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1.1 命题及其关系自主复习考点清单： 四种命题四种命题及其相互关系考点详情：重点一：四种命题一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
1. 原命题与逆命题一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．也就是说，如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆命题为“若q ，则p ”． 2. 否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．也就是说，如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”． 3. 逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题．也就是说，如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”．注意：在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或重复．重点二：四种命题及其相互关系 1. 四种命题间的相互关系2. 四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系. 例题1．设m ∈R ，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m >B ．若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m >D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤【答案】D【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D ． 2．命题“0x ∃∈∞(0,+)，lnx 0=x 0－1”的否定是( ) A.(0,)x ∀∈+∞,lnx ≠x －1 B.(0,)x ∀∉+∞,lnx=x －1 C.0x ∃∈∞(0,+),lnx 0≠x 0－1D.0x ∃∉∞(0,+),lnx 0=x 0－1【答案】C名师导学：1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1) 对于不是“若p ，则q”形式的命题，需先改写； (2) 若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提． 2．命题真假的两种判断方法(1) 联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断． (2) 利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．3．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论． 4．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且BA)与A 的充分不必要条件是B(B ⇒A 且AB)两者的不同．巩固练习1. 设实数a ，b ，t 满足|a+1|=|ainb|=t( ) A. 若t 确定,则b 2唯一确定 B. 若t 确定,则a 2+2a 唯一确定 C. 若t 确定,则sin2b唯一确定 D. 若t 确定,则a 2+a 唯一确定2. 已知a ，b ，c ∈R,命题“若a+b+c=3，则a 2+b 2+c 2≥3”的否命题是( ) A. 若a+b+c≠3,则a 2+b 2+c 2<3 B. 若a+b+c=3,则a 2+b 2+c 2<3 C. 若a+b+c≠3,则a 2+b 2+c 2≥3D. 若a 2+b 2+c 2≥3,则a+b+c=33. 命题“若4απ=，则tan α=1”的逆否命题是( ) A. 若4απ≠,则tan α≠1 B. 若4απ=,则tan α≠1 C. 若tan α≠1,则4απ≠D. 若tan α≠1,则4απ=4. 给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( ) A. 3B. 2C. 1D. 05. 已知命题p:x ∀∈R ，2x<3x；命题q:x ∃∈R ，x 3=1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A. p ∧qB. p q ⌝∧C. p q ∧⌝D. p q ⌝∧⌝6. 已知命题p:12,x x ∀∈R ，(f(x 2)－f(x 1))(x 2－x 1)≥0，则p ⌝是( ) A. 12,x x ∃∈R ,(f(x 2)－f(x 1))(x 2－x 1)≤0 B. 12,x x ∀∈R ,(f(x 2)－f(x 1))(x 2－x 1)≤0 C. 12,x x ∃∈R ,(f(x 2)－f(x 1))(x 2－x 1)<0D. 12,x x ∀∈R ,(f(x 2)－f(x 1))(x 2－x 1)<07. 下列命题中的假命题是( )A. x ∃∈R ,lgx=0B. x ∃∈R ,tanx=1C. x ∀∈R ,x 3>0D. x ∀∈R ,2x >0参考答案与解析1.【答案】B2.【答案】A【解析】由否命题的定义可知原命题的否命题为:若a+b+c≠3,则a 2+b 2+c 2<3,既否定条件,又否定结论. 3.【答案】C【解析】根据命题“若p,则q”的逆否命题是“若非q,则非p”的知识求解.命题“若4απ=,则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1,则4απ≠”. 4.【答案】C【解析】因为函数是幂函数,所以可设f(x)=x a ,(a 为常数),所以当x ＞0时,x a ＞0,故函数图象不可能过第四象限,故原命题正确,从而其逆否命题也正确,但是其逆命题显然是错误的,故三个命题中真命题只有一个.5.【答案】B【解析】∵命题p:x ∀∈R ,2x <3x 是假命题,命题q:x ∃∈R ,x 3=1－x 2是真命题,∴命题p ∧q 是假命题,命题p q ⌝∧是真命题,命题p q ∧⌝假命题,命题p q ⌝∧⌝是假命题,故选B.6.【答案】C【解析】命题的否定只否定量词和结论,故原命题的否定为“∃x 1,x 2∈R,(f(x 2)－f(x 1))(x 2－x 1)<0”. 7.【答案】C。
