高中数学选修4-5同步练习题库：二维形式的柯西不等式(全部)

课堂练习(九) 二维形式的柯西不等式(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝2，则ax ＋by 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．4C [∵(ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝2， ∴ax ＋by ≤ 2.]2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3C [∵(12＋12)(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝4， ∴a 2＋b 2≥2.]3．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( ) A ．P ≤Q B ．P <Q C ．P ≥QD ．P >QA [设m ＝(ax ，by )，n ＝(a ，b )， 则|ax ＋by |＝|m ·n |≤|m ||n | ＝(ax )2＋(by )2·(a )2＋(b )2＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ax 2＋by 2， ∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2，即P ≤Q .]4．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( ) A ．[－25，25] B ．[－210，210] C ．[－10，10]D ．(－5，5)A [(a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2. ∵a 2＋b 2＝10，∴(a －b )2≤20. ∴－25≤a －b ≤2 5.]5．若a ＋b ＝1且a ，b 同号，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值为( )A ．1B ．2C ．252D ．72C [⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝a 2＋2＋1a2＋b 2＋2＋1b2＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2b 2＋4.∵a ＋b ＝1，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，∴a 2＋b 2＝12(a 2＋b 2)·(1＋1)≥12·(a ＋b )2＝12，1＋1a 2b 2≥1＋42＝17，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥172＋4＝252.]二、填空题6．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________．[解析] 由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11，于是2x ＋y ≤11.[答案]117．设xy ＞0，则⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋4y 2·⎝⎛⎭⎪⎫y 2＋1x2的最小值为________．[解析] 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋2y ·y 2＝9(当且仅当xy ＝2时取等号)． [答案] 98．设x ，y ∈R ＋，且x ＋2y ＝8，则9x ＋2y的最小值为________．[解析] (x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋2y＝[(x )2＋(2y )2]⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2y 2≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·3x＋2y ·2y 2＝25，当且仅当x ·2y＝2y ·3x，即x ＝245，y ＝85时，“＝”成立．又x ＋2y ＝8，∴9x ＋2y ≥258. [答案]258三、解答题9．已知θ为锐角，a ，b 均为正实数．求证：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. [证明] 设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)，则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ＝|m ·n |≤|m ||n |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2· 1＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ，∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 10．已知实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：－23≤c ≤1.[证明] 因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1， 所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.由柯西不等式得(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，当且仅当b ＝2a 时，等号成立，即5(1－c 2)≥(1－c )2， 整理得3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1.[能力提升练]1．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3D ．5B [根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x )2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝265时取等号.] 2．已知4x 2＋5y 2＝1，则2x ＋5y 的最大值是( ) A. 2 B ．1 C ．3D ．9A [∵2x ＋5y ＝2x ·1＋5y ·1≤(2x )2＋(5y )2·12＋12＝1·2＝ 2. ∴2x ＋5y 的最大值为 2.]3．函数f (x )＝2－x 2＋2x 2－1的最大值为______． [解析] 设函数有意义时x 满足12≤x 2≤2，由柯西不等式得[f (x )]2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－x 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫x 2－122 ≤(1＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 2＋x 2－12＝92，∴f (x )≤322，当且仅当2－x 2＝x 2－122，即x 2＝32时取等号．[答案]3224．在半径为R 的圆内，求内接长方形的最大周长．[解] 如图所示，设内接长方形ABCD 的长为x ，宽为4R 2－x 2，于是ABCD 的周长l ＝2(x ＋4R 2－x 2)＝2(1·x ＋1×4R 2－x 2)． 由柯西不等式l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12)12＝22·2R＝42R ，当且仅当x1＝4R 2－x21，即x ＝2R 时，等号成立．此时，宽＝4R 2－(2R )2＝2R ，即ABCD 为正方形， 故内接长方形为正方形时周长最大，其周长为42R .。

课时跟踪检测（九） 二维形式的柯西不等式1.已知a , b € R +且a + b = 1,贝U P = （ax + by ）与Q = ax + by 的大小关系是（） A . P W QB . P v QC . P >QD . P >Q解析：选 A 设 m = f ax , by), n = ( a , b),则 |ax + by| = |m ・n|w |m||n| = ax 2+ .by 2 - a 2+ b 2 = ax 2 + by 2 • a + b = ax 2 + by 2,/• (ax + by)2< ax 2+ by 2,即 P W Q.2.若a , b € R ，且a 2 + b 2= 10,则a - b 的取值范围是() A. [- 2 5, 2 .5 ]B. [-2 10, 2 10 ]C. [— 10, 一10 ]D. (— 5, 5)解析：选 A (a 2 + b 2)[i 2 + (— I)2] > (a — b)2,•/ a 2 + b 2= 10,•••(a — b)2w 20.— 2-.;5W a — b w 2 j'5.3. 已知x + y = 1，那么2x 2 + 3,的最小值是( )5 6A ・6解析：选 B (2x 2+ 3y 2)[( 3)2+ ( 2)勺》(石x + 6y)2= [ 6(x + y)]2= 6,3 2当且仅当x = 5, y =；时取等号,即 2x 2 + 3y 2> 65 故2x 2 + 3y 2的最小值为6. 54.函数y = x — 5+ 2 6 — x 的最大值是（ ）A. 3B. 5C . 3D . 5解析：选B 根据柯西不等式，知 25 D. 3625y= 1 x p—5 + 2 x p 6 —xW p 12+ 22X 寸 & x - 5 )2+ (寸6 - x f =屁当且仅当x = 时取等号. 5答案:6. ______________________________________________ 设a = (-2,1,2), |b|= 6，贝U a b 的最小值为 __________________________________ ，此时b =解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a b|w |a| |b|,•••|a b|w — 2 2+ 12+ 22X 6= 18,当且仅当存在实数 k ，使a = kb 时，等号成立. •••— 18W a b w 18,• a b 的最小值为一18,此时 b = — 2a = (4, — 2,— 4).答案：—18 (4,— 2,— 4)7. _______________________________________________________ 设实数x ,y 满足3x 2 + 2y 2w 6，贝V P = 2x + y 的最大值为 ____________________答案：，111 18. 已知 x , y € R +,且 x + y = 2.求证：j + 寸 2. 证明：x + > 如+ y )1+y =2［兩2+兩儿術+約 A 2 x - ：+ y ；2=2当且仅当 y x时等号成立，此时 x = 1, y = 1.x + y = 2 5•设 解析:xy>0,则x 2 +》y + X 2的最小值为 原式=0飢前y 2 l>x £+ y y 2= 9,当且仅当xy=^时取等号. 解由柯西不等式得(2x + y)2< [( .3X )2+ ( 2y)2] 1 W 6X £= 11122 = (3X 2+ 2y 2) 当且仅当4 心而，y = 希j 时取等号，故 P = 2x + y 的最大值为QU . +1 1所以1+ 1A 2.x y9. 若x2+ 4y2= 5,求x+ y的最大值及此时x, y的值. 解：由柯西不等式得[x 2+ (2y )2] 12+ j2) l> (x + y)2, 即(x + y)2w 5 x 5 = 25, x + y w 2.当且仅当x =孕，即x = 4y 时取等号. 1 12x 2+ 4y 2= 5,x = 2， x =- 2， 由4得S 1 或S 1 (舍去). lx =4y , y =2[y =- 2 5••• x + y 的最大值为5，1此时 x = 2, y =-.10.求函数f(x)= 3cosx + 4 1 + sin 2x 的最大值，并求出相应的 x 的值. 解：设 m = (3,4), n = (cosx , 1 + sin 2x), 则 f(x) = 3cosx + 4 \/1 + sin 2x =|m n|< |m| |n|= co$x + 1 + sin 2x • 32 + 42 =5 2,当且仅当m// n 时，上式取"=”. 此时，3 岑 1 + sin 2x - 4cos x = 0.f(x)= 3cos x + 4 , 1 + sin 2x 取最大值 5 . 2. 解得sin x = cosx = 3 *2 5 故当 sin x ^-7, 5 cosx =勒2 时. 5。

