关于集合的交并补运算

集合中元素的交并补运算一、集合的基本概念1.集合的定义：集合是由确定的、互异的元素构成的整体。

2.集合的表示方法：用大括号括起来，如{a, b, c}。

3.集合的元素：集合中的每一个成员称为元素。

二、集合的基本运算1.交集（∩）：两个集合中共同拥有的元素构成的新集合。

2.并集（∪）：两个集合中所有元素（包括重复元素）构成的新集合。

3.补集（’）：一个集合在全集中所没有的元素构成的新集合。

三、交集的性质1.交换律：A∩B=B∩A2.结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)3.对于任何集合A，A∩∅=∅=A∩A四、并集的性质1.交换律：A∪B=B∪A2.结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)3.对于任何集合A，A∪∅=A=A∪A4.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∪(A∪C)五、补集的性质1.A’∪A=∅，A’∩A=U（其中U为全集）2.(A’∪B)’=A∩B3.(A’∩B)’=A∪B六、交、并、补运算的应用1.集合的划分：将一个集合分成若干个互不交集的过程。

2.集合的覆盖：用若干个集合覆盖一个集合的过程，涉及到并集的性质。

3.集合的包含关系：通过交集和补集判断两个集合的包含关系。

七、注意事项1.集合运算中，元素必须满足确定性和互异性。

2.集合运算中，要注意区分集合与元素的关系，遵循运算法则。

3.在解决实际问题时，要灵活运用集合的交、并、补运算，简化问题。

通过以上知识点的学习，学生可以掌握集合中元素的交并补运算的基本概念、性质和应用，为后续数学学习打下坚实的基础。

习题及方法：1.习题：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∩B和A∪B。

解题方法：根据交集和并集的定义，可以直接找出A和B中共同的元素和所有元素。

解：A∩B={2, 3}，A∪B={1, 2, 3, 4}。

2.习题：如果集合A={x | x是小于5的整数}，集合B={x | x是小于6的整数}，求A∩B和A’∪B。

数学中的集合运算法则数学作为一门精确而又抽象的学科，涉及到众多的概念和运算法则。

其中，集合运算法则是数学中一个重要的分支，它研究的是集合之间的关系和运算规律。

本文将探讨数学中的集合运算法则，以及它们的应用。

一、交集运算法则交集运算是指将两个集合中所有共有的元素组成一个新的集合。

在数学中，交集运算有以下几个法则：1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∩B=B∩A。

这意味着，交集运算的结果与操作数的顺序无关。

2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

这意味着，交集运算可以连续进行，结果不会受到括号的影响。

3. 吸收律：对于任意两个集合A和B，如果A是B的子集，则A∩B=A。

这意味着，如果一个集合是另一个集合的子集，它们的交集就是自身。

交集运算法则在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在数据库查询中，可以使用交集运算来找出同时满足多个条件的数据。

