高等代数（北大*第三版）答案
目录
第一章多项式
第二章行列式
第三章线性方程组
第四章矩阵
第五章二次型
第六章线性空间
第七章线性变换
第八章 —矩阵
第九章欧氏空间
第十章双线性函数与辛空间
注：
答案分三部分，该为第三部分，其他请搜索，谢谢！
第九章 欧氏空间
1.设()
ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而
),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,
在n R 中定义积βαβα'A =),(,
1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量
)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，
的度量矩阵；
3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见
βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑=
'A =j
i j i ij
y x a
,),(αααα，
由于A 是正定矩阵，因此
∑j
i j i ij
y x a
,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有
0),(=αα。
2)设单位向量
)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，
的度量矩阵为
)(ij b B =，则
)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a
2
1
22222
11211
)(010j ⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛ =ij a ，
),,2,1,(n j i =，
因此有B A =。
4) 由定义，知
∑=j
i j
i ij y x a ,),(βα
，
α==
β==
故柯西—布湿柯夫斯基不等式为
2.在4R 中,求βα,之间><βα,(积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。 解 1)由定义,得
012)1(32112),(=⨯+-+⨯+⨯=βα，
所以
2,π
βα>=
<。
2)因为
1813521231),(=⨯+⨯+⨯+⨯=βα， 1833222211),(=⨯+⨯+⨯+⨯=βα， 3633221133),(=⨯+⨯+⨯+⨯=βα，
2236
1818,cos =
>=
<βα，
所以
4,π
βα>=<。
3)同理可得
3),(=βα, 17),(=αα, 3),(=ββ, 773,cos >=
<βα，
所以
773cos ,1
->=<βα。
,,ij i j
ij
i j
i j
i j
a x y
a
y y ≤
∑
3. β
αβα-=
),(d 通常为βα,的距离，证明；
),(),(),(γββαβαd d d +≤。 证 由距离的定义及三角不等式可得
)()(),(γββαγαβα-+-=-=d
γββα-+-≤
),(),(γββαd d +=。
4在R 4中求一单位向量与()()()3,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1---正交。 解 设()4321,,,x x x x =α与三个已知向量分别正交，得方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+--=+-+0
32004321
43214321x x x x x x x x x x x x ， 因为方程组的系数矩阵A 的秩为3，所以可令 x 3,0,414213-===⇒=x x x ，即()3,1,0,4-=α。
再将其单位化，则 ()3,1,0,426
1
1-=
=αηa ， 即为所求。 5．设n α
αα ,,21是欧氏空间
V 的一组基，证明：
1） 如果V ∈γ使()(),,,2,10,n i i ==αγ，那么0=γ。
2） 如果V ∈21,γγ使对任一V ∈α有()()αγαγ,,21=，那么21γγ=。 证 1)因为n α
αα ,,21为欧氏空间
V 的一组基，且对V ∈γ，有
()()n i ,,2,10, =αγ ，
所以可设n n k k k αααγ ++=2211， 且有
()()
()()()
n n n n k k k k k k αγαγαγαααγγγ,,,,,22112211+++=+++=
即证0=γ。
