2018高中数学苏教版选修2-3：课时跟踪训练(六) 组合的应用 含解析

新苏教版⾼中数学选修2-3课时跟踪检测试题（全册附答案）新苏教版⾼中数学选修2-3课时跟踪检测试题（全册附答案）课时跟踪训练(⼀)分类计数原理与分步计数原理⼀、填空题1．⼀项⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这项⼯作，不同选法有________．2．有4位教师在同⼀年级的4个班中各教⼀个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的⽅法有________种．3．3名学⽣报名参加艺术体操、美术、计算机、游泳课外兴趣⼩组，每⼈选报⼀种，则不同的报名种数有________种．4．某地奥运⽕炬接⼒传递路线共分6段，传递活动分别由6名⽕炬⼿完成．如果第⼀棒⽕炬⼿只能从甲、⼄、丙三⼈中产⽣，最后⼀棒⽕炬⼿只能从甲、⼄两⼈中产⽣，则不同的传递⽅案共有________种．(⽤数字作答)5．从集合A＝{1,2,3,4}中任取2个数作为⼆次函数y＝x2＋bx＋c的系数b，c，且b≠c，则可构成________个不同的⼆次函数．⼆、解答题6．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等⽐数列，这样的等⽐数列有多少个？7．已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则⽅程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表⽰多少个不同的圆？8．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语⽂书．(1)从中任取⼀本，有多少种不同的取法？(2)从中任取数学书与语⽂书各⼀本，有多少种不同的取法？答案1．解析：由分类计数原理知，有3＋5＝8种不同的选法．答案：82．解析：分四步完成：第⼀步：第1位教师有3种选法；第⼆步：由第⼀步教师监考班的数学⽼师选有3种选法；第三步：第3位教师有1种选法；第四步：第4位教师有1种选法．共有3×3×1×1＝9种监考的⽅法．答案：93．解析：第1名学⽣有4种选报⽅法；第2、3名学⽣也各有4种选报⽅法，因此，根据分步计数原理，不同的报名种数有4×4×4＝64.答案：644．解析：分两类，第⼀棒是丙有1×2×4×3×2×1＝48(种)；第⼀棒是甲、⼄中⼀⼈有2×1×4×3×2×1＝48(种)，根据分类计数原理得：共有⽅案48＋48＝96(种)．答案：965．解析：分成两个步骤完成：第⼀步选出b ，有4种⽅法；第⼆步选出c ，由于b ≠c ，则有3种⽅法．根据分步计数原理得：共有4×3＝12个不同的⼆次函数．答案：126．解：当公⽐为2时，等⽐数列可为1,2,4；2,4,8；当公⽐为3时，等⽐数列可为1,3,9；当公⽐为32时，等⽐数列可为4,6,9.同时，4,2,1；8,4,2；9,3,1和9,6,4也是等⽐数列，共8个． 7．解：按a ，b ，r 取值顺序分步考虑：第⼀步：a 从3,4,6中任取⼀个数，有3种取法；第⼆步：b 从1,2,7,8中任取⼀个数，有4种取法；第三步：r 从8、9中任取⼀个数，有2种取法；由分步计数原理知，表⽰的不同圆有N ＝3×4×2＝24(个)．8．解：(1)从书架上任取⼀本书，有两类⽅法：第⼀类⽅法是从上层取⼀本数学书，有6种⽅法；第⼆类⽅法是从下层取⼀本语⽂书，有5种⽅法．根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是6＋5＝11.答：从书架上任取⼀本书，有11种不同的取法．(2)从书架上任取数学书与语⽂书各⼀本，可以分成两个步骤完成：第⼀步取⼀本数学书，有6种取法；第⼆步取⼀本语⽂书，有5种取法．根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是6×5＝30.答：从书架上取数学书与语⽂书各⼀本，有30种不同的取法．课时跟踪训练(⼆) 分类计数原理与分步计数原理的应⽤⼀、填空题1．⽤1,2,3,4可组成________个三位数．2．若在登录某⽹站时弹出⼀个4位的验证码：XXXX(如2a 8t )，第⼀位和第三位分别为0到9这10个数字中的⼀个，第⼆位和第四位分别为a 到z 这26个英⽂字母中的⼀个，则这样的验证码共有________个．3．集合P ＝{x,1}，Q ＝{y,1,2}，其中x ，y ∈{1,2,3，…，9}，且P ?Q .把满⾜上述条件的⼀对有序整数对(x ，y )作为⼀个点的坐标，则这样的点的个数是________．4．某⼈有3个不同的电⼦邮箱，他要发5封电⼦邮件，不同发送⽅法的种数为________．5.如图，⽤6种不同的颜⾊把图中A ，B ，C ，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同⼀种颜⾊，则不同的涂法共有________种．⼆、解答题6．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．(1)选其中⼀⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1⼈为校学⽣会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两⼈分别参加市⾥组织的两项活动，有多少种不同的选法？7．⽤0,1，…，9这⼗个数字，可以组成多少个(1)三位整数？(2)⽆重复数字的三位整数？(3)⼩于500的⽆重复数字的三位整数？8.编号为A，B，C，D，E的五个⼩球放在如图所⽰的五个盒⼦⾥，要求每个盒⼦只能放⼀个⼩球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻(有公共边)的盒⼦中，求不同的放法有多少种．答案1．解析：组成三位数这件事可分为三步完成：第⼀步，确定百位，共有4种选择⽅法；第⼆步，确定⼗位，共有4种选择⽅法；第三步，确定个位，共有4种选择⽅法，由分步计数原理可知，可组成4×4×4＝64个三位数．答案：642．解析：要完成这件事可分四步：第⼀步，确定验证码的第⼀位，共有10种⽅法；第⼆步，确定验证码的第⼆位，共有26种⽅法；第三步，确定验证码的第三位，共有10种⽅法；第四步，确定验证码的第四位，共有26种⽅法．由分步计数原理可得，这样的验证码共有10×26×10×26＝67 600个．答案：67 6003．解析：当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7，则共有14个点．答案：144．解析：每封电⼦邮件都有3种不同的发法，由分类计数原理可得，共有35种不同的发送⽅法．答案：355．解析：从A开始，有6种⽅法，B有5种，C有4种，D，A同⾊1种，D，A不同⾊3种，故不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．答案：4806．解：(1)分三类：第⼀类，从⾼⼀年级选⼀⼈，有5种选择；第⼆类，从⾼⼆年级选⼀⼈，有6种选择；第三类，从⾼三年级选⼀⼈，有4种选择．由分类计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第⼀步，从⾼⼀年级选⼀⼈，有5种选择；第⼆步，从⾼⼆年级选⼀⼈，有6种选择；第三步，从⾼三年级选⼀⼈，有4种选择．