高中数学一二维形式的柯西不等式试题

（完整版）柯西不等式练习题.docx柯西不等式练习题1.(09 绍兴二模 )设x, y, z R, x2y2z2 1 。

（1）求x y z的最大值；（ 2）求x y 的取值范围。

2.（09 宁波十校联考）已知x, y, z (0,) ，且 x y z 11925，求y的最小值。

x z3.（09 温州二模）已知x, y, z R ，且z y z 1。

（1）若2x23y26z21，求x, y, z的值；（2）若2x23y 2tz 2 1 恒成立，求正数t 的取值范围。

4、（ 09 嘉兴二模）设x, y, z R ，且 x2y 3z 1。

（1）求证：| x y z || y z || z |1；（2）求u (x1)2( y2)2( z3)2的最小值。

5.（09 诸暨模考）已知x, y, z 都是正数，且x 2 y3z 6 ；（1）求证：x2y2z218；（2）问123有最大值还是最小值？并求这个最值。

7x y z6.（093x 5 。

宁波一模）已知2求证：4x 42x 315 3x78 。

7（09 舟山一模）已知a, b, c, d 满足 a b c d 3,a22b23c26d 2x 。

（1）求证：当a 0时，x 9。

（2）当x 5时，求实数a的最值。

8.（09 稽阳联考）（ 1）已知正数x, y, z 满足x y z 1，求x2y2z2的最小值。

1 z 1 x 1 yx y z，求 t 的最大值。

9．已知t2y2x24z210.(09 金丽衢十二校第一次联考)已知 3x 4y 4z 1，求 x2y2z2的最小值。

11（ 09 浙江五校联考）（1）求函数f (x)38(x R)的最小值。

2sin 2 x 13cos2 x 212、（ 09湖州一模）已知 a, b,c R ，且a b c 1 。

（1）求1 1 + 1的最小值；（ 2）求证 :a2b2c21.a b c1a 1 b 1 c413、（ 09 杭州一模）已知x, y, z是正数，且满足条件x y z3 xyz（1）求x y z的最小值；（ 2）若xyz 3，且x22y 2z2 1 ，求 x 的取值范围。

第三讲
柯西不等式与排序不等式
一
二维形式的柯西不等式
[A A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)
基础达标] )
1．二维形式的柯西不等式可用下列式子表示的为( B．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋cd)2(a，b，c，d∈R) C．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) D．(a2＋b2)(c2＋d2)≤(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R)
3．函数 y＝ x－5＋2 6－x的最大值是( A． 3 C．3 B． 5 D．5
)
解析：选 B.设 m＝( x－5， 6－x)，n＝(1，2)， 则 m· n＝ x－5＋2 6－x≤|m||n|＝ （ x－5）2＋（ 6－x）2· 12＋22＝ 26 5，当且仅当 6－x＝2 x－5，即 x＝ 时等号成立． 5
9 解：因为 a＞0，b＞0，且 a ＋b ＝ ， 2
2 2
所以 9＝(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2. 所以
3 a＋b≤3当且仅当a＝b，即a＝b＝2时取等号.
又因为 a＋b≤m 恒成立，所以 m≥3.
[B
能力提升]
1 2 1．设 x，y∈R＋，且 x＋2y＝36， 则x＋y 的最小值为________．
解析：因为 a2＋b2＝9，x2＋y2＝4， 由柯西不等式(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2， 得 36≥(ax＋by)2，当且仅当 ay＝bx 时取等号， 所以 ax＋by 的最大值为 6，最小值为－6， 即 m＝6，n＝－6， 所以 mn＝－36.
答案：－36
8．若函数 y＝a x＋1＋ 6－4x的最大值为 2 5，则正数 a 的 值为________．
4 9 4．已知x＋y ＝2，x，y∈R＋，则 x＋y 的最小值是( 25 A． 2 5 C． 2 25 B． 4 D．5

柯西不等式高考题精选1.（2013 年湖北）设 x.zeR,且满足：/ + / + 22=1, x + 2y+ 3z = V14,则x+y + z=.【答案】半2.（2013年陕西）已知a, b,叫,n均为正数，且a+b=1,mn=2,则（am+bn）（bm+an）的最小值为.【答案】2 f (x) = x + 11 + lx —2 | 的最小值为 a.3. [2014 •福建] 已知定义在R上的函数（1）求a的值；⑵若p, q, r是正实数，且满足p + q + r = a, 求证:p2+q:+r2^3.解：(1)因为|x+l + |x—2| | (x+1) — (x—2) |=3, 当且仅当一l〈x<2时，等号成立, 所以f(x)的最小值等于3,即a=3.⑵由⑴知p + q + r = 3,又p, q, r是正实数，所以(p' + q~ + r')(l-+l'+l/)2(pXl + qXl+rXl)'=(p + q + r)2=9,即 E+/+/23.4.[2014 •陕西]A.(不等式选做题)设a, b, m, n£R,且£ +b' = 5, ma + nb = 5,则+ 的最小值为.【答案】m5.[2014 •浙江](1)解不等式 2|x—2| — x+l|>3；(2)设正数 a, b, c 满足 abc=a + b + c, 求证：ab + 4bc + 9ac236,并给出等号成立条件. 解：(1)当 xW —1 时，2(2—x) + (x + 1) >3, 得xV2,此时x 〈一l ；当一lVx<2 时，2(2—x) — (x + 1) >3,得 xVO,此时 -l<x<0； 当 x>2 时，2(x — 2) — (x+l)>3,得 x>8,此时 x 〉8.综上所述，原不等式的解集是(-8, O)U (8, +8).(2)证明：由abc = a + b + c,得々+*+,=1.由柯西不等式， ab be caz 、得(ab + 4bc + 9ac) ~--F~ F — 2 (1 + 2 + 3)、[ab be ca ；所以ab + 4bc + 9ac236,当且仅当a = 2, b = 3, c = l 时，等号 成立.6.12015福建】已知〃>0*>0,0 0,函数/0)=1%+。

新课标数学选修4-5柯西不等式一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++ 二、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈ bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαββαβαk k =≤⋅借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。

【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a⋅之最小值为________；此时=b ________。

答案：-18; )4,2,4(-- 解析：b a b a ≤⋅ ∴18≤⋅b a ∴1818≤⋅≤-b a b a ⋅之最小值为-18，此时)4,2,4(2--=-=a b【2】 设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若x 2 + y 2 + z 2 = 16，则a b的最大值为 。

【解】∵ a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z) ∴ a．b = x - 2z 由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x 2 + y 2 + z 2) ≥ (x + 0 - 2z)2 ⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z)2 ⇒ - 45≤ x ≤ 45⇒ - 45≤ a ．b ≤ 45，故a ．b 的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a =，(,,)b x y z =，已知56b =，则(1)a b ⋅的最大值为多少？(2)此时b =？ 答案：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。

3.二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立).
例1 已知x，y∈R,3x2＋2y2≤6，求2x＋y的最值.
0
方法一 由柯西不等式得
(2x＋y)2≤[(
3x)2＋(
2y)2]
232＋
1
2
2
＝(3x2＋2y2)43＋12≤11. 当且仅当 3x·12＝ 2y·23，
123456
跟踪训练2 (1)已知正数x，y满足x＋y＝1，则x12＋y82 的最小值为__2_7___. x12＋y82＝1x23＋2y23≥1x＋＋2y23＝27，当且仅当1x＝2y，即 x＝13，y＝23时取等号.
(2)已知a＋b＋c＝1，且a，b，c＞0，则a＋2 b＋b＋2 c＋a＋2 c 的最小值为
∴z＝2x＋ 3y 的最小值是－5.
123456
2.权方和不等式作为均值不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广 泛的应用，其表述如下：设 a，b，x，y>0，则ax2＋by2≥ax＋＋by2，当且仅当 ax＝by时，等号成立.根据权方和不等式，函数 f(x)＝2x＋1－92x0<x<12的最小 值为
0
即x＝4 1111，
y＝3
11 11
或x＝－4 1111，
y＝－3
11 11
时等号成立，
于是 2x＋y 的最大值为 11，最小值为－ 11.
方法二 由柯西不等式得
|2x＋y|≤ 3x2＋ 2y2
232＋
1
2
2
0
＝ 3x2＋2y243＋12≤ 11， 当且仅当 3x·12＝ 2y·23，
n
m>0，则

