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（完整版）柯西不等式练习题.docx柯西不等式练习题1.(09 绍兴二模 )设x, y, z R, x2y2z2 1 。
（1）求x y z的最大值；（ 2）求x y 的取值范围。
2.（09 宁波十校联考）已知x, y, z (0,) ，且 x y z 11925，求y的最小值。
x z3.（09 温州二模）已知x, y, z R ，且z y z 1。
（1）若2x23y26z21，求x, y, z的值；（2）若2x23y 2tz 2 1 恒成立，求正数t 的取值范围。
4、（ 09 嘉兴二模）设x, y, z R ，且 x2y 3z 1。
（1）求证：| x y z || y z || z |1；（2）求u (x1)2( y2)2( z3)2的最小值。
5.（09 诸暨模考）已知x, y, z 都是正数，且x 2 y3z 6 ；（1）求证：x2y2z218；（2）问123有最大值还是最小值？并求这个最值。
7x y z6.（093x 5 。
宁波一模）已知2求证：4x 42x 315 3x78 。
7（09 舟山一模）已知a, b, c, d 满足 a b c d 3,a22b23c26d 2x 。
（1）求证：当a 0时，x 9。
（2）当x 5时，求实数a的最值。
8.（09 稽阳联考）（ 1）已知正数x, y, z 满足x y z 1，求x2y2z2的最小值。
1 z 1 x 1 yx y z，求 t 的最大值。
9．已知t2y2x24z210.(09 金丽衢十二校第一次联考)已知 3x 4y 4z 1，求 x2y2z2的最小值。
11（ 09 浙江五校联考）（1）求函数f (x)38(x R)的最小值。
2sin 2 x 13cos2 x 212、（ 09湖州一模）已知 a, b,c R ，且a b c 1 。
（1）求1 1 + 1的最小值；（ 2）求证 :a2b2c21.a b c1a 1 b 1 c413、（ 09 杭州一模）已知x, y, z是正数，且满足条件x y z3 xyz（1）求x y z的最小值；（ 2）若xyz 3，且x22y 2z2 1 ，求 x 的取值范围。
柯西不等式高考题精选1.（2013 年湖北）设 x.zeR,且满足：/ + / + 22=1, x + 2y+ 3z = V14,则x+y + z=.【答案】半2.（2013年陕西）已知a, b,叫,n均为正数，且a+b=1,mn=2,则（am+bn）（bm+an）的最小值为.【答案】2 f (x) = x + 11 + lx —2 | 的最小值为 a.3. [2014 •福建] 已知定义在R上的函数（1）求a的值；⑵若p, q, r是正实数，且满足p + q + r = a, 求证:p2+q:+r2^3.解：(1)因为|x+l + |x—2| | (x+1) — (x—2) |=3, 当且仅当一l〈x<2时，等号成立, 所以f(x)的最小值等于3,即a=3.⑵由⑴知p + q + r = 3,又p, q, r是正实数，所以(p' + q~ + r')(l-+l'+l/)2(pXl + qXl+rXl)'=(p + q + r)2=9,即 E+/+/23.4.[2014 •陕西]A.(不等式选做题)设a, b, m, n£R,且£ +b' = 5, ma + nb = 5,则+ 的最小值为.【答案】m5.[2014 •浙江](1)解不等式 2|x—2| — x+l|>3；(2)设正数 a, b, c 满足 abc=a + b + c, 求证：ab + 4bc + 9ac236,并给出等号成立条件. 解：(1)当 xW —1 时，2(2—x) + (x + 1) >3, 得xV2,此时x 〈一l ；当一lVx<2 时，2(2—x) — (x + 1) >3,得 xVO,此时 -l<x<0； 当 x>2 时，2(x — 2) — (x+l)>3,得 x>8,此时 x 〉8.综上所述，原不等式的解集是(-8, O)U (8, +8).(2)证明：由abc = a + b + c,得々+*+,=1.由柯西不等式， ab be caz 、得(ab + 4bc + 9ac) ~--F~ F — 2 (1 + 2 + 3)、[ab be ca ；所以ab + 4bc + 9ac236,当且仅当a = 2, b = 3, c = l 时，等号 成立.6.12015福建】已知〃>0*>0,0 0,函数/0)=1%+。
新课标数学选修4-5柯西不等式一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++ 二、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈ bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαββαβαk k =≤⋅借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。
【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a⋅之最小值为________；此时=b ________。
答案：-18; )4,2,4(-- 解析：b a b a ≤⋅ ∴18≤⋅b a ∴1818≤⋅≤-b a b a ⋅之最小值为-18，此时)4,2,4(2--=-=a b【2】 设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若x 2 + y 2 + z 2 = 16，则a b的最大值为 。
