高考数学一轮复习精品教学案8.7 抛物线(教师版) 新人教版

抛物线[考试要求] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 焦半径(其中|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p2P (x 0，y 0)) [常用结论]1．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦． (1)以弦AB 为直径的圆与准线相切． (2)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．(3)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．2．过x 2＝2py 的准线上任意一点D 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过点⎝⎛⎭⎫0，p 2.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( ) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材习题衍生1．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2A [∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.]2．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0B [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y＋116＝1， ∴y ＝1516.]3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6B [抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.]4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为 ．y 2＝－8x 或x 2＝－y [设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)．将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .]考点一 抛物线的定义及其应用抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p 2.[典例1] (1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．9(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为 ． (1)C (2)4 [法一：因为点A 到y 轴的距离为9，所以可设点A (9，y A )，所以y 2A ＝18p .又点A 到焦点⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为12，所以⎝⎛⎭⎫9－p 22＋y 2A ＝12，所以⎝⎛⎭⎫9－p 22＋18p ＝122，即p 2＋36p －252＝0，解得p ＝－42(舍去)或p ＝6.故选C ．法二：根据抛物线的定义及题意得，点A 到C 的准线x ＝－p2的距离为12，因为点A 到y轴的距离为9，所以p2＝12－9，解得p ＝6.故选C ．(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.][母题变迁]1．若将例(2)中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．[解]由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2．若将例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．[解]由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.点评：与抛物线有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．[跟进训练]1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB 的中点到准线的距离为( )A ．52B ．32 C ．1 D ．3B [∵F 是抛物线y 2＝x 的焦点， ∴F ⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程x ＝－14， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可得 |AF |＝x 1＋14，|BF |＝x 2＋14，∴|AF |＋|BF |＝x 1＋14＋x 2＋14＝3.解得x 1＋x 2＝52，∴线段AB 中点的横坐标为54，∴线段AB 的中点到准线的距离为54＋14＝32.故选B ．]2．已知动圆P 与定圆C ：(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝－1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8xC [令P 点坐标为(x ，y )，A (2,0)，动圆的半径为r ，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，|P A |＝1＋r ，d ＝r ， P 在直线的右侧，故P 到定直线的距离是d ＝x ＋1， 所以|P A |－d ＝1，即(x －2)2＋y 2－(x ＋1)＝1，化简得y 2＝8x .故选C ．]考点二 抛物线的标准方程及其性质1.求抛物线标准方程的方法(1)先定位：根据焦点或准线的位置． (2)再定形：即根据条件求p . 2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．[典例2] (1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，0B ．⎝⎛⎭⎫12，0 C ．(1,0) D ．(2,0) (2)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝x(1)B (2)B [(1)将直线方程与抛物线方程联立，可得y ＝±2p ，不妨设D (2,2p )，E (2，－2p )，由OD ⊥OE ，可得OD →·OE →＝4－4p ＝0，解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为y 2＝2x ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.故选B ．(2)如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设准线与x 轴交于点G ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30° ，则在Rt △ACE 中，2|AE |＝|AC |，又|AF |＝4，∴|AC |＝4＋3a ，|AE |＝4，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43，∵AE ∥FG ，∴FG AE ＝CF AC ，即p 4＝48，p ＝2.∴抛物线的方程为y 2＝4x .故选B ．] 点评：在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．[跟进训练]1．在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF |＝ .4 [法一：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°.又tan 60°＝y A 1－(－1)，所以y A ＝2 3.因为P A ⊥l ，所以y P ＝y A ＝2 3.将其代入y 2＝4x ，得x P ＝3，所以|PF |＝|P A |＝3－(－1)＝4.法二：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为P A ⊥l ，所以|P A |＝|PF |.又因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°，所以∠P AF ＝60°，所以△P AF 为等边三角形，所以|PF |＝|AF |＝1－(－1)cos ∠AFO＝4.]2．已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为 ．x 2＝4y [由△FPM 为等边三角形，得|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22p ，则点M ⎝⎛⎭⎫m ，－p 2，因为焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝⎛⎭⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .]考点三 直线与抛物线的位置关系求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p (焦点在x 轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解．[典例3] (1)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有 条．(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .①若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； ②若AP →＝3PB →，求|AB |.(1)3 [结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．](2)[解] 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2.①由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32， 由题设可得x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而由－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.②由AP →＝3PB →得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，得y 2－2y ＋2t ＝0. 所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133. 点评：解答本例(2)第②问的关键是从条件“AP →＝3PB →”中发现变量间的关系“y 1＝－3y 2”，从而为方程组的消元提供明确的方向．[跟进训练](2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1.(2)由 y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1.从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.[技法展示1] 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( )A ．4B ．92C ．5D ．6B [法一：(通性通法)易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.法二：(巧用结论)由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 法三：(巧用结论)因为|AF |＝2|BF |，所以1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3， 故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.][评析] 本例给出了三种解法，既有通性通法又有秒杀绝技，学习中要多总结，提升自己灵活解题的素养．[技法应用]如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6C ．163D ．203C [法一：(通性通法)如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C ．法二：(巧用结论)如上解得p ＝2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，p ＝2，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法三：(巧用结论)因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，p ＝2，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.][技法展示2] 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A ．334B ．938C ．6332D ．94D [法一：(通性通法)由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.法二：(巧用结论)由2p ＝3，及|AB |＝2psin 2α，得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12. 原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.][评析] 巧用结论解题避免了通性通法的繁杂计算．解题中务必熟记结论，灵活应用求解． 结论：S △AOB ＝p 22sin α，其中α为焦点弦AB 的倾斜角．[技法应用](2020·成都模拟)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝4，则△POF 的面积为( )A ． 2B ． 3C ．2D ．3B [法一：(通性通法)由y 2＝4x 可得抛物线的焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，如图，过点P 作准线x ＝－1的垂线，垂足为M ，根据抛物线的定义可知PM ＝PF ＝4，设P (x ，y )，则x －(－1)＝4，解得x ＝3，将x ＝3代入y 2＝4x 可得y ＝±23，所以△POF 的面积为12|y ||OF |＝12×23×1＝ 3.故选B ．法二：(巧用结论)设∠PFx ＝θ，则|PF |＝p 1－cos θ＝21－cos θ＝4，∴cos θ＝12，即θ＝60°.设P (x ，y )，则|y |＝|PF |sin θ＝4×32＝2 3. ∴S △POF ＝12×|OF |×|y |＝12×1×23＝ 3.故选B ．]备考技法6 “设而不求”在解析几何中的妙用“设而不求”是解析几何解题简化运算的一种重要手段，它的精彩在于通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，最大限度地减少运算；同时，“设而不求”也是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用.活用定义，转化坐标[技法展示1] 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 ．y ＝±22x [设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝y A ＋p 2＋y B ＋p 2＝4×p 2⇒y A ＋y B ＝p ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py可得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， 所以y A ＋y B ＝2pb 2a 2＝p ，解得a ＝2b ，故该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .][评析] 设出点的坐标，先通过抛物线的定义，实现点的坐标与几何关系|AF |＋|BF |＝4|OF |的转换，然后借助根与系数的关系建立参数a ，b 的等量关系，达到设而不求，从而求得双曲线的渐近线方程．[技法应用]抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为 ．22[设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义， 知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22.]妙用“点差法”，构造斜率[技法展示2] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的标准方程为( )A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1D [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y22b 2＝1，②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝9，a 2＝18， 所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.][评析] 该题目属于中点弦问题，可设出A ，B 两点的坐标，通过“点差法”，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．[技法应用]1．抛物线E ：y 2＝2x 上存在两点关于直线y ＝k (x －2)对称，则k 的取值范围是 ． (－2，2) [当k ＝0时，显然成立．当k ≠0时，设两对称点为B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 的中点为M (x 0，y 0)，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0，由对称性知k BC ＝－1k ，点M 在直线y ＝k (x －2)上，所以y 0＝－k ，y 0＝k (x 0－2)，所以x 0＝1.由点M 在抛物线内，得y 20<2x 0，即(－k )2<2，所以－2<k <2，且k ≠0.综上，k 的取值范围为(－2，2)．] 2．已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？[解] 假设存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠x 2，由⎩⎨⎧x 21－y 212＝1，x 22－y222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，又x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1，所以2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y22＝1， 消去y 得2x 2－4x ＋3＝0， 因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点．巧引参数，整体代入[技法展示3] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[解] (1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k 2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k 2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2，同理可计算得k PN ＝5k4－4k 2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. [评析] 第(2)问先设出AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立方程，利用根与系数的关系求出x M ，在此基础上借助k AM ·k AN ＝－1，整体代入求出x N .[技法应用]已知F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，求|AB |＋|DE |的最小值．[解] 法一：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：x ＝ty ＋12，则直线l 1的斜率为1t，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝ty ＋12， 消去x 得y 2－2ty －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－1. 所以|AB |＝t 2＋1|y 1－y 2|＝t 2＋1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝t 2＋1·4t 2＋4＝2t 2＋2，同理得，用1t 替换t 可得|DE |＝2t 2＋2，所以|AB |＋|DE |＝2⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t 2＝1t2，即t ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.法二：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝⎛⎭⎫12，0，不妨设l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，l 2：y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，消去y 得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1＋2k 2.由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋1＝1＋2k 2＋1＝2＋2k2.同理可得，用－1k 替换|AB |中k ，可得|DE |＝2＋2k 2，所以|AB |＋|DE |＝2＋2k 2＋2＋2k 2＝4＋2k 2＋2k 2≥4＋4＝8，当且仅当2k 2＝2k 2，即k ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.。