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。

4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。

课时跟踪检测（九） 二维形式的柯西不等式1.已知a , b € R +且a + b = 1,贝U P = （ax + by ）与Q = ax + by 的大小关系是（） A . P W QB . P v QC . P >QD . P >Q解析：选 A 设 m = f ax , by), n = ( a , b),则 |ax + by| = |m ・n|w |m||n| = ax 2+ .by 2 - a 2+ b 2 = ax 2 + by 2 • a + b = ax 2 + by 2,/• (ax + by)2< ax 2+ by 2,即 P W Q.2.若a , b € R ，且a 2 + b 2= 10,则a - b 的取值范围是() A. [- 2 5, 2 .5 ]B. [-2 10, 2 10 ]C. [— 10, 一10 ]D. (— 5, 5)解析：选 A (a 2 + b 2)[i 2 + (— I)2] > (a — b)2,•/ a 2 + b 2= 10,•••(a — b)2w 20.— 2-.;5W a — b w 2 j'5.3. 已知x + y = 1，那么2x 2 + 3,的最小值是( )5 6A ・6解析：选 B (2x 2+ 3y 2)[( 3)2+ ( 2)勺》(石x + 6y)2= [ 6(x + y)]2= 6,3 2当且仅当x = 5, y =；时取等号,即 2x 2 + 3y 2> 65 故2x 2 + 3y 2的最小值为6. 54.函数y = x — 5+ 2 6 — x 的最大值是（ ）A. 3B. 5C . 3D . 5解析：选B 根据柯西不等式，知 25 D. 3625y= 1 x p—5 + 2 x p 6 —xW p 12+ 22X 寸 & x - 5 )2+ (寸6 - x f =屁当且仅当x = 时取等号. 5答案:6. ______________________________________________ 设a = (-2,1,2), |b|= 6，贝U a b 的最小值为 __________________________________ ，此时b =解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a b|w |a| |b|,•••|a b|w — 2 2+ 12+ 22X 6= 18,当且仅当存在实数 k ，使a = kb 时，等号成立. •••— 18W a b w 18,• a b 的最小值为一18,此时 b = — 2a = (4, — 2,— 4).答案：—18 (4,— 2,— 4)7. _______________________________________________________ 设实数x ,y 满足3x 2 + 2y 2w 6，贝V P = 2x + y 的最大值为 ____________________答案：，111 18. 已知 x , y € R +,且 x + y = 2.求证：j + 寸 2. 证明：x + > 如+ y )1+y =2［兩2+兩儿術+約 A 2 x - ：+ y ；2=2当且仅当 y x时等号成立，此时 x = 1, y = 1.x + y = 2 5•设 解析:xy>0,则x 2 +》y + X 2的最小值为 原式=0飢前y 2 l>x £+ y y 2= 9,当且仅当xy=^时取等号. 解由柯西不等式得(2x + y)2< [( .3X )2+ ( 2y)2] 1 W 6X £= 11122 = (3X 2+ 2y 2) 当且仅当4 心而，y = 希j 时取等号，故 P = 2x + y 的最大值为QU . +1 1所以1+ 1A 2.x y9. 若x2+ 4y2= 5,求x+ y的最大值及此时x, y的值. 解：由柯西不等式得[x 2+ (2y )2] 12+ j2) l> (x + y)2, 即(x + y)2w 5 x 5 = 25, x + y w 2.当且仅当x =孕，即x = 4y 时取等号. 1 12x 2+ 4y 2= 5,x = 2， x =- 2， 由4得S 1 或S 1 (舍去). lx =4y , y =2[y =- 2 5••• x + y 的最大值为5，1此时 x = 2, y =-.10.求函数f(x)= 3cosx + 4 1 + sin 2x 的最大值，并求出相应的 x 的值. 解：设 m = (3,4), n = (cosx , 1 + sin 2x), 则 f(x) = 3cosx + 4 \/1 + sin 2x =|m n|< |m| |n|= co$x + 1 + sin 2x • 32 + 42 =5 2,当且仅当m// n 时，上式取"=”. 此时，3 岑 1 + sin 2x - 4cos x = 0.f(x)= 3cos x + 4 , 1 + sin 2x 取最大值 5 . 2. 解得sin x = cosx = 3 *2 5 故当 sin x ^-7, 5 cosx =勒2 时. 5。

完整版)柯西不等式练习题1.(09绍兴二模) 设 $x,y,z \in \mathbb{R}$，$x+y+z=1$。

1) 求 $x+y+z$ 的最大值；2) 求 $x+y$ 的取值范围。

2.(09XXX联考) 已知 $x,y,z \in (0,+\infty)$，且 $x+y+z=1$，求3.(09温州二模) 已知 $x,y,z \in \mathbb{R}$，且$z+y+z=1$。

1) 若 $2x+3y+6z=1$，求 $x,y,z$ 的值；2) 若 $2x+3y+tz \ge 1$ 恒成立，求正数 $t$ 的取值范围。

4.(09嘉兴二模) 设 $x,y,z \in \mathbb{R}$，且$x+2y+3z=1$。

1) 求证：$|x+y+z|+|y+z|+|z| \ge 1$；2) 求 $u=(x-1)+(y-2)+(z-3)$ 的最小值。

5.(09诸暨模考) 已知$x,y,z$ 都是正数，且$x+2y+3z=6$；1) 求证：$x+y+z \ge 2$；2) 问 $xyz$ 有最大值还是最小值？并求这个最值。

6.求证：$4x+4+2x-3+15-3x<78$，其中 $3 \le x \le 5$。

7.(09舟山一模) 已知 $a,b,c,d$ 满足 $a+b+c+d=3$，$a+2b+3c+6d=x$。

1) 求证：当 $a=0$ 时，$x \ge 9$；2) 当 $x=5$ 时，求实数 $a$ 的最值。

8.(09稽阳联考) 已知正数 $x,y,z$ 满足 $x+y+z=1$，求$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$ 的最小值。

9.已知 $t=\frac{x+y+z}{x+2y+4z}$，求 $t$ 的最大值，其中 $x,y,z$ 满足 $x+2y+3z=222$。

10.已知 $3x+4y+4z=1$，求 $x+y+z$ 的最小值。

11.(09浙江五校联考) 求函数 $f(x)=\frac{3\sinx+2\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}$ $(x \in\mathbb{R})$ 的最小值。

所
以
1 a3＋b3＋abc
＋
1 b3＋c3＋abc
＋
1 c3＋a3＋abc
≤
1 ab（a＋b）＋abc
＋
bc（b＋1c）＋abc＋ac（a＋1c）＋abc＝a＋1b＋ca1b＋b1c＋c1a＝a＋1b＋c·c＋aab＋c b
＝a1bc.
故原不等式得证．
B 级 能力提升
1．若 0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且 a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最 大的是( )
＋c c≤3.
所以 a b＋b c＋c a≤3. 答案：C 5．已知 a，b，c∈(0，＋∞)，则 a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负 情况是( )
A．大于零
B．大于等于零
C．小于零
D．小于等于零
解析：设 a≥b≥c＞0，所以 a3≥b3≥c3，
根据排序原理，得 a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知 ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2， 所以 a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab. 所以 a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab， 即 a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 答案：B 二、填空题 6．设 a1，a2，…，an 为实数，b1，b2，…，bn 是 a1，a2，…，an 的任一排列， 则乘积 a1b1＋a2b2＋…＋anbn 不小于________． 答案：a1an＋a2an－1＋…＋ana1 7．已知 a，b，c 都是正数，则b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥________． 解析：设 a≥b≥c＞0，所以b＋1 c≥c＋1 a≥a＋1 b， 由排序原理，知b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋b c＋c＋c a＋b＋a a，① b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋c c＋c＋a a＋a＋c b，② ①＋②得b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥32. 答案：23 8．设 a，b，c＞0，则bac＋cba＋acb________a＋b＋c. 解析：不妨设 a≥b≥c＞0， 则1a≤1b≤1c，bc≤ac≤ab. 由顺序和≥乱序和，得 acb＋abc＋bac≥b1·bc＋1c·ac＋1a·ab＝c＋a＋b，

高二数学柯西不等式试题1.设正数,(1)满足，求证：；(2)若，求的最小值。

【答案】（1）不等式的证明，可以运用均值不等式来得到证明。

（2）根据均值不等式的一正二定三相等来求解最值。

【解析】⑴证明：（利用柯西不等式）⑵根据题意，由于，那么，在可以根据均值不等式同时取得等号得到其最小值为【考点】均值不等式点评：主要是考查了不等式的证明以及最值的求解，属于中档题。

2.若0＜x1＜x2, 0＜y1＜y2，且x1＋x2=y1＋y2=1，则下列代数式中值最大的是（）A．x1y1＋x2y2B．x1x2＋y1y2C．x1y2＋x2y1D．【答案】A【解析】依题意取x1=，x2=，y1=，y2=。

计算x1y1＋x2y2=，x1x2＋y1y2=，x 1y2＋x2y1=，故选A。

【考点】本题主要考查不等式的性质，选择题的灵活解法。

点评：简单题，本题可利用“特殊值法”解答，体现选择题解法的灵活性。

3.（本题12分）已知实数a,b,c,d满足a＋b＋c＋d=3，a2＋2b2＋3c2＋6d2=5，求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）应用柯西不等式，。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得（3－a）2＜5－a2，推出。

【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）由（Ⅰ）得（3－a）2＜5－a2【考点】本题主要考查柯西不等式的应用，不等式的证明。

点评：中档题，关键是根据已知条件，构造柯西不等式，对考查考生创新思维，有较好的作用。

4.（本小题满分13分）已知实数满足，且的最大值是7，求的值．【答案】.【解析】本题是考查柯西不等式的应用.根据柯西不等式：,可得出的最大值,从而可根据最大值为7,建立关于a的方程解出a值.解：由柯西不等式：. …………………6分因为所以，即. ……………………9分因为的最大值是7,所以，得，……………………10分当时，取最大值，所以.…………………13分5.观察下列式子, ….则可归纳出.【答案】(n∈N*)【解析】解：因为观察下列式子, ….则可归纳出(n∈N*)成立。

