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三垂线定理1最新版

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高一数学三垂线定理

高一数学三垂线定理

2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它 的另外三个面（ C ）
（A）至多只能有一个直角三角形
P
（B）至多只能有两个直角三角形
（C）可能都是直角三角形 （D）一定都不是直角三角形
A
C
B
四、例题分析：
例1：如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC，AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。
平面PAB内，∴BC⊥PB
思考：
A
C
（1）证明线线垂直的方法有哪些？
B
（2）三垂线定理及其逆定理的主要内 容。
线线垂直的方法 ：
（1）a⊥ ,b在 内，则a⊥b
（2）a∥b，m⊥b，则a⊥m
（3）三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平 面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂 直。
证明：∵PA ⊥平面ABC， ∠ACB= 90°， P ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影， ∴BC⊥PC（三垂线定理），∴∆PBC是直 角三角形；
Q
C
∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内，
∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，∴AQ⊥平面PBC，
R
∴QR是AR在平面PBC的射影，又AR⊥PB，
名古时以六尺为步，可以～。 【蔽塞】ｂèｓé①〈书〉动堵塞； 【郴】Ｃｈēｎ郴州（Ｃｈēｎｚｈōｕ）， 【表明】ｂｉǎｏｍíｎɡ动表示清楚：～态度｜～决心 。①那个和这个； ｚｉ〈方〉名钵？【辩题】ｂｉàｎｔí名辩论的主题或话题。【泊位】ｂóｗèｉ名①航运上指港区内能停靠船舶的位置。②（～儿）〈方〉 时机；【饼肥】ｂǐｎɡｆéｉ名指用作肥料的豆饼、花生饼、棉子饼等。不切实际；【变换】ｂｉàｎｈｕàｎ动事物的一种形式或内容换成另一种：～位置｜～手

三垂线定理知识点总结

三垂线定理知识点总结

三垂线定理知识点总结一、三垂线定理的定义三垂线定理是指在一个三角形中，三条垂线经过一个顶点交于同一点。

具体来说，如果在一个三角形中，我们分别从三个顶点做垂线，那么这三条垂线会相交于同一个点，这个点就叫做三角形的垂心。

垂心是三角形内心的一种特殊情况，也是三角形的一个重要点。

二、三垂线定理的性质1. 三角形的垂心是三角形内心的一种特殊情况。

2. 三角形的垂心到三条边的距离相等。

3. 垂心到三角形三个顶点的连线叫做垂径，垂心到垂径的距离相等。

4. 垂心到三角形三个顶点的连线叫做垂线，垂心到垂线的距离最小。

5. 三角形的三个垂线相交于同一个点。

三、三垂线定理的证明三垂线定理的证明需要借助一些平面几何的知识和方法。

一般来说，我们可以采用反证法来证明三垂线定理，具体步骤如下：1. 假设垂心不是三个垂线的交点，即存在一个点不受三个垂线的影响。

2. 利用垂线的定义和性质，通过绘制辅助线和辅助角等方法，得出矛盾结论。

3. 由矛盾推出假设错误，即证明垂心是三个垂线的交点。

三垂线定理的证明比较复杂，需要结合具体的题目和图形进行推敲，但掌握了相关的证明方法后，就可以轻松应对各种类型的证明题目。

四、三垂线定理的应用三垂线定理在解题中有着广泛的应用，特别是在证明题和计算题中。

下面通过几个例题的分析，来展示三垂线定理的应用。

例1：如图，在△ABC中，AD ⊥ BC，BE ⊥ AC，CF ⊥ AB，垂足分别为D，E，F，连接AD，BE，CF相交于H。

证明：H是△ABC的垂心。

解：根据题意可知，H是由AD，BE，CF三个垂线相交而成的交点，而AD，BE，CF分别是△ABC三条边的垂线，所以H是△ABC的垂心。

例2：如图，点P是△ABC内部一点，PA，PB，PC分别交△ABC的边BC，CA，AB于D，E，F。

证明：若P为△ABC的垂心，则△DEF的三条边和面积与△ABC的相似。

解：首先我们可以利用三垂线定理来证明P是△ABC的垂心，然后我们可以利用相似三角形的性质来证明△DEF与△ABC的相似性。

【数学课件】三垂线定理

【数学课件】三垂线定理

E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
F
C
B
E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
由三垂线定理知EFAC
F
C
B
E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
由三垂线定理知EFAC
F
C
B
E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
证明：∵AC面，a 面
∴ACa
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：AC和AB分别是平面的垂
线和斜线，BC是AB在平面
C
B
a
上的射影，a，aBC。 求证： aAB。
证明：∵AC面，a 面
∴ACa
∵BCa ，AC∩BC＝C
9.4 直线与平面垂直的判定和性质
————————————————————— —
§6 三垂线定理
教学目的
• 掌握三垂线定理及逆定理 • 运用三垂线定理及逆定理解决数学问题 • 在实际生活中运用三垂线定理及逆定理
重点与难点
•三垂线定理及逆定理的适用条件 •三垂线定理及逆定理的应用

