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第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。
当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。
在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。
本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。
§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。
该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。
由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。
§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。
多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。
当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。
第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。
当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。
在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。
本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。
§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。
该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。
由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。
§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。
多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。
当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。
§4-4 多自由度系统的数值方法从以上各章节的分析中可以看到，求解振动系统的固有频率和主振型，是研究各类振动问题的重要内容。
当系统自由度较少时，我们可以从系统的特征方程求出其特征值（即固有频率的平方值），从而直接解出固有频率n ω的精确值，然后再求出特征向量（即主振型）。
由此可见，寻找多自由度系统特征方程的特征值和特征向量的问题，一般都要用计算机来处理。
但对特征值问题的各种近似解解法，在实际工作还常常是有用的。
这里选择了几种常用的近似解法来加以介绍。
一、瑞利法在第二章中曾介绍过，对单自由度保守系统可以用最大动能与最大势能相等的原理来求出它的固有频率。
瑞利法指出，只要对位移有合理分布的假设，这种方法也可以用于求多自由度系统的最低阶固有频率（基频）。
设系统的质量矩阵、刚度矩阵和位移列阵、速度列阵分别为[][]{}{}xx k m 、、、。
则多自由度系统的动能T 与势能U 的表达式为： {}[]{}x m x T T21= （4.100） {}[]{}x k x U T21=（4.101）当系统以第r 阶固有频率nr ω和相应的主振型(){}r A 作第r 阶主振动时，则：(){}(){}()ϕω+=nrrrA x sin（4.102）故 (){}(){}()ϕωω+=nr nr r r A x sin （4.103）将（4.102）及（4.103）式分别代入（4.100）及（4.101）式，可得到系统在作主振动时的最大动能和势能：(){}[](){}r Tr nr A m AT 2max 21ω=（4.104） (){}[](){}rTr A k A U 21max =（4.105）根据机械能守恒原理，使上两式相等，即可解得系统第r 阶固有频率的平方值：(){}[](){}(){}[](){}()n r A m A A k A rTr rTr nr,,2,12 ==ω（4.106）由于未求出系统的各阶固有频率之前，我们无法知道系统的各阶主振型。
习 题4-1 在题3-10中，设m 1=m 2=m ，l 1=l 2=l ，k 1=k 2=0，求系统的固有频率和主振型。
解：由题3-10的结果22121111)(l g m l gm m k k +++=，2221l g m k -=，2212l g m k -=，22222l g m k k +=代入m m m ==21，021==k k ，l l l ==21 可求出刚度矩阵K 和质量矩阵M⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m m M 00；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=l mg l mg l mg l mg K 3 由频02=-M p K ，得0322=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=mp l mg l mg lmgmp l mgB 0242222242=+-∴lg m p lg m p mlg p )22(1-=∴ ，lg p )22(2+=为求系统主振型，先求出adjB 的第一列 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=l mg mpl mgadjB 2分别将频率值21p p 和代入，得系统的主振型矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=112)1(A⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=112)2(A题4-1图4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m 1，求系统的频率方程。
解：设杆的转角θ和物块位移x 为广义坐标。
利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。
设0,1==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2111,k k ，由平衡条件得到，222111ak b k k +=， a k k 221-=设1,0==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2212,k k ，由平衡条件得到，12k a k 2-=， a k k 222= 得作用力方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0000312222221221x a k a k a k a k b k x m a m θθ由频率方程02=-M K p ，得031222222212221=----+pm a k ak a k pa m a kb k4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l 的均匀刚性杆的质量为m 1及m 2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m 1=m 2=m 和k 1=k 2=k 时系统的固有频率。
解：如图取21,θθ为广义坐标，分别画受力图。
由动量矩定理得到，ll k l l k I 43434343211111θθθ+-=224343434322211122l l k l l k l l k I θθθθ--=整理得到，016916922112111=-+θθθl k l k I题4-3图题4-2图0)4169(1692222112122=++-θθθlk l k l k I则刚度矩阵和柔度矩阵分别得，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=221212121241169169169169k l k l k l k l k l K ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+===-2222222122144491641l k l k l k l k l k adj K K K∆ 系统的质量矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222121487003100l m l m I I M 由频率方程02=-M K p ，并代入已知条件得，048716131691693116922222222=----pml kl kl kl pml k l整理得到03248131122224=+-mk mk pp ,求得mk p 6505.01=，mk p 6145.22=。
