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集合与运算中的并交差与补集合是数学中的一个重要概念，它由一组不同元素组成。
而集合运算是对集合进行操作和组合的过程，其中最常见的运算包括并集、交集、差集和补集。
本文将介绍并探讨集合与运算中的并、交、差与补。
一、并集并集是指将两个或多个集合中的全部元素合并在一起，形成一个新的集合。
记作A∪B={x:x∈A或x∈B}，其中符号∪表示并集运算。
具体而言，对于任意集合A和B，它们的并集包含了A和B中所有的元素，且不重复计算。
例如，对于集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}，它们的并集A∪B={1,2,3,4,5}。
二、交集交集是指两个或多个集合中共有的元素的集合。
记作A∩B={x:x∈A且x∈B}，其中符号∩表示交集运算。
具体而言，对于任意集合A和B，它们的交集包含了A和B中公共的元素，且不重复计算。
举例来说，对于集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}，它们的交集A∩B={3}。
三、差集差集是指一个集合除去与另一个集合共有的元素后得到的集合。
记作A-B={x:x∈A且x∉B}，其中符号-表示差集运算。
具体而言，对于任意集合A和B，它们的差集包含了在集合A中但不在集合B中的元素，且不重复计算。
举个例子，对于集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}，它们的差集A-B={1,2}。
四、补集补集是指在全集中除去一个集合的所有元素后得到的余集。
记作A'={x:x∉A}，其中符号'表示补集运算。
具体而言，对于给定的全集U 和某集合A，补集A'包含了在全集U中但不在集合A中的所有元素。
以集合A={1,2,3}为例，如果全集U为自然数集合{1,2,3,4,5}，则补集A'={4,5}。
通过对集合的并、交、差和补运算，我们可以更好地理解和研究集合的性质和关系。
这些运算在数学上具有重要的应用，在概率论、图论、集合论等领域都有广泛的应用。
总结起来，集合与运算中的并、交、差和补是基本且常用的操作。
集合中元素的交并补运算一、集合的基本概念1.集合的定义：集合是由确定的、互异的元素构成的整体。
2.集合的表示方法：用大括号括起来，如{a, b, c}。
3.集合的元素：集合中的每一个成员称为元素。
二、集合的基本运算1.交集（∩）：两个集合中共同拥有的元素构成的新集合。
2.并集（∪）：两个集合中所有元素（包括重复元素）构成的新集合。
3.补集（’）：一个集合在全集中所没有的元素构成的新集合。
三、交集的性质1.交换律：A∩B=B∩A2.结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)3.对于任何集合A，A∩∅=∅=A∩A四、并集的性质1.交换律：A∪B=B∪A2.结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)3.对于任何集合A，A∪∅=A=A∪A4.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∪(A∪C)五、补集的性质1.A’∪A=∅，A’∩A=U（其中U为全集）2.(A’∪B)’=A∩B3.(A’∩B)’=A∪B六、交、并、补运算的应用1.集合的划分：将一个集合分成若干个互不交集的过程。
2.集合的覆盖：用若干个集合覆盖一个集合的过程，涉及到并集的性质。
3.集合的包含关系：通过交集和补集判断两个集合的包含关系。
七、注意事项1.集合运算中，元素必须满足确定性和互异性。
2.集合运算中，要注意区分集合与元素的关系，遵循运算法则。
3.在解决实际问题时，要灵活运用集合的交、并、补运算，简化问题。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握集合中元素的交并补运算的基本概念、性质和应用，为后续数学学习打下坚实的基础。
习题及方法：1.习题：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∩B和A∪B。
解题方法：根据交集和并集的定义，可以直接找出A和B中共同的元素和所有元素。
解：A∩B={2, 3}，A∪B={1, 2, 3, 4}。
2.习题：如果集合A={x | x是小于5的整数}，集合B={x | x是小于6的整数}，求A∩B和A’∪B。
集合的交集、并集与补集集合是数学中的一个重要概念，它是由一些确定的对象组成的整体。
在集合论中，我们通常会涉及到集合的交集、并集与补集等操作。
这些操作不仅在数学中有广泛的应用，也在计算机科学、逻辑学等领域中起着重要的作用。
本文将详细介绍集合的交集、并集与补集的定义和性质，并给出一些具体的例子。
一、交集（Intersection）集合的交集是指包含同时属于两个集合的所有元素的新集合。
记为A ∩ B，读作“集合A与集合B的交集”。
如果一个元素同时属于A和B，那么它就属于A ∩ B。
交集的定义可以扩展到多个集合之间。
对于n个集合A1, A2, …, An，它们的交集是同时属于所有这些集合的元素的集合，记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An。
交集的运算特性如下： 1. 交换律：A ∩ B = B ∩ A 2. 结合律：(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 3. 吸收律：A ∩ (A ∪ B) = A 4. 分配律：A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)以下是一个具体的例子来说明交集的概念。
假设有两个集合A = {1, 2, 3}和B = {2, 3, 4}，它们的交集是A ∩ B = {2, 3}。
因为数字2和3同时属于集合A和B，所以它们也属于它们的交集。
二、并集（Union）集合的并集是指包含至少属于两个集合中的所有元素的新集合。