由分步计数原理，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：⾼⼀、⾼⼆各⼀⼈，共有5×6＝30种选法；⾼⼀、⾼三各⼀⼈，共有5×4＝20种选法；⾼⼆、⾼三各⼀⼈，共有6×4＝24种选法；由分类计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．7．解：由于0不可在最⾼位，因此应对它进⾏单独考虑．(1)百位的数字有9种选择，⼗位和个位的数字都各有10种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有9×10×10＝900个．(2)由于数字不可重复，可知百位的数字有9种选择，⼗位的数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有9×9×8＝648个．(3)百位只有4种选择，⼗位可有9种选择，个位数字有8种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝288个．8．解：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒⼦内，则B球只能放在4号盒⼦内，余下的三个盒⼦放球C，D，E，则根据分步计数原理得，有3×2×1＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒⼦内，则B球只能放在4号盒⼦内，余下的三个盒⼦放球C，D，E，则根据分步计数原理得，有3×2×1＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒⼦内，则B球可以放在2号、3号、5号盒⼦中的任何⼀个，余下的三个盒⼦放球C，D，E，有6种不同的放法，根据分步计数原理得，有3×3×2×1＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．课时跟踪训练(三)排列与排列数公式⼀、填空题1．下列问题中：①10本不同的书分给10名同学，每⼈⼀本；②10位同学互通⼀次电话；③10位同学互通⼀封信；④10个没有任何三点共线的点构成的线段．其中属于排列问题的是________．(将正确序号填上)2．从甲、⼄、丙三⼈中选两⼈站成⼀排的所有站法为________．(填序号)①甲⼄，⼄甲，甲丙，丙甲；②甲⼄丙，⼄丙甲；③甲⼄，甲丙，⼄甲，⼄丙，丙甲，丙⼄；④甲⼄，甲丙，⼄丙．3．已知A 2n ＝132，则n ＝________.4．从5个⼈中选出3⼈站成⼀排，则不同的排法有________种．5．记S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S 的个位数字是________．⼆、解答题6．计算：(1)2A 47－4A 56；(2)A 316－A 56A 35.7．解⽅程A 42x ＋1＝140A 3x .8．⽤1,2,3,4四个数字排成三位数，并把这些三位数从⼩到⼤排成⼀个数列{a n }．(1)写出这个数列的前11项；(2)求这个数列共有多少项．答案1．解析：①和③中两个元素交换顺序，结果发⽣变化，所以①和③是排列问题．答案：①③2．解析：这是⼀个排列问题，与顺序有关，任意两⼈对应的是两种站法，故③正确．答案：③3．解析：A 2n ＝n (n －1)＝132，即n 2－n －132＝0，⼜因为n ∈N *，所以n ＝12.答案：124．解析：从5个⼈中选出3⼈站成⼀排，共有A 35＝5×4×3＝60种不同的排法．答案：60 5．解析：1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120，⽽6！＝6×5！，7！＝7×6×5！，…，99！＝99×98×…×6×5！，所以从5!开始到99！，个位数字均为0，所以S 的个位数字为3.答案：36．解：(1)原式＝2×7×6×5×4－4×6×5×4×3×2＝6×5×4(2×7－4×6)＝120(14－24)＝－1 200.(2)原式＝16×15×14－6×5×4×3×25×4×3＝4×14－12＝44. 7．解：由题意得2x ＋1≥4，x ≥3，∴x ≥3. 根据排列数公式，原⽅程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)，x ≥3，两边同除以4x (x －1)，得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，即4x 2－35x ＋69＝0.解得x ＝3或x ＝534(因为x 为整数，故应舍去)．所以x ＝3.8．解：(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.(2)这个数列的项数就是⽤1,2,3,4排成三位数的个数，每⼀位都有4种排法，则根据分步计数原理共有4×4×4＝64项．课时跟踪训练(四) 排列的应⽤⼀、填空题1．由1,2,3,4,5,6,7,8⼋个数字，组成⽆重复数字的两位数的个数为________．(⽤数字作答)2．5个⼈站成⼀排，其中甲、⼄两⼈不相邻的排法有________种．(⽤数字作答)3．A，B，C，D，E五⼈并排站成⼀排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有________种．4．由数字1,2,3与符号“＋”和“－”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是________．5．将数字1,2,3,4,5,6按第⼀⾏1个数，第⼆⾏2个数，第三⾏3个数的形式随机排列，设N i(i＝1,2,3)表⽰第i⾏中最⼤的数，则满⾜N1⼆、解答题6．7名同学排队照相，(1)若分成两排照，前排3⼈，后排4⼈，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排3⼈，后排4⼈，但其中甲必须在前排，⼄必须在后排，有多少种不同的排法？7．从－3，－2，－1,0,1,2,3,4⼋个数字中任取3个不同的数字作为⼆次函数y＝ax2＋bx ＋c的系数a，b，c，问：(1)共能组成多少个不同的⼆次函数？(2)在这些⼆次函数中，图像关于y轴对称的有多少个？8．⽤0,1,2,3,4,5这六个数字，(1)能组成多少个⽆重复数字且为5的倍数的五位数？(2)能组成多少个⽐1 325⼤的四位数？答案1．解析：A28＝8×7＝56个．答案：562．解析：先排甲、⼄之外的3⼈，有A33种排法，然后将甲、⼄两⼈插⼊形成的4个空中，有A24种排法，故共有A33·A24＝72(种)排法．答案：723．解析：根据题⽬的条件可知，A，B必须相邻且B在A的右边，所以先将A，B两⼈捆起来看成⼀个⼈参加排列，即是4个⼈在4个位置上作排列，故不同的排法有A44＝4×3×2×1＝24(种)．答案：244．解析：符号“＋”和“－”只能在两个数之间，这是间隔排列，排法共有A33A22＝12种．答案：125．解析：由题意知数字6⼀定在第三⾏，第三⾏的排法种数为A13A25＝60；剩余的三个数字中最⼤的⼀定排在第⼆⾏，第⼆⾏的排法种数为A12A12＝4，由分步计数原理知满⾜条件的排列个数是240.答案：2406．解：(1)分两步，先排前排，有A37种排法，再排后排，有A44种排法，符合要求的排。