一二维形式的柯西不等式课后篇巩固探究1.若a2+b2=2,则a+b的最大值为()A.1B.C.2D.4解析由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,即(a+b)2≤4,所以-2≤a+b≤2(当且仅当a=1,b=1或a=-1,b=-1时,等号成立),即a+b的最大值为2.答案C2.已知=2,x,y>0,则x+y的最小值是()A. B. C. D.5解析由=2,可得x+y=≥(2+3)2=.当且仅当,即x=5,y=时等号成立.答案A3.已知3x+2y=1,则当x2+y2取最小值时,实数x,y的值为()A. B.C. D.解析因为x2+y2=(x2+y2)(32+22)≥(3x+2y)2=,所以当x2+y2有最小值,当且仅当时,等号成立,得答案A4.函数y=+2的最大值是()A. B. C.3 D.5解析根据柯西不等式,知y=1×+2×,当且仅当=2,即x=时,等号成立.答案B5.已知m2+n2=,则m+2n的最大值为()A. B. C. D.6解析由柯西不等式可得(m2+n2)[()2+22]≥(m+2n)2,即×6≥(m+2n)2,则m+2n≤,故m+2n的最大值为.答案B6.导学号26394051若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形,则长方形ABCD周长的最大值为()A.2RB.2RC.4RD.4R解析如图,设圆内接长方形ABCD的长为x,则宽为,于是ABCD的周长l=2(x+)=2(1×x+1×).由柯西不等式得l≤2[x2+()2(12+12=2×2R×=4R,当且仅当x·1=·1,即x=R时,等号成立.此时R,即四边形ABCD为正方形,故周长为最大的内接长方形是正方形,其周长为4R.答案D7.若3x+4y=2,则x2+y2的最小值为.解析由柯西不等式(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2,得25(x2+y2)≥4,所以x2+y2≥.解方程组因此,当x=,y=时,x2+y2取得最小值,最小值为.答案8.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=,Q=,则P与Q的大小关系是.解析P=≤==Q当且仅当时,等号成立.答案P≤Q9.已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为.解析由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,可得(am+bn)(bm+an)≥()2=mn(a+b)2=2,即(am+bn)(bm+an)的最小值为2.答案210.函数y=的最大值为.解析∵y=,∴y=1×≤当且仅当,即x=时等号成立.答案11.已知a,b∈R+,且a+b=1,则的最小值是.解析因为a,b∈R+,且a+b=1,所以=(a+b)·,由柯西不等式得(a+b),当且仅当,且a+b=1,即a=-1,b=2-时,取最小值.答案12.已知a,b,c为正数,且满足a cos2θ+b sin2θ<c,求证cos2θ+sin2θ<.证明由柯西不等式得cos2θ+sin2θ≤=,故不等式成立.13.设a,b∈R+,且a+b=2.求证≥2.证明由柯西不等式,有[(2-a)+(2-b)]=[()2+()2]≥=(a+b)2=4.则=2.故原不等式成立.14.已知x2+y2=2,且|x|≠|y|,求的最小值.解令u=x+y,v=x-y,则x=,y=.∵x2+y2=2,∴(u+v)2+(u-v)2=8,∴u2+v2=4.由柯西不等式,得(u2+v2)≥4,当且仅当u2=v2=2,即x=±,y=0,或x=0,y=±时,的最小值是1.15.导学号26394053求函数y=的最小值.解y=,根据柯西不等式,有y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2≥(x-1)2+2+(3-x)2+5+2[(x-1)(3-x)+]=[(x-1)+(3-x)]2+()2=11+2.当且仅当(x-1)=(3-x),即x=时,等号成立.此时y min=+1.。