高考数学一轮复习 第8章 第7节 抛物线学案 文【考纲下载】1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3．理解数形结合思想．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py(p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p 2x ＝p2 y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0， y ∈R x ≤0， y ∈R y ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中 P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋p 2|PF |＝ －x 0＋p2|PF |＝y 0＋p 2|PF |＝ －y 0＋p21．当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是过定点F 且与直线l 垂直的直线．2．抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点M (x 0，y 0)到焦点F 的距离与点M 的横坐标x 0有何关系？若抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，结果如何？提示：由抛物线定义得|MF |＝x 0＋p2；若抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，则|MF |＝y 0＋p2.1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析：选C 由抛物线准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2＝8x .2．抛物线y 2＝4x 的焦点F 到准线l 的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B 因为抛物线y 2＝4x ，所以2p ＝4，而焦点F 到准线l 的距离为p ＝2.3．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B ．(1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析：选C 将抛物线y ＝2x 2化成标准方程为x 2＝12y ，所以2p ＝12，p 2＝18，而抛物线x2＝12y 的焦点在y 轴的非负半轴上，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 4．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 24＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________________．解析：由c 2＝9－4＝5，得F (－5，0)，则抛物线方程为y 2＝－45x .答案：y 2＝－45x5．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0, 2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1， ∴2p ×p4＝1，解得p ＝ 2. ∴B ⎝⎛⎭⎪⎫24，1， 因此B 到该抛物线的准线的距离为24＋22＝324. 答案：324前沿热点(十二)与抛物线有关的交汇问题1．抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离等．2．直线与抛物线的综合问题，经常是将直线方程与抛物线方程联立，消去x (或y )，利用方程的根与系数的关系求解，但一定要注意直线与抛物线相交的条件．[典例] (2013·浙江高考) 已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0,1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．[解题指导] (1)由抛物线的顶点、焦点即可判断抛物线的形状、大小，从而可求抛物线方程．(2)直线AB 与抛物线相交，可得出A ，B 两点坐标之间的关系，再由AO 、BO 与直线l 交于M ，N 两点，可求出|MN |的表达式，用k 来表示，利用函数即可求最值．[解] (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以|MN |＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2 ＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4x 1＋x 2＋16＝8 2 k 2＋1|4k －3|.令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，|MN |＝2 2 25t 2＋6t＋1>22； 当t <0时， |MN |＝2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2.综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是852.[名师点评] 解答本题的关键有以下几点：(1)由顶点O (0,0)，焦点F (0,1)确定抛物线的开口方向及P 的值；(2)|MN |的表达式中，注意x 1＋x 2，x 1x 2及|x 1－x 2|的值； (3)注意4k －3＝t 的换元，使问题简单．(2014·湖州模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．解：(1)由题意知交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p ×8，∴2p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝8x .(2)∵l 1：y ＝－x ，又直线l 2与l 1垂直，所以可设l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m 得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2.由韦达定理，y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 1y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)，故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.。

2019-2020学年高考数学一轮复习 8.7抛物线学案学考考查重点 1.考查抛物线的定义、标准方程；2.考查抛物线的几何性质、焦点弦问题；3.考查直线与抛物线的位置关系．本节复习目标 1.熟练掌握抛物线的定义和四种形式的标准方程；2.能根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质；3.掌握直线与抛物线位置关系问题的一般解法．1． 抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ． 2． 抛物线的标准方程与几何性质＝>0)1． 动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________． 2． 若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．3． (2012·重庆)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.4． (2012·四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝ ( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 55． 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 ( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]题型一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．变式训练1： (2013·辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1C.54D.74题型二 抛物线的标准方程和几何性质例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．变式训练2： 如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．题型三 直线与抛物线的位置关系例3 (2013·江西)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．变式训练3：设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(1)设l 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．。

第7讲抛物线【2013年高考会这样考】1．考查抛物线定义、标准方程．2．考查抛物线的焦点弦问题．3．与向量知识交汇考查抛物线的定义、方程、性质等．【复习指导】熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准形式，会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质及会由几何性质确定抛物线的标准方程；掌握代数知识，平面几何知识在解析几何中的作用．基础梳理1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质一个结论焦半径：抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2.两种方法(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p 的值，得到抛物线的标准方程． (2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p 的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x 轴的，设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴的，设为x 2＝by (b ≠0)．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( )． A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解析 由2p ＝8得p ＝4，即焦点到准线的距离为4. 答案 C2．(2012·金华模拟)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是( )．A ．x 2＝－12y B ．x 2＝12y C ．y 2＝－12xD ．y 2＝12x解析 p2＝3，∴p ＝6，∴x 2＝－12y .答案 A3．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x ＝－2，则抛物线的方程是( )．A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x解析 由准线方程x ＝－2，顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线焦点为F (2,0)；②该抛物线的焦准距p ＝4.故所求抛物线方程为y 2＝8x . 答案 C4．(2012·西安月考)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )．A ．4B ．6C ．8D ．12解析 据已知抛物线方程可得其准线方程为x ＝－2，又由点P 到y 轴的距离为4，可得点P 的横坐标x P ＝4，由抛物线定义可知点P 到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF |＝x P ＋p2＝x P ＋2＝4＋2＝6. 答案 B5．(2012·长春模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是________．解析 ∵抛物线方程为y 2＝8x ，∴2p ＝8，即p ＝4.∴焦点坐标为(2,0)． 答案 (2,0)考向一 抛物线的定义及其应用【例1】►(2011·辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )． A.34 B ．1 C.54 D.74[审题视点] 由抛物线定义将|AF |＋|BF |转化为线段AB 的中点到准线的距离即可． 解析设抛物线的准线为l ，作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，则AB 的中点到y 轴的距离为12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54.答案 C涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．【训练1】 (2011·济南模拟)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )． A.172 B ．3 C. 5 D.92解析 由抛物线的定义知，点P 到该抛物线的距离等于点P 到其焦点的距离，因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和即为点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点的距离之和，显然，当P 、F 、(0,2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋－2＝172. 答案 A考向二 抛物线的标准方程及性质【例2】►(1)(2011·南京模拟)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P (－2，－4)的抛物线方程为________．(2)(2010·浙江)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．[审题视点] (1)为求抛物线的方程问题，用待定系数法求解，根据题设条件，按焦点所在位置的可能情况，分类讨论．(2)抓住FA 的中点B 在抛物线上，求出p . 解析 (1)由于点P 在第三象限．①当焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 把点P (－2，－4)代入得：(－4)2＝－2p ×(－2)， 解得p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .②当焦点在y 轴负半轴上时，设方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把点P (－2，－4)代入得：(－2)2＝－2p ×(－4)．解得p ＝12.∴抛物线方程为x 2＝－y .综上可知抛物线方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .(2)抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则线段FA 的中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. 答案 (1)y 2＝－8x 或x 2＝－y (2)324求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．【训练2】 已知F 为抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，M 为其上一点，且|MF |＝2p ，则直线MF 的斜率为( )． A ．－33 B ．±33C ．－ 3D ．± 3 解析 依题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线为y ＝－p2，过点M 作MN 垂直于准线于N ，过F 作FQ 垂直于MN 于Q ，则|MN |＝|MF |＝2p ，|MQ |＝p ，故∠MFQ ＝30°，即直线MF 的倾斜角为150°或30°，斜率为－33或33. 答案 B考向三 抛物线的综合应用【例3】►(2011·江西)已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．[审题视点] (1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A 、B 坐标，利用关系式表示出点C 坐标，再利用点C 在抛物线上求解．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)；设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)， 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、抛物线的标准方程与几何性质、平面向量知识，以及数形结合思想和化归思想．其中直线与圆锥曲线的相交问题一般是联立方程，设而不求，借助根的判别式及根与系数的关系进行转化．【训练3】 设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线L 与C 相交于A 、B 两点． (1)设L 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．(1)解 ∵F (1,0)，∴直线L 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1. ∴|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·36－4＝8.(2)证明 设直线L 的方程为x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x得y 2－4ky －4＝0.∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4， OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2 ＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3. ∴OA →·OB →是一个定值．阅卷报告14——忽视“判别式”致误【问题诊断】 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判断式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误.【防范措施】 解题后任何情况下都来检验判别式Δ.【示例】►(2010·福建)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 实录 (1)将点A (1，－2)代入y 2＝2px ，得p ＝2，故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ， 其准线方程为x ＝－1.错因 遗漏判别式的应用．(2)假设存在直线l ，设l ：y ＝－2x ＋t ， 由直线OA 与l 的距离d ＝55，得|t |5＝15，解得t ＝±1.故符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0.正解 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， 所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点， 所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55， 可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞， 所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.【试一试】 (2012·杭州模拟)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且|MF 2|＝53.(1)求C 1的方程；(2)平面上的点N 满足MN →＝MF 1→＋MF 2→，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若OA →·OB →＝0，求直线l 的方程．[尝试解答] (1)由C 2：y 2＝4x ，知F 2(1,0)， 设M (x 1，y 1)，M 在C 2上， 因为|MF 2|＝53，所以x 1＋1＝53，得x 1＝23，y 1＝263.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263.M 在C 1上，且椭圆C 1的半焦距c ＝1，于是⎩⎪⎨⎪⎧49a 2＋83b2＝1，b 2＝a 2－1，消去b 2并整理得9a 4－37a 2＋4＝0.解得a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝13不合题意，舍去. 故b 2＝4－1＝3.故椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由MF 1→＋MF 2→＝MN →，知四边形MF 1NF 2是平行四边形，其中心为坐标原点O ， 因为l ∥MN ，所以l 与OM 的斜率相同． 故l 的斜率k ＝26323＝ 6.设l 的方程为y ＝6(x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝6x －m消去y 并整理得9x 2－16mx ＋8m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝16m 9，x 1x 2＝8m 2－49.因为OA →⊥OB →，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋6(x 1－m )(x 2－m ) ＝7x 1x 2－6m (x 1＋x 2)＋6m 2 ＝7·8m 2－49－6m ·16m 9＋6m 2＝19(14m 2－28)＝0. 所以m ＝± 2.此时Δ＝(16m )2－4×9(8m 2－4) ＝－32m 2＋144＝－32×2＋144＞0.故所求直线l 的方程为y ＝6x －23，或y ＝6x ＋2 3.。