高中数学选修4-5柯西不等式习题(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高中数学·选修4-5·柯西不等式（1）一．选择题（共10小题）1．（2012•九江一模）设变量x，y满足|x﹣2|+|y﹣2|≤1，则的最大值为（）A．B．C．﹣D．2．（2014•孝感二模）已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（）A．2 B．2C．2D．33．（2014•湖北模拟）设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A．B．C．D．4．（2014秋•秦安县校级期中）已知a2+b2+c2=1，若|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[8，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞）D．[2，+∞）5．（2014春•和平区期中）已知a，b，c∈R，且a+b+c=0，abc＞0，则++的值（）A．小于0 B．大于0 C．可能是0 D．正负不能确定6．（2015•安徽模拟）若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则3ab﹣3bc+2c2的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．8．（2013春•永定区校级月考）函数（）A．6B．2C．5D．29．（2013•湖北一模）已知a，b，c∈R，则2a2+3b2+6c2=1是a+b+c∈[﹣1，1]的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（2014•湖北模拟）实数a i（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2=1则（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为（）A．3 B．2C． D．1二．填空题（共10小题）11．（2013秋•福建月考）选修4﹣5：不等式选讲已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，试确定e的最大值．12．（2014•黄冈校级模拟）设，若x2+y2+z2=16，则的最大值为．13．（2014•荆门模拟）已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，则e的取值范围是．14．（2015•抚顺模拟）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，则++的最小值为．15．（2015•郴州模拟）己知x，y∈（0，+∞），若+3＜k恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．16．（2015春•齐齐哈尔校级期末）若存在实数x使+＞a成立，求常数a的取值范围．17．（2013•惠州模拟）（不等式选讲选做题）已知实数a、b、x、y满足a2+b2=1，x2+y2=3，则ax+by的最大值为．18．（2014•宝鸡二模）已知实数x、y、z满足x+2y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为．19．（2014•天门模拟）（选修4﹣5：不等式选讲）已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，试求a的最值．20．（2015•龙泉驿区校级模拟）已知a1，a2，a3不全为零，设正数x，y满足x2+y2=2，令≤M，则M的最小值为．三．解答题（共10小题）21．（2014•泰州模拟）若不等式|a﹣1|≥x+2y+2z对满足x2+y2+z2=1的一切实数x、y、z恒成立，求a的取值范围．22．（2015•福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值为．23．（2015•福州校级模拟）已知正数a，b，c满足a2+b2+c2=6．（Ⅰ）求a+2b+c的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式|x+1|+|x+m|≥M恒成立，求实数m的取值范围．24．（2014•江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．25．（2015•上饶二模）（1）设函数，求f（x）的最小值，（2）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a2+b2+c2的最小值．26．（2015•咸阳三模）已知x，y∈R+，且x+y=2（Ⅰ）要使不等式+≥|a+2|﹣|a﹣1|恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求证：x2+2y2．27．（2015•南昌三模）已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值．28．（2015•兴庆区校级一模）（1）设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R，若关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值；（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求++的最小值．29．（2015春•重庆校级期中）已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=m﹣2|x﹣4|，若2f（x）≥g（x）恒成立，实数m 的最大值为a．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）已知实数x，y，z满足x+y+z=a，求2x2+3y2+6z2的最小值．30．（2015•江西模拟）（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；（2）若x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，求m=x+y+z的最大值．1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D 9．A 10．B11．12．13．14．18 15．k＞16．（-∞，8）17．18．19．20．。

自主广场我夯基我达标1.函数y=x x -+-625的最大值是( ) A.3 B.5 C.3 D.5思路解析：根据柯西不等式，知y=1×5-x +2×5)6()5(2162222=-+-⨯+≤-x x x .答案：B2.已知a,b ∈R +，且a+b=1，则（1414+++b a ）2的最大值是( ) A.62 B.6 C.6 D.12思路解析：(1414+++b a )2=(1×14+a +1×14+b )2 ≤(12+12)(4a+1+4b+1)=2［4(a+b)+2］=2(4×1+2)=12.答案：D3.已知x,y ∈R +，且xy=1，则(1+x1)(1+y 1)的最大值为( ) A.4 B.2 C.1 D.41 思路解析：（1+x 1）(1+y 1)=［12+(x 1)2］［12+(y1)2］≥(1×1+x 1×y 1)2=(1+xy 1)2=22=4. 答案：A4.已知2x 2+y 2=1，则2x+y 的最大值是( ) A.2 B.2 C.3 D.3思路解析：2x+y=2×2x+1×y ≤323)2(1)2(222222=+⨯=+⨯+y x y x .答案：C5.设a,b,c,d,m,n 都是正实数，P=cd ab +,Q=nd m b nc ma +•+，则P 与Q 的大小______________.思路解析：由柯西不等式，得 P=2222)()()()(nd m b nc am n d nc m b am +⨯+≤⨯+• n d m b nc am +⨯+=. 答案：P ≤Q6.已知a,b,x,y ∈R +，且ab=4,x+y=1.求证：(ax+by)(bx+ay)≥4.证明：左边=［(ax )2+(by )2］［(bx )2+(ay )2］ ≥(ax ×bx +by ×ay )2=(ab ×x+ab ×y)2=ab(x+y)2=ab=4. 我综合我发展7.设a,b,c>0，且acos 2θ+bsin 2θ<c. 求证：a cos 2θ+b sin 2θ<c .证明：由柯西不等式及题设，得［(a cos 2θ+b sin 2θ］2=［a cos θcos θ+b sin θsin θ］2≤［(a cos θ)2+(b sin θ)2］［cos 2θ+sin 2θ］=acos 2θ+bsin 2θ<c.故原不等式成立.8.设a+b=21,求证：a 8+b 8≥721. 证明：a 8+b 8=21(12+12)［(a 4)2+(b 4)2］ ≥21(1×a 4+1×b 4)2 =21(a 4+b 4)2 =21［21(12+12)(a 4+b 4)］2 =21×41{(12+12)［(a 2)2+(b 2)2］} ≥321（1×a 2+1×b 2）2=321(a 2+b 2)2 =321［21(12+12)(a 2+b 2)］2 =321×221(a+b)2=721.∴原不等式成立.9.已知椭圆2222)1()1(-++a y a x =1(a>1)交x 轴、y 轴的正半轴于M 、N 两点，试问：|MN|会小于2a 吗？说明理由.解：当x=0时，y=|a-1|=a-1,当y=0时，x=|a+1|=a+1,∴椭圆交x 、y 轴正半轴的交点分别为M （a+1,0),N(0,a-1)两点.∴|MN|=(a+1)2+(a-1)2 =≥-+++=-++222222)1()1(1121)1()1(a a a a21])1(1)1(1[212=-⨯++⨯a a ×2a=2a.∴|MN|可以小于2a.10.已知|x|≤1,|y|≤1，试求2211x y y x -+-的最大值. 思路解析：22221111x y x x y y x -+-=-+-×y ≤222222)1()1(y y x x -+⨯-+=|1|=1. ∴2211x y y -+-的最大值为1.。