数学选修4-5二维形式的柯西不等式练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知a，b>0，a+b=5，则√a+1+√b+3的最大值为（）A.18B.9C.3√2D.2√32. 已知a，b，c∈R，则2a2+3b2+6c2=1是a+b+c∈[−1, 1]的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知正实数a，b，c，若a2+b2+4c2=1，则ab+2ac+3√2bc的最大值为（）A.1B.√22C.√2D.2√24. 设变量x，y满足|x−2|+|y−2|≤1，则y−xx+1的最大值为（）A.1 3B.12C.−14D.−135. 若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则3ab−3bc+2c2的最大值为（）A.1B.2C.3D.46. 已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则√x+√+√3z的最大值是（）A.2B.2√2C.2√3D.37. 已知x，y，z，a，b，c，k均为正数，且x2+y2+z2=10，a2+b2+c2=90，ax+by+cz=30，a+b+c=k(x+y+z)，则k=()A.19B.13C.3D.98. 设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A.209B.115C.65D.1169. 实数a i(i=1, 2, 3, 4, 5, 6)满足(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2=1则(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为（）A.3B.2√2C.√6D.110. 若2x+3y+5z=29，则函数μ=√2x+1+√3y+4+√5z+6的最大值为（）A.√5B.2√15C.2√30D.√3011. 若x、y为非零实数，代数式x2y2+y2x2−8(xy+yx)+15的取值范围是________．12. 请用柯西不等式求解．已知a、b、x、y都是正实数，且ax +by=1，则x+y的最小值为________．13. 已知a，b，c都是正数，且2a+b+c=6，则a2+ab+ac+bc的最大值为________．14. 已知a，b，c，d都是正数，a2+b2+c2=d2，a+b+c=dx，则x的取值范围是________．15. 若p，q，r为正实数，且1p +1q+1r=1，则p+q+r的最小值是________．16. 函数f(x)=√x−5+√24−3x的最大值为________．17. 已知a+b+c=0，则ab+bc+ca的值________0．（选填“>，<，≥，≤”）．18. （不等式选讲选做题）已知a，b，c∈R，且a+b+c=2，a2+2b2+3c2=4，则a的取值范围为________．19. 已知θ∈(5π4, 3π2)，若存在实数x，y同时满足cosθx=sinθy，sin2θx2+cos2θy2=52(x2+y2)，则tanθ的值为________．20. 已知实数x，y，z满足x+y+z=0，x2+y2+z2=1，则x的最大值不小于________．21. 已知关于x的不等式√2−x+√x+1<m对于任意的x∈[−1, 2]恒成立（1）求m的取值范围；（2）在（1）的条件下求函数f(m)=m+1(m−2)2的最小值．22. 已知x2+y2+z2=1，求xy+yz最大值．23. 己知a，b，c为正实数，且a+b+c=2．（1）求证：ab+bc+ac≤43；（2）若a，b，c都小于1，求a2+b2+c2的取值范围．24. 已知函数f(x)=√t+2|x+1|−|x−3|的定义域为R．(1)求实数t的取值范围；(2)设实数m为t的最小值，若实数a，b，c满足a2+b2+c2=m2，求1a2+1+1b2+2+1c2+3的最小值．25. 在空间直角坐标系O−xyz中，坐标原点为O，P点坐标为(x, y, z)．（1）若点P在x轴上，且坐标满足|2x−5|≤3，求点P到原点O的距离的最小值；（2）若点P到坐标原点O的距离为2√3，求x+y+z的最大值．26. 设a，b，c，d∈R，a2+b2=c2+d2=1，求abcd的最大值．27. 已知(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2=1，求(a6+ a5)−(a1+a4)的最大值．28. 已知3x2+2y2≤6，求2x+y的最大值．29. 已知|x−2y|=5，求证：x2+y2≥5．30. 已知x，y，z满足x−1=y+12=z−23，试求当x，y，z分别为何值时，x2+y2+z2有最小值，最小值为多少．31. 若M≥|ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)|a2+b2+c2对一切实数a、b、c都成立，求最小的实数M．32. 已知a+b=1，求证：a3+b3+3ab=1．33. 已知a≥0，b≥0，c≥0，a+b+c=1，y=a1+a2+b1+b2+c1+c2．求y max=？34. 设x，y，z∈R，且(x−1)216+(y+2)25+(z−3)24=1，求x+y+z最大值与最小值．35. 若存在实数x使√3x+6+√14−x>a成立，求常数a的取值范围．36. 已知a+b+c=1．a2+b2+c2=1，求a+b的取值范围．37. 已知2x+3y+4z=10，求x2+y2+z2的最小值．38. 正数a，b，c，A，B，C满足条件a+A=b+B=c+C=k，证明：aB+bC+ cA<k2．39. 已知a12+a22+...+a n2=1，x12+x22+...+x n2=1，求证：a1x1+a2x2+...+a n x n≤1．40. 已知a，b，c∈N+，满足abc(a+b+c)=1．（1）求S=(a+c)(b+c)的最小值；（2）当S取最小值时，求c的最大值．参考答案与试题解析数学选修4-5二维形式的柯西不等式练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.【答案】 C【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】利用柯西不等式，即可求出√a +1+√b +3的最大值． 【解答】解：由题意，(√a +1+√b +3)2≤(1+1)(a +1+b +3)=18， ∴ √a +1+√b +3的最大值为3√2， 故选：C ． 2.【答案】 A【考点】柯西不等式的几何意义必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用柯西不等式2a 2+3b 2+6c 2=1，推出−1≤a +b +c ≤1，通过−1≤a +b +c ≤1利用特例否定2a 2+3b 2+6c 2=1，利用充要条件的判断方法推出结果． 【解答】解：由柯西不等式得：|a +b +c|≤|a|+|b|+|c| =√2⋅√2|a|+√3√3|b|√6⋅√6|c|≤√(√2)2+(√3)2+(√6)2⋅√(√2|a|)2+(√3|b|)2+(√6|c|)2=1，(2a 2+3b 2+6c 2=1)所以−1≤a +b +c ≤1，反之，当−1≤a +b +c ≤1时，不妨令a =0.9，b =0，c =0.1；2a 2+3b 2+6c 2=1.68>1，所以2a 2+3b 2+6c 2=1是a +b +c ∈[−1, 1]的充分不必要条件． 故选A ． 3.【答案】 C【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】a 2+b 2+4c 2=(12a 2+12a 2)+(14b 2+34b 2)+(c 2+3c 2)，调整，利用基本不等式，即可得出结论．解：设a 2+b 2+4c 2=(12a 2+12a 2)+(14b 2+34b 2)+(c 2+3c 2)=(12a 2+14b 2)+(12a 2+c 2)+(34b 2+3c 2) ≥2+√2ac +3bc .∴ ab +2ac +3√2bc ≤√2， 当且仅当a =√55，b =2c =√105时，等号成立． ∴ ab +2ac +3√2bc 的最大值为√2． 故选C ． 4.【答案】 B【考点】柯西不等式的几何意义 【解析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案． 【解答】解：如图即为满足不等|x −2|+|y −2|≤1的可行域，是一个正方形， 得A(1, 2)，B(2, 1)，C(3, 2)，D(2, 3)． 当x =1，y =2时，则y−x x+1=12，当x =2，y =1时，则y−xx+1=−13， 当x =3，y =2时，则y−xx+1=−14， 当x =2，y =3时，则y−xx+1=13， 则y−xx+1有最大值12．故选B ．5.【答案】 C【考点】二维形式的柯西不等式不妨考虑c，当c=0时，运用重要不等式a2+b2≥2ab，求得最大值；再由当c≠0时，3ab−3bc+2c2=3ab−3bc+2c2a2+b2+c2，分子分母同除以c2，设x=ac，y=bc，再整理成二次方程，由于x为实数，运用判别式大于等于0，再由y为实数，判别式小于等于0，即可解得所求的范围，进而得到最大值．【解答】解：不妨考虑c，当c=0时，有3ab−3bc+2c2=3ab≤3(a2+b2)2=32，当c≠0时，3ab−3bc+2c2=3ab−3bc+2c2a2+b2+c2=(ac)2+(bc)2+1˙，设x=ac ，y=bc，则可令M=3ab−3bc+2c2=3xy−3y+2x2+y2+1，即有Mx2−3xy+My2+M+3y−2=0，由于x为实数，则有判别式△1=9y2−4M(My2+M+3y−2)≥0，即有(9−4M2)y2−12My−4M(M−2)≥0，由于y为实数，则△2=144M2+16M(9−4M2)(M−2)≤0，即有M(M−3)(2M2+2M−3)≤0，由于求M的最大值，则M>0，则M≤3．故选：C．6.【答案】C【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用柯西不等式，可得(1+2+3)(x+y+z)≥(√x+√2y+√3z)2，结合x+y+z= 2，即可求出√x+√2y+√3z的最大值．【解答】解：∵x、y、z是正数，∴(1+2+3)(x+y+z)≥(√x+√2y+√3z)2，∵x+y+z=2，∴√x+√2y+√3z≤√6⋅2=2√3，∴√x+√2y+√3z的最大值是2√3．故选：C．7.【答案】C【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．【解答】解：因为x2+y2+z2=10，a2+b2+c2=90，ax+by+cz=30，所以(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2，又(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2等号成立，当且仅当ax =by=cz=k，则a=kx，b=ky，c=kz，代入a2+b2+c2=90，得k2(x2+y2+z2)=90，于是k=3，故选：C．8.【答案】A【考点】二维形式的柯西不等式【解析】运用柯西不等式：(a2+b2+c2)(d2+e2+f2)≥(ad+be+cf)2，当且仅当ad =be=cf等号成立．【解答】解：∵x、y、z是正数，x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，∴(22+22+12)(x2+4y2+9z2)=9×4≥(2x+4y+3z)2=36，∴可设2x =22y=13z=k，（k为常数），代入2x+4y+3z=6，得k=32，∴x+y+z=2k +1k+13k=209．故选A．9.【答案】B【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2，结合条件，即可得出结论．【解答】解：由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2=[(a5+a6)−(a1+ a4)]2，∴[(a5+a6)−(a1+a4)]2≤8，∴(a5+a6)−(a1+a4)≤2√2，∴(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为2√2，故选B．10.【答案】C【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式可得(√2x+1⋅1+√3y+4⋅1+√5z+6⋅1)2≤(2x+1+3y+4+ 5z+6)(12+12+12)，利用条件，即可得出结论．【解答】解：由柯西不等式可得(√2x+1⋅1+√3y+4⋅1+√5z+6⋅1)2≤(2x+1+3y+ 4+5z+6)(12+12+12)∵2x+3y+5z=29，∴(√2x+1⋅1+√3y+4⋅1+√5z+6⋅1)2≤120，∴μ=√2x+1+√3y+4+√5z+6≤2√30，∴μ=√2x+1+√3y+4+√5z+6的最大值为2√30．故选：C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】[−3, +∞)【考点】二维形式的柯西不等式【解析】令xy +yx=t，运用基本不等式，求出t的范围，将原式化为二次函数，配方，分别求出范围，再求并集．【解答】解：令xy +yx=t，则若xy>0，则t≥2，若xy<0，则t≤−2，∴原式=t2−2−8t+15=t2−8t+13=(t−4)2−3，当t≥2时，t=4时，原式取最小值为−3，无最大值，当t≤−2时，原式取最小值，且为33，∴原式的取值范围是[−3, +∞)．故答案为：[−3, +∞)．12.【答案】a+b+2√ab【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据二维形式的柯西不等式的代数形式，即可求解．【解答】解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，可得(ax +by)(x+y)≥(√ax⋅√x+√by⋅√y)2，∵ax +by=1，∴x+y≥(√a+√b)2=a+b+2√ab，∴x+y的最小值为a+b+2√ab，故答案为：a+b+2√ab．13.【答案】9【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用基本不等式，a2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)≤√a+b+a+c2，即可得出结论．【解答】解：∵a，b，c都是正数，∴a2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)≤(a+b+a+c2)2，∴2a+b+c=6，∴a2+ab+ac+bc≤9，∴a2+ab+ac+bc的最大值为9，故答案为：9．14.【答案】(1, √3]【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据题意，得(ad )2+(bd)2+(cd)2=1，x=ad+bd+cd；利用换元法，设ad=m，bd=n，cd=p，(m>0, n>0, p>0)，则m2+n2+p2=1，求x=m+n+p的取值范围即可；再利用柯西不等式以及放缩法即可求出m+n+p的取值范围．【解答】解：∵a，b，c，d都是正数，a2+b2+c2=d2，∴(ad )2+(bd)2+(cd)2=1；又∵a+b+c=dx，∴x=ad +bd+cd；设ad =m，bd=n，cd=p，且m>0，n>0，p>0，则m2+n2+p2=1，x=m+n+p；由柯西不等式得：3=(12+12+12)•(m2+n2+p2)≥(1⋅m+1⋅n+1⋅p)2，∴−√3≤m+n+p≤√3，当且仅当{m=n=pm2+n2+p2=1，即m=n=p=√33时，取得最大值√3；又∵m>0，n>0，p>0，∴(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np>m2+n2+p2=1，∴m+n+p>1；综上，1<m+n+p≤√3，即x的取值范围是(1, √3]．故答案为：(1,√3]．15.【答案】9【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由题意可得p+q+r=(p+q+r)(1p +1q+1r)=3+pq+pr+qp+qr+rp+rq，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：若p，q，r为正实数，且1p +1q+1r=1，则p+q+r=(p+q+r)(1p +1q+1r)=3+pq+pr+qp+qr+rp+rq≥3+6=9，当且仅当q=q=r=3时，等号成立，故p+q+r的最小值是9，故答案为：9．16.【答案】2√3【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，当且仅当bc=ad取得等号，即可得到最大值．【解答】解：函数f(x)=√x−5+√24−3x=√x−5+√3⋅√8−x≤√(1+3)(x−5+8−x)=2√3，当√8−x=√3⋅√x−5，即为x=234，则有f(x)的最大值为2√3．故答案为：2√3．17.【答案】≤【考点】二维形式的柯西不等式【解析】先把a+b+c=0两边分别平方，得：(a+b+c)2=0，然后展开移项即可得到答案．【解答】解：因为a+b+c=0，所以(a+b+c)2=0．展开得ab+bc+ca=−a 2+b2+c22，所以ab +bc +ca ≤0． 故答案为：≤． 18. 【答案】[211, 2] 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】 由4−a 2=(2b 2+3c 2)×1=65(2b 2+3c 2)(12+13)≥(b +c)2⋅65=(a −2)2⋅65．得到关于a 的不等关系：20−5a 2≥6(a 2−4a +4)解之即得a 的取值范围． 【解答】解：由4−a 2=(2b 2+3c 2)×1=65(2b 2+3c 2)(12+13)≥(b +c)2⋅65=(a −2)2⋅65． ∴ 20−5a 2≥6(a 2−4a +4) ∴ 11a 2−24a +4≤0， ∴ 211≤a ≤2．则a 的取值范围为[211, 2]． 故答案为：[211, 2]． 19. 【答案】√2【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】 设cos θx =sin θy=t ，求出sin θ、cos θ的值，代人另一式化简，再由sin 2θ+cos 2θ=1，求出y 2x 2+x 2y 2=52；利用tan θ=sin θcos θ=yx 得出方程tan 2θ+1tan 2θ=52，求出方程的解，再考虑θ∈(5π4, 3π2)，从而确定tan θ的值．【解答】 解：设cos θx=sin θy=t ，则sin θ=ty ，cos θ=tx ， 所以sin 2θx +cos 2θy =52(x +y )可化为：(ty)2x 2+(tx)2y 2=52(x 2+y 2)①；又sin 2θ+cos 2θ=t 2x 2+t 2y 2=1，得t2=1x2+y2②；把②代入①，化简得y 2x2+x2y2=52③；又tanθ=sinθcosθ=yx，所以③式化为tan2θ+1tan2θ=52，解得tan2θ=2或tan2θ=12；所以tanθ=±√2或tanθ=±√22；又θ∈(5π4, 3π2)，所以tanθ>1，所以取tanθ=√2．故答案为：√2．20.【答案】√22【考点】二维形式的柯西不等式【解析】设x2最大，然后根据条件可得2x2=1+2yz，可确定x与y异号，x与z异号则yz≥0，所以2x2≥1，从而求出所求．【解答】解：设x2最大因为x+y+z=0且x2+y2+z2=1所以2x2=1+2yz因为x+y+z=0，x2≥y2，x2≥z2所以x与y异号，x与z异号∴yz≥0∴2x2≥1，x2≥12．x≥√22，或x≤−√22．∴x的最大值不小于√22．故答案为：√22．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：（1）∵关于x的不等式√2−x+√x+1<m对于任意的x∈[−1, 2]恒成立，可得m大于式子√2−x+√x+1的最大值．根据柯西不等式，有(√2−x+√x+1)2=(1⋅√2−x+1⋅√x+1)2≤[12+12]⋅[(√2−x)2+(√x+1)2]=6，所以√2−x+√x+1≤√6，当且仅当x=12时等号成立，故m>√6．（2）由（1）得m−2>0，则f(m)=m+1(m−2)2=12(m−2)+12(m−2)+1(m−2)2+2，∴f(m)≥3√12(m−2)⋅12(m−2)⋅1(m−2)23+2=32√23+2，当且仅当12(m−2)=1(m−2)2，即m=√23+2>√6时取等号，所以函数f(m)=m+1(m−2)2的最小值为32√23+2．【考点】二维形式的柯西不等式函数恒成立问题【解析】（1）由题意可得m大于式子√2−x+√x+1的最大值，再利用柯西不等式求得式子√2−x+√x+1的最大值，可得m的范围．（2）由（1）得m−2>0，则f(m)=m+1(m−2)2=12(m−2)+12(m−2)+1(m−2)2+2，再利用基本不等式，求得它的最小值．【解答】解：（1）∵关于x的不等式√2−x+√x+1<m对于任意的x∈[−1, 2]恒成立，可得m大于式子√2−x+√x+1的最大值．根据柯西不等式，有(√2−x+√x+1)2=(1⋅√2−x+1⋅√x+1)2≤[12+12]⋅[(√2−x)2+(√x+1)2]=6，所以√2−x+√x+1≤√6，当且仅当x=12时等号成立，故m>√6．（2）由（1）得m−2>0，则f(m)=m+1(m−2)2=12(m−2)+12(m−2)+1(m−2)2+2，∴f(m)≥3√12(m−2)⋅12(m−2)⋅1(m−2)23+2=32√23+2，当且仅当12(m−2)=1(m−2)2，即m=√23+2>√6时取等号，所以函数f(m)=m+1(m−2)2的最小值为32√23+2．22.【答案】解：由于1=x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)≥2x√22⋅√2z=√2(xy+yz)，当且仅当x=√2=z时，等号成立，∴x=√2=z=12时，xy+yz的最大值为√22．【考点】柯西不等式的几何意义【解析】先将题中条件转化为1=x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)，再利用基本不等式即可求出xy+yz的最大值．【解答】解：由于1=x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)≥2x√22⋅√2z=√2(xy+yz)，当且仅当x=√2=z时，等号成立，∴x=2=z=12时，xy+yz的最大值为√22．