第七节 抛物线[考纲传真] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程与几何性质1．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p ，通径是过焦点最短的弦．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( ) (3)若一抛物线过点P (－2,3)，则其标准方程可写为y 2＝2px (p ＞0)．( ) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2A [∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.]3．(教材改编)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8yD [若焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，由题意可知16＝－2m ，∴m ＝－8，即x 2＝－8y .若焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝nx ，由题意，得4＝－4n ，∴n ＝－1， ∴y 2＝－x .综上知，y 2＝－x 或x 2＝－8y .故选D.]4．(教材改编)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516C.78D ．0B [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.]5．(教材改编)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于________．8 [|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]抛物线的定义及应用【例1】 (1)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1 C.54D.74(2)已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，A (3,2)，则|PA |＋|PF |的最小值为________，取最小值时点P 的坐标为________．(1)C (2)72 (2,2) [(1)如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，MM 1⊥l 于M 1，由抛物线的定义知p ＝12，|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，则点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54.故选C.(2)将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.因为6＞2，所以点A 在抛物线内部，如图所示．过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，则|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PQ |， 当PA ⊥l ，即A ，P ，Q 三点共线时，|PA |＋|PQ |最小，最小值为72，即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时点P 的纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，所以所求点P 的坐标为(2,2)．] 由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化注意灵活运用抛物线上一点P x 0，0到焦点(1)动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．(2)(2017· 全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(1)y 2＝4x (2)6 [(1)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .(2)如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF . 由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.]抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝x(2)在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF |＝_______.(1)B (2)4 [(1)如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设准线与x 轴交于点G ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30° ，则在Rt△ACE 中，2|AE |＝|AC |，又|AF |＝4，∴|AC |＝4＋3a ，|AE |＝4，∴4＋3a＝8，从而得a ＝43，∵AE ∥FG ，∴FG AE ＝CF AC ，即p 4＝48，p ＝2.∴抛物线的方程为y 2＝4x .故选B. (2)法一：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°.又tan 60°＝y A1－－，所以y A ＝2 3.因为PA ⊥l ，所以y P ＝y A ＝2 3.将其代入y 2＝4x ，得x P ＝3，所以|PF |＝|PA |＝3－(－1)＝4.法二：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为PA ⊥l ，所以|PA |＝|PF |.又因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°，所以∠PAF ＝60°，所以△PAF 为等边三角形，所以|PF |＝|AF |＝1－－cos∠AFO＝4.](1)△POF 的面积为( ) A. 2 B. 3 C ．2D ．3(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x(1)B (2)C [(1)抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为直线x ＝－1.设点P (x ，y )，由抛物线的定义，得|PF |＝x ＋1＝4，所以x ＝3.把x ＝3代入y 2＝4x ，得y ＝±23，故△POF 的面积S ＝12×|OF |×|y |＝12×1×23＝ 3.故选B.(2)如图所示，抛物线y 2＝2px 的焦点F 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，准线方程为l ：x＝－p 2.由|MF |＝5，可得点M 到准线的距离为5，则点M 的横坐标为5－p2，可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，m ，则MF 中点B 的坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，m 2，∵以MF 为直径的圆过点A (0,2)，∴|AB |＝12|MF |＝52，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，解得m ＝4，由点M 在抛物线上可得m 2＝42＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，∴所求抛物线方程为y 2＝4x 或y2＝16x ，故选C.]直线与抛物线的位置关系【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .[解] (1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)． 所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线， 所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝2x得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋y 1＋y 2x 1＋x 2＋.①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k y 1＋y 2k＝－8＋8k＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求，整体代入”的解法提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解(1)________条．(2)(2019·临沂模拟)已知点A (m,4)(m ＞0)在抛物线x 2＝4y 上，过点A 作倾斜角互补的两条直线l 1和l 2，且l 1，l 2与抛物线的另一个交点分别为B ，C . ①求证：直线BC 的斜率为定值；②若抛物线上存在两点关于BC 对称，求|BC |的取值范围．(1)3 [结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．] (2)[解] ①证明：∵点A (m,4)在抛物线上， ∴16＝m 2，∴m ＝±4，又m ＞0，∴m ＝4. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则k AB ＋k AC ＝x 1＋44＋x 2＋44＝x 1＋x 2＋84＝0，∴x 1＋x 2＝－8.∴k BC ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 22－x 21x 2－x 1＝x 1＋x 24＝－2，∴直线BC 的斜率为定值－2.②设直线BC 的方程为y ＝－2x ＋b ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4) 关于直线BC 对称，设PQ 的中点为M (x 0，y 0)，则k PQ ＝y 4－y 3x 4－x 3＝x 3＋x 44＝x 02＝12，∴x 0＝1.∴M (1，－2＋b )．又点M 在抛物线内部，∴－2＋b ＞14，即b ＞94.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2＋8x －4b ＝0，∴x 3＋x 4＝－8，x 3x 4＝－4b . ∴|BC |＝1＋4|x 3－x 4|＝5·x 3＋x 42－4x 3x 4＝5×64＋16b . 又b ＞94，∴|BC |＞10 5.∴|BC |的取值范围为(105，＋∞)．1.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8D [过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋，y 2＝4x ，得x 2－5x＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1,2)，N (4,4)，易知F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，所以FM →·FN →＝8.故选D.]2．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8B [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5， ∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.]3.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.2 [由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，消去y ，得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1ky ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4.由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.]4.(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，x 0＋2＝y 0－x 0＋22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.。