清泉州阳光实验学校教案11常用逻辑用语一、课前检测1．以下语句中是命题的是〔B 〕A 周期函数的和是周期函数吗？B 145sin =︒C 0122>-+x xD 梯形是不是平面图形呢？2.命题“假设p 不正确，那么q 不正确〞的逆命题的等价命题是〔D 〕A ．假设q 不正确，那么p 不正确B.假设q 不正确，那么p 正确C ．假设p 正确，那么q 不正确D.假设p 正确，那么q 正确3．“假设240b ac -<，那么20ax bx c ++=没有实根〞，其否命题是〔C 〕A ．假设240b ac ->，那么20ax bx c ++=没有实根B ．假设240b ac ->，那么20ax bx c ++=有实根 C ．假设240b ac -≥，那么20ax bx c ++=有实根D ．假设240b ac -≥，那么20ax bx c ++=没有实根4.〔2021文〕以下命题中的假命题是〔C 〕 A.,lg 0x R x∃∈= B.,tan 1x R x ∃∈= C.3,0x R x ∀∈> D.,20x x R ∀∈>5.23:,522:>=+q p ,那么以下判断中，错误的选项是〔B 〕A.p 或者者q 为真，非q 为假B.p 或者者q 为真，非p 为假C.p 且q 为假，非p 为真D.p 且q 为假，p 或者者q 为真 二、知识梳理 〔一〕、逻辑联结词1．可以的语句叫做命题．命题由两部分构成； 解读：2．常见的逻辑联结词有、、，它们的符号表示分别为、、。
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互解读：3．“或者者〞、“且〞、“非〞的真值判断 〔1〕“非p 〞形式复合命题的真假与P 的真假相反；〔2〕“p 且q 〞形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； 〔3〕“p 或者者q 〞形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真． 解读： 〔二〕、四种命题1．四种命题：原命题：假设p 那么q ；逆命题：、否命题：逆否命题：. 解读：2．四种命题的关系：原命题与它的逆否命题同、否命题与逆命题同． 解读：3.命题假设p 那么q 的否认形式为。
2021年高考数学一轮复习逻辑第1课时逻辑联结词和四种命题教学案1．理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．2．学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；1．简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题．2．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．1课时逻辑联结词和四种命题1．可以的语句叫做命题．命题由两部分构成；命题有之分；数学中的定义、公理、定理等都是命题．2．逻辑联结词有，不含的命题是简单命题．由的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：，(其中p，q都是简单命题)．3．判断复合命题的真假的方法—真值表：“非p”形式的复合命题真假与p的当p 与q都真时，p且q形式的复合命题，其他情形；当p与q都时，“p或q”复合形式的命题为假，其他情形．二、四种命题1．四种命题：原命题：若p则q；逆命题：、否命题：逆否命题： .2．四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题、否命题、逆否命题．原命题与它的逆否命题同、否命题与逆命题同．3．反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否定其出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法．典型例题例1. 下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是（）A．p:0＝；q:0∈B．p：在ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；y＝sin x在第一象限是增函数C．；不等式的解集为D．p：圆的面积被直线平分；q：椭圆的一条准线方程是x＝4解：由已知条件，知命题p假且命题q真.选项(A)中命题p、q均假，排除；选项(B)中，命题p真而命题q假，排除；选项(D)中，命题p和命题q都为真，排除；故选(C)．变式训练1：如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题.那么（）A．命题p和命题q都是假命题B．命题p和命题q都是真命题C．命题p和命题“非q”真值不同D．命题q和命题p的真值不同解： D例2.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:(1) 若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(2) 若ab＝0，则a＝0或b＝0；(3) 若x2＋y2＝0，则x、y全为零.解：(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，为假命题．否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．(3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，为真命题．逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．变式训练2：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形.解：（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.原命题为真命题，否命题也为真命题.（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题.（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.原命题是假命题，否命题是真命题.例3.已知p：有两个不等的负根，q：无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．分析：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论．解：p：有两个不等的负根．q ：无实根．31016)2(1622<<⇔<--=∆m m 因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反． (ⅰ) 当p 真且q 假时，有；(ⅱ) 当p 假且q 真时，有．综合，得的取值范围是{或}．变式训练3：已知a>0,设命题p:函数y=a x 在R 上单调递减，q ：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围.解 ： 由函数y=a x 在R 上单调递减知0<a<1，所以命题p 为真命题时a 的取值范围是0<a<1,令y=x+|x-2a|,则y=不等式x+|x-2a|>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a>1，即a>即q 真a>若p 真q 假,则0<a ≤若p 假q 真，则a ≥1,所以命题p 和q 有且只有一个命题正确时a 的取值范围是0<a ≤或a ≥1.例4. 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋，b ＝y 2－2z ＋，c ＝z 2－2x ＋．