记为A ∪ B，读作“集合A与集合B的并集”。
如果一个元素属于A或B中的一个，那么它就属于A ∪ B。
并集的定义同样可以扩展到多个集合之间。
对于n个集合A1, A2, …, An，它们的并集是至少属于其中一个集合的元素的集合，记为A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An。
并集的运算特性如下： 1. 交换律：A ∪ B =B ∪ A 2. 结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 3. 吸收律：A ∪ (A ∩ B) = A 4. 分配律：A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)继续以上面的集合A和B为例，它们的并集是A ∪ B = {1, 2, 3, 4}。
【知识点】集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）一、交集：数学上，一般地，对于给定的两个集合A 和集合B 的交集是指含有所有既属于 A 又属于 B 的元素，而没有其他元素的集合。
由属于A 且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。
交集越交越少。
若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B例如：集合 {1， 2， 3} 和 {2， 3， 4} 的交集为 {2， 3}。
数字 9 不属于素数集合 {2， 3， 5， 7， 11} 和奇数集合 {1， 3， 5， 7，9， 11}的交集。
若两个集合 A 和 B 的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交，写作：A ∩B =? ;。
例如集合 {1， 2} 和 {3， 4} 不相交，写作 {1，2} ∩{3， 4} = ? 。
更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。
例如，集合A，B，C 和 D 的交集为A ∩B ∩C∩D =A∩（B ∩（C ∩D））。
交集运算满足结合律，即A ∩（B∩C）=（A∩B）∩C。
最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。
若 M 是一个非空集合，其元素本身也是集合，则x 属于M 的交集，当且仅当对任意M 的元素 A，x 属于 A。
这一概念与前述的思想相同，例如，A ∩B ∩C 是集合 {A，B，C} 的交集。
（M 何时为空的情况有时候是能够搞清楚的，请见空交集）。
这一概念的符号有时候也会变化。
集合论理论家们有时用"∩M"，有时用"∩A∈MA"。
后一种写法可以一般化为"∩i∈IAi"，表示集合{Ai : i ∈ I} 的交集。
这里 I 非空，Ai 是一个 i 属于 I 的集合。
注意当符号"∩" 写在其他符号之前，而不是之间的时候，需要写得大一号。
二、并集：并集（union）：在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合，而不包含其他元素。
集合论中的交并差与补运算在数学中，集合是由一组互不相同的元素组成的概念。
集合论是研究集合及其性质的数学分支之一，其中交并差与补运算是集合论中常见的运算方式。
本文将介绍和讨论这些运算，并探讨它们在集合论中的应用。
一、交运算交运算是指将多个集合中共有的元素提取出来形成一个新的集合。
通常用符号“∩”来表示交运算。
例如，对于集合A={1, 2, 3, 4}和集合B={3, 4, 5}，它们的交集可以表示为A∩B={3, 4}。
交集只包含两个集合中共有的元素，其它元素将被排除。
交运算在实际生活中有着广泛的应用。
比如，当我们合并两份清单时，只需要提取出两份清单中共有的项目即可。
另外，交集还可以用于解决实际问题中的共性部分。
二、并运算并运算是指将多个集合中的所有元素合并在一起形成一个新的集合。
通常用符号“∪”来表示并运算。
继续以上面的示例，集合A和集合B的并集可以表示为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
并集包含了两个集合中的所有元素，没有重复的元素。
并运算在现实生活中也有很多应用。
比如，当我们需要获取多个清单的总览时，可以使用并集来合并多个清单的项目。
并集还可以用于组合不同的信息，以获取全面的结果。
三、差运算差运算是指从一个集合中减去另一个集合中的所有元素，得到一个新的集合。
通常用符号“-”来表示差运算。
仍以上述示例，集合A减去集合B的差集可以表示为A-B={1, 2}。
差集包含了属于集合A而不属于集合B的元素。
差运算在实际生活中也有诸多用途。
比如，在购物时，去掉已经购买的商品，我们可以得到尚未购买的商品清单。
差集还可以用于解决实际问题中的排除部分。
四、补运算补运算是指对于给定的全集，从全集中减去一个集合，得到的差集。
通常用符号“'”或“c”来表示补运算。
以全集为U，集合A为例，A的补集可以表示为A'或Ac，其中A'= U-A。
补集包含了全集中不属于集合A的元素。
在实际生活中，补集也有着一定的应用。
交集并集和补集的知识点交集、并集和补集是集合论中的重要概念，它们是研究集合之间关系的基础。
本文将从交集、并集和补集的定义、性质以及在实际问题中的应用等方面进行详细介绍。
我们来了解一下交集的概念。
对于给定的两个集合A和B，它们的交集表示为A∩B，表示包含同时属于A和B的元素的集合。
简而言之，交集就是两个集合共同拥有的元素的集合。
例如，假设集合A 表示男生，集合B表示喜欢足球的人，那么A∩B就表示同时是男生且喜欢足球的人的集合。
接下来，我们来了解并集的概念。
对于给定的两个集合A和B，它们的并集表示为A∪B，表示包含属于A或B（或同时属于A和B）的元素的集合。
简而言之，并集就是两个集合合并后的集合。
继续以上面的例子，假设集合A表示男生，集合B表示喜欢足球的人，那么A∪B就表示男生和喜欢足球的人的总集合，即包含所有男生和喜欢足球的人的集合。
