1.8集合的运算：交、并、补混合运算

精心整理会合的并、交、补运算知足以下定理给出的一些基本运算法例．
定理 4.2.1 . 设A, B, C为随意三个会合，Ω与分别表示全集和空集，则下边的运算法例建立：
(1)互换律： A∪B=B∪A， A∩B=B∩A；
??
(2)??联合律：(∪)∪=∪(∪ )( 可记作∪∪）,
AB CA B C A B C
( A∩B) ∩C=A∩ ( B∩C)( 可记作A∩B∩C）；
(3)??分派律: (A∩B)∪C=（A∪C）∩(B∪C) ,
( A∪B) ∩C=( A∩C) ∪( B∩C) ；
(4) ??摩根 (Morgan) 律 :，；
(5) ??等幂律 : A∪A=A，A∩A=A；
(6) ????汲取律 : ( A∩B) ∪A=A，( A∪B) ∩A=A；
(7)??0―1律:∪=，∩Ω=，
AA A A
?A∪Ω=Ω，A∩=；
(8)互补律 :,；
??
(9)??重叠律:,.
证 .借助文氏(Venn)图绘出分派律第一式以及摩根律第一式的证明，余者由读者模拟达
成．例 4.2.1 试证明等式
证 .
＝Ω∩C＝C
对偶 . 定理的九条定律中的每一条都包括两个或四个公式，只需将此中一个公式中的∪换成∩，
同时把∩换成∪，把换成Ω，同时把Ω换成，这样就获得了另一个公式，这类风趣的规则称为对偶原理.比如，摩根定律中的∪换成∩，∩换成∪，就获得了另一个摩根公式?．
例的对偶为；的对偶为；
的对偶式是
精心整理。

集合中元素的交并补运算一、集合的基本概念1.集合的定义：集合是由确定的、互异的元素构成的整体。

2.集合的表示方法：用大括号括起来，如{a, b, c}。

3.集合的元素：集合中的每一个成员称为元素。

二、集合的基本运算1.交集（∩）：两个集合中共同拥有的元素构成的新集合。

2.并集（∪）：两个集合中所有元素（包括重复元素）构成的新集合。

3.补集（’）：一个集合在全集中所没有的元素构成的新集合。

三、交集的性质1.交换律：A∩B=B∩A2.结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)3.对于任何集合A，A∩∅=∅=A∩A四、并集的性质1.交换律：A∪B=B∪A2.结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)3.对于任何集合A，A∪∅=A=A∪A4.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∪(A∪C)五、补集的性质1.A’∪A=∅，A’∩A=U（其中U为全集）2.(A’∪B)’=A∩B3.(A’∩B)’=A∪B六、交、并、补运算的应用1.集合的划分：将一个集合分成若干个互不交集的过程。