23.【答案】（1）证明：∵a+b+c=2，∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4，∴2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca=8∴8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca≥6ab+6abc+6ac，当且仅当a=b=c 时取等号，∴ab+bc+ac≤43；（2）解：由（1）知，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4，∴4≤a2+b2+c2+a2+b2+b2+c2+a2+c2=3(a2+b2+c2)，当且仅当a= b=c时取等号，∴a2+b2+c2≥43，∵a−a2=a(1−a)，0<a<1，∴a>a2，同理b>b2，c>c2，∴a2+b2+c2<a+b+c=2，∴43≤a2+b2+c2<2，∴a2+b2+c2的取值范围为[43, 2)．【考点】基本不等式二维形式的柯西不等式【解析】（1）由a+b+c=2，得到8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca，利用基本不等式得以证明，（2）由（1）和基本不等式得到a2+b2+c2≥43，再根据a−a2=a(1−a)，0<a<1，得到a>a2，继而求出范围．【解答】（1）证明：∵a+b+c=2，∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4，∴ 2a 2+2b 2+2c 2+4ab +4bc +4ca =8∴ 8=2a 2+2b 2+2c 2+4ab +4bc +4ca ≥6ab +6abc +6ac ，当且仅当a =b =c 时取等号，∴ ab +bc +ac ≤43；（2）解：由（1）知，a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =4，∴ 4≤a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+b 2+c 2+a 2+c 2=3(a 2+b 2+c 2)，当且仅当a =b =c 时取等号， ∴ a 2+b 2+c 2≥43，∵ a −a 2=a(1−a)，0<a <1，∴ a >a 2， 同理b >b 2，c >c 2，∴ a 2+b 2+c 2<a +b +c =2， ∴ 43≤a 2+b 2+c 2<2，∴ a 2+b 2+c 2的取值范围为[43, 2)． 24.【答案】解：(1)因为函数f (x )的定义域为R ，即t +2|x +1|−|x −3|≥0恒成立， 所以t ≥−2|x +1|+|x −3|恒成立，y =−2|x +1|+|x −3|={x +5,x ≤−1,1−3x,2,−1<x <3,−x −5,x ≥3,可知当x =−1时，y =−2|x +1|+|x −3|有最大值4，即t ≥4． (2)由(1)知m =4，a 2+b 2+c 2=16， 由柯西不等式知：(1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3)×(a 2+1+b 2+2+c 2+3) ≥(1+1+1)2=9， 所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3≥922，当且仅当a 2=193，b 2=163，c 2=133时等号成立，所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值为922．【考点】绝对值不等式柯西不等式的几何意义【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)因为函数f (x )的定义域为R ，即t +2|x +1|−|x −3|≥0恒成立， 所以t ≥−2|x +1|+|x −3|恒成立，y =−2|x +1|+|x −3|={x +5,x ≤−1,1−3x,2,−1<x <3,−x −5,x ≥3,可知当x =−1时，y =−2|x +1|+|x −3|有最大值4，即t ≥4． (2)由(1)知m =4，a 2+b 2+c 2=16， 由柯西不等式知：(1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3)×(a 2+1+b 2+2+c 2+3) ≥(1+1+1)2=9， 所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3≥922，当且仅当a 2=193，b 2=163，c 2=133时等号成立，所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值为922．25.【答案】解：（1）由点P 在x 轴上，所以P(x, 0, 0)，又坐标满足|2x −5|≤3，所以−3≤2x −5≤3，… 解得1≤x ≤4，…所以点P 到原点O 的距离的最小值为1..…（2）由点P 到坐标原点O 的距离为2√3， 故x 2+y 2+z 2=12，…由柯西不等式，得(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)≥(x +y +z)2，… 即(x +y +z)2≤36，所以x +y +z 的最大值为6，当且仅当x =y =z =2时取最大．… 【考点】二维形式的柯西不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）利用绝对值不等式，求出x 的范围，即可求点P 到原点O 的距离的最小值； （2）点P 到坐标原点O 的距离为2√3，故x 2+y 2+z 2=12，由柯西不等式，得(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)≥(x +y +z)2，即可求x +y +z 的最大值． 【解答】 解：（1）由点P 在x 轴上，所以P(x, 0, 0)，又坐标满足|2x −5|≤3，所以−3≤2x −5≤3，… 解得1≤x ≤4，…所以点P 到原点O 的距离的最小值为1..…（2）由点P 到坐标原点O 的距离为2√3， 故x 2+y 2+z 2=12，…由柯西不等式，得(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)≥(x +y +z)2，… 即(x +y +z)2≤36，所以x +y +z 的最大值为6，当且仅当x =y =z =2时取最大．… 26. 【答案】解：根据基本不等式，1=a2+b2≥2|ab|，---------①1=c2+d2≥2|cd|，---------②将以上两式同向相乘得，1≥4|abcd|，所以，abcd∈[−14, 14 ]，故abcd的最大值为14．【考点】二维形式的柯西不等式基本不等式【解析】运用基本不等式，a2+b2≥2|ab|，c2+d2≥2|cd，再同向相乘即可求得最值．【解答】解：根据基本不等式，1=a2+b2≥2|ab|，---------①1=c2+d2≥2|cd|，---------②将以上两式同向相乘得，1≥4|abcd|，所以，abcd∈[−14, 14 ]，故abcd的最大值为14．27.【答案】解：由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2=[(a5+a6)−(a1+ a4)]2，∴[(a5+a6)−(a1+a4)]2≤8，∴(a5+a6)−(a1+a4)≤2√2，∴(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为2√2．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2，结合条件，即可得出结论．【解答】解：由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2=[(a5+a6)−(a1+ a4)]2，∴[(a5+a6)−(a1+a4)]2≤8，∴(a5+a6)−(a1+a4)≤2√2，∴(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为2√2．28. 【答案】解：令a 1=√3x ，a 2=√2y ，b 1=√3，b 2=√22代入柯西不等式(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)(b 12+b 22)得(2x +y)2≤(3x 2+2y 2)(43+12)≤6×116=11∴ −√11≤2x +y ≤√11∴ 2x +y 的最大值为√11． 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】令柯西不等式(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)(b 12+b 22)中的a 1=√3x ，a 2=√2y ，b 1=√3b 2=√22代入即可得出 【解答】解：令a 1=√3x ，a 2=√2y ，b 1=√3，b 2=√22代入柯西不等式(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)(b 12+b 22)得(2x +y)2≤(3x 2+2y 2)(43+12)≤6×116=11∴ −√11≤2x +y ≤√11∴ 2x +y 的最大值为√11． 29.【答案】证明：由柯西不等式，得(x 2+y 2)[12+(−2)2]≥(x −2y)2 即5(x 2+y 2)≥(x −2y)2=|x −2y|2 ∵ |x −2y|=5，∴ 5(x 2+y 2)≥25，化简得x 2+y 2≥5．当且仅当2x =−y 时，即x =−1，y =2时，x 2+y 2的最小值为5 ∴ 不等式x 2+y 2≥5成立． 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】根据柯西不等式，得5(x 2+y 2)≥|x −2y|2，结合已知等式|x −2y|=5，得x 2+y 2≥5，再利用不等式取等号的条件加以检验即可． 【解答】证明：由柯西不等式，得(x 2+y 2)[12+(−2)2]≥(x −2y)2 即5(x 2+y 2)≥(x −2y)2=|x −2y|2 ∵ |x −2y|=5，∴ 5(x 2+y 2)≥25，化简得x 2+y 2≥5．当且仅当2x =−y 时，即x =−1，y =2时，x 2+y 2的最小值为5 ∴ 不等式x 2+y 2≥5成立． 30. 【答案】解：∵ x ，y ，z 满足x −1=y+12=z−23，设x −1=y+12=z−23=k ，则有x =k +1、y =2k −1、z =3k +2，∴ x 2+y 2+z 2=(k +1)2+(2k −1)2+(3k +2)2=2(2k 2+5k +3)， 故当k =−54，即x =−14、y =−72、z =−74时，x 2+y 2+z 2取得最小值为−14．【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】 设x −1=y+12=z−23=k ，则有x 2+y 2+z 2=2(2k 2+5k +3)，再利用二次函数的性质求得x 2+y 2+z 2最小值，以及此时x ，y ，z 的值． 【解答】解：∵ x ，y ，z 满足x −1=y+12=z−23，设x −1=y+12=z−23=k ，则有x =k +1、y =2k −1、z =3k +2，∴ x 2+y 2+z 2=(k +1)2+(2k −1)2+(3k +2)2=2(2k 2+5k +3)， 故当k =−54，即x =−14、y =−72、z =−74时，x 2+y 2+z 2取得最小值为−14． 31.【答案】解：由题意，根据不等式右边a ，b ，c 的对等性可得 当且仅当a =b =c 时，取得最值， ∴ M ≥0，∴ 最小的实数M 是0． 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】由题意，根据不等式右边a ，b ，c 的对等性可得结论． 【解答】解：由题意，根据不等式右边a ，b ，c 的对等性可得 当且仅当a =b =c 时，取得最值， ∴ M ≥0，∴ 最小的实数M 是0． 32.【答案】证明：∵ a +b =1，∴ b =1−a ．∴ a 3+b 3+3ab =a 3+(1−a)3+3a(1−a)=a 3+1−3a +3a 2−a 3+3a −3a 2=1即a 3+b 3+3ab =1． 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】由a +b =1，可得b =1−a ，代入a 3+b 3+3ab ，化简即可得出结论． 【解答】证明：∵ a +b =1，∴ b =1−a ．∴ a 3+b 3+3ab =a 3+(1−a)3+3a(1−a)=a 3+1−3a +3a 2−a 3+3a −3a2=1即a3+b3+3ab=1．33.【答案】解：根据a≥0，b≥0，c≥0，a+b+c=1，y=a1+a2+b1+b2+c1+c2可知a，b，c可以轮换，所以当且仅当a=b=c=13时，函数取得最大值y max=3⋅131+19=910【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据条件，可知a，b，c可以轮换，所以当且仅当a=b=c=13时，函数取得最大值．【解答】解：根据a≥0，b≥0，c≥0，a+b+c=1，y=a1+a2+b1+b2+c1+c2可知a，b，c可以轮换，所以当且仅当a=b=c=13时，函数取得最大值y max=3⋅131+19=91034.【答案】解：∵x+y+z=4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32+2，根据柯西不等式，(x1x2+y1y2+z1z2)2≤(x12+y12+z12)•(x22+y22+z22)得，(4⋅x−14+√5⋅√5+2⋅z−32)2≤(16+5+4)•[(x−1)216+(y+2)25+(z−3)24]=25，所以，|4⋅x−14+√5⋅√52⋅z−32|≤5，即−5≤4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32≤5，因此，x+y+z∈[−3, 7]，故，x+y+z的最大值为7，最小值为−3．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】将式子x+y+z写成4⋅x−14+√5⋅√52⋅z−32+2的形式是解决本题的关键，再运用柯西不等式求该式的最大值和最小值．【解答】解：∵x+y+z=4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32+2，根据柯西不等式，(x1x2+y1y2+z1z2)2≤(x12+y12+z12)•(x22+y22+z22)得，(4⋅x−14+√5⋅√5+2⋅z−32)2≤(16+5+4)•[(x−1)216+(y+2)25+(z−3)24]=25，所以，|4⋅x−14+√5⋅52⋅z−32|≤5，即−5≤4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32≤5，因此，x+y+z∈[−3, 7]，故，x+y+z的最大值为7，最小值为−3．35.【答案】解：由题意，由柯西不等式得(√3x+6+√14−x)2=(√3×√x+2+1×√14−x)2≤(3+1)(x+2+14−x)=64所以√3x+6+√14−x≤8，当且仅当x=10时取“=”，∵存在实数x使√3x+6+√14−x>a成立∴a<8∴常数a的取值范围是(−∞, 8)．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用柯西不等式，求出左边对应函数的最大值，即可确定常数a的取值范围．【解答】解：由题意，由柯西不等式得(√3x+6+√14−x)2=(√3×√x+2+1×√14−x)2≤(3+1)(x+2+14−x)=64所以√3x+6+√14−x≤8，当且仅当x=10时取“=”，∵存在实数x使√3x+6+√14−x>a成立∴a<8∴常数a的取值范围是(−∞, 8)．36.【答案】解：∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，∴a+b=1−c，ab=12[(a+b)2−(a2+b2)]=c2−c，∵ab≤(a+b2)2，∴c2−c≤(1−c)24，∴−13≤c≤1，∴0≤1−c≤43，∴0≤a+b≤43，∴a+b的取值范围是[0, 43]．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用a+b+c=1，a2+b2+c2=1，可得a+b=1−c，ab=[(a+b)2−(a2+ b2)]=c2−c，结合基本不等式，求出c的范围，即可求出a+b的取值范围．【解答】解：∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，∴a+b=1−c，ab=12[(a+b)2−(a2+b2)]=c2−c，∵ab≤(a+b2)2，∴c2−c≤(1−c)24，∴−13≤c≤1，∴0≤1−c≤43，∴0≤a+b≤43，∴a+b的取值范围是[0, 43]．37.【答案】解：法1：∵2x+3y+4z=10，∴x=5−32y−2x．∴x2+y2+z2=(5−32y−2z)2+y2+z2=134y2+5z2+6zy−15y−20x+25=134y2+(6z−15)y+5z2−20z+25=134[y+2(6z−15)13]2+2913z2−8013z+10013=134(y+12z−3013)2+2913(z−4029)2+10029≥10029．法2：由柯西不等式可得，(2x+3y+4z)2≤(x2+y2+z2)(22+32+42)，由条件可得，x2+y2+z2≥10029．故最小值为10029．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】法1：本题可先利用三个变量x，y，z的关系消去一个变量，如消去x，得到两个变量y，z，再通过配方，利用完全平方非负，得到所求代数式的最小值．法2：利用柯西不等式进行求解．【解答】解：法1：∵2x+3y+4z=10，∴x=5−32y−2x．∴x2+y2+z2=(5−32y−2z)2+y2+z2=134y2+5z2+6zy−15y−20x+25=134y2+(6z−15)y+5z2−20z+25=134[y+2(6z−15)13]2+2913z2−8013z+10013=134(y+12z−3013)2+2913(z−4029)2+10029≥10029．法2：由柯西不等式可得，(2x+3y+4z)2≤(x2+y2+z2)(22+32+42)，由条件可得，x2+y2+z2≥10029．故最小值为10029．38.【答案】证明：作边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取：QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c．显然有S△LRM+S△MPN+S△NQL<S△PQB，即12aB sin60∘+12bC sin60∘+12cA sin60∘<12k2sin60∘，∴aB+bC+cA<k2．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】作边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取：QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c．显然有S△LRM+S△MPN+S△NQL<S△PQB，即可证明结论．【解答】证明：作边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取：QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c．显然有S△LRM+S△MPN+S△NQL<S△PQB，即12aB sin60∘+12bC sin60∘+12cA sin60∘<12k2sin60∘，∴aB+bC+cA<k2．39.【答案】证明：因为a2+b2≥2ab，所以2=a12+a22+...+a n2+x12+x22+...+x n2=(a12+ x12)+...+(a n2+x n2)≥2a1x1+...+2a n x n=2(a1x1+...+a n x n)，即a1x1+a2x2+...+a n x n≤1．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用不等式的性质a2+b2≥2ab，即可证明．【解答】证明：因为a2+b2≥2ab，所以2=a12+a22+...+a n2+x12+x22+...+x n2=(a12+ x12)+...+(a n2+x n2)≥2a1x1+...+2a n x n=2(a1x1+...+a n x n)，即a1x1+a2x2+...+a n x n≤1．40.【答案】解：（1）∵a，b，c∈N+，且abc(a+b+c)=1，∴c2+c(a+b)=1ab∴S=(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c2=ab+1ab ≥2√ab⋅1ab=2当且仅当ab=1ab，即ab=1时取等号∴S min=2；（2）由（1）知1=abc(a+b+c)=c(a+1a +c)=c2+c(a+1a)≥c2+2c∴c2+2c−1≤0∵c>0∴0<c≤√2−1∴c的最大值为√2−1．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】（1）由已知整理可得，c2+c(a+b)=1ab，然后利用基本不等式可求S的最小值及满足的条件：ab=1，（2）由1=abc(a+b+c)=c(a+1a +c)=c2+c(a+1a)≥c2+2c，从而可得关于c的不等式，解不等式可求c的范围，即可求出c的最大值．【解答】解：（1）∵a，b，c∈N+，且abc(a+b+c)=1，∴c2+c(a+b)=1ab∴S=(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c2=ab+1ab ≥2√ab⋅1ab=2当且仅当ab=1ab，即ab=1时取等号∴S min=2；（2）由（1）知1=abc(a+b+c)=c(a+1a +c)=c2+c(a+1a)≥c2+2c∴c2+2c−1≤0∵c>0∴0<c≤√2−1∴c的最大值为√2−1．。