我们来了解补集的概念。
对于给定的集合U和其中的一个子集合A，A的补集表示为A'或者A的补，表示包含所有不属于A的元素的集合。
简而言之，补集就是与A互斥的元素的集合。
继续以上面的例子，假设集合U表示学校全体学生，集合A表示男生，那么A'就表示女生的集合，即所有不是男生的学生的集合。
除了上述基本概念之外，交集、并集和补集还有一些重要的性质。
首先，交集满足交换律和结合律，即A∩B=B∩A，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
并集也满足交换律和结合律，即A∪B=B∪A，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
其次，交集和并集满足分配律，即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
此外，交集和并集还满足对偶律，即(A∩B)'=A'∪B'，(A∪B)'=A'∩B'。
交集、并集和补集在实际问题中有着广泛的应用。
首先，在概率论中，交集和并集用于计算事件的概率。
例如，事件A表示掷一枚硬币正面朝上，事件B表示掷一枚骰子得到一个偶数，那么A∩B表示掷硬币正面朝上且掷骰子得到一个偶数的事件，A∪B表示掷硬币正面朝上或者掷骰子得到一个偶数的事件。
第7讲 集合的交并补运算【课型】复习课【学习目标】1.掌握集合间的交、并、补运算规律法则2.能熟练进行集合间的交、并、补运算【预习清单】【知识梳理】1．集合的基本运算 集合的交集 集合的并集 集合的补集图形语言符号 语言 A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B } A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A } 2.集合的运算性质(1)交集性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(2)并集性质：A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A .(3)补集性质：A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A .3.常用结论(1))A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .(2)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．【引导清单】考向一：集合间的基本运算【例1】(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{－4，1，3，5}，则A ∩B ＝(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＞1，则∁U (A ∪B )＝ (3)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为【解析】(1)由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，即集合A ＝{x |－1<x <4}，又集合B ＝{－4，1，3，5}，所以A ∩B ＝{1，3}。
(2)由已知，得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |0＜x ＜1}，所以A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－1或x ≥3}.(3)由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4.考向二：集合间运算的综合问题【例2】 (1)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝（2）如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．【解析】(1)易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a 2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2..（2）由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}，所以A ∩B ＝{0，6}．【训练清单】【变式训练1】(1)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∪B ＝(2)若全集U ＝R ，集合A ＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B ＝{x ||x |≤2}，则如图阴影部分所表示的集合为(3)设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{1}，则B ＝【解析】（1）A ＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }＝{1，2}，所以A ∪B ＝{0，1，2}，（2）∁U A ＝{x |－1≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤2}．（3）由题意可得1－4＋m＝0，解得m＝3，所以B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}【变式训练2】(1)已知集合A＝{(x，y)|2x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x＋my＋1＝0}．若A∩B＝∅，则实数m＝（2）设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．