课下能力提升(六)组合的应用一、填空题1．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有________种．2．上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．3．圆周上有20个点，过任意两点连结一条弦，这些弦在圆内的交点最多有________个．4. 如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．5．20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数为________．二、解答题6．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？7．某医科大学的学生中，有男生12名，女生8名，在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？8．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式？答案1．解析：每个被选的人都无角色差异，是组合问题，分2步完成：第1步，选女工，有C13种选法；第2步，选男工，有C27种选法．故有C13·C27＝3×21＝63种不同选法．答案：632．解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C12C24种情况，若3人中没有甲企业的，则共有C34种情况，由分类计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有C12C24＋C34＝16(种)．答案：163．解析：在圆内的交点最多，相当于从圆周上的20个点，任意选4个点得到的，故最＝4 845个．多有C420＝20×19×18×174×3×2×1答案：4 8454．解析：先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．答案：125．解析：先在编号为2，3的盒内放入1，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120种方法．答案：1206．解：(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C59＝126(种)．(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C47种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C12种取法．所以，共有C12·C47＝70种取法．7．解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816种．(2)只需从其他18人中选5 人即可，共有C518＝8 568(种)．(3)分两类：甲、乙两人中只有一人参加，则有C12·C418种选法；甲、乙两人都参加，则有C318种选法．故共有C12·C418＋C318＝6 936种选法．8．解：甲公司从8项工程中选出3项工程，有C38种选法；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程有C15种选法；丙公司从甲、乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程有C24种选法；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程有C22种选法．根据分步计数原理可得不同的承包方式有C38×C15×C24×C22＝1 680(种)。

课时跟踪训练(五)组合与组合数公式一、填空题1．给出下面几个问题，其中是组合问题的是________．(1)从1,2,3,4中选出2个构成的集合；(2)由1,2,3组成两位数的不同方法；(3)由1,2,3组成无重复数字的两位数．2．已知C2n＝10，则n＝________.3．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．4．若C x28＝C3x－8，则x＝________.285．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.二、解答题6．列出从5个元素A，B，C，D，E中取出2个元素的所有组合．7．计算：A23＋A24＋A25＋…＋A2100.8．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？答 案1．解析：由题意知：(1)与顺序没有关系；(2)(3)与顺序有关，故是排列问题． 答案：(1)2．解析：C 2n ＝n (n －1)2×1＝10，解之得n ＝5. 答案：53．解析：设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得C 2n C 18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生有2人或3人．答案：2或34．解析：∵C x 28＝C 3x －828， ∴x ＝3x －8或x ＋(3x －8)＝28，即x ＝4或x ＝9.答案：4或95．解析：∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝12. 答案：126．解：从5个元素A ，B ，C ，D ，E 中取出2个元素的所有组合有：AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE 共10个．7．解：原式＝C 23A 22＋C 24A 22＋C 25·A 22＋…＋C 2100·A 22＝(C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2100)·A 22＝(C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2100－C 33)·A 22＝(C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2100－C 33)·A 22＝(C 35＋C 25＋…＋C 2100－C 33)·A 22＝(C3101－C33)·A22＝2C3101－2＝333 298.8．解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C210＝10×92×1＝45种选法．(2)可把问题分两类情况：第一类，选出的2名是男教师有C26种方法；第二类，选出的2名是女教师有C24种方法．根据分类计数原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21种不同的选法．(3)分步：首先从6名男教师中任选2名，有C26种选法；再从4名女教师中任选2名，有C24种选法；根据分步计数原理，所以共有C26·C24＝90种不同的选法．。

