高等代数之二次型习题

第五章 二次型§1 二次型的矩阵表示[达标训练题]A 组一、填空题1．下列各式中 等于22212154x x x x ++.（A ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21215221),(x x x x ；（B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21215311),(x x x x ；（C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21215481),(x x x x ；（D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21215221),(x x x x . 2．上题中 是二次型22212154x x x x ++的矩阵. 3．二次型222121462x x x x ++的矩阵是 .4．二次型23323121432122),,,(x x x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是 .5 二次型⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21214221),(x x x x 的矩阵是 . 6．矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4331对应的二次型是 . 7．矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2131对应的二次型是 . 8．二次型经线性替换化为 . 二、判断题1．二次型AX X f '=经线性替换化为二次型BY Y g '=，B A ,是对称矩阵，则 ①B A ,等价；②B A ,合同.2．二次型AX X f '=经非退化线性替换化为二次型BY Y g '=，B A ,是对称矩阵，则①B A ,等价；②B A ,合同.3．若二次型BX X AX X f '='=，则B A =. 4．B A ,合同，则B A ,等价. 5．B A ,等价，则B A ,合同. 三、解答题1．若21,A A 合同，21,B B 合同，证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22B A 合同. 2．证明：如果A 是n 级对称矩阵，且对任意n 维向量X ，有0='A X X ，则0=A .B 组1．（选择）实方阵A 与单位矩阵E 合同，则必有 成立. （A ）0<A ；（B ）0=A ；（C ）0>A ；（D ）不能确定. 2．证明：E E -,在复数域上合同，但在实数域上不合同. 3． 举例说明，B A ,合同，存在可逆矩阵,C 使AC C B '=，这里的C 不是唯一的.§1 二次型的矩阵表示[达标训练题解答]A 组一、填空题1．（A ）（B ）（C ）（D ）； 2.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； 3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4332；4.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000001121010102110；5.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4001； 6， 22212146x x x x ++； 7.22212122x x x x ++; 8.二次型. 二、判断题 1.F ； 2.T ； 3.F ；4.T ； 5.F. 三、解答题1．证明 根据条件存在可逆的21,C C ，使2222111,B BC C A C A C ='='，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100C C C ，则C 可逆，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'2211B A C B A C .故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛22B A 合同.2．证明：如果取Ti X )0,0,1,0,0()( =利用已知条件可以得出),2,1(0n i a ii ==，在取T j i X )0,0,1,0()()( =，利用已知条件容易得出)(0j i a ij ≠=.证毕.B 组1．（C ）2. 证明：在复数域上取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i i C ，即得E EC C -='.而在实数域上对任意的可逆矩阵C ，EC C '的主对角线上元素是C 的行向量元素的平方和，不可能是-1.故E EC C -='不成立.3．例如，取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==2001B A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121C ，则B AE E AC C ='='.§2 标准形[达标训练题]A 组1． 分别用配方法和合同变换法将下列二次型化为标准形，并求所用的线性替换：（1）32312122216223x x x x x x x x -+--；（2）323121224x x x x x x --.2． 求证⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ 21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i ii λλλ21合同.其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列.3． 用合同变换将下列对称矩阵为对角矩阵.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022,542452322B A4． 证明：秩为r 的对称矩阵可以表示成r 个秩为1的对称矩阵之和.B 组1． 化下列二次型为标准形，并写出所用的非退化的线性替换：（1）323121232221844532x x x x x x x x x --+++；（2）112221+-+++n n n n x x x x x x .2． 证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211A AA A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1211112221100A A A A A 合同，其中11A 为可逆的对称矩阵.§2 标准形[达标训练题解答]A 组1．解（1）用配方法：23223212332223231213322213231212221)21(4)()41(4)222(6223x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=++--+-++=-+--⎪⎩⎪⎨⎧==+=+-33232132121z x z x x z x x x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+=3332232112123z x z z x z z z x ， 则22213231212221416223z z x x x x x x x x -=-+--.