《反函数一》公开课课件

注：必须由原函数的值域来确定反函数的定义域
例1.求下列函数的反函数： 3 ( 1 ) y 3 x1 ( x R ) ; ( 2 ) y x 1 ( x R ) ; 2 x 3 ( 3 ) y x 1 ( x 0 ) ; ( 4 ) y ( x R , 且 x 1 ) x1 2x 3 y 3 ，解得 x 解:(4)由 y x 1 y2 2x 3 yRy 2 } 而函数 y 的值域是 { x 1 2 x3 所以，函数 y (x R , 且 x 1) x 1 x3 的反函数是 y (x R , 且 x 2) x2
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。

05
CATALOGUE
反函数与对数函数、指数函数 的关系
反函数与对数函数的关系
对数函数的反函数是指数函数 。
对数函数和指数函数互为反 函数，它们的图像关于直线
y=x对称。
对数函数和指数函数在数学和 工程中有广泛的应用，例如在 计算复利、解决方程和解决优
化问题等方面。
反函数与指数函数的关系
1
指数函数的反函数是指数函数的倒数，即对数函 数。
公式法
总结词
利用反函数的公式求解
详细描述
对于一些常见的函数，如对数函数、 三角函数等，已经有了它们的反函数 的公式。通过使用这些公式，可以快 速找到反函数的值。这种方法适用于 具有标准形式的函数。
04
CATALOGUE
反函数的应用
解方程
求解方程
通过反函数，可以将方程从一种形式转换为另一种形式，从而简 化求解过程。
反函数的几何意义
01
反函数的几何意义是原函数图像 上任意一点关于y=x对称的点的 集合。
02
反函数图像上的任意一点P(a,b)， 在原函数图像上存在一个对称点 P'(b,a)，即点P和点P'关于直线 y=x对称。
反函数与原函数的图像关系
当原函数图像是单调递增时，反函数 图像也是单调递增；当原函数图像是 单调递减时，反函数图像也是单调递 减。
ABCD
非单调函数的反函数可能不存在
对于非单调函数，可能不存在反函数，或者存在 多个反函数。
离散函数的反函数可能不存在
离散函数可能没有连续的反函数。
02
CATALOGUE
反函数的图像与几何意义
反函数的图像
反函数的图像是原函数图像关于y=x对称的图形。

利用微分方程研究反函数的性质
反函数的单调性
通过微分方程，我们可以研究反 函数的单调性。例如，如果一个 函数f(x)是单调递增的，那么它 的反函数g(x)也是单调递增的。
反函数的极值
利用微分方程，我们可以找出反 函数的极值点，并研究这些极值
点的性质。
反函数的曲线形状
通过求解微分方程，我们可以描 绘出反函数的曲线形状，进而研
02
利用对数函数性质，通过原函数 中的x和y互换位置，得到反函数
利用反函数的性质求反函数
原函数和反函数具有 相同的单调性
原函数和反函数具有 相同的值域和定义域
原函数和反函数具有 相同的奇偶性
反函数的应用
03
在解方程中的应用
01
定义域和值域的求解
在求解方程时，通过反函数可以方便地求出定义域和值 域，从而解决方程的求解问题。
最优化问题
利用反函数，可以求解一 些最优化问题，如最小成 本、最大利润等。
在实际问题中的应用
交通流量问题
通过反函数，可以求解交通流量 问题，如最短路径、最少时间等
。
人口流动问题
利用反函数，可以求解人口流动问 题，如最多人口、最少人口等。
经济问题
通过反函数，可以求解一些经济问 题，如最大利润、最小成本等。
04 反函数与导数的关系
导数与反函数的关系
导数表示函数在某一点的斜率，而反函数则表示函数在某一区间内的单 调性。导数可以用来研究函数的局部性质，而反函数则可以用来研究函 数的整体性质。
导数的存在意味着函数在某一点处具有切线，而反函数的定义域是原函 数的值域，因此反函数在某一点的导数可能不存在。
对于单调函数，其导数和反函数的导数互为相反数。