数学选修4-5二维形式的柯西不等式练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知a，b>0，a+b=5，则√a+1+√b+3的最大值为（）A.18B.9C.3√2D.2√32. 已知a，b，c∈R，则2a2+3b2+6c2=1是a+b+c∈[−1, 1]的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知正实数a，b，c，若a2+b2+4c2=1，则ab+2ac+3√2bc的最大值为（）A.1B.√22C.√2D.2√24. 设变量x，y满足|x−2|+|y−2|≤1，则y−xx+1的最大值为（）A.1 3B.12C.−14D.−135. 若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则3ab−3bc+2c2的最大值为（）A.1B.2C.3D.46. 已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则√x+√+√3z的最大值是（）A.2B.2√2C.2√3D.37. 已知x，y，z，a，b，c，k均为正数，且x2+y2+z2=10，a2+b2+c2=90，ax+by+cz=30，a+b+c=k(x+y+z)，则k=()A.19B.13C.3D.98. 设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A.209B.115C.65D.1169. 实数a i(i=1, 2, 3, 4, 5, 6)满足(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2=1则(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为（）A.3B.2√2C.√6D.110. 若2x+3y+5z=29，则函数μ=√2x+1+√3y+4+√5z+6的最大值为（）A.√5B.2√15C.2√30D.√3011. 若x、y为非零实数，代数式x2y2+y2x2−8(xy+yx)+15的取值范围是________．12. 请用柯西不等式求解．已知a、b、x、y都是正实数，且ax +by=1，则x+y的最小值为________．13. 已知a，b，c都是正数，且2a+b+c=6，则a2+ab+ac+bc的最大值为________．14. 已知a，b，c，d都是正数，a2+b2+c2=d2，a+b+c=dx，则x的取值范围是________．15. 若p，q，r为正实数，且1p +1q+1r=1，则p+q+r的最小值是________．16. 函数f(x)=√x−5+√24−3x的最大值为________．17. 已知a+b+c=0，则ab+bc+ca的值________0．（选填“>，<，≥，≤”）．18. （不等式选讲选做题）已知a，b，c∈R，且a+b+c=2，a2+2b2+3c2=4，则a的取值范围为________．19. 已知θ∈(5π4, 3π2)，若存在实数x，y同时满足cosθx=sinθy，sin2θx2+cos2θy2=52(x2+y2)，则tanθ的值为________．20. 已知实数x，y，z满足x+y+z=0，x2+y2+z2=1，则x的最大值不小于________．21. 已知关于x的不等式√2−x+√x+1<m对于任意的x∈[−1, 2]恒成立（1）求m的取值范围；（2）在（1）的条件下求函数f(m)=m+1(m−2)2的最小值．22. 已知x2+y2+z2=1，求xy+yz最大值．23. 己知a，b，c为正实数，且a+b+c=2．（1）求证：ab+bc+ac≤43；（2）若a，b，c都小于1，求a2+b2+c2的取值范围．24. 已知函数f(x)=√t+2|x+1|−|x−3|的定义域为R．(1)求实数t的取值范围；(2)设实数m为t的最小值，若实数a，b，c满足a2+b2+c2=m2，求1a2+1+1b2+2+1c2+3的最小值．25. 在空间直角坐标系O−xyz中，坐标原点为O，P点坐标为(x, y, z)．（1）若点P在x轴上，且坐标满足|2x−5|≤3，求点P到原点O的距离的最小值；（2）若点P到坐标原点O的距离为2√3，求x+y+z的最大值．26. 设a，b，c，d∈R，a2+b2=c2+d2=1，求abcd的最大值．27. 已知(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2=1，求(a6+ a5)−(a1+a4)的最大值．28. 已知3x2+2y2≤6，求2x+y的最大值．29. 已知|x−2y|=5，求证：x2+y2≥5．30. 已知x，y，z满足x−1=y+12=z−23，试求当x，y，z分别为何值时，x2+y2+z2有最小值，最小值为多少．31. 若M≥|ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)|a2+b2+c2对一切实数a、b、c都成立，求最小的实数M．32. 已知a+b=1，求证：a3+b3+3ab=1．33. 已知a≥0，b≥0，c≥0，a+b+c=1，y=a1+a2+b1+b2+c1+c2．求y max=？34. 设x，y，z∈R，且(x−1)216+(y+2)25+(z−3)24=1，求x+y+z最大值与最小值．35. 若存在实数x使√3x+6+√14−x>a成立，求常数a的取值范围．36. 已知a+b+c=1．a2+b2+c2=1，求a+b的取值范围．37. 已知2x+3y+4z=10，求x2+y2+z2的最小值．38. 正数a，b，c，A，B，C满足条件a+A=b+B=c+C=k，证明：aB+bC+ cA<k2．39. 已知a12+a22+...+a n2=1，x12+x22+...+x n2=1，求证：a1x1+a2x2+...+a n x n≤1．40. 已知a，b，c∈N+，满足abc(a+b+c)=1．（1）求S=(a+c)(b+c)的最小值；（2）当S取最小值时，求c的最大值．参考答案与试题解析数学选修4-5二维形式的柯西不等式练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.【答案】 C【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】利用柯西不等式，即可求出√a +1+√b +3的最大值． 【解答】解：由题意，(√a +1+√b +3)2≤(1+1)(a +1+b +3)=18， ∴ √a +1+√b +3的最大值为3√2， 故选：C ． 2.【答案】 A【考点】柯西不等式的几何意义必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用柯西不等式2a 2+3b 2+6c 2=1，推出−1≤a +b +c ≤1，通过−1≤a +b +c ≤1利用特例否定2a 2+3b 2+6c 2=1，利用充要条件的判断方法推出结果． 【解答】解：由柯西不等式得：|a +b +c|≤|a|+|b|+|c| =√2⋅√2|a|+√3√3|b|√6⋅√6|c|≤√(√2)2+(√3)2+(√6)2⋅√(√2|a|)2+(√3|b|)2+(√6|c|)2=1，(2a 2+3b 2+6c 2=1)所以−1≤a +b +c ≤1，反之，当−1≤a +b +c ≤1时，不妨令a =0.9，b =0，c =0.1；2a 2+3b 2+6c 2=1.68>1，所以2a 2+3b 2+6c 2=1是a +b +c ∈[−1, 1]的充分不必要条件． 故选A ． 3.【答案】 C【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】a 2+b 2+4c 2=(12a 2+12a 2)+(14b 2+34b 2)+(c 2+3c 2)，调整，利用基本不等式，即可得出结论．解：设a 2+b 2+4c 2=(12a 2+12a 2)+(14b 2+34b 2)+(c 2+3c 2)=(12a 2+14b 2)+(12a 2+c 2)+(34b 2+3c 2) ≥2+√2ac +3bc .∴ ab +2ac +3√2bc ≤√2， 当且仅当a =√55，b =2c =√105时，等号成立． ∴ ab +2ac +3√2bc 的最大值为√2． 故选C ． 4.【答案】 B【考点】柯西不等式的几何意义 【解析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案． 【解答】解：如图即为满足不等|x −2|+|y −2|≤1的可行域，是一个正方形， 得A(1, 2)，B(2, 1)，C(3, 2)，D(2, 3)． 当x =1，y =2时，则y−x x+1=12，当x =2，y =1时，则y−xx+1=−13， 当x =3，y =2时，则y−xx+1=−14， 当x =2，y =3时，则y−xx+1=13， 则y−xx+1有最大值12．故选B ．5.【答案】 C【考点】二维形式的柯西不等式不妨考虑c，当c=0时，运用重要不等式a2+b2≥2ab，求得最大值；再由当c≠0时，3ab−3bc+2c2=3ab−3bc+2c2a2+b2+c2，分子分母同除以c2，设x=ac，y=bc，再整理成二次方程，由于x为实数，运用判别式大于等于0，再由y为实数，判别式小于等于0，即可解得所求的范围，进而得到最大值．【解答】解：不妨考虑c，当c=0时，有3ab−3bc+2c2=3ab≤3(a2+b2)2=32，当c≠0时，3ab−3bc+2c2=3ab−3bc+2c2a2+b2+c2=(ac)2+(bc)2+1˙，设x=ac ，y=bc，则可令M=3ab−3bc+2c2=3xy−3y+2x2+y2+1，即有Mx2−3xy+My2+M+3y−2=0，由于x为实数，则有判别式△1=9y2−4M(My2+M+3y−2)≥0，即有(9−4M2)y2−12My−4M(M−2)≥0，由于y为实数，则△2=144M2+16M(9−4M2)(M−2)≤0，即有M(M−3)(2M2+2M−3)≤0，由于求M的最大值，则M>0，则M≤3．故选：C．6.【答案】C【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用柯西不等式，可得(1+2+3)(x+y+z)≥(√x+√2y+√3z)2，结合x+y+z= 2，即可求出√x+√2y+√3z的最大值．【解答】解：∵x、y、z是正数，∴(1+2+3)(x+y+z)≥(√x+√2y+√3z)2，∵x+y+z=2，∴√x+√2y+√3z≤√6⋅2=2√3，∴√x+√2y+√3z的最大值是2√3．故选：C．7.【答案】C【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．【解答】解：因为x2+y2+z2=10，a2+b2+c2=90，ax+by+cz=30，所以(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2，又(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2等号成立，当且仅当ax =by=cz=k，则a=kx，b=ky，c=kz，代入a2+b2+c2=90，得k2(x2+y2+z2)=90，于是k=3，故选：C．8.【答案】A【考点】二维形式的柯西不等式【解析】运用柯西不等式：(a2+b2+c2)(d2+e2+f2)≥(ad+be+cf)2，当且仅当ad =be=cf等号成立．【解答】解：∵x、y、z是正数，x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，∴(22+22+12)(x2+4y2+9z2)=9×4≥(2x+4y+3z)2=36，∴可设2x =22y=13z=k，（k为常数），代入2x+4y+3z=6，得k=32，∴x+y+z=2k +1k+13k=209．故选A．9.【答案】B【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2，结合条件，即可得出结论．【解答】解：由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2=[(a5+a6)−(a1+ a4)]2，∴[(a5+a6)−(a1+a4)]2≤8，∴(a5+a6)−(a1+a4)≤2√2，∴(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为2√2，故选B．10.【答案】C【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式可得(√2x+1⋅1+√3y+4⋅1+√5z+6⋅1)2≤(2x+1+3y+4+ 5z+6)(12+12+12)，利用条件，即可得出结论．【解答】解：由柯西不等式可得(√2x+1⋅1+√3y+4⋅1+√5z+6⋅1)2≤(2x+1+3y+ 4+5z+6)(12+12+12)∵2x+3y+5z=29，∴(√2x+1⋅1+√3y+4⋅1+√5z+6⋅1)2≤120，∴μ=√2x+1+√3y+4+√5z+6≤2√30，∴μ=√2x+1+√3y+4+√5z+6的最大值为2√30．故选：C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】[−3, +∞)【考点】二维形式的柯西不等式【解析】令xy +yx=t，运用基本不等式，求出t的范围，将原式化为二次函数，配方，分别求出范围，再求并集．【解答】解：令xy +yx=t，则若xy>0，则t≥2，若xy<0，则t≤−2，∴原式=t2−2−8t+15=t2−8t+13=(t−4)2−3，当t≥2时，t=4时，原式取最小值为−3，无最大值，当t≤−2时，原式取最小值，且为33，∴原式的取值范围是[−3, +∞)．故答案为：[−3, +∞)．12.【答案】a+b+2√ab【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据二维形式的柯西不等式的代数形式，即可求解．【解答】解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，可得(ax +by)(x+y)≥(√ax⋅√x+√by⋅√y)2，∵ax +by=1，∴x+y≥(√a+√b)2=a+b+2√ab，∴x+y的最小值为a+b+2√ab，故答案为：a+b+2√ab．13.【答案】9【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用基本不等式，a2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)≤√a+b+a+c2，即可得出结论．【解答】解：∵a，b，c都是正数，∴a2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)≤(a+b+a+c2)2，∴2a+b+c=6，∴a2+ab+ac+bc≤9，∴a2+ab+ac+bc的最大值为9，故答案为：9．14.【答案】(1, √3]【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据题意，得(ad )2+(bd)2+(cd)2=1，x=ad+bd+cd；利用换元法，设ad=m，bd=n，cd=p，(m>0, n>0, p>0)，则m2+n2+p2=1，求x=m+n+p的取值范围即可；再利用柯西不等式以及放缩法即可求出m+n+p的取值范围．