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第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+，(4) ∑='A =ji j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设:1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β，2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β，3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
高等代数北京大学第三版简介高等代数是数学中的一门重要课程，是数学的基础和核心课程之一。
北京大学的高等代数课程被广泛认为是高等代数学习中的经典教材之一。
本文将介绍北京大学第三版《高等代数》教材的主要内容和特点。
内容概述《高等代数北京大学第三版》是一本教材，由北京大学吴传荣、李建平合著。
全书共分为十五章，每章围绕一个主题展开讲解。
主要内容包括线性方程和矩阵、行列式、矩阵的相抵标准形及其应用、线性空间与线性变换、特征值与特征向量、正交线性变换与二次型、群、环和域等。
特点1. 详细而全面的内容本教材详细介绍了高等代数的各个重要概念和定理，并给出了充分的例题和习题来帮助学生掌握和巩固所学的知识。
每章的开头都给出了该章的学习目标，使学生能够清晰地了解该章的所学内容，并有针对性地学习。
2. 理论与实践相结合教材既注重理论的讲解，又注重实践的应用。
通过大量的实例和应用，教材将抽象的数学概念与实际问题相结合。
这有助于学生更好地理解数学原理，并在实践中灵活运用。
3. 重点突出，条理清晰教材对于重要的概念和定理都做了重点强调，并给出了详细的证明过程和推导。
条理清晰的内容安排使学生能够逐步建立起完整的知识体系。
4. 多样化的习题除了充分的例题之外，本书还提供了丰富的习题，涵盖了各个难度级别。
习题中融入了不同类型的问题，既能巩固基础知识，又能培养学生的综合运用能力。
习题的解答也提供了详细的步骤和解析，方便学生检查自己的答案和思考方式。
5. 适用范围广泛这本教材不仅适合北京大学的高等代数课程，也适合其他高校的相应课程。
无论是学生还是教师，都能从本书中获得很多学习和教学的帮助。
总结《高等代数北京大学第三版》是一本经典的高等代数教材，内容详细而全面，既注重理论讲解，又注重实际应用。
教材的特点包括多样化的习题和解答、重点突出、条理清晰以及适用范围广泛。
这本教材不仅帮助学生掌握高等代数的基本概念和定理，也培养了学生的分析问题和解决问题的能力。
讲课内容教课时数教课目的教课要点教课难点教课方法与手段教学过程第八章λ－矩阵第一讲λ－矩阵2 学时讲课种类讲解法与练习法使学生认识-矩阵的观点，以及-矩阵和数字矩阵的关系，基本掌握-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。
-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。
求 -矩阵的逆矩阵启迪式讲解，议论，练习n 阶矩阵A与对角阵相像的充要条件是A有 n 个线性没关的特点向量.那么当只有 m( m n) 个线性没关的特点向量时, A与对角阵是不相像的.对这类情况 ,我们“退而求其次” ,找寻“几乎对角的”矩阵来与A相像 .这就引出了矩阵在相像下的各样标准型问题 .Jordan 标准型是最靠近对角的矩阵而且其相关的理论包括先前相关与对角阵相像的理论作为特例 .其他 , Jordan 标准型的宽泛应用波及到 Hamilton-Cayley 定理的证明 ,矩阵分解 ,线性微分方程组的求解等等 .因为Jordan 标准型的求解与特点多项式相关,而从函数的角度看,特点多项式其实是特别的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对-矩阵的研究 .一、- 矩阵及其标准型定义 1称矩阵 A() ( f ij ()) 为-矩阵 ,此中元素f ij ( )(i1,2,L, m; j 1,2,L , n)为数域 F 上对于的多项式 .定义 2称 n 阶-矩阵A() 是可逆的,假如有A B B A I n并称 B( ) 为A() 的逆矩阵.反之亦然.定理 1 矩阵A() 可逆的充要条件是其队列式为非零的常数,即det( A( )) c0 .证明：（ 1）充足性设A=d 是一个非零的数. A*表示A() 的伴随矩阵 ,则d1A*也是一个-矩阵 ,且有A d 1 A* d 1 A*A I所以,A( ) 是可逆的.(2) 必需性设A() 有可逆矩阵B() ,则A B I两边取队列式有A B I1因为 A与 B都是多项式 ,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式 ,即都是非零常数 .证毕 .例题 1判断-矩阵2 +121A=11能否可逆 .解固然2 +121A=1=201A( ) 是满秩的,但A不是非零常数 ,因此A() 是不行逆的.注意与数字矩阵不一样的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必要的 ,可逆的实质就是要保证变换的矩阵能够经过非零常数的倒数逆回去.定义3假如矩阵A() 经过有限次的初等变换化成矩阵B() ，则称矩阵A( ) 与B()等价,记为A B定理2矩阵A()与B() 等价的充要与条件是存在可逆矩阵P、Q,使得B P A Q证明因为 A B, 所以A() 能够经过有限次初等变换变为B() ,即存在初等矩阵P( ),P( ),L ,P( )12s与初等矩阵Q1 ( ), Q2 ( ),L ,Q t ( )使得B( ) P( )P( )L P( )A( )Q( )Q( )L Q( )12s12t令P( ) P1 ( )P2 ( )L P s () ,Q( ) Q1( )Q2 ( )L Q t ( )就是所要求的-矩阵 .它们都是初等矩阵的乘积,进而使可逆的 .证毕 .定义 4矩阵 A() 的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1）最大公因式 D k称为 A() 的k阶队列式因子.定理 2等价矩阵拥有同样的秩和同样的各级队列式因子.证明设-矩阵A( )经过一次行初等变换化为了B() ，f () 与 g( ) 分别是A( )与B() 的 k 阶队列式因子.需要证明f( )= g().分3种状况议论：（ 1）A( )i , j B( ),此时,B() 的每个 k 阶子式或许等于A( ) 的某个k 阶子式,或许与A( ) 的某个阶子式反号,所以 , f ()是B() 的k阶子式的公因子 ,进而f ()| g() .