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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
2014 届不等式选讲专题（二）【柯西不等式】一、二维形式的柯西不等式(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd ) 2 (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当 a d = bc 时, 等号成立.)二、二维形式的柯西不等式的变式(1) a 2 + b 2 ⋅ c 2 + d 2 ≥ ac + bd (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当ad = bc 时, 等号成立.)(2) a 2 + b 2 ⋅ c 2 + d 2 ≥ ac + bd (a , b , c , d ∈ R , 当且仅当ad = bc 时, 等号成立.)(3)(a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd ) 2 (a , b , c , d ≥ 0 , 当且仅当 ad = bc 时，等号成立 .)三、二维形式的柯西不等式的向量形式α ⋅ β ≤ α β . (当且仅当 β 是零向量 , 或存在实数k , 使α = k β 时 , 等号成立 .)原则：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如说吧，对 a^2 + b^2 + c^2，并不是 不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不 等式了。
考点一：求最值问题【1】、设 a = (-2,1,2), b = 6 ，则 a ⋅ b 之最小值为________；此时 b = ________。
【2】设 a = (1，0，- 2)， b = (x ，y ，z)，若 x 2+ y 2+ z 2= 16，则 a b 的最大值为。
4 【4】设 a 、b 、c 为正数，求 (a + b + c)( + a 9 36+ ) 的最小值。
b c【5】. 设 x ，y ，z ∈ R ，且满足 x 2+ y 2+ z 2= 5，则 x + 2y + 3z 之最大值为【6】设 x ，y ，z ∈ R ，若 x 2+ y 2+ z 2= 4，则 x - 2y + 2z 之最小值为时，(x ，y ，z) =【8】、设 x, y , z ∈R, x 2 + y 2 + z 2 = 25 ，试求 x - 2 y + 2 z 的最大值与最小值。
3.1 二维形式的柯西不等式预习导航1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．1．二维形式的柯西不等式(1)若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a ＋b )(c ＋d a ，b ，c ，d 为非负实数)； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R )；a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R )．【做一做1】已知a ，b ＞0，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是( )A ．2 6B ． 6C ．6D ．12解析：(4a ＋1＋4b ＋1)2＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当4b ＋1＝4a ＋1，即a ＝b ＝12时等号成立． 答案：D2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．【做一做2】设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为__________，此时b ＝__________.解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a |·|b |，∴|a ·b |≤(－2)2＋12＋22×6＝18，当且仅当存在实数k ，使a ＝k b 时，等号成立．∴－18≤a ·b ≤18.∴a·b的最小值为－18，此时b＝－2a＝(4，－2，－4)．答案：－18 (4，－2，－4)3．二维形式的三角不等式(1)设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(2)推论：(x1－x3)2＋(y1－y3)2＋(x2－x3)2＋(y2－y3)2≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)．归纳总结解决柯西不等式的应用问题，关键是把原有式子巧妙地转化为柯西不等式的形式．。
柯西不等式及应用一、二维形式的柯西不等式：22222()()()a b c d ac bd ++≥+(,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；二、二维形式的柯西不等式的变式：bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；2(3)()()a b c d ++≥(,,,0)a b c d ≥，当且仅当ad bc =时取等号；三、n 维形式的柯西不等式：设,(1,2,3,)i i a b i n = 为实数，则22212()n a a a +++ 22212()n b b b +++ 21122()n n a b a b a b ≥+++ ，当且仅当0(1,2,3,)i b i n == 或存在一个实数k ，使得(1,2,3,)i i a kb i n == 时等号成立。