第三讲 柯西不等式与排序不等式
一 二维形式的柯西不等式
整理ppt
[A 基础达标] 1．二维形式的柯西不等式可用下列式子表示的为( ) A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R) B．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋cd)2(a，b，c，d∈R) C．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) D．(a2＋b2)(c2＋d2)≤(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) 解析：选 C.二维形式的柯西不等式为(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋ bd)2.故选 C.
2 ． 函 数 f(x) ＝ x2－8x＋20 － x2－6x＋10 的 最 大 值 是 ________．
解析：f(x)＝ （x－4）2＋22－ （x－3）2＋12. 令 a＝(x－4，2)，b＝(x－3，1)，则 f(x)＝|a|－|b|≤|a－b|＝
[（x－4）－（x－3）]2＋（2－1）2＝ 2. 当且仅当 a∥b， 即 2x－6＝x－4，x＝2 时，等号成立． 所以 f(x)max＝f(2)＝ 2. 答案： 2
≥12· x·
4x＋ y·
92 y
＝12×(2＋3)2＝225，
即(x＋y)min＝225.
5．已知 a 1－b2＋b 1－a2＝1，则以下成立的是( )
A．a2＋b2＞1
B．a2＋b2＝1
C．a2＋b2＜1
D．a2b2＝1
解析：选 B.由柯西不等式，
得 1＝a 1－b2＋b 1－a2≤[a2＋(1－a2)][(1－b2)＋b2]＝1，
8．若函数 y＝a x＋1＋ 6－4x的最大值为 2 5，则正数 a 的
值为________．
解析：(a x＋1＋ 6－4x)2＝a x＋1＋2