第7讲抛物线[考纲解读] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(X围、对称性、顶点、准线)．(重点)2．能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2021年高考将会考查：①抛物线的定义及其应用；②抛物线的几何性质；③直线与抛物线的位置关系及抛物线与椭圆或双曲线的综合．试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度．试题中等偏难.1.抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的□01焦点，直线l叫做抛物线的□02准线．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：□01焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴□02y＝0 □03x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0□04F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2□05F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p2 x ＝p 2 □06y ＝－p2 □07y ＝p 2X 围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R开口方向 向右向左向上向下3．必记结论(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径．(2)y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4.(3)直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p .④弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)． ⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的X 角为90°.1．概念辨析(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)假设直线与抛物线只有一个交点，那么直线与抛物线一定相切．( ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2．小题热身(1)假设抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，那么点M 的纵坐标是( )A.1716 B.1516 C.78 D ．0答案 B解析 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，那么y ＋116＝1，∴y ＝1516.(2)抛物线y ＝2x 2的准线方程是( ) A ．x ＝12 B ．x ＝－12 C ．y ＝18 D ．y ＝－18答案 D解析 抛物线y ＝2x 2的方程可化为x 2＝y 2，其准线方程为y ＝－18.(3)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－x B．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y答案 D解析设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，那么抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，那么抛物线方程为x2＝－8y.应选D.(4)假设过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，那么被抛物线截得的弦长为()A．8 B．16C．32 D．64答案 B解析由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0，所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16.应选B.题型一抛物线的定义及应用1．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝－12y D．x2＝12y答案 D解析由题意，得动圆的圆心到直线y＝－3的距离和到点F(3,0)的距离相等，所以动圆的圆心是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，其方程为x2＝12y .2．(2019·某某模拟)抛物线y 2＝6x 上一点M (x 1，y 1)到其焦点的距离为92，那么点M 到坐标原点的距离为________．答案 3 3解析 由题意，知焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，点M (x 1，y 1)到焦点的距离等于它到准线的距离，所以x 1＋32＝92，解得x 1＝3，所以y 21＝18，所以|OM |＝x 21＋y 21＝3 3.条件探究 将本例中的条件变为“在抛物线上找一点M ，使|MA |＋|MF |最小，其中A (3,2)〞．那么点M 的坐标为________，此时的最小值为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，292解析如图，点A 在抛物线y 2＝6x 的内部，由抛物线的定义可知，|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MH |，其中|MH |为点M 到抛物线的准线的距离．过A 作抛物线准线的垂线交抛物线于M 1，垂足为B ，那么|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MH |≥|AB |＝3－－32＝92，当且仅当点M 在M 1的位置时等号成立．即|MA |＋|MF |的最小值为92，此时点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．见举例说明1.(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．见举例说明2.(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．1．假设抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，那么△OFP的面积为()A.12B．1C.32D．2答案 B解析设P(x P，y P)，由题意，得抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，又点P到焦点F的距离为2，∴由抛物线的定义知点P到准线的距离为2，∴x P＋1＝2，得x P＝1，代入抛物线方程得|y P|＝2，∴△OFP的面积为S＝12·|OF|·|y P|＝12×1×2＝1.2．(2020·某某大学附中模拟)点Q(22，0)及抛物线y＝x24上一动点P(x，y)，那么y＋|PQ|的最小值是________．答案 2解析 抛物线y ＝x 24即x 2＝4y ，其焦点坐标为点F (0,1)，准线方程为y ＝－1.因为点Q 的坐标为(22，0)，所以|FQ |＝(22)2＋12＝3.过点P 作准线的垂线PH ，交x 轴于点D ，如下图．结合抛物线的定义，有y ＋|PQ |＝|PD |＋|PQ |＝|PH |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|FQ |－1＝3－1＝2，即y ＋|PQ |的最小值是2.题型二 抛物线的标准方程和几何性质1．(2019·全国卷Ⅱ)假设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y2p ＝1的一个焦点，那么p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8答案 D解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的焦点坐标为()±2p ，0.由题意得p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8.应选D.2．(2019·高考)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，那么以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝4解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.3．如下图，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需要用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长度．解建立如下图的直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，因为抛物线过点B(10，－4)，所以102＝－2p·(－4)，解得p＝252，所以x2＝－25y，当x＝2时，y＝－425，所以最长支柱长为4－|y|＝4－425＝3.84(m)．1．求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p的关系．见举例说明2.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．见举例说明3.2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．1．A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OF A ＝120°，那么抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2答案 A解析 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D (图略)．因为∠OF A ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.2．(2019·某某模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)焦点F ，过C 上一点D 作直线DE 垂直准线于点E ，△DEF 恰好为等腰直角三角形，其面积为4，那么抛物线方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝22xC ．y 2＝4xD ．y 2＝42x答案 D解析 根据抛物线的定义，得|DF |＝|DE |，又△DEF 恰好为等腰直角三角形，所以∠EDF ＝90°，∴12|DE |·|DF |＝4，∴|DE |＝|DF |＝22，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22－p 2，±22，将其代入y 2＝2px ，得8＝2p ·⎝⎛⎭⎪⎫22－p 2，解得p ＝2 2.∴抛物线方程为y 2＝42x .3．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，那么直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43 C ．±43 D ．－169答案 B解析 令y ＝1，代入y 2＝4x 可得x ＝14，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB 经过焦点F (1,0)，所以k ＝1－014－1＝－43.应选B.题型三 直线与抛物线综合问题角度1 直线与抛物线相切问题1．(2019·全国卷Ⅲ)曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)假设以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．解(1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，那么x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1， 故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 那么d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1.因此，四边形ADBE 的面积 S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，那么M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12. 因为EM→⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1. 当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2. 角度2 过焦点的直线与抛物线相交问题2．(2019·某某长郡中学模拟)F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，E 为其准线与x 轴的交点，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且|ME |＝11，那么|AB |＝( )A ．6B ．3 3C ．8D ．9答案 A解析 根据题意，知直线AB 的斜率存在且不为零，抛物线的焦点坐标是F (1,0)．设直线AB ：y ＝k (x －1)，将直线方程与抛物线方程联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，消去y 并整理，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，那么x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，从而M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k 2，2k .又E (－1,0)，根据|ME |＝11，得⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k 2＋12＋4k 2＝11，解得k 2＝2.所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2＋4k2＋2＝6.应选A.3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，直线l 与y 轴的负半轴交于点C .假设AB→＝3BC →，那么直线l 的斜率为________．答案 2 2解析 解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k >0)．由AB →＝3BC →，得x 1＝4x 2.由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得k 2x 2－(k 2＋2)px ＋p 2k24＝0，那么x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，x 1x 2＝p 24，故x 1＋x 2x 1x 2＝2(k 2＋2)k 2，即52＝2＋4k 2，解得k ＝2 2.解法二： 设直线l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AB→＝3BC →，得x 1＝4x 2.由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，得k 2x 2－(k 2＋2)px ＋p 2k 24＝0，那么x 1x 2＝p 24.所以x 1＝p ，y 1＝2p ，那么直线l 的斜率k ＝y 1x 1－p 2＝2p p －p 2＝2 2. 角度3 不过焦点的直线与抛物线相交问题4．(2019·全国卷Ⅰ)抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)假设|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)假设AP→＝3PB →，求|AB |. 解设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，那么x 1＋x 2＝－4(t －1)3. 从而－4(t －1)3＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78. (2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13， 即A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1.故|AB |＝4133.1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．见举例说明2,3,4.2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，假设过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式(见举例说明2)，假设不过焦点，那么必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求〞“整体代入〞等解法．提醒：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程．1．(2019·某某二模)抛物线x 2＝2py (p >0)的准线方程为y ＝－1，△ABC 的顶点A 在抛物线上，B ，C 两点在直线y ＝2x －5上，如果|AB →－AC →|＝25，那么△ABC 面积的最小值为( )A ．5B ．4 C.12 D ．1答案 D解析 依题意得抛物线方程为x 2＝4y .因为|AB→－AC →|＝25，所以|CB →|＝2 5.设抛物线x 2＝4y 的一条切线方程为y ＝2x ＋b .将y ＝2x ＋b 代入x 2＝4y ，得x 2－8x －4b ＝0.由Δ＝64＋16b ＝0，得b ＝－4.此时抛物线x 2＝4y 的切线方程为y ＝2x －4.该切线与直线BC 的距离为d ＝15，即点A 到直线y ＝2x －5的最小距离为15，故S △ABC 的最小值为12|BC |·d ＝1.2．直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(4,4)，那么线段AB 的中点到准线的距离是________．答案 258解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，所以k AF ＝4－04－1＝43.所以直线l 的方程为y －0＝43(x －1)， 即y ＝43(x －1)．由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝43(x －1)消去y ，整理得4x 2－17x ＋4＝0，所以线段AB 的中点的横坐标为178.所以线段AB 的中点到准线的距离是178－(－1)＝258.3．抛物线C ：y 2＝ax (a >0)上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12到焦点F 的距离为2t .(1)求抛物线C 的方程；(2)抛物线上一点A 的纵坐标为1，过点Q (3，－1)的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．解(1)由抛物线的定义可知|PF |＝t ＋a4＝2t ， 那么a ＝4t ，由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12在抛物线上，那么at ＝14.所以a ×a 4＝14，那么a 2＝1，由a >0，得a ＝1，故抛物线C 的方程为y 2＝x . (2)证明：因为A 点在抛物线上，且y A ＝1. 所以x A ＝1，所以A (1,1)，设过点Q (3，－1)的直线l 的方程为x －3＝m (y ＋1)． 即x ＝my ＋m ＋3，代入y 2＝x 得y 2－my －m －3＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 那么y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－m －3， 所以k 1·k 2＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1＝y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1m 2y 1y 2＋m (m ＋2)(y 1＋y 2)＋(m ＋2)2＝－m －3－m ＋1m 2(－m －3)＋m (m ＋2)m ＋(m ＋2)2＝－12，为定值．组 基础关1．(2019·某某一模)假设抛物线x 2＝ay 的焦点到准线的距离为1，那么a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．±2 D ．±4答案 C解析 抛物线x 2＝ay 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，a 4，准线方程为y ＝－a 4.而抛物线x 2＝ay 的焦点到准线的距离为1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4＋a 4＝1，解得a ＝±2.2．(2019·汀赣十四校第一次联考)抛物线y 2＝4x 与x 2＝2py (p >0)的焦点间的距离为2，那么p 的值为( )A ．4B ．12C ．2 3D ．6答案 C解析 两抛物线的焦点坐标分别为(1,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.由题意可知 1＋p 24＝2，且p >0，解得p ＝2 3.3．(2020·某某摸底)一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，那么此动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,0)答案 B解析 由抛物线y 2＝8x ，得准线方程为x ＝－p2＝－2，焦点坐标为(2,0)．因为动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，由抛物线的定义可知动圆必经过定点(2,0)．4．(2019·某某三模)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条倾斜角为π6的直线，与抛物线交于A ，B 两点，那么|AB |＝( )A ．4B ．6C ．8D ．16 答案 D解析 抛物线的焦点坐标为F (1,0)，p ＝2，过焦点的直线的斜率k ＝tan π6＝33，那么直线方程为y ＝33(x －1)，代入y 2＝4x 得13(x －1)2＝4x ，整理得x 2－14x ＋1＝0，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝14，那么|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝14＋2＝16.5．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q .假设△QAF 的面积为2，那么点P 的坐标为( )A ．(1,2)或(1，－2)B ．(1,4)或(1，－4)C ．(1,2)D ．(1,4) 答案 A解析 设点P 的坐标为(x 0，y 0)．因为△QAF 的面积为2，所以12×2×|y 0|＝2，即|y 0|＝2，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)．6．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，那么FM →·FN→＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案 D解析 根据题意，过点(－2,0)且斜率为23的直线方程为y ＝23(x ＋2)，与抛物线方程联立⎩⎨⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得M (1,2)，N (4,4)，又因为F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，从而可以求得FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8.应选D.7．(2019·某某三模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为k 的直线，与抛物线相交于A ，B 两点，设直线OA ，OB (O 为坐标系原点)的斜率分别为k 1，k 2，那么以下等式正确的选项是( )A ．k 1＋k 2＝k B.1k ＝k 1＋k 2 C.1k ＝1k 1＋1k 2D ．k 2＝k 1·k 2答案 C解析 由题意，得OA 的方程为y ＝k 1x ，与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)联立，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 21，2p k 1，同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 22，2p k 2，∴k ＝2p k 1－2p k 22p k 21－2p k 22＝11k 1＋1k 2，∴1k ＝1k 1＋1k 2.应选C.8．(2019·某某四地七校联考)抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF ⊥x 轴．假设以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为1，那么实数p 的值为________．答案2解析 由题意，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，设P 在第一象限，那么P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，k AP＝p p ＝1，那么直线AP 的方程为x －y ＋p2＝0，以AF 为直径的圆的圆心为O (0,0)，半径为R ＝p 2，那么O 到直线AP 的距离为d ＝p 22＝2p4，那么圆O 截直线AP 所得的弦长为1＝2R 2－d 2＝2p 24－⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 42，解得p ＝ 2.9．(2019·某某4月调研)过点M (1,0)的直线AB 与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，假设OA ，OB 的斜率之和为1，那么直线AB 的方程为________．答案 2x ＋y －2＝0解析 当直线AB 的斜率不存在时，不符合题意，故设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，那么直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝2x消去y 并整理，得k 2x 2－2(k 2＋1)x ＋k 2＝0，那么x 1＋x 2＝2(k 2＋1)k 2，x 1x 2＝1.∴直线OA ，OB 的斜率之和为y 1x 1＋y 2x 2＝2kx 1x 2－k (x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －2(k 2＋1)k ＝1，解得k ＝－2，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0.10．(2019·某某六市第二次联考)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，其准线为l ，过点M (5,25)作直线l 的垂线，垂足为H ，那么∠FMH 的平分线的斜率为________．答案 55解析 连接HF .因为点M 在抛物线y 2＝4x 上，所以由抛物线的定义可知|MH |＝|MF |.所以△MHF 为等腰三角形．所以∠FMH 的平分线所在的直线经过HF 的中点．因为点F (1,0)，H (－1,25)，所以HF 的中点坐标为(0，5)，所以∠FMH 的平分线的斜率为25－55－0＝55.组 能力关1．(2019·潍坊高三上学期期末)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，P 为抛物线上一点，A (1,1)，当△P AF 周长最小时，PF 所在直线的斜率为( )A ．－43B ．－34 C.34 D.43答案 A解析 求△P AF 周长的最小值，即求|P A |＋|PF |的最小值．设点P 在准线上的投影为D ，那么根据抛物线的定义，可知|PF |＝|PD |.因此问题转化为求|P A |＋|PD |的最小值．根据平面几何知识，可得当D ，P ，A 三点共线时|P A |＋|PD |最小．∵A (1,1)，点P 在抛物线上，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，∴PF 所在直线的斜率为1－014－1＝－43.2．(2020·某某名校联盟调研抽测)过抛物线y 2＝2x 上一点A (2,2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC ，分别交抛物线于B ，C 两点，那么直线BC 的斜率为( )A ．－23B ．－14 C ．－34 D ．－12答案 D解析 依题意，可设直线AB 的方程为y －2＝k (x －2)，那么直线AC 的方程为y －2＝－k (x －2)．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)(y 1≠2，y 2≠2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y －2＝k (x －2)，得y 1＝2－2k k .同理，得y 2＝2＋2k －k .所以直线BC 的斜率为y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 112y 22－12y 21＝2y 2＋y 1＝－12.应选D.3．(2019·华中师大第一附中模拟)如下图，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 总平行于x 轴，那么△F AB 的周长的取值X 围是( )A ．(2,6)B ．(6,8)C ．(8,12)D ．(10,14) 答案 C解析 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2，0)．由抛物线定义，得|AF |＝x A ＋2.因为圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，所以△F AB 的周长为|AF |＋|AB |＋|BF |＝(x A ＋2)＋(x B －x A )＋4＝6＋x B .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，(x －2)2＋y 2＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝±4，那么x B ∈(2,6)，所以6＋x B ∈(8,12)． 4．(2018·全国卷Ⅲ)点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．假设∠AMB ＝90°，那么k ＝________.答案 2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4x 1－4x 2，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′.因为∠AMB ＝90°，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． 因为M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴． 因为M (－1,1)，所以y 0＝1，那么y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.5．(2020·某某摸底)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A (－1,0)，那么|PF ||P A |的最小值为________；当|PF ||P A |取得最小值时，直线AP 的方程为________．答案 22x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0解析 设P 点的坐标为(4t 2,4t )，∵F (1,0)，A (－1,0)， ∴|PF |2＝(4t 2－1)2＋16t 2＝16t 4＋8t 2＋1， |P A |2＝(4t 2＋1)2＋16t 2＝16t 4＋24t 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF ||P A |2＝16t 4＋8t 2＋116t 4＋24t 2＋1＝1－16t 216t 4＋24t 2＋1＝1－1616t 2＋1t 2＋24≥1－16216t 2·1t 2＋24＝1－1632＝12，当且仅当16t 2＝1t 2，即t ＝±12时取等号．故|PF ||P A |的最小值为22；当|PF ||P A |取得最小值时，点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)，∴直线AP 的方程为y ＝±(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0.6．(2019·某某模拟)抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A (2，y 0)是E 上一点，且|AF |＝2.(1)求E 的方程；(2)设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线y ＝x －3交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点．解(1)根据题意，知4＝2py a ，① 因为|AF |＝2，所以y a ＋p2＝2.②联立①②解得y a ＝1，p ＝2.所以E 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设B (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)． 由题意，可设直线BM 的方程为y ＝kx ＋b ， 代入x 2＝4y ，得x 2－4kx －4b ＝0. 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b .③ 由MP ⊥x 轴及点P 在直线y ＝x －3上， 得P (x 2，x 2－3)，那么由A ，P ，B 三点共线，得x 2－4x 2－2＝kx 1＋b －1x 1－2，整理，得(k －1)x 1x 2－(2k －4)x 1＋(b ＋1)x 2－2b －6＝0. 将③代入上式并整理，得(2－x 1)(2k ＋b －3)＝0. 由点B 的任意性，得2k ＋b －3＝0， 所以y ＝kx ＋3－2k ＝k (x －2)＋3. 即直线BM 恒过定点(2,3)．组 素养关1．(2019·某某二模)设定点F (0,1)，动点E 满足：以EF 为直径的圆与x 轴相切．(1)求动点E 的轨迹C 的方程；(2)设A ，B 是曲线C 上的两点，假设曲线C 在A ，B 处的切线互相垂直，求证：A ，F ，B 三点共线．解(1)设E 点坐标为(x ，y )，那么EF 中点为圆心，设为P ，那么P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y ＋12.∴P 到x 轴的距离等于|EF |2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12＝x 2＋(y －1)22，化简得x 2＝4y .∴点E 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .(2)证明：由(1)知，曲线C 是以F 为焦点的抛物线，其方程可化为y ＝14x 2， 设A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，14x 21，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，14x 22， ∵曲线方程为y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴曲线在A ，B 处切线的斜率分别为k 1＝12x 1，k 2＝12x 2，∵k 1k 2＝－1，∴12x 1·12x 2＝－1，∴x 2＝－4x 1，∴A ，B 两点连线的斜率为 k AB ＝14x 22－14x 21x 2－x 1＝－1x 1＋14x 1，A ，F 两点连线的斜率为k AF ＝14x 21－1x 1－0＝－1x 1＋14x 1＝k AB ，∴A ，B ，F 三点共线．2．(2019·某某一模)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且FB →＋FC →＝F A →.(1)证明：B ，C 两点的纵坐标之积为定值； (2)设λ＝AB →·AC→，求λ的取值X 围．解(1)证明：设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，F (1,0)，∴F A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204－1，y 0，FB→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－1，y 1，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－1，y 2， ∵FB →＋FC →＝F A →，∴y 214－1＋y 224－1＝y 204－1，y 1＋y 2＝y 0，即y 21＋y 22＝y 20＋4，∴(y 1＋y 2)2＝y 20，∴y 20＋4＋2y 1y 2＝y 20，∴y 1y 2＝－2.(2)由FB →＋FC →＝F A →，得四边形ABFC 为平行四边形，故λ＝AB →·AC →＝CF →·BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 214⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 224＋(－y 1)·(－y 2)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋y 21y 2216＋y 1y 2＝1－y 20＋44＋416－2＝－14y 20－74≤－74， 故λ的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－74.。

