高等代数习题-二次型

第八章 二次型 习题精解1．（Ⅰ）用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果： 1）323121224x x x x x x ++-2）23322221214422x x x x x x x ++++ 3）32312122216223x x x x x x x x -+--4）423243418228x x x x x x x x +++ 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++6）4342324131212422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++ 7）43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++解 1）已知()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 先作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x （1）则()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2223233121444y y y y y y ++-+-= ()222333142y y y y ++--= 再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=33223112121zy z y z z y （2）则原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x （3）于是相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100211212102110001021021100011011T且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='100040001AT T2）已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++ 由配方法可得()()()233222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2322212x x x x +++=于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=333222112xy x x y x x y则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f += 且非退化线性替换为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321122yx y y x y y y x相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100210211T且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='000010001100210211420221011122011001AT T（3）已知()32312122213216223,,x x x x x x x x x x x f -+--=由配方法可得()()()23322223223231212132144222,,x x x x x x x x x x x x x x x x f ++-++-+-= ()()23223212x x x x x +---=于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=3332232112xy x x y x x x y则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f -= 且非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+=33322321121212321y x y y x y y y x相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1002121023211T 且有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='00001000110021210232110313311111212302121001AT T （4）已知()4232432143218228,,,x x x x x x x x x x x x f +++= 先作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=443322411y x y x y x y y x则()4232432441432182288,,,y y y y y y y y y x x x x f ++++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=232132142481212181212128y y y y y y y y32232128121218y y y y y +⎪⎭⎫ ⎝⎛++-3223212432124128121218y y y y y y y y y +⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+==4432332211z y z z y z z y z y则()2321243214321434528385218,,,⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=z z z z z z z x x x x f232222z z -+ 再令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++===++=43214332232118385214345z z z z w z w z w x x z w则原二次型的标准形为()4321,,,x x x x f 242322218222w w w w +-+-= 且非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=-=+=+--=4143233224321121434521w w x w w x w w x w w w w x相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1021011001101434521T 且有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='8000020000200002AT T （5）已知()4321,,,x x x x f 434232413121x x x x x x x x x x x x +++++= 先作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=4433222112y x y x y x y y x则()4321,,,x x x x f 4342413231222122222y y y y y y y y y y y y y ++++++=()2124243243214321y y y y y y y y --⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=再作非退化线性替换⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+++==44433432121121y z y y z y y y y z y z 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--+-==4443343212112121zy zz y z z z z y z y则原二次型的标准形为()4321,,,x x x x f 2423222143z z z z --+-= 且非退化线性替换为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=--+-=--+=444334321243211212121z x z z x z z z z x z z z z x相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1000211002111121111T 且有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---='4300010000100001AT T（6）已知()4321,,,x x x x f 4131212422212442x x x x x x x x x +++++=434232222x x x x x x +++ 由配方法可得()4321,,,x x x x f ()()[]243243212122222x x x x x x x x ++++++=()43423224222432222222x x x x x x x x x x x +++++++-()()243243224321212123222x x x x x x x x x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++=于是可令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=+++=44433432243211212322x y x x y x x x y x x x x y 则原二次型的标准形为232221212y y y f +-= 且非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+-=-+-=44433432243211232y x y y x y y y x y y y y x 故替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=10001100123101121T 且有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='00000210000200001AT T （7）已知()4321,,,x x x x f 43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++=由配方法可得()4321,,,x x x x f ()()[]24433123131222222x x x x x x x x x x x ++-++++= ()()2324432331232122x x x x x x x x x x -+++-++= ()()2121233124323212x x x x x x x x x x +---++++=()()()231243232121x x x x x x x x +-+++++=于是可令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=++==314433321211x x y x x y x x x y x y则原二次型的标准形为24222221y y y y f -++= 且非退化线性替换为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=-==431441342211y y y x y y x y y x y x相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1101100110100001T且有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='1000010000100001AT T（Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。

