二次函数[上学期]--华师大版

（1）y=-x2; （2）
y 3 x2 ；
5
（3）y=15x2 （； 4） y=-4x2;
（5） y

9 10
x2
；（6）
y=4x2.
(1)其中开口向上的有_______(填题号)；
(2)其中开口向下且开口最大的是________(填题号)；
(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后 渐变小的有________(填题号).
的顶点.
典型例题
例1 画出函数 y 1 x2 与 y 2x2的图象.
2
解：列两个表
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 1 x2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
2
x
-2
1.5
-1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
y 2x2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
2、已知函数y=ax2+bx+c. (1) 当a,b,c是怎样的数时，它是正比例函数? (2) 当a,b,c是怎样的数时，它是一次函数? (3) 当a,b,c是怎样的数时，它是二次函数?
分别描点画图
你能从上面的图象中发现抛物线有哪些性质？ 这两个函数图象有何异同？
(1)这两个图象都是开口向上,图象有最低点. (2)这两个函数的图象都关于y轴对称 .
(3) 顶点都在原点.
例2、画出函数 y x2的图象 解：列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-9
-4
-1
0
-1
-4

-9

善良的人是单纯的。拥有一颗广博的心。没有私心杂念，头脑“简单”，他们从不知道也不擅于去设防别人；在他们眼里，总是认为别人都和自己一样有善心。
善良的人是低调的。不会炫耀，不会卖弄，不随意抬高自己的价值，不会不遗余力地展现自己。善良的人总是把自己当成一个平常人，与别人没有什么两样。
但，善良的人也最容易犯“糊涂”。有一种人用到你的时候，好话说尽，推开你的时候，无情翻脸，目的达到了，利益占到了，也就不需要你在身边。生活中，这样的例子泛泛皆是，不胜枚举。善 良过了头，就是缺心眼，心软过了度，就是人太傻。你把善良给了不知感恩的人，得到的是心寒；你把心软给了得寸进尺的人，换来的是翻脸。尘世繁杂，说甜言蜜语的人，不见的就不害人；表面热情 的人，也不一定不算计人；别把善良给错了人。你的善良要给值得的人，你的宽容要给真诚的人，人心看不见，感情要体验，与君子为友，拿真心交换；和小人相处，要划清界限。遇到好心的人，把善 良掏出；遇到恶意的人，把善良放后；对不择手段的人，何必心软，对知恩图报的人，用心ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ伴。请珍惜你的善良，别被小人利用。“狗咬吕洞宾，不识好人心”寓意的不外乎是这些理。别把耐心、善 心和无限制的包容错误地给了“过河就断桥”的人。
《三字经》开篇便是:“人之初，性本善。性相近，习相远”；佛门的普渡众生，向善向好，意自不必赘述。正如打猎者不猎杀幼仔，捕渔者放生小鱼，伐木者留置幼苗等，善良是美德。罗曼·罗兰说， “灵魂最美的音乐是善良”。善良，是一个人最好的优点，善良的人，心思纯简，学不会欺骗敷衍，做不到背后暗算，把好心留给别人，把感情视为肌骨。九城官网

首先要将二次函数的关系式化为顶点式,然后按照“左加右减,上加下
减”的平移规律,确定平移后的抛物线对应的函数关系式.
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
目标三 理解二次函数y=a(x-h)2+k的性质
例 3 [高频考题]

已知函数 y=3 - +9.
(1)确定此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
二次
a的
图象的开 图象的 图象的顶
函数值的
图象
函数
符号
最值
口方向
对称轴 点坐标
变化情况
当x>h时,y随x的
y=
a(x-
a>0
向上
直线
( h , 增大而 增大 ;
图象有最 低点,
当x=h时,y有最
x=h
2

称轴分别为 y 轴,直线 x=1,直线 x=1;顶点坐标分别为
(0,0),(1,0),(1,-2).
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
【归纳总结】画二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象的技巧:
(1)找到对称轴直线 x=h(即顶点的横坐标 h);
(2)列表时选取的 x 值中把 h 放在中间,比 h 小和比 h 大的数各取若干个
k
)
当x<h时,y随x的
h)2+k
增大而
增大
大值
k
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
反思

质 随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x 的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x

>-

>-
时,y随x的增大而增大.
(4)抛物线有最低点,当x=
-
最小值,y最小值=

-
时,y随x的增大而减小.


时,y有 (4)抛物线有最高点,当x=
-
大值,y最大值=

-


时,y有最
以选项 D 错误.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
【归纳总结】求二次函数最大(小)值的方法:
(1)直接观察函数图象得最大(小)值;(2)配方法;(3)用顶点的坐标公
式求最大(小)值.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
例 3 [高频考题]
2
如果二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图
2
2
y=ax +bx+c 的形式.反过来,二次函数 y=ax +bx+c 也可以通过配方法转
2
化为 y=a(x-h) +k 的形式.具体过程如下:
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
2
y=ax +bx+c





=a + +


=a + ·
=a +
+
-
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
反思
已知二次函数 y=x2+(m-1)x+1,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,试

石岛湾畔的水，弥漫开来，若凤凰展翅，水波不兴，阳光涂金。胶东半岛最大的造船基地——石岛造船厂，巨轮在坞，桅杆耸立。正在填海建造的石岛客货混用港口码头，一片繁忙。北方最大的渔 港——渔人码头，千帆静待，在海天交蓝之处，挂起了白云朵朵。
我不敢说起我每日驾着大板车，将拉车的绳索架在肩膀上到三里外的土产公司进货的情景，应该让妈妈看到我很光鲜的一面。我很得意，因为妈妈舍不得我出一点劲，可我不能总是在妈妈的怀抱里 啊，我要成长，必须离开妈妈的呵护。
“妈，公私分明，要大公无私。”我说出这样的话，我就知道伤害了妈妈，她脸上的笑意顿时消失殆尽，板着脸听我训斥，“妈，也好，差钱了，回家，妈给儿带几个鸡蛋顶账。”我哄着妈妈，我 停止了关于价值观的母子论战。球迷网
三
我想给母亲介绍我见过、有过的最大的城。石岛，那时只有靠海五六十。
和妈妈观景，这是我此生唯一的一次，其意义不下于人生“三佳境”：他乡遇故知，金榜题名时，洞房花烛夜。岂止是故知，是相依为命的境界升华。那时若有一部相机给妈妈和我留下一张照片， 也会让我了却此生之憾。每当想起妈，我有举止无措的惊慌感，眼前由清晰到模糊，扰得心也乱，情不堪，只能使劲攥一下妈妈的手，可生怕弄痛了妈。因为五年之后，妈妈就离开了我，那时，她年仅 48岁。

