高考数学提分专项复习平面向量奔驰定理

高考数学提分专项复习解析几何奔驰定理
1. 引言
解析几何是高考数学中的重要内容，其中的奔驰定理是一条核心定理。

本文将对奔驰定理进行详细解析，帮助学生在高考数学中取得更高的分数。

2. 奔驰定理的定义和原理
奔驰定理是解析几何中用于证明两直线平行的重要定理。

具体而言，当两直线被一对平行线截断时，所成的对应角相等。

3. 奔驰定理的应用
奔驰定理在高考数学中的应用广泛。

掌握了奔驰定理，可以用于解决平行线相关的几何问题，例如判定两条直线是否平行，求证两条直线平行的条件等等。

4. 解题示例
以下是一道应用奔驰定理的解题示例：
题目：已知线段AB和线段CD是两对平行线截断的边，若
∠ADE = 60°，求证∠BEC = 60°。

解析：根据奔驰定理，当两直线被一对平行线截断时，所成的
对应角相等。

因此，∠ADE = ∠BEC。

已知∠ADE = 60°，所以
∠BEC = 60°。

证毕。

5. 总结
奔驰定理是解析几何中的重要定理，对于高考数学来说至关重要。

掌握了奔驰定理的定义、原理和应用，可以在解决平行线问题
时轻松应对。

希望通过本文的解析，能帮助学生提高数学成绩，取
得更好的高考成绩。

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祝您在高考中取得优异的成绩！。

平面向量奔驰定理平面向量奔驰定理引言：平面向量是高中数学中的重要内容之一，它是向量的一种，具有方向和大小，可以进行加减乘除等运算。

本文将介绍平面向量的一个重要定理——平面向量奔驰定理。

一、定义1.1 平面向量平面上的一个有向线段称为平面向量，记作$\vec{a}$。

其中，有起点和终点分别为$A$和$B$，则$\vec{a}=\overrightarrow{AB}$。

1.2 平移在平面上，将一个图形沿着某个方向移动一段距离后所得到的新图形称为原图形的平移。

平移可以用平面向量来表示。

二、定理2.1 平行四边形法则对于任意两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的和$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$所对应的四边形是一个平行四边形。

证明：如下图所示，以$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$和$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$为邻边构造一个以$O$为顶点的平行四边形$OABC$。

连接$AC$和$BD$两条对角线，则由于对角线互相平分且相等，所以$AC=BD$。

又因为$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC }$，所以$\overrightarrow{OC}$是以$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$为邻边的平行四边形对角线。

得证。

2.2 平面向量奔驰定理对于任意两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的和$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$所对应的三角形的三条边上依次取一点$D,E,F$，则有：$$\frac{\overrightarrow{OD}}{\vec{a}}+\frac{\overrightarrow{OE} }{\vec{b}}+\frac{\overrightarrow{OF}}{\vec{c}}=\vec 0$$其中，$\overrightarrow {OD},\ \overrightarrow {OE},\\overrightarrow {OF}$分别表示向量$\vec a,\ \vec b,\ \vec c$的起点与点$D,\ E,\ F$的连线所组成的向量。

平面向量奔驰定理一、概述在平面向量的运算中，有一个重要的定理被称为奔驰定理。

奔驰定理是向量的加法与减法的一种推广，通过该定理，我们可以更加方便地进行平面向量的运算。

二、奔驰定理的表述奔驰定理表述如下：对于任意三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，有如下关系：a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗其中，0⃗⃗表示零向量。