2.集合的覆盖：用若干个集合覆盖一个集合的过程，涉及到并集的性质。

3.集合的包含关系：通过交集和补集判断两个集合的包含关系。

七、注意事项1.集合运算中，元素必须满足确定性和互异性。

2.集合运算中，要注意区分集合与元素的关系，遵循运算法则。

3.在解决实际问题时，要灵活运用集合的交、并、补运算，简化问题。

通过以上知识点的学习，学生可以掌握集合中元素的交并补运算的基本概念、性质和应用，为后续数学学习打下坚实的基础。

习题及方法：1.习题：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∩B和A∪B。

解题方法：根据交集和并集的定义，可以直接找出A和B中共同的元素和所有元素。

解：A∩B={2, 3}，A∪B={1, 2, 3, 4}。

2.习题：如果集合A={x | x是小于5的整数}，集合B={x | x是小于6的整数}，求A∩B和A’∪B。

集合间的基本运算一、并集(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A 与B的并集.(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)图形语言；如图所示.二、交集交集的三种语言表示：(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集.(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(3)图形语言：如图所示.三、并集与交集的运算性质题型一 并集及其运算例1 (1)设集合M ＝{4,5,6,8}，集合N ＝{3,5,7,8}，那么M ∪N 等于( ) A.{3,4,5,6,7,8} B.{5,8} C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8}(2)已知集合P ＝{x |x ＜3}，Q ＝{x |－1≤x ≤4}，那么P ∪Q 等于( ) A.{x |－1≤x ＜3} B.{x |－1≤x ≤4} C.{x |x ≤4}D.{x |x ≥－1} (3).已知集合=A {}31<≤-x x ，=B {}52≤<x x ，则B A ⋃=（ ）A .{}32<<x xB .{}51≤≤-x xC .{}51<<-x xD .{}51≤<-x x变式练习1 已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}，则集合A ∪B 是( ) A.{－1,2,3}B.{－1，－2,3}C.{1，－2,3}D.{1，－2，－3}2.若集合=A {}x ,3,1，=B {}2,1x ，B A ⋃={}x ,3,1，则满足条件的实数x 有（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个题型二 交集及其运算例2 (1)设集合M ＝{m ∈Z |－3<m <2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N 等于( ) A.{0,1} B.{－1,0,1} C.{0,1,2}D.{－1,0,1,2}(2)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x >2}，则A ∩B 等于( ) A.{x |2<x ≤3} B.{x |x ≥1} C.{x |2≤x <3} D.{x |x >2}变式练习2(1)设集合A ＝{x |x ∈N ，x ≤4}，B ＝{x |x ∈N ，x >1}，则A ∩B ＝________. (2)集合A ＝{x |x ≥2或－2<x ≤0}，B ＝{x |0<x ≤2或x ≥5}，则A ∩B ＝________.（3）.设集合=M {}23<<-∈m Z m ，{}31≤≤-∈=n Z n N ，则N M ⋂=( ) A .{}1,0 B .{}1,0,1- C .{}2,1,0 D .{}2,1,0,1-（4）.集合=A {}121+<<-a x a x ，=B {}10<<x x ，若=⋂B A ∅，求实数a 的取值范围.题型三已知集合的交集、并集求参数例3已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围变式练习3设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________.例4设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a 的取值范围.变式练习4设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|2x2－ax＋2＝0}，若A∪B ＝A，求实数a的取值范围.例5 (1)设集合A＝{(x，y)|x－2y＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B 等于( )A.∅B.{53，13}C.{(53，13)} D.{x＝53，y＝13}(2)已知集合A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}，求A∩B.变式练习5（1）设集合A＝{y|y＝x2－2x＋3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋10，x∈R}，求A∪B；（2）设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋34，x ∈R }，求A ∩B .6.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．课后练习 一、选择题1.设集合A ＝{－1,0，－2}，B ＝{x |x 2－x －6＝0}，则A ∪B 等于( ) A.{－2} B.{－2,3} C.{－1,0，－2}D.{－1,0，－2,3}2.已知集合M ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈Z }，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N 等于( ) A.{1} B.{－1,1} C.{0,1}D.{－1,0,1}3.已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个4.已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于( )A.{x|x<－5或x>－3}B.{x|－5<x<5}C.{x|－3<x<5}D.{x|x<－3或x>5}三、解答题5.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.6.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.7.(1)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值；(2)若P＝{1,2,3，m}，Q＝{m2,3}，且满足P∩Q＝Q，求m的值.四、全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.(2)记法：全集通常记作U.五、补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言为∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言为六、补集的性质①A∪(∁U A)＝U；②A∩(∁U A)＝∅；③∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A；④(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)；⑤(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ).题型一 补集运算例1 (1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A 等于( ) A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5}D.∅(2)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则∁U A ＝________.变式练习 1 已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3＜x ≤4}，则A C U ＝________.2.已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________.题型二 补集的应用例2 设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值.变式练习2若全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，∁U A＝{7}，则实数a＝________.题型三并集、交集、补集的综合运算例3 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B).变式练习3设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.题型四利用Venn图解题例4 设全集U＝{不大于20的质数}，A∩∁U B＝{3,5}，(∁U A)∩B＝{7,11}，(∁U A)∩(∁UB)＝{2,17}，求集合A，B.变式练习4全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.变式练习5已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求a的取值范围.课后作业一、选择题1.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于( )A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}2.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则A∩(∁U B)等于( )A.{4,5}B.{2,4,5,7}C.{1,6}D.{3}3.设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么(∁U M)∩(∁N)等于( )UA.∅B.{d }C.{a ，c }D.{b ，e }4.已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A.{a |a ≤1}B.{a |a <1}C.{a |a ≥2}D.{a |a >2}5.设全集是实数集R ，M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x <1}，则(∁R M )∩N 等于( )A.{x |x <－2}B.{x |－2<x <1}C.{x |x <1}D.{x |－2≤x <1}6.已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}，若全集U ＝R ，且A ⊆∁U B ，则a 的取值范围为________.7.设U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(∁U A )∩B ＝{3,7}，(∁U B )∩A ＝{2,8}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5,6}，则集合A ＝________，B ＝________.8.已知全集U ＝R ，A ＝{x ||3x －1|≤3}，B ＝{x |⎩⎨⎧ 3x ＋2>0，x －2<0}，求∁U (A ∩B ).9.已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}.(1)分别求∁R (A ∩B )，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围.10.已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }.(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围.11.已知集合{}31<≤-=x x A ；{}242-≥-=x x x B .（1）求B A ⋂；（2）若集合{}02>+=a x x C ，满足C C B =⋃,求实数a 的取值范围.12.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．。