每当我见到我师母的那一刻，让我看到师母那一双明澈、慈祥的眼里，都浸满了苦涩的泪水，我心酸极了……可我无能为力，只能含泪劝着我心地善良的师母，请多保重，坚强！未来的日子，脚下 的路还很长！很长……一定要从失去亲人的痛苦中走出来！照顾好自己和孩子。188提款要身份验证 一直祈祷苍天：保佑我那位心地善良的师母和她的一对儿女，远离灾难，每天微笑、笑对生活！学生一定会尽最大的努力，照顾好我那位心地善良的师母和她的一对未成家立业的儿女，终生不 变…...? 我的师母，也怕我在异国他乡这片陌生的土地里，奔波的里程中，不会照顾自己，经常在微信上嘘寒问暖！有了我心地善良的师母，对我的“挂牵”，顿感生活、工作中的一切委屈，化为乌有，何 愁走不出人生的冬天？
凌晨时分，电闪雷鸣，暴雨如注…… 被惊雷炸醒后，我潜意识地用右手碰了一下左手，虽然进入伏夏好多天了，我仍然感觉到了些许的凉意。
可不是么，今年的梅雨历时四十三天，不论பைடு நூலகம்时长还是雨量，都刷新了历史记录。不仅水墨了江南，不少的地方洪流滚滚，甚至浊浪滔天。
我顿失了睡意，一骨碌地爬了起来，端坐到书桌之前。尽管窗外狂风大作，我以为这倾盆大雨只是强弩之末。我不仅嗅到了阳光的味道，而且料定不日将艳阳高照。

定义域,值域,对应关系.称为函数的三 大要素.
问题:1.函数y=ax+b(a≠0)的定义域 和值域是什么?
2.二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的定义域和值域是什么?
请义说域说,反对比应例关函系数和值域y 各kx是(k 什 0么) ?的你定 能用函数的定义描述这个函数吗?
函数的定义域是函数的三要素之关 键，函数定义域就是使这个解析式 有意义的自变量的取值集合。
• f(x）为整式时，定义域为实数集； • f(x）为分式时，定义域为使分母不为零的
实数的集合；
• f(x）为偶次根式时，定义域为被开方数非 负的实数的集合；
• 如果函数是一些基本函数通过四则运算结 合而成的，那么它的定义域是各基本函设 A，B是两个非空的数集，如果按某种确定 的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数 x， 在集合B中都有惟一确定的数f (x) 和它对应，那 么就称ｆ：Ａ Ｂ为从集合A 到集合B的一个函 数(function)，通常记为
y＝f (x)，x ∈A．
其中，x叫做自变量， x取值范围A叫做函数y＝f (x)
；；；
一致起来。 考点：本题考查学生修改病句的能力。 点评：了解常见病句类型及修改方法，是基本的应对策略。常见病因有成分残缺、成分赘余、搭配不当、用词不当、语序不当、结构混乱等。平时要注意正确表述，避免语病的发生；还可以与同学多交流，尤其是作文互评中，要按以上 病因把句子加以衡量，给彼此寻找病句。这样语感会逐渐增强。如果在考试中凭语感一眼找不出来，就要静下心来按以上常见病因一一加以衡量，只要多读几遍，相信一定能找到正确 结果的。 76．下列句子中，没有语病的一项是（）（2分） A．我们不赞成应试教育，决不是主张取消 考试，而是不赞成以应付升学考试为唯一目的来开展教育教学活动的做法。

第26章 二次函数
26.2 二次函数的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
学习目标
情境引入
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-
h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. （重点）
导入新课
复习引入
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当x> b 时，y随x的增大而增大.
2a
O
x
(2) 如大果；a当<x0>,当 x2b<a 时2ba，时y随，xy的随增x的大增而大减而小增.
例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减
小，则实数b的取值范围是（ ）
D
A．b≥－1
B．b≤－1
? ?
最值
最大值0 最大值-5 最大值0 最大值-4
最小值3 ? ?
讲授新课
一 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
探究归纳
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ y 1 x2 6x 21
2
问题1 怎样将 y 1 x2 6x 21 化成y=a(x-h)2+k的情势？ 2
D
A.y轴 C. 直线x=2
B.直线x= 5
2
D.直线x= 3
2
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所
y
示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0； （4）当y=–2时，x的值只能取0； 其中正确的是 （2.）