求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．证明：假设都不大于0，即 ，则 而623222222πππ+-++-++-=++x z z y y x c b a ＝3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x，．相矛盾．因此中至少有一个大于0．变式训练4：已知下列三个方程：①x 2＋4ax －4a ＋3＝0，②x 2＋ (a －1)x ＋a 2＝0，③x 2＋2ax－2a ＝0中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.解：设已知的三个方程都没有实根．则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=∆<--=∆<-+=∆08)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a 解得．故所求a 的取值范围是a ≥－1或a ≤－．q ”与“p 且q ”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p 或q ”还是“p 且q ”形式．2．当一个命题直接证明出现困难时，通常采用间接证明法，反证法就是一种间接证法．3．反证法的第一步为否定结论，需要掌握常用词语的否定（如“至少”等），而且推理过程中，一定要把否定的结论当条件用，从而推出矛盾．用反证法证明命题的一般步骤为：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定所证命题正确．。
第一章常用逻辑用语一、命题1、定义：能够判断真假的陈说语句，分为真命题和假命题.2、一般形式：“ 若p则q” .二、四种命题原命题：若 p则 q p q抗命题：若 q则 p q p否命题：若p则 q p q逆否命题：若q则 p q p例：原：若一个数是负数，则它的平方是正数.(真)逆：若一个数的平方是正数，则这个数是负数.(假 )否：若一个数不是负数，则它的平方不是正数.(假 )逆否：若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数.(真 )结论 :①互为逆否的命题同真，同假.②原命题与抗命题、原命题与否命题的真假没关.三、充足条件与必需条件1、若 p q , 称 p是 q的充足条件， q是 p的必需条件 .2、若 p q, 称 p不是 q的充足条件， q不是 p的必需条件 .3、若 p q并且 q p, 记作“ p q” , 称 p是q的充足必需条件，简称p是 q的充要条件 .注：能够借助会合关系来判断：p q p是 q的充足条件 .p q p是 q的充足不用要条件 .例：“ 福州人” “ 福建人” 会合“ 福州人”“ 福建人” 命题“福州人”是“福建人”的充足条件 .“福建人”是“福州人”的必需条件 .四、复合命题真假的表格.1、2、3、五、全称量词、存在量词1、全称命题 p :x M , P x2、特称命题 p : x0M , P x0它的否认 p :x M , P x0它的否认 p : x M , P x例：“ 四边形都有外接圆”P :四边形ABCD ,都有A、B、C、D共圆.全称命题P : 四边形 A1 B1C1D1此中A1 + C1 =200，此中 A、 B、 C、D不共圆 . 特称命题“存在 x0R，使 x02 +2x020 "P : x0R，使 x02 +2x020P : x R， x2 +2x 20。
河北省承德市高中数学第一章常用逻辑用语1.2.3 四种命题及相互关系导学案新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省承德市高中数学第一章常用逻辑用语1.2.3 四种命题及相互关系导学案新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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四种命题及其相互关系学习目标：1.了解四种命题的概念2．了解命题的逆命题，否命题、逆否命题，能写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题．能利用四种命题间的相互关系判断命题的真假．1。
教学重点：了解命题的逆命题、否命题、逆否命题．2.教学难点：分析四种命题的相互关系以及四种命题的真假之间的关系．方法：自主学习合作探究师生互动知识点1:命题的逆命题，否命题，逆否命题1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做__________,其中一个命题叫做__________，另一个叫做原命题的__________．2．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个命题叫做__________，其中一个命题叫做__________,另一个叫做原命题的__________．3．一般地,对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫做______________,其中一个命题叫做________，另一个叫做原命题的__________．牛刀小试1．观察下列四个命题：(1)若两个角是对顶角,则它们相等；（2)若两个角相等，则它们是对顶角；（3)若两个角不是对顶角，则它们不相等；(4)若两个角不相等，则它们不是对顶角．①命题(1）与命题(2）(3)(4）的条件和结论之间分别有什么关系？课堂随笔：②若（1)为原命题，则（2)为(1）的__________________命题，（3)为（1)的__________________命题，（4)为(1）的__________________命题．若（4）为原命题,则（1）为（4)的__________________命题，（2）为（4）的__________________命题，（3）为（4)的__________________命题．知识点2：四种命题的相互关系及真假判断4．四种命题的相互关系5．(1）原命题为真，它的逆命题__________为真．(2)原命题为真，它的否命题__________为真．（3）原命题为真,它的逆否命题__________为真．即互为逆否的命题是等价命题，它们同_____同______,同一个命题的逆命题和否命题是一对互为_______的命题，它们同______同________．牛刀小试2．（2015·山东文）设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m ＝0有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤03．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4 4．给出命题:“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ≠b 且c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d";对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 题型一：命题的四种形式之间的转换 例1：写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题． (1）负数的平方是正数； （2）正方形的四条边相等． 跟踪训练1: 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题． (1)若x2＋y2＝0，则x 、y 全为0。