【解答】解：∵a，b，c，d都是正数，a2+b2+c2=d2，∴(ad )2+(bd)2+(cd)2=1；又∵a+b+c=dx，∴x=ad +bd+cd；设ad =m，bd=n，cd=p，且m>0，n>0，p>0，则m2+n2+p2=1，x=m+n+p；由柯西不等式得：3=(12+12+12)•(m2+n2+p2)≥(1⋅m+1⋅n+1⋅p)2，∴−√3≤m+n+p≤√3，当且仅当{m=n=pm2+n2+p2=1，即m=n=p=√33时，取得最大值√3；又∵m>0，n>0，p>0，∴(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np>m2+n2+p2=1，∴m+n+p>1；综上，1<m+n+p≤√3，即x的取值范围是(1, √3]．故答案为：(1,√3]．15.【答案】9【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由题意可得p+q+r=(p+q+r)(1p +1q+1r)=3+pq+pr+qp+qr+rp+rq，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：若p，q，r为正实数，且1p +1q+1r=1，则p+q+r=(p+q+r)(1p +1q+1r)=3+pq+pr+qp+qr+rp+rq≥3+6=9，当且仅当q=q=r=3时，等号成立，故p+q+r的最小值是9，故答案为：9．16.【答案】2√3【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，当且仅当bc=ad取得等号，即可得到最大值．【解答】解：函数f(x)=√x−5+√24−3x=√x−5+√3⋅√8−x≤√(1+3)(x−5+8−x)=2√3，当√8−x=√3⋅√x−5，即为x=234，则有f(x)的最大值为2√3．故答案为：2√3．17.【答案】≤【考点】二维形式的柯西不等式【解析】先把a+b+c=0两边分别平方，得：(a+b+c)2=0，然后展开移项即可得到答案．【解答】解：因为a+b+c=0，所以(a+b+c)2=0．展开得ab+bc+ca=−a 2+b2+c22，所以ab +bc +ca ≤0． 故答案为：≤． 18. 【答案】[211, 2] 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】 由4−a 2=(2b 2+3c 2)×1=65(2b 2+3c 2)(12+13)≥(b +c)2⋅65=(a −2)2⋅65．得到关于a 的不等关系：20−5a 2≥6(a 2−4a +4)解之即得a 的取值范围． 【解答】解：由4−a 2=(2b 2+3c 2)×1=65(2b 2+3c 2)(12+13)≥(b +c)2⋅65=(a −2)2⋅65． ∴ 20−5a 2≥6(a 2−4a +4) ∴ 11a 2−24a +4≤0， ∴ 211≤a ≤2．则a 的取值范围为[211, 2]． 故答案为：[211, 2]． 19. 【答案】√2【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】 设cos θx =sin θy=t ，求出sin θ、cos θ的值，代人另一式化简，再由sin 2θ+cos 2θ=1，求出y 2x 2+x 2y 2=52；利用tan θ=sin θcos θ=yx 得出方程tan 2θ+1tan 2θ=52，求出方程的解，再考虑θ∈(5π4, 3π2)，从而确定tan θ的值．【解答】 解：设cos θx=sin θy=t ，则sin θ=ty ，cos θ=tx ， 所以sin 2θx +cos 2θy =52(x +y )可化为：(ty)2x 2+(tx)2y 2=52(x 2+y 2)①；又sin 2θ+cos 2θ=t 2x 2+t 2y 2=1，得t2=1x2+y2②；把②代入①，化简得y 2x2+x2y2=52③；又tanθ=sinθcosθ=yx，所以③式化为tan2θ+1tan2θ=52，解得tan2θ=2或tan2θ=12；所以tanθ=±√2或tanθ=±√22；又θ∈(5π4, 3π2)，所以tanθ>1，所以取tanθ=√2．故答案为：√2．20.【答案】√22【考点】二维形式的柯西不等式【解析】设x2最大，然后根据条件可得2x2=1+2yz，可确定x与y异号，x与z异号则yz≥0，所以2x2≥1，从而求出所求．【解答】解：设x2最大因为x+y+z=0且x2+y2+z2=1所以2x2=1+2yz因为x+y+z=0，x2≥y2，x2≥z2所以x与y异号，x与z异号∴yz≥0∴2x2≥1，x2≥12．x≥√22，或x≤−√22．∴x的最大值不小于√22．故答案为：√22．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：（1）∵关于x的不等式√2−x+√x+1<m对于任意的x∈[−1, 2]恒成立，可得m大于式子√2−x+√x+1的最大值．根据柯西不等式，有(√2−x+√x+1)2=(1⋅√2−x+1⋅√x+1)2≤[12+12]⋅[(√2−x)2+(√x+1)2]=6，所以√2−x+√x+1≤√6，当且仅当x=12时等号成立，故m>√6．（2）由（1）得m−2>0，则f(m)=m+1(m−2)2=12(m−2)+12(m−2)+1(m−2)2+2，∴f(m)≥3√12(m−2)⋅12(m−2)⋅1(m−2)23+2=32√23+2，当且仅当12(m−2)=1(m−2)2，即m=√23+2>√6时取等号，所以函数f(m)=m+1(m−2)2的最小值为32√23+2．【考点】二维形式的柯西不等式函数恒成立问题【解析】（1）由题意可得m大于式子√2−x+√x+1的最大值，再利用柯西不等式求得式子√2−x+√x+1的最大值，可得m的范围．（2）由（1）得m−2>0，则f(m)=m+1(m−2)2=12(m−2)+12(m−2)+1(m−2)2+2，再利用基本不等式，求得它的最小值．【解答】解：（1）∵关于x的不等式√2−x+√x+1<m对于任意的x∈[−1, 2]恒成立，可得m大于式子√2−x+√x+1的最大值．根据柯西不等式，有(√2−x+√x+1)2=(1⋅√2−x+1⋅√x+1)2≤[12+12]⋅[(√2−x)2+(√x+1)2]=6，所以√2−x+√x+1≤√6，当且仅当x=12时等号成立，故m>√6．（2）由（1）得m−2>0，则f(m)=m+1(m−2)2=12(m−2)+12(m−2)+1(m−2)2+2，∴f(m)≥3√12(m−2)⋅12(m−2)⋅1(m−2)23+2=32√23+2，当且仅当12(m−2)=1(m−2)2，即m=√23+2>√6时取等号，所以函数f(m)=m+1(m−2)2的最小值为32√23+2．22.【答案】解：由于1=x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)≥2x√22⋅√2z=√2(xy+yz)，当且仅当x=√2=z时，等号成立，∴x=√2=z=12时，xy+yz的最大值为√22．【考点】柯西不等式的几何意义【解析】先将题中条件转化为1=x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)，再利用基本不等式即可求出xy+yz的最大值．【解答】解：由于1=x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)≥2x√22⋅√2z=√2(xy+yz)，当且仅当x=√2=z时，等号成立，∴x=2=z=12时，xy+yz的最大值为√22．23.【答案】（1）证明：∵a+b+c=2，∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4，∴2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca=8∴8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca≥6ab+6abc+6ac，当且仅当a=b=c 时取等号，∴ab+bc+ac≤43；（2）解：由（1）知，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4，∴4≤a2+b2+c2+a2+b2+b2+c2+a2+c2=3(a2+b2+c2)，当且仅当a= b=c时取等号，∴a2+b2+c2≥43，∵a−a2=a(1−a)，0<a<1，∴a>a2，同理b>b2，c>c2，∴a2+b2+c2<a+b+c=2，∴43≤a2+b2+c2<2，∴a2+b2+c2的取值范围为[43, 2)．【考点】基本不等式二维形式的柯西不等式【解析】（1）由a+b+c=2，得到8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca，利用基本不等式得以证明，（2）由（1）和基本不等式得到a2+b2+c2≥43，再根据a−a2=a(1−a)，0<a<1，得到a>a2，继而求出范围．【解答】（1）证明：∵a+b+c=2，∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4，∴ 2a 2+2b 2+2c 2+4ab +4bc +4ca =8∴ 8=2a 2+2b 2+2c 2+4ab +4bc +4ca ≥6ab +6abc +6ac ，当且仅当a =b =c 时取等号，∴ ab +bc +ac ≤43；（2）解：由（1）知，a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =4，∴ 4≤a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+b 2+c 2+a 2+c 2=3(a 2+b 2+c 2)，当且仅当a =b =c 时取等号， ∴ a 2+b 2+c 2≥43，∵ a −a 2=a(1−a)，0<a <1，∴ a >a 2， 同理b >b 2，c >c 2，∴ a 2+b 2+c 2<a +b +c =2， ∴ 43≤a 2+b 2+c 2<2，∴ a 2+b 2+c 2的取值范围为[43, 2)． 24.【答案】解：(1)因为函数f (x )的定义域为R ，即t +2|x +1|−|x −3|≥0恒成立， 所以t ≥−2|x +1|+|x −3|恒成立，y =−2|x +1|+|x −3|={x +5,x ≤−1,1−3x,2,−1<x <3,−x −5,x ≥3,可知当x =−1时，y =−2|x +1|+|x −3|有最大值4，即t ≥4． (2)由(1)知m =4，a 2+b 2+c 2=16， 由柯西不等式知：(1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3)×(a 2+1+b 2+2+c 2+3) ≥(1+1+1)2=9， 所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3≥922，当且仅当a 2=193，b 2=163，c 2=133时等号成立，所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值为922．【考点】绝对值不等式柯西不等式的几何意义【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)因为函数f (x )的定义域为R ，即t +2|x +1|−|x −3|≥0恒成立， 所以t ≥−2|x +1|+|x −3|恒成立，y =−2|x +1|+|x −3|={x +5,x ≤−1,1−3x,2,−1<x <3,−x −5,x ≥3,可知当x =−1时，y =−2|x +1|+|x −3|有最大值4，即t ≥4． (2)由(1)知m =4，a 2+b 2+c 2=16， 由柯西不等式知：(1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3)×(a 2+1+b 2+2+c 2+3) ≥(1+1+1)2=9， 所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3≥922，当且仅当a 2=193，b 2=163，c 2=133时等号成立，所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值为922．25.【答案】解：（1）由点P 在x 轴上，所以P(x, 0, 0)，又坐标满足|2x −5|≤3，所以−3≤2x −5≤3，… 解得1≤x ≤4，…所以点P 到原点O 的距离的最小值为1..…（2）由点P 到坐标原点O 的距离为2√3， 故x 2+y 2+z 2=12，…由柯西不等式，得(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)≥(x +y +z)2，… 即(x +y +z)2≤36，所以x +y +z 的最大值为6，当且仅当x =y =z =2时取最大．… 【考点】二维形式的柯西不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）利用绝对值不等式，求出x 的范围，即可求点P 到原点O 的距离的最小值； （2）点P 到坐标原点O 的距离为2√3，故x 2+y 2+z 2=12，由柯西不等式，得(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)≥(x +y +z)2，即可求x +y +z 的最大值． 【解答】 解：（1）由点P 在x 轴上，所以P(x, 0, 0)，又坐标满足|2x −5|≤3，所以−3≤2x −5≤3，… 解得1≤x ≤4，…所以点P 到原点O 的距离的最小值为1..…（2）由点P 到坐标原点O 的距离为2√3， 故x 2+y 2+z 2=12，…由柯西不等式，得(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)≥(x +y +z)2，… 即(x +y +z)2≤36，所以x +y +z 的最大值为6，当且仅当x =y =z =2时取最大．… 26. 【答案】解：根据基本不等式，1=a2+b2≥2|ab|，---------①1=c2+d2≥2|cd|，---------②将以上两式同向相乘得，1≥4|abcd|，所以，abcd∈[−14, 14 ]，故abcd的最大值为14．【考点】二维形式的柯西不等式基本不等式【解析】运用基本不等式，a2+b2≥2|ab|，c2+d2≥2|cd，再同向相乘即可求得最值．【解答】解：根据基本不等式，1=a2+b2≥2|ab|，---------①1=c2+d2≥2|cd|，---------②将以上两式同向相乘得，1≥4|abcd|，所以，abcd∈[−14, 14 ]，故abcd的最大值为14．27.【答案】解：由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2=[(a5+a6)−(a1+ a4)]2，∴[(a5+a6)−(a1+a4)]2≤8，∴(a5+a6)−(a1+a4)≤2√2，∴(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为2√2．