我感恩，感恩生活，感恩网络，感恩朋友，感恩大自然，每天，我都以一颗感动的心去承接生活中的一切。 我感谢……
感谢伤害我的人，因为他磨练了我的心志； 感谢欺骗我的人, 因为他增进了我的见识； 感谢遗弃我的人, 因为他教导了我应自立； 感谢绊倒我的人，因为他强化了我的能力； 感谢斥责我的人，因为他助长了我的智慧； 感谢藐视我的人，因为他觉醒了我的自尊；
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
感谢朋友给了我友谊和支持； 感谢完美给了我信任和展示自己能力的机会；
感谢邻家的小女孩给我以纯真无邪的笑脸； 感谢周围所有的人给了我与他人交流勾通时的快乐； 感谢生活所给予我的一切，虽然并不全都是美满和幸福;
感谢天空，给我提供了一个施展的舞台 感谢大地，给我无穷的支持与力量； 感谢太阳，给我提供光和热；
感谢伤痛，让我学会了坚忍，也练就了我释怀生命之起落的本能； 感谢生活，让我在漫长岁月的季节里拈起生命的美丽；
感谢有你，尽管远隔千里，可你寒冬里也给我温暖的心怀； 感谢关怀，生命因你而多了充实与清新；
感谢所有的一切~ ~ ~ ~ ~ ~ 感谢我身边每一位好友，为你祝福，为的敲起祈祷钟！伴你走过每一天。他是一个劫匪，坐过牢，之后又杀了人，穷途末路之际他又去抢银行。 是一个很小的储蓄所。抢劫遇到了从来没有过的不顺利，两个女子拼命反抗，他把其中一个杀了，另一个被劫持上了车。因为有人报了警，警车越来越近了，他劫持着这个女子狂逃，把车都开飞了，撞了很多人，轧了很多小摊。 这个刚刚21岁的女孩子才参加工作，为了这份工作，她拼命读书，毕业后又托了很多人，没钱送礼，是她哥卖了血供她上学为她送礼，她父母双亡，只有这一个哥哥。
生活给予我挫折的同时，也赐予了我坚强，我也就有了另一种阅历。对于热爱生活的人，它从来不吝啬。 要看你有没有一颗包容的心，来接纳生活的恩赐。酸甜苦辣不是生活的追求，但一定是生活的全部。试着用一颗感恩的心来体会，你会发现不一样的人生。不要因为冬天的寒冷而失去对春天的希望。我们感谢上苍，是因为有了四季的轮回。拥有了一颗感恩的心，你就没有了埋怨，没有了嫉妒，没有了愤愤不平，你也就有了一颗从容淡然的心！ 我常常带着一颗虔诚的心感谢上苍的赋予，我感谢天，感谢地，感谢生命的存在，感谢阳光的照耀，感谢丰富多彩的生活。

如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自 变量的值 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数.
注: 函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区 间而言的. 有的函数在一些区间上是增函数, 而在另一些 区间上可能是减函数.
2020/10/20
的图象如图所示:
y
2 ab
-
b a
o
b a
x
-2 ab
②求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题, 但必须注意, 如果函数的解析式含有参数, 而且参数 的取值影响函数的单调区间, 这时必须对参数的取值 进行分类讨论.
2020/10/20
10
典型例题
§2.5.1 函数的单调性与反函数(一)
1.试求函数
8
ห้องสมุดไป่ตู้
典型例题
§2.5.1 函数的单调性与反函数(一)
1.试求函数
f(x)=ax+
b x
(a>0,
b>0) 的单调区间.
解法2: ∵函数 f(x) 的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞),
函数
f(x) 的导函数
f (x)=a-
b x2
=
ax2-b x2
,
令
f
(x)>0
得:
x2>
b a
x<-
b a
或
x>
当x1 x2
b时, 0 b a
a
x1 x2
f 故
( f
x1 ) f (
(
x)在
x2 ) b, a
0

反函数的性质
互为反函数的两个函数的图像关于直 线$y=x$对称。
如果原函数是单调增函数，则其反函 数也是单调增函数；如果原函数是单 调减函数，则其反函数也是单调减函 数。
反函数的定义域和值域分别是原函数 的值域和定义域。
如果原函数是奇函数，则其反函数也 是奇函数；如果原函数是偶函数，则 其反函数也是偶函数。
高一数学反函数课件
目录
• 反函数的定义与性质 • 反函数的求法 • 反函数的应用 • 反函数的图像表示 • 反函数与原函数的关系
01
反函数的定义与性质
反函数的定义
反函数
设函数$y=f(x)$的定义域为$A$，值域为$B$，如果存在一个函数$g(y)$，其定义域为 $B$，值域为$A$，并且满足$g(f(x))=x$，则称$g(y)$是$f(x)$的反函数。
反函数可以用于求解一些 特殊的不等式，例如求解 一元二次不等式。
比较大小
利用反函数的性质，可以 比较两个数的大小，例如 比较指数函数值的大小。
证明不等式
反函数可以用于证明一些 数学不等式，例如证明算 术平均数大于等于几何平 均数。
在函数性质研究中的应用
研究函数的单调性
通过反函数，可以研究函数的单调性，例如研究指数函数、对数 函数的单调性。
当原函数的定义域和 值域都是实数集时， 反函数的图像是可绘 制的。
反函数的图像变换
反函数图像的纵坐标不变，横坐 标互换。
反函数图像的横坐标不变，纵坐 标互换。
反函数图像的坐标轴方向可以旋 转90度。
反函数的图像对称性
反函数图像关于直线 $y = x$ 对称。 反函数图像关于原点对称。
反函数图像关于其渐近线对称。
研究函数的奇偶性