四、二维形式的柯西不等式的向量形式：αβαβ⋅≤ ，当且仅当0β= 或存在实数k ，使k αβ= 时取等号；五、基本方法：利用柯西不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，观察是否符合柯西不等式形式或有相似之处，将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方、换序等方法的处理.六、应用：1、证明恒等式：已知0,1a b ≤≤且1，求证：221a b +=.2、解方程（组）：12(1)x x =++.3、求最值（范围）:若实数x ，y ，z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值.4、证明不等式:已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明： 2223333a b c a b c ++++≥.六、巩固练习：1.已知22223102x y z ++=，则32x y z ++的最小值为 .2. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=，则a 的最大值为 ，最小值为 .3．在实数集内方程组22294862439x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的解为 . 4.设❒ABC 之三边长x ，y ，z 满足20x y z -+=及320x y z +-=，则❒ABC 的最大角的大小是 .5.设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a ⋅之最小值为 ,此时=b .6.设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若22216x y z ++=，则a b ⋅ 的最大值为 .7.空间二向量(1,2,3)a = ，(,,)b x y z =，已知b = a b ⋅ 的最大值为 ,此时b = .8.设a 、b 、c 为正数，则4936()()a b c a b c++++的最小值为 .9.设x ，y ，z ∈ R ，且满足2225x y z ++=，则23x y z ++之最大值为 ，此时(x ，y ，z) = .10.设,,x y z R ∈，22225x y z ++=，则22x y z -+的最大值为 ，最小值为 .11.设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，则222z y x ++之最小值为 .12.,,x y z R ∈，226x y z --=，则222x y z ++的最小值为 ，此时x = ，y = ，z = .13.设,,x y z R ∈，2280x y z +++=，则222(1)(2)(3)x y z -+++-之最小值为 .14.设,,x y z R ∈，若332=+-z y x ，则222)1(z y x +-+之最小值为 ，又此时=y15.设,,a b c R +∈且a + b + c = 9，则cb a 1694++之最小值为 . 16.设,,a bc R +∈，且232=++c b a ，则c b a 321++之最小值为 ，此时=a . 17.空间中一向量a 与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为,,αβγ，则γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值为 .18.空间中一向量a 的方向角分别为,,αβγ，则22292516sin sin sin αβγ++的最小值为 . 19.设,,x y z R ∈，若4)2()1(222=+++-z y x ，则z y x 23--之范围为 ；又z y x 23--取最小值时，=x20.设,,x y z R ∈且14)3(5)2(16)1(222=-+++-z y x ，则x y z ++之最大值为 ，最小值为 .21.求2sin sin cos cos θθϕθϕ-的最大值与最小值.22.设a 、b 、c 为正数且各不相等。
讲柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式汇报人：2023-12-02目录•引言•柯西不等式•排序不等式•二维形式的柯西不等式•案例分析•结论与展望CONTENTSCHAPTER01引言柯西不等式是数学中的一个基本不等式，它提供了一个在特定条件下，实数的平方和与乘积之间的关系。
排序不等式是另一个重要的不等式，它描述了当一组实数被排序后，它们的和与积之间的关系。
二维形式的柯西不等式结合了柯西不等式和排序不等式的思想，进一步探讨了向量模长的平方和与它们之间的角度余弦乘积之间的关系。
背景介绍数学模型与定义柯西不等式01对于任意实数a,b,c,d，有(ac+bd)^2 ≤ (a^2+b^2)(c^2+d^2)。
当且仅当ad=bc时，等号成立。
排序不等式02对于一组实数x1,x2,...,xn，若它们按升序排列，即x1≤x2≤...≤xn，则有∑xi^2 ≤ (x1+x2+...+xn)^2 / n，等号在所有数都相等时成立。
二维形式的柯西不等式03对于两个非零向量A=(x1,y1),B=(x2,y2)，有|A|^2*|B|^2 ≥ (A·B)^2，等号在A和B共线时成立。
其中|A|表示向量A的模长，A·B表示两个向量的点积。
CHAPTER02柯西不等式•利用数学归纳法证明：通过数学归纳法，证明对于任何一组实数a_1, a_2, ..., a_n和b_1, b_2, ..., b n，都有∑{i=1}^{n}a_ib i≤∑{i=1}^{n}a i^2/∑{i=1}^{n}b_i^2利用排序不等式，可以证明一些优化问题的最优解，如线性规划、二次规划等排序不等式可以用于证明大数定理和强大数定理等概率论中的重要结论在概率论中的应用在最优化中的应用与其他数学知识的联系二维形式的排序不等式即为柯西不等式，两者是等价的与范德蒙公式的关系范德蒙公式是排序不等式的推广，适用于更广泛的情况CHAPTER03排序不等式对于任意实数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 和 $y_1, y_2, \ldots, y_n$，有$\sum_{i=1}^{n}x_i^2 \cdot\sum_{i=1}^{n}y_i^2 \geq\left(\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2$。