三、奔驰定理的证明为了证明奔驰定理，我们可以利用向量的法则进行推导。

假设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，令d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，则有：d⃗+a⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗+a⃗d⃗+a⃗=a⃗+a⃗+b⃗⃗+c⃗d⃗+a⃗=2a⃗+b⃗⃗+c⃗同理，我们可以得到：d⃗+b⃗⃗=a⃗+2b⃗⃗+c⃗d⃗+c⃗=a⃗+b⃗⃗+2c⃗将以上三个等式相加，可以得到：d⃗+a⃗+d⃗+b⃗⃗+d⃗+c⃗=2a⃗+b⃗⃗+c⃗+a⃗+2b⃗⃗+c⃗+a⃗+b⃗⃗+2c⃗化简可得：3d⃗=6(a⃗+b⃗⃗+c⃗)再进一步化简得到：d⃗=2(a⃗+b⃗⃗+c⃗)即：a⃗+b⃗⃗+c⃗=1 2 d⃗由于d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，将其代入上式得到：a⃗+b⃗⃗+c⃗=12(a⃗+b⃗⃗+c⃗)进一步化简可得：a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗因此，奔驰定理得证。

四、奔驰定理的应用奔驰定理在向量运算中有重要的应用。

通过奔驰定理，我们可以方便地进行向量的加法和减法运算。

以下是一些常见的奔驰定理的应用场景：1. 向量相加设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，要求d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，则可以利用奔驰定理进行如下计算：d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗2. 向量相减设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，要求d⃗=a⃗−b⃗⃗−c⃗，则可以利用奔驰定理进行如下计算：d⃗=a⃗−b⃗⃗−c⃗=0⃗⃗3. 向量之间的关系判断对于已知的三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，如果已知a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗，则可以判断三个向量之间存在某种关系，比如共线、共面等。

五、总结通过对奔驰定理的学习和理解，我们可以更加灵活地进行平面向量的运算。

平面向量奔驰定理公式一、奔驰定理内容。

设O是ABC内一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为S_ BOC、S_ AOC、S_ AOB，且→OA=→a，→OB=→b，→OC=→c，则S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0二、证明（以向量法为例）1. 设→OA=→a，→OB=→b，→OC=→c- 因为ABC的面积S = S_ BOC+S_ AOC+S_ AOB- 对于→OA与→OB的夹角∠ AOB=α，→OB与→OC的夹角∠ BOC = β，→OC与→OA的夹角∠ COA=γ，且α+β+γ = 2π2. 根据向量的三角形面积公式。

- S_ AOB=(1)/(2)|→OA||→OB|sinα- S_ BOC=(1)/(2)|→OB||→OC|sinβ- S_ AOC=(1)/(2)|→OA||→OC|sinγ3. 要证明S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0- 以O为原点建立平面直角坐标系。

- 设A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)- 则→OA=(x_1,y_1)，→OB=(x_2,y_2)，→OC=(x_3,y_3)- 根据上述面积公式计算出S_ BOC、S_ AOC、S_ AOB，然后代入S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC中，通过向量运算可以得到结果为→0三、推论及应用。

1. 推论。

- 若O是ABC的重心，则S_ BOC=S_ AOC=S_ AOB，此时→OA+→OB+→OC=→0（因为重心将三角形面积三等分）2. 应用。

- 在解决与三角形内点相关的向量问题时，奔驰定理可以将向量关系转化为面积关系，或者将面积关系转化为向量关系。

- 例如：已知O是ABC内一点，→OA=2→OB+3→OC，求AOB、BOC、AOC的面积之比。

- 根据奔驰定理S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0，已知→OA=2→OB+3→OC，即→OA-2→OB-3→OC=→0，所以S_ BOC:S_ AOC:S_AOB=1:2:3。