二、并集运算法则并集运算是指将两个集合中的所有元素组成一个新的集合。

在数学中，并集运算有以下几个法则：1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∪B=B∪A。

这意味着，并集运算的结果与操作数的顺序无关。

2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

这意味着，并集运算可以连续进行，结果不会受到括号的影响。

3. 吸收律：对于任意两个集合A和B，如果A是B的子集，则A∪B=B。

这意味着，如果一个集合是另一个集合的子集，它们的并集就是另一个集合。

并集运算法则在实际应用中也有着广泛的应用。

例如，在概率论中，可以使用并集运算来计算两个事件同时发生的概率。

三、差集运算法则差集运算是指从一个集合中去除另一个集合中的元素，得到一个新的集合。

在数学中，差集运算有以下几个法则：1. 差运算：对于任意两个集合A和B，A-B表示从A中去除B中的元素得到的新集合。

2. 吸收律：对于任意两个集合A和B，如果A是B的子集，则A-B=∅。

集合的交并补运算数学五年级下册期末测集合是数学中的一个重要概念，在数学五年级下册中，我们学习了集合的交、并、补运算。

本文将围绕着这一知识点展开，通过解释、举例、总结等方式，详细介绍集合的交、并、补运算。

一、集合的交运算交运算是指给定两个集合，将其中共有的元素提取出来形成一个新的集合。

用符号表示，如果集合A和集合B的交集为C，可以表示为C=A∩B。

交运算的实际应用非常广泛，比如在调查统计中，我们常常需要找到同时满足某些条件的个体或对象。

下面我们通过一个生活中的例子来说明集合的交运算。

例子：小明和小红是班级的两位优秀学生，其中小明擅长语文，小红擅长数学。

我们可以将班级中所有擅长语文的学生构成一个集合A，将班级中所有擅长数学的学生构成一个集合B。

那么集合A和集合B的交集，即擅长语文又擅长数学的学生集合，就是既是小明又是小红的学生。

二、集合的并运算并运算是指给定两个集合，将其中所有的元素合并形成一个新的集合。

用符号表示，如果集合A和集合B的并集为C，可以表示为C=A∪B。

并运算可以用来表示包含某些特征的整体集合。

下面我们通过一个例子来说明集合的并运算。

例子：某超市有3个货架，分别摆放着水果、蔬菜和日用品。

我们可以将水果货架上的所有商品构成一个集合A，将蔬菜货架上的所有商品构成一个集合B，将日用品货架上的所有商品构成一个集合C。

那么这三个货架上的所有商品的集合，即集合A、B、C的并集，就是超市里的所有商品的集合。

三、集合的补运算补运算是指给定一个集合和一个全集，将全集中不属于该集合的元素提取出来形成一个新的集合。

用符号表示，如果集合A的补集为B，则可以表示为B=全集-A。

补运算常用于求解某个集合外的元素，或者补充某些缺失的元素。

下面我们通过一个例子来说明集合的补运算。

例子：小明收集了一些动物玩具，其中有虎、狮、熊和猴子。

我们可以将小明收集的动物玩具构成一个集合A。

如果我们定义全集为所有的动物玩具，那么集合A的补集就是除了虎、狮、熊和猴子之外的所有动物玩具。

集合的五种基本运算集合的五种基本运算包括并集、交集、差集、补集和笛卡尔积。

下面将对这五种运算进行详细介绍。

1. 并集：并集是指将两个或多个集合中的所有元素组合起来形成一个新的集合。

符号表示为"A∪B"，表示集合A和集合B的并集。

并集操作将去除重复元素，只保留一个。

例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集：交集是指取两个集合中相同的元素形成一个新的集合。

符号表示为"A∩B"，表示集合A和集合B的交集。

交集操作将保留两个集合中共有的元素，去除不同的元素。

例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B={3}。

3. 差集：差集是指从一个集合中去除与另一个集合中相同的元素形成一个新的集合。

符号表示为"A-B"，表示集合A和集合B的差集。

差集操作将保留集合A中与集合B不同的元素。

例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A-B={1,2}。

4. 补集：补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素形成的集合。

符号表示为"A'"或"A^c"，表示集合A的补集。

补集操作将保留集合A中不在另一个集合中的元素。

例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A'={1,2}。

5. 笛卡尔积：笛卡尔积是指将两个集合中的所有元素按照一定规律组合起来形成一个新的集合。

符号表示为"A×B"，表示集合A和集合B的笛卡尔积。

笛卡尔积操作将取两个集合中的元素进行组合，形成一个新的集合。

例如，如果集合A={1,2}，集合B={a,b}，则A×B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}。

这五种基本的集合运算在数学和计算机科学中都有广泛的应用。

它们可以用来解决集合之间的关系、求解问题和进行数据分析。

第7讲 集合的交并补运算【课型】复习课【学习目标】1.掌握集合间的交、并、补运算规律法则2.能熟练进行集合间的交、并、补运算【预习清单】【知识梳理】1．集合的基本运算 集合的交集 集合的并集 集合的补集图形语言符号 语言 A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B } A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A } 2.集合的运算性质(1)交集性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(2)并集性质：A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A .(3)补集性质：A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A .3.常用结论(1))A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .(2)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．【引导清单】考向一：集合间的基本运算【例1】(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{－4，1，3，5}，则A ∩B ＝(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＞1，则∁U (A ∪B )＝ (3)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为【解析】(1)由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，即集合A ＝{x |－1<x <4}，又集合B ＝{－4，1，3，5}，所以A ∩B ＝{1，3}。

(2)由已知，得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |0＜x ＜1}，所以A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－1或x ≥3}.(3)由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4.考向二：集合间运算的综合问题【例2】 (1)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝（2）如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．【解析】(1)易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a 2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2..（2）由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}，所以A ∩B ＝{0，6}．【训练清单】【变式训练1】(1)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∪B ＝(2)若全集U ＝R ，集合A ＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B ＝{x ||x |≤2}，则如图阴影部分所表示的集合为(3)设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{1}，则B ＝【解析】（1）A ＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }＝{1，2}，所以A ∪B ＝{0，1，2}，（2）∁U A ＝{x |－1≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤2}．（3）由题意可得1－4＋m＝0，解得m＝3，所以B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}【变式训练2】(1)已知集合A＝{(x，y)|2x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x＋my＋1＝0}．若A∩B＝∅，则实数m＝（2）设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．【解析】（1）因为A∩B＝∅，所以直线2x＋y＝0与直线x＋my＋1＝0平行，所以m＝12（2）由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又因为新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．【巩固清单】1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝【解析】A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝{x|1≤x＜4}.2．已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B＝【解析】因为A＝{x||x|<3，x∈Z}＝{x|－3<x<3，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x||x|>1，x∈Z}＝{x|x>1或x<－1，x∈Z}，所以A∩B＝{－2，2}.3．已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝【解析】由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.4．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁R A)∪B＝________．【解析】由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，(∁R A)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{x|x－y＝1}，则A∩B＝【解析】：选D.因为集合A中的元素为点集，集合B中的元素为数集，所以两集合没有公共元素，所以A∩B＝∅.6．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝________，A∪B＝________．【解析】A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，A∪B＝(－∞，3]．7．已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是【解析】因为A＝{x∈N|x2≤1}＝{x∈N|－1≤x≤1}＝{0，1}，B＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1，0，1，2，3}．图中阴影部分表示的集合为(∁R A)∩B，∁R A＝{x|x≠0且x≠1}，所以(∁R A)∩B＝{－1，2，3}.8．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x＝n2－1，n∈A}，P＝A∩B，则P的子集共有个【解析】因为B＝{x|x＝n2－1，n∈A}＝{－1，0，3，8}，所以P＝A∩B＝{0，3}，所以P的子集共有22＝4个.9．已知集合A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}．若A∪B＝{－1，0，1，2}，则实数m的值为【解析】因为A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}，A∪B＝{－1，0，1，2}，所以m∈A∪B，且m不能等于A中的其他元素，所以m＝1或m＝2.10．若集合A具有以下性质：(1)0∈A，1∈A；(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，1 x ∈A.则称集合A是“好集”．给出下列说法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q 是“好集”③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.其中，正确说法的序号是【解析】①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，1x∈Q，所以有理数集Q是“好集”．③因为集合A是“好集”，则0∈A，由性质(2)知，若y∈A，则0－y∈A，知－y∈A，因此x－(－y)＝x＋y∈A，所以③正确．故正确的说法是②③。