第五章二次型习题答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第五章 二次型本章课后习题全解习 题（P232-P234）1．（Ⅰ）用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果： 1）323121224x x x x x x ++-；2）23322221214422x x x x x x x ++++； （Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换．解 （Ⅰ）1）设()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=，此二次型不含有平方项，故作非退化线性替换11221233,,,x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 并配方，得到()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2223233121444y y y y y y ++-+-= 2221332(2)4y y y y =--++， 再作非退化线性替换11322332,,.z y y z y z y =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 即 113223311,22,.y z z y z y z ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩于是，原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=， 并且，所经过的非退化线性替换为112321233311,2211,22,x z z z x z z z x z ⎧=++⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪⎩写成矩阵形式即为=X CY ，其中1112211122001⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭C ．根据矩阵验算，得11111022********1111010110402211110001001122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪'=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭C AC ．2）设123(,,)f x x x =23322221214422x x x x x x x ++++． 解法1 配方法．对原二次型进行配方，得()222222123112222331223,,(2)(44)()(2)f x x x x x x x x x x x x x x x =++++=+++，于是，令11222333,2,,y x x y x x y x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 则原二次型的标准形为2212312(,,)f x x x y y =+， 且所作的非退化线性替换为1123223332,2,.x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 相应的替换矩阵为112012001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭C ，验算，得100110112100110122012010221024001000-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪'=--= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C AC ．解法2 矩阵的合同变换法（见本章教材内容全解之标准形的求法）．对⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭A E 施行初等变换，得110100100122012010024024000100110112010010012001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫=→→= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E C Λ． 则原二次型的标准形为2212312(,,)f x x x y y '==+Y Y Λ， 所作的非退化线性替换为=X CY ，即1123223332,2,.x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 矩阵验证同解法１．（Ⅱ）1）根据（Ⅰ）已求得二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=， 且非退化线性替换为112321233311,2211,22,x z z z x z z z x z ⎧=++⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪⎩①在实数域上，再作非退化线性替换132231,1,2,z w z w z w =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 则有1123212331111,222111,222,x w w w x w w w x w ⎧=++⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪⎩可得原二次型的规范形为222123123(,,)f x x x w w w =+-． ②在复数域上，再作非退化线性替换112233,1,2,z iw z w z w =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 则有112321233311,22211,222,i x w w w i x w w w x w ⎧=++⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪⎩可得原二次型的规范形为222123123(,,)f x x x w w w =++． 2）根据（Ⅰ）已求得二次型()321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++=的标准形为 ()2212312,,f x x x y y =+， 且非退化线性替换为1123223332,2,.x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 此时，该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形()2212312,,f x x x y y =+．『特别提醒』这个题目使用了化二次型为标准形的两种常用的方法：配方法和矩阵合同变换法．3．证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21 与 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i ii λλλ21 合同，其中12n i i i 是1,2,,n 的一个排列．证法１ 设两个关于12,,,n x x x 和12,,,n y y y 的n 元二次型如下：222121122(,,,)n n nf x x x x x x λλλ=+++，122221212(,,,)n n i i i ng y y y y y y λλλ=+++． 那么12(,,,)n f x x x 和12(,,,)n g y y y 的矩阵即为题目中的两个矩阵．构造非退化的线性替换1212,,,n i i ni y x y x y x =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 则这个线性替换可以将二次型12(,,,)n g y y y 可化成12(,,,)n f x x x ．由于经过一次非退化的线性替换，新旧的两个二次型的矩阵是合同的，故题目中的两个矩阵是合同的．证法２ 设12n λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A 与 12n i ii λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ． 对A 交换,i j 两行，再交换,i j 两列，相当于对A 左乘和右乘初等矩阵(,)(,)i j i j '=P P 和(,)i j P ，而(,)(,)i j i j 'P AP即为将A 中的i λ和j λ交换位置得到的对角矩阵．于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将A 的主对角线上的元素12,,,n λλλ变成12,,,n i i i λλλ，这也相当于存在一系列初等矩阵12,,,s Q Q Q ，使得2112ss '''=Q Q Q AQ Q Q B ，令12s =Q Q Q Q ，则有'=Q AQ B ，即A 与B 合同．『方法技巧』证法１利用经过非退化线性替换前后两个二次型的矩阵是合同的这一性质；证法２利用了矩阵的合同变换，直接进行了证明． 7．判断下列二次型是否正定：1）2332223121217160130481299x x x x x x x x x +-++-； 2）23322231212128224810x x x x x x x x x +-+++； 3）jnj i ini i xx x ∑∑≤<≤=+112；『解题提示』利于教材中的定理7进行判别，即利用二次型的矩阵的顺序主子式进行判别．解 1）该二次型的矩阵为99624613030243071-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，由于顺序主子式1990P =>， 29960,6130P -=>- 37558740P ==>A ，故原二次型为正定二次型．2）该二次型的矩阵为10412421412141⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，由于A 的行列式1041242143588012141=-=-<-A ， 故原二次型非正定．3）设二次型的矩阵为1111a a a a a a a a a a aa ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中12a =．由于A 的任意k 阶顺序主子式k P 所对应的矩阵k A 与A 为同类型的对称矩阵，且11[(1)1](1)(1)02kk k k P k a a k -⎛⎫==-+-=+> ⎪⎝⎭A ，1,2,,k n =，故原二次型为正定二次型．8．t 取什么值时，下列二次型是正定的：1）3231212322214225x x x x x tx x x x +-+++； 2）32312123222161024x x x x x tx x x x +++++．解 1）该二次型的矩阵为1112125t t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，其各阶顺序主子式为110P =>，22111tP t t ==-，()311||1245125t P t t t -===-+-A ． 当顺序主子式全大于零，即210,(45)0t t t ⎧->⎨-+>⎩ 时，原二次型是正定的．解上面不等式组，可得054<<-t ． 于是，当054<<-t 时，原二次型是正定的．2）该二次型的矩阵为1543531t t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，其各阶顺序主子式为110P =>，22144tP t t ==-，23154330105531t P t t t ===-+-A ， 当顺序主子式全大于零，即2240,301050t t t ⎧->⎪⎨-+->⎪⎩ 时，原二次型是正定的．但此不等式组无解，于是，不存在t 值使原二次型为正定． 『方法技巧』对于具体的二次型，利用其矩阵的顺序主子式判别二次型是否正定是比较常用的．