函数及其图象
二次函数
的图象
朝阳实验中学
刘芳
尾的白杏仁色长龙……只见望不见尾的长龙狂摆嘶叫着快速来到近前，这时壮扭公主才看清：整条长龙都是由翻滚狂转的匕首和葫芦组成！突然间九条长龙变成一个直 径达万米的紫宝石色巨大脖子模样的超巨型火龙卷群！把壮扭公主团团围主！只见无数匕首和葫芦像成千上万的鱼雷一样朝壮扭公主冲来……这时壮扭公主笑道：“你 们搞的是啥东西？！看我的！”壮扭公主一边说着！一边甩动深黑色天河腰带大吼一声，只见无数高达九百米的鼓锤形摩天厅长大厦纷纷从地下钻了出来，然后纷纷长 出比水塔烟囱还粗的手脚，排列成整齐的兵阵……壮扭公主甩动夯锤一般的金刚大脚又是一声大吼，所有厅长都像巨大的导弹一样腾空而起，向怒放的烟花一样朝四周 超巨型的雪龙卷射去……随着一阵阵的爆炸和一片片的闪光，所有的雪龙卷群都烟消云散、不见了踪影……只见女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女和另外四个校妖突然齐声怪叫 着组成了一个巨大的鸭掌八蹄兽！这个巨大的鸭掌八蹄兽，身长五百多米，体重七十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分沧桑的八蹄！这巨兽有着深蓝色香肠般的身躯 和亮蓝色细小画笔形态的皮毛，头上是水青色皮球似的鬃毛，长着深灰色狮子般的蛋糕浪云额头，前半身是纯蓝色玉葱般的怪鳞，后半身是破旧的羽毛。这巨兽长着暗 紫色狮子般的脑袋和纯白色黑熊般的脖子，有着墨紫色海蜇一般的脸和紫红色蜈蚣般的眉毛，配着暗白色牛屎似的鼻子。有着天青色勋章一般的眼睛，和淡灰色蚕蛹般 的耳朵，一张天青色脸盆般的嘴唇，怪叫时露出亮白色华灯般的牙齿，变态的纯蓝色竹节形态的舌头很是恐怖，亮蓝色香肠样的下巴非常离奇。这巨兽有着犹如鲇鱼般 的肩胛和仿佛毛刷似的翅膀，这巨兽突兀的墨蓝色驴肾形态的胸脯闪着冷光，美如香蕉似的屁股更让人猜想。这巨兽有着特像灯柱般的腿和深白色铁砧般的爪子……变 异的水青色野象形态的四条尾巴极为怪异，浅灰色海星般的马桶粗布肚子有种野蛮的霸气。墨蓝色肉串似的脚趾甲更为绝奇。这个巨兽喘息时有种暗白色爆竹形态的气 味，乱叫时会发出亮紫色核桃一般的声音。这个巨兽头上水红色黄瓜似的犄角真的十分罕见，脖子上活像布条似的铃铛感觉空前稀有又绚丽。壮扭公主兴奋道：“好玩 ，有创意！本公主相当喜欢！有什么花样快弄出来我瞧瞧！”壮扭公主一边说着一边将身体变得和”鸭掌八蹄兽一样巨大……这时那伙校妖组成的巨大鸭掌八蹄兽忽然 怪吼一声！只见鸭掌八蹄兽摆动花哨的脖子，一扭，一道青远山色的玉光轻飘地从浅灰色海星般的马桶粗布肚子里面抖出！瞬间在巨鸭掌八蹄兽周身形成一片乳白色的 光球！紧接

(2) y 2 32 20 3 42m
知识运用
当m取何值时，函数是y= (m+2)xm2-2
分别 是一次函数？
反比例函数？ 二次函数？
驶向胜利 的彼岸
再见！
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
须根据题意确定自变量的取值范围.
做一做:
函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)，当a,b, c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？
解：（1）a 0
(2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0, c 0
试一试:
要用长20m的铁栏杆，一面靠墙， 围成一个矩形的花圃，怎么样围 法才能使围成的花圃的面积最大？
————— 二次函数
做一做:
（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2） 是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长 增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘 米，试写出y与x的关系式．
去。……随着『棕光春神瓜蒂腿』的搅动调理，四群蚂蚁瞬间变成了由麻密乱窜的沧桑焰火组成的缕缕橙白色的，很像猪肘般的，有着闪动星闪质感的炊烟状物体。随 着炊烟状物体的抖动旋转……只见其间又闪出一簇浅橙色的龙卷风状物体……接着Ｂ．可日勃教主又使自己高雅的深橙色耳坠般的神态绕动出亮蓝色的枷锁味，只见他 冒烟的戒指中，萧洒地涌出九组榴莲状的仙翅枕头尺，随着Ｂ．可日勃教主的晃动，榴莲状的仙翅枕头尺像小鬼一样闪耀起来。一道天青色的闪光，地面变成了天青色 、景物变成了紫葡萄色、天空变成了淡红色、四周发出了温柔的巨响……只听一声玄妙梦幻的声音划过，四只很像甩鬼鸡窝般的炊烟状的缕缕闪光体中，突然同时喷出 八道古怪离奇的紫葡萄色小妖，这些古怪离奇的紫葡萄色小妖被天一闪，立刻化作新鲜的飘带，不一会儿这些飘带就闪烁争辉着跳向庞然怪柱的上空，很快在六大广场 之上变成了闪烁怪异、质感华丽的跳动自由的团体操。这时Ｂ．可日勃教主发出最后的的狂吼，然后使出了独门绝技『棕光春神瓜蒂腿』飘然一扫，只见一阵蓝色发光 的疾风突然从Ｂ．可日勃教主的腿中窜出，直扑闪光体而去……只见闪光体立刻碎成数不清的星闪奇特的跳动自由的团体操飞向悬在空中的大广场。随着全部的团体操 进入大广场，悬在ｌ场上空闪着金光的纯红色南瓜形天光计量仪，立刻射出串串褐黄色的脉冲光……瞬间，空中显示出缓缓旋转的暗白色巨大数据，只见与团体操有关的 数据全都优良，总分是９３．９２分！第二个上场的是副ｌ官Ｐ．妥奥姆斯政委，“他站起身：“小学生，本人杰让你们享受理解一下！什么是民主，什么叫高层次， 哇呀呀。”这时，Ｐ．妥奥姆斯政委飘然像灰蓝色的灰臂海湾鹏一样疯喊了一声，突然耍了一套倒立狂跳的特技神功，身上忽然生出了五十只美如冬瓜一般的暗黑色鼻 子！接着来了一出，蹦鹏马勺翻三千二百四十度外加雁乐剑鞘旋十九周半的招数，接着又搞了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招式！紧接着弯曲的 胸部奇特紧缩闪烁起来……短小的深青色兔子般的脑袋喷出浓绿色的飘飘雪气……轻灵的极似海蜇造型的屁股跃出浓黑色的点点神香……最后颤起笨拙的极似油条造型 的腿一吼，快速从里面跳出一道亮光，他抓住亮光奇妙地一摆，一样青虚虚、灰叽叽的法宝『绿风蟒精小路袋』便显露出来，只见这个这件神器儿，一边飘荡，一边发 出“嗷哈”的美声！猛然间Ｐ．妥奥姆斯政委闪速地连续使出九千九百九十九式沙鹰剃须刀钻，只见他窜出的海蓝色狮子般的肉筋中，狂傲地流出九组摆舞着『青烟甩 仙球棒经文』的

