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正弦定理知识点总结图1. 正弦定理的基本概念正弦定理是指在一个三角形中，三条边和三角形内角之间的关系。
它的数学表达形式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c 分别为三角形的三条边的长度，A、B、C 分别表示三角形的三个内角，sinA、sinB、sinC 分别表示三角形的三个内角的正弦值。
2. 正弦定理的应用条件正弦定理适用于任意三角形，无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，都可以使用正弦定理来求解。
正弦定理不仅适用于平面几何中的三角形，还可以应用于空间几何中的四面体以及其他几何图形的相关问题。
3. 正弦定理的推导为了更好地理解正弦定理，我们可以通过几何方法对其进行推导。
下面我将用一个实例来演示正弦定理的推导过程。
假设有一个三角形ABC，其三条边分别为 a、b、c，对应的内角分别为 A、B、C。
现在我们要推导出正弦定理，即 a/sinA = b/sinB = c/sinC。
首先，我们将三角形ABC的边a与边b所对的角分别为C和A，利用正弦函数的定义可以得到以下等式：sinA = b/csinC = a/b将上面两个等式联立起来，可以得到以下关系：sinA/sinC = b/c同理，我们可以利用三角形ABC的边b与边c所对的角B和A，再利用正弦函数的定义可以得到以下等式：sinA = c/bsinB = a/c将上面两个等式联立起来，可以得到以下关系：sinA/sinB = c/a由于 sinA/sinC = b/c，sinA/sinB = c/a，两式取等号可以得到：b/c = c/a进一步化简得到：a/sinA = b/sinB = c/sinC通过上述推导可以看出，正弦定理的推导是基于三角形的边长和内角之间的关系，通过正弦函数的定义可以得到正弦定理的表达式。
4. 正弦定理的应用举例在实际问题中，我们可以通过正弦定理来求解三角形相关的问题。
下面我将通过几个实例来具体展示正弦定理的应用。
听课随笔第3课时 正弦定理（3）知识网络⎪⎩⎪⎨⎧解的个数的判定平面几何中某些问题判断三角形状正弦定理的应用学习要求1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形； 2．熟记正弦定理及其变形形式； 3．判断△ＡＢＣ的形状.【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===CcB b A a sin sin sin R 2, sin sin sin sin sin a b a b cA B A B C±±±==±±±R 为ABC ∆的外接圆的半径2．三角形的面积公式：（1）s=C ab sin 21=A bc sin 21=B ca sin 21（2）s=C B A R sin sin sin 22（3）s=Rabc4【精典范例】【例1】在△ＡＢＣ中，已知A a cos ＝Bbcos ＝Cccos ，试判断△ＡＢＣ的形状． 【解】令Aasin ＝ｋ，由正弦定理，得C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===代入已知条件，得A A c o s s i n ＝BBcos sin ＝CCcos sin ，即tan Ａ＝tan Ｂ＝tan Ｃ． 又Ａ，Ｂ，Ｃ∈ （０，π），所以Ａ＝Ｂ＝Ｃ，从而△ＡＢＣ为正三角形． 点评: 通过正弦定理，可以实现边角互化． 【例2】在△ＡＢＣ中，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，用正弦定理证明AC AB ＝DCBD ． 【证】 设∠ＢＡＤ＝α，∠ＢＤＡ＝β，则∠ＣＡＤ＝α，∠ＣＤＡ＝１８０°－β．在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中分别运用正弦定理，得AC AB ＝αβsin sin ，DC AC ＝αβsin )180sin(0-．又ｓｉｎ（１８０°－β）＝ｓｉｎβ，所以BD AB ＝DC AC ，即ACAB＝DCBD． 【例3】根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数．（1）5a =，4b =，120A =︒，求B ； （2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；（3）a =，b =，45A =︒，求B ；（4）a =，b =，45A =︒，求B ；（5）4a =，b =，60A =︒，求B ． 【解】（1）∵120A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解．（2）∵90A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于A 为锐角，而=即A b a sin =，因此仅有一解90B =︒． （4）由于A为锐角，而2>>=sin b a b A >>，因此有两解，易解得60120B =︒︒或．（5）由于A为锐角，又4sin 6053<︒=，即sin a b A <， ∴B 无解． 追踪训练一1. 在△ABC 中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，听课随笔则解此三角形的结果是（C）A.无解B.一解C.两解D.解的个数不能确定2.在△ABC中，若BA2=，则a等于（D ）A．Ab sin2B．Ab cos2C．Bb sin2D．Bb cos23.在△ABC中，若22tantanbaBA=，则△ABC的形状是（D ）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形【选修延伸】【例4】如图所示，在等边三角形中，,AB a=O为三角形的中心，过O的直线交AB于M，交AC于N，求2211OM ON+的最大值和最小值．【解】由于O为正三角形ABC的中心，∴AO=，6MAO NAOπ∠=∠=，设MOAα∠=，则233ππα≤≤，在AOM∆中，由正弦定理得：s i n s i n[()]6O M O AM A Oππα=∠-+，∴6sin()6OMπα=+，在AON∆中，由正弦定理得：6sin()6ONπα=-，∴2211OM ON+22212[sin()sin(66aππαα=++-22121(sin)2aα=+，∵233ππα≤≤，∴3sin14α≤≤，故当2πα=时2211OM ON+取得最大值218a，所以，当α=2,33orππ时23sin4α=，此时2211OM ON+取得最小值215a．追踪训练二1.在ABC∆中，::4:1:1A B C=，则::a b c=( D )A．4:1:1B．2:1:1CD2.在ABC∆中，若sin:sin:sin4:5:6A B C=，且15a b c++=，则a= 4 ，b= 5 ，c= 6 ．3.