10．设A 是实对称矩阵，证明：当实数t 充分大之后，t +E A 是正定矩阵． 证明 设A 是一个n 级实对称矩阵，12(),(),,()n P t P t P t 是t +E A 的全部顺序主子式．显然t +E A 也是一个实对称矩阵，且其顺序主子式12(),(),,()n P t P t P t 都是首项系数为１的实系数多项式．由实函数的理论可知，存在充分大的M ，使得当t M >时，12(),(),,()n P t P t P t 全大于零．于是，当实数t 充分大之后，t +E A 是正定矩阵．11．证明：如果A 是正定矩阵，那么1-A 也是正定矩阵．证法1 由于A 是正定矩阵，从而A 是对称矩阵，则111()()---''==A A A ，即1-A 也是实对称矩阵．又因为A 是正定矩阵，故'X AX 是正定二次型，作非退化线性替换Y A X 1-=，得到11111()()()-----''''===X AX A Y A A Y Y A AA Y Y A Y ，根据非退化线性替换不改变二次型的正定性，所以1-'Y A Y 为正定二次型，从而1-A 是正定矩阵．证法2 由于A 是正定矩阵，从而A 是对称矩阵，则111()()---''==A A A ，即1-A 也是实对称矩阵．又因为A 是正定矩阵，故A 与单位矩阵E 是合同的，即存在可逆矩阵C ，使得''==A C EC C C ，从而11111111()()()(())()--------''''''====A C C C C C C C E C ，即A 也与单位矩阵E 是合同的．于是1-A 也是正定矩阵．『方法技巧』证法１利用了正定二次型与正定矩阵的对应，以及非退化线性替换不改变矩阵的正定性；证法２根据正定矩阵的等价条件直接进行了证明．13．如果,A B 都是n 级正定矩阵，证明：+A B 也是正定矩阵．证明 因为,A B 为正定矩阵，故,A B 都是n 级实对称矩阵，从而+A B 也是n 级实对称矩阵．设12(,,,)n x x x '=X 是任意一个非零列向量，根据,A B 是正定的可知()0'''+=+>X A B X X AX X BX ，故+A B 也是正定矩阵．『方法技巧』对正定矩阵和正定二次型的定义的考查．。

二次型基础练习及参考答案一. 填空题1、实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为 ，秩为 ，正惯性指数为 ，规范形为 .2、与对称矩阵合同的矩阵只能是 矩阵.3、复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由 所唯一确定.4、实二次型222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++正定i d ⇔ ，i=1,2,…,n.5、写出3级实对称矩阵所有可能的规范形：， ， ， ，， ， ， ，， . 6. 实二次型12(,,,)n f x x x =AX X T 正定⇔ ⇔ .二. 判断题1、设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使T C AC B =，则A 与B 合同. （ ）2、若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零. （ ）3、若A 为负定矩阵，则必有0A <. （ ）4、实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零. （ ）5、若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零. （ ）6、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型. （ ）7、若实二次型1211(,,,)nnn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的符号差为s ，令ij ij b a =-，则二次型1211(,,,)n nn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑的符号差为－s. （ ）三. 求二次型22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---的标准形，并写出所作的非退化线性替换.四. 证明题1. 证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使0=+P P A T .2. 设A, B 都是正定矩阵, 证明A+B 也是正定矩阵.3. 如果A 是正定矩阵, 证明1-A 也是正定矩阵.第五章 二次型基础练习及参考答案一. 填空题1、实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1332，秩为 2，正惯性指数为 1 ，标准形为22212112x x -，规范形为2221x x -. 二次型的矩阵必须是对称矩阵.2、与对称矩阵合同的矩阵只能是 对称 矩阵.设A 是对称矩阵, A 与B 合同, 则AC C B T =, 其中C 是可逆矩阵, 于是AC C C A C AC C B T T T T T T ===)(, 所以B 也是对称矩阵.3、复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由 它的秩 所唯一确定.因为复二次型的规范形为22221r y y y +++ , 其中r 是二次型的秩. 4、实二次型222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++正定i d ⇔ >0，i=1,2,…,n.该二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n d d d21, 二次型正定的充要条件是其矩阵的顺序主子式都大于零, 于是有0,0211>>d d d , 得0,03212>>d d d d 又, 得03>d ,…, 依次下去得所有n i d i ,...,2,1,0=>.反之,若n i d i ,...,2,1,0=>,则对于任意的nn Rc c c ∈),...,,(21,0),...,,(222221121>+++=n n n c d c d c d c c c f , 所以二次型正定.5、写出3级实对称矩阵所有可能的规范形：0 ， E ， -E ， E 11，-E 11 , E 11+E 22 , -(E 11+E 22) , E 11-E 22 ，E 11+E 22-E 33， E 11-E 22+E 33 6. 实二次型12(,,,)n f x x x =AX X T 正定⇔|A|的顺序主子式均大于零⇔ 对任意的n n R c c c ∈),...,,(21, 0),...,,(21>n c c c f .二. 判断题1. 设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使C AC B '=，则A 与B 合同. （ F ）应该是存在可逆矩阵.2、若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零. （ T ）3、若A 为负定矩阵，则必有0A <. （ F ）当A 是奇数阶矩阵时, 结论成立.4、实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零. （ T ）5、若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零. （ F ）正确答案应该是奇数阶的顺序主子式小于零, 偶数阶的顺序主子式大于零. 6、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型. （ T ） 非退化的线性替换不会改变二次型惯性指数.7、若实二次型1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的符号差为s ，令ij ij b a =-，则二次型1211(,,,)nnn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑的符号差为－s. （ T ）这是因为1211(,,,)n nn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑= -1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑, 所以它们的秩相等, 正负惯性指数互为相反数.三. 求二次型22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---的标准形，并写出所作的非退化线性替换. 写出该二次型的秩, 正惯性指数和符号差. 这是一个什么二次型(正定,负定,不定)解法1：用合同变换把二次型的矩阵化为对角形:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−−→−--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100431043114900040001434310001001103034000110001000103033101123231212r r c c r r c c E A . 经过非退化线性替换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132110043104311y y y x x x ，标准形为.494232221x x x +- 解法2. (配方法) 22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---=23232221322222149)43(4)(64)(x x x x x x x x x x ++--=--- 令⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=3332221143x y x x y x x y , 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+=3332232114343y x y y x y y y x , 则二次型化为标准形:222221231212231239(,,)32644f x x x x x x x x x y y y =---=-+. 该二次型的秩为3, 正惯性指数是2, 符号差为1. 这是一个不定二次型.四. 证明题1、证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使A ＋P ´P ＝0.证明：因为A 是负定矩阵，所以-A 是正定矩阵, 于是存在可逆矩阵Q 使得Q T (-A)Q=-E, 则A= --(Q T )-1Q -1, 令P=Q -1为所求.2. 设A, B 都是正定矩阵, 证明A+B 也是正定矩阵.证明: 由于A, B 都是正定矩阵, 所以AX X X f T =)(, BX X X g T =)(都是正定二次型, 所以对任意的n T n R c c c ∈=),...,,(21α,0)(,0)(>=>=ααααααB g A f TT0)(>+=+ααααααB A B A T T T , 所以A+B 也是正定矩阵.3. 如果A 是正定矩阵, 证明*A 和1-A 也是正定矩阵.证明: 因为A A A A A T T ==-1, 所以A 与1-A 合同, 由A 正定, 得1-A 正定.对于*A , 因为1*||1-=A A A , 由A 正定得|A|>0, 所以0||1>A . 再由1-A 正定得1-A 的所以顺序主子式均大于零, 而*A 的k 阶顺序主子式等于kA ||1乘以1-A 的一个相应的k 阶顺序主子式, 所以*A 的所有k 阶顺序主子式大于零. *A 正定.。