专题5奔驰定理与向量四心秒杀秘籍：第一讲奔驰定理与三角形四心重心定理：三角形三条中线的交点.已知△ABC 的顶点),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，则△ABC 的重心坐标为),(y x G .注意：（1）在△ABC 中，若O 为重心，则0OA OB OC++=．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．定理：重心的向量表示：1133AG AB AC=+．定理：0B A C S OA S OB S OC（奔驰定理），则AOB 、AOC 、△BOC 的面积之比等于123:: 垂心定理：三角形三边上的高相交于一点．点O 是ABC 的垂心，则OA OB OB OC OC OA．角平分线定理：若OA a ，OB b ，则AOB 平分线上的向量OM 为(||||ab a b ， 由OM 决定外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；（1）212AO AB AB ，212AO AC AC ；212BO BC BC ；（2）221144AO AF AB AC ，221144BO BE AB BC ，221144CO CD BC AC ；（3）221122AO BC AC AB ，221122BO AC BC BA ，2211.22CO AB BC AC 重心定理证明：2211133233AG AD AB AC AB AC奔驰定理证明：如图，令112131,,OA OA OB OB OC OC ，即满足1110OA OB OC11121AOB A OB S S ，11131AOC A OC S S ，11231BOC B OC S S ，故321::::AOB AOC BOC S S S l l l =.垂心定理证明：()00OA OB OC OB OB OA OC OB CA ，即OB CA^，以此类推．角平分线定理证明：||a a 和||b b 分别为OA 和OB 方向上的单位向量，||||a b a b 是以||a a 和||bb 为一组邻边的平行四边形过O 点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故||||ab a b 在AOB 平分线上，但AOB 平分线上的向量OM 终点的位置由OM决定.当1 时，四边形OAMB 构成以 120AOB 的菱形．外心定理证明：如图，ABC △中，D 、E 、F 分别为AD 、AC 、BC 边中点，O 为ABC △外心，则AB OD ，AC OE ，BC OF ，AO AD DO AE EO ，221122AO AB AD DO AB AB DO AB AB ，同理可证：212AO AC AC ×= ，212BO BC BC ；22111111222244AO AF AO AB AC AO AB AO AC AB AC骣琪×=×+=×+×=+琪桫；同理221144BO BE AB BC ×=+；同理221144CO CD AC BC ×=+.【例1】在四边形ABCD 中，AB DC = =(1,0)，BA BC BDBA BC BD+=，则四边形ABCD 的面积是（）A ．32B ．3C ．34D ．32【解析】,||||1||||||BA BC BDBD ABC BD BA BA BC BD为的角平分线且，又因为 1,0AB DC ，故ABCD 是一个菱形，且120ABC Ð=°，故面积为131322S =创=，选A.【例2】已知点O 为ABC 内一点，且230OA OB OC，则AOB 、AOC 、BOC 的面积之比等于（）A ．9∶4∶1B ．1∶4∶9C ．3∶2∶1D ．1∶2∶3【解析】如图，令1123OB OB OC OC，即满足1110OA OB OC112AOB AOB S S ，113AOC AOC S S ，11123BOC B OC S S ，故111::::3:2:1.236AOB AOC BOC S S S 例2图例3图例4图【例3】已知G 为ABC 的重心，令AB a = ，AC b = ，过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且AP ma =，AQ nb = ，则11m n+=．【解析】1133AG a b =+，AP AP ma a m，AQ AQ nb b n ；11;3333AP AQ AG a b m n =+=+令PG PQ l =，即()1AG AP AQ l l =-+，()1AG AP AQ l l =-+，故11111333m n m nl l -=Þ=Þ+=．【例4】在OAB 中，OA a = ，OB b = ，若2a b a b×=-=．（1）求22a b + 的值；（2）若()0a b a b a b 骣琪+×-=琪琪桫，3AB AM = ，2BA BN = ，求OM ON ×的值．【解析】（1）由于22222224428a b a b a ab b a b ab -=Þ-=-+=Þ+=+= ；（2）||||a b a b +表示AOB 的角平分线OD 的共线向量，a b -表示BA ，()0.||||a b a b a b骣琪+-=琪桫可知OAB 为等腰三角形，即a b ，2282a b a b a b OAB为等边三角形．1122ON a b ，1233OM b a ，22112111142432233326326ON OM a b a b a ab b．【例5】已知O 为ABC 的外心，AB =4，AC =2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO×的值（）A ．23B ．12C ．6D ．5【解析】22111152244AO AM AO AB AC AB AC骣琪×=×+=+=琪桫．【例6】设P 为锐角ABC 的外心（三角形外接圆圆心），AP k AB AC =+ （k ∈R ）．若cos ∠BAC =25，则k （）A ．514B ．214C ．57D ．37【解析】()()22221212252512122525AP AB AB k AB k AC AB k AB k AB AC k AB k AC AP AC AC k AB k AC AC k AC k AB AC k AC k AB 骣琪×==+×=+Þ-=琪桫骣琪×==+×=+Þ-=琪桫 üïïïýïïïþ；AB AC \= 故1252314k k k 骣琪-=Þ=琪桫，选A ．达标训练1．已知两个非零向量a ，b 满足||||b a b a ，则下面结论正确的是（）A ．b a ∥B ．b a C ．||||b a D ．ba b a 2．已知ABC △和点M 满足0MA MA MC ++= ．若存在实数m 使得AB AC mAM += 成立，则m =（）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．OD AOB ．ODAO 2 C ．OD AO 3 D ．ODAO 24．已知非零向量AB 与AC 满足()0||||AB AC BC AB AC，且12||||AB AC AB AC +=，则ABC △为（）A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形5．