课时跟踪检测（五） 组合与组合数公式层级一 学业水平达标1．C 58＋C 68的值为( )A ．36B ．84C ．88D ．504解析：选A C 58＋C 68＝C 69＝C 39＝9×8×73×2×1＝84． 2．以下四个命题，属于组合问题的是( )A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析：选C 选项A 是排列问题，因为2个小球有顺序；选项B 是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项C 是组合问题，因为2位观众无顺序；选项D 是排列问题，因为两位司机开哪一辆车是不同的．选C ．3．方程C x 14＝C 2x －414的解集为( )A ．4B ．14C ．4或6D ．14或2解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝14－(2x －4)，2x －4≤14，x ≤14，解得x ＝4或6．4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆( )A．220个B．210个C．200个D．1 320个解析：选A C312＝220，故选A．5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )A．60种B．48种C．30种D．10种解析：选C 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C25种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有C23种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C25·C23＝30种．故选C．6．C03＋C14＋C25＋…＋C1821的值等于________．解析：原式＝C04＋C14＋C25＋…＋C1821＝C15＋C25＋…＋C1821＝C1721＋C1821＝C1822＝C422＝7 315．答案：7 3157．若已知集合P＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P的子集中含有3个元素的子集数为________．解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C36＝20种．答案：208．不等式C 2n －n<5的解集为________．解析：由C 2n －n<5，得n (n －1)2－n<5，∴n 2－3n －10<0． 解得－2<n<5．由题设条件知n ≥2，且n ∈N *， ∴n ＝2,3,4．故原不等式的解集为{2,3,4}．答案：{2,3,4}9．(1)解方程：A 3m ＝6C 4m ；(2)解不等式：C x －18>3C x 8．解：(1)原方程等价于m(m －1)(m －2)＝6×m (m －1)(m －2)(m －3)4×3×2×1，∴4＝m －3，m ＝7． (2)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≤8，x ≤8，∴x ≤8，且x ∈N *， ∵C x －18>3C x 8，∴8！(x －1)！(9－x )！>3×8！x ！(8－x )！． 即19－x >3x ，∴x>3(9－x)，解得x>274， ∴x ＝7,8．∴原不等式的解集为{7,8}．10．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)。

课时跟踪检测（六）组合的综合应用层级一学业水平达标1．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有() A．C32197·C23B．C33C2197＋C23C3197C．C5200－C5197D．C5200－C13C4197解析：选B至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共C23C3197种，(2)3件次品，2件正品，共C33C2197种，由分类加法计数原理得抽法共有C23C3197＋C33C2197，故选B．2．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选A设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意：C36－C3x＝16．即x(x－1)(x －2)＝6×5×4－16×6＝4×3×2．∴x＝4，即女生有2人．3．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有() A．C25C26种B．C25A26种C．C25A22C26A22种D．A25A26种解析：选B分两步进行：第一步：选出两名男选手，有C25种方法；第2步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A26种．故有C25A26种．4．将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法种数有()A．120 B．5C．240 D．180解析：选C先从5本中选出2本，有C25种选法，再与其他三本一起分给4人，有A44种分法，故共有C25·A44＝240种不同的分法．5．(四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个解析：选B当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A34个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有C13A34个偶数．故符合条件的偶数共有2A34＋C13A34＝120(个)．6．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有________种．解析：先分医生有A22种，再分护士有C24种(因为只要一个学校选2人，剩下的2人一定＝12种．去另一学校)，故共有A22C24＝2×4×32答案：127．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有________种不同送法．解析：每校先各得一台，再将剩余6台分成3份，用插板法解，共有C25＝10种．答案：108．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有________个．解析：分两类，第一类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有C14·C25种方法；第二类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点共有C24·C15种方法．∴满足条件的三角形共有C14·C25＋C24·C15＝70个．答案：709．(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？解：(1)正方体8个顶点可构成C48个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点．