高考数学中涂色问题的常见解法及策略

解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略江苏省阜宁中学 刘 佐与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、 区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；①②③④⑤ ⑥（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ； 所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与42) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2 24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。

高中数学中涂色问题的解法涂色问题是高中数学中的一类比较复杂而且重要的问题，高考中多次涉及。

这种题目根据条件可分为颜色必须用完和不必用完两种。

根据需要涂色的图形可分为条状结构和环状结构两种。

解决问题的方法也有依次去涂和按所用颜色种数分类讨论两种。

作题时只要弄清条件和图形的结构，再把每种结构下解决问题的方法弄清楚，就可以了。

下面我们就用历年高考题中的涂色问题作为例子。

一、条状结构例1：将3种作物种植在5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，共有多少种种植方法？分析：从数学角度上来看，这是一个条状结构且颜色必须用完的问题。

我们先用依次来涂的方法，再用所用颜色种数来讨论的方法。

解1：只管从左到右依次来种。

若三种作物可种完可不种完共有3·2·2·2·2=48 种方法，其中只种两种作物共有C23·2=6种方法，所以共有48-6=42 种方法。

解2：三种作物必须种完，那就不必讨论颜色种数。

（1）把这五块地分为3，1，1三组。

①③⑤必为一组，所以地块分组只有一种方法，再种上三种作物共有A33=6 种方法。

（2）把这五块地分为2，2，1 三组。

①③同组时，②④也可和⑤同组，有两种方法，同理①④同组时也有两种方法，①⑤同组时有1 种方法，①自己一组时有1 种方法，所以地块分组共有6 种方法，再种有6A33种方法。

由（1），（2）知共有42种方法。

可见：条状结构若不按颜色分类，只管依次去涂即可，非常简单，只要考虑清楚颜色必须用完还是可不用完即可。

若按颜色分类，颜色有几种就把图形中的区域分为几组，再往每组涂色即可，结果即是分组的办法数与Amn的积。

其中n 为全部可用颜色种数，m 为实际使用颜色种数。

变式：用5种不同的颜色给图中A，B，C，D 四个区域涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？分析：因为D 区域和其他三区域都相邻，A 和C 又不相邻，所以把D 涂完后，就是条状结构的问题。

高中数学涂色问题常用技巧公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-高中数学涂色问题常用技巧王忠全涂色问题是一个复杂而有趣的问题，高考中不时出现，处理涂色问题常用的方法是两个计数原理——分类计数和分步计数原理；常用的数学思想是等价转换，即化归思想；常见问题有：区域涂色、点涂色和线段涂色、面涂色；常考虑的问题是颜色是否要用完。

例1、用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法有2种涂法；涂1，2有44A=24例2同色，有多少种涂法法1：1）2）恰用四色：同例1，有24种涂法。

共有24+48=72种涂法。

法2：1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；4有3种涂法；共72种涂法。

评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事，做题时一定要区分。

一、 区域涂色问题（一）、圆形区域涂色：处理圆形区域涂色大致有三种方法：间空涂色法；公式法。

例3、用四种颜色给如下区域涂色，用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法一、 间空涂色法；法1、用空分类 选择1，31）1，3同色，则1，3有14C 种方法，2有13C 可能与1，3同色，但可与2同色，分两类：4与2同色，只用了两种颜色，5有2种方法；4与2不同色，则4有2种方法，5有2种涂法，此时，共有72)222(34=⨯+⨯种方法。

2）1，3不同色，则1，3有24A 种方法，2有12C 种方法，4与1同色，5有3种方法；4与2不同色，则4有2种涂法，5有2种涂法，共有)322(212+⨯⨯⨯=168种方法，综上所述，共有72+168=240种涂法。

法2：公式法共有35+3⨯（-1）5=240种方法。

定理：用m 种颜色（可选择）填圆形区域的n 个空，一空涂一色，邻空不同色的涂法有)1()1()1(-⋅-+-m m n n 种。

证明：如图，设有a n 种不同涂法。

不妨把之剪开,化为矩形区域,共有1)1(--n m m 种涂法,但区域1、n 不能涂同色，把1、n 捆绑成一个空，有a n-1种涂法，则其中)1(22-==m m A a m，设1,)1(2-=-=m mb m a b nn n 则 令()r b m r b n n ---=-11，则r=1， 可知，。

1解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？2、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。

例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？3、 根据相间区使用颜色的种类分类例5如图， 6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可① ②③ ④ ⑤ ⑥2 二、点的涂色问题方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。

例6、将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？三、线段涂色问题对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：1) 根据共用了多少颜色分类讨论2) 根据相对线段是否同色分类讨论。

排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本专题总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、 区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有3A 种；① ②③ ④ ⑤ ⑥3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。

