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平面向量中的基本方法一、向量基本不等式向量基本不等式：b a b a ⋅≥+222，()42b a b a +≤⋅当且仅当b a =时取等【例1】已知平面向量a 、b 满足1422=+⋅+b b a a，则a +2的最大值是.【练习1】已知平面向量a 、b 满足12922=+⋅+b b a a，则a +3的最大值是.【例2】已知平面向量a 、b满足32≤a ，则b a ⋅的最小值是.【练习2】已知平面向量a 、b满足323≤-a ，则b a ⋅的最小值是.向量三角不等式：+≤±≤-，当向量a 、b 共线时，取等推论：y x y x y x +≤±≤-，Ry x ∈,{}y x y x y x -+=+,max ，{}y x y x y x -+=-,min【例3】已知平面向量a 、b 是非零向量，且12=-a ，2=-，则-的最大值是.【练习3】已知平面向量a 、b 是非零向量，且22=+a ，310=-，则的最大值是.【例4】已知平面向量a 、b 1=2=，若对任意单位向量e ，6≤+，ba ⋅的取值范围是.【练习4】已知平面向量a 、b 1=21=，若对任意单位向量e 26≤+，b a ⋅的取值范围是.向量回路恒等式：CBAD CD AB +=+【例5】在平面凸四边形ABCD 中，已知2=AB ，N M ,分别是边BC AD ,的中点，且23=MN .若()1=-⋅BC AD MN ，则=⋅CD AB .【练习5】在平面四边形ABCD 中，设3=AC ,2=BD ，则()()=++AD BC CD AB .四、向量对角线定理向量对角线定理：记D C B A 、、、是空间中的任意四点，则有⎪⎭⎫--+=⋅21BD AC 【例6】在四边形ABCD 中，已知F E ,分别是边BC AD ,的中点，且m BC AD =⋅，n BD AC =⋅,2=AB ,1=EF ,3=CD ，则=-n m .五、互换系数恒等式若向量a ，b =，则有a a μλ+=+【例7】已知a ，b ，c 是平面内的三个单位向量，且b a ⊥，b a +++23的最小值为.【练习7】已知a ，b ，c o60=，的最小值为.六、极化恒等式极化恒等式的代数形式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⋅2241b a b a b a 极化恒等式的对偶形式：()()22222b a b a b a -++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+【例8】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤，31≤≤，的取值范围是.【练习8】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤3≤+，的取值范围是.【例9】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤，31≤≤，则b a ⋅的取值范围是.【例10】在四边形ABCD 中，已知O 分别是边BD 的中点，且7-=⋅AD AB ,3=OA ,5=OC ，则=⋅DC BC .【练习9】在ABC ∆中，已知D 分别是边BC 的中点，F E ,分别是边AD 的两个三等份点，且4=⋅CA BA ,1-=⋅CF BF ，则=⋅CE BE .【练习10】如图，在同一平面内，点A 位于两直线n m ,同侧，且A 到于两直线n m ,的距离分别为3,1点C B ,分别在n m ,5=+，则AC AB ⋅最大值为.【例11】在ABC ∆中，F E ,分别是边AC AB ,的中点，P 在EF 的上，若ABC ∆的面积为2，则2BC PC PB +⋅最小值为.【练习11】已知AB 中为圆O 的直径，M 为弦CD 的一点，8=AB ,6=CD ，则MB MA ⋅的取值范围是.七、矩形大法点O 矩形ABCD 所在平面内任意一点，则有：2222OD OB OC OA +=+【例12】在直角ABC ∆中，D 为斜边AB 的中点，P 为CD=.【练习12】在平面内,若21AB AB ⊥1==,21AB AB AP +=21＜的取值范围是.。
解决初中数学解题困扰的利器掌握平面向量的运算技巧解决初中数学解题困扰的利器——掌握平面向量的运算技巧数学是一门抽象而又具有挑战性的学科，而初中数学的学习过程中，解题往往是困扰很多学生的难题。
然而，要解决这个问题并不难，只需要掌握好平面向量的运算技巧，就能在解答数学题目时游刃有余。
本文将为大家介绍平面向量的基本概念以及运算规则，希望对解决初中数学解题困扰有所帮助。
一、平面向量的基本概念在解决初中数学问题时，我们常常需要用到平面向量。
平面向量是指能够用有向线段来表示，具有大小和方向的量。
一个平面向量通常用字母加箭头来表示，例如：→AB，其中A、B为平面上的点。
有了这个基本概念，我们就可以更好地理解和应用平面向量来解决数学问题。
二、平面向量的加法和减法平面向量的加法和减法是我们在解决数学问题中常常用到的基本运算。
其规则如下：1. 平面向量的加法：设有两个平面向量→AB和→CD，则它们的和记作→AB + →CD。
要求得这两个向量的和，只需要将它们的对应分量分别相加即可。
例如，若→AB = (x1, y1)和→CD = (x2, y2)，则它们的和为→AB + →CD = (x1 + x2, y1 + y2)。
2. 平面向量的减法：设有两个平面向量→AB和→CD，则它们的差记作→AB - →CD。
要求得这两个向量的差，只需要将它们的对应分量分别相减即可。