(2)用合同变换法二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=031331111A ，对A 施行合同变换： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----10021102311000040001100010111020040001100010001031331111，所以令CY X =，则2221323121222146223y y x x x x x x x x -=-+--.其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10021102311C .（2）配方法 令⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211xy x x y x x y ，则23222123222312322233121322221323121242)21(42)41(4444224z z z y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x --=---=--+-=--=--其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=332231141yz y z y y z .对两个线性替换合成得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=33323118583z x z x z z x .合同变换法：二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=011102120A ，对A 施行合同变换：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1001032115121151000500041004121141211412102150004100011001011142124100010001011102120，所以令CY X =，2322213231215154224y y y x x x x x x --=--，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10010321151211C . 2.证明：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21对应的二次型是2222211)(n n x x x X f λλλ+++= .作非退化的线性线性替换：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===in n i i x y x y x y 2121，则二次型化为2222121)(n i i i y y y X f n λλλ+++= ，而2222121)(n i i i y y y X f n λλλ+++= 的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i i λλλ 21.故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ 21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i ii λλλ21合同.其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列.3． 解：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100321031113500030002100010111320230002100010001542452222E A ，取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10032103111C ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='3532AC C . （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100210211000010002100010011020210002100010001020212022E B .， 取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100210211C ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='012BC C . 4． 证明：设A 为秩为r 的矩阵，则存在可逆矩阵C ，使Cd d C A r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=001，令rr r DD D d d d d++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111000000，则C D C C D C C D C A r '++'+'= 21，其中),,2,1(r I C D C i ='为秩为1 的矩阵.B 组1． 解（1）323121232221844532x x x x x x x x x --+++23232232113)4()(2x x x x x x --++-= 令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y C x x x ，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100410311C . （2）112221+-+++n n n n x x x x x x ，令2211n y y x +=,2,1++=n n n y y x211++-=n n n y y x yy y x nn 2,,212-= ，则2221224232221112221n n n n n n y y y y y y x x x x x x -++-+-=+++-+- .所用的非退化的线性替换为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==2121212121212121, C CY X 2 . 证明：因为=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎪⎪⎭⎫⎝⎛--212111122211211212111100E A A E A A A A E A A E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1211112221100A A A A A ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211A A A A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1211112221100A A A A A 合同.