点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OD OC OA，则点O 是ABC △的（）A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点6．点P 是ABC △所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA，则P 是ABC △的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心7．点O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB ACOP OA AB AC l =++，),0[ ，则P 的轨迹一定通过ABC △的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心8．设点O 在ABC △的内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC △的面积与AOC △的面积的比为（）A ．2B ．32C ．3D ．539．已知P 为ABC 内部任一点（不包括边界），且满足0)()2)(( CA CB AB PC P A PB P A PB ，则ABC 一定为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形10．如图，在圆C 中，弦AB 的长为4，则AB AC （）A ．8B ．8C ．4D ．4第10题第15题11．已知点G 是ABC △内一点，满足0GA GB GC ++= ，若3BAC ，1AB AC ，则||AG 的最小值是（）A 3B 2C 6D 612．边长为8的等边ABC △所在平面内一点O ，满足230OA OB OC --=，若19|| OP ，则||PA 的最大值为（）A ．63B ．219C ．319D ．41913．已知O 是ABC △的外心，4|| AB ，2|| AC ，则)(AC AB AO =（）A ．10B ．9C ．8D ．614．已知ABC △中， 45A ， 60B ，点H 是ABC △的垂心，存在实数s ，t ，使得AH s AB t AC =+，则s ，t 的值分别为（）A ．32 s ，33 t B ．32 s ，3 t C ．32 s ，33t D ．32 s ，32 t 15．如图，AB 是圆O 的直径，P 是圆弧 AB 上的点，M 、N 是直径AB 上关于O 对称的两点，且AB =6，MN =4，则PM PN=（）A ．13B ．7C ．5D ．316．在ABC △中，AB =AC =5，BC =6，I 是ABC △的内心，若BI mBA nBC =+)(R n m ，（m ，n ∈R ），则nm=（）A ．43B ．65C ．2D ．1217．已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是（）A ．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC=-- C ．1233OA AB BC =--D ．2133OA AB BC=+ 18．在ABC △中，G 为ABC △的重心，过G 点的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AC k AQ ，则16h +25k 的最小值（）A ．27B ．81C ．66D ．4119．已知ABC △为等边三角形，动点P 在以BC 为直径的圆上，若AC AB AP ，则 2 的最大值为（）A ．12B ．331C ．52D ．23220．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若54OC OB OC =- ，则||||AB BC等于（）A ．1B ．2C ．3D ．421．ABC △所在平面上一点P 满足PA PB PC AB ++=，则P AB △的面积与ABC △的面积比为（）A ．3:2B ．3:1C ．4:1D ．6:122．在ABC △中，G 为ABC △的重心，过G 点的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AC k AQ ，则k h 11 =（）A ．3B ．4C ．5D ．623．已知平面向量OA 、OB 、OC 满足：||||||1OA OB OC ===，12OA OB ．若OB y OC x OC ，)(R y x ，，则y x 的最大值是（）A ．1B ．33C ．2D ．23324．在ABC △中，点G 满足0GA GB GC ++= ．若存在点O ，使得16OG BC =，且OA mOB nOC =+ ，则n m =（）A ．2B ．2C ．1D ．125．已知O 为ABC △内一点，且有230OA OB OC ++=，记ABC △，BCO △，ACO △的面积分别为1S ，2S ，3S ，则321S S S ：：等于（）A ．1:2:3B ．2:1:3C ．2:1:6D ．1:2:626．已知G 是ABC △的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点M ，N ，且AM xAB =，AC y AN ，)0( y x ，，则y x 3的最小值是（）A ．83B ．72C ．52D ．4233327．已知P 为ABC △所在平面内一点，0AB PB PC ++= ，2|||||| AB PC PC ，则PBC △的面积等于（）A ．33B ．23C 3D ．4328．A ，B ，C ，D 在一个平面内，满足2DA DB DB DC DC DA ×=×=×=-.||||||DC DB DA ，动点P ，M满足PM MC = ，|PA|1=，则||MB 的最大值是（）A ．72B ．4C ．92D ．529．在ABC △中，O 为中线AM 上的一个动点，若4 AM ，则)(OC OB OA 的最小值是（）A ．4B ．8C ．10D ．1230．在ABC △中，1 AB ， 60ABC ，1AC AB ，若O 是ABC △的重心，则BO AC的值为（）A ．1B ．52C ．83D ．531．已知点P 在圆122x y 上，点A 的坐标为)0,2( ，O 为原点，则AO AP ×的最大值为．32．过点3,1(P 作圆122 x y 的两条切线，切点分别为A ，B ，则PB P A =．33．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为．34．在ABC △中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则AB AC ×=．35．在四边形ABCD 中，AB DC = =（1，1），3||||||BA BC BD BA BC BD +=，则四边形ABCD 的面积是．36．在ABC △中，M 是BC 的中点，120A ，12AB AC ，则线段AM 长的最小值为．。