第五十四课时 抛物线课前预习案1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；会求抛物线的标准方程，能运用抛物线的定义、标准方程处理一些简单的实际问题。

2.熟练掌握抛物线的范围、对称性、顶点等简单几何性质，并能运用性质解决相关问题.3.能解决直线与抛物线的相交问题.1.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离 的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ，定点F 定直线l 上。

3.根据抛物线的定义，可知22(0)y px p =>上一点11(,)M x y 到焦点 的距离为 。

4. 抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ，则有如下结论：（1）｜AB ｜＝ ；（2）12y y ＝ ；12x x ＝ 。

5. 在抛物线22(0)y px p =>中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 ，连结这两点的线段叫做 ，它的长为 。

1. 根据下列条件，写出抛物线的标准方程： （1）焦点是F （0，－3）；（2）准线方程 是x =14； （3）焦点到准线的距离是2。

2. 过点A （4，－2）的抛物线的标准方程为（ ） A ．2y x =或28x y =- B ．2y x =或28y x =C ．28y x =-D ． 28x y =-3. 抛物线214x y a=的焦点坐标为（ ） A ．1(,0)a - B ．(,0)a - C ．1(,0)aD ． (,0)a4. 抛物线214y x =上点P 的纵坐标是4，则其焦点F 到点P 的距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ． 65.点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1，求点M 的轨迹方程．课堂探究案考点1求抛物线的标准方程【典例1】 根据下列条件求抛物线的标准方程（1）抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点； （2）过点P （2，－4）；（3）抛物线的焦点在x 轴上，直线3y =-与抛物线交于点A ，||5AF =.【变式1】【2012陕西】如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.考点2 抛物线定义的应用【典例2】已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，点A （3，2），求 ｜PA ｜+｜PF ｜的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．【变式2】（1） 在22y x = 上有一点P ，它到A （2，10）的距离与它到焦点F 的距离之和最小，则P 的坐标为（ ）A ．（－2，8）B ．（2，8）C ．(2,8)--D ．（ 2，－8）（2）已知抛物线24y x =，点P 是抛物线上的动点，又有点A （6，3），｜PA ｜+｜PF ｜的最小值是__________.考点3 抛物线几何性质的应用【典例3】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A 、、、4 D 、【变式3】已知A 、B 是抛物线22(0)y px p =>上两点，O 为坐标原点，若|OA |=|OB |，且AOB ∆的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（ ） A.x =3pB.x =pC.x =52p D.x =32p1.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A B ．3 C D ．922. 过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A 1，B 1，则11A FB ∠为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°3.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 ．课后拓展案组全员必做题1．（2013年四川（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）A ．12 B ．2C ．1D 2．（2011辽宁理3）已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ). A ．34 B ．1 C ．54 D ．743．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.115 D.37164．（2013年课标Ⅰ（文8））O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为（ ）A ．2B ．C ．D ．4组提高选做题1．（2013山东文）抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A ．163B ．83 C ．332 D ．334 2．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（ ） A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x = D ．22y x =或216y x =参考答案1.（1）212x y =-；（2）2y x =-；（3）24x y =，24x y =-，24y x =，24y x =-.2.A3.D4.C5. 216y x =【典例1】（1）212y x =-；（2）28y x =或2x y =-；（3）x y 22±=或x y 182±=【变式1】【典例2】最小值为72；(2,2)P . 【变式2】（1）B ；（2）7. 【典例3】B【变式3】C1.A2.C3. 28y x组全员必做题1.B2.C3.A4.C组提高选做题1.D2.C。

8.6 抛物线 【高考新动向】 1．考纲点击（1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。

（2）理解数形结合的思想。

（3）了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。

2．热点提示（1）抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，抛物线与直线、椭圆、双曲线的交汇综合题是考查的热点。

（2）多以选择、填空题为主，多为中低档题。

有时也与直线、椭圆、双曲线交汇考查的解答题，此时属中高档题。

【考纲全景透析】 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

注：当定点F 在定直线l 时，动点的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线。

标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =-> 22(0)x py p =>图 形性 质对称轴 x 轴x 轴y 轴y 轴焦点坐标 (,0)2p F (,0)2p F -(0,)2p F - (0,)2p F 准线方程 2p x =-2p x =2p y =2p y =-焦半径 0||2p PF x =+0||2p PF x =-+0||2p PF y =-+0||2p PF y =+范围 0x ≥0x ≤0y ≤ 0y ≥顶点 (0,0)O(0,0)O离心率e1e = 1e =【热点难点全析】（一）抛物线的定义及应用 ※相关链接※1．抛物线的离心率e =1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化。

2．焦半径它们在解题中有重要作用，注意灵活运用。

※例题解析※〖例〗已知抛物线C 的对称轴与y 轴平行，顶点到原点的距离为5。

若将抛物线C 向上平移3个单位，则在x 轴上截得的线段长为原抛物线C 在x 轴上截得的线段长的一半；若将抛物线C 向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C 的方程。