用刚度影响系数法求解刚度矩阵。
令0,121==θθ，分别由两杆的受力图，列平衡方程为21211116943l k l k k =⎪⎭⎫ ⎝⎛=；2121169l k k -= 同理，令0,121==θθ得到212221222216941692l k l k l k l k k +=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=212112169l k k k -==∴ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=222121212141169169169169l k l k l k lk l k k4-4 题4-4图所示，滑轮半径为R ，绕中心的转动惯量为2mR 2，不计轴承处摩擦，并忽略绕滑轮的绳子的弹性及质量，求系统的固有频率及相应的主振型。
解：如图选x 1，x 2，x 3为广义坐标。
利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。
设0,1321===x x x ，画出受力图，并施加物体312111,,k k k ，由平衡条件得到，k k =11， 021=k ，kR k -=31设0,1312===x x x ，画出受力图，并施加物体322212,,k k k ，由平衡条件得到，12k = 0， k k =22，kR k =32设0,1213===x x x ，画出受力图，并施加物体332313,,k k k ，由平衡条件得到，kRk -=13，kR k =23，2332kR k =则刚度矩阵和质量矩阵分别得，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2200kR kRkRkR k kR kK ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=220000mR m mM 由频率方程02=-M K p ，得220022222=-----pmR kRkRkRkRmp k kR mpk展开为0)2()(22222=--R k mp p mp k m ，解出频率为01=p ，mk p =2，mk p 23=由特征矩阵M K B 2p -=的伴随矩阵的第一列，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=)()22)(()22)((2222222222222)1(mp k kR p mR kR mp k R k R k p mR kR mp k adj B并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为题4-4图⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=R R101111111A4-5 三个单摆用两个弹簧联结，如题4-5图所示。
令m 1=m 2=m 3=m 及k 1=k 2=k 。
试用微小的角1θ、2θ和3θ为坐标，以作用力方程方法求系统的固有频率及主振型。
解：如图选321,,θθθ为广义坐标。
利用刚度影响系数法求刚度矩阵K 。
设0,1321===θθθ，画出受力图，并施加物体于312111,,k k k ，由平衡条件得到，mglkh k +=211， 221kh k -=，031=k设0,1312===θθθ，画出受力图，并施加物体322212,,k k k ，由平衡条件得到，212khk -=， m g l kh k +=2222，232kh k -=设0,1213===θθθ，画出受力图，并施加物体332313,,k k k ，由平衡条件得到，013=k ，223khk -=，mgl kh k +=233题4-5图则刚度矩阵和质量矩阵分别得，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--+=mgl kh khkh mgl kh khkhmgl kh 2222222020K ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22200000ml ml ml M特征矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+---+=2222222222222 0 2 0 l mp mgl kh kh kh l mp mgl kh kh kh l mp mgl kh B由频率方程02=-M K p ，得=B 0，202222222222222=-+---+---+pml mgl kh khkhpml mgl kh kh khpml mgl kh展开为，()()()()[]()()()()()()[]()()()03 2 222222222222222222222222222222222222=-+--+=--+-+-+=-+-----+-+-+l mp mgl kh l mp mgl l mp mgl kh kh l mp mgl kh l mp mgl kh l mp mgl kh l mp mgl kh kh kh l mp mgl kh l mp mgl kh l mp mgl kh 0]4)(4))[((4222222222=+-+--h k p ml mgl kh p ml mgl p ml mgl解出频率为lg p =1，222mlkh lg p +=，2233mlkh lg p +=。
由特征矩阵M K B 2p -=的伴随矩阵的第一列，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-+=42222242222222)1()())(2(h k p ml mgl kh kh h k p ml mgl kh p ml mgl kh adj B并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111201111A4-6 题4-6图所示的简支梁的抗弯刚度为EJ ，本身质量不计，以微小的平动x 1、x 2和x 3为坐标，用位移方程方法求出系统的固有频率及主振型。
假设m 1=m 2=m 3=m 。
解：如图取广义坐标，用柔度影响系数法求柔度矩阵。
首先，仅在质量1m 处施加竖直单位力F=1，其余各质量块处不受力，则1m 产生的静挠度是11δ；2m 处产生的静挠度是21δ；3m 处产生的静挠度是31δ。
则由材料力学知识，得到EJl7689311=δ，EJl76811321=δ，EJl7687331=δ同理可得到其它柔度矩阵的各列，最后得到柔度矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=911711161171197683EJ l ∆ 得到系统的位移方程为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧32133210000091171116117119768x x xm m mEJ l x x x 由系统的特征矩阵I M L 21p-=∆，得频率方程0=L ，即091171116117119=---λααααλααααλα题4-6图其中231,768pEJml==λα，展开频率方程为0)1432)(2(22=+--ααλλαλ解出αλαλαλ444.0,2,556.31321===。
由特征矩阵的伴随矩阵的第一列⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=)16(7121)9(1177121)9)(16(222λαααλααααλαλαL adj ，分别代入特征值，得到主振型为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000.1000.1000.1414.1000.0414.1000.1000.1000.1A 。
4-7 如题4-7图所示，用三个弹簧连接的四个质量块可以沿水平方向平动，假设m 1=m 2=m 3=m 4=m 和k 1=k 2=k 3=k ，试用作用力方程计算系统的固有频率及主振型。
解：如图选择广义坐标。
求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=k kk k k k k k k k 0200200K ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m m m m 0000000000M 由频率方程02=-M K p ，得002002002222=----------mpk kk mp k k k mp k k k mp k因此可得到频率方程()2644322236104p p m k p m kp m km -+-= 解出210 p =,(22 2kp m=-， 232k p m=， 24(2k p m=+题4-7图解出频率为01=p ，mk p )22(2-=，mk p 23=。