集合的运算法则集合是数学中一个重要的概念，它是由一些确定的元素所构成的整体。

在集合中，常常会进行一系列的运算，如并集、交集、补集和差集等。

本文将介绍并讨论集合的运算法则，以帮助读者更好地理解和应用集合的运算。

一、并集运算并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并到一个集合中，记作A∪B。

并集的结果包含了所有参与并集运算的集合中的元素，并且每个元素只会出现一次。

例如，给定两个集合A = {1，2，3}和B = {3，4，5}，它们的并集运算为A∪B = {1，2，3，4，5}。

并集运算满足以下法则：1. 交换律：A∪B = B∪A2. 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)3. 幂等律：A∪A = A4. 恒等律：A∪∅ = A二、交集运算交集是指将两个或多个集合中共同存在的元素提取出来构成一个新的集合，记作A∩B。

交集的结果包含了所有参与交集运算的集合中共同存在的元素。

例如，给定两个集合A = {1，2，3}和B = {3，4，5}，它们的交集运算为A∩B = {3}。

交集运算满足以下法则：1. 交换律：A∩B = B∩A2. 结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)3. 幂等律：A∩A = A4. 恒等律：A∩U = A三、补集运算补集是指某个集合中不属于另一个集合的元素所构成的集合，记作A'或Aᶜ。

若A是某个集合U的子集，则A' = U - A。

例如，给定集合U = {1，2，3，4，5}和集合A = {1，2}，则A的补集为A' = {3，4，5}。

补集运算满足以下法则：1. 双重否定律：(A')' = A2. 幂等律：A∪A' = U3. 幂等律：A∩A' = ∅四、差集运算差集是指从一个集合中去除另一个集合的元素所构成的集合，记作A - B。

差集的结果包含了属于A却不属于B的元素。

例如，给定两个集合A = {1，2，3}和B = {3，4，5}，则差集运算为A - B = {1，2}。

For personal use only in study and research; not for commercial use集合的并、交、补运算满足下列定理给出的一些基本运算法则．定理4.2.1.设A,B,C为任意三个集合，Ω与∅分别表示全集和空集，则下面的运算法则成立：(1)交换律：A∪B =B∪A，A∩B =B∩A；(2)结合律：(A∪B) ∪C =A∪(B∪C) (可记作A∪B∪C）,(A∩B) ∩C =A∩(B∩C) (可记作A∩B∩C）；(3)分配律: (A∩B) ∪C =（A∪C）∩(B∪C),(A∪B) ∩C =(A∩C) ∪(B∩C)；(4)摩根(Morgan)律: ，；(5)等幂律: A∪A=A，A∩A=A；(6)吸收律: (A∩B)∪A=A，(A∪B)∩A=A；(7)0―1律: A∪∅=A，A∩Ω=A，A∪Ω=Ω，A∩∅=∅；(8)互补律: , ∅；(9)重叠律: , .证.借助文氏(Venn)图绘出分配律第一式以及摩根律第一式的证明，余者由读者模仿完成．例4.2.1 试证明等式证.＝Ω∩C＝C对偶.定理4.2.1的九条定律中的每一条都包含两个或四个公式，只要将其中一个公式中的∪换成∩，同时把∩换成∪，把∅换成Ω，同时把Ω换成∅，这样就得到了另一个公式，这种有趣的规则称为对偶原理. 例如，摩根定律中的∪换成∩，∩换成∪，就得到了另一个摩根公式．例4.2.2 的对偶为；的对偶为；的对偶式是仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