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2，结合条件，即可得出结论．【解答】解：由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2=[(a5+a6)−(a1+ a4)]2，∴[(a5+a6)−(a1+a4)]2≤8，∴(a5+a6)−(a1+a4)≤2√2，∴(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为2√2．28. 【答案】解：令a 1=√3x ，a 2=√2y ，b 1=√3，b 2=√22代入柯西不等式(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)(b 12+b 22)得(2x +y)2≤(3x 2+2y 2)(43+12)≤6×116=11∴ −√11≤2x +y ≤√11∴ 2x +y 的最大值为√11． 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】令柯西不等式(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)(b 12+b 22)中的a 1=√3x ，a 2=√2y ，b 1=√3b 2=√22代入即可得出 【解答】解：令a 1=√3x ，a 2=√2y ，b 1=√3，b 2=√22代入柯西不等式(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)(b 12+b 22)得(2x +y)2≤(3x 2+2y 2)(43+12)≤6×116=11∴ −√11≤2x +y ≤√11∴ 2x +y 的最大值为√11． 29.【答案】证明：由柯西不等式，得(x 2+y 2)[12+(−2)2]≥(x −2y)2 即5(x 2+y 2)≥(x −2y)2=|x −2y|2 ∵ |x −2y|=5，∴ 5(x 2+y 2)≥25，化简得x 2+y 2≥5．当且仅当2x =−y 时，即x =−1，y =2时，x 2+y 2的最小值为5 ∴ 不等式x 2+y 2≥5成立． 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】根据柯西不等式，得5(x 2+y 2)≥|x −2y|2，结合已知等式|x −2y|=5，得x 2+y 2≥5，再利用不等式取等号的条件加以检验即可． 【解答】证明：由柯西不等式，得(x 2+y 2)[12+(−2)2]≥(x −2y)2 即5(x 2+y 2)≥(x −2y)2=|x −2y|2 ∵ |x −2y|=5，∴ 5(x 2+y 2)≥25，化简得x 2+y 2≥5．当且仅当2x =−y 时，即x =−1，y =2时，x 2+y 2的最小值为5 ∴ 不等式x 2+y 2≥5成立． 30. 【答案】解：∵ x ，y ，z 满足x −1=y+12=z−23，设x −1=y+12=z−23=k ，则有x =k +1、y =2k −1、z =3k +2，∴ x 2+y 2+z 2=(k +1)2+(2k −1)2+(3k +2)2=2(2k 2+5k +3)， 故当k =−54，即x =−14、y =−72、z =−74时，x 2+y 2+z 2取得最小值为−14．【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】 设x −1=y+12=z−23=k ，则有x 2+y 2+z 2=2(2k 2+5k +3)，再利用二次函数的性质求得x 2+y 2+z 2最小值，以及此时x ，y ，z 的值． 【解答】解：∵ x ，y ，z 满足x −1=y+12=z−23，设x −1=y+12=z−23=k ，则有x =k +1、y =2k −1、z =3k +2，∴ x 2+y 2+z 2=(k +1)2+(2k −1)2+(3k +2)2=2(2k 2+5k +3)， 故当k =−54，即x =−14、y =−72、z =−74时，x 2+y 2+z 2取得最小值为−14． 31.【答案】解：由题意，根据不等式右边a ，b ，c 的对等性可得 当且仅当a =b =c 时，取得最值， ∴ M ≥0，∴ 最小的实数M 是0． 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】由题意，根据不等式右边a ，b ，c 的对等性可得结论． 【解答】解：由题意，根据不等式右边a ，b ，c 的对等性可得 当且仅当a =b =c 时，取得最值， ∴ M ≥0，∴ 最小的实数M 是0． 32.【答案】证明：∵ a +b =1，∴ b =1−a ．∴ a 3+b 3+3ab =a 3+(1−a)3+3a(1−a)=a 3+1−3a +3a 2−a 3+3a −3a 2=1即a 3+b 3+3ab =1． 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】由a +b =1，可得b =1−a ，代入a 3+b 3+3ab ，化简即可得出结论． 【解答】证明：∵ a +b =1，∴ b =1−a ．∴ a 3+b 3+3ab =a 3+(1−a)3+3a(1−a)=a 3+1−3a +3a 2−a 3+3a −3a2=1即a3+b3+3ab=1．33.【答案】解：根据a≥0，b≥0，c≥0，a+b+c=1，y=a1+a2+b1+b2+c1+c2可知a，b，c可以轮换，所以当且仅当a=b=c=13时，函数取得最大值y max=3⋅131+19=910【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据条件，可知a，b，c可以轮换，所以当且仅当a=b=c=13时，函数取得最大值．【解答】解：根据a≥0，b≥0，c≥0，a+b+c=1，y=a1+a2+b1+b2+c1+c2可知a，b，c可以轮换，所以当且仅当a=b=c=13时，函数取得最大值y max=3⋅131+19=91034.【答案】解：∵x+y+z=4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32+2，根据柯西不等式，(x1x2+y1y2+z1z2)2≤(x12+y12+z12)•(x22+y22+z22)得，(4⋅x−14+√5⋅√5+2⋅z−32)2≤(16+5+4)•[(x−1)216+(y+2)25+(z−3)24]=25，所以，|4⋅x−14+√5⋅√52⋅z−32|≤5，即−5≤4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32≤5，因此，x+y+z∈[−3, 7]，故，x+y+z的最大值为7，最小值为−3．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】将式子x+y+z写成4⋅x−14+√5⋅√52⋅z−32+2的形式是解决本题的关键，再运用柯西不等式求该式的最大值和最小值．【解答】解：∵x+y+z=4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32+2，根据柯西不等式，(x1x2+y1y2+z1z2)2≤(x12+y12+z12)•(x22+y22+z22)得，(4⋅x−14+√5⋅√5+2⋅z−32)2≤(16+5+4)•[(x−1)216+(y+2)25+(z−3)24]=25，所以，|4⋅x−14+√5⋅52⋅z−32|≤5，即−5≤4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32≤5，因此，x+y+z∈[−3, 7]，故，x+y+z的最大值为7，最小值为−3．35.【答案】解：由题意，由柯西不等式得(√3x+6+√14−x)2=(√3×√x+2+1×√14−x)2≤(3+1)(x+2+14−x)=64所以√3x+6+√14−x≤8，当且仅当x=10时取“=”，∵存在实数x使√3x+6+√14−x>a成立∴a<8∴常数a的取值范围是(−∞, 8)．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用柯西不等式，求出左边对应函数的最大值，即可确定常数a的取值范围．【解答】解：由题意，由柯西不等式得(√3x+6+√14−x)2=(√3×√x+2+1×√14−x)2≤(3+1)(x+2+14−x)=64所以√3x+6+√14−x≤8，当且仅当x=10时取“=”，∵存在实数x使√3x+6+√14−x>a成立∴a<8∴常数a的取值范围是(−∞, 8)．36.【答案】解：∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，∴a+b=1−c，ab=12[(a+b)2−(a2+b2)]=c2−c，∵ab≤(a+b2)2，∴c2−c≤(1−c)24，∴−13≤c≤1，∴0≤1−c≤43，∴0≤a+b≤43，∴a+b的取值范围是[0, 43]．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用a+b+c=1，a2+b2+c2=1，可得a+b=1−c，ab=[(a+b)2−(a2+ b2)]=c2−c，结合基本不等式，求出c的范围，即可求出a+b的取值范围．【解答】解：∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，∴a+b=1−c，ab=12[(a+b)2−(a2+b2)]=c2−c，∵ab≤(a+b2)2，∴c2−c≤(1−c)24，∴−13≤c≤1，∴0≤1−c≤43，∴0≤a+b≤43，∴a+b的取值范围是[0, 43]．37.【答案】解：法1：∵2x+3y+4z=10，∴x=5−32y−2x．∴x2+y2+z2=(5−32y−2z)2+y2+z2=134y2+5z2+6zy−15y−20x+25=134y2+(6z−15)y+5z2−20z+25=134[y+2(6z−15)13]2+2913z2−8013z+10013=134(y+12z−3013)2+2913(z−4029)2+10029≥10029．法2：由柯西不等式可得，(2x+3y+4z)2≤(x2+y2+z2)(22+32+42)，由条件可得，x2+y2+z2≥10029．故最小值为10029．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】法1：本题可先利用三个变量x，y，z的关系消去一个变量，如消去x，得到两个变量y，z，再通过配方，利用完全平方非负，得到所求代数式的最小值．法2：利用柯西不等式进行求解．【解答】解：法1：∵2x+3y+4z=10，∴x=5−32y−2x．∴x2+y2+z2=(5−32y−2z)2+y2+z2=134y2+5z2+6zy−15y−20x+25=134y2+(6z−15)y+5z2−20z+25=134[y+2(6z−15)13]2+2913z2−8013z+10013=134(y+12z−3013)2+2913(z−4029)2+10029≥10029．法2：由柯西不等式可得，(2x+3y+4z)2≤(x2+y2+z2)(22+32+42)，由条件可得，x2+y2+z2≥10029．故最小值为10029．38.【答案】证明：作边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取：QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c．显然有S△LRM+S△MPN+S△NQL<S△PQB，即12aB sin60∘+12bC sin60∘+12cA sin60∘<12k2sin60∘，∴aB+bC+cA<k2．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】作边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取：QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c．显然有S△LRM+S△MPN+S△NQL<S△PQB，即可证明结论．【解答】证明：作边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取：QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c．显然有S△LRM+S△MPN+S△NQL<S△PQB，即12aB sin60∘+12bC sin60∘+12cA sin60∘<12k2sin60∘，∴aB+bC+cA<k2．39.【答案】证明：因为a2+b2≥2ab，所以2=a12+a22+...+a n2+x12+x22+...+x n2=(a12+ x12)+...+(a n2+x n2)≥2a1x1+...+2a n x n=2(a1x1+...+a n x n)，即a1x1+a2x2+...+a n x n≤1．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用不等式的性质a2+b2≥2ab，即可证明．【解答】证明：因为a2+b2≥2ab，所以2=a12+a22+...+a n2+x12+x22+...+x n2=(a12+ x12)+...+(a n2+x n2)≥2a1x1+...+2a n x n=2(a1x1+...+a n x n)，即a1x1+a2x2+...+a n x n≤1．40.【答案】解：（1）∵a，b，c∈N+，且abc(a+b+c)=1，∴c2+c(a+b)=1ab∴S=(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c2=ab+1ab ≥2√ab⋅1ab=2当且仅当ab=1ab，即ab=1时取等号∴S min=2；（2）由（1）知1=abc(a+b+c)=c(a+1a +c)=c2+c(a+1a)≥c2+2c∴c2+2c−1≤0∵c>0∴0<c≤√2−1∴c的最大值为√2−1．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】（1）由已知整理可得，c2+c(a+b)=1ab，然后利用基本不等式可求S的最小值及满足的条件：ab=1，（2）由1=abc(a+b+c)=c(a+1a +c)=c2+c(a+1a)≥c2+2c，从而可得关于c的不等式，解不等式可求c的范围，即可求出c的最大值．【解答】解：（1）∵a，b，c∈N+，且abc(a+b+c)=1，∴c2+c(a+b)=1ab∴S=(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c2=ab+1ab ≥2√ab⋅1ab=2当且仅当ab=1ab，即ab=1时取等号∴S min=2；（2）由（1）知1=abc(a+b+c)=c(a+1a +c)=c2+c(a+1a)≥c2+2c∴c2+2c−1≤0∵c>0∴0<c≤√2−1∴c的最大值为√2−1．。