§3 唯一性[达标训练题]A 组一、填空题1．秩为r 的复二次型的规范形 ，秩为r 的复对称矩阵合同于对角矩阵 .2．复n 对称矩阵B A ,合同的充要条件是 ，B A ,等价的充要条件是 ，二次型Y B Y AX X '',经非退化的线性替换可以互化的充要条件是 .3． n 级实对称矩阵B A ,合同的充要条件是 ，B A ,等价的充要条件是 ，二次型Y B Y AX X '',经非退化的线性替换可以互化的充要条件是 .4． n 级复对称矩阵按合同分类共有 类. 5．n 级实对称矩阵按合同分类共有 类. 二、解答题1． 写出下列复二次型的规范形(1)22212)1()(ix x x i x f +--=; (2) 4321432122),,,(x x x x x x x x f +=. 2.将实二次型323121321622),,(x x x x x x x x x f -+=化为标准形，并求其秩、正负惯性指标和符号差.2． 实二次型的秩为r ，正负惯性指标分别为q p ,，证明r 与q p -有相同的奇偶性，且r q p r ≤-≤-. 4．nn KS S ⨯∈='，证明；存在nn KA ⨯∈，使A A S '=.B 组1． 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=906010604,233354345B A ，证明；B A ,在实数域上合同，并且求一实可逆矩阵P 使B AP P ='.2． 证明：任何一个n 级可逆复对称矩阵必合同于以下形式的矩阵之一..12,1000000;2,00+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛v n E E v n E E v v v v3． 证明：一个n 级实可逆矩阵必合同于下列形式的矩阵之一,000000,00000022⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--v n v vv n v v E E E E E E4． 设n 元实二次型f f -,可以经过非退化的线性替换互化，问f 的符号差应满足什么条件.§3 唯一性[达标训练题解答]A 组一、填空题 1.221r y y ++ ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011 ； 2.有相同的秩，秩相同；3.秩与惯性指标形同，秩与惯性指标相同；4.1+n ；5.)1(21+n n .二、 解答题1．解（1）22212)1()(ix x x i x f +--=矩阵的秩为 2 ，所以它的规范型是2221y y + .(2) 4321432122),,,(x x x x x x x x f +=的秩为 4 ，所以它的规范型是24232221y y y y +++.2．解 利用配方法或合同变换法容易求出它的规范型为：232221y y y -+，故其秩是3，正惯性指标2，负惯性指标为1，符号差1.3．证明：因为,2p r q p -=-所以r 与q p -有相同的奇偶性.又因为r q r p ≤≤≤≤0,0，所以r q p r ≤-≤-.4．证明：设矩阵的秩为r ，则BC C S '=，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011 B ，显然B B =2，因此BC A A A BC BC BBC C BC C S ='='='='=,)()(.B 组1．解 容易利用合同变换把⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=906010604,233354345B A 化成与它们合同的标准型.然后求出可逆矩阵 P 使B AP P ='.2．证明：法一）由复对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩，于是对可逆的复对称矩阵如果是偶数级的合同于00v vE E ⎛⎫⎪⎝⎭，如果是奇数级的则合同于0000.001vv E E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭法二）对于2n v =11221100022v v v v v v v v v v v v v v v v v E E E E E E E E E E E E E E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭v v v v v v v v v v v v v v v v v E E E E E E E E E E E E E E E E E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 在复数域上v v v v v v v v E E E E iE E iE E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭利用传递性，2n v =得证.21n v =+，只需考察000001v v E E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭即可.3．证明：由111110*********222⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭设实对称矩阵A 的正、负惯性指标分别是,p q当2np q v===，A 与矩阵vv E E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭合同，于是A 与矩阵v v E E ⎛⎫⎪⎝⎭合同；p q n p v >=-=时 2q n qq E E E -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭与2q qn q E E E -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，A 与矩阵200v v n v E E E -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭合同；v p q n p =<=-00vn v E E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭与2v vn v E E E -⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎝⎭合同A 与20000v v n v E E E -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭合同.4．显然秩相同，符号差相反.§4 正定二次型[达标训练题]A 组一、填空题1． 二次型),,,(21n x x x f 称为正定的，如果对于任意一组 的 n c c c ,,,21 都有),,,(21n c c c f ，f 的规范形是 .2． 二次型),,,(21n x x x f 称为半正定的如果对任意一组 n c c c ,,,21 都有),,,(21n c c c f ，其规范形为 .3．负定二次型的规范形是 .4．设B A ,是n 级正定矩阵，下列矩阵 是正定的.)0,(),0(,,,,,,,,1*>+≠'±''-l k lB kA C AC C B A AB A A kA A A A A n . 