A
B
C c
b
a
C
B
A
D
a
b
c A
B C
D
a
b
c
△ABC 中的三个内角∠A ，∠B ，∠C 的对边，分别用,,a b c 表示. 正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即
==
sin sin sin a b c
A B C
证明：按照三角形的种类，分三种情形证明之. (1) 在Rt ABC ∆中，如图1-1
sin =
a A c ，sin =
b B
c 因此，==sin sin a b
c A B
有因为sin =1C ，所以
==
sin sin sin a b c
A B C
（2）在锐角△ABC 中，如图1-2
作CD AB ⊥于点D ，有sin =
CD A b ，sin =CD
B a ， 因此，sin =sin b A a B ，即=
sin sin a b
A B
同理可证：=sin sin a c A C ，故==
sin sin sin a b c
A B C
.
（3）在钝角△ABC 中，如图1-3
作CD AB ⊥，交AB 的延长线于点D ，则
sin =CD A b ，sin =sin =CD
ABC CBD a
∠ 因此，sin =sin b A a B ，即=
sin sin a b
A B
同理可证：=
sin sin b c
B C 故==
sin sin sin a b c A B C
综上所述，在任意的三角形中，正弦定理总是成立.
B
A
C
B
证明：如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，半径为R 连接AO 并延长，交圆O 于点D ，连接CD ，
易知，=90ACD ∠，=B D ∠∠
sin =
=
2AC b D AD R ，即sin =2b
B R 因此=2sin b R B
同理，延长,BO CO ，
可证==2sin sin a c R A C 故===2sin sin sin a b c R A B C
证明：过点B 作单位向量j BC ⊥，那么就有 j AC j AB j BC =+
cos(90)cos(90)0b C c B ⇒+=++sin b C ⇒-=sin sin b c
B C
⇒
=
， 同理有sin sin a b
A B =
。 故==
sin sin sin a b c A B C
【小技巧】
根据几何图形确定向量夹角的方法：
如果两个向量所在之间直线相交，或通过平移一个向量而相交，那么 （1） 向量夹角为锐角，很容易判断；
（2） 向量夹角为钝角时，可以先判断锐角，再取补角 例如：
确定向量j 与向量AB 的夹角时，由于是钝角，
先确定向量j 与向量BA 的夹角为90B -，再求补角，即为90B + 确定向量j 与向量AC 的夹角时，先平移j ，同上可得，夹角为90C +