涂色问题的常见解法及策略涂色问题是数学中一个常见的问题，涉及到给定一定数量的区域，并使用有限数量的颜色对这些区域进行染色。

在这篇文章中，我将介绍一些常见的解法和策略，以及我对涂色问题的观点和理解。

在解决涂色问题时，最基本的策略之一是使用“回溯法”。

回溯法是一种通过不断尝试不同的选择，并撤销不合适的选择的方法。

在涂色问题中，我们可以从一个区域开始，选择一个颜色将其染色，然后递归地对相邻的区域进行染色。

如果在染色过程中发现无法继续染色，则回溯到上一个选择，并选择另一种颜色。

另一种常见的解法是使用“图论”的方法。

将涂色问题抽象成图论中的图模型，其中图的每个节点代表一个区域，边表示两个相邻区域之间的连接。

然后，我们可以使用图染色算法，如“图的着色问题算法”来解决涂色问题。

这些算法使用一系列的规则和策略来确定每个节点应该染哪种颜色，以确保相邻节点不具有相同的颜色。

除了这些基本的解法之外，还有许多高级的策略可供选择。

例如，“最小割算法”可以将复杂的涂色问题转化为图的最小割问题，并使用最小割算法来解决。

此外，还可以使用“启发式搜索”技术，通过估计每个选择的优先级来指导搜索过程。

这些策略通常需要更多的计算资源和算法知识，但在处理复杂的问题时可能会获得更好的结果。

从简单到复杂，由浅入深的方式来探讨涂色问题，可以帮助我们建立对问题的深刻理解。

我们可以从最基本的回溯法开始，逐渐引入图论的概念和算法。

了解不同解法的优缺点，并能够根据问题的具体情况选择合适的解法，这对于解决涂色问题至关重要。

总结起来，涂色问题是一个常见的数学问题，涉及到给定一定数量的区域，并使用有限数量的颜色对这些区域进行染色。

常见的解法和策略包括回溯法、图论算法、最小割算法和启发式搜索技术。

通过从简单到复杂的方式来探讨涂色问题，我们可以建立对问题的深刻理解，并能够灵活选择适合的解法。

高中数学涂色问题常用技巧王忠全涂色问题是一个复杂而有趣的问题，高考中不时出现，处理涂色问题常用的方法是两个计数原理——分类计数和分步计数原理；常用的数学思想是等价转换，即化归思想；常见问题有：区域涂色、点涂色和线段涂色、面涂色；常考虑的问题是颜色是否要用完。

例1、 用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？解析：按题意，颜色要用完，1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；涂1，2，3只用了三种颜色，4必须涂第四种颜色，有1种涂法，共有44A =24种涂法。

例2、给如下区域涂色，有四种颜色供选择，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？解析：颜色可供选择，可理解为颜色可用完和不用完两种，分类处理，至少要用三色涂空，才能满足要求。

法1：1） 恰用三色：212334⨯⨯⨯⨯C =48种涂法；2） 恰用四色：同例1，有24种涂法。

共有24+48=72种涂法。

法2：1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；4有3种涂法；共72种涂法。

评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事，做题时一定要区分。

一、 区域涂色问题（一）、圆形区域涂色：处理圆形区域涂色大致有三种方法：间空涂色法；公式法。

例3、用四种颜色给如下区域涂色，用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？ 一、 间空涂色法； 法1、用空分类 选择1，31）1，3同色，则1，3有14C 种方法，2有13C可能与1，3同色，但可与2同色，分两类：4与2同色，只用了两种颜色，5有2种方法；4与2不同色，则4有2种方法，5有2种涂法，此时，共有72)222(34=⨯+⨯种方法。

2）1，3不同色，则1，3有24A 种方法，2有12C 种方法，4与1同色，5有3种方法；4与2不同色，则4有2种涂法，5有2种涂法，共有)322(212+⨯⨯⨯=168种方法，综上所述，共有72+168=240种涂法。