一、二维形式的柯西不等式 二、二维形式的柯西不等式的变式 三、二维形式的柯西不等式的向量形式借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。

基本方法 （1）巧拆常数：例1：设a 、b 、c 为正数且各不相等。

求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 （2）重新安排某些项的次序：例2：a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ （3）改变结构：例3、若a >b >c 求证：ca cb b a -≥-+-411 （4）添项：例4：+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a 【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a，则b a ⋅之最小值为________；此时=b ________。

答案：-18; )4,2,4(-- 解析：b a b a ≤⋅ ∴18≤⋅b a∴1818≤⋅≤-b ab a⋅之最小值为-18，此时)4,2,4(2--=-=a b 【2】 设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若x 2 + y 2 + z 2= 16，则a b 的最大值为 。

【解】∵ a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z) ∴ a ．b= x - 2z由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x 2 + y 2 + z 2) ≥ (x + 0 - 2z)2⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z)2 ⇒ - 45≤ x ≤ 45⇒ - 45≤ a ．b ≤ 45，故a ．b的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a =，(,,)b x y z =，已知56b =，则(1)a b ⋅的最大值为多少？(2)此时b =？ Ans ：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。

高一数学柯西不等式试题1.若a＜b＜c，x＜y＜z，则下列各式中值最大的一个是（）A．ax+cy+bz B．bx+ay+czC．bx+cy+az D．ax+by+cz【答案】D【解析】根据条件：a＜b＜c，x＜y＜z，结合排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和，即可得出同序和ax+by+cz最大．解：∵a＜b＜c，x＜y＜z，排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和，得：同序和ax+by+cz最大．故选D．点评：本题主要考查了不等关系与不等式、排序不等式等基本知识，解答关键是利用不等关系与不等式的性质：反序和≤乱序和≤同序和．2.已知n个正整数的和是1000，求这些正整数的乘积的最大值．【答案】22×3332．【解析】n个正整数x1，x2，x3，…，xn中，不可能有大于或等于5的数，也不可能有三个或三个以上的2，因此n个数的最大积只可能是由332个3及2个2的积组成．解：n个正整数x1，x2，x3，…，xn满足x1+x2+x3+…+xn=1000，x 1，x2，x3，…，xn中，不可能有大于或等于5的数，这是因为5＜2×3，6＜3×3，…也不可能有三个或三个以上的2，这是因为三个2的积小于两个3的积，因此n个数的最大积只可能是由332个3及2个2的积组成，最大值为22×3332．点评：本题考查正整数的乘积的最大值的求法，是中档题，解题时要注意排序不等式的合理运用．3.设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc．【答案】见解析【解析】由排序原理：顺序和≥反序和，结合基本不等式，即可得到结论．证明：不妨设a≥b≥c＞0，∴a2≥b2≥c2，由排序原理：顺序和≥反序和，得：a3+b3≥a2b+b2a，b3+c3≥b2c+c2b，c3+a3≥a2c+c2a三式相加得2（a3+b3+c3）≥a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）．又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca．所以2（a3+b3+c3）≥6abc，∴a3+b3+c3≥3abc．当且仅当a=b=c时，等号成立．点评：本题考查排序原理：顺序和≥反序和，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4.函数（）A．6B．2C．5D．2【答案】D【解析】函数可化为=，利用柯西不等式，即可求得最大值．解：由柯西不等式可得=≤=2当且仅当，即x=时，函数取得最大值2故选D．点评：本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，考查计算能力，属于中档题．5.（2014•湖北模拟）设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】运用柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，当且仅当等号成立．解：∵x、y、z是正数，x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，∴（22+22+12）（x2+4y2+9z2）=9×4≥（2x+4y+3z）2=36，∴可设，（k为常数），代入2x+4y+3z=6，得k=，∴x+y+z==．故选A．点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．6.二维形式的柯西不等式可用（）表示．A．a2+b2≥2ab（a，b∈R）B．（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2（a，b，c，d∈R）C．（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）D．（a2+b2）（c2+d2）≤（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）【答案】C【解析】二维形式的柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d∈R 均为实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2其中等号当且仅当ad=bc时成立．解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2故选C点评：本小题主要考查二维形式的柯西不等式等基础知识．属于基础题．7.设a，b∈R+，a+b=1，则+的最小值为（）A．2+B．2C．3D．【答案】D【解析】利用二维形式的柯西不等式求得的最小值为10，可得+的最小值．解：∵a，b∈R+，a+b=1，∴a2+b2=1﹣2ab，又∵=a2+b2+5+2≥6﹣2ab+2=6﹣2ab+2（ab+2）=10，∴+≥，当且仅当=时，等号成立，故+的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题．8.（2014•长安区三模）己知x，y∈（0，+∞），若+3＜k恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．【答案】k＞．【解析】由柯西不等式可得（+3）2≤（x+y）（1+9），即+3＜10结合条件，即可得出结论．解：由柯西不等式可得（+3）2≤（x+y）（1+9），∴+3＜10∵+3＜k恒成立，∴k＞．故答案为：k＞．点评：本题考查柯西不等式，考查学生的计算能力，正确运用柯西不等式是关键．9.（2014•陕西模拟）函数的最大值是．【答案】10．【解析】由函数的特点，利用柯西不等式，即可得到结论．解：由于．当且仅当即时等号成立．故函数的最大值是 10．故答案为：10．点评：本题考查了柯西不等式求函数最值，关键是对所给函数解析式灵活变形，再应用柯西不等式，此类型是函数中两个根式变量的系数不互为相反数（互为相反数时可用基本不等式），但是符号相反，注意先求函数的定义域，验证等号成立的条件．10.（2014•黄冈模拟）设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则++c的最大值是，此时a+b+c= ．【答案】．【解析】由条件利用柯西不等式求得++c的最大值、以及此时对应的a+b+c的值．解：∵a、b、c为正数，a+b+9c2=1，由柯西不等式可得≤[++（3c）2]•[12+12+]=1×=，∴++c的最大值是=，此时，且a+b+9c2=1，即 a=b=，c=时，取等号，故此时，a+b+c=++=，故答案为：．点评：本题考查了柯西不等式的应用，考查了变形能力和计算能力，属于中档题。