平面向量中的奔驰定理在向量题目中，同学会经常遇到一类题型，涉及三角形各心的向量表达式，如果在此基础上探究，不免会遇到一个更一般性的问题，即因为本题的图形特别象奔驰汽车的标志，所以把此结论称为奔驰定理。

【证法一】取点,,A B C '''，使得,,OA OA OB OB OC OC αβγ'''===，则0OA OB OC '''++=，即O 为'''A B C ∆的重心，''''''B OC A OC A OB S S S ∆∆∆⇒== 1sin 121''''sin ''2AOBPOB OA OB AOB S OA OB S OA OB OA OB A OB αβ∆⋅∠⋅===⋅⋅∠ 1OB A OB S S αβ∆Λ''⇒= 同理11,AOC A OC BOC B OC S S S S αγβγ∆∆''∆∆''== 111::::::BOC AOC AOB S S S αβγβγαγαβ∆∆∆⇒==。

【分析】即证明0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=【证法二】以O 为原点建立坐标系，设()()()111222333,,,,,,,,A x y z B x y z C x y z ， 则221111333322111,,222BOC AOC AOB x y x y x y S S S x y x y x y ∆∆∆===， BOC AOC AOB S OA S OB S OC∆∆∆⋅++⋅ ()()()221111112233333322111,,,(0,0)0222x y x y x y x y x y x y x y x y x y =++== 若O 为△ABC 内任一点，有0OA OB OC αβγ++=，则::::BOC AOC AOB S S S αβγ∆∆∆=.【证法三】()BOC AOC AOB S OA S OB S OC OA ∆∆∆⋅+⋅+⋅⨯ AOC AOB S OB OA S OC OA ∆∆=⋅⨯+⋅⨯()()220AOC AOB AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=⋅-+⋅=同理()0BOC AOC AOB S OA S OB S OC OB ∆∆∆⋅+⋅+⋅⨯=所以0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+=． 【题目】已知O 为△ABC 的垂线，且230OA OB OC ++=，求∠A ．【解答】如图，由平面向量中的奔驰定理可得::1:2:3BOC AOC AOB S S S ∆∆∆=， 1212BOCAOCOC BD S BD S AD OC AD ∆∆⋅⋅==⋅⋅，在△ACD 和△BCD 中，tan ,tan CD CD A B AD BD ==， 所以tan tan A BD B AD=，故tan tan BOC AOC S A S B ∆∆=，同理tan tan BOC AOB S A S C ∆∆=， 故::tan :tan :tan BOC AOC AOB S S S A B C ∆∆∆=，即tan :tan :tan 1:2:3A B C =， 又tan tan tan tan()1tan tan B C A B C B C +=-+=--， 所以tan 1,45A A ︒=∠=．评注：由此题的结论可得若O 为△ABC 的垂心，则有::tan :tan :tan ::BOC AOC AOB S S S A B C αβγ∆∆∆==．B。