（2）A( )i(c)B( ) ,此时,B( )的每个k阶子式或许等于A( )的某个 k 阶子式,或许等于 A() 的某个 k 阶子式的c倍.所以,f()是B() 的 k 阶子式的公因式 ,进而f()|g( ) .（3）A( )i j( )行与 j行的阶子式和B( ) ,此时,B( )中那些包括i那些不包括 i 行的 k 阶子式都等于A() 中对应的 k 阶子式； B() 中那些包括 i 行但不包括 j 行的 k 阶子式,按 i 行分红两个部分,而等于A( )的一个k阶子式与另一个 k 阶子式的( ) 倍的和,,也就是A() 的两个 k 阶子式的线性组合,所以,f( ) 是的k阶子式公因式进而 f( )| g().,对于列变换, 能够同样地议论.总之 , A() 经过一系列的初等变换变为B() ，那么f()|g() .又因为初等变换的可逆性, B( )经过一系列的初等变换能够变为 A() ,进而也有g( )| f() .当 A( ) 所有的阶子式为零时, B() 所有的 k 阶子式也就等于零；反之亦然.故 A() 与 B( ) 又同样的各阶队列式因子,进而有同样的秩.证毕.既然初等变换不改变队列式因子,所以 ,每个-矩阵与它的标准型有完整相同的队列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的,因此 ,在求一个-矩阵的队列式因子时 ,只需求出它的标准型的队列式因子即可.议论、练习与作业课后反省讲课内容教课时数教课目的教课要点教课难点教课方法与手段教学过程第二将λ－矩阵在初等变换下的标准型2讲课种类讲解课认识- 矩阵的初等变换，掌握求标准型的方法，掌握最小多项式的观点和求最小多项式的方法。
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并说明线性方程组的解的概念。
2. 线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则。
3. 线性方程组的解的性质：唯一性、存在性。
4. 线性方程组在实际应用中的例子。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，说明矩阵的元素、矩阵的行和列。
2. 矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法。
3. 矩阵的转置、共轭、伴随矩阵。
4. 矩阵的行列式、行列式的性质和计算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，说明线性空间的基、维数。
2. 线性变换的定义，线性变换的矩阵表示。
3. 线性变换的性质：线性、单调性、可逆性。
4. 线性变换的应用：线性映射、线性变换在几何上的意义。
四、特征值与特征向量1. 特征值、特征向量的定义。
2. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的计算方法。
3. 特征值和特征向量的性质：特征值的重数、特征向量的线性无关性。
4. 对称矩阵的特征值和特征向量。
五、二次型1. 二次型的定义，二次型的标准形。
2. 二次型的矩阵表示，矩阵的合同。
3. 二次型的性质：正定、负定、不定。
4. 二次型的判定方法，二次型的最小值和最大值。
六、向量空间与线性映射1. 向量空间的概念，包括基、维数和维度。
2. 线性映射的定义，线性映射的性质，如线性、单调性和可逆性。
3. 线性映射的表示方法，包括矩阵表示和坐标表示。
4. 线性映射的应用，如线性变换、线性映射在几何上的意义。
七、特征值和特征向量的应用1. 特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式和特征方程。
2. 特征值和特征向量的性质，如重数和线性无关性。
3. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质和计算。
4. 特征值和特征向量在实际问题中的应用，如振动系统、量子力学等。
八、二次型的定义和标准形1. 二次型的定义，包括二次型的标准形和矩阵表示。
2. 二次型的矩阵表示，包括矩阵的合同和相似。
3. 二次型的性质，如正定、负定和不定。
北大高等代数
北大高等代数是一门重要的数学课程，它是数学中的一支重要分支，是数学中的基础课程之一。
高等代数是一门研究代数结构的学科，它主要研究代数系统的性质和结构，包括群、环、域等代数结构的性质和结构。
北大高等代数课程的教学内容主要包括群论、环论、域论等内容。
群论是高等代数中的重要分支，它主要研究群的性质和结构，包括群的定义、子群、同态、正规子群、群的分类等内容。
环论是高等代数中的另一重要分支，它主要研究环的性质和结构，包括环的定义、子环、同态、理想、商环等内容。
域论是高等代数中的另一重要分支，它主要研究域的性质和结构，包括域的定义、子域、同态、理想、商域等内容。
北大高等代数课程的教学目标主要是培养学生的抽象思维能力和数学分析能力，使学生能够熟练掌握代数结构的基本概念和基本理论，能够运用代数结构的基本方法和技巧解决实际问题。
同时，北大高等代数课程还注重培养学生的创新能力和团队合作精神，使学生能够在团队中发挥自己的优势，共同完成学术研究和创新项目。
在北大高等代数课程的学习过程中，学生需要掌握一定的数学基础知识，包括微积分、线性代数、数学分析等内容。
同时，学生还需要具备一定的数学思维能力和数学分析能力，能够理解和运用代数结构的基本概念和基本理论，能够独立思考和解决实际问题。
北大高等代数是一门重要的数学课程，它是数学中的一支重要分支，是数学中的基础课程之一。
通过学习北大高等代数课程，学生可以掌握代数结构的基本概念和基本理论，培养抽象思维能力和数学分析能力，提高创新能力和团队合作精神，为未来的学术研究和创新项目打下坚实的基础。
第一学期第一次课第一章 代数学的经典课题§1 假设干准备知识1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或假设干种代数运算，这些运算满足一定的运算法那么，那么称这样的一个体系为一个代数系统。
1.1.2 数域的定义定义〔数域〕 设K 是某些复数所组成的集合。
如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四那么运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b 〔a 可以等于b 〕，必有K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，那么称K 为一个数域。
典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。