3 y x 1 x 0
4
y

2x3 x1
xR, x 1
解析：①先判断一下决定这个函数的映射是不是一 一映射？ ②求反函数必须写出其定义域即原函数的值域
③求反函数的时候一定要注意原函数的定义域和值 域对反函数的限制。
例2、求函数
x1 0x1 yx2 1x0
2、教学目标的确定
知识目标：（1）对反函数概念的理解 （2）学会求函数的反函数
能力目标： （1）通过概念的学习，培养学生分析、解决问题的能力
和抽象概括的能力 （2）通过在反函数的求解过程中，把握函数与方程的思想
德育、情感目标： （1）培养学生对立统一的辩证唯物主义观点 （2）在民主、和谐的教学氛围中促进师生的情感交流
在学习中，应关注平时抽象思维较弱的学 生，在提供素材的环节中，鼓励他们“敢想”、 “敢做”积极参与，逐步提升思维能力；对于 平时抽象思维较好的学生，应积极引导他们学 会合作、交流，在抽象概括环节中进一步提高 其抽象思维能力，并教会学生学会通过观察、 分析、归纳、从具体实例中抽象出结论的方法， 逐步练就“会学”的本领，从而使人人都能有 所收获，整体水平得到提高。
前置诊断
1、请说出“对应”与“映射”、 “映射”与“函数”的联系与区别； 2、函数的三要素是什么？
创设情境，揭示课题
1、请同学们指出下列两个对应是不是映射？是不是
一一映射？是不是函数？
乘2
1
2
2
4
3
6
4
8
-1 平方 1
1
-2
4
2
-3
9
3
A
B
A
B
2、上述两个映射能不能构成从B到A的映射呢？如

当 1 x 0 时 ,y x的值域为 0 , 1
2
解出 x y
函数 yx ( 1x0 ) 的反函数是
2
∵x﹤0
y x(0x 1 )
x 1 (1 x 0) 1 f (x) ( 0 x 1 ) x
幻灯片 14
1 1 f( x 1 ) ( x 1 3 ) （ x 4 ) 2 2
1
注意 :f ( x 1 ) 不是 f( x 1 ) 的反函数 .
幻灯片 14
1
思考
1
21 x 5 . 已 知 fx ( ) f( x ) ( x a ) , 求 a 的 值 。 x a
注：必须由原函数的值域来确定反函数的定义域
例1.求下列函数的反函数： 3 ( 1 ) y 3 x1 ( x R ) ; ( 2 ) y x 1 ( x R ) ; 2 x 3 ( 3 ) y x 1 ( x 0 ) ; ( 4 ) y ( x R , 且 x 1 ) x1 2x 3 y 3 ，解得 x 解:(4)由 y x 1 y2 2x 3 yRy 2 } 而函数 y 的值域是 { x 1 2 x3 所以，函数 y (x R , 且 x 1) x 1 x3 的反函数是 y (x R , 且 x 2) x2
反函数与原函数的关系：
原函数
表达式：
定义域： 值域：
反函数
y=f –1(x) C
y=f(x)
A
C
A
定义域和值域对调
是否任何一个函数都有反函数
R ，值域是_________ [0,+) 。如果由 函数y=x2的定义域是_____ y 对于y在[0,+)上任一个值，通过式子 y=x2解出x=_________,

(１).y=3x-1(x∈R)
(2).y=x3+1(x∈R)
(3).y x 1( x 0)
(4).y 2 x 3 ( x R, x 1 x 1
2
说明:①求反函数的过程书写格式按照上 述要求,初学不可直接写结果. ②反函数是相对于原函数而言,同时它 们是相互,即互为反函数.
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
最高级的技巧和艺术。——苏姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身

奇函数的图像关于原点对称， 偶函数的图像关于y轴对称。
奇偶性的变化规律可以通过观 察图像来理解。
04 反函数在解题中的应用
利用反函数解决方程问题
总结词
通过反函数，可以将复杂的方程问题转化为求函数的值域或定义域问题，简化解 题过程。
详细描述
在解决方程问题时，我们可以利用反函数的概念，将原方程转化为求反函数的值 域或定义域的问题。通过确定反函数的值域或定义域，可以找到原方程的解。这 种方法在处理一些复杂的方程问题时非常有效。
总结词
理解反函数的实际应用 和复杂函数的反函数求
法
题目1
已知函数$f(x) = sqrt{x}$，求$f^{-
1}(x)$。
题目2
已知函数$f(x) = log_2(x)$，求$f^{-
1}(x)$。
题目3
已知函数$f(x) = x^4 3x^2 + 2$，求$f^{-
1}(x)$。
综合练习题
总结词
利用反函数解决不等式问题
总结词
反函数可以帮助我们将不等式问题转化为求解函数的值域或定义域问题，从而简化解题过程。
详细描述
在解决不等式问题时，我们可以利用反函数的概念，将原不等式转化为求反函数的值域或定义域的问题。通过确 定反函数的值域或定义域，可以找到满足不等式的解。这种方法在处理一些复杂的不等式问题时非常实用。
综合运用反函数的知识解决复杂问题
题目2
已知函数$f(x) = x^2 - 2x$和$g(x) = frac{1}{x}$，求$(f circ g)^{-1}(x)$。
题目1
已知函数$f(x) = sqrt{x}$和$g(x) = log_2(x)$，求$(f circ g)^{-1}(x)$。