二、解答题1. 用三种方法证明二次型323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=是正定的.2． t 取何值时，二次型32312123222132122232),,(x tx x x x x x x x x x x f +-+++=是正定的.3．若A 是可逆方阵，证明A A A A '',正定.B 组1． 判断下列二次型是否正定（1）∑≠=ji ji n x x x x x f ),,,(21 ；（2）∑∑≠=+=j i ni ji in x x x x x x f 1221),,,( .2． 假设二次型),,,(21n x x x f 对任意的一组全不为0的实数n c c c ,,,21 ，都有0),,,(21>n c c c f ，问),,,(21n x x x f 是否为正定.3． 证明n 级实对称矩阵A 正定的充分必要条件是它的任意主子式全大于零.所谓主子式是指行标与列标相同的子式.4． 证明n 级实对称矩阵A 半正定的充分必要条件是它的任意主子式非负.所谓主子式是指行标与列标相同的子式.5． 设)(ij a A =是一个n 级正定矩阵，证明nn a a a A 2211≤，等号成立的充要条件是A 为对角形矩阵.§4 正定二次型[达标训练题解答]A 组一、填空题1．非零的，0>，22221n y y y +++ ；2.实，非零的，0≥，)(22221n r y y y r ≤+++ ； 3.22221n y y y ---- ；4.)0,(),0(,,,,1*>+≠''-l k lB kA C AC C A A A A n . 二、解答题1．解：（1）配方法=--+++=323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f 2221(2x x +)22232312123x x x x x x x --++2323322235)9434((3x x x x x ++-+=2321)(2x x x --+2323235)32(3x x x +-=232221y y y ++. 所以正定.（2）合同变换法对二次型矩阵进行合同变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1530152310151312110001000110032103111350030002100010111320230002100010001542452222，即二次型矩阵 是正定的，从而二次型正定.（3）求二次型矩阵的特征值，容易得出二次型矩阵的特征多项式为)9)(2)(1(---x x x .矩阵的特征值都是大于0的，从而二次型正定.2．解：二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121111t t A ，12,1,1221++-==∆=∆t t A显然当2121012.,02+<<-⇔<-->t t t e i A 时二次型正定. 3． 证明：利用若实对称矩阵与单位矩阵合同则正定得出结论显然成立.B 组1．解（1）二次型矩阵的k 级主子式为0)21(021212102121210)(≠-==∆k k k k.因此二次型不是正定、半正定的，也不是负定半负定的.（2）二次型矩阵的k 级主子式为0)211()21(121212112121211)(>-+==∆k k k k，所以二次型正定.2．解：正定二次型指二次型),,,(21n x x x f 对任意的一组不全为0的实数n c c c ,,,21 ，都有0),,,(21>n c c c f .因此该题给出的条件不能说明),,,(21n x x x f 是否为正定.同时容易举出反例.3．证明n 级对称矩阵正定，而)0(212112*********n i i i a a a a a a a a a A k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k k ≤<<<≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 为A 的任意主子式所对应的一个k 级矩阵，二次型),,,(21n x x x f ，为正定，则对于任意不全为0 的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f ，从而对于任意不全为零的实数n i i i c c c ,,,21 都有)0.,0,,0,,0,,0,,0(1> k i i c c f 但对于文字为ni i i x x x ,,,21 而矩阵为k A 的二次型)0,,0,,0,0,0,,0(),,,(121 k n i i i i i x x f x x x g =，显然是正定的，故k A 的行列式大于0.4．证明 必要性 令n k n i i i k ,,2,1,021 =≤<<<≤且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n nn n a a a a a a a a a A 21222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k a a a a a a a a a A 2112221212111.设它们对应的二次型分别是),,,,(21n x x x f ),,(11k i i x x f . 若A 是半正定，即f 半正定，从而1f 半正定.于是存在实可逆矩阵k C ，使⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='k ii k k kC A C λλ 1)0(≥j i λ，从而02≥='k k k k kA C C A C ，故得0≥k A .充分性 设A 的主子式全大于或等于0， 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m m a a a a B 1111，则mm m m mmm m m mm m p p p a a a a a a a a a B E ++++=+++=+--λλλλλλλ111212222111211.其中i p 是m B 的一切i 级主子式之和. 故0≥i p ，从而当0>λ时0>+m m bB E λ.即对一切正实数λ，A E +λ正定.如果A 不是半正定，则存在不为0 的实向量Tn c c c X ),,,(210 =有00<-='a AX X ，于是取01200>='=∑=ni icaX X aλ，0)(00=+'X A E X λ，这与对一切正实数λ，A E +λ正定矛盾.故A 是半正定的.5．证明：设)(ij a A =是一个n 级正定矩阵，首先我们证明二次型0),,(1111111nnnnn n n y y y a a y a a y y f=负定.事实上⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'--Y A Y Y O AY A E Y Y A 11100，从而Y A Y A f 1-'-=，所以f 负定.其次我们证明1-≤n nn A a A ，其中1-n A 是1-n 级顺序主子式.