集合的基本运算2012.3.10一、知识梳理：1、集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结2、交集的理解①Venn 图表示A∩B 的各种情况:阴影部分②A ∩B=φ时有三种情形:1）A =φ且B =φ；2）A =φ,B ≠φ或A ≠φ,B =φ；3）A ≠φ且B ≠φ，但A,B 没有公共元素。

3、交集的性质①交换律：A ∩B=B ∩A ；②结合律：A ∩B ∩C=（A ∩B ）∩C= A ∩（B ∩C ）；③收缩性：A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ；A ∩A=A ，A ∩φ=φ；④A ∩B=A ⇔A ⊆B 。

4、并集的理解A ∪B 中的元素构成：A ∪B 是由A 和B 中的所有元素拼凑组成的集合(但要满足元素的互异性)，用Venn 图表示A ∪B 的各种情况:阴影部分1) A ∩B=φ时 ； 2) A ∩B ≠φ时； 3) A ⊆B 时；5、并集的性质①交换律：A ∪B=B ∪A ；②结合律：A ∪B ∪C=( A ∪B) ∪C= A ∪(B ∪C)③放大性：A ⊆（A ∪B ），B ⊆（A ∪B ）；A ∪A=A ， A ∪φ=A ；A ∩B ⊆A ∪B ，当且仅当A=B 时，A ∩B=A ∪B ；④A ∪B=A ⇔B ⊆A.⑤card(A ∪B)=card(A)+ card(B)- card(A ∩B)6、补集A C U 的理解①Venn 图表示A C U②A U ⊆; AC U u ⊆7、补集的性质1）(A∩B)=(A)∪(B);(A ∪B)=(A)∩(B). 2）CuB ⊆CuA ⇔ A ⋂(CuB)= ∅⇔A B ⊆3）A ⋃(CuA)=U, A ⋂(CuA)=∅, Cu(CuA)=A , C U ∅ =U ，C U U =∅4）)()()(C B C A C B A ⋂⋃⋂=⋂⋃;)()()(C B C A C B A ⋂⋃=⋂★ 注意以上性质或关系务必借助Venn 图去分析和理解.对于集合的交、并、补运算要结合Venn 图、数轴法、数形结合等综合处理。

集合的基本运算知识点集合是数学中一个基础而重要的概念，广泛应用于各个领域。

在集合理论中，我们需要掌握一些基本的运算知识点，包括交集、并集、差集和补集。

下面将逐一介绍这些知识点。

交集是指两个集合中共同元素的集合。

假设有两个集合A和B，表示为A ∩ B，那么A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}。

简单来说，就是A 和B中共同存在的元素组成的集合。

并集是指两个集合中所有元素的集合。

同样假设有集合A和B，表示为A ∪ B，那么A ∪ B = {x | x ∈ A 或者 x ∈ B}。

简而言之，就是A和B所有元素的集合。

差集是指从一个集合中减去另一个集合，得到的元素的集合。

假设有集合A和B，表示为A - B，那么A - B = {x | x ∈ A 且 x ∉ B}。

简单说来，就是从A集合中消去与B集合相同的元素，得到的集合。

补集是指在一个全集中减去一个集合，得到的元素的集合。

假设有全集U和集合A，表示为A'，那么A' = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}。

简单来说，就是从全集中减去集合A的元素，得到的集合。

接下来，我们可以通过一个例子来更加具体地理解这些概念。

假设有两个集合A = {1, 2, 3, 4, 5}和B = {4, 5, 6, 7, 8}。

那么A ∩ B = {4, 5}，即A和B的交集是{4, 5}；A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，即A和B的并集是{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}；A -B = {1, 2, 3}，即A减去B的差集是{1, 2, 3}；B - A = {6, 7, 8}，即B减去A的差集是{6, 7, 8}；A' = {6, 7, 8}，即A在全集U中的补集是{6, 7, 8}；B' = {1, 2, 3}，即B在全集U中的补集是{1, 2, 3}。