第六章 二次型1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T1111=B C A C ，因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T2222=B C A C .令 12⎛⎫=⎪⎝⎭C C C ，则C 可逆，于是有 TT 1111111T2222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B C A C C AC B C A C C A C 1T 2⎛⎫= ⎪⎝⎭A C C A 即 12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同.2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称证：由A 对称，故T=A A .因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T=B C AC ，于是T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B即B 为对称矩阵.3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使BP P AP P T T 与均为对角阵.证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使E AM M =T记T1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使T 11diag(,,)n D μμ==Q B QT 11,,.n μμ=B M BM 其中为的特征值令P=MQ ，则有D BP PE AP P ==T T ,,A B 同时合同对角阵.4．设二次型2111()mi in n i f ax a x ==++∑，令()ij m n a ⨯=A ，则二次型f 的秩等于()r A .证：方法一 将二次型f 写成如下形式：2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑设A i = 1(,,,,)i ij in a a a ),,1(m i =则 1111111jn i ij in i m mj mj m a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A于是 1T T T TT 11(,,,,)mi m i i i i m =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑A A A A A A A A A A故 2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑=1211[(,,)]i m j n ij i in a x x x a a =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑=11111[(,,)(,,)]i m j n ij i ij in j i in n a x x x x a a a a x a x =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑=1T11(,,)()mj n i i j i n x x x x x x =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑A A=X T(A TA )X因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ．方法二 设11,1,,i i in n y a x a x i n =++=. 记T 1(,,)m y y =Y ，于是=Y AX ，其中T 1(,,)n x x =X ，则222T T T 11()m i m i f y y y ===++==∑Y Y X A A X .因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ． 5．设A 为实对称可逆阵，Tf x x =A 为实二次型，则A 为正交阵⇔可用正交变换将f 化成规范形.证：⇒设i λ是A 的任意的特征值，因为A 是实对称可逆矩阵，所以i λ是实数，且0,1,,i i n λ≠=.因为A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵P ，在正交变换=X PY 下，f 化为标准形，即T T T T T1()diag(,,,,)i n f λλλ====X AX Y P AP Y Y DY Y Y22211i i n n y y y λλλ=++++ （*）因为A 是正交矩阵，显然T1diag(,,,,)i n λλλ==D P AP 也是正交矩阵，由D 为对角实矩阵，故21i λ=即知i λ只能是1+或1-，这表明（*）恰为规范形.⇐因为A 为实对称可逆矩阵，故二次型f 的秩为n . 设在正交变换=X QY 下二次型f 化成规范形，于是T T()f ==X AX Y Q AQ Y 222211r r n y y y y +=++---T =Y DY其中r 为f 的正惯性指数，diag(1,,1,1,,1)=--D .显然D 是正交矩阵，由T =D Q AQ ，故T=A QDQ ，且有T T ==A A AA E ，故A是正交矩阵.6．设A 为实对称阵，||0<A ，则存在非零列向量ξ，使T0<ξAξ. 证：方法一因为A 为实对称阵，所以可逆矩阵P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ==P AP D其中(1,,)i i n λ=是A 的特征值，由||0<A ，故至少存在一个特征值k λ，使0k λ<，取010⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξP ，则有T T0(0,,1,,0)10⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ξAξP AP 1(0,,1,0,0)kn λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭010⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0k λ=< 方法二（反证法）若∀≠X 0，都有T0≥X AX ，由A 为实对称阵，则A 为半正定矩阵，故||0≥A 与||0<A 矛盾.7．设n 元实二次型AX X T =f ，证明f 在条件122221=+++n x x x 下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．解：设f n 是λλλ,,,21 的特征值，则存在正交变换=X PY ，使2222211T T T )(n n y y y f λλλ+++=== Y AP P Y AX X设k λ是n λλλ,,,21 中最大者，当122221T =+++=n x x x X X 时，有122221T T T T =+++===n y y y Y Y PY P Y X X因此k n k n n y y y y y y f λλλλλ≤+++≤+++=)( 222212222211这说明在22221n x x x +++ =1的条件下f 的最大值不超过k λ．设 TT 10)0.,0,1,0,,0(),,,,( ==n k y y y Y 则 10T0=Y Yk n n k k y y y y f λλλλλ=+++++=22222211令00PY X =，则1T 00T0==Y Y X X并且k f λ===0T T 00T00)()(Y AP P Y AX X X这说明f 在0X 达到k λ，即f 在122221=+++n x x x 条件下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．8．设A 正定，P 可逆，则T P AP 正定.证：因为A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使T=A Q Q ， 于是 TTTT()==P AP P Q QP QP QP ，显然QP 为可逆矩阵，且T T T T ()()==P AP QP QP P AP ，即T P AP 是实对称阵，故T P AP 正定.9．设A 为实对称矩阵，则A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵B ，使AB +A B T 正定． 证：先证必要性取1-=B A ，因为A 为实对称矩阵，则2E A A E A B AB =+=+-T 1T )(当然A B AB T+是正定矩阵． 再证充分性，用反证法．若A 不是可逆阵，则r （A ）<n ，于是存在00,≠=X AX 使00因为A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有0 )()()(0T T00T 00T T 0=+=+AX B X BX AX X A B AB X这与AB T+AB B A 是正定矩阵矛盾．10．设A 为正定阵，则2*13-++A A A 仍为正定阵.证：因为A 是正定阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值全大于零，易见2*1,,-A A A全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故2*1,,-A A A 全是正定矩阵，2*13-++A A A 为实对称阵. 对∀≠X 0，有T 2*1T 2T *T 1(3)0--++=++>X A A A X X A X X A X X A X即 2*13-++A A A 的正定矩阵.11．设A 正定，B 为半正定，则+A B 正定.证：显然,A B 为实对称阵，故+A B 为实对称阵. 对∀≠X 0，T0>X AX ，T 0≥X BX ，因T ()0+>X A B X ，故+A B 为正定矩阵.12．设n 阶实对称阵,A B 的特征值全大于0，A 的特征向量都是B 的特征向量，则AB 正定.证：设,A B 的特征值分别为,(1,,)i i i n λμ=.由题设知0,0,1,,i i i n λμ>>=.因为A 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵1(,,,,)i n =P P P P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ=P AP即 ,i i i i λ=AP P P 为A 的特征向量，1,,i n =. 由已知条件i P 也是B 的特征向量，故1,,,i i ii i n μ==BP P因此 ()i i i i i i μλμ==ABP A P P ，这说明i i λμ是AB 的特征值，且0i i λμ>，1,,i n =.又因为 T 111diag(,,,,),i i n n λμλμλμ-==ABP P P P .故 11diag(,,,,)i i n n λμλμλμ=AB P P ，显然AB 为实对称阵，因此AB 为正定矩阵. 13．设n n ij a ⨯=)(A 为正定矩阵，n b b b ,,,21 为非零实数，记()ij i j n n a b b ⨯=B则方阵B 为正定矩阵．证：方法一 因为A 是正定矩阵，故A 为对称矩阵，即ji ij a a =，所以i j ji j i ij b b a b b a =，这说明B 是对称矩阵，显然211112*********222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =1111110000n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 对任给的n 维向量1(,,)T 0n x x =≠X ，因n b b b ,,,21 为非零实数，所以),,(11n n x b x b T 0≠，又因为A 是正定矩阵，因此有1111110000TT n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X BX X X =),,(11n n x b x b 1111n n nn a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11n n b x b x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0> 即B 是正定矩阵． 