故可以确定四面体C48－12＝58个．(2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥12C14＝48个．10．7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？(1)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；(2)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．解：(1)第一步，将最高的安排在中间只有1种方法；第二步，从剩下的6人中选取3人安排在一侧有C36种选法，对于每一种选法只有一种安排方法，第三步，将剩下3人安排在另一侧，只有一种安排方法，∴共有不同安排方案C36＝20种．(2)第一步从7人中选取6人，有C67种选法；第二步从6人中选2人排一列有C26种排法，第三步，从剩下的4人中选2人排第二列有C24种排法，最后将剩下2人排在第三列，只有一种排法，故共有不同排法C67·C26·C24＝630种．层级二应试能力达标1．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A25解析：选C从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是C28A26，故选C．2．以圆x2＋y2－2x－2y－1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为()A．76 B．78C．81 D．84解析：选A如图，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝3，圆内共有9个整数点，组成的三角形的个数为C39－8＝76．故选A．3．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有()A．140种B．120种C．35种D．34种解析：选D若选1男3女有C14C33＝4种；若选2男2女有C24C23＝18种；若选3男1女有C34C13＝12种，所以共有4＋18＋12＝34种不同的选法．4．编号为1,2,3,4,5的五个人，分别坐在编号为1,2,3,4,5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为()A．120 B．119C．110 D．109解析：选D5个人坐在5个座位上，共有不同坐法A55种，其中3个号码一致的坐法有C35种，有4个号码一致时必定5个号码全一致，只有1种，故所求种数为A55－C35－1＝109．5．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有________种放法(用数字作答)．解析：设有A，B两个笔筒，放入A笔筒有四种情况，分别为2支，3支，4支，5支，一旦A笔筒的放法确定，B笔筒的放法随之确定，且对同一笔筒内的笔没有顺序要求，故为组合问题，总的放法为C27＋C37＋C47＋C57＝112．答案：1126．已知集合A＝{4}，B＝{1,2}，C＝{1,3,5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为________．解析：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C11C12C13A33＝36，但集合B，C中有相同元素1，由4,1,1三个数确定的不同点只有3个，故所求的个数为36－3＝33．答案：337．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．解：(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本，这件事分三步完成．第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本分给乙，有C35种方法；第三步：把剩下的2本书给丙，有C22种方法．根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法C49·C35·C22＝1 260(种)．所以甲得4本，乙得3本，丙得2本的分法共有1 260种．(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本，这件事分两步完成．第一步：按4本、3本、2本分成三组，有C49C35C22种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法．根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法C49C35C22A33＝7 560(种)．所以一人得4本，一人得3本，一人得2本的分法共有7 560种．8．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9．将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位，有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C14C12C13·22个．(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C24·22·A33个．(3)0和1都不取，有不同的三位数C34·23·A33个．综上所述，共有不同的三位数：C14·C12·C13·22＋C24·22·A33＋C34·23·A33＝432(个)．法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C35·23·A33个，其中0在百位的有C24·22·A22个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C35·23·A33－C24·22·A22＝432(个)．。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第2课时组合数的性质和应用双基达标(限时15分钟)1．计算C28＋C38＋C29＝________.解析C28＋C38＋C29＝(C28＋C38)＋C29＝C39＋C29＝C310＝10×9×83×2×1＝120.答案1202．平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成________个平行四边形．解析分别从一组m条中取两条，从另一组n条中取两条，可组成平行四边形，即共有C2m·C2n个平行四边形．答案C2m·C2n3．7名志愿者安排6人在周六、周日参加上海世博会宣传活动，若每天安排3人，则不同的安排方案有________种(用数字作答)．解析分两步：第一步，安排周六，有C37种方案；第二步，安排周日，有C34种方案，故共有C37C34＝140(种)不同的安排方案．答案1404．若C n12＝C2n－312，则n＝________.