【解】∵ a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z) ∴ a．b = x - 2z 由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x 2 + y 2 + z 2) ≥ (x + 0 - 2z)2 ⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z)2 ⇒ - 45≤ x ≤ 45⇒ - 45≤ a ．b ≤ 45，故a ．b 的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a =，(,,)b x y z =，已知56b =，则(1)a b ⋅的最大值为多少？(2)此时b =？ 答案：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
课时跟踪检测（九） 二维形式的柯西不等式1.已知a , b € R +且a + b = 1,贝U P = （ax + by ）与Q = ax + by 的大小关系是（） A . P W QB . P v QC . P >QD . P >Q解析：选 A 设 m = f ax , by), n = ( a , b),则 |ax + by| = |m ・n|w |m||n| = ax 2+ .by 2 - a 2+ b 2 = ax 2 + by 2 • a + b = ax 2 + by 2,/• (ax + by)2< ax 2+ by 2,即 P W Q.2.若a , b € R ，且a 2 + b 2= 10,则a - b 的取值范围是() A. [- 2 5, 2 .5 ]B. [-2 10, 2 10 ]C. [— 10, 一10 ]D. (— 5, 5)解析：选 A (a 2 + b 2)[i 2 + (— I)2] > (a — b)2,•/ a 2 + b 2= 10,•••(a — b)2w 20.— 2-.;5W a — b w 2 j'5.3. 已知x + y = 1，那么2x 2 + 3,的最小值是( )5 6A ・6解析：选 B (2x 2+ 3y 2)[( 3)2+ ( 2)勺》(石x + 6y)2= [ 6(x + y)]2= 6,3 2当且仅当x = 5, y =；时取等号,即 2x 2 + 3y 2> 65 故2x 2 + 3y 2的最小值为6. 54.函数y = x — 5+ 2 6 — x 的最大值是（ ）A. 3B. 5C . 3D . 5解析：选B 根据柯西不等式，知 25 D. 3625y= 1 x p—5 + 2 x p 6 —xW p 12+ 22X 寸 & x - 5 )2+ (寸6 - x f =屁当且仅当x = 时取等号. 5答案:6. ______________________________________________ 设a = (-2,1,2), |b|= 6，贝U a b 的最小值为 __________________________________ ，此时b =解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a b|w |a| |b|,•••|a b|w — 2 2+ 12+ 22X 6= 18,当且仅当存在实数 k ，使a = kb 时，等号成立. •••— 18W a b w 18,• a b 的最小值为一18,此时 b = — 2a = (4, — 2,— 4).答案：—18 (4,— 2,— 4)7. _______________________________________________________ 设实数x ,y 满足3x 2 + 2y 2w 6，贝V P = 2x + y 的最大值为 ____________________答案：，111 18. 已知 x , y € R +,且 x + y = 2.求证：j + 寸 2. 证明：x + > 如+ y )1+y =2［兩2+兩儿術+約 A 2 x - ：+ y ；2=2当且仅当 y x时等号成立，此时 x = 1, y = 1.x + y = 2 5•设 解析:xy>0,则x 2 +》y + X 2的最小值为 原式=0飢前y 2 l>x £+ y y 2= 9,当且仅当xy=^时取等号. 解由柯西不等式得(2x + y)2< [( .3X )2+ ( 2y)2] 1 W 6X £= 11122 = (3X 2+ 2y 2) 当且仅当4 心而，y = 希j 时取等号，故 P = 2x + y 的最大值为QU . +1 1所以1+ 1A 2.x y9. 若x2+ 4y2= 5,求x+ y的最大值及此时x, y的值. 解：由柯西不等式得[x 2+ (2y )2] 12+ j2) l> (x + y)2, 即(x + y)2w 5 x 5 = 25, x + y w 2.当且仅当x =孕，即x = 4y 时取等号. 1 12x 2+ 4y 2= 5,x = 2， x =- 2， 由4得S 1 或S 1 (舍去). lx =4y , y =2[y =- 2 5••• x + y 的最大值为5，1此时 x = 2, y =-.10.求函数f(x)= 3cosx + 4 1 + sin 2x 的最大值，并求出相应的 x 的值. 解：设 m = (3,4), n = (cosx , 1 + sin 2x), 则 f(x) = 3cosx + 4 \/1 + sin 2x =|m n|< |m| |n|= co$x + 1 + sin 2x • 32 + 42 =5 2,当且仅当m// n 时，上式取"=”. 此时，3 岑 1 + sin 2x - 4cos x = 0.f(x)= 3cos x + 4 , 1 + sin 2x 取最大值 5 . 2. 解得sin x = cosx = 3 *2 5 故当 sin x ^-7, 5 cosx =勒2 时. 5。