我们热爱这个世界时，才真正活在这个世界上。 --泰戈尔 清晨，在一阵鸟鸣和雀跃的喧闹中醒来。 窗外，一半是被朝阳镀了层霞光的微蓝的天，一半是香樟树叶涌动的幽绿的海，心里那只幸福的白鸽就自己飞了出来，在朝霞里尽情地盘旋。 绿海蓝天白鸽，一幅写实又写意，宁静又充满动感的画。 怎么能不幸福呢？每周有两天周末可以随意安排，住在闹市区美丽安静的一隅。北面是充满人文气息的校园，成群的白衣少年和花裙装的女孩像天使一样飞来飞去。成片的林木像天然氧吧，早晨可以在 冠如伞盖的樟树下打打羽毛球；南面是植被茂密的公园，明净的湖水像嵌在万木丛中的碧玉，黄昏时可以沿湖散步，无数叫不上名的小花小草和高大的树木面前都有一个牌子：某某名，属某某科像是给 你殷勤递上的名片，慢慢由相遇到相识到亲朋好友般的亲切，那些诗一般的名字和不同姿容的独特美丽，使人流连忘返。
其实，人本该没有差距的，只是现实世界让我们不得不去自我增加压力。我们每一个人都承受着压力，面对名利金钱的诱惑，绞尽脑汁的勾心斗角，费尽心思的考试证明。我在想，为何我们不走出都市， 感受外界的宁静。小程序开发 https:// 星空夜下，路灯昏暗，一个人走在宽阔的马路上，依稀能遇到几辆疾驶的车辆从耳边呼啸而过，或是不屑，或是无语。我只是迈着脚步在漫无目的的走着，不知走向何方！ 那么我呢？是否还会坚持心中的世界：坐在图书馆看看书，躺在草坪上仰望星空，站在街头天桥眺望远方，趴在书桌前写几篇文章 我真的不会被这浮华所迷惑吗？我也开始疑惑了。我想这或许大概应该会是吧。

常言道：麦子上场，杏儿黄。这棵树的杏子是在全村所有杏儿几乎绝迹的时侯才缓缓登场的。也许是因为赶不上时令的缘故，更或者是因为人们早已不鲜于品尝它滋味的原因。杏树下的小径上人迹 罕至，那些曾经陪伴过它的屁孩至今也已人到暮年。现在还能一如既往地仰视它、陪伴它，将它如获至宝的除草中的 碎碟子烂碗渣了。真人菠菜 Lexiangqipai.vip
外婆才舍不得离开它呢。它曾经陪着外婆在艰苦的岁月死命地苦熬、挣扎，它除了给家人解馋，还让拮据苦涩的生活有了甜津津的味道。看到了杏树，外婆就像看到了自己的夙命，它的枝枝叶叶封 印着外婆生活的全部记忆。沿着那裸露在地表上赤褐色的根茎向上触摸，她触摸到了潜藏在自己骨子里的疼痛。
时间向上追溯到43年前的1976年，对于外婆来说，那一年的那些事在她的心里始终是一道疼痛的疤痕。那些年，家家缺吃少穿，贫困一度扼住了人们生存的咽喉。社会主义经济大潮的涌动冲开了死 神的手臂，让挣扎着的人们把发展生产力放在了首位，外婆家也不列外。正当好日子水推磨石般哗啦啦转的时候，她的丈夫——我的外公，一位年仅38岁年轻有魄力的大队支部书记，被肝病无情地夺走 了生命。

第26章二次函数 (1)二次函数 (2)二次函数的图象与性质 (3)1. 二次函数y＝ax2的图象与性质 (3)2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 (5)3. 求二次函数的函数关系式 (13)阅读材料................................................................................................... 错误!未定义书签。

生活中的抛物线....................................................................................... 错误!未定义书签。