平面向量专题：奔驰定理与三角形面积问题1、奔驰定理：O 是ABC ∆内的一点，且x ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则S ∆BOC :S ∆COA :S △AOB =x:y:z2、证明过程：已知O 是ABC ∆内的一点，∆BOC ，∆COA ，∆AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，求证：S A ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S B ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 延长OA 与BC 边相交于点D ， 则BDDC =S ∆ABD S ∆ACD=S ∆BOD S ∆COD=S ∆ABD −S ∆BOD S ∆ACD −S ∆COD=SC S B ，OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC BC OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD BC OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =S B S B+S COB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C S B+S COC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵OD OA =S BOD S BOA=SCOD S COA=S BOD +S COD S BOA +S COA=S ASB +S C，∴OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−S AS B +S COA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴−S ASB +S COA ⃗⃗⃗⃗⃗ =S BS B+S COB⃗⃗⃗⃗⃗ +S C S B+SCOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以S A ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S B ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .（3）奔驰定理推论：x ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则①S ∆BOC :S ∆COA :S △AOB =|x |:|y |:|z | ②S ∆BOCS∆ABC=|x x+y+z |，S ∆AOC S ∆ABC=|y x+y+z |，S ∆AOB S ∆ABC=|zx+y+z |.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。

秒杀技巧一奔驰定理奔驰定理：若O 为ABC △内任意一点，有=++OC z OB y OA x 0，则z y x S S S OAB OAC OBC ::=△△△：：.奔驰定理与三角形“四心”的结合：(1)O 是ABC △的重心：=++⇔=S S S OAB OAC OBC 1:1:1△△△：：0(2)O 是ABC △的内心：=++⇔=OC c OB b OA a c b a S S S OAB OAC OBC ::△△△：：0(3)O 是ABC △的外心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC 2sin 2sin 2sin 2sin :2sin :2sin △△△：：0(4)O 是ABC △的垂心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC tan tan tan tan :tan :tan △△△：：0例1.已知点O 是ABC △内部一点，且满足=++OC OB OA 4320，则AOC BOC AOB ，△，△△的面积之比为.例2.已知点P 是ABC △所在平面内一点，=++P A PC PB 20，现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则黄豆落在PBC △内的概率是.例3.在ABC △所在的平面内有一点P ，若PB AB PC P A +=+2，则PBC △的面积与ABC △的面积之比是.1.（宜昌一中2020届高三周考8）已知G 在ABC △内，且满足=++GC GB GA 4320，现在ABC △内随机取一点，此点取自GBC GAB GAC 、△、△△的概率分别记为321P P P 、、，则（）321.P P P A ==123.P P P B >>321.P P P C >>312.P P P D >>2.若点O 在ABC ∆的内部，且=++OC m OB OA 20，74=∆∆ABC AOB S S ，则实数m =_________.3.设P 是ABC ∆所在平面上一点，且满足)0(,43>=+m AB m PC P A ，若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积是.4.已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且=++OC OB OA 5430，则ABC ∆的面积为_________.5.在ABC ∆中，D 为三角形所在平面内一点，且AC AB AD 2131+=，则=ABDBCD S S △△_________.6.已知点O 是ABC △的垂心，且=++OC OB OA 320，则=A _________.。