第三讲 柯西不等式与排序不等式一 二维形式的柯西不等式一、选择题1．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( )A ．P ≤QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ＞Q2．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( )A ．[－25，25]B ．[－210，210]C ．[－10，10]D ．(－5，5)3．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3 D ．54．若3x 2＋2y 2≤1，则3x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[－5，0]C ．[－5，5]D ．[－5,5]5．已知a ，b ，c ，d ，m ，n ∈R ＋，P ＝ab ＋cd ，Q ＝am ＋cn ·b m ＋d n ，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P ≤QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ＝Q6．已知a ，b ＞0，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是( )A ．2 6B. 6 C ．6D ．12二、填空题7．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________．8．设x ，y ∈R ＋，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫3x ＋2y 的最小值是________．9．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋1y＝1，则2x ＋y 的最小值为________．10．已知函数f (x )＝34－x ＋4x －3，则函数f (x )的最大值为________．三、解答题11．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a 22－a ＋b 22－b≥2.12．试求函数f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x 的最大值，并求出相应的sin x 和cos x 的值．13．已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)．求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.四、探究与拓展14．若a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值为( ) A ．1B ．2 C.252 D.7215．已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．答案精析1．A 2.A3．B [根据柯西不等式知，y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x )2＝5(当且仅当x ＝265时取等号)．] 4．C [(3x ＋2y )2≤()(3)2＋(2)2()(3x )2＋(2y )2 ＝5×(3x 2＋2y 2)≤5，∴－5≤3x ＋2y ≤ 5.]5．A [∵P ＝am ·b m ＋nc ·d n≤ [(am )2＋(cn )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b m 2＋⎝⎛⎭⎫d n 2 ＝am ＋cn ·b m ＋d n＝Q . ∴P ≤Q .]6．D [(4a ＋1＋4b ＋1)2 ＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2 ≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当4b ＋1＝4a ＋1，即a ＝b ＝12时等号成立．] 7.11 解析 由柯西不等式，得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫122 ＝(3x 2＋2y 2)·⎝⎛⎭⎫43＋12≤6×116＝11⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝411，y ＝311时取等号， 所以2x ＋y ≤11.8．5＋2 6解析 (x ＋y )⎝⎛⎭⎫3x ＋2y ≥⎝⎛⎭⎫x ·3x ＋y ·2y 2 ＝(3＋2)2＝5＋26，当且仅当x ·2y ＝3x ·y 时， 等号成立．9．3＋2 2解析 2x ＋y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y＝[(2x )2＋(y )2]⎣⎡⎝⎛⎭⎫1x 2＋ ⎦⎤⎝⎛⎭⎫1y 2≥⎝⎛⎭⎫2x ·1x ＋y ·1y 2 ＝3＋22，当且仅当2x ·1y ＝1x ·y 时，等号成立，又1x ＋1y ＝1，则此时⎩⎨⎧ x ＝2＋22，y ＝2＋1.10．5解析 由柯西不等式知，(34－x ＋4x －3)2≤(32＋42)·[(4－x )2＋(x －3)2]＝25. 当且仅当3x －3＝44－x 时，等号成立，因此f (x )≤5.11．证明 根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ＋b 22－b ＝[(2－a )2＋(2－b )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a ·a 2－a ＋2－b ·b 2－b 2 ＝(a ＋b )2＝4.∴a 22－a ＋b 22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2.∴原不等式成立．12．解 设m ＝(3,4)，n ＝(cos x ，1＋sin 2x )，则f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x ＝m ·n ≤|m ||n | ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ·32＋42＝5 2.当且仅当m ∥n 时，上式取“＝”．此时，31＋sin 2x －4cos x ＝0.解得sin x ＝±75，cos x ＝325. 故当sin x ＝±75，cos x ＝325时． f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x 取最大值5 2.13．证明 由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式，可得(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2， 当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1， 即x 1＝x 2时取得等号．所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.14．C [⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2 ＝a 2＋2＋1a 2＋b 2＋2＋1b2. ∵a ＋b ＝1，∴a 2＋b 2＝12(a 2＋b 2)·(1＋1)≥12(a ＋b )2＝12. 又∵1a 2＋1b 2≥2ab ≥8(a ＋b )2＝8， 以上两个不等式都是当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． ∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥12＋2＋2＋8＝252， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．] 15．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[(3)2＋12][(4－t )2＋(t )2] ＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.。