通过以上的例子，我们可以看到集合的基本运算是相对简单明了的。

交集并集混合运算交集并集是集合运算中常用的两种操作，它们在数学和计算机科学中都有广泛的应用。

本文将介绍交集并集混合运算的定义、性质及应用。

一、交集的定义与性质1. 定义：给定两个集合A和B，它们的交集记作A∩B，表示同时属于A和B的元素所构成的集合。

2. 性质：（1）交换律：A∩B = B∩A（2）结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)（3）分配律：A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)交集的性质保证了交集操作的无歧义性和可靠性，使得我们能够灵活地进行多个集合的交集运算。

二、并集的定义与性质1. 定义：给定两个集合A和B，它们的并集记作A∪B，表示属于A 或B（或同时属于A和B）的元素所构成的集合。

2. 性质：（1）交换律：A∪B = B∪A（2）结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)（3）分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)并集的性质使得我们能够方便地处理多个集合的并集运算，同时也能够避免出现重复元素。

交集和并集常常在实际问题中被广泛应用。

以下是一些例子：1. 数据分析：在数据分析中，我们常常需要对不同数据集进行交集和并集操作，以获得我们感兴趣的数据子集。

例如，我们可以对两个客户数据集进行交集操作，得到同时出现在两个数据集中的客户信息，从而进行进一步的分析和研究。

2. 布尔搜索：在计算机科学中，布尔搜索是一种常用的搜索算法。

在布尔搜索中，我们可以使用交集和并集操作来处理多个布尔表达式，以获得满足特定条件的结果。

例如，我们可以使用交集操作来查找同时满足两个条件的数据项，使用并集操作来查找满足任一条件的数据项。

3. 集合运算：交集和并集是集合运算中常用的操作。

通过对不同集合进行交集和并集运算，我们可以得到新的集合，从而实现集合的操作和管理。

例如，在数据库管理中，我们可以使用交集操作来查找同时满足多个条件的数据记录，使用并集操作来合并不同数据集。

总结：通过对交集并集混合运算的介绍，我们了解了交集和并集的定义、性质及应用。

第7讲 集合的交并补运算【课型】复习课【学习目标】1.掌握集合间的交、并、补运算规律法则2.能熟练进行集合间的交、并、补运算【预习清单】【知识梳理】1．集合的基本运算 集合的交集 集合的并集 集合的补集图形语言符号 语言 A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B } A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A } 2.集合的运算性质(1)交集性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(2)并集性质：A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A .(3)补集性质：A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A .3.常用结论(1))A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .(2)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．【引导清单】考向一：集合间的基本运算【例1】(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{－4，1，3，5}，则A ∩B ＝(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＞1，则∁U (A ∪B )＝ (3)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为【解析】(1)由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，即集合A ＝{x |－1<x <4}，又集合B ＝{－4，1，3，5}，所以A ∩B ＝{1，3}。