解析由C n12＝C2n－312，得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5.答案3或55．从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________种．解析 当甲、乙两人都参加时，有C 28＝28(种)选法；当甲、乙两人中有一人参加时，有C 38·C 12＝112(种)选法．∴不同的挑选方法有28＋112＝140(种)．答案 1406．求20C 5n ＋5＝4(n ＋4)C n －1n ＋3＋15A 2n ＋3中n 的值．解 20×(n ＋5)！5！n ！＝4(n ＋4)×(n ＋3)！(n －1)！4！＋15(n ＋3)(n ＋2) 即：(n ＋5)(n ＋4)(n ＋3)(n ＋2)(n ＋1)6＝(n ＋4)(n ＋3)(n ＋2)(n ＋1)n 6＋15(n ＋3)(n ＋2) ∴(n ＋5)(n ＋4)(n ＋1)－(n ＋4)(n ＋1)·n ＝90，即5(n ＋4)(n ＋1)＝90，∴n 2＋5n －14＝0，即n ＝2或n ＝－7，∵n ≥1且n ∈Z ，∴n ＝2.综合提高 (限时30分钟)7．某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图)．则从A 点走到B 点最短的走法有________种．解析 每条东西向街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段是走南北方向的)，共有C 610＝C 410＝210(种)走法．答案 2108．某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．解析分两类：①含有甲C12C24，②不含有甲C34，共有C12C24＋C34＝16种．答案169．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种(结果用数值表示)．解析设餐厅至少还需准备x种不同的素菜．由题意，得C25·C2x≥200，从而有C2x≥20.即x(x－1)≥40.∴x的最小值为7.答案710．从4名教师与5名学生中任选3人，其中至少要有教师与学生各1人，则不同的选法共有________种．解析满足题设的情形分为以下2类：第一类，从4名教师选1人，又从5名学生中任选2人，有C14C25种不同选法；第二类，从4名教师选2人，又从5名学生中任选1人，有C24C15种不同选法．因此共有C14C25＋C24C15＝70(种)不同的选法．答案7011．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，分别按下列要求，各有多少种不同的选法？(1)男、女同学各2名；(2)男、女同学分别至少有1名；(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．解(1)C25·C24＝60.(2)C15·C34＋C25·C24＋C35·C14＝120.C24＋C14·C13＋C23＝99.(3)120－()12．6个人进两间屋子，①每屋都进3人；②每屋至少进1人，问：各有多少种分配方法？解(1)先派3人进第一间屋，再让其余3人进第二间屋，有：C36·C33＝20(种)．(2)按第一间屋子内进入的人数可分为五类：即进一人、进2人、进3人、进4人、进5人，所以方法总数：C16C55＋C26C44＋C36C33＋C46C22＋C56C11＝62(种)．13．(创新拓展)某运输公司有7个车队．每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同抽法有多少种？解由于每队至少抽1辆，故问题转化为从7个车队中抽3辆车，可分类计算．第一类：3辆车都从1个队抽，有C17种；第二类：3辆车从2个队抽，有A27种；第三类：3辆车从3个队抽，有C37种．由分类计数原理，共有C17＋A27＋C37＝84(种)．。

第2课时组合的应用
学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．
知识点组合的特点
思考组合的特征有哪些？
梳理(1)组合的特点是只取不排
组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m 次不放回地取出．
(2)组合的特性
元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．
(3)相同的组合
根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．
类型一有限制条件的组合问题
例1男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)既要有队长，又要有女运动员．
反思与感悟(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏．
跟踪训练1在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
类型二与几何有关的组合应用题
例2如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB 上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.。

§1.3 组 合课时目标1.理解组合的概念，理解排列数A mn 与组合数C mn 之间的联系.2.理解并掌握组合数的两个性质，能够准确地运用组合数的两个性质进行化简、计算和证明.3.掌握排列、组合的一些常见模型和解题方法．1．组合 一般地，从n 个________元素中________________________，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．2．组合数与组合数公式组合数 定义 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的________________，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的 组合数 表示法________组合数公式 乘积 形式C mn ＝________________ 阶乘 形式C mn ＝________________性质 C mn ＝____________；C mn ＋1＝________＋________备注 ①n ，m ∈N *且m ≤n②规定C 0n ＝1 3.排列与组合(1)两者都是从n 个不同元素中取出m 个元素(m ≤n )；(2)排列与元素的顺序________，组合与元素的顺序________．一、填空题1．从5人中选3人参加座谈会，则不同的选法有______种．2．已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为______．3．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，则不同的选法有______种．4．房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，若至少开一个灯用以照明，则不同的开灯方法种数为______．