由于11,11,11,11,1111,1,11,11,111,111000------------+=+=n nn nnn n n n n n n n n n n n n n n n n A a D a a a a a a a a a a a a a a a A其中),,(1,1,11,11,111,111,11-------==n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a f D.由于A 正定，从而1-n A 正定.因此由上面证明可知0≤D .即1-≤n nn A a A .显然当A 的第一行第一列除11a 外全为0 时等号成立.最后利用数学归纳法，就可以证明本题的结论.即nn a a a A 2211≤，且等号成立的充要条件是A 为对角形矩阵第五章 测试题A 卷一、填空题1．二次型⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121213821),(),(x x x x x x f 的矩阵是 ，当 时，线性替换CY X =是非退化的.2．21222132166),,(x x x x x x x f ++=的矩阵是 ，矩阵表示式是 .3．若B A ,是n 级正定矩阵，则AB B A B A ,,,1-'-中 不是正定的.4．两个实二次型经非退化的线性替换可以互化的充要条件是 .5．实二次型),,,(21n x x x f 是不定的，其规范形是 （q r ,分别是f 的秩与正惯性指标）.二、解答题1．用非退化的线性替换化下列二次型为标准形： （1）（配方法）4332214321),,,(x x x x x x x x x x f ++=；（2）（合同变换法）433221242322214321222),,,(x x x x x x x x x x x x x x f ++++++=. 2．t 取何值时，3231212322213212245),,(x x x x x x tx x x x x x f --+++=正定. 3．设A 是实反对称矩阵，证明2A E -正定.4．证明：22,(0)a b ac bc c bc c A B c b c bc c c ⎛⎫+++⎛⎫==≠⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭合同.5．令R a a a n ∈,,,21 ，证明：212112322221121)()()()(),,,(x a x x a x x a x x a x x x x f n n n n n n ++++++++=--正定的充要条件是0)1(1211≠-++n n a a a . B 卷一、选择填空1．A 是n 级反对称矩阵，对任意的n 维向量X 都有AX X '. （A ）0>；（B ）0<；（C ）等于0；（D ）不确定.2．实二次型可以分解为两个不成比例的实系数多项式，则它必有 .（A ） 秩为2；（B ）秩为0；（C ）秩为2符号差为0；（D ）秩为1.3．二次型f 经非退化的线性替换化为g ，则它们的矩阵B A ,满足 .（A ）等价； （B ）合同； （C ）存在P ， 使AP P B 1-=；（D ）存在Q P ,，使Q P PAQ B ,(=可逆）.二、 解答题1． 设A 为实对称方阵，证明，当ε充分小时，A E ε+是正定的. 2． 设S 是n 级复对称矩阵，证明存在复矩阵A ，使A A S '=.3． 设A 是n 级实对称矩阵，证明，存在实数c ，使对任一n 维向量X ，都有X cX AX X '≤'第五章 测试题解答一、 填空题1.0,3521≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；2.XX ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6331,6331；3.B A -；4.有相同的秩与正惯性指标； 5.rp p y y y y ---+++ 11. 二、解答题1．解：用配方法4332214321),,,(x x x x x x x x x x f ++=令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=+=43433212211y y x y x y y x y y x ，则2423222124243232231242443232332222331214323323122214332214141)21()21()21(41)41()41()41(z z z z y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x -+-=--+---=-+-+++-+-=-+---=++其中⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=44433322311212121y z y y z y y z y y z .对两个线性替换合成得到⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛432432111002121000211102111x x x x z z z z .2．解：用合同变换法：433221242322214321222),,,(x x x x x x x x x x x x x x f ++++++=的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100112002110011，下面对矩阵作合同变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10001311023210232114000031000030000110000311003210032111100131000030000110001100010001111001120023000011000010000100011110011100100000110000100001000011100111001110011故作线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==1000110210211,313232C CY X ，二次型化为242322214313y y y y +-+.2.解：二次型3231212322213212245),,(x x x x x x tx x x x x x f --+++=矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----t 11112125，显然其一级、二级顺序主子式大于零，其行列式为2-t 故当2>t 时二次型3231212322213212245),,(x x x x x x tx x x x x x f --+++=正定. 3． 证明： A 是实反对称矩阵， 容易证明2A E - 是实对称矩阵，对任意的n 维向量0≠x 有，0)()()()(2>'+'='+'=-'Ax Ax x x x A A E x x A E x .故 2A E -正定.4． 证明:对矩阵a b A b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭作合同变换 222a b ac bc ac bc c bc c A Bb c bc c bc c c ⎛⎫⎛⎫+++⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭)0(22,2≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c c c bc c bc c bc ac B c b b a A5． 