完整版)柯西不等式练习题1.(09绍兴二模) 设 $x,y,z \in \mathbb{R}$，$x+y+z=1$。
1) 求 $x+y+z$ 的最大值；2) 求 $x+y$ 的取值范围。
2.(09XXX联考) 已知 $x,y,z \in (0,+\infty)$，且 $x+y+z=1$，求3.(09温州二模) 已知 $x,y,z \in \mathbb{R}$，且$z+y+z=1$。
1) 若 $2x+3y+6z=1$，求 $x,y,z$ 的值；2) 若 $2x+3y+tz \ge 1$ 恒成立，求正数 $t$ 的取值范围。
4.(09嘉兴二模) 设 $x,y,z \in \mathbb{R}$，且$x+2y+3z=1$。
1) 求证：$|x+y+z|+|y+z|+|z| \ge 1$；2) 求 $u=(x-1)+(y-2)+(z-3)$ 的最小值。
5.(09诸暨模考) 已知$x,y,z$ 都是正数，且$x+2y+3z=6$；1) 求证：$x+y+z \ge 2$；2) 问 $xyz$ 有最大值还是最小值？并求这个最值。
6.求证：$4x+4+2x-3+15-3x<78$，其中 $3 \le x \le 5$。
7.(09舟山一模) 已知 $a,b,c,d$ 满足 $a+b+c+d=3$，$a+2b+3c+6d=x$。
1) 求证：当 $a=0$ 时，$x \ge 9$；2) 当 $x=5$ 时，求实数 $a$ 的最值。
8.(09稽阳联考) 已知正数 $x,y,z$ 满足 $x+y+z=1$，求$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$ 的最小值。
9.已知 $t=\frac{x+y+z}{x+2y+4z}$，求 $t$ 的最大值，其中 $x,y,z$ 满足 $x+2y+3z=222$。
10.已知 $3x+4y+4z=1$，求 $x+y+z$ 的最小值。
11.(09浙江五校联考) 求函数 $f(x)=\frac{3\sinx+2\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}$ $(x \in\mathbb{R})$ 的最小值。
高二数学柯西不等式试题1.设正数,(1)满足，求证：；(2)若，求的最小值。
【答案】（1）不等式的证明，可以运用均值不等式来得到证明。
（2）根据均值不等式的一正二定三相等来求解最值。
【解析】⑴证明：（利用柯西不等式）⑵根据题意，由于，那么，在可以根据均值不等式同时取得等号得到其最小值为【考点】均值不等式点评：主要是考查了不等式的证明以及最值的求解，属于中档题。
2.若0＜x1＜x2, 0＜y1＜y2，且x1＋x2=y1＋y2=1，则下列代数式中值最大的是（）A．x1y1＋x2y2B．x1x2＋y1y2C．x1y2＋x2y1D．【答案】A【解析】依题意取x1=，x2=，y1=，y2=。
计算x1y1＋x2y2=，x1x2＋y1y2=，x 1y2＋x2y1=，故选A。
【考点】本题主要考查不等式的性质，选择题的灵活解法。
点评：简单题，本题可利用“特殊值法”解答，体现选择题解法的灵活性。
3.（本题12分）已知实数a,b,c,d满足a＋b＋c＋d=3，a2＋2b2＋3c2＋6d2=5，求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）应用柯西不等式，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得（3－a）2＜5－a2，推出。
【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）由（Ⅰ）得（3－a）2＜5－a2【考点】本题主要考查柯西不等式的应用，不等式的证明。
点评：中档题，关键是根据已知条件，构造柯西不等式，对考查考生创新思维，有较好的作用。
4.（本小题满分13分）已知实数满足，且的最大值是7，求的值．【答案】.【解析】本题是考查柯西不等式的应用.根据柯西不等式：,可得出的最大值,从而可根据最大值为7,建立关于a的方程解出a值.解：由柯西不等式：. …………………6分因为所以，即. ……………………9分因为的最大值是7,所以，得，……………………10分当时，取最大值，所以.…………………13分5.观察下列式子, ….则可归纳出.【答案】(n∈N*)【解析】解：因为观察下列式子, ….则可归纳出(n∈N*)成立。
高中数学一二维形式的柯西不等式试题2019.091,某单位为了了解用电量y 度与气温C x 0之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(0C)18 13 10 -1 用电量(度)24 34 38 64 由表中数据得线性回归方程a bx yˆ+=中2b -=，预测当气温为04C - 时，用电量的度数约为________.2,设方程2ln 72x x =-的解为0x ,则关于x 的不等式02x x -<的最大整数解为________3,对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的数据.观测次数i 1 2 3 4 5 6 7 8观测数据i a40 41 43 43 44 46 47 48 在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a是这8个数据的平均数),则输出的S 的值是________4,设P 为曲线2:1C y x x =-+上一点,曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[1,3]-,则点P 纵坐标的取值范围是________5,已知{}n a 是等比数列,242,8a a ==,则1223341n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=________6,在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线xy k =（0k >）上任意一点P ,若点P 在x 轴、y 轴上的射影分别为M 、N ，则PM P N ⋅必为定值k ”.