方法二 记211112121122121222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭B则因为A 是实对称矩阵，显然B 是实对称矩阵，B 的k 阶顺序主子阵k B 可由A 的阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵100n b b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭而得到，即=k B 1111110000k k k kk k a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 计算k B 的行列式，有012>=∏=k k A B ni i b故由正定矩阵的等价命题知结论正确．14．设A 为正定矩阵，B 为实反对称矩阵，则0>+B A .证：因为M 是n 阶实矩阵，所以它的特征值若是复数，则必然以共轭复数形式成对出现；将M 的特征值及特征向量写成复数形式，进一步可以证明对于n 阶实矩阵M ，如果对任意非零列向量X ，均有0T >MX X可推出M 的特征值(或者其实部)大于零． 由于M 的行列式等于它的特征值之积，故必有0>M ．因为A 是正定矩阵，B 是反对称矩阵，显然对任意的 非零向量X ，均有,0)(T >+X B A X而A +B 显然是实矩阵，故0>+B A .15．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n ⨯m 矩阵，则r (B TAB )=r (B )．证：考虑线性方程组T00==BX B ABX 与，显然线性方程组0=BXT 0=B ABX 的解一定是的解．考虑线性方程组T0=B ABX ，若0X 是线性方程组T 0=B ABX 的任一解，因此有0T 0=B ABX ．上式两端左乘有T0XT 00()()0=BX A BX因为A 是正定矩阵，因此必有00=BX ，故线性方程组0=BX 与 T0=B ABX 是同解方程组，所以必有r (B T AB )= r (B ).16．设A 为实对称阵，则存在实数k ，使||0k +>A E . 证：因为A 为实对称阵，则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i i λλλ-=P AP .其中i λ为A 的特征值，且为实数，1,,2i =. 于是11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E PP 1()ni i k λ==+∏取1max{||1}i i nk λ≤≤=+，则1()0nii k λ=+>∏，故 ||0k +>A E .17．设A 为n 阶正定阵，则对任意实数0k >，均有||nk k +>A E . 证：因为A 为正定矩阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值0,1,,i i n λ>=. 则存在正交矩阵P ，使1111,iin n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P AP A P P 于是对任意0k >，有11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E PP 1()n i i k λ==+∏1ni k =>∏n k =.18．设A 为半正定阵，则对任意实数0k >，均有||0k +>A E . 证：因为A 为半正定矩阵，故A 为实对称矩阵，且A 的特征值0i λ≥，1,,i n =. 则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i n λλλ-=P AP ，11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P于是对任意0k >，有11||||diag(,,,,)||i n k k k k λλλ-+=+++A E P P 1()ni i k λ==+∏n k ≥0>.19．A 为n 阶实矩阵，λ为正实数，记Tλ=+B E A A ，则B 正定.证：T T T T()λλ=+=+=B E A A E A A B ，故B 是实对称矩阵. 对∀≠X 0，有(,)0,(,)0>≥X X AX AX ，因此有TTT()λ=+X BX X E A A X T T Tλ=+X X X A AX (,)(,)λ=+X X AX AX 0>故 Tλ=+B E A A 为正定矩阵.20．A 是m ⨯n 实矩阵，若A A T 是正定矩阵的充分必要条件为A 是列满秩矩阵． 证：先证必要性方法一设A A T 是正定矩阵，故00∀≠X ，有0)()()(0T 00T T 0>=AX AX X A A X由此00≠AX ，即线性方程组0=AX 仅有零解，所以r (A )=n ，即A 是列满秩矩阵．方法二因为A A T是正定矩阵，故r(A A T)=n ，由于n r r n ≤≤≤)()(T A A A所以r (A )=n ． 即A 是列满秩矩阵．再证充分性：因A 是列满秩矩阵，故线性方程组仅有零解，0∀≠X ，X 为实向量，有0≠AX ．因此0),()()()(T T T >==AX AX AX AX X A A X显然A A T 是实对称矩阵，所以A A T 是正定矩阵．21．设A 为n 阶实对称阵，且满足2640-+=A A E ，则A 为正定阵.证：设λ为A 的任意特征值，ξ为A 的属于特征值λ的特征向量，故≠ξ0，则22,λλ==A ξξA ξξ由 2640-+=A A E 有 264-+=A ξAξξ02(64)λλ-+=ξ0由 ≠ξ0，故 2640λλ-+=.30λ=>.因为A 为实对称矩阵，故A 为正定阵.22．设三阶实对称阵A 的特征值为1,2,3，其中1,2对应的特征向量分别为T T 12(1,0,0),(0,1,1)==ξξ，求一正交变换=X PY ，将二次型Tf =X AX 化成标准形.解：设T3123(,,)x x x =ξ为A 的属于特征值3的特征向量，由于A 是实对称矩阵，故123,,ξξξ满足正交条件12312310000110x x x x x x ⋅+⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩ 解之可取3(0,1,1)=-ξ，将其单位化有T T T123(1,0,0),,===P P P令123100(,,)0⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪⎪⎝P P P P.则在正交变换=X PY下，将f化成标准形为T T T222123()23f y y y===++X AX Y P AP Y23．设1222424aa-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭A二次型Tf=X AX经正交变换=X PY化成标准形239f y=，求所作的正交变换.解：由f的标准形为239f y=，故A的特征值为1230,9λλλ===.故2122||24(9)24aaλλλλλλ---=--=----E A令0λ=，则12224024aa----=---解之4a=-.由此122244244-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭A对于12λλ==有1221220244000244000---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A可得A的两个正交的特征向量12222,112-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ对于39λ=，可得A 的特征向量为122⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量单位化得1232211112,1,2333122-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P则1232211(,,)2123122-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P P P P 为正交矩阵， 正交变换=X PY 为22112123122-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭X Y .注：因特征向量选择的不同，正交矩阵P 不惟一.24．已知二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =++-++正定，求k .解：二次型的表示矩阵1120101kk k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A由A 正定，应有A 的各阶顺序主子式全大于0. 故 102||0k k A ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即2220(2)0k k k k ⎧-<⎪⎨-->⎪⎩. 解之 10k -<<.25．试问：三元方程2221231213231233332220x x x x x x x x x x x x +++++---=，在三维空间中代表何种几何曲面.解：记222123121323123333222f x x x x x x x x x x x x =+++++---则 111232233311(,,)131(1,1,1)113x x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+--- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设 311131113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .则2||(2)(5)λλλ-=--E A . 故A 的特征值为1232,5λλλ===.对于122λλ==，求得特征向量为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ.由Schmidt 正交化得1212111,201⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ββ.对于35λ=得特征向量3111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，标准化得123,,0⎛⎛ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P 令123(,,)0⎛ ==⎝P P P P则在正交变换=X PY 下2221233225f y y y =++于是0f =为2221233225(1020y y y ++-= 为椭球面.26．求出二次型222123123123(2)(2)(2)f x x x x x x x x x =-+++-+++-的标准形及相应的可逆线性变换.解：将括号展开，合并同类项有2221231213234442f x x x x x x x x x =++--+2221231213234424x x x x x x x x x +++-+-2221231213234244x x x x x x x x x ++++--222123121323666666x x x x x x x x x =++---2221231213236()x x x x x x x x x =++---2221232323113336[()]22442x x x x x x x =--++-22123231196()()222x x x x x =--+- 令 1123223331122y x x x y x x y x⎧=--⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩即 11223311122011001y x y x y x ⎛⎫--⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭则可逆变换为1122331112011001x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭在此可逆线性变换下f 的标准形为2212962f y y =+. 