法2：公式法共有35+3⨯（-1）5=240种方法。

例谈涂色问题的常见方法及应对策略作者：张海军来源：《中学数学杂志(高中版)》2013年第04期“涂色型”的排列组合问题，立意新颖、构思精巧、解法灵活，能较好地考查学生分析问题和解决问题的能力解决涂色问题的方法技巧性强且灵活多变，这类问题更有利于培养学生的创新思维及分析与解决问题的能力，是近几年高考及竞赛试题改革的一个新亮点解决此类问题的关键是找准突破口，进行恰当的分类讨论本文以近几年的高考及竞赛题为例总结涂色问题的常见方法及应对策略例1（21年天津卷）如图1，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色则不同的涂色方法共有种.解法1按B、、E、D为主分类、分步进行涂色图1（1）B用四种颜色，则有A必与颜色相同、C与E颜色相同，故有A44×1×1=24种方法.（2）B、、E、D用三种颜色，则有B、E同色，或D、同色，或B、D同色有且仅有其一成立若B、E同色，则A有两种色可选，而C只有一种色可选，若D、同色，则A有一种色可选，而C有两种色可选，即2×A4×2×1；若B、D同色，则A、C都有两种色可选故有2×A4×2×1+A4×2×2=192种.（）B、、E、D用二种颜色，只能B、E同色，D、同色，A、C有异于B、D两种色可选，则有A24×2×2=48故共有不同的涂色方法有24+192+48=264种.解法2按A、B、C、D为主分类、分步进行涂色.（1）用四种颜色涂ABCD四个点，则E有异于A、D两种颜色，有异于B、C两种颜色，即A44×2×2（2）用三种颜色涂ABCD四个点，则必有A、C或B、D同色，当A、C同色时，E、有三种涂色方法，即2×A4×（）用两种颜色涂ABCD四个点，则A、C同色，B、D同色，E、有两种涂色方法，即A24×A22故共有A44×2×2+2×A4×+A24×A22=264.解法按总共选用颜色为主分类、分步进行涂色第一类，三色涂完必然两两同色，即AC，BE，D或A，BD，CE，有2A4=48种；第二类，四色涂完A、D、E肯定不同色，有A4种涂法，再从B、、C中选一位置涂第四色有C1种若所选的是B，则与D同色时C有2中涂法，与D不同色时C有1中涂法，从而有A4·C1·=216种故共有48+216=264种涂法解法4间接法1（先不考虑A，E，D和B，，C是否有同色点）A，E，D的涂色一定不同，B，，C的涂色一定不同，先涂A，E，D有A4种方法，再涂B，，C也有A4种方法，所以至多有A4·A4种方法还要去掉A，B同色，E，同色，D，C同色的情况若只有1对同色，不妨A，B同色，若，D同色，C有2种涂法，若，D不同色，C 有1种涂法若只有2对同色，不妨A，B同色，E，同色，则C有1种涂法，若，D不同色，C 有1种涂法若对同色，只有一种情况故共有A4·A4-A4（C1·+C2·1+1=264种方法解法间接法2（先不考虑E和是否同色）先用4种颜色（可以不全用）涂ABCD若A，C同色，则B，D均有种涂法，若A，C异色，则B，D均有2种涂法故共有C14·C1·C1+A24·C12·C12=84若不考虑E，是否异色，共有（C14·C1·C1+A24·C12·C12·（C12·C12=6还要去掉E，同色的情况，此时E，占一种颜色，同时要用种颜色（可以不全用）涂ABCD若A，C同色，则B，D均有2种涂法，若A，C异色，则B，D均有1种涂法所以E，同色共有C14（C1·C12·C12+A2=72故共有6-72=264种方法定理1用m种不同颜色给n边形A1A2…An的n个顶点染色（其中m≥，n≥，且m为常数），每点染一种颜色，相邻的顶点染不同的颜色，不同的染色方法有多少种？设不同的染色方法有an种，现在我们来通过合理分布，恰当分类找出递推关系：图例（2年全国卷）如图所示，一个地区分为个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？解法1依题意至少要用种颜色（1当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域与必须同色，故有A4种；（2）当用四种颜色时，若区域2与4同色，例（1996年全国数学联赛）从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色则不同的染色方案共有种（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同）解本题情况较为复杂，我们对用了多少种颜色进行分类讨论（1）若只用三种颜色，从六种不同颜色中选用种颜色有C6种选法由于每两个具有公共棱的面染成不同的颜色，则正方体的相对面均为同色，由正方体的对称性知这样的染色方案只有一种因此共有C6=2种不同的染色方案（2）若只用四种颜色，从六种不同颜色中选用4种颜色有C46种选法则仅有一个相对面不同色，共有C24种不同的涂法因此共有C46×C24=9种不同的染色方案（）若只用五种颜色，从六种不同颜色中选用种颜色有C6种选法则仅有一个相对面同色，不妨定为上、下底面，其有C1种涂法再涂侧面，有种涂法因此共有C6×C1×=9种不同的染色方案（4）用六种不同颜色来涂色则六个面的颜色均不相同，假想颜色已经涂好，我们可以通过适当的翻转，使上底面均为同一种颜色（例如红色），再考虑下底面，则一定有种不同的颜色对下底面是同一种颜色的（例如蓝色），再用余下的四种颜色来涂侧面，有4！=！种涂法因此共有×！=种不同的染色方案故一共有2+9+9+=2种不同的染色方案以涂色为平台的排列组合问题，主要考查分类、分步计数原理解决此类问题的主要方法是抓住特定位置或抓住颜色总类进行突破，分步着色，解决问题的关键是依据题意，找到一个确定的标准，合理对问题进行分类或分步，但必须注意分类讨论要全面，要做到不重不漏当直接分类或分步比较复杂时也可间接入手，或寻求对立事件或寻求递推关系，灵活应对作者简介张海军，研究生学历，理学硕士学位，中学一级教师，教学成绩突出，深受学生欢迎，山东省优秀硕士学位论文获得者，济宁市高中优质课比赛一等奖，参与山东省自然科学基金研究课题一项，山东省暑期教师培训优秀学员，在国内外核心期刊发表论文1篇，有篇被CI收录。

二、高考数学中涂色问题的常见解法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思想。

解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。

本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法1、 一.区域涂色问题根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ； （5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120 例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域， 现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色， 现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。