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二维形式的柯西不等式证明柯西不等式是数学中基本的不等式之一，在计算机科学、物理学、统计学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍柯西不等式的二维形式，并给出其证明过程。
柯西不等式的二维形式表述如下：设a1, a2, b1, b2为任意实数，则有：(a1^2+a2^2)×(b1^2+b2^2)≥(a1b1+a2b2)^2其中，等号当且仅当a1b2=a2b1时成立。
下面是柯西不等式的证明过程：首先，我们将(b1, b2)视为一个向量b，(a1, a2)视为一个向量a，则柯西不等式的二维形式可以写成：|a|×|b|×cosθ≥a·b其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角，a·b表示向量a和向量b的点积。
接下来，我们将a向量和b向量分别写成坐标形式：a=(a1, a2), b=(b1, b2)则有：|a|×|b|×cosθ=√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ而a·b=a1b1+a2b2因此，柯西不等式的二维形式可以重新写成：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥a1b1+a2b2接下来，我们考虑将右侧的a1b1和a2b2变形，即：(a1b1+a2b2)^2-(a1b2-a2b1)^2这个变形的原理是差平方公式。
然后，我们将这个式子带回到柯西不等式的二维形式中，得到：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥(a1b1+a2b2)^2-(a1b2-a2b1)^2由于(a1b2-a2b1)^2≥0，因此右侧的式子比柯西不等式的右侧更小或相等。
因此，我们得到了柯西不等式的二维形式：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥a1b1+a2b2其中，等号当且仅当a1b2=a2b1时成立。
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
2014 届不等式选讲专题（二）【柯西不等式】一、二维形式的柯西不等式(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd ) 2 (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当 a d = bc 时, 等号成立.)二、二维形式的柯西不等式的变式(1) a 2 + b 2 ⋅ c 2 + d 2 ≥ ac + bd (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当ad = bc 时, 等号成立.)(2) a 2 + b 2 ⋅ c 2 + d 2 ≥ ac + bd (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当ad = bc 时, 等号成立.)(3)(a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd ) 2 (a , b , c , d ≥ 0 , 当且仅当 ad = bc 时，等号成立 .)三、二维形式的柯西不等式的向量形式α ⋅ β ≤ α β . (当且仅当 β 是零向量 , 或存在实数k , 使α = k β 时 , 等号成立 .)原则：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如说吧，对 a^2 + b^2 + c^2，并不是 不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不 等式了。
考点一：求最值问题【1】、设 a = (-2,1,2), b = 6 ，则 a ⋅ b 之最小值为________；此时 b = ________。
【2】设 a = (1，0，- 2)， b = (x ，y ，z)，若 x 2+ y 2+ z 2= 16，则 a b 的最大值为。
4 【4】设 a 、b 、c 为正数，求 (a + b + c)( + a 9 36+ ) 的最小值。
b c【5】. 设 x ，y ，z ∈ R ，且满足 x 2+ y 2+ z 2= 5，则 x + 2y + 3z 之最大值为【6】设 x ，y ，z ∈ R ，若 x 2+ y 2+ z 2= 4，则 x - 2y + 2z 之最小值为时，(x ，y ，z) =【8】、设 x, y , z ∈R, x 2 + y 2 + z 2 = 25 ，试求 x - 2 y + 2 z 的最大值与最小值。