27．用初等变换和配方法分别将二次型（1）222112412142432442f x x x x x x x x x =--++-+ （2）2122313262f x x x x x x =-+化成标准形和规范形，并分别写出所作的合同变换和可逆变换. 解：先用配方法求解（1）2221112142424(44)322f x x x x x x x x x =-+--++2221242424(22)66x x x x x x x =--+++-222124244(22)(3)3x x x x x x =--++--令 11242243344223y x x x y x x y x y x =-+⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即 11242243344243x y y y x y y x y x y =++⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩令 1204010300100001⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形22211243f y y y =-+-若再令11223344z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即11223344y z y zy z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 则原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形2221124f y y y =-+-.（2）先线性变换11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩原二次型化成22212132313232()6622f y y y y y y y y y y =--+++221213232248y y y y y y =--+2221322332()282y y y y y y =--+-222132332()2(2)6y y y y y =---+令113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即113223332y z z y z z y z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩. 令1110110001⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P ，2101012001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭P则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P z 化成标准形2222123226f z z z =-+若再令112233w w w ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 即11223322z w z w z w ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩令22⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P Qw 化成规范形2222123f w w w =-+.用初等变换法求解（1）设1202230100002102--⎛⎫⎪- ⎪=⎪⎪ ⎪-⎝⎭A41202100023010100()0000001021020001--⎛⎫⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A E 2121221021000010321000000001023020001r r c c +⨯+⨯--⎛⎫⎪- ⎪−−−→⎪⎪⎪--⎝⎭4141(2)(2)10001000010321000000001003062001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫⎪- ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭42423310001000010021000000001000034301r r c c +⨯+⨯-⎛⎫ ⎪⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭331000100001002100000000100001033r c -⎛⎫⎪⎪ ⎪→- ⎝⎭令 T11000210000104301⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，T21000210000100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=P则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211233f y y y =-+-. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2221124f z z z =-+-.（2）设011103130⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A3011100()103010130001⎛⎫⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭A E 3232(1)(1)010100103010036011r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪−−−−→- ⎪ ⎪--⎝⎭ 313133010100100010006311r r c c +⨯+⨯⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭1212210100100010006311r r c c ++⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭21211()21()2200110111000222006311r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭112233,,,10000100001266r c r c r c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→- ⎪ - ⎝⎭令 T111011022311⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭P ，T200⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎝P 则原二次型2f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22221231262f y y y =-+ 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2222123f z z z =-+28．用三种不同方法化下列二次型为标准形和规范形.（1）2221122332343f x x x x x =+++（2）222221234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++--+解：先用配方法求解（1）222112233423()33f x x x x x =+++22212332523()33x x x x =+++ 令 112233323y x y x x y x =⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ 即 112233323x y x y y x y =⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩令 1002013001⎛⎫⎪⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P则二次型1f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形 22211235233f y y y =++ 若再令1122333z z z y ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 即1122335y z y z y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩ 令35⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形2221123f z z z =++.（2）22222112142342334(22)22f x x x x x x x x x x x x =+-+++-+ 221243233424()222x x x x x x x x x x =+-+-++ 2222124324244()()(2)3x x x x x x x x x =+-+-+--+令 11242243234442y x x x y x x y x x x y x =+-⎧⎪=-⎪⎨=-++⎪⎪=⎩ 即 11242243234442x y y y x y y x y y y x y =--⎧⎪=+⎪⎨=++⎪⎪=⎩令 110101020*******--⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型2f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形2222212343f y y y y =-++若再令11223344z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即112233443y z y zy z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 原二次型2f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形222221234f z z z z =-++.用初等变换法求解（1）设200032023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A3200100()032010023001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A E 32322()32()320010003001052000133r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭112310000010000010155r c r c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪→ ⎪ - ⎝⎭令TT1200100010,0020130⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ - ⎪ ⎝⎭⎝P P 则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211235233f y y y =++. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2221123f z z z =++.