例如，若→AB = (x1, y1)和→CD = (x2, y2)，则它们的差为→AB - →CD = (x1 - x2, y1 - y2)。
通过掌握平面向量的加法和减法规则，我们能够更有效地解决初中数学解题过程中的运算问题。
三、平面向量的数量积和向量积除了加法和减法，平面向量还有两个重要的运算：数量积和向量积。
它们在解决数学问题中具有重要作用。
1. 数量积：数量积又称点积，它是两个向量的乘积。
计算数量积的公式为：→AB · →CD = AB·CD·cosθ，其中AB和CD分别为两个向量的模长，θ为它们之间的夹角。
平面向量题型归类及解题方法1. 平面向量的定义和性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。
平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。
- 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。
- 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。
- 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。
- 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。
- 向量可以缩放，即乘以一个标量。
- 向量可以平移，即使原点发生变化。
2. 平面向量的基本运算2.1 向量的加法向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。
2.2 向量的减法向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。
2.3 向量的数乘向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。
2.4 平行向量和共线向量如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。
如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。
2.5 两个向量的数量积（点积）设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b= x1x2 + y1y2。
2.6 向量的模长和方向角设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。
向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。
3. 平面向量的题型归类及解题方法平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。
3.1 平面向量的加减法题型•已知两个向量，求其和或差向量。
•已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。
平面向量解题方法完全归纳与总结
平面向量解题方法完全归纳与总结！
1、基底法
在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.
2、平方法
在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律
3、投影法
①我们可以理解成：两向量的数量积等于他们各自的模长，乘以它们夹角的余弦值；
②也可以理解成：两向量的数量积等于其中一个向量的模长，乘以另外一个向量在它上面的投影；
4、坐标法
几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。
只要题目中给出了向量之间的夹角就可以考虑使用坐标来处理向量问题。
5、数形结合法
在处理一些平面向量的问题时，需要利用图形，结合向量的运算法则，综合分析，来处理一些动态变化问题。
这类问题主要包含：圆上动点、直线上动点等。
6、三点共线结论及其推广
7、绝对值不等式
8、极化恒等式
9、等和线
以上就是老师对高中数学向量这一板块的解题方法汇总总结，这
些方法足以应付高中数学中出现的向量题型，当然有同学想要更深入一些关于向量的解题方法的话还需要学习三角形与向量的五心相关知识，更高层次的还有复数与向量结合这种强基计划或者竞赛中的一些知识，这些我们在后期的一些文章当中会涉及。
我们这个自媒体主要服务于高中生数学，高考数学，强基计划、数学竞赛，大家有兴趣可以关注一下我们，我们上的都是一些干货，绝对不会让你失望！。
平面向量知识点+例题+练习+答案..五、平面向量1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。
向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜|。
]向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量[ 长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0。
由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。
(与共线的单位向量是)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作∥，规定零向量和任何向量平行。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