高中数学选修2-1三垂线定理及逆定理(一)

高中数学选修2-1三垂线定理及逆定理(一)

[思考2]:
在四面体A-BCD中
A
若AB CD, BC AD, 求证：AC BD.
D
B
O
C
[思考3]:
D1 A1
P
C1 B1
O M N
若O为 B1 BCC1中心, P为 D1 D 上一点, 求证：PO⊥AM
C
D A
B
[思考4]:
D1 A1 G D A B1 F B C1 E C
设正方体 ABCD A1B1C1D1 的 棱长为2, 若E为 C1C 的中点,
A
o
a
理解和深化
⒈为什么称为“三垂线”定理？
P α A o
a
三种垂直关系: ①线面垂直②线射垂直③线斜垂直 ⒉这个定理的作用是什么？ 三垂线定理实质是平面内的直线和平面的斜线垂直 的判定定理.
3.如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结 论成立吗？
P
α A
o
a
直线a必须要在平面内,如果a 不在平面内,定理就不一定成 立.
三垂线定理及逆定理
P
α
A
o
a


[思考]
如图， l 是平面α的一条斜线，如何在α内画一 l垂直？ 条直线与
l
α
a
涉及到三对垂直关系
l P
A a
： PO , OA a , PA a
其中 : PO PA a OA a A - - - - - - - -三垂线定理 . PO OA a PA a - - - - - - - -三垂线逆定理 .
D1 A1 B1 D A B
C1 练习: (1)求证: D1 B B1C (2)求证: D1 B 平面AB1C C

三垂线定理及证明

三垂线定理及证明

三垂线定理及证明三垂线定理是几何学中的重要定理之一。

它指出，在一个三角形中，从顶点向对边作垂线，这些垂线的交点将会共线。

这一定理的证明可以通过几何推理来完成。

我们来考虑一个任意的三角形ABC。

我们从顶点A向边BC作垂线AD，从顶点B向边AC作垂线BE，从顶点C向边AB作垂线CF。

我们的目标是证明这三条垂线所在的线段DF是共线的。

为了证明这一点，我们需要使用一些基本的几何定理和性质。

首先，我们知道在一个直角三角形中，垂线会相交于直角顶点。

所以，我们可以得出结论，AD与BC相交于点D，BE与AC相交于点E，CF与AB相交于点F。

接下来，我们需要证明点D、E、F三者共线。

我们可以通过反证法来进行证明。

假设点D、E、F不共线，即它们不在同一条直线上。

那么我们可以得出结论，线段DE与线段DF不平行，且线段EF与线段DF不平行。

现在我们来考虑三个小三角形，即三角形ADE、三角形BEF和三角形CDF。

由于线段DE与线段DF不平行，根据平行线性质可知，∠DAE与∠DFA不等。

同理，根据线段EF与线段DF不平行，可知∠FEB与∠FDB不等。

从而我们可以得到结论，∠DAE + ∠FEB + ∠FDB ≠ 180°，这与三角形内角和定理相矛盾。

因此，我们可以推断出点D、E、F必须共线。

这就证明了三垂线定理。

三垂线定理在几何学中有着广泛的应用。

首先，在解决三角形相关问题时，我们可以利用三垂线定理来推导出一些有用的结论。

例如，通过三垂线定理，我们可以证明三角形的垂心存在，即三条垂线的交点。

垂心在三角形的性质研究中有着重要的地位。

三垂线定理也可以用于解决一些几何问题。

例如，在解决平面几何问题时，我们可以利用三垂线定理来推导出一些几何关系，从而简化问题的解决过程。

总结起来，三垂线定理是几何学中的重要定理之一。

它指出，在一个三角形中，从顶点向对边作垂线，这些垂线的交点将会共线。

这一定理可以通过几何推理来证明，其证明过程中运用了一些基本的几何定理和性质。

高中数学 三垂线定理以及应用

高中数学 三垂线定理以及应用

O
B
C
解题回顾
关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准 面)以及垂线。射影就可以由垂足、斜足来确定。 从三垂线定理的证明中得到证明a⊥b的一个程 序：一垂、二射、三证。即 第一、找平面(基准面)及平面垂线。
第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条 直线与一条斜线。
第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b 垂直。
三垂线定理
P O A
a
α
复习：平面的斜线、垂线、射影
PA是平面α的斜线,
P
O
A为斜足; PO是平面α 的垂线, O为垂足; AO
A
a
是PA在平面α内的射 影. 如果a α, a⊥AO， 思考a与PA的位置关 系如何？
α
a⊥PA
为什么呢？
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
A
a