(2)由已知，得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |0＜x ＜1}，所以A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－1或x ≥3}.(3)由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4.考向二：集合间运算的综合问题【例2】 (1)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝（2）如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．【解析】(1)易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a 2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2..（2）由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}，所以A ∩B ＝{0，6}．【训练清单】【变式训练1】(1)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∪B ＝(2)若全集U ＝R ，集合A ＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B ＝{x ||x |≤2}，则如图阴影部分所表示的集合为(3)设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{1}，则B ＝【解析】（1）A ＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }＝{1，2}，所以A ∪B ＝{0，1，2}，（2）∁U A ＝{x |－1≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤2}．（3）由题意可得1－4＋m＝0，解得m＝3，所以B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}【变式训练2】(1)已知集合A＝{(x，y)|2x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x＋my＋1＝0}．若A∩B＝∅，则实数m＝（2）设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．【解析】（1）因为A∩B＝∅，所以直线2x＋y＝0与直线x＋my＋1＝0平行，所以m＝12（2）由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又因为新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．【巩固清单】1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝【解析】A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝{x|1≤x＜4}.2．已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B＝【解析】因为A＝{x||x|<3，x∈Z}＝{x|－3<x<3，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x||x|>1，x∈Z}＝{x|x>1或x<－1，x∈Z}，所以A∩B＝{－2，2}.3．已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝【解析】由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.4．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁R A)∪B＝________．【解析】由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，(∁R A)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{x|x－y＝1}，则A∩B＝【解析】：选D.因为集合A中的元素为点集，集合B中的元素为数集，所以两集合没有公共元素，所以A∩B＝∅.6．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝________，A∪B＝________．【解析】A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，A∪B＝(－∞，3]．7．已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是【解析】因为A＝{x∈N|x2≤1}＝{x∈N|－1≤x≤1}＝{0，1}，B＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1，0，1，2，3}．图中阴影部分表示的集合为(∁R A)∩B，∁R A＝{x|x≠0且x≠1}，所以(∁R A)∩B＝{－1，2，3}.8．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x＝n2－1，n∈A}，P＝A∩B，则P的子集共有个【解析】因为B＝{x|x＝n2－1，n∈A}＝{－1，0，3，8}，所以P＝A∩B＝{0，3}，所以P的子集共有22＝4个.9．已知集合A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}．若A∪B＝{－1，0，1，2}，则实数m的值为【解析】因为A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}，A∪B＝{－1，0，1，2}，所以m∈A∪B，且m不能等于A中的其他元素，所以m＝1或m＝2.10．若集合A具有以下性质：(1)0∈A，1∈A；(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，1 x ∈A.则称集合A是“好集”．给出下列说法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q 是“好集”③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.其中，正确说法的序号是【解析】①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，1x∈Q，所以有理数集Q是“好集”．③因为集合A是“好集”，则0∈A，由性质(2)知，若y∈A，则0－y∈A，知－y∈A，因此x－(－y)＝x＋y∈A，所以③正确．故正确的说法是②③。

集合的交并差补与代数的加减乘除wsyAugust13,2015我们都知道，集合的运算和代数的运算是独立的，一般没有太大的关联。

集合的基本的运算法则有：•交集：A B;•并集：A B;•补集：A;•差集：A−B.但是，我们通过如下的定义，可以建立一个集合的代数运算关系：令全集Ω表示为1,空集∅表示为0•交集：A∩B=ab;•并集：A∪B=a+b−ab;•补集：A=1−a;•差集：A−B=A−A∩B=a−ab=a(1−b).其中，集合A,B在代数运算中，用相应的小写字母a,b表示。

注意到，因为A∩A=A,所以根据定义可以推导出，我们的定义满足幂等律a·a=a2=a.除了，这一点有差异之外，其它运算与代数运算都相同。

接下来，我们可以看到，集合的对偶律和结合律，使用上述定义之后，也是吻合的。

下列代数式子在化简后是显然成立的，我们减去了化简的步骤。

1.对偶律:1•对于A∩B=A∪B,代入上述定义，有1−ab=(1−a)+(1−b)−(1−a)(1−b).•对于A∪B=A∩B,代入上述定义，有1−(a+b−ab)=(1−a)(1−b).2.结合律：•对于(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C),代入上述定义，有ab+c−abc=(a+c−ac)(b+c−bc).•对于(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),代入上述定义，有(a+b−ab)c=ac+bc−ac·bc.综上可知，我们的定义是满足集合运算的要求的。

之所以要把集合的运算，转化为代数的运算，是因为一般的人，对于代数运算的熟悉程度远远高于集合运算。

这为我们验证，求解，推断复杂的集合运算的式子提供了另外的一种新的更加简便快速的方式。

2。

初二数学集合的运算方法数学中的集合是一种基本的数学概念，它可以用来描述一组具有相同特征或属性的对象。

在初二数学学习中，我们需要了解和掌握集合的运算方法，包括并集、交集、差集和补集。

本文将介绍这些集合运算方法的定义和应用，帮助同学们更好地理解和运用。

1. 并集集合的并集是指将两个集合中的所有元素合并在一起得到的新集合。

用符号表示为“∪”。

假设有集合A和集合B，它们的并集记为A∪B。

并集的定义如下：A∪B = {x | x∈A 或 x∈B}例如，如果集合A = {1, 2, 3}，集合B = {3, 4, 5}，那么它们的并集A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}。

2. 交集集合的交集是指两个集合中共同存在的元素组成的新集合。

用符号表示为“∩”。

假设有集合A和集合B，它们的交集记为A∩B。

交集的定义如下：A∩B = {x | x∈A 且 x∈B}例如，如果集合A = {1, 2, 3}，集合B = {3, 4, 5}，那么它们的交集A∩B = {3}。