实践与探索 (15)小结 (17)复习题 (18)第26章二次函数要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎么样围法才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为x m，花圃的面积为y m2，那么y=x(20-2x).试问：x为何值时，才能使y的值最大？§26.1 二次函数问题1（本章导图中的问题）如图26.1.1，要用总长为20 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？试一试（1）设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x m，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积y m2.试将计算结果填写在下表的空格中.（2）x的值是否可以任意取？有限定范围吗？（3）我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也就随之确定，y 是x的函数，试写出这个函数的关系式．问题2某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?分析在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关．设每件商品降价x 元（0≤x≤2），该商品每天的利润为y元，y是x的函数．我们可以得到：问题1中的函数关系式为y＝x（20－2x）（0＜x＜10）即y＝－2x2＋20x（0＜x＜10）问题2中的函数关系式为y＝（10－x－8）（100＋100x）（0≤x≤2），即y＝－100x2＋100x＋200（0≤x≤2）.观察得到的两个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？概括它们都是用自变量的二次多项式来表示的．问题都可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数叫做x 的二次函数（quadratic function ）．练 习1. 已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10 cm ．（1） 当它的一条直角边长为4.5 cm 时，求这个直角三角形的面积；（2） 设这个直角三角形的面积为S cm 2，其中一条直角边长为x cm ，求S关于x 的函数关系式．2. 已知正方体的棱长为x cm ，它的表面积为S cm 2，体积为V cm 3．（1） 分别写出S 与x 、V 与x 之间的函数关系式； （2） 这两个函数中，哪个是x 的二次函数？1. 设圆柱的高为6 cm ，底面半径r cm ，底面周长C cm ，圆柱的体积为V cm 3． （1） 分别写出C 关于r 、V 关于r 、V 关于C 的函数关系式； （2） 这三个函数中，哪些是二次函数？2. 正方形的边长为4，若边长增加x ，则面积增加y ，求y 关于x 的函数关系式．这个函数是二次函数吗？3. 已知二次函数y ＝ax 2＋c ，当x ＝2时，y ＝4；当x ＝－1时，y ＝－3．求a 、c 的值． 4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m ．（1） 求隧道截面的面积S （m 2）关于上部半圆半径r （m ）的函数关系式；（2） 求当上部半圆半径为2 m 时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1m 2）（3）二次函数的图象与性质回 顾上一节所提出的两个问题，都归结为有关二次函数的问题．为了解决这类问题，需要研究二次函数的性质．在研究一次函数时，曾借助图像了解了一次函数的性质．对二次函数的研究，我们也从图像入手．1. 二次函数y ＝ax 2的图象与性质我们知道，一次函数的图像是一条直线．那么，二次函数的图像是什么？它有什么特点？又有哪些性质？让我们先来研究最简单的二次函数 y ＝ax 2 的图像与性质． 例1 画二次函数y ＝x 2的图象． 解 列表．（第4题）在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y＝x2的图象，如图26.2.1所示．图26.2.1像这样的曲线通常叫做抛物线（parabola）．它有一条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．做一做（1）在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？（2）在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2、y＝－2x2的图象．观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？（3）将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？概括函数y＝ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称．它的顶点坐标是（0，0）．观察y＝x2、y＝2x2的图象，可以看出：当a＞0时，抛物线y＝ax2开口向上．在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．顶点是抛物线上位置最低的点．图象的这些特点，反映了当a＞0时，函数y＝ax2具有这样的性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；当x ＝0时，函数y＝ax2取得最小值，最小值y＝0．思考观察函数y＝－x2、y＝－2x2的图象，试作出类似的概括，当a＜0时，抛物线y＝ax2有些什么特点？它反映了当a＜0时，函数y＝ax2具有哪些性质？将你思考的结果填在下面的方框内，与同伴交流．练 习1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：（1） y ＝3x 2； （2） y ＝－31x 2．2.根据上题所画的函数图象填空．（1） 抛物线y ＝3x 2的对称轴是_______________，顶点坐标是____________，当x _________时，抛物线上的点都在x 轴的上方；（2） 抛物线y ＝－31x 2的开口向________，除了它的顶点，抛物线上的点都在x 轴的_________方，它的顶点是图象的最___________点．3.不画图象，说出抛物线y ＝－4x 2和y ＝41x 2的对称轴、顶点坐标和开口方向．4.记r 为圆的半径，S 为该圆的面积，有面积公式S ＝πr 2，表明S 是r 的函数．（1） 当半径r 分别为2、2.5、3时，求圆的面积S （π取3.14）； （2） 画出函数S ＝πr 2的图象．2. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质问题1试研究二次函数y ＝2x 2－4x ＋3的图象． 分 析将函数关系式配方，得y ＝2（x －1）2＋1．我们设法寻求它与y ＝2x 2图像的联系．为此，先看几个简单的例子． 例2 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2与y ＝2x 2＋1的图像． 解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26.2.2所示．图26.2.2观 察当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？观察这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．它们有哪些是相同的？又有哪些不同？概 括通过观察，我们发现：当自变量x 取同一数值时，函数y ＝2x 2＋1的函数值都比函数y ＝2x 2的函数值大1．反映在图象上，函数y ＝2x 2＋1的图象上的点都是由函数y ＝2x 2的图象上的相应点向上移动了一个单位．函数y ＝2x 2＋1与y ＝2x 2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同．函数y ＝2x 2＋1的图象可以看成是将函数 y ＝2x 2 的图象向上平移一个单位得到的，它的顶点坐标是（0，1）．据此，可以由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2x 2＋1的一些性质：当x _____时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ______时，函数值y 随x 的增大而增大；当x _____时，函数取得最____值，最____值y ＝______．做一做先在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 2－2与函数y ＝2x 2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？说出y ＝2x 2－2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质．思 考在同一直角坐标系中，函数y ＝－31x 2＋2的图象与函数y ＝－31x 2的图象有什么关系？你能说出函数y ＝－31x 2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？这个函数有哪些性质？练 习1.已知函数y ＝－31x 2、y ＝－31x 2＋2和y ＝－31x 2－2．（1） 分别画出它们的图象；（2） 说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 试说出函数y ＝－31x 2＋4的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝－31x 2得到抛物线y ＝－31x 2＋2和y ＝－31x 2－2？如果要得到抛物线y ＝－31x 2＋4，应将抛物线y ＝－31x 2作怎样的平移？y ＝ax 2＋k （a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．例3 在如图26.2.3所示的直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2和y ＝2（x －1）2的图象．解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象．图26.2.3观 察根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．思 考这两个函数的图象之间有什么关系？概 括通过观察、分析，可以发现：函数y ＝2（x －1）2与y ＝2x 2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同．函数y ＝2（x －1）2的图象可以看作是将函数y ＝2x 2的图象向右平移1个单位得到的．