1.1 命题学习目标1.了解命题的概念。
2.通过实际的例子，让学生体会四种命题的关系。
学习重点命题的概念。
学习难点四种命题的关系。
学法指导学会从具体数学实例中抽象出命题概念的过程。
学习过程学习笔记（教学设计）【自主学习（预习案）】阅读教材P43 内容，完成下列问题：一.命题1.概念：2.真假命题：二.命题的结构1.一般地，每一个命题都可以写成"若P，则q"的形式，其中命题中的P叫做命题的----，q叫做命题的----,也就是说，命题由-----和------两部分组成。
三. 四种命题及其关系1.什么是原命题，逆命题，否命题，逆否命题.2.四种命题有什么关系？【合作学习（探究案）】小组合作完成下列问题探究一.例1 写出命题“对顶角相当”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断这四种命题的真假。
探究二;例2 设原命题是“若a=0, 则ab=0 ”。
（1）写出它的逆命题，否命题和逆否命题；（2）判断这四个命题是真命题还是假命题。
【当堂检测】1.把下列命题写成"若P，则q"的形式，并判断命题真假。
（1）当ac > bc 时， a > b；（2）已知x,y为正整数，当y=x+1时， y=3,x=2;（3）当abc=0时 ,a=0 或 b=0 或 c=0;2.课本p5练习1,2【当堂小结】1.通过实际的例子，让学生体会四种命题的关系。
2. 引导学生归纳总结出四种命题的相互关系，以及互为逆否命题的两个命题之间的等价关系【课后巩固（布置作业）】p习题1-1 1，2,35【纠错反思（教学反思）】。
命题教学目标： 1. 了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式2..熟练四种命题之间的关系，及四种命题的真假性之间的关系，并能利用四种命题真假性之间的内在联系进行推理论证3.培养学生简单推理的思维能力.教学重点： 1. 命题的改写2.四种命题之间的相互关系即真假性之间的联系教学难点： 1.命题概念的理解.2.利用真假性之间的内在联系进行推理论证．授课类型：新授课教具准备：多媒体课件．教学过程：一、导入新课（用ppt给出）思考：请判断下列语句的真假，能否看出这些语句的表达形式有什么特点？（1）若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；（2） 2 + 4 = 7；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）若 x2 = 1 , 则 x = 1 ；（5）两个全等的三角形面积相等；（6）3能被2整除.引导学生归纳以上语句特点：1 都是陈述句2 可以判断真假，其中，（2）（4）（6）判断为假，其它3个判断为真。
二．新课教授1. 教学命题的概念：①命题：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 强调，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.上述6个语句中，（1）（2）（3）（4）（5）（6）是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.上述5个命题中，（2）（4）（6）是假命题，其它3个都是真命题.③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？、（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）对数函数是增函数吗？（4）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行（52 =-（6）x>15（学生自练→个别回答→教师点评）分析加固对命题概念的理解2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式：①具体分析例1中的（2）（4）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. (这种命题也可写成“如果p，那么q”“只要p，就有q”等形式例2 指出下列命题的条件p和结论q：（会区分条件p和结论q）（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．②数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式,例如“垂直于同一条直线的两个平面平行”，但是把它的形式作适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式：若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．这样，它的条件和结论就很清楚了．也便于我们判断真假。
第一课常用逻辑用语[体系构建][题型探究]命题“若p，则q﹁p，则﹁q”逆否命题为“若﹁q，则﹁p”．书写四种命题应注意：(1)分清命题的条件与结论，注意大前提不能当作条件来对待．(2)要注意条件和结论的否定形式．写出命题：“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假．[思路探究] 四种命题的概念→写出其它命题→命题真假的判断【规范解答】原命题：若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0，是真命题；逆命题：若a＝0且b＝0，则a2＋b2＝0是真命题；否命题：若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0是真命题；逆否命题：若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0是真命题．[跟踪训练]1．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________.【导学号：95902050】【解析】原命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a>0，则a>1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a≤0，则a≤1”是真命题．【答案】 4(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A⊂B，则p是q的充分条件；若A B时，则p是q的充分不必要条件；②若B⊂A，则p是q的必要条件；若B A时，则p是q的必要不充分条件；③若A⊂B且B⊂A，即A＝B时，则p是q的充要条件．(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于﹁q是﹁p的什么条件．