3. 差集到的新集合。

用符号表示为“-”。

假设有集合A和集合B，它们的差集记为A-B。

差集的定义如下：A-B = {x | x∈A 且 x∉B}例如，如果集合A = {1, 2, 3}，集合B = {3, 4, 5}，那么它们的差集A-B = {1, 2}。

4. 补集对于给定的全集U和集合A，集合A对于全集U的补集是指全集U中不属于集合A的元素组成的新集合。

用符号表示为“A'”或者“~A”。

例如，如果全集U = {1, 2, 3, 4, 5}，集合A = {1, 2, 3}，那么集合A对于全集U的补集为A' = {4, 5}。

通过学习并掌握集合的运算方法，我们可以灵活地处理集合之间的关系和计算问题。

在数学中，集合运算常常与其他数学概念和方法结合使用，如概率、数列和函数等。

因此，深入理解集合运算方法对于我们的数学学习是至关重要的。

总结：- 集合的并集是将两个集合中的所有元素合并在一起得到的新集合，用符号“∪”表示。

——书山有路勤为径，学海无涯苦作舟；
1 集合的基本运算知识清单
1. 并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的整体，成为集合A 与B 的并集，记作：B A ,读作：“A 并B ”，具体表示为：}|{B x A x x B A ∈∈=或 ;
2. 并集的性质：
（1）A B B A =;
（2）A A A = ;
（3）A A =∅ ;
（4）B B A B A =⊆ ,;
（5）)()(C B A C B A =.
3. 交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作B A ，读作“A 交B ”，具体表示为：}|{B x A x x B A ∈∈=且 ;
4. 交集的性质：
（1）A B B A =;
（2）A A A = ;
（3）∅=∅ A ;
（4）A B A B A =⊆ ,;
（5）)()(C B A C B A =.
5. 全集：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,
记作U. 6.
补集：由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,记作A C U ，读作“A 在U 中的补集”，具体表示为：},|{A x U x x A C U ∉∈=且;
7. 补集的性质：
（1）U A C A U =)( ;
（2）∅==∅U C U C U U ,;
（3）∅=)(A C A U ;
（4）A A C C U U =)(.。

集合的运算律什么是集合的运算？集合的运算指的是在集合的数学操作，也可以称之为集合的运算法则。

集合的运算包括集合的并集、交集、补集、运算符号及其顺序。

集合运算可以分为简单集合运算和复杂集合运算。

1.简单集合运算简单集合运算既可以用符号表示，也可以用文字表示，一般用符号表示：（1）并集(∪):示两个或者多个集合的全部元素的集合，用符号“∪”表示，如：A∪B=｛a,b,c,d｝。

（2）交集（∩）：表示两个或多个集合的共有元素的集合，用符号“∩”表示，如：A∩B=｛a,b｝。

（3）补集（’）：表示属于一个集合，而不属于另一个集合的元素的集合，用符号“’”表示，如：A’=｛c,d｝。

2.复杂集合运算复杂集合运算既可以用符号表示，也可以用文字表示，一般用符号表示：（1）差集（－）：表示属于第一个集合，而不属于第二个集合的元素的集合，用符号“－”表示，如：A－B=｛c,d｝。

（2）对称差（△）：表示两个集合中元素在其他集合中不存在的元素的集合，用符号“△”表示，如：A△B=｛a,d｝。

（3）包含关系（）：表示第一个集合中包含第二个集合中的所有元素，用符号“”表示，如：AB。

（4）真子集（）：表示第一个集合中包含第二个集合中一部分元素，用符号“”表示，如：AB。

（5）不包含关系（）：表示第一个集合不包含第二个集合中的任何元素，用符号“”表示，如：AB。

3.运算符号的顺序在进行集合的运算时，先进行的操作符是最重要的，它的优先级高于其他操作符。

一般来说，优先级从高到低排列依次是：（1）“－”>∩”>∪” >△” >” >” >”。

最后，需要强调的是，集合的运算法则在数学中有着广泛的应用，充分发挥着它简洁、易于学习和使用的优点，可以为我们提供更多的帮助，从而使我们更好的应用它来解决一些问题。