5．某单位拟安排6位员工在今年6月4日至6日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值4日，乙不值6日，则不同的安排方法共有______种．6．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有________种．7．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有________种．8．若对∀x ∈A ，有1x ∈A ，就称A 是“具有伙伴关系”的集合，则集合M ＝{－1,0，13，1，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．2二、解答题9．假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？(1)没有次品；(2)恰有2件是次品；(3)至少有2件是次品．10．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外2名老师傅既能当车工又能当钳工，现要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法？能力提升11．将5位志愿者分成三组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，则不同的分配方案有________种．12．有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷又会划右舷，现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，问有多少种不同的选法？解答组合应用题的总体思路1．整体分类．对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时，使用分类计数原理．2．局部分步．整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用分步计数原理．3．考察顺序．区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用组合解答，有序的问题用排列解答．4．辩证地看待“元素”与“位置”．排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准，哪些事件看成元素或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定．有时“元素选位置”，问题解决得简捷，有时“位置选元素”，效果会更好．1．3 组合答案知识梳理1．不同取出m(m≤n)个元素并成一组2．所有组合的个数C m n n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！n！m！(n－m)！C n－mn Cmn Cm－1n3．(2)有关无关作业设计1．10解析所求为5选3的组合数C35＝10(种)．2．43．63解析每个被选的人都无角色差异，是组合问题．分2步完成：第1步，选女工，有C13种选法；第2步，选男工，有C27种选法；故有C13·C27＝63(种)不同选法．4．31解析因为开灯照明只与开灯的多少有关，而与开灯的先后顺序无关，这是一个组合问题．开1个灯有C15种方法，开2个灯有C25种方法，……5个灯全开有C55种方法，根据分类计数原理，不同的开灯方法有C15＋C25＋…＋C55＝31(种)．5．42解析若甲在6日值班，在除乙外的4人中任选1人在6日值班有C14种选法，然后4日、5日有C24C22种安排方法，共有C14C24C22＝24(种)安排方法；若甲在5日值班，乙在4日值班，余下的4人有C14C13C22＝12(种)安排方法；若甲、乙都在5日值班，则共有C24C22＝6(种)安排方法．所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．6．600解析 可以分情况讨论：①甲、丙同去，则乙不去，有C 25·A 44＝240(种)选法；②甲、丙同不去，乙去，有C 35·A 44＝240(种)选法；③甲、乙、丙都不去，有A 45＝120(种)选法，所以共有600(种)不同的选派方案．7．432解析 分3类：第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C 12·C 12·C 12·C 12·A 44种；第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C 22·C 22·A 44种；第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C 22·C 22·A 44种．故满足题意的所有不同的排法共有C 12·C 12·C 12·C 12·A 44＋C 22·C 22·A 44＋C 22·C 22·A 44＝432(种)．8．15解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；12，2；13，3，共4组，所以集合M 的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝15.9．解 (1)没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有C 597＝64446024(种)．(2)恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有C 397C 23＝442 320(种)．(3)至少有2件是次品的抽法，按次品件数来分有两类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有C 397C 23种．第二类，从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有C 297C 33种．按分类计数原理有C 397C 23＋C 297C 33＝446 976(种)． 10．解 设A ，B 代表2名老师傅．A ，B 都不在内的选派方法有C 45·C 44＝5(种)；A ，B 都在内且当钳工的选派方法有C 22·C 25·C 44＝10(种)；A ，B 都在内且当车工的选派方法有C 22·C 45·C 24＝30(种)；A ，B 都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有C 22·A 22·C 35·C 34＝80(种)；A ，B 有一人在内且当钳工的选派方法有C 12·C 35·C 44＝20(种)；A ，B 有一人在内且当车工的选派方法有C 12·C 45·C 34＝40(种)； 所以共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)选派方法． 11．90解析 分成3组有C 25·C 23·C 11A 22＝15(种)分法． 分赴世博会三个场馆有A 33＝6(种)方法， ∴共有15×6＝90(种)．12．