高三复习，贵在快捷有效，让所学的知识系统 化，网络化，让解题方法形成方法论.“平面向量” 这一部分内容作为高考的重要考点，经常出现在 选择填空的压轴题中，同学们在处理这一部分内 容时，经常感到迷茫，不知道从何处入手.数学是 模式化的学科，遇到问题能寻求到最快捷的解题 方法，是解题能力高低的关键.作为基础教育一线 的教师，笔者对最近几年各个省份的平面向量高 考题和模考题进行了系统的整理，归纳出处理平 面向量问题的六大方法，供同学们学习参考..—、坐标法坐标法应该是处鲤平面向量问题的主要方 法，只要能够建立直角坐标系，把点的坐标表示出 来，则向量的坐标就可以求得出来，从而平面向量 的四大常见问题:平行、垂直、夹角、模长都可以套 相应的公式解决.例1 (2011年天津理14)已知直角梯形 ABCD中，AD//BC ，ZADC =90°,AD = 2, BC =1,P是腰DC±的动点，则I P^ + 3PS I 的最 小值为.' 解 以D 为坐标原 点，DA 所在直线为，轴，所在直线为了轴，建立 如图1所示的直角坐标系. 由题设,A(2,0),设C(0, c) 9P(09y),则 B(1 ,c), PA =(2,~y),P$ = (1, c — y) »FX4-3 P S = (5,3c -4y), \PA + 3P5 I =丿 52 + (3c — 4了)2》5,当 且仅当y=~时，等号成立，于是，当V =苧时, I PX + 3 I 有最小值5.例2 (2013年湖南理8)在等腰直角三角形 ABC 中，AB = AC = 4,点 F 是边 AB ± 异于 的一点，光线从点P 出发，经BC,以1反射后又回 到点F(如图2).若光线QR 经过八业。
的重心， 则AP 等于(A)2.(C)亭 解 如图3,以A 为原点,AB 所在直线为工 轴,AC 所在直线为〉轴建立直角坐标系，•.•AB= AC =4,>A(0,0),B(4,0),C(0,4),设 P(t,0), 则点P 关于直线BC 的对称点点P 关 于直线AC 的对称点P z(-f,0),AABC 的重心为根据光学性质知P',G,M 三点共线，再=(* + £,号)，俱=(一4—罕一4), •J O .,. F3〃 故,.•.(§ +「(£ —4) 一§(一4-/)=o O 0,解得t = §，故AP =故选(D). 二、几何意义法'.除了代数的坐标法之外，几何意义法、数形结 合法也是处理平面向量的重要方法，向量的加法、 数乘及模长都具有明显的几何意义.例3 已知丨b | = 1,非零向量a 满足Va,b平面向量问题的六大处理方法一a〉= 120°,则| a |的取值范围是________ .解如图4,设苗= Bb,cS = a,则b — a = BA,在△ABC 中，AC = 1, / a/60°\\ ZABC = 60°.Z \ 根据圆的性质：同孤所y/ y 对的圆周角相等，汶作企仙。
解决平面向量问题的六个基本策略高三复习,贵在快捷有效,让所学的知识系统化,网络化,让解题方法形成方法论.“平面向量”这一部分内容作为高考的重要考点,经常出现在在选择填空的压轴题中,同学们在处理这类问题是常常无从下手.我们对多年的高考题进行系统整理、研究,总结出解决平面向量问题的六种基本策略,供大家参考.一、坐标化策略：坐标法应该是处理平面向量问题的主要方法,只要能够建立平面直角坐标系,把点的坐标表示出来,则向量的坐标就可以求出来,从而平面向量的四大常见问题：平行、垂直、夹角、模长都可以套相应的公式解决.如果图形特殊,如涉及正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形、直角梯形等,有时也会给一个定角和一些线段长度的不规则图形,均可尝试坐标化策略解决问题.例1.已知直角梯形ABCD 中,//,90,2,1AB CD ADC AD BC ∠===,P 是腰DC上的动点,则3PA PB +的最小值是分析：以D 为坐标原点,DA 所在的直线为x 轴,DC 所在的直线为y 轴,建立如图所示的直角坐标系,由题意可得A2,0P0,yC0,c,则3PA PB +=5≥,于是当y=34c 时取得最小值5. 二、数量化策略：教科书上证明正、余弦定理时重点如何将向量等式AC BA BC +=数量化,而向量数量化的基本方法是平方法2a =或向量等式两边同时乘以一个向量,进行数量积运算.三、算两次策略：平面向量基本定理的重要前提是向量不共线,而结论有两点：一是存在一对实数21λλ和,使得a=1λe 1+2λe 2；二是这对实数是唯一的.这唯一性是说：a=1λe 1+2λe 2=1k e 1+2k e 2 ,则必有1λ=1k ,2λ=2k ,其实质相当于从两点重合推出其坐标相等,或从两个复数相等推出其实部和虚部分别相等,这种由一个等式获取两个等式的法则,又称为算两次的思想,是方程思想的另一种表述,在高中数学中应用广泛,如几何中的等面积法、等体积法等.例2.设向量a 与b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ=解析：因为向量λa +b 与a +2b 平行,所以λa +b =μa +2b ,则λa +b =μa +2μb,又因为向量a 与b 不平行,由平面向量基本定理可得λ=μ且1=2μ,因此λ=21四、基底化策略：平面向量基本定理平面向量分解定理是解决向量问题的重要工具,它的作用在于把平面中纷繁复杂的向量都用两个不共线的基向量来表示.其关键是选好一组基底两个向量的模长与夹角应该已知,其他向量都用这一组基底进行线性表示.例 3.