柯西不等式习题及解析一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++ 二、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈ bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤题型参考：例1：设a 、b 、c 为正数且各不相等。

求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 （2）重新安排某些项的次序：例2：a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ （3）改变结构：例3、若a >b >c 求证：ca cb b a -≥-+-411 （4）添项：例4：+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a 【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a，则b a ⋅之最小值为________；此时=b ________。

答案：-18; )4,2,4(-- 解析：b a b a ≤⋅ ∴18≤⋅b a∴1818≤⋅≤-b ab a⋅之最小值为-18，此时)4,2,4(2--=-=a b 【2】 设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若x 2 + y 2 + z 2= 16，则a b 的最大值为 。

【解】∵ a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z) ∴ a ．b= x - 2z 由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x 2 + y 2 + z 2) ≥ (x + 0 - 2z)2⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z)2 ⇒ - 45≤ x ≤ 45⇒ - 45≤ a ．b ≤ 45，故a ．b的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a =，(,,)b x y z =，已知56b =，则(1)a b ⋅的最大值为多少？(2)此时b =？ Ans ：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。

柯西不等式试题一、选择题(本大题共 4 小题 )1. 设 a ， b ， c ∈ R ＋，且 a ＋ b ＋ c ＝ 1，则 a ＋ b ＋ c 的最大值是 ()A ． 1B ． 3C ．3D ． 92 2 2 2 2 22.已知 a 12＋a 22＋⋯＋ a n 2＝ 1， x 21＋ x 22＋⋯＋ x 2n ＝ 1，则 a 1x 1＋a 2x 2＋⋯＋ a n x n 的最大值为 ( )A ．1B ．2C ．－ 1D ．不确定3. 若实数 a ，b ， c 均大于 0，且 a ＋ b ＋c ＝ 3，则 a 2＋b 2＋c 2的最小值为( ) A ． 3B ． 1C ． 33D ． 31 4 94. 已知 x ，y ， z 均大于 0，且 x ＋y ＋z ＝1. 则 ＋ ＋ 的最小值为 ( ) xyzA ． 24B ． 30C ．36D ． 48二、填空题(本大题共 2 小题 )2 2 25. (2013·湖南高考 ) 已知 a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则 a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为．2 2 2 2 2 2a ＋b ＋ c6.设 a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数， 且 a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则x ＋y ＋z x ＋ y ＋ z三、解答题(本大题共 4 小题 )7. 已知实数 x ，y ，z 满足 x ＋2y ＋ z ＝1，求 t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值．8.已知 f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且 a ＋ b ＋ c ＝ 1，求证：对于任何正数 x 1， x 2， 当 x 1·x 2＝1 时，必有 f (x 1)·f (x 2)≥1.9.求实数 x ，y 的值使得 (y －1)2＋(x ＋y －2)2＋(2x ＋y －6) 2取到最小值．10. △ABC 的三边长 a ，b ， c ，其外接圆半径为 R .求证： 222(a 2＋ b 2＋ c 2)(111 sin 2A ＋ sin 2B ＋ sin 2C )≥36R 2.0.柯西不等式试题答案解析一、选择题1.【解析】 由柯西不等式得 ［（ a ） 2＋（ b ）2＋（ c ） 2］（1 2＋12＋12）≥（ a ＋ b ＋c ）2，∴（ a ＋ b ＋ c ）2≤3×1＝ 3.1 当且仅当 a ＝b ＝c ＝ 3时等号成立． 3∴ a ＋ b ＋ c 的最大值为 3. 故选 B. 【答案】 B2 2 2 2 2 2 22.【解析】 ∵（ a 1x 1＋a 2x 2＋⋯＋ a n x n ）2≤（a 21＋a 22＋⋯＋ a 2n ）（ x 12＋x 22＋⋯＋x n 2）＝1×1＝1.当且仅当 a i ＝x i ＝ n n （ i ＝1,2 ，⋯， n ）时等号成立．∴ a 1x 1＋ a 2 x 2＋⋯＋ a n x n 的最大值是 1. 故选 A ． 【答案】 A3. 【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝1·a ＋1·b ＋1·c ，且 a ，b ，c 大于 0.由柯西不等式，（1 · a ＋1· b ＋1· c ） 2≤（12＋12＋12）（ a 2＋b 2＋c 2） ∴a 2＋b 2＋c 2≥3，当且仅当 a ＝b ＝c ＝1 时等号成立． ∴ a 2＋ b 2＋ c 2的最小值为 3. 【答案】 D1494. 【解析】 （x ＋ y ＋ z ）（ ＋ ＋ ） xyz≥（ x · 1x ＋ y ·149 ∴ ＋ ＋ ≥36.x y z【答案】 C二、填空题5. 【解析】 ∵ a ＋2b ＋ 3c ＝6，∴ 1× a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ∴（a 2＋4b 2＋9c 2）（1 2＋ 12＋ 12） ≥（a ＋2b ＋ 3c ） 2，即 a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当 ＝ ＝ ，即 a 2b 3c2a ＝2，b ＝1，c ＝3时取等号．【答案】 126. 【解析】 由柯西不等式知： 25×36＝ （a 2＋b 2＋c 2）（ x 2＋y 2＋z 2）≥（ax ＋by ＋cz ） 2＝302＝25×36，2 3 2 y ＋ z · z ) ＝36.abc当且仅当 ＝ ＝ ＝k 时取“＝”． xyz2 2 2 2 25由 k 2（ x 2＋y 2＋ z 2） 2＝25×36，解得 k ＝6.答案】 56三、解答题7. 【解】 由柯西不等式得（x 2＋4y 2＋z 2）（1 ＋ 1＋1）≥（x ＋2y ＋z ） 2，∵x ＋2y ＋z ＝ 1，2 2 2 2 2 21∴ 3（ x 2＋ 4y 2＋ z 2） ≥1，即 x 2＋4y 2＋z 2≥3.31 1 1 1 当且仅当 x ＝2y ＝z ＝3，即 x ＝3，y ＝ 6， z ＝ 3时等 号成立．1故 x 2＋4y 2＋ z 2 的最小值为 3.28.【证明】 由于 f （x ） ＝ ax 2＋bx ＋ c . 且 a ，b ， c 大于 0.22∴ f （ x 1） · f （ x 2） ＝ （ ax 12＋ bx 1＋ c ）（ ax 22＋ bx 2＋ c ）≥（ ax 1· ax 2＋ bx 1· bx 2＋c ） 2 ＝ （ ax 1x 2＋ b x 1x 2＋c ） 2 ＝［f （ x 1x 2）］ 2＝［f （1）］ 2. 又 f （1） ＝ a ＋ b ＋ c ， 且 a ＋b ＋ c ＝1， ∴f （x 1）·f （x 2）≥1.9.【解】 由柯西不等式，得2 2 2 2 2 2（12＋22＋12）×［（ y －1）2＋（2－x －y ）2＋（2x ＋y －6） 2］2 ≥［1×（y －1）＋2×（2－x －y ）＋1×（2 x ＋y －6）］ 2＝9，32 2 2即（y －1） 2＋（x ＋y －2） 2＋（2x ＋y －6）2≥2， 当且仅当 y －11＝2－x 2－y ＝2x ＋1y －6， 即 x ＝25， y ＝12时，上式取等号所以a ＋ b＋ cx ＋ y ＋z10.5 12 2 2∴当x＝2，y＝2时（y－1）2＋（x＋y－2）2＋（2 x＋证明】由三角形中的正弦定理得：a 1 4R2sin A＝，所以 2 ＝ 2 ，2R sin A a1 4R2 1 4R2同理 2 ＝ 2 ， 2 ＝ 2 ，sin B b sin C c于是由柯西不等式可得4R2 4R2 4R22 ＋2）左边＝（a2＋b2＋c2）（a2＋ 2 ＋bc2R 2Ra· a＋b· b＋c·2R 2 2c) 2＝∴原不等式得证．。