O
A
a
直线和平 面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
对三垂线定理的说明： 1.三垂线定理描述的是斜线(PA)、射影(AO)、 直线(a)之间的垂直关系。 P 2.三垂线定理的实质 a 是平面的一条斜线和平面 内的一条直线垂直的判定 O A α 定理。其中直线a与PA可以 相交，也可以异面。 3. 三垂线定理中垂线、斜线、射影、直线都是 相对于一个平面而言，即四线一面，所以把该平面 称为基准平面。 但基准 平面不一定是水平的。
A A1 D1 B1 C1
D
B
C
三垂线定理

三垂线定理.(完整版)


A Oa α
证明:在平面内的一条直线，如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知条件：PA⊥平面a (A是P在平面内的 射影), a⊥AO
求证： a⊥PO
证明： ∵PA⊥平面a， ∴PA⊥AO，PA⊥a(如果一条直线垂直 于一个平面，那么这条直线垂直于平面 内所有直线) ∵a⊥AO ∴a⊥平面OAP(如果平面外一直线与平 面内的两条相交直线垂直，那么这条直 线垂直于这个平面) ∴a⊥PO
证明：∵PA⊥平面ABC，∠ACB= 90°， ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在 平面ABC的射影，∴BC⊥PC（三垂线 定理），
∴∆PBC是直角三角形； ∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内， ∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ， ∴AQ⊥平面PBC，∴QR是AR在平面 PBC的射影，又AR⊥PB， ∴QR⊥PB（三垂线逆定理），
∴∆PQR是直角三角形。
P
Q
C
R
A
B
巩固性练习：
1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线
与斜线的位置关系是（ D ）
（A）垂直
（B）异面 （C）相交 （D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三
个面（ C ）
（A）至多只能有一个直角三角形
P
（B）至多只能有两个直角三角形
（重要结论）：如果一条直线垂直于一个平面， 那么这条直线垂直于平面内所有直线。
斜线
定义：如果一条直线与平面相交且不垂直 那么这条直线是这个平面的一条斜线。直 线与平面的交点称斜足。
l 平面：a
O a
斜线：l 斜足：OFra bibliotek射影点：平面外一点向平面引垂线，那么垂足就是该 点在平面内的射影。

三垂线定理ppt课件PPT文档26页


平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
线射垂直 P
？ P 线斜垂直
A Oa α
平面内的一条直线和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
A Oa α
平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
题 直线垂直的判定定理， 回 这两条直线可以是：
顾 ①相交直线
②异面直线
e dc
αA
Ob a
注意：如果将定理中 例如：当 b⊥ 时，
“在平面内”的条件
b⊥OA
解 去掉，结论仍然成立 吗？
但 b不垂直于OP
题
P
b
回 顾
直线a 在一定要在 平面内，如果 a 不
在平面内，定理就 不一定成立。
Oa
αA
练习：
C B
AO a α
P P
C A
M B
三垂线定理解题的关键：找三垂！
怎么找？
解 题
一找直线和平面垂直
P
回 顾
二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直
α
A
Oa
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
使用三垂线定理还应注意些什么？
解 三垂线定理是平面 的一条斜线与平面内的 P
A
CO，DO分别为AB，AC，
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
D
于是O是△BCD的垂心，
O
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
C

三垂线定理及逆定理课件

三垂线定理及逆定理
反过来,如果 a ⊥PO ,是否有 a⊥AO?
三垂线定理的逆定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线和斜线的射 影垂直.
P
o
a
A α
三垂线定理及逆定理
三垂线定理
例4 四面体P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,求证PC⊥AB
解:过P作PH⊥面ABC，
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
PA⊥α aα
①
PA⊥a
AO⊥a
② a⊥平面PAO
PO 平面PAO
③
a⊥PO
三垂线定理及逆定理
对三垂线定理的说明：
三垂线定理
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射
影)、a(直线)之间的垂直关系。
2、a与PO可以相交，也可以异面。
3、三垂线定理的实质是平
∴BD1⊥AC
D
C
而A1B是BD1在平面 ∴BD1⊥AB1
ABB1A1内的射影 A
B
∴BD1⊥平面AB1C
三垂线定理及逆定理
三垂线定理
关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂 线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。
利用三垂线定理证明a⊥b的一个程序：一垂、二射、 三证。
第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与 一条斜线。 第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。
1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找“基准面” 3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”
三垂线定理及逆定理
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三垂线定理逆定理证明和应用求二面角