（2）设1101111001111011-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A 41101100011100100()0111001010110001-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A E 2121(1)(1)10011000001111000111001011110001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭414110001000001111000111001001101001r r c c ++⎛⎫⎪-- ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 323210001000001111000112111001201001r r c c ++⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭343410001000000111000032011101201001r r c c ++⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 3232(2)(2)10001000000111000030211101001001r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭242410001000020101010030211101001001r r c c ++⎛⎫⎪ ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 42421()21()210001000020001010030211111100010222r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭223344100010000100000010333300010r cr cr c⎛⎫⎪→ ⎪-⎪-⎝令T1100001012111111022⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪⎪-⎪⎝⎭PT210000022⎛⎫⎪=-⎝⎭P则原二次型2f可经可逆线性变换1=x P y化成标准形2222212341232f y y y y=++-.2f可经可逆线性变换2=x P z化成规范形222221234f z z z z=++-用正交变换法求解（1）1f的矩阵为200032023⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A，由200||032(1)(2)(5)023λλλλλλλ--=--=-----E A，知A的特征值为1,2,5.对11λ=，解123100002200220xxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，取111⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭T，单位化1⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎝P，对22λ=，解123000001200210xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得1231xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取21⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P，对35λ=解123300002200220xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取311⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭T，单位化得322⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭P，令0102222⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭P，则P为正交阵，经正交变换=X PY，原二次型f化为T22212325f y y y==++X AX.（2）2f的矩阵为1101111001111011-⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪⎪-⎝⎭A由11011110||01111011λλλλλ-----=----E A2(1)(3)(1)λλλ=+--知A的特征值为1,3,1,1-.对11λ=-，解12342101012100,0121010120xxxx--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪-⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，取11111⎛⎫⎪- ⎪=⎪-⎪⎪⎝⎭T单位化得112121212⎛⎫⎪⎪⎪-⎪= ⎪⎪-⎪⎪⎪⎝⎭P，对23λ=，解12342101012100,0121010120xxxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.取 21111-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T 单位化得 212121212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P . 对341λλ==，解12340101010100,010*******x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得 12123410011001x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭取 341001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T ， 再令340202,002⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭P P 令11022110222110222110222⎛⎫- ⎪ --⎪= ⎪- ⎪ ⎝⎭P ，则P 为正交阵，经正交变换=X PY ， 原二次型f 化为T 222212343f y y y y ==-+++X AX .29．判断下列二次型正定，负定还是不定.（1）2221223121326422f x x x x x x x =---++解：二次型1f 的矩阵为211160104-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭AA 的各阶顺序全子式2112120,110,1603801614---<=>-=-<--. 所以二次型1f 是负定二次型.（2）22222123412131424343919242612f x x x x x x x x x x x x x x =+++-++--解：二次型2f 的矩阵为11211303209613619-⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1110,2013->=>-，1121306029--=>，11211303240209613619---=>--- 所以二次型2f 是正定二次型.（3）222231234131423147644f x x x x x x x x x x =+++++-解：二次型3f 的矩阵为10320120321402007⎛⎫⎪- ⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1010,1001>=>，103012103214-=>-，1320120330321402007-=-<-. 所以二次型3f 是不定二次型.30．求一可逆线性变换=X CY ，把二次型2221123121325424f x x x x x x x =++--化成规范形2221123f y y y =++，同时也把二次型22221231313233322242f x x x x x x x x x =++--- 化成标准形2222112233f k y k y k y =++.解：记T1f =X AX ，其中212150204--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A31213121121220021290115022040121001112010*********r r r r c c c c ++++⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭A E 323229292009002160091101292019001r r c c ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123123343410001000156610363004r r r c c c ⨯⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪−−−→⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭取5661036004⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪3 ⎪ ⎪⎝⎭P ，则T =P AP E 记 T2f =X BX，其中3012032122⎛⎫- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭B则T150036601210032061225133006644⎛⎫⎫⎪⎪⎛⎫-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B P BP5066104636113100234⎛⎫⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭314413444142⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪⎭2311113442⎛⎫== ⎪⎭B 其中231132⎛⎫ = ⎪⎭B 显然12,B B 都是实对称矩阵，它们的特征值为14倍的关系，特征向量相同.231||13λλλ---=--EB 30(3)14)1(3)04)4λλλλλ---=----2(4)0λλ=-=则2B 的特征值为230,4λλλ===，故1B 的特征值为0,1,1. 以下求2B 的特征向量.对于10λ=，求得11⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α，单位化后11212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪γ 对于234λλ==，求得2311,001⎛⎫⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα由Schmidt 标准正交化后得23121,20⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭γγ令123112211(,,)220⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪Q γγγ. 则Q 为正交矩阵，且有T T T 10()11⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Q B Q Q P BP Q令511662*********304⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭CPQ 23130⎫⎪⎪=⎪⎪⎭于是 TTT==Q P APQ Q EQ E即 T=C AC ET 011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C BC在可逆线性变换=X CY 下2221123f y y y =++22223f y y =+.