命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。
证明 设K 为任意一个数域。
由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。
于是K aaK a a ∈=∈-=10，。
进而∈∀m Z 0>,K m ∈+⋯⋯++=111。
最后，∈∀n m ,Z 0>，K n m ∈，K nmn m ∈-=-0。
这就证明了Q ⊆K 。
证毕。
1.1.3 集合的运算，集合的映射〔像与原像、单射、满射、双射〕的概念定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ⋂；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ⋃；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。
定义〔集合的映射〕 设A 、B 为集合。
如果存在法那么f ，使得A 中任意元素a 在法那么f 下对应B 中唯一确定的元素〔记做)(a f 〕，那么称f 是A 到B 的一个映射，记为).(,:a f a B A f →如果B b a f ∈=)(，那么b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并了解线性方程组的基本性质。
2. 掌握高斯消元法求解线性方程组，并能够运用该方法解决实际问题。
3. 了解克莱姆法则，并能够运用该法则判断线性方程组的解的情况。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性方程组的求解方法。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，并了解矩阵的基本性质。
2. 掌握矩阵的运算，包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。
3. 了解逆矩阵的概念，并掌握逆矩阵的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握矩阵的运算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，并了解线性空间的基本性质。
2. 掌握线性变换的概念，并了解线性变换的基本性质。
3. 了解特征值和特征向量的概念，并掌握特征值和特征向量的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性空间和线性变换的相关知识。
四、二次型1. 定义二次型，并了解二次型的基本性质。
2. 掌握二次型的标准形以及惯性定理。
3. 了解二次型的正定性以及其判定方法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握二次型的相关知识。
五、向量空间与线性映射1. 定义向量空间，并了解向量空间的基本性质。
2. 掌握线性映射的概念，并了解线性映射的基本性质。
3. 了解核空间以及秩的概念，并掌握核空间和秩的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握向量空间和线性映射的相关知识。
六、特征值和特征向量1. 回顾特征值和特征向量的定义，理解它们在矩阵对角化中的作用。
2. 学习如何求解一个矩阵的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式等方法。
3. 掌握特征值和特征向量在简化矩阵表达式和解决实际问题中的应用。
4. 提供例题，展示如何将一般矩阵问题转化为特征值和特征向量的问题，并教会学生如何解这些问题。
七、二次型1. 复习二次型的基本概念，包括二次型的定义、标准形和惯性定理。
2. 学习如何将一般二次型转化为标准形，以及如何从标准形判断二次型的正定性。
高等代数（北大高等代数（北大**第三版）答案第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ：1）123)(,13)(223+−=−−−=x x x g x x x x f ；2）2)(,52)(24+−=+−=x x x g x x x f 。
解1）由带余除法，可得92926)(,9731)(−−=−=x x r x x q ；2）同理可得75)(,1)(2+−=−+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有1）q px x mx x ++−+32|1，2）q px x mx x ++++242|1。
解1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=−+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=−=++012m q m p 时有q px x mx x ++−+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=−−+=−−010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=−−m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==1q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =−−=+；2）32(),()12f x x x x g x x i =−−=−+。
解1）432()261339109()327q x x x x x r x =−+−+=−；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=−−+=−+。
4．把()f x 表示成0x x −的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +−+−++−+⋯的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =−+=−；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+−+−++=−。
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4)∑='A =ji j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3))2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