集合的交并差补与代数的加减乘除wsyAugust13,2015我们都知道，集合的运算和代数的运算是独立的，一般没有太大的关联。

集合的基本的运算法则有：•交集：A B;•并集：A B;•补集：A;•差集：A−B.但是，我们通过如下的定义，可以建立一个集合的代数运算关系：令全集Ω表示为1,空集∅表示为0•交集：A∩B=ab;•并集：A∪B=a+b−ab;•补集：A=1−a;•差集：A−B=A−A∩B=a−ab=a(1−b).其中，集合A,B在代数运算中，用相应的小写字母a,b表示。

注意到，因为A∩A=A,所以根据定义可以推导出，我们的定义满足幂等律a·a=a2=a.除了，这一点有差异之外，其它运算与代数运算都相同。

接下来，我们可以看到，集合的对偶律和结合律，使用上述定义之后，也是吻合的。

下列代数式子在化简后是显然成立的，我们减去了化简的步骤。

1.对偶律:1•对于A∩B=A∪B,代入上述定义，有1−ab=(1−a)+(1−b)−(1−a)(1−b).•对于A∪B=A∩B,代入上述定义，有1−(a+b−ab)=(1−a)(1−b).2.结合律：•对于(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C),代入上述定义，有ab+c−abc=(a+c−ac)(b+c−bc).•对于(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),代入上述定义，有(a+b−ab)c=ac+bc−ac·bc.综上可知，我们的定义是满足集合运算的要求的。

之所以要把集合的运算，转化为代数的运算，是因为一般的人，对于代数运算的熟悉程度远远高于集合运算。

这为我们验证，求解，推断复杂的集合运算的式子提供了另外的一种新的更加简便快速的方式。

2。

交、并、补集的混合运算交集、并集和补集是集合理论中的重要概念，通过混合运算可以更好地理解集合之间的关系和性质。

下面将为你介绍这些概念以及它们在实际问题中的应用。

首先，让我们来看一下交集。

交集是指两个或多个集合中共同的元素所构成的新集合。

可以用符号∩ 来表示。

例如，假设集合 A 包含 {1, 2, 3, 4}，集合 B 包含 {3, 4, 5, 6}，那么 A 与 B 的交集就是 {3, 4}。

交集代表了两个集合共有的部分，可以理解为两个集合的“重合区域”。

接下来，我们来看一下并集。

并集是指两个或多个集合中所有元素所构成的新集合。

可以用符号∪ 来表示。

继续以集合 A 和集合 B 为例，那么 A 与 B 的并集就是 {1, 2, 3, 4, 5, 6}。

并集代表了两个集合之间的全部元素，可以理解为两个集合的“合并”。

最后，让我们来谈谈补集。

补集是指某个给定集合中不包含在另一个集合中的元素所构成的新集合。

可以用符号 ' 代表。

在这个概念中，我们需要明确所谈论的全集。

以集合 A 和全集 U 为例，A 的补集就是所有不属于 A 的元素构成的新集合。

例如，如果全集 U 是 {1, 2, 3, 4, 5}，集合 A 是 {1, 2, 3}，那么 A 的补集就是 {4, 5}。

补集代表了一个集合中缺失的部分，可以理解为集合的“缺失区域”。

这些概念和混合运算在日常生活中有很多应用。

比如，在市场调研中，我们可以将消费者分为 A 组和 B 组，A 组喜欢产品 X，B 组喜欢产品 Y。

那么 A 组和 B 组的交集就是同时喜欢产品 X 和产品 Y 的消费者，可以针对这部分消费者开展有针对性的营销活动。

而 A 组和 B 组的并集则是所有潜在消费者的总和，有助于我们了解整体市场规模和潜力。

另外，通过研究补集，可以发现市场上尚未覆盖到的消费者群体，帮助企业制定更全面的市场策略。

总而言之，交集、并集和补集是集合理论中的重要概念，在实际问题中具有广泛的应用。