（注：经验算本题所得C 是正确的，需要注意的是C 并不惟一）31．求一可逆线性变换=X PY ，将二次型f 化成二次型g .2221231213232938410f x x x x x x x x x =+++--222123121323236448g y y y y y y y y y =++--+解：Tf =X AX ，242495253-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ， T g =Y BY ，222234246--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B 将,A B 分别作合同变换如下：21313221323122242200200495011010253011000100121121010010011001001001r r r r r r c c c c c c -++-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E 在可逆线性变换1=X C Z 下22122f z z =+ 其中 1121011001--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C 21313221323122220020023401201024602400100111111010010012001001001r r r r r r c c c c c c ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E 在可逆线性变换2=YC Z 下22122g z z =+.其中 2111012001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭C由 12-=Z C Y 得1112-==X C Z C C Y令 1112121111136011012003001001001-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P C C 在可逆线性变换=X PY 下22122f g z z ==+.32．A 是正定矩阵，AB 是实对称矩阵，则AB 是正定矩阵的充分必要条件是B 的特征值全大于零．证：先证必要性．设λ 为B 的任一特征值，对应的特征向量为,,0≠X X 则 且有X BX λ=用A X T 左乘上式有AX X X AB X T T )(λ=因为AB ，A 都是正定矩阵，故0,0)(T T >>AX X X AB X于是0>λ，即B 的特征值全大于零．再证充分性．因为A 是正定矩阵，所以A 合同于单位矩阵，故存在可逆矩阵P ，使E AP P =T （1）由AB 是对称矩阵，知P AB P )(T也是实对称矩阵，因此存在正交矩阵Q ，使),,,,diag(])([1T T n i μμμ ==D Q P AB P Q （2）即有),,,,diag()()(1TT n i μμμ ==D PQ B A P Q （3）其中n i μμμ,,,,1 是P AB P )(T的特征值． 在（1）的两端左乘TQ ，右乘Q 有E PQ A P Q E Q AP P Q ==))(()(T T T T 即这说明)()(TTPQ A P Q 与互逆，也就是说1T T )()(-=PQ A P Q将上式代入（3），说明矩阵B 与对角阵D 相似，故它们的特征值相等；由条件知B 的特征值全大于零，因此对角阵D 的特征值也全大于零． 由（2）知AB 与D 合同，因此AB 的特征值全大于零．33．设,A B 为n 阶实正定阵，证明：存在可逆阵P ，使T =P AP E 且T 12diag(,,,)n λλλ=P BP ，其中120n λλλ≥≥≥>为||0λ-=A B 的n 个实根.证：因A 正定，故存在可逆矩阵1P ，使T 11=P AP E因B 正定，故存在可逆矩阵2P ，使T 22=B P P于是T T T T 1112212121()()==P BP P P P P P P P P易见T11P BP 为正定矩阵，不妨设它的特征值为120n λλλ≥≥≥>.则 TTT11111||||λλ-=-E P BP P AP P BP T11||||||λ=-P A B P 故 T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B 即 120n λλλ≥≥≥>为||0λ-=A B 的几个实根.由 T11P BP 为正定阵，知其为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q ，使 T T 1112()diag(,,,)n λλλ=Q P BP Q 令 1=P PQ ，则 TT 12,diag(,,,)n λλλ==P AP E P BP34．设A 为n 阶实正定阵，B 为n 阶实半正定阵，则||||+≥A B A . 证：因为A 是n 阶正定矩阵，所以存在n 阶可逆矩阵C ，使得T =C AC E . 因为B 是n 阶半正定阵，则TC BC 仍是实对称半正定阵，故存在正交阵Q ，使得1T T T 1()()diag(,,,,)i n D -===Q C BC Q Q C BC Q λλλ其中 0,1,,i i n λ≥=为T C BC 的特征值，且有T T ()=Q C AC Q E令=P CQ ，则P 为可逆矩阵，于是T T ,==P AP E P BP DT T T ()+=+=+P A B P P AP P BP E D上式两端取行列式，得T1||||||||(1)1ni i λ=+=+=+≥∏P A B P E D ||||||T =P A P因 T||||0=>P P ， 故 ||||+≥A B A .35．设,A B 均为实正定阵，证明：方程||0λ-=A B 的根全大于0.证：由33题知T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B . 其中T11P BP 为正交矩阵，它的特征值0i λ>，1,,i n =，故||0λ-=A B 的根全大于0.36．设A 为n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B ，使2B A =． 证：因为A 是正定矩阵，所以是实对称矩阵，于是存在正交矩阵P ，使12-1T n λλλ⎛⎫ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP P AP D 其中n λλλ,,,21 为A 的n 个特征值，它们全大于零．令),,,2,1(n i i i ==λδ 则21111222222n n n n δλδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D而 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A PDP P P 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P P 令 B =12Tn δδδ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P P显然B 为正定矩阵，且2B A =．37．设A 为n 阶可逆实方阵，证明：A 可表示为一个正定阵与一正交阵的乘积．证：因为A 是n 阶可逆实方阵，故TA A 是正定矩阵，所以存在n 阶正定矩阵B ，使T 2=A A B .于是有1T 11T T 11T 21()()()()------===AB AB B A AB B B B E这说明1-AB 是正交阵. 令 1-=ABQ则 =A QB ，其中Q 是正交矩阵，B 是正定矩阵.38．A 、B 为n 阶正定矩阵，则AB 也为n 阶正定矩阵的充分必要条件是：AB =BA ，即A 与B 可交换．证：方法一 先证必要性．由于A 、B 、AB 都是正定矩阵，所以知它们都是对称矩阵，因此有AB AB B B A A ===T T T )(,,于是BA A B AB AB ===T T T )(即A 与B 可交换．再证充分性． 由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．因为,A B 是正定矩阵，故它们皆为实对称矩阵，且有可逆矩阵P 、Q ，使Q Q B P P A T T ,==于是Q PQ P AB T T =上式左乘Q ，右乘1-Q 得)()()(T T T T T 1PQ PQ PQ QP Q AB Q ==-这说明AB 与对称矩阵)()(TTT PQ PQ 相似；因为P TQ 是可逆矩阵，故矩阵)()(TTT PQ PQ 是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零． 综合上述知AB 正定． 方法二必要性同方法一，以下证明充分性． 由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．由于A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使A=Q T Q于是T T T T 1()λλλ--=-=-E AB E Q QB E Q QBQ QT T 1T T T 1T T T 1T()()()()λλλ---=-=-=-Q E Q Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQT 00λλ-=⇔-=E AB E QBQ这说明AB 与TQBQ 有相同的特征值．因为B 是正定矩阵，易见TQBQ 也是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零．综合上述知AB 正定．39．设A 、B 为实对称矩阵，且A 为正定矩阵，证明：AB 的特征值全是实数． 证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=， 于是有T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ即T||0||0λλ-=⇔-=E AB E QBQ .因为B 是实对称矩阵，所以TQBQ 也是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数，故AB 的特征值也都是实数．40．设A 是正定矩阵，B 是实反对称矩阵，则AB 的特征值的实部为零． 证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ因为B 是实反对称矩阵，所以TQBQ 也是实反对称矩阵，因此它的特征值实部为零，故AB 的特征值实部也为零．41．设A 是正定矩阵，B 是半正定的实对称矩阵，则AB 的特征值是非负的实数． 证：由于A 是正定的，所以1-A 也是正定的，于是存在可逆矩阵P ，使得P P A T 1=-，因此1T T T 11T T 111T 11T 111T 1()()()()()λλλλλλλλ-------------=-=-=-=-=-=-=-E AB A A B A P P B A P E P BP PA P P E P BP A A E P BP E P BP E P BP即0)(01T 1=-⇔=---BP P E AB E λλ.由于B 是半正定的实对称矩阵，故1T1)(--BPP 是半正定的实对称矩阵，因此0)(1T 1=---BP P E λ的根是非负实数．于是0=-AB E λ的根也是非负实数，即AB的特征值是非负的实数．42．求证实二次型∑∑==++=n r ns sr n xx s r krs x x f 111)(),,( 的秩和符号差与k 无关．证：二次型的矩阵为22334(1)2344652(2)3465963(3)(1)2(2)3(3)22k k k nk n k k k nk n k k k nk n nk n nk n nk n n k n +++++⎛⎫ ⎪+++++ ⎪+++++= ⎪⎪⎪+++++++⎝⎭A。