二维形式的柯西不等式

不等式选讲第11课时
二维形式的柯西不等式
学习目标：1。

认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；
2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 重点难点：柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学过程：
一、引入：
除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。

这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。

1、什么是柯西不等式：
定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则
22222)())((bd ac d c b a +≥++，
其中等号当且仅当bc ad =时成立。

证明：略。

推论：
1．||2222bd ac d c b a +≥+⋅+(当且仅当ad=bc 时，等号成立.)
2．),,,.()())((2+∈+≥++R d c b a bd ac d b c a (当且仅当ad=bc 时，等号成立.)
3．||||2222bd ac d c b a +≥+⋅+（当且仅当|ad|=|bc|时，等号成立）
例1：已知a,b 为实数，求证2
332244)())((b a b a b a +≥++ 说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。

所以，经典不等式是数学研究的有力工具。

例题2：求函数x x y 21015-+-=的最大值。

分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。

这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值。

（2222||d c b a bd ac +⋅+≤+）
解：函数的定义域为【1，5】，且y>0
3
6427)5()1()2(552152222=⨯=-+-⨯+≤-⨯+-⨯=x x x
x y
当且仅当x x -⨯=-⨯5512时，等号成立，即27
127=x 时，函数取最大值36 课堂练习：1. 证明: (x 2+y 4)(a 4+b 2)≥(a 2x+by 2)2
2.求函数x x y -+-=6453的最大值.
例3.设a,b 是正实数，a+b=1，求证411≥+b
a 分析：注意到)11)((11
b a b a b a ++=+，有了)11)((b
a b a ++就可以用柯西不等式了。

课堂练习：已知x+2y=1, 求x 2+y 2的最小值.
几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=∙βα， 而22||b a +=α，22||d c +=β，
所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα∙≥⋅，
其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则
||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：
231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+- 分析：（课件）
思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？
小结：灵活运用类似a+b=1等式子，把问题化成可以应用柯西不等式的结构，是解决问题的关键。

作业：P37页，4，5， 7，8，9
不等式选讲第12课时
一般形式的柯西不等式
学习目标：1。

认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；
2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 重点难点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学过程：
一．复习：
定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则
22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。

定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，
则||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：
231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-
二．新课
类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到
成立.1,2,3)时，等号(b 使得a ，或存在一个实数k， 即共线时，
， 当且仅当)b a b a b (a )b b )(b a a (a 2332211232221232221===++≥++++i i i k 这就是三维形式的柯西不等式.
对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？
4、定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：211212)(∑∑∑===≥n i i i n i i n i i
b a b a ，其中等号当且仅当n
n a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。

证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=
即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=n
i i n i i i n i i b x b a x a x f 12
1212)(2)()( 由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆，
即：0))((4)(4121221
≤-=∆∑∑∑===n
i i n i i n i i
i b a b a ， 即：))(()(12
1221∑∑∑===≤n i i n
i i n i i i b a b a ， 等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ， 即等号当且仅当n
n a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。

如果i a （n i ≤≤1）全为0，结论显然成立。

二、典型例题：
例1、 已知a 1,a 2,…,a n 都是实数，求证：22221221)(1n n a a a a a a n
+++≤+++ 分析：用n 乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。

例2、 已知a ，b ，c ，d 是不全相等的实数，证明：a 2 + b 2 + c 2 + d 2 > ab + bc + cd + da 分析：上式两边都是由a,b,c,d 这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。

的最小值. 求1,32 例3、已知222z y x z y x ++=++
分析：由的 132 222z y x z y x ++=++以及形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。

练习：1．设x ，y ，z 为正实数，且x+y+z=1，求z
y x 941++的最小值。

2．已知a+b+c+d=1，求a 2+b 2+c 2+d 2的最小值。

3．已知a ，b ，c 为正实数，且a+2b+3c=9，求c b a ++23的最大值。

选做：4．已知a ，b ，c 为正实数，且a 2+2b 2+3c 2=6，求a+b+c 的最小值。

（08广一模）
5．已知a ，b ，c 为正实数，且a+2b+c=1，求c
b a 111++的最小值。

（08东莞二模） 6．已知x+y+z=52，则m=x 2+2y 2+z 2的最小值是____________.(08惠州调研)
三、小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。

五、作业：P41习题3.2 2，3，4，5。