(1)设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的________条件．(2)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的________条件．[思路探究] (1)可用命题判断法(定义法)或集合判断法解决；(2)采用特殊值判断．【规范解答】(1)方法一：∵p：x＜3，q：－1＜x＜3，∴q⇒p，但p⇒/q，∴p是q 成立的必要不充分条件．方法二：设A＝{x|x＜3}，B＝{x|－1＜x＜3}，因为B⊂A，但A⊄B，所以p是q成立的必要不充分条件．(2)本题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b＞0，但ab＜0，故是不充分条件；当时a＝－3，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，故是不必要条件．所以“a＋b＞0”是“ab ＞0”的即不充分也不必要条件．【答案】(1)必要不充分(2)既不充分也不必要[跟踪训练]2．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的________条件.【导学号：95902051】【解析】 当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0, 即点P (2，－1)在直线l 上．点P ′(0,1)在直线l 上，但不满足x ＝2且y ＝－1，∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P (x ，y )在直线l 上”的充分不必要条件．【答案】 充分不必要条件1.(1)确定命题是全称命题还是存在性命题；(2)转换量词，全称量词的否定对应存在量词，存在量词的否定对应全称量词．(3)否定结论．(4)当题目中量词不明显或简略时，可以先改写命题，添加必要的量词，凸显命题的特征．(5)要理解并熟记常用关键词的否定形式．2．全称命题与存在性命题真假判断的方法(1)判定全称命题的真假的方法．定义法：对给定的集合的每一个元素x ，p (x )都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x 0，使p (x 0)为假，则全称命题为假．(2)判定存在性命题真假的方法．代入法：在给定的集合中找到一个元素x 0，使命题p (x 0)为真，否则命题为假．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：末位数字为9的整数能被3整除；(2)p ：有的素数是偶数；(3)p ：至少有一个实数x ，使x 2＋1＝0；(4)p ：∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝0.[思路探究] 首先更换量词，然后否定结论，即可写出命题的否定，再由相关的数学知识判断其真假．【规范解答】 (1)﹁p ：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．﹁p 为真命题．(2)﹁p ：所有的素数都不是偶数．因为2是素数也是偶数，故﹁p 为假命题．(3)﹁p ：对任意的实数x ，都有x 2＋1≠0.﹁p 为真命题．(4)﹁p ：∃x 0，y 0∈R ，x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋5≠0.﹁p 为真命题．[跟踪训练]3．在下列四个命题：①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3＞0；②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.其中真命题的个数是________.【导学号：95902052】【解析】 ①中x 2＋x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋114≥114＞0，故①为真命题； ②中x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1一定是有理数，故②也为真命题； ③中当α＝π4，β＝－π4时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③为真命题； ④中当x 0＝4，y 0＝1时，3x 0－2y 0＝10成立，故④为真命题．【答案】 4解决此类问题的方法，一般是先假设题目所涉及的两个命题p ，q 分别为真，求出其中参数的取值范围，然后当他们为假时取其补集，最后根据p ，q 的真假情况确定参数的取值范围．当p ，q 中参数的范围不易求出时，也可以利用﹁p 与p ，﹁q 与q 不能同真同假的特点，先求﹁p ，﹁q 中参数的取值范围．已知c ＞0.设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：不等式x ＋|x －2c |＞1的解集为R .如果p 或q 为真，p 且q 为假，求c 的取值范围．[思路探究]题设条件―――――――――――――――→p 或q 为真⇒p 或q 至少有一真p 且q 为假⇒p 、q 至少一假p 、q 有一真―――――→分两种情形求c 的范围【规范解答】 对于命题p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减⇔0＜c ＜1；对于命题q ：不等式x ＋|x －2c |＞1的解集为R .即函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.因为x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2c ，x ≥2c ，2c ，x ＜2c ，所以函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c ，所以2c ＞1，即c ＞12. 由p 或q 为真，p 且q 为假知p ，q 中一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜c ＜1，c ≤12，解得0＜c ≤12.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ≤0或c ≥1，c ＞12，解得c ≥1.综上，c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋ ∞)．[跟踪训练]4．已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是________.【导学号：95902053】 【解析】 ∵p ∧q 为真命题，∴命题p 和命题q 均为真命题，若p 真，则m ＜0， ①若q 真，则Δ＝m 2－4＜0，∴－2＜m ＜2. ②∴p ∧q 为真，由①②知－2＜m ＜0.【答案】 (－2,0)进而使问题得到解决的一种解题策略．一般是将复杂的问题进行变换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．