中B,C P n n 是两个固定的矩阵.解1)当 0时,是;当 0时,不是。

2)当o 时，是；当 o 时，不是。

3)不是•例如当(1,0,0), k 2 时，k A ( ) (2,0,0) , A (k ) (4,0,0),A (k )k A()。

4)是•因取(X 1,X 2,X 3),(y 1, y 2, y 3),有A()= A(X 1y 「X 2 y 2 ,X 3 y 3)= (2X 1 2y 1 X 2 y 2,X 2 y= (2X 1X 2, X 2 X 3,X 1) (2y 1=A+ A ,A (k ) A (kX 1, kX 2, kX 3)(2kx 1kx 2, kx 2=k A (), 3故A 是P 上的线性变换。

5)是.因任取 f(x) P[x], g(x) P[ X],并令u(x) f(x) g(x)则A ( f (x)g(x)) = A u(x)=u(x 1) = f(x 1) g(x 1)=A f(x) + A (g(x)),再令 v( x) kf (x)则 A (kf (x)) A (v( x)) v(x 1) kf (x 1) k A ( f (x)),故A 为P[x]上的线性变换。

6)是.因任取 f (x)P[x], g(x) P[ x]则.A (f(x) g(x))=f(x 0) g(X 0 ) A ( f (x)) A (g(x)),2) 3) 在线性空间V 中，A 在 P 3 中,A(X l ，X 2,X 3)其中(X I 2,X 2V 是一固定的向量;2、X 3,X 3 )； X 2, X 2 X 3,X I ).X 3 y 3,X 1 yj y 2,y 2 y 3,y 1)(2kx 1kx 2, kx 2kx 3,kxjkx 3,kxjA(kf (x)) kf (x0) k A( f (x))。

第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

第七章 空间解析几何与向量代数§7.1 向量及其线性运算必作题：P300---301：1，3，4，5，6，7，8，9，12，13，15，18，19.必交题：1、 求点(,,)a b c 分别关于⑴各坐标面；⑵各坐标轴；⑶坐标原点的对称点的坐标. 解：（1） xoy 面（a,b,-c ）,yoz 面（-a,b,c ）, xoz 面（a,-b,c ）; (2）ox 轴（a,-b,-c ）, oy 轴（-a,b,-c ）, oz 轴（-a,-b,c ）; (2）关于原点（-a,-b,-c ）。

2、 坐标面上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征, 指出下列各点的位置(3,4,0),(0,4,3),(3,0,0),(0,1,0).A B C D -解：xoy 面：z=0， yoz 面：x=0， xoz 面：y=0.ox 轴：y=0,z=0， oy 轴：x=0,z=0， oz 轴：x=0,y=0， A 在xoy 面上，B 在yoz 面上， C 在x 轴上， D 在y 轴上。

3、 在z 轴上求与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点的坐标. 解：设C （0，0，z ），有|AC|=|BC|，解得：z=149，所求点为(0,0,149). 4、 设2,3,u a b c v a b c =-+=-+-试用,,a b c 表示23.u v - 解：235117u v a b c -=-+.5、已知两点1(4,2,1)M 和2(3,0,2),M 求向量12M M 的模，方向余弦和方向角.解：{}121,M M =-，122M M =，方向余弦为1cos 2α=-，cos 2β=-，1cos 2γ=，方向角23πα=，34πβ=，3πγ=.6、设向量a 的模2,a =方向余弦1cos 0,cos ,cos ,22αβγ===求.a解：设{},,a x y z =，则02x =，122y =，22y=，所以0x =，1y =，z ={0,1,3a =7、设有向量12,PP 122,PP=它与x 轴、y 轴的夹角分别为34ππ和，如果已知1(1,0,3),P 求2P 的坐标.解：设2P 的坐标为(,,)x y z ，{}121,,3PP x y z =--，11cos 232x π-==，所以2x =；cos 242y π==，所以y =122,PP =，所以2=，解得2z =或4z =，所以2P 的坐标为2)或者4).8、求平行于向量}{6,7,6a =-的单位向量.解：364911a =+=，与a 平行的单位向量为}{16,7,611±-，即为}676,,111111⎧-⎨⎩，或者}676,,111111⎧--⎨⎩.§7.2 数量积 向量积 混合积必作题： P309--310：1，2，3，4，6，7，8，9. 必交题：1、已知向量}{1,2,2a =-与{}2,3,b λ=垂直，向量}{1,1,2c =-与}{2,2,d μ=平行，求λμ和的值.解：a b ⊥，2620a b λ⋅=-+=，2λ=a b ，11222u-==，4u =-. 2、已知向量23,3,2a i j k b i j k c i j =-+=-+=-,分别计算以下各式.⑴((a bc a c b -））； ⑵()()a b b c +⨯+；⑶()a b c ⨯. 解：⑴((88824a bc a c b c b j k -=-=--）） ⑵()()(344)(233)a b b c i j k i j k j k +⨯+=-+⨯-+=--⑶231()1132120a b c -⨯=-=-.3、已知3,3OA i k OB j k =+=+，求ABO ∆的面积. 解：33OA OB i j k ⨯=--+ABO ∆的面积11922S OA OB =⨯=. §7.3 曲面及其方程必作题：P318--319：1、2、5、6、7、8、9、10. 必交题：1、一动点与两定点()()2,3,14,5,6A B 和等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设动点(,,)P x y z ，因为PA PB =，所以222222(2)(3)(1)(4)(5)(6)x y z x y z -+-+-=-+-+-，解得动点的轨迹方程为632252x y z ++=. 2、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形. ⑴1y x =+； ⑵224x y +=； ⑶221x y -=； ⑷22x y =； ⑸220x y +=.解：⑴直线；平面 ⑵ 圆；援助面 ⑶ 双曲线；双曲柱面⑷抛物线；抛物柱面⑸原点；Oz坐标轴3、说明下列旋转曲面是怎样形成的.⑴2221499x y z++=；⑵222()z a x y-=+.解：⑴xOy坐标面上椭圆22149x y+=绕Ox轴旋转形成，或者xOz坐标面上椭圆22149x z+=绕Ox轴旋转形成。