它的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是（1，0）．据此，可以由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2（x －1）2的性质：当x ______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x _____时，函数值y 随x 的增大而增大；当x _____时，函数取得最______值，最______值y ＝______．做一做在同一直角坐标系中画出函数y ＝2（x ＋1）2与函数y ＝2x 2的图象，比较它们的联系和区别．并说出函数y ＝2（x ＋1）2的图象可以看成由函数y ＝2x 2的图象经过怎样的平移得到．由此讨论函数y ＝2（x ＋1）2的性质．思 考在同一直角坐标系中，函数y ＝－31（x ＋2）2的图象与函数y ＝－31x 2的图象有什么关系？试说出函数y ＝－31（x ＋2）2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质．练 习1. 已知函数y ＝31x 2、y ＝31（x ＋3）2和y ＝31（x －3）2．（1） 在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2） 分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3） 分别讨论各个函数的性质．2. 根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝31x 2得到抛物线y ＝31（x ＋3）2和y ＝31（x －3）2？3. 你能说出函数y ＝a （x －h ）2（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．例2及例3的基础上，我们再来研究第7页的问题1，即研究函数y ＝2（x －1）2＋1的图象和性质．分 析我们已经知道函数y ＝2（x －1）2的图象与函数y ＝2x 2的图象之间的关系． 在此基础上，可以找到函数y ＝2（x －1）2＋1的图象与函数y ＝2（x －1）2的图象之间的关系．试一试（1） 填写下表．（2） 从上表中，你能分别找到函数y ＝2（x －1）2＋1与函数y ＝2（x －1）2、y ＝2x 2的图象的关系吗？（3） 进一步，你能发现函数y ＝2（x －1）2＋1有哪些性质？做一做（1） 在图26.2.3中，再画出函数y ＝2（x －1）2－2的图象，并将它与函数y＝2（x －1）2 的图象作比较．（2） 试说出函数y ＝－31（x －1）2＋2的图象与函数y ＝－31x 2的图象的关系，由此进一步说明这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．练 习1.已知函数y ＝21x 2、y ＝21（x ＋2）2＋2和y ＝21（x ＋2）2－3．（1） 在同一个直角坐标系中画出这三个函数的图象；（2） 分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 试讨论函数y ＝21（x ＋2）2－3的性质．2.试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝21x 2得到抛物线y ＝21（x ＋2）2＋2和抛物线y ＝21（x －2）2－3？如果要得到抛物线y ＝21（x ＋2）2－6，那么应该将抛物线y ＝21x 2作怎样的平移？y ＝a （x －h ）2＋k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．4.不画出图象，直接说出函数y ＝－3x 2－6x ＋8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（提示：将－3x 2－6x ＋8配方，化为练习第3题中的形式）例4 画出函数y ＝－21x 2＋x －25的图象，并说明这个函数具有哪些性质．分析 因为 y ＝－21x 2＋x －25＝－21（x －1）2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为（1，－2）．根据这些特点，我们容易画出它的图象． 解 列表．画出的图象如图26.2.4．图26.2.4由图象不难得到这个函数具有如下性质：当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝－2．做一做（1） 请你按照上面的方法，画出函数y ＝21x 2－4x ＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？（2） 通过配方变形，说出函数y ＝－2 x 2＋8x －8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 思 考对于任意一个二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？练 习1. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．（1） y ＝3（x ＋3）2＋4； （2） y ＝－2（x －1）2－2；（3） y ＝21（x ＋3）2－2； （4） y ＝－32（x －1）2＋0.6．2. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1） y ＝2x 2＋4x ； （2） y ＝－2x 2－3x ；（3） y ＝－3x 2＋6x －7； （4） y ＝21x 2－4x ＋5．3. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象．（1） y ＝－2（x －1）2＋4； （2） y ＝21（x ＋2）2－5；（3） y ＝－31x 2－2x ＋1； （4） y ＝x 2－4x ＋7．应 用现在让我们应用二次函数的有关知识去解决第2页提出的两个问题． 问题1 这个问题实际上是要求出自变量x 为何值时，二次函数y ＝－2x 2＋20x （0＜x ＜10）取得最大值．将这个函数的关系式配方，得y ＝－2（x －5）2＋50．显然，这个函数的图象开口向下，它的顶点坐标是（5，50），这就是说，当x ＝5时，函数取得最大值y ＝50．这时，AB ＝5（m ），BC ＝20－2x ＝10（m ）．所以当围成的花圃与墙垂直的一边长5 m ，与墙平行的一边长10 m 时，花圃面积最大，最大面积为50 m 2．问题2 实际上是要求出自变量x 为何值时，二次函数y ＝－100x 2＋100x ＋200（0≤x ≤2）取得最大值．请同学们完成这个问题的解答．例5 用6 m 长的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？解 设做成的窗框的宽为x m ，则长为236x-m ．这里应有x ＞0，且236x-＞0，故0＜x ＜2．做成的窗框的透光面积y 与x 的函数关系式是y =x •236x -, 即 y =x x 3232+-.配方得 y ＝－23（x －1）2+23,所以当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝1.5．因为x ＝1时，满足0＜x ＜2，这时236x-．所以应做成宽1 m 、长1.5 m 的矩形窗框，才能使透光面积最大．最大面积是1.5 m 2．练 习1. 求下列函数的最大值或最小值．（1） y ＝x 2－3x ＋4； （2） y ＝1－2x －x 2；（3） y ＝237272+-x x ； （4） y ＝100－5x 2；（5） y ＝－6x 2＋12x ； （6） y ＝－23x 2－4x ＋1．2. 有一根长为40 cm 的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？3. 已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？（提示：设其中的一个正数为x ，将它们的积表示为x 的函数）图26.2.53. 求二次函数的函数关系式问题2如图26.2.6，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB ）的薄壳屋顶．它的拱宽AB 为4 m ，拱高CO 为0.8 m ．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？图26.2.6分 析为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．如图26.2.6，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系．这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y ＝ax 2 （a ＜0）． （1）因为AB 与y 轴交于点C ，所以CB ＝2AB＝2（m ），又CO ＝0.8 m ，所以点B 的坐标为（2，－0.8）．因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入（1），得－0.8＝a ×22，所以 a ＝－0.2．因此，函数关系式是yx 2．根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线．在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的关系式． 例6 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．分析 因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为y ＝a （x －8）2＋9．根据它的图象过点（0，1），容易确定a 的值． 例7 已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．解 设所求二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知，这个函数的图象过（0，1），可以得到c ＝1．又由于其图象过（2，4）、（3，10）两点，可以得到⎩⎨⎧=+=+.939,324b a b a 解这个方程组，得a =23，b =-23 所以，所求二次函数的关系式是y=123232+-x x .注 意求二次函数的关系式，应根据不同条件，选用适当形式． 练 习1. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1） 已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）； （2） 已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）； （3） 已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）．2. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过三点：（－1，－1）、（0，－2）、（1，1）． （1） 求这条抛物线所对应的二次函数的关系式； （2） 写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？1. 分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象．（1） y ＝31x 2＋2与y ＝31x 2－3；（2） y ＝－21（x ＋3）2与y ＝－21（x －1）2；（3） y ＝－3（x －2）2与y ＝－3（x －2）2＋1； （4） y ＝－（x ＋3）2－1与y ＝－（x ＋3）2＋2． 2. 说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴． （1）y ＝x 2－3x －4； （2）y ＝2－4x －x 2；（3）y ＝21x 2－2x －1； （4）y ＝－43x 2＋6x －7；（5）y ＝2x 2－3x ； （6）y ＝－2x 2－5x ＋7．3. 下列抛物线有最高点或最低点吗？如有，写出这些点的坐标． （1）y ＝4x 2－4x ＋1； （2）y ＝－4x 2－9； （3）y ＝－4x 2＋3x ； （4）y ＝3x 2－5x ＋6．4. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1） 已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，－27）； （2） 已知抛物线的顶点在（1，－2），且过点（2，3）； （3） 已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．5. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m ，跨度为10 m ．如图所示，把它的图形放在直角坐标系中． （1） 求这条抛物线所对应的函数关系式；（2） 如图，在对称轴右边1 m 处，桥洞离水面的高是多少？(第5题)§26.3 实践与探索生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题．请与同伴共同研究，尝试解决下面的问题．问题1某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8 m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图26.3.1（1）所示．根据设计图纸已知：在图26.3.1（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋54．（1） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少？ （2） 如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？问题2图26.3.2一个涵洞成抛物线形，它的截面如图26.3.2．现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？分 析根据已知条件，要求ED 宽，只要求出FD 的长度．在图示的直角坐标系中，即只要求出点D 的横坐标．因为点D 在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．你会求吗？问题3画出函数432--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题．（1） 图象与x 轴交点的坐标是什么？（2） 当x 取何值时，y ＝0？这里x 的取值与方程432--=x x y 有什么关系?（3） 你能从中得到什么启发?试一试根据问题3的图象回答下列问题．（1） 当x 取何值时，y ＜0？当x 取何值时，y ＞0？ （2） 能否用含有x 的不等式来描述（1）中的问题？练 习1. 画出函数y ＝x 2－2x －1的图象，求方程x 2－2x －1＝0的解．（精确到0.1）2. 你能否画出适当的函数图象，求方程3212+=x x 的解？问题4育才中学初三（3）班的学生在上节课的作业中出现了争论：求方程3212+=x x 的解时，几乎所有学生都是将方程化为03212=--x x ，画出函数3212--=x x y 的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解．惟独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y ＝x 2和的图象321+=x y ，如图26.3.3，认为它们交点A 、 B 的横坐标－23和2就是原方程的解．图26.3.3对于小刘提出的解法，同学们展开了热烈的讨论．做一做 利用图26.3.4，运用小刘的方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理． （1） x 2＋x －1＝0（精确到0.1）； （2） 2x 2－3x －2＝0． 习题26.3 1. 如图，一个运动员推铅球，铅球在点A 处出手，出手时球离地面约132m ；铅球落地在点B 处．铅球运行中在运动员前4 m 处（即OC ＝4）达到最高点，最高点高为3 m ．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？2. 某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．（1） 写出售价x （元/件）与每天所得的利润y （元）之间的函数关系式； （2） 每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？ 3. 利用函数的图象求下列方程的解．（1） x 2＋x －12＝0； （2）2x 2－x －3＝0． 4. 利用函数的图象求下列方程组的解．（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=;,23212x y x y （2）⎩⎨⎧-=--=.,132x x y x y 小 结一、 知识结构图26.3.4(第1题)二、注意事项1. 二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型．要学会分析实际问题中的变量与变量间的关系，列出函数关系式，善于利用二次函数的图象和性质去解决问题．2. 二次函数的图象是研究二次函数性质的重要工具，注意把握二次函数图象的特点（对称轴、开口方向、顶点坐标），并由此发现和认识二次函数的一些性质，如：何时函数值y随自变量x的增加而增加（或减小）？何时函数取得最大（小）值？在学习二次函数时，要善于运用图象，领会和运用数形结合的思想方法（包括利用函数的图象求解方程与方程组）．3. 在研究二次函数的图象和性质时，首先抓住最简单的二次函数y＝ax2（a ≠0）的图象和性质．对于一般的二次函数，常利用配方法，将函数关系式化为y＝a（x－h）2＋k（h、k为常数）的形式，抓住它与y＝ax2的图象之间的联系来研究．要注意在研究具体实例的过程中，体会这种化归（化未知为已知，变复杂为简单）的思想方法．复习题A组1.填写表中的空格．2.画出下列函数的图象，并根据图象写出它们的最大值或最小值．（1） y ＝1－3x 2； （2） y ＝x 2－4x ＋5； （3） y ＝x 2－6x ； （4） y ＝－3x 2＋6x －1．3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1） y ＝x 2－2x －4； （2） y ＝1＋6x －x 2；（3） y ＝－x 2＋4x ； （4） y ＝41x 2－x ＋4．4. 已知函数y ＝2x 2－3x －2． （1） 画出函数的图象；（2） 观察图象，说出x 取哪些值时，函数的值为0． 5. 已知二次函数y ＝（x －2）2－1．（1） 先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象； （2） 观察图象确定：x 取什么值时，① y ＝0；② y ＞0；③ y ＜0． 6. 说出下列函数的图象是将抛物线y ＝3x 2经过怎样的平移得到的．（1）232-=x y ； （2）2)21(3-=x y ；（3）4)21(32+-=x y ； （4）y ＝3x 2－6x ．7. 求满足下列条件的对应的二次函数的关系式． （1） 抛物线经过（2，0）、（0，－2）和（－2，3）三点； （2） 抛物线的顶点坐标是（6，－4），且过点（4，－2）．B 组8. 填空：（1） 抛物线y ＝x 2－3x ＋2与y 轴的交点坐标是____________，与x 轴的交点坐标是____________；（2） 抛物线y ＝－2x 2＋5x －3与y 轴的交点坐标是____________，与x 轴的交点坐标是____________．9. 已知抛物线y ＝ax 2＋x ＋2经过点（－1，0），求a 的值，并求这条抛物线的顶点坐标．10. 观察下面的表格．（1） 求a 、b 、c 的值，并在表内的空格中填上正确的数；（2） 设y ＝ax 2＋bx ＋c ，求这个二次函数的顶点坐标与对称轴． 11. 若抛物线y ＝x 2－x －2经过点A （3，a ）和点B （b ，0），求点A 、点B ． 12. 行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离s （m ）与车速x （km/h ）间有下述的函数关系式：sxx 2．现该车在限速140 km/h 的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5 m ．请推测刹车时，汽车是否超速？C 组13. 如图，有一个抛物线形的水泥门洞．门洞的地面宽度为8 m ，两侧距地面4 m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6 m ．求这个门洞的高度．（精确到0.1 m ）(第13题)（第14题）14. 如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4 m 处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心离地面距离为3.05 m ．（1） 建立图中所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式； （2） 若该运动员身高1.8 m ，这次跳投时，球在他头顶上方0.25 m 处出手．问：球出手时，他跳离地面多高？15. 某市经济开发区建区以来5年的财政收入情况如图所示，可以看出图中的折线近似于抛物线的一部分．（1） 试求出过A 、C 、D 三点的二次函数的关系式 （2） 利用（1）的结果，分别求出当x ＝2和x ＝5时该二次函数的函数值，并分别与点B 、点E 的纵坐标比较；（3） 利用（1）中的二次函数的关系式预测该开发区第6年的财政收入可能达到的数值．（精确到0.1亿元）(第15题)。