学习资料2022版高考数学一轮复习第八章解析几何第七讲抛物线学案（含解析）新人教版班级：科目：第七讲抛物线知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一抛物线的定义抛物线需要满足以下三个条件:（1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离__相等__；(3)定点F与定直线l的关系为__点F∉l__．知识点二抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px（p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py（p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O（0,0）对称轴y＝0 x＝0焦点F__错误!__F__错误!__F__错误!__F__错误!__ 离心率e＝__1__准线方程__x＝－错误!____x＝错误!____y＝－错误!____y＝错误!__ 范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0,x∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P（x0，y0)）｜PF｜＝__x0＋错误!__｜PF｜＝__－x0＋错误!__｜PF|＝__y0＋错误!__｜PF｜＝__－y0＋p2__归错误!错误!错误!抛物线焦点弦的处理规律直线AB过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1），B（x2，y2)两点，如图．(1)y1y2＝－p2,x1x2＝错误!．(2)｜AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2错误!＝p,即当x1＝x2时，弦长最短为2p．（3）错误!＋错误!＝错误!．（4)弦长AB＝错误!（α为AB的倾斜角)．(5)以AB为直径的圆与准线相切．（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°．（7）A、O、D三点共线；B、O、C三点共线．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．（×)(2）方程y＝ax2（a≠0）表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是错误!，准线方程是x＝－错误!．(×）（3）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．（×)(4）AB为抛物线y2＝2px（p＞0）的过焦点F错误!的弦，若A(x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝错误!,y1y2＝－p2，弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p．(√）（5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay（a＞0)的通径长为2a．(√)题组二走进教材2．(必修2P69例4)(2021·甘肃张掖诊断）过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1),Q(x2,y2）两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(B）A．9 B．8C．7 D．6[解析］抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0)，准线方程为x＝－1．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋｜QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．3．(2021·河南郑州名校调研）抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（B)A．－错误!B．－错误!C．错误!D．错误!［解析］由抛物线的方程y＝－4x2，可得标准方程为x2＝－错误!y，则焦点坐标为F 错误!，准线方程为y＝错误!，设M（x0，y0),则由抛物线的定义可得－y0＋错误!＝1，解得y0＝－错误!．故选B．题组三走向高考4．(2019·课标全国Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆错误!＋错误!＝1的一个焦点，则p＝（D)A．2 B．3C．4 D．8[解析］∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为错误!，∴椭圆错误!＋错误!＝1的一个焦点为错误!,∴3p－p＝错误!，∴p＝8．故选D．5．(2020·新课标Ⅰ）已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(C）A．2 B．3C．6 D．9［解析］A为抛物线C：y2＝2px（p＞0)上一点,点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9,因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有:9＋错误!＝12⇒p＝6；故选C．考点突破·互动探究考点一抛物线的定义及应用——多维探究角度1轨迹问题例1 (1)动圆与定圆A：（x＋2）2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是（D)A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线［解析］设动圆的圆心为C，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r,所以动圆到直线x＝2距离为r＋1，即动圆圆心到定点（－2,0）和定直线x＝2的距离相等，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答案为D．角度2到焦点与到定点距离之和最小问题(2)①（2021·河北保定七校联考）已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，C为圆(x＋1)2＋（y－2)2＝1的圆心，则｜MF｜＋|MC|的最小值为(B）A．2 B．3C．4 D．5②(2021·山西运城联考)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，O为原点,点P是抛物线C的准线上的一动点,点A在抛物线C上，且｜AF｜＝4，则｜P A|＋｜PO|的最小值为(B) A．4错误!B．2错误!C．3错误!D．4错误!［解析]①设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1，C为圆（x＋1）2＋（y－2)2＝1的圆心，所以C的坐标为(－1，2)，过M作l的垂线，垂足为E,根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|，所以问题求｜MF｜＋｜MC|的最小值，就转化为求｜ME|＋|MC｜的最小值，由平面几何的知识可知，当C，M，E在一条直线上时，此时CE⊥l，|ME｜＋｜MC|有最小值，最小值为｜CE｜＝2－（－1）＝3,故选B．②由抛物线的定义知｜AF|＝y A＋错误!＝y A＋2＝4，∴y A＝2，代入x2＝8y,得x A＝±4，不妨取A（4，2)，又O关于准线y＝－2的对称点为O′(0,－4），∴|P A|＋｜PO|＝｜P A｜＋｜PO′｜≥｜AO′｜＝错误!＝2错误!，当且仅当A、P、O′共线时取等号，故选B．[引申]本例(2）①中，（ⅰ)|MC｜－｜MF|的最大值为__错误!__；最小值为__－错误! __；(ⅱ）若N为⊙C上任一点,则｜MF|＋｜MN｜的最小值为__2__．角度3到准线与到定点距离之和最小问题（3）已知圆C:x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d＋|PC|的最小值为(A）A．错误!B．7C．6 D．9［解析］由题意得圆的方程为（x＋3)2＋(y＋4)2＝4，圆心C的坐标为（－3,－4）．由抛物线定义知，当d＋｜PC｜最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，即d＋｜PC|＝(－3－2)2＋(－4)2＝错误!．角度4到两定直线的距离之和最小问题（4）（2021·北京人大附中测试)点P在曲线y2＝4x上，过P分别作直线x＝－1及y＝x ＋3的垂线,垂足分别为G，H，则｜PG|＋｜PH|的最小值为（B)A．错误!B．2错误!C．错误!＋1 D．错误!＋2[解析］由题可知x＝－1是抛物线的准线，焦点F(1,0），由抛物线的性质可知|PG|＝|PF|,∴｜PG|＋｜PH｜＝｜PF|＋｜PH｜≤｜FH｜＝错误!＝2错误!，当且仅当H、P、F三点共线时取等号，∴｜PG|＋|PH｜的最小值为2错误!．故选B．名师点拨利用抛物线的定义可解决的常见问题（1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．（2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3）看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 〔变式训练1〕（1)(角度1）到定点A （0,2)的距离比到定直线l ：y ＝－1大1的动点P 的轨迹方程为__x 2＝8y __．（2）(角度1)(2021·吉林省吉林市调研)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，点A (4，3)，P 为抛物线上一点,且P 不在直线AF 上,则△P AF 周长取最小值时,线段PF 的长为( B )A ．1B ．134C ．5D ．214（3)(角度2)（2021·山西大学附中模拟)已知点Q (2错误!，0）及抛物线y ＝错误!上一动点P （x ，y ），则y ＋|PQ ｜的最小值是__2__．（4）(角度3）(2021·上海虹口区二模）已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1,抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为（ C ）A ．错误!B ．错误!C ．2D ．错误![解析] (1）由题意知P 到A 的距离等于其到直线y ＝－2的距离,故P 的轨迹是以A 为焦点,直线y ＝－2为准线的抛物线，所以其方程为x 2＝8y ．(2)求△P AF 周长的最小值,即求|P A |＋｜PF ｜的最小值，设点P 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知｜PF ｜＝｜PD |，因此,｜P A |＋｜PF |的最小值，即｜P A |＋｜PD |的最小值．根据平面几何知识,可得当D ，P ,A 三点共线时｜P A ｜＋|PD |最小，此时P 错误!，且｜PF ｜＝错误!＋1＝错误!，故选B ．(3）抛物线y ＝x 24即x 2＝4y ，其焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y ＝－1．因为点Q 的坐标为(2错误!,0），所以|FQ ｜＝错误!＝3．过点P 作准线的垂线PH ，交x 轴于点D ，如图所示．结合抛物线的定义，有y ＋|PQ ｜＝｜PD ｜＋|PQ |＝|PH |＋｜PQ ｜－1＝｜PF ｜＋|PQ |－1≥｜FQ ｜－1＝3－1＝2，即y ＋|PQ |的最小值是2．(4)直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0），则点P 到直线l 2:x ＝－1的距离等于PF ,过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P ，所以点P 到直线l 1:4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2:x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离,所以最小值为错误!＝2，故选C ．考点二 抛物线的标准方程—-自主练透例2 （1)过点P （－3,2)的抛物线的标准方程为__y 2＝－错误!x 或x 2＝错误!y __． （2)焦点在直线x －2y －4＝0上的抛物线的标准方程为__y 2＝16x 或x 2＝－8y __，准线方程为__x ＝－4或y ＝2__．（3)如图,过抛物线y 2＝2px （p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ,C ，若｜BC |＝2｜BF ｜，且｜AF |＝3,则抛物线的方程为（ B )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝错误!xD ．y 2＝9x[解析] (1）设所求抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0）或x 2＝2py (p ＞0)． ∵过点（－3，2),∴4＝－2p ·(－3）或9＝2p ·2． ∴p ＝23或p ＝错误!．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－错误!x 或x 2＝错误!y ． （2)令x ＝0，得y ＝－2，令y ＝0，得x ＝4． ∴抛物线的焦点为(4,0)或（0,－2）． 当焦点为（4，0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线方程为y 2＝16x ； 当焦点为（0，－2）时，p2＝2，∴p ＝4，此时抛物线方程为x 2＝－8y ．∴所求的抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y ， 对应的准线方程分别是x ＝－4，y ＝2．（3)如图,分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ,设｜BF ｜＝a ，则由已知得｜BC ｜＝2a ,由定义得｜BD |＝a ，故∠BCD ＝30°． 在直角三角形ACE 中，∵|AE ｜＝｜AF ｜＝3，｜AC |＝3＋3a ,2｜AE ｜＝｜AC |， ∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1．∵BD ∥FG ，∴错误!＝错误!，即错误!＝错误!，求得p ＝错误!，因此抛物线的方程为y 2＝3x ．名师点拨求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，若焦点位置确定，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．（2）因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量．一般焦点在x 轴上的抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)；焦点在y 轴上的抛物线的方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．〔变式训练2〕(1）(2021·重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线C :y 2＝2px （p ＞0)的焦点为F ，过点(p,0)且垂直于x 轴的直线与抛物线C 在第一象限内的交点为A ，若｜AF |＝1，则抛物线C 的方程为（ A )A ．y 2＝43xB ．y 2＝2xC ．y 2＝3xD ．y 2＝4x(2）（2021·安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上，其上的点P (m ，－3）到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ D )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y[解析］ (1）由题意知x A ＝p ,又|AF |＝x A ＋错误!＝错误!＝1，∴p ＝错误!,∴抛物线C 的方程为y 2＝43x ，故选A ．（2）由题意可知抛物线的焦点在y 轴负半轴上,故设其方程为x 2＝－2py （p ＞0），所以3＋错误!＝5,即p ＝4，所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ，故选D ．考点三,抛物线的几何性质-—师生共研例3 (1)(2021·广西四校联考）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0）上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9,则该抛物线的焦点到准线的距离为( C ）A ．4B ．9C ．10D ．18（2)(理）（2021·四川眉山模拟）点F 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0)的焦点,过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点（点A 在第一象限)，过A 、B 分别作抛物线C 的准线的垂线段，垂足分别为M 、N ，若|MF |＝4，|NF |＝3，则直线AB 的斜率为（ D )A ．1B ．错误!C ．2D ．错误!（文)(2021·四川师大附中期中）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0)，F 为抛物线的焦点，O为坐标原点A (x 1，y 1)，B （x 2,y 2)为抛物线上的两点,A ，B 的中点到抛物线准线的距离为5，△ABO 的重心为F ，则p ＝（ D ）A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为错误!,准线方程为x ＝－错误!．由题意可得4＋错误!＝9，解得p ＝10,所以该抛物线的焦点到准线的距离为10．故选C ．(2）(理)由抛物线定义知|AM ｜＝|AF |，|BN |＝｜BF ｜， ∴∠AFM ＋∠BFM ＝360°－∠MAF －∠NBF2＝90°，∴∠MFN ＝90°， 又｜MF |＝4，|NF |＝3，∴|MN |＝5，∴p ＝|KF ｜＝错误!＝错误!， 又∠AFM ＝∠AMF ＝∠MFK ，∴k AB ＝tan （180°－2∠MFK ）＝－错误!＝－错误!＝错误!．故选D ．(文）错误!＋错误!＝5,错误!＝错误!， ∴10－p ＝错误!，所以p ＝4．故选D ．名师点拨在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．〔变式训练3〕(1）（2021·广东茂名五校联考)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0）,过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，若｜AF |＝4|BF ｜，则｜AB ｜＝__错误!__．（2)(2021·湖北荆州模拟）从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M，且|PM|＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为(C）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析]（1）∵错误!＝1，∴p＝2，不妨设直线AB方程为x＝my＋1,A（x1,y1）,B（x2,y2），由错误!,得y2－4my－4＝0，∴y1y2＝－4,又｜AF|＝4|BF|，∴y1＝－4y2，∴y2＝－1，从而x2＝错误!，∴｜BF|＝1＋错误!＝错误!,∴|AB|＝5｜BF|＝错误!．(2）设P（x0，y0)，由抛物线y2＝4x，可知其焦点F的坐标为(1，0),故|PM|＝x0＋1＝9，解得x0＝8，故P点坐标为（8,4错误!)，所以k PF＝错误!＝错误!．故选C．考点四，直线与抛物线的综合问题——师生共研例4 (1)已知抛物线y2＝2px（p＞0)的焦点F与双曲线错误!－错误!＝1的一个焦点重合,直线y＝x－4与抛物线交于A，B两点，则|AB｜等于(B）A．28 B．32C．20 D．40(2）(2021·陕西师大附中期中)已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1，1)为中点，则弦AB所在直线的方程是（B)A．y＝x－1 B．y＝2x－1C．y＝－x＋2 D．y＝－2x＋3（3)（2021·湖南五市十校联考）已知抛物线C:y2＝2px（p＞0)，直线y＝x－1与C相交所得的长为8．①求p的值；②过原点O的直线l与抛物线C交于M点，与直线x＝－1交于H点,过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点,求证：直线MN过定点．［解析］(1)双曲线错误!－错误!＝1的焦点坐标为(±4，0)，故抛物线的焦点F的坐标为（4，0）．因此p＝8，故抛物线方程为y2＝16x，易知直线y＝x－4过抛物线的焦点．设A、B两点坐标分别为(x1，y1),（x2，y2)．由错误!可得x2－24x＋16＝0，故x1＋x2＝24．故｜AB|＝x1＋x2＋p＝24＋8＝32．故选B．(2）设A(x1，y1)，B（x2，y2)，∴y1＋y2＝2,由错误!，知k AB＝错误!＝错误!＝2，∴AB的方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0，故选B．（3)①由错误!，消x可得y2－2py－2p＝0，∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－2p，∴弦长为错误!·错误!＝错误!·错误!＝8,解得p＝2或p＝－4(舍去)，∴p＝2，②由①可得y2＝ 4x，设M错误!，∴直线OM的方程y＝错误!x，当x＝－1时，∴y H＝－4y0,代入抛物线方程y2＝4x，可得x N＝错误!，∴N错误!，∴直线MN的斜率k＝错误!＝错误!，直线MN的方程为y－y0＝错误!错误!，整理可得y＝错误!(x－1)，故直线MN过点(1,0）．名师点拨(1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要将两方程联立，消元,用到根与系数的关系．(2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式｜AB｜＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．（3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率问题一般用“点差法”求解．〔变式训练4〕（1)(2021·甘肃诊断)直线l过抛物线y2＝2px（p＞0)的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF｜＝4，错误!＝3错误!,则p＝（C)A．2 B．错误!C．错误!D．4（2）（2021·安徽皖南八校模拟）已知抛物线C:y2＝2px(p＞0)的焦点F到直线x－y＋1＝0的距离为错误!．①求抛物线C的方程；②过点F的直线l与C交于A，B两点，交y轴于点P．若｜错误!|＝3｜错误!|,求直线l 的方程．［解析](1)过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D两点，设|BF|＝a，根据抛物线的性质可知，｜BD|＝a，|AE|＝4，根据平行线段比例可知错误!＝错误!,即错误!＝错误!，解得a＝2，又错误!＝错误!，即错误!＝错误!，解得p＝错误!a＝错误!，故选C．（2)①由抛物线C：y2＝2px(p＞0),可得焦点F错误!，因为焦点到x－y＋1＝0的距离为错误!，即错误!＝错误!，解得p＝2，所以抛物线C的方程y2＝4x．②由①知焦点F（1，0)，设直线l：y＝k(x－1），A(x1,y1)，B（x2，y2)，联立方程组{y＝k(x－1)，y2＝4x，整理得k2x2－（2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝2＋错误!,①x1x2＝1，②又由｜错误!|＝3｜错误!|，得错误!＝3错误!,可得x1＝4x2，③由②③,可得x1＝2，x2＝错误!，代入①，可得2＋错误!＝错误!，解得k＝±2错误!，所以直线l的方程为2错误!x－y－2错误!＝0或2错误!x＋y－2错误!＝0．名师讲坛·素养提升巧解抛物线的切线问题例5 (1）抛物线C 1：x 2＝2py （p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝（ D ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!(2）（2019·新课标Ⅲ，节选)已知曲线C ：y ＝错误!，D 为直线y ＝－错误!上的动点,过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．证明:直线AB 过定点．[解析] (1）抛物线C 1：x 2＝2py （p ＞0)的焦点坐标为错误!，双曲线错误!－y 2＝1的右焦点坐标为（2，0）,两点连线的方程为y ＝－错误!（x －2），联立错误!得2x 2＋p 2x －2p 2＝0．设点M 的横坐标为m ，易知在M 点处切线的斜率存在，则在点M 处切线的斜率为y ′错误!x ＝m ＝错误!．又双曲线错误!－y 2＝1的渐近线方程为错误!±y ＝0,其与切线平行，所以错误!＝错误!，即m ＝错误!p ,代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0，得p ＝错误!或p ＝0(舍去)．(2）设D 错误!，A (x 1，y 1)， 则x 21＝2y 1，由于y ′＝x ，∴切线DA 的斜率为x 1,故错误!＝x 1， 整理得：2tx 1－2y 1＋1＝0．设B (x 2，y 2），同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0．故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0，即y －错误!＝tx ． ∴直线AB 过定点错误!．名师点拨利用导数工具解决抛物线的切线问题，使问题变得巧妙而简单，若用判别式解决抛物线的切线问题，计算量大，易出错．注意：直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件，过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3条;过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条．〔变式训练5〕（1)已知抛物线C :y 2＝2px （p ＞0)，过点M 错误!作C 的切线,则切线的斜率为__±1__． (2）已知抛物线x 2＝8y ，过点P （b ，4）作该抛物线的切线P A ，PB ，切点为A ,B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为( C ）A ．（4，0)B ．(3，2)C ．（0，－4)D ．（4,1)[解析] (1)设斜率为k ,则切线为y ＝k 错误!代入y 2＝2px 中得k 2x 2＋p (k 2－2）x ＋错误!＝0．Δ＝0，即p 2（k 2－2）2－4·k 2·k 2p 24＝0．解得k 2＝1,∴k ＝±1．(2）设A ，B 的坐标为（x 1,y 1），(x 2，y 2）， ∵y ＝x 28，y ′＝错误!,∴P A ，PB 的方程y －y 1＝x 14(x －x 1），y －y 2＝错误!（x －x 2)，由y 1＝错误!，y 2＝错误!，可得y ＝错误!x －y 1，y ＝错误!x －y 2， ∵切线P A ，PB 都过点P （b,4), ∴4＝错误!×b －y 1,4＝错误!×b －y 2，故可知过A ，B 两点的直线方程为4＝错误!x －y ， 当x ＝0时，y ＝－4，∴直线AB 恒过定点（0，－4）．故选C ．。