ItEsS /柚西祜站排酥福茂1. 二维形式的柯西不等式⑴定理1：若a, b, c, d都是实数，则(a2+ b2)(c2+ d2)>(ac+ bd)2，当且仅当ad= be时，等号成立.二维形式的柯西不等式(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a + b)(c+ d) > ( ac+ bd)2(a, b, c, d 为非负实数);a2+ b2• c2+ d2> |ac+ bd|(a, b, c, d€ R);a2+ b2• c2+ d2> |ac| + |bd|(a, b, c, d€ R).2. 柯西不等式的向量形式定理2:设a, B是两个向量，则|a •澤| ” |件当且仅当B是零向量，或存在实数k, 使a= k B时，等号成立.［注意］柯西不等式的向量形式中a•其| a|B，取等号“=”的条件是B= 0或存在实数k,使a= k •3. 二维形式的三角不等式(1)定理3：也2+ y + v x2+ y2Z(X i —X2 2+ (y i —y2$(x i, y i, X2, R).当且仅当三点P i, P2与O共线，并且P i, P2点在原点O异侧时，等号成立.(2)推论：对于任意的X i, X2, X3, y i, y2,涉 R，有7 (x i —x3 2 +(y i —y3 2 +P(X2 - X3 f +( y2 - y3 2(x i —x?2+ (y i —y?2.事实上，在平面直角坐标系中，设点P i, P2, P3的坐标分别为(X i, y i), (X2, y2), (X3,y3),根据△ P i P2P3的边长关系有|P i P31+ |P2P3|> |P i P2|,当且仅当三点P i,卩2 ,卩3共线，并且点P i, P2在P3点的异侧时，等号成立.利用柯西不等式证明不等式a b2［例1］已知B为锐角，a, b€ R+,求证：一(a+ b)2.cos 0 sin 0［思路点拨］可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“ 1 = sin20+ cos0”，然后用柯西不等式证明.a2b2［证明］J破+诙=為+滸0(8孑0+引『0》爲cos 0+盒sin 00=(a + b)2,2 b2：(a+b)2<cOs i+亦［右法-规律…卜结］----------------------------利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造成柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件.1.已知a i, a2,切，b2为正实数.求证：(a i b i+ a2b2)畫+ 舊》(a i+ a?)2.证明：J (叭 + a2b2)b1+b•••原不等式成立.2.设a, b, c为正数，求证：a2+ b2+ b2+ c2+ a2+ c2> 2(a+ b+ c).证明：由柯西不等式，得a2+ b2• i2+ 12>a+ b,即 _ 2 • a2+ b2> a+ b.同理：，2 • b2+ c2> b+ c,2 • a2+ c2> a+ c,将上面三个同向不等式相加得:2(、J a 2+ b 2+ 工/b 2 + c 2 + --J a 2 + c 2) > 2(a + b + c)订a 2+ b 2 + p,b 2+ c 2 +、.../a 2+ c 2》；2(a + b +c).2 2a b+ > 2.2— a 2 — b证明：根据柯西不等式，有2 .2丄 +_b _2— a 2 — b声+戸厲丿2 =(a + b)2= 4. 2 2••亠 + 亠 > 4 = 2.2— a 2— b 2 — a + 2 — b 原不等式成立.［例2］ 求函数y = 3sin a+ 4cos a 的最大值.［思路点拨］函数的解析式是两部分的和，若能化为 ac + bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值.［解］由柯西不等式得(3sin a+ 4cos a)2<(32+ 42)(sin 2 a+ cos a)= 25,• 3sin a+ 4cos a< 5.当且仅当sj y a= c os a>0即sin a= 5, cos a= 4时取等号，即函数的最大值为5.［方法•规律•小结〕利用柯西不等式求最值的注意点(1) 变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2) 有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常 数的各项，就可以利用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每 运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.多次反复运 用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.4.已知2x 2+ y 2 = 1,求2x + y 的最大值.3.设 a , b € R + ,且 a + b = 2.求证: [(2 — a + (2 - b )] 利用二维形式的柯西不等式求最值+解：••• 2x+ y= 2X 2x + 1X y w 厂22+ 12x 一2x 2+ y2= 3X 2x2+ y2= 3,当且仅当x= y=¥时取等号••• 2x+ y的最大值为 3.5.求函数y = x2—2x + 3+ x2—6x + 14的最小值.解：y= x— 1 2+ 2+ 3 —x 2+ 5,y2= (x—1)2+ 2 + (3 —x)2+ 5+ 2X 寸[(X—1 ：+ 2][(3—x$+ 5]》(x —1)2+ 2+ (3 —x)2 + 5 + 2X [(x—1)(3 —x) + 10]= [(x—1)+ (3 —x)]2+ (7 + 2 10) = 11 + 2 10.当且仅当即x=骰时等号成立.此时y min= 11+ 2一10= 10+ 1.1.已知a, b€ R +且a + b= 1,贝U P = (ax+ by)2与Q = ax2+ by2的大小关系是(A. P< QB. P v QC. P>QD. P>Q解析：选 A 设m= ( ax, , by), n = ( a, . b),则|ax + by| = |m-n|< |m||n| =旨上ax 2+ . by 2• a 2+ b 2= ax2+ by2• a + b = ax2+ by2,•(ax+ by)2w ax2+ by2,即P w Q.2. 若a, b€ R，且a2+ b2= 10,则a—b的取值范围是()A. [—2 5, 2 5 ]B. [—2 10, 2 10 ]C. [—10, 10 ]D. (—5, 5)解析：选 A (a2+ b2)[i2+ (—I)2] > (a—b)2,•/ a2+ b2= 10,•(a —b)2w 20.•••—2 5 w a —b w 25.3. 已知x+ y= 1，那么2x2+ 3,的最小值是()5A"625解析：选 B (2X 1 2+ 3y 2)[( 3)2+ ( 2)2]>( 6x + 6y)2=[ 6(x + y)]2= 6, 3 2当且仅当X = 5, y = 2时取等号， 即 2X 2 + 3y 2> 6.5故2X 2 + 3y 2的最小值为6.5 4. 函数y = X - 5+ 26 — x 的最大值是()A.3B. 5 C . 3D . 5解析：选B 根据柯西不等式，知y = 1X X — 5 + 2X 6— X <12+ 22x 寸&X —5 2 +(V 6 - x 2 = <5,当且仅当X = 26时取等号.5.设 xy>0,则 |x 2 + ___________ i'|y 2 + X 2 的最小值为 . 解析：原式=X 2+ £：+ y 2x £+ y y 2= 9,当且仅当xy=/2时取等号.答案：96. ______________________________________________ 设 a = (-2,1,2), |b|= 6，贝U a b 的最小值为 ________________________________________________ ，此时 b= ________ .解析：根据柯西不等式的向量形式，有 |a b|w |a| |b|,•••|a b|w - 2 2+ 12+ 22x 6= 18, 当且仅当存在实数 k , 使a = kb 时，等号成立.•••— 18W a b w 18,• a b 的最小值为一18, 此时 b =- 2a = (4, - 2,- 4). 答案：—18(4,- 2,- 4)7. _________________________________________________________ 设实数X , y 满足3X 2 + 2y 2w 6，贝V P = 2X + y 的最大值为 _______________________________ .解析：由柯西不等式得(2x + y)2w[( .3X )2+ ( 2y)2] • ： 2+ ： 2 = (3x 2+ 2y 2) £+ 1 w 6X f= 11,当且仅当C.3636 D.25y =爲时取等号，故P = 2x + y 的最大值为 11.4所以1 +丄》2.x y9.若x 2 + 4y 3 4= 5,求x + y 的最大值及此时 x , y 的值. 解：由柯西不等式得 [x 2+ (2y )2] 12+ j 1/ l> (x + y)2, 即(x + y)2w 5x 5 =严，x + y < 2.4 4 2 当且仅当x =空，即x = 4y 时取等号. 1 125••• x + y 的最大值为5， 1此时 x = 2, y = 2.10.求函数f(x)= 3cosx + 4, 1 + sin 2x 的最大值，并求出相应的 x 的值. 解：设 m = (3,4), n = (cosx , 1 + sin 2x),则 f(x) = 3cosx + 4 1 + sin 2x=|m n|w |m| |n|f(x)= 3cos x + 4 ・J 1 + sin 2x 取最大值 5 2.=^co&x + 1 + sin 2x • 32 + 42 =5 2,当且仅当m// n 时，上式取“=”. 此时，3 叮 1 + sin 2x — 4cos x = 0. 解得 sin x=-^, cosx = ^t^.5 5 故当 sin x =」,cosx = ^2时. 5 5「心=血 当且仅当 y .x' 时等号成立，此时 x = 1, y = 1. x + y = 2丄 x 2+ 4y 2= 5, 由彳x = 4y ,x = 2,得i 1l y= 1x — 2, 或丫 1 l y =- 1（舍去）.。