类比于此，对于双曲线22221x y a b -=（0a >,0b >）上任意一点P ,类似的命题为:________.7,现有下列命题:①命题“2,10x R x x ∃∈++=”的否定是“2,10x R x x ∃∈++≠”；② 若{}|0A x x =>,{}|1B x x =≤-,则()A B R ð=A ；③函数()sin()(0)f x x ωφω=+>是偶函数的充要条件是()2k k Z πφπ=+∈；④若非零向量,a b 满足||||||a b a b ==-,则()b a b -与的夹角为 60º.其中正确命题的序号有________.(写出所有你认为真命题的序号)8,设,A F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点与右焦点,若在其右准线上存在点P ,使得线段PA 的垂直平分线恰好经过点F ,则椭圆的离心率的取值范围是________ 9,若关于x 的不等式22x x t<--至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是________ 10,已知在ABC ∆中,cos A =,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边.(Ⅰ)求tan 2A ；(Ⅱ)若sin()2B π+=,c =求ABC ∆的面积. 11,已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.12,已知函数2()(33)xf x x x e =-+⋅定义域为[]t ,2-(2t >-),设n t f m f ==-)(,)2(.(Ⅰ)试确定t 的取值范围,使得函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数；(Ⅱ)求证:n m >；(Ⅲ)求证:对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3xf x t e =-,并确定这样的0x 的个数13,在正项数列{}n a 中,令1nn i S ==.（Ⅰ）若{}n a 是首项为25,公差为2的等差数列,求100S ；（Ⅱ）若n S =（p 为正常数）对正整数n 恒成立,求证{}n a 为等差数列；（Ⅲ）给定正整数k ,正实数M ,对于满足2211k a a M ++≤的所有等差数列{}n a ,求1221k k k T a a a +++=++⋅⋅⋅+的最大值.14,袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为27.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的取球次数． (Ⅰ)求袋中原有白球的个数；(Ⅱ)求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ； (Ⅲ)求甲取到白球的概率．15,复数1i -的虚部是（ ） A ．i - B ．1C ．1-D ． i16,下列四个命题中，不正确的是（ ）A ．若函数()f x 在0x x =处连续，则00lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→=B ．111lim12x x →=-C ．函数()f x =239x x +-的不连续点是x =3和x =－3D ．若函数()f x 、()g x 满足lim[()()]0x f x g x →∞-=，则lim ()lim ()x x f x g x →∞→∞=17,函数213(10)x y x -=-≤<的反函数是（ ）A ．1)3y x =≥ B ．1(1)3y x =<≤C ．1(1)3y x =<≤D ．1)3y x =≥18,连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．712B ．12C ．512D ．5619,如果消息A 发生的概率为()P A ，那么消息A 所含的信息量为()()21log I A P A =。
若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是（ ）A ．王教授在第4排B ．王教授在第4排第5列C ．王教授在第5列D ．王教授在某一排20,将数字3，4，5，6，7排成一行，使得相邻两个数都互质，则可能的排列方法共有（ ）A ．30种B ．48种C ．42种D ．36种试题答案1, 68 2, 4 3, 74, 3[,3]4 5, 2(14)3n ±-6, 若点P 在两渐近线上的射影分别为M 、N ，则PM P N ⋅必为定值2222a b a b +7, ②③8, 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 9, 9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭10, 解: (Ⅰ)因为cos 3A =,∴sin 3A =,则tan 2A =22tan tan 21tan AA A ==- (Ⅱ)由sin()23B π+=,得cos 3B =,1sin 3B =sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=由正弦定理,得sin 2sin c Aa C ==,∴ABC ∆的面积为1sin 23S ac B ==11, 解:(Ⅰ)设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得00a b =⎧⎨=⎩则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=(Ⅱ)设(,)Q x y ,则222x y +=,且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++ =224x y x y +++-=2x y +-,所以PQ MQ ⋅的最小值为4-(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-,:1(1)PB y k x -=--,由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--=因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k --=+同理,22211B k k x k +-=+,所以(1)(1)1B A B ABAB B A B A B Ay y k x k x k k x xk x x x x x x ------+====---=OP k所以,直线AB 和OP 一定平行12, (Ⅰ)解:因为2()(33)(23)(1)x x xf x x x e x e x x e '=-+⋅+-⋅=-⋅由()010f x x x '>⇒><或；由()001f x x '<⇒<<,所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减欲)(x f 在[]t ,2-上为单调函数,则20t -<≤(Ⅱ)证:因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减,所以()f x 在1x =处取得极小值e又213(2)f e e -=<,所以()f x 在[)2,-+∞上的最小值为(2)f -从而当2t >-时,(2)()f f t -<,即m n < (Ⅲ)证:因为0'2000()x f x x x e =-,所以0'20()2(1)3x f x t e =-即为22002(1)3x x t -=-,令222()(1)3g x x x t =---,从而问题转化为证明方程222()(1)3g x x x t =---=0在(2,)t -上有解,并讨论解的个数因为222(2)6(1)(2)(4)33g t t t -=--=-+-,221()(1)(1)(2)(1)33g t t t t t t =---=+-所以①当421t t >-<<或时,(2)()0g g t -⋅<,所以()0g x =在(2,)t -上有解,且只有一解②当14t <<时,(2)0()0g g t ->>且,但由于22(0)(1)03g t =--<,所以()0g x =在(2,)t -上有解,且有两解③当1t =时,2()001g x x x x x =-=⇒==或,所以()0g x =在(2,)t -上有且只有一解；当4t =时,2()6023g x x x x x =--=⇒=-=或, 所以()0g x =在(2,4)-上也有且只解综上所述, 对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足020(1)3xt e =-,且当421t t ≥-<≤或时,有唯一的0x 适合题意；当14t <<时,有两个0x 适合题意(说明:第(Ⅱ)题也可以令2()x x x ϕ=-,(2,)x t ∈-,然后分情况证明22(1)3t -在其值域内,并讨论直线22(1)3y t =-与函数()x ϕ的图象的交点个数即可得到相应的0x 的个数)13, （Ⅰ）解：由题意得=,所以100S=5=（Ⅱ）证:令1n ==,则p =1所以1nn i S ===1）,111n n i S ++==2）,（2）-（1）,化简得121(1)(1)n n n a na a n +++-=≥（3）231(2)(1)(1)n n n a n a a n +++-+=≥（4）,（4）-（3）得1322(1)n n n a a a n ++++=≥在（3）中令1n =,得1322a a a +=,从而{}n a 为等差数列 （Ⅲ）记1k t a +=,公差为d ,则1221k k k T a a a +++=++⋅⋅⋅+=(1)(1)2k k k t d +++则12T kdt k =++,222211()k M a a t t kd +≥+=+-222414()(43)()10210102kd kd t t kd t =++-≥+22()51T k =+则(2k T +≤,当且仅当2432()52t kdkd M t =⎧⎪⎨=+⎪⎩,即1k a t d +⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立14, 解：(Ⅰ)设袋中原有n 个白球,由题意知：2272(1)2767762n C n n C -===⨯⨯，所以(1)n n -=12，解得n=4(舍去3n =-),即袋中原有4个白球(Ⅱ)由题意,ξ的可能取值为1，2，3，44342324432141(1);(2);(3);(4)776776535765435P P P P ξξξξ⨯⨯⨯⨯⨯⨯===========⨯⨯⨯⨯⨯⨯,所以，取球次数ξ的分布列为：ξ1234P472743513585E ξ=(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,记“甲取到白球”的事件为A ，则()("1"P A P ξ==或 “ξ=3”）,所以24()(1)(3)35P A P P ξξ==+==15, C 16, D 17, C 18, A 19, B 20, D。