8.7抛_物_线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F (p2，0) F (－p2，0)F (0，p 2)F (0，－p2)离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p21．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p ＞0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．『试一试』1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．『解析』抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，准线方程为x ＝－2，所以焦点到准线的距离为4.『答案』42．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 『解析』设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .『答案』y 2＝4x1．转化思想在定义中应用抛物线上点到焦点距离常用定义转化为点到准线的距离． 2．与焦点弦有关的常用结论 (以下图为依据)(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． 『练一练』1．若抛物线x 2＝ay 过点A ⎝⎛⎭⎫1，14，则点A 到此抛物线的焦点的距离为________． 『解析』由题意可知，点A 在抛物线x 2＝ay 上，所以1＝14a ，解得a ＝4，得x 2＝4y .由抛物线的定义可知点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，所以点A 到抛物线的焦点的距离为y A ＋44＝14＋1＝54.『答案』542．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 是坐标原点，|AF |＝2，则|BF |＝________，△OAB 的面积是________．『解析』设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴， ∴|BF |＝|AF |＝2，|AB |＝4.故△OAB 的面积S ＝12|AB ||OF |＝12×4×1＝2.『答案』2 2考点一抛物线的标准方程及几何性质1.(2013·南通、扬州、泰州二模)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (2，m )到焦点的距离为6，则p ＝________.『解析』法一：由题知，2＋p2＝6，解得p ＝8.法二：由题意得⎩⎨⎧m 2＝4p ，⎝⎛⎭⎫p 2－22＋m 2＝36，解得p ＝8. 『答案』82．(2013·苏州模底)抛物线y 2＝4x 的准线方程是________．『解析』给出的是开口向右的抛物线的标准方程，其准线方程为x ＝－1. 『答案』x ＝－13．从抛物线x 2＝4y 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．『解析』由题意知，抛物线的准线方程为y ＝－1，|PM |＝|PF |＝5， ∴P 点的纵坐标为4， ∴S △MPF ＝12×5×4＝10.『答案』10『备课札记』 『类题通法』1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．考点二抛物线的定义应用与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等.归纳起来常见的命题角度有：1动弦中点到坐标轴距离最短问题；2距离之和最小问题；3焦点弦中距离之和最小问题.角度一动弦中点到坐标轴距离最短问题1．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________．『解析』由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B 作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝|AA1|＋|BB1|2.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2.『答案』2角度二距离之和最小问题2．(2014·哈尔滨四校统考)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．『解析』由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.12＋－12『答案』32－1角度三焦点弦中距离之和最小问题3．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作y 轴垂线，垂足分别为C、D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．『解析』由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时，为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.『答案』2『备课札记』『类题通法』与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．考点三直线与抛物线的位置关系『典例』 (2014·无锡期末)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C .若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________．『解析』 过点B 作BH 垂直准线于点H .由抛物线定义得BF ＝BH .因为BC ＝2BF ，所以BC ＝2BH ，则cos ∠CBH ＝BH BC ＝12，则∠CBH ＝60°，所以直线AB 的倾斜角θ＝∠CBH ＝60°，过点A 作AA ′垂直准线于点A ′，则AF ＝p ＋AF cos 60°，即3＝p ＋3×12，所以p ＝32，抛物线的方程为y 2＝3x .『答案』 y 2＝3x『备课札记』 『类题通法』求解直线与抛物线位置关系问题的方法在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解．『针对训练』(2014·南京摸底)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .过点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，过点A 作l 的垂线，垂足为A 1，则△AA 1F 的面积是________．『解析』法一：由题知，F (1,0)，所以l AF ：y ＝3(x －1)．将它与y 2＝4x 联立解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝23或⎩⎨⎧x ＝13，y ＝－233，则A (3,23)，AA 1＝AF ＝4，故S △AA 1F ＝12×4×23＝4 3.法二：设A (m,2m )，则AF ＝AA 1＝1＋m ，又m ＝1＋AF ·cos 60°＝1＋12(1＋m )，解得m＝3，所以AA 1＝4，所以S △AA 1F ＝12×4×23＝4 3.『答案』43『课堂练通考点』1．(2013·镇江期末)圆心在抛物线x 2＝2y 上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为________．『解析』设圆心P (2a,2a 2)，根据题设条件知抛物线的准线为y ＝－12，所以2a 2＋12＝2|a |，所以a ＝±12，所以满足条件的圆的标准方程为(x ±1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1. 『答案』(x ±1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1 2．设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF |等于________．『解析』设点P 的坐标为(x p ，y p )，则|PF |＝x p ＋32.过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点M ，则∠PFM ＝∠APF ＝60°，所以|PF |＝2|MF |，即x p ＋32＝2⎝⎛⎭⎫x p －32，解得x p ＝92，所以|PF |＝6. 『答案』63．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．『解析』抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.『答案』164．设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.『解析』分别过点A ，B ，P 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，Q ，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|PQ |＝8.『答案』85．(2013·扬州三调)抛物线y 2＝4mx (m >0)的焦点到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的方程为________．『解析』因为双曲线渐近线为x 4±y 3＝0，抛物线的焦点为(m,0)，所以由|3m |5＝3得m ＝5，所以抛物线的方程为y 2＝20x .『答案』y 2＝20x。