课后训练1．如果实数m ,n ，x ，y 满足m 2＋n 2＝a ,x 2＋y 2＝b ，其中a ，b 为常数，那么mx ＋ny 的最大值为( ）．A ．2a b ＋ B．CD2．已知x ,y ∈R ＋，且xy ＝1，则1111x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋的最小值为（ )． A ．4 B ．2 C ．1 D ．143．设a ＝（1,0,－2），b ＝（x ，y ，z ），若x 2＋y 2＋z 2＝16，则a ·b 的最大值为__________．4．设a ＝(－2,1，2)，｜b |＝6，则a ·b 的最小值为__________，此时b ＝__________.5．设a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥__________。

6．已知a ＞b ＞c ，求证：114a b b c a c≥＋－－－。

7．设a ，b ，c ＞0，且a cos 2θ＋b sin 2θ＜c .22θθ.8．已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)1212a a b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋≥(a 1＋a 2)2。

已知θ为锐角，a ，b ∈R ＋，求证：22222()cos sin a b a b θθ≤＋。

参考答案1。

答案：B解析:由柯西不等式，得（mx ＋ny )2≤(m 2＋n 2）(x 2＋y 2）＝ab ;当m n ＝x y ＝mx ny ＋2。

答案：A解析:1111x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋222211⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝＋＋211⎛⎫≥⨯ ⎝22124⎛⎫ ⎝＝＝＝，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．3.答案：解析:∵a ＝(1,0，－2)，b ＝(x ，y ，z )，∴a ·b ＝x －2z . 由柯西不等式，得[12＋02＋(－2)2]（x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋0－2z ）2.当且仅当存在实数±5k ＝，使b ＝k a 时等号成立．∴5×16≥（x －2z )2,∴|x －2z |≤∴-≤x －2z≤即-≤a ·b≤∴a ·b的最大值为4。

一、二维形式的柯西不等式 二、二维形式的柯西不等式的变式 三、二维形式的柯西不等式的向量形式借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。

基本方法 （1）巧拆常数：例1：设a 、b 、c 为正数且各不相等。

求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 （2）重新安排某些项的次序：例2：a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ （3）改变结构：例3、若a >b >c 求证：ca cb b a -≥-+-411 （4）添项：例4：+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a 【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a，则b a ⋅之最小值为________；此时=b ________。

答案：-18; )4,2,4(-- 解析：b a b a ≤⋅ ∴18≤⋅b a∴1818≤⋅≤-b ab a⋅之最小值为-18，此时)4,2,4(2--=-=a b 【2】 设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若x 2 + y 2 + z 2= 16，则a b 的最大值为 。

【解】∵ a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z) ∴ a ．b= x - 2z由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x 2 + y 2 + z 2) ≥ (x + 0 - 2z)2⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z)2 ⇒ - 45≤ x ≤ 45⇒ - 45≤ a ．b ≤ 45，故a ．b的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a =，(,,)b x y z =，已知56b =，则(1)a b ⋅的最大值为多少？(2)此时b =？ Ans ：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。