在ABC ∆中,已知3π=∠BAC ,AB=2,AC=3,BD DC 2=,ED AE 3=,则|BE |=分析：本题中,若建系,点与点之间的坐标关系很难找到,不是一个明智的选择.换个角度,因为线段AB,AC 的长度和夹角都已知,所以选取向量AC AB 和作为基底,将BE 用这一组基底进行线性表示. 解：AE BA BE +==-AB +43AD , 而BD AB AD +==AB +31BC ,AB AC BC -=,从而BE =21-AB +41AC ,因此,2BE =21-AB +412)AC =412AB +1612AC 41-AB AC ⋅=413 五、巧用回路转化策略：所谓回路,就是向量从一点出发,通过一个封闭的图形又回到起点的那个通路.就是这个直观而又简单的回路,常常关系到问题解决的成败,但你在解题过程中想到了要利用回路,那么问题的解决就会变得简洁.适当选择回路,是向量解题的基本手法,关键之处就在于领会向量几何,其运算不仅仅是数的运算,还包括图形的运算,数学大师张景中称其为 “绕来绕去的向量法”.如果遇到题目中只告诉一条线段的长,则用回路法将其他向量都用该向量表示.例4.在ABC ∆中,M 是BC 边上的中点,|AM |=1,P 是线段AM 上的一个点,且PM AP 2=,则)(PC PB AP +⋅的值是 AA 、94B 、34C 、34-D 、94- 分析:因为PC PB +=PM 2,PM AP 2=,所以)(PC PB AP +⋅=42PM =94 例5.在ABC ∆中,D 是BC 边上的一点,且DC BD 3=,P 是线段AD 上的一个动点,若|AD |=2,则)3(PC PB PA +⋅的最小值是BA 、-8B 、-4C 、-2D 、 0 分析：PC PB 3+=)(3DC PD DB PD +++=DC DB PD 34++=4PD设DA PA λ=,则DA DA DA DP )1(λλ-=-= )3(PC PB PA +⋅=4⋅PA PD =λλ16162-10≤≤λ所以)3(PC PB PA +⋅的最小值为-4六、几何化策略：除了代数的坐标法之外,利用几何意义数形结合也是处理平面向量问题的重要方法,因此要灵活构建平面图形,凸显向量几何本色.1.构建“三角形.例6.若|a |=1,|b |=2,c=a+b,且c ⊥a,则向量a 与b 的夹角为= 解析：当题目中出现一些特殊角度或特殊的线段关系,比如线段相等或二倍关系等,应该首先考虑构造图形来解决.作直角ABC ∆,2190===∠AB CA C ，， ,设a =CA ,b =AB ,则=CB a +b, 30=∠B ,延长CA 到D,使得AD=CA,可得向量向量a 与b 的夹角为 120=∠BAD2.构建“圆”.如果题目中出现单位向量,共起点的单位向量的终点在同一个圆,因此可以构造一个圆,进行特殊化处理.平面向量是近代数学中重要的基本数学概念之一,它集形数于一身,是数形结合的有效载体,是沟通代数、几何与三角函数工具.如何有效突破平面向量问题,关键是要抓住向量概念的核心,即向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”,因此解决向量问题有向量代数与向量几何两个基本解决思路,其中向量几何注重从形的角度分析解决问题,可衍伸为基底化策略、巧用回路转化策略、几何化策略；向量代数注重从坐标运算与布列方程的角度分析解决问题,可衍伸为坐标化策略、数量化策略、算两次策略.因此平面向量问题既可以从“数”的角度来解决,也可以从“形”的角度来思考,一题多法,多题一解.。
平面向量的精讲与习题讲解平面向量:(一),向量加减法中的三角形法则与平行四边形法则.(二),向量加减运算:(三),实数λ与向量a 的积:a λ1,当0λ>时,a λ与a 同向;2当0λ<时,a λ与a 反向;3当0λ=时,00a =.(四),平面向量的数量积:设两个非0向量1122(,),(,)a x y b x y ==,θ(000180θ≤≤)是a 与b 的夹角,则 cos a b a b θ⋅=⋅⋅=1212x x y y +.(五),有关的公式,定理.1,平面向量基本定理:如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a ,有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+.2,两个非0向量的平行与垂直的充要条件:①,//a b a b λ⇔=(或12210x y x y -=);②,0a b a b ⊥⇔⋅=(或12120x x y y +=). 3,线段的定比分点坐标公式:设(,)p x y ,111(,)p x y ,222(,)p x y ,且12p p pp λ=,则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩,中点公式121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩. 4,平移公式:如果点(,)p x y 按向量(,)a h k =平移至点'''(,)p x y ,即'(,)pp a h k ===''(,)x y (,)x y -,整理可得:''x x h y y k ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩. 例题：1．求函数y =解：2)y =构造向量21(,22p x =+,21(,22q x =-,则y p q =-,而(1,0)p q -=, 所以1y p q p q =-<-=,得11y -<<,另一方面:≥得0y ≥, 所以原函数的值域是[0,1). 2．222,ABC P AP BP CP ABC ++在内求一点使取得最小值，则该点是的__心。