第七节 抛物线1．抛物线的标准方程掌握抛物线的定义，几何图形、标准方程． 2．抛物线的几何性质掌握抛物线的简单性质．知识点一 抛物线定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内．(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等． (3)定点不在定直线上．易误提醒 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．[自测练习]1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A.1716 B.1516 C.78D ．0解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516. 答案：B知识点二 抛物线的标准方程与几何性质易误提醒抛物线标准方程中参数p易忽视只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．必记结论抛物线焦点弦的几个常用结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)1|FA|＋1|FB|＝2p.(4)以弦AB为直径的圆与准线相切．[自测练习]2．以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为3，则其方程是( )A．y＝4x2B．y＝8x2C．y2＝4x D．y2＝8x解析：本题考查抛物线的标准方程．设抛物线的方程为y2＝2px，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x，故选D.答案：D3．(2016·成都质检)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为3，则线段AB的长度为( )A．6 B．8C．10 D．12解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2×3＝6，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2＝8，故选B.答案：B4．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 26－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：双曲线x 26－y 23＝1的右焦点F (3,0)是抛物线y 2＝2px 的焦点，所以p2＝3，p ＝6.答案：6考点一 抛物线的标准方程及几何性质|1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a )B ．(a,0)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，116aD.⎝ ⎛⎭⎪⎫116a ，0 解析：抛物线方程化标准方程为x 2＝14ay ，焦点在y 轴上，焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，116a .答案：C2．(2016·宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y解析：若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P(－4，－2)的坐标代入，得a＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P(－4，－2)的坐标代入，得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝－8y.答案：D3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝10，则AB的中点到y轴的距离等于( )A．1 B．2C．3 D．4解析：AB的中点到抛物线准线的距离为|AB|2＝5，所以AB的中点到y轴的距离为5－1＝4.答案：D求抛物线方程的三个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．考点二抛物线的定义及应用|抛物线的定义是高考命题热点，与定义相关的最值问题常涉及距离最短，距离和最小等，归纳常见的探究角度有：1．到焦点与动点的距离之和最小问题．2．到准线与动点的距离之和最小问题．3．到两定直线距离之和最小问题．4．到焦点与定点距离之和最小问题．探究一到焦点与动点的距离之和最小问题1．(2016·邢台模拟)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．解析：抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线为y＝－1，由抛物线的定义得|MF|等于M到准线的距离d，所以|MA|＋|MF|的最小值等于圆心C到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5.答案：5探究二到准线与动点的距离之和最小问题2．已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d＋|PC|的最小值为( )A.41 B．7C．6 D．9解析：由题意得圆的方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝4，圆心C的坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当d＋|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，即d＋|PC|＝－3－2＋－2＝41.答案：A探究三到两定直线距离之和最小问题3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( )A.3716B.115 C ．3D ．2解析：直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ，过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P ，所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2，故选D. 答案：D探究四 到焦点与定点距离之和最小问题4．(2016·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2,2)解析：本题考查抛物线的定义，过M 点作左准线的垂线(图略)，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．答案：D求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．考点三 直线与抛物线的位置关系|(2016·保定模拟)已知：过抛物线x 2＝4y的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两个不同的点，过点A ，B 分别作抛物线的切线，且二者相交于点C .(1)求证：AB →·CF →＝0； (2)求△ABC 的面积的最小值．[解] (1)证明：设l AB ：y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，则x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4.∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴l AC ：y －14x 2A ＝12x A (x －x A )，l BC ：y －14x 2B ＝12x B (x －x B )，∴x C ＝2k ，y C ＝－1.①若k ≠0，则k CF ＝－1k，∴k AB ·k CF ＝－1，∴AB →·CF →＝0.②若k ＝0，显然AB →·CF →＝0(或∵CF →＝(－2k,2)，AB→＝(x B －x A ，k (x B －x A ))，∴AB →·CF →＝－2k (x B －x A )＋2k (x B －x A )＝0.(2)由(1)知，点C 到AB 的距离d ＝|CF |＝21＋k 2. ∵|AB |＝|AF |＋|FB |＝y A ＋y B ＋2＝k (x A ＋x B )＋4＝4k 2＋4， ∴S ＝12|AB |d ＝4(k 2＋1)32，∴当k ＝0时，△ABC 的面积取最小值，为4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．(2015·高考四川卷)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析：当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0<r <5，所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2y 0.设圆心为C (5,0)，则k CM ＝y 0x 0－5.因为直线l 与圆相切，所以2y 0·y 0x 0－5＝－1，解得x 0＝3，于是y 20＝r 2－4，r >2，又y 20<4x 0，即r 2－4<12，所以0<r <4，又0<r <5，r >2，所以2<r <4，选D.答案：D8.直线与圆锥曲线问题的答题模板【典例】 (13分)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．[解题思路] (1)由抛物线的焦点坐标可求c ，又由两曲线的公共弦长为26得出a ，b 的关系式，从而求得椭圆方程；(2)利用方程的思想，得出各交点坐标之间的关系，构造关于斜率k 的方程．[规范解答] (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1，①(2分)又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，由C 1的方程为x 2＝4y ，(4分)由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1，②(5分)联立①②得a 2＝9，b 2＝8， 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(6分)(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)． 因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③(8分)设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.(9分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y29＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2，⑤(10分)将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2＋8k 22＋4×649＋8k 2， 即16(k 2＋1)＝162k 2＋＋8k 22，(12分)所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(13分) [模板形成]特定系数法求曲线方程↓联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程↓错误!↓错误!↓反思回顾，查看有无忽略特殊情况.[跟踪练习] (2016·唐山模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． 解：(1)设直线l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)将(*)化为y 2－4my ＋8＝0.则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M (x M ，y M )，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，①又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝＋m 2m 2－，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝± 3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.A 组 考点能力演练1．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) A ．1 B.12C ．2D.14解析：因为抛物线的标准方程为x 2＝1ay ，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14，故选D.答案：D2．(2016·襄阳调研)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：∵△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径． ∵外接圆的面积为9π，∴圆的半径为3.又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2，∴p 2＋p4＝3，∴p ＝4.答案：B3．(2016·新余模拟)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PMF 的面积为( )A ．5B ．10C ．20D.15解析：根据题意得点P 的坐标为(4，±4)，所以S △PMF ＝12|y p |·|PM |＝12×4×5＝10，故选B. 答案：B4．(2016·九江一模)已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |＝( )A ．1∶ 2B ．1∶ 3C ．1∶2D ．1∶3解析：由题意得，直线l ：y ＝22⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 4，－22p ，∴|NF |＝p 4＋p 2＝34p ，∴|MF |＝p ＋p 2＝32p ，∴|NF |∶|FM |＝1∶2，故选C.答案：C5．(2015·铜川一模)已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则|AB |的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤4，当直线AB 过焦点F 时，|AB |取得最大值4.答案：D6．抛物线y 2＝x 的焦点到准线的距离为________．解析：由抛物线y 2＝x ，得2p ＝1，∴p ＝12，抛物线y 2＝x 的焦点到准线的距离为p ＝12.答案：127．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为________．解析：圆的圆心坐标为(1，－2)．设抛物线方程为y 2＝ax ，将圆心坐标代入得a ＝2，所以所求抛物线的方程为y 2＝2x .答案：y 2＝2x8．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x9.已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .(1)若以点M (2，－1)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在x 轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线l ′与抛物线C ：x 2＝1my 相切，求直线l 的方程和抛物线C 的方程．解：(1)依题意得点P 的坐标为(－m,0)．∵以点M (2，－1)为圆心的圆与直线l 相切于点P ， ∴MP ⊥l .∴k MP ·k l ＝0－－－m －2·1＝－1，解得m ＝－1.∴点P 的坐标为(1,0)．设所求圆的半径为r ，则r 2＝|PM |2＝1＋1＝2， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝2.(2)将直线l 的方程y ＝x ＋m 中的y 换成－y ，可得直线l ′的方程为y ＝－x －m .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1m y ，y ＝－x －m ，得mx 2＋x ＋m ＝0(m ≠0)，Δ＝1－4m 2，∵直线l ′与抛物线C ：x 2＝1my 相切，∴Δ＝0，解得m ＝±12.当m ＝12时，直线l 的方程为y ＝x ＋12，抛物线C 的方程为x 2＝2y ；当m ＝－12时，直线l 的方程为y ＝x －12，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .10．(2016·大连双基)已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q .(1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值； (2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，OM →·ON→＝2，求抛物线C 的方程． 解：(1)设直线l 1的方程为：x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，y 1＋y 2＝2pm ，y 1·y 2＝－4p .k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋y 1＋y 2my 1＋my 2＋＝－8mp ＋8mpmy 1＋my 2＋＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)，当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为OM →·ON →＝2，所以4＋y N y M ＝2，－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝－2.16p 2－4py 0y 2＋y 1＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0y 2＋y 1＋y 20＝－2，16p 2－8p 2my 0－4py 20－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－2，p ＝12，抛物线C 的方程为y 2＝x . B 组 高考题型专练1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：因为抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线l 的方程为x ＝－2①，设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，所以椭圆E 的半焦距c ＝2，又椭圆E 的离心率为12，所以a ＝4，b ＝23，椭圆E的方程为x 216＋y 212＝1②，联立①②，解得A (－2,3)，B (－2，－3)，或A (－2，－3)，B (－2,3)，所以|AB |＝6，选B.答案：B2．(2015·高考陕西卷)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)解析：因为抛物线的准线方程为x ＝－p2＝－1，∴p2＝1，∴焦点坐标为(1,0)，选B. 答案：B3.(2015·高考浙江卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：由题可知抛物线的准线方程为x ＝－1.如图所示，过A 作AA 2⊥y 轴于点A 2，过B 作BB 2⊥y 轴于点B 2，则S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB 2||AA 2|＝|BF |－1|AF |－1.答案：A4．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．解：(1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋a －b x 1＋x 2x 1x 2＝k a ＋b a.当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．。