证明：充分性：令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=n n n x x a y x a x y x a x y 132222111 ，则二次型212112322221121)()()()(),,,(x a x x a x x a x x a x x x x f n n n n n n ++++++++=-- 化为221n y y ++ ，容易计算线性替换的矩阵行列式等于0)1(1211≠-++n n a a a ，所以所给的线性替换是非退化的，因此二次型是正定的.必要性 若0)1(1211=-++n n a a a ,则线性替换不是非退化的,因此存在不全为0 的12,,,n x x x ,使1122231110,0,0,0n n n n n x a x x a x x a x x a x --+=+=+=+=故与正定矛盾,所以0)1(1211≠-++n n a a aB 组一、选择填空 1.（C ）；2.（C ）； 3.（A ）（B ）（D ）.二、解答题1．证明 由于对任意的正实数ε，)1(A E A E +=+εεε成立，所以当ε充分小时ε1充分大，利用北大高等代数教材习题知：AE +ε1为正定矩阵.故A E ε+是正定的.2．证明：设S 是n 级复对称矩阵，则存在可逆的复矩阵C 使A A C E C E C E E C C E C S r r r r r '=⎪⎪⎭⎫⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=)0()0(000.3.设A 是n 级实对称矩阵，证明，存在实数c ，使对任一n 维向量X ，都有X cX AX X '≤'证明：j nj i i j i nj i ijnj i j i ijx x a x x ax x aAX X ∑∑∑===≤=='1,1,1,=+≤∑=nj i ji x x a 1,222XX c x an x n x n a ni i n j j n i i '==+∑∑∑===121212)(2，其中ij a a max =.。

习题6.11．写出下列二次型的矩阵.（1）222123123121323(,,)f x x x x x x x x x x x x =+++++（2）12341223(,,,)f x x x x x x x x =-（3）1234135(,,,)246785T f x x x x X X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2．将二次型2221231231223(,,)32810f x x x x x x x x x x =+-+-表成矩阵形式，并求该二次型的秩.3．设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321000000a a a ，B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13200000a a a 证明A 与B 合同，并求可逆矩阵C ，使得B =TC A C ．4．如果n 阶实对称矩阵A 与B 合同，C 与D 合同，证明A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与合同.习题6.21．用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换.（1）22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++2．已知二次型2221231231223(,,)222f x x x x x x cx x x x =++++的秩为2.(1) 求c;(2) 求一正交变换化二次型为标准形.3．已知二次型2212323121323(,,)43248f x x x x x ax x x x x x =-+-+经正交变换化为标准形2221236,,f y y by a b =++求的值与所用正交变换.22224. 222444,,.x x ay z bxy xy yz y Q z a b Q ξηζηζ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+++++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=2已知二次曲面方程可经正交变换化为椭圆柱面方程求的值与正交矩阵5．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换.（1）222123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++6．在二次型f （x 1，x 2，x 3 ）=213232221)()()(x x x x x x -+-+-中，令⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=133322211xx y x x y x x y 得f =232221y y y ++可否由此认定上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3 ？为什么？若结论是否定的，请你将f 化为标准形并确定f 的秩.7．判断矩阵01111213A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与是否合同.习题6.31．判定下列实二次型的正定性.（1）2221231231223(,,)23442f x x x x x x x x x x =++-- （2）222123123121323(,,)23222f x x x x x x x x x x x x =---+-+（3）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =+- （4）∑∑≤<≤=+nj i jini ixx x1122． a 为何值时，实二次型222123123121323(,,)(2)22f x x x x a x ax x x x x x x =++++--是正定的.21013. 020,(),101A B kE A k B k B ⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭ΛΛ设矩阵其中为实数.（1）求对角阵，使与相似；（2）求参数的值，使为正定矩阵.习题六 (A)一、填空题1．二次型222123123121323(,,)23246f x x x x x x x x x x x x =+-+-+的矩阵为 .2．2123123(,,)()f x x x ax bx cx =++二次型的矩阵为.3．已知二次型的矩阵为124214447-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，则该二次型为.4．二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为.5．化二次型222123123(,,)43f x x x x x x =+-为规范形，所用的可逆线性变换矩阵为. 6．