在本章内容中，转化思想主要体现在四种命题间的相互关系与集合之间关系的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化．设命题p ：(4x －3)2≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[思路探究] 綈p 是綈q 的必要不充分条件――→等价转化p 是q 的充分不必要条件――→集合关系确定含参数a 的不等式【规范解答】 设A ＝{x |(4x －3)2≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，易知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，从而p是q 的充分不必要条件，即A B ，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <12，a ＋1≥1，故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.[跟踪训练]5．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0，q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0，且﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．【解】 方法一：设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}＝{x |3a ＜x ＜a }， B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0}＝{x | x 2－x －6≤0}∪{x | x 2＋2x －8＞0}＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x ＜－4或x ＞2}＝{x |x ＜－4或x ≥－2}．∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件．∴﹁q ⇒ ﹁p ，且﹁p ⇒/ ﹁q ，即{x |﹁q }{x |﹁p }．又∵{x |﹁q }＝∁R B ＝{x |－4≤x ＜－2}，{x |﹁p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a }，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a ＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4，a ＜0，即－23≤a ＜0或a ≤－4. 故所求实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. 方法二：由﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即AB ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a ＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4，a ＜0，即－23≤a ＜0或a ≤－4. 故所求实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. [链接高考]1．设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________.【导学号：95902054】【解析】 一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，所以命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．【答案】 若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤02．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是________．【解析】 由存在性命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1.【答案】 ∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －13．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的__________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”．【解析】 因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d ＞0⇔S 4＋S 6＞2S 5.【答案】 充要4．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________. 【导学号：95902055】【解析】 由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.【答案】 15．已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2，下列命题为真命题的是__________(填编号)①p ∧q ；②p ∧﹁q ；③﹁p ∧q ；④﹁p ∧﹁q .【解析】 当x ＞0时，x ＋1＞1，ln(x ＋1)＞0，即p 为真命题；取a ＝1，b ＝－2这时满足a ＞b ，显然a 2＞b 2不成立，即q 为假命题，由复合命题真值表易知②为真命题．【答案】 ②。
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1。
1.1 四种命题学习目标：1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题． 2.了解命题的四种形式，能正确分析它们之间的相互关系．(重点) 3。
能利用两个命题互为逆否命题的关系判断命题的真假．(难点)［自主预习·探新知］1．命题（1)能够判断真假的语句叫做命题．（2）判断为真的语句叫做真命题．(3)判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题的概念一般地，设“若p则q”为原命题，那么“若q则p”就叫做原命题的逆命题，原命题与逆命题称为互逆命题；“若非p则非q”就叫做原命题的否命题，原命题和否命题称为互否命题；“若非q则非p"就叫做原命题的逆否命题，原命题与逆否命题称为互为逆否命题．3．四种命题之间的关系(1)(2）如果两个命题互为逆否命题，那么它们有相同的真假性，也称它们为等价命题．［基础自测]1．判断正误：(1）语句“x2＋2x＜0”是命题．（)（2）两个互逆命题的真假性相同．（）（3)对于一个命题的四种命题,可以一个真命题也没有．( )【解析】(1）×.因为语句“x2＋2x＜0”不能判断真假,故不是命题．(2）×。