解 设集合A ＝{只会划左舷的3个人}，B ＝{只会划右舷的4个人}，C ＝{既会划左舷又会划右舷的5个人}．先分类，以集合A 为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A 中有3人；②A 中有2人；C 中有1人；③A 中有1人，C 中有2人；④C 中有3人．第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B ∪C 中选3人，即有C 39种选法．因是分步问题，所以有C 33·C 39种选法．第②类，划左舷的人在A 中选2人，有C 23种选法，在C 中选1人，有C 15种选法，划右舷的在B ∪C 中剩下的8个人中选3人，有C 38种选法．因是分步问题，所以有C 23·C 15·C 38种选法．类似地，第③类，有C 13·C 25·C 37种选法，第④类有C 03·C 35·C 36种选法．所以一共有C 33·C 39＋C 23·C 15·C 38＋C 13·C 25·C 37＋C 03·C 35·C 36＝84＋840＋1 050＋200＝2 174(种)选法．。

＋C55＝31种．答案：318．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．解析：有C13·C24·A22＝36种满足题意的分配方案．其中C13表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C24表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A22表示将剩下的2名大学生分配到另两个乡镇去的方法数．答案：36三、解答题(每小题10分，共20分)9．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？(用数字作答)(1)男、女同学各2名．(2)男、女同学分别至少有1名．(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．解析：(1)(C25C24)A44＝1 440，所以男、女同学各2名共有1 440种选法．(2)(C15C34＋C25C24＋C35C14)A44＝2 880，所以男、女同学分别至少有1名共有2 880种选法，(3)[120－(C23＋C14C13＋C24)]A44＝2 376，所以在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出共有2 376种选法．10．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解析：方法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位，有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C14C12C13·22个．(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C24·22·A33个．(3)0和1都不取，有不同的三位数C34·23·A33个．综上所述，共有不同的三位数：C14·C12·C13·22＋C24·22·A33＋C34·23·A33＝432(个)．方法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C35·23·A33个，其中0在百位的有C24·22·A22个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C35·23·A33－C24·22·A22＝432(个)．|能力提升|(20分钟，40分)11．由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为()A．45 B．90C．120 D．360解析：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1,2,3，所以由分步计数原理有C26C24C22＝90(个)不同的六位数，故选B.答案：B12.如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，不同的取法种数为________．解析：满足要求的点的取法可分为三类：第一类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4C35种取法；第二类，在两条相对侧棱上除点P外任取3点，有2C34种取法；第三类，过点P的侧棱中，每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C12种取法．所以，满足题意的不同取法共有4C35＋2C34＋4C12＝56(种)．答案：5613．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．解析：(1)一名女生，四名男生，故共有C15·C48＝350(种)选法．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165(种)选法．(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．故共有C12·C411＋C22·C311＝825(种)选法．或采用间接法：C513－C511＝825(种)．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)选法．(5)分两类：第一类，女队长当选，有C412种选法；第二类，女队长不当选，有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44(种)选法，故选法共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790(种)．14．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点，(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同体积的三棱锥？解析：(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个．②α内2点，β内1点确定的平面，有C24·C16个．③α，β本身．故所作的平面最多有C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．(2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C14·C36个．②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C24·C26个．③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C34·C16个．∴最多可作出的三棱锥有：C14·C36＋C24·C26＋C34·C16＝194(个)．(3)∵当等底面积，等高的情况下三棱锥体积才能相等，∴体积不相同的三棱锥最多有C36＋C34＋C26·C24＝114(个)．。