二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =++的规范形为 .7．已知实对称矩阵A 与矩阵100012022T X AX ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，则二次型的规范形为.8．已知2221231231223(,,)22f x x x x x x x x ax x =++++正定，则a =. 9．当t 满足, 2221231231213(,,)4242f x x x x x x tx x x x =---++是负定的. 10．已知二次型222123123121323(,,)222f x x x x ax x x x ax x x x =+++--的正、负惯性指数均为1，则a =.二、单项选择题1. 已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为2,则a =( ).(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 32. 设100020005A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 则下列矩阵中与A 合同的矩阵是( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001 (B)100020001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--500010002 (D)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300010002 3. , T T Tn f X AX A A X CY f Y BY ====如果元二次型（其中）可经可逆线性变换化为则下列结论不正确的是（）.(A) A 与B 合同 (B) A 与B 等价 (C) A 与B 相似 (D) A 与B 的秩相等 4. 设A, B 都是正定阵, 则( ).(A) AB, A + B 一定都是正定阵 (B) AB 是正定阵, A + B 不是正定阵 (C) AB 不一定是正定阵, A + B 是正定阵 (D) AB, A + B 都不是正定阵 5. 下列条件不能保证n 阶实对称矩阵A 为正定的是( ). (A) 1A -正定(B) 二次型f=X T AX 的负惯性指数为零 (C) 二次型f=X T AX 的正惯性指数为n (D) A 合同于单位矩阵22212312323123 (,,)(2)(23)(3)( ).() 1 () 1 () 1 ()1f x x x x ax x x x x x ax A a B a C a D a =+-+++++<-≠-≠>6.二次型正定的充要条件是7. 已知实对称矩阵A 满足A 2-5A+6E=O ,则A ( ).(A) 正定 (B) 半正定 (C) 负定 (D) 不定8. 已知二次型222123123121323(,,)22248f x x x x x x ax x x x x x =--+++经正交变换化为 222123227f y y y =+-,则a =( ). (A)1 (B) -1 (C) 2 (D)-2 9. 下列矩阵合同于单位矩阵的是( ).(A) 121242363⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (B)101040101-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛811172121 (D)212134244--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭10. 设矩阵211112111120A B A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭与矩阵，则与( ).(A) 合同且相似 (B) 合同但不相似(C) 不合同但相似 (D) 既不合同也不相似(B)1．已知22082006B a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于对角阵.（1）求a 的值；（2）求正交变换使二次型X T BX 为标准形.222123123121323123(,,)55266 2.(1);(2)(,,)1f x x x x x cx x x x x x x c f x x x =++-+-=2. 已知二次型的秩为求和二次型矩阵的特征值指出方程表示哪种二次曲面.3. 已知实二次型f=X T AX 中矩阵A 的特征值为1，2，5，A 属于特征值1与2的特征向量分别为12(0,1,1),(1,0,0),TTαα=-=求该二次型. 4．设二次型123(,,)f x x x 经正交变换1123212331232221231(22)31 (22)31(22)342,x y y y x y y y x y y y f y y y ⎧=++⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=-+⎪⎩=+-化为了标准形求该二次型。

第五章 二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。

1）4x 1 x 2 2x 1x 3 2x 2 x 3；4)8x 1x 4 2x 3x 4 2x 2x 3 8x 2x 4 ；5)x 1x 2 x 1x 3 x 1x 4 x 2x 3 x 2x 4 x 3x 4；解1 )已知f x 1,x 2,x 3 4x 1x 2 2x 1x 3 2x 2x 3，先作非退化线性替换x 1 y 1 y 2 x 2 y 1 y 2 ( 1)x 3 y 3则f x 1,x 2,x 3 4y 124y 224y 1y 322 2 24y 1 4y 1 y 3 y 3 y 34y 22y 1 y 3 3y 324y 22，再作非退化线性替换11 y 1z 1212y 2 z 2y 3 z 3则原二次型的标准形为最后将（ 2）代入（ 1），可得非退化线性替换为2) x 12 2x 1 x 2 2x 224x 2x 3 4x 32；3) x 123x 222x 1x 2 2x 1x 3 6x 2x 3；6) x 12 2x 22 x 424x 1x 2 4x 1x 32x 1x 42x 2x 3 2x 2 x 4 2x 3x 4；7) x 12 x 22 x 322x 42x 1x 2 2x 2x 32x3 x4 。

x 1,x 2,x 32 z124z 223)x 1x 212z 1 1 2z 1z 2z 21 2z 3 1 2z 3x 31 0111 022 T1100 1 000 100 1且有100 T AT0 4 00 1 2 ）已知f x 1,x 2,x 3x1 2x 1x2 2x 22由配方法可得f x 1,x 2,x 3 2 x 12x 1x 22 x 22x 1 x 2x 2于是可令 y 1 x 1 x 2y 2 x 22x 3 ，y 3x 3则原二次型的标准形为f2 2x 1,x 2 ,x 3y 1y 2，且非退化线性替换为 x 1 y 1 y 2 2y 3 x 2 y 2 2y 3x 3 y 3于是相应的替换矩阵为 4x 2 x 3相应的替换矩阵为 2x 22x 3 2，2 1 2 02，21， 2，14x 32，4x 2x 3 4x 320。