【解析】（1）因为A∩B＝∅，所以直线2x＋y＝0与直线x＋my＋1＝0平行，所以m＝12（2）由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又因为新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．【巩固清单】1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝【解析】A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝{x|1≤x＜4}.2．已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B＝【解析】因为A＝{x||x|<3，x∈Z}＝{x|－3<x<3，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x||x|>1，x∈Z}＝{x|x>1或x<－1，x∈Z}，所以A∩B＝{－2，2}.3．已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝【解析】由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.4．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁R A)∪B＝________．【解析】由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，(∁R A)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{x|x－y＝1}，则A∩B＝【解析】：选D.因为集合A中的元素为点集，集合B中的元素为数集，所以两集合没有公共元素，所以A∩B＝∅.6．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝________，A∪B＝________．【解析】A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，A∪B＝(－∞，3]．7．已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是【解析】因为A＝{x∈N|x2≤1}＝{x∈N|－1≤x≤1}＝{0，1}，B＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1，0，1，2，3}．图中阴影部分表示的集合为(∁R A)∩B，∁R A＝{x|x≠0且x≠1}，所以(∁R A)∩B＝{－1，2，3}.8．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x＝n2－1，n∈A}，P＝A∩B，则P的子集共有个【解析】因为B＝{x|x＝n2－1，n∈A}＝{－1，0，3，8}，所以P＝A∩B＝{0，3}，所以P的子集共有22＝4个.9．已知集合A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}．若A∪B＝{－1，0，1，2}，则实数m的值为【解析】因为A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}，A∪B＝{－1，0，1，2}，所以m∈A∪B，且m不能等于A中的其他元素，所以m＝1或m＝2.10．若集合A具有以下性质：(1)0∈A，1∈A；(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，1 x ∈A.则称集合A是“好集”．给出下列说法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q 是“好集”③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.其中，正确说法的序号是【解析】①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，1x∈Q，所以有理数集Q是“好集”．③因为集合A是“好集”，则0∈A，由性质(2)知，若y∈A，则0－y∈A，知－y∈A，因此x－(－y)＝x＋y∈A，所以③正确．故正确的说法是②③。
并集和交集补集基础知识
并集、交集和补集是集合论中的基本概念，用于描述集合之间的关系和操作。
1. 并集（Union）：两个集合A 和B 的并集表示为A ∪ B，表示为所有属于集合A 或属于集合 B 的元素的集合。
用符号表示为：A ∪ B = {x | x ∈ A 或x ∈ B}。
2. 交集（Intersection）：两个集合A 和B 的交集表示为A ∩ B，表示为所有同时属于集合A 和集合 B 的元素的集合。
用符号表示为：A ∩ B = {x | x ∈ A 且x ∈ B}。
3. 补集（Complement）：集合A 的补集表示为Ac，表示为所有属于全集U 但不属于集合
A 的元素的集合。
用符号表示为：Ac = U \ A。
以下是一些基本的集合运算公式：
1. De Morgan's Laws：
- A ∪ B' = (A' ∩ B')'
- A ∩ B' = (A' ∪ B')'
2. Distributive Law：A (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
3. Idempotent Law：A ∪ A = A，A ∩ A = *
***mutative Laws：A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A
5. Associative Laws：A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C，A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
掌握这些基础知识有助于更好地理解和运用集合论在数学、计算机科学等领域的应用。