已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶2，则A∶B∶C等于( A )A．1∶2∶3 B．2∶3∶1C．1∶3∶2 D．3∶1∶24.如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为( C)A.75°B.60°C.50°D.455．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(1-2k)∶3k(k≠0)，则k的取值范围为( B)A．(2，＋∞)B．(61，41)C．)0,21(-D．),21(+∞6．在△ABC 中， 证明：2222112cos 2cos b a b B a A -=-. 证明：222222sin 21sin 212cos 2cos b B a A b B a A ---=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=222222sin sin 211b B a A b a 由正弦定理得：2222sin sin b B a A = 2222112cos 2cos b a b B a A -=-∴。
§1.1.1第3课时 正弦定理(3)
教学目标
（1）掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形，解决实际问题；
（2）熟记正弦定理2sin sin sin a b c R A B C
===及其变形形式． 教学重点，难点
应用正弦定理和三角形面积公式解题．
教学过程
一．问题情境
1．正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等， 即：
2sin sin sin a b c R A B C
===（R 为ABC ∆的外接圆的半径）； 2．三角形面积公式：111sin sin sin 222ABC S bc A ac B ab C ∆===． 二．建构数学
1．正弦定理的变形形式：
（1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===；
（2）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R
=
==； （3）sin sin sin ::::A B C a b c =． 2．利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：
（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；
（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．
一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）．
A b a sin = b a A b <<sin b a ≥ b a > 一解 两解 一解 一解
三．数学运用
1．例题：
例1．根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数．
（1）5a =，4b =，120A =︒，求B ；（2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；
（3）a =b =45A =︒，求B ；
（4）a =b =，45A =︒，求B ；（5）4a =，3b =
，60A =︒，求B ． 解：（1）∵120A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解．
（2）∵90A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解．
（3）由于A 为锐角，而2
=A b a sin =，因此仅有一解90B =︒．
（4）由于A
为锐角，而2
>>=sin b a b A >>，因此有两解，易解得60120B =︒︒或． （5）由于A
为锐角，又4sin 605<
︒=，即sin a b A <，∴B 无解． 例2．在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b c A B C
==判断ABC ∆的形状． 解：令sin a k A
=，由正弦定理，得sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入已知条件，得sin sin sin cos cos cos A B C A B C
==，即tan tan tan A B C ==．又A ，B ，C (0,)π∈，所以A B C ==，从而ABC ∆为正三角形． 说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？
（2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．
例3．某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度(精确到1米)．
分析：要求BC ，只要求AB ，为此考虑解ABD ∆．
解：过点D 作//DE AC 交BC 于E ，因为20DAC ∠=︒，
所以160ADE ∠=︒，于是36016065135ADB ∠=︒-︒-︒=︒．
又352015BAD ∠=︒-︒=︒，所以30ABD ∠=︒．
在ABD ∆中，由正弦定理，得
sin 1000sin135)sin sin 30AD ADB AB m ABD ∠︒=
==∠︒
． 在Rt ABC ∆
中，sin35811()BC AB m =︒=︒≈．
答：山的高度约为811m ．
例4．如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，
交AC 于N ，求22
11OM ON +的最大值和最小值． 解：由于O 为正三角形ABC
的中心，∴AO =， 6MAO NAO π∠=∠=，设MOA α∠=，则233
ππα≤≤， 在AOM ∆中，由正弦定理得：sin sin[()]6
OM OA MAO ππα=∠-+，
∴6
sin()6OM πα=+，在AON ∆
中，由正弦定理得：6sin()6
a ON πα=-，∴2211OM ON +22212[sin ()sin ()]66a ππαα=++-22121(sin )2
a α=+， ∵233ππα≤≤，∴3sin 14α≤≤，故当2πα=时2211OM ON +取得最大值2
18a ， 所以，当α=2,33or ππ时23sin 4α=，此时2211OM ON +取得最小值215a
． 2．练习：
课本第10页练习第1、2、3题．
五．回顾小结：
1．正弦定理能解给出什么条件的三角形问题？
2．由于有三角形面积公式，故解题时要注意与三角形面积公式及三角形外接圆直径联系在一起．
六．课外作业：
课本第11页习题1.1第3、4、5、7题。