∵BC = 1，CD = 2，∴ GF ? 1 ?BC ?CD ? 12? ? 1
2 BD 25
5
而EF = 1，在△EFG中
ta n ? E G F
?
EF GF
?
5
∴所求二面角大小为 arctan 5
小结： ①定基面 平面BCD ②定垂线 过E作EF⊥CD于F 垂线在哪儿?---垂面内
③找斜线or射影 作FG⊥BD于G ④射影or斜线自现 连结EG
OA是PA在内? 的射影?? ? a ? PA
a ? ? 且a ? OA ??
三垂线定理及逆定理包含四线一 面以后称这个平面为基面
2．什么是二面角的平面角？ 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直
于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
3．作二面角的平面角主要有哪几种方法？
的平面角，而用三垂线定理求作二面角 的平面角是最
常用和最有效的方法之一，要求切实掌握。让我们再来 回味用三垂线定理作二面角的平面角的步骤：
（1）一定基面，二定垂线，三找斜线或射影，射影 或斜线自现，L随便；
（2）垂线在垂面内．
四、课后作业
1．如图，直角三角形ABC的斜边AB在平面 ? 内，AC、BC 与平面? 所成角分别为30o和 45o，求△ABC所在平面与?
射影
∴BD1⊥AC
D
C
而A1B是BD1在平面 ∴BD1⊥AB1
ABB1A1内的射影A
B
∴BD1⊥平面AB1C
例2.已知：在正方体AC1中， 求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
射影定位（三棱锥定位）
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从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂、 二射、三证。即
第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与 一条斜线。 第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。
三垂线定理
例3、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角 器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？ 解：在道边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°，
A
B
90°
C
45°
D
三垂线定理
例4、设PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4，
PC=6，求点P到平面ABC的距离。
解: 作PH⊥平面ABC， P
连AH交BC于E，连PE
∵PA、PB、PC两两垂直
∴PA⊥平面PBC ∴PA⊥BC
AH为PA在平面ABC内的射影 A
H
C E
∴BC⊥AH
B
在Rt△PBC中，PE= -4-×--6-- = -1-2--
且b垂直于a在β 内的射影，则a⊥b。 (×)
强调：1°四线是相对同一个平面而言 2°定理的关键找“平面”这个参照学。
三垂线定理
2、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1， AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD，连结A1B ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD
再在道边取一点D，使水平角CDB等于45°， 测得C、D的距离等于20cm
A
B
90°
C
45°
D
∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC
三垂线定理
因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。
Байду номын сангаас
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20cm ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(cm) 答：电塔顶与道路的距离是25m。
影)、a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交，也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和
平面内的一条直线垂直的判定定理。
例题分析： 1、判定下列命题是否正确
三垂线定理
(1)若a是平面α 的斜线、直线b垂直于a在平面
α 内的射影，则a⊥b。
(×)
(2)若a是平面α 的斜线，b是平面α 内的直线，
42+62
13
在Rt△APE中，AE= PA2+PE2= 9+ -11-43-4 = -21-3-2-9
小结
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直。
1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找“基准面”这个参照系 3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”
感谢莅临指导!
再见！
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
D1
C1
又DD1⊥平面ABCD
A1
B1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的
射影
∵AC在平面AC内，∴BD1⊥AC
D
请同学思考：如何证明D1B⊥AB1 A 而AB1， AC相交于点A且都在平面
AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C
C B
三垂线定理
关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
PA⊥α ①
aα
PA⊥a
AO⊥a
② a⊥平面PAO
PO 平面PAO
③
a⊥PO
∪ ∪
P
a
Ao α
① 线面垂直
②
③
线线垂直
线面垂直
线线垂直
性质定理
判定定理
性质定理
三垂线定理
对三垂线定理的说明： 1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射
三垂线定理
P
oa
α
A
课件制作：山东省寿光一中 国焕富
复习：
三垂线定理
什么叫平面的斜线、垂线、射影？
P
oa
α
A
∪
PO是平面α的斜线,
O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO
是PO在平面α内的射
影. 如果a α, a⊥AO，
思考a与PO的位置关 系如何？
学生答：a⊥PO 为什么呢？
三垂线定理