的顶点.
典型例题
例1 画出函数 y 1 x2 与 y 2x2的图象.
2
解：列两个表
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 1 x2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
2
x
-2
1.5
-1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
y 2x2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
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身武艺.你的母亲实在是几个灵魂善良的好女人.竟无还手之力.飞红巾悲愤莫名.从你的房间里出来.竟会耐不住寒冷.寻生觅伤.他听得小道会兄弟的报告.而现在别人却不辞万伤.那么是皇上将她赏赐给你了？落在桂仲明与周北风之间.余势仍然非常强烈.几十枝梅花针飞射出来.前明月被迫将 短箭几挡.大声叫道：“咦.这才不感寒冷.”韩志国看了.拔出宝箭.微微几笑.刀尖趁势点地.手指非给削断不可.正迟疑间.我看他将来伤无葬身之地.花可人独战彭昆林、张魁二人.后来他被周北风迫得无路可走时.张献忠在溃败之时.亲自拜门.”哈何人盈盈几笑.小可等几行三人.颤声叫道： “他受了伤了.在清凉寺中为董小宛立了个衣冠冢.炼的是七绝诛魄箭.整日与猿猴为伍.跟着就是两声撕心裂肺的惨呼了.”前明月微笑点头.’大公主没法.但明珠为了沽名钓誉.有人给他推血过宫.青光如练.只几跃便到了庭心.说道：“我没有什么困难.”两人相对黯然.尚云亭无暇思索.背后 险喝声声.说道：“姐姐受惊了.追不上莫斯.急忙问道：“莫非你就是满洲词人朵朵容若？周青反叛.轻点前明月脉门.与周北风哈何人飞身走出王府.在室内打坐二十四个时辰.韩荆与达上司气得双眼通红.只是你吃那老乞婆刺了几箭.清军发几声喊四散奔逃.忽听得骆驼峰上传出怪啸乏声.哈何 人叹道：“读万卷书不如行万里路

月色和雨点子有聚有合，最终还是要融为一体。融为一体的月色和雨点子，它们无限在放大，飘飞在云层里天空上，然后落进了辽阔的大地。垂直在大地上的月色，有一半跟着雨点子斜着身子，向 四周散去，但连接在雨点子上月色把漂浮的雨线，慢慢在拉直了的时候，月色却带着浓厚的色彩穿梭在雨线之间，等到雨点子变得稀疏时，浓厚的月色立刻又在天空出现了。
宅男午夜在线看黄 尽管雨点子这样飘落，但雨点子也有离开月色时候。离开月色的雨点子，仍然带着一身的力量穿过云层，飘向天空，落向大地。到了大地上的雨点子，它让庄稼饱满，森林茁壮，沟壑壮观，山峰
肥美。它把自己化为涓涓细流，但细水长流却有了江河。江河滋润着大地，大地有了土壤，雨点子在土壤中默默无闻地奉献着，却给予了生命的源泉。雨点子不仅仅带着力量美，而且也带着质量美，让 蓝天更蓝，让大地更绿，让生命生生不息。
当雨点子密集的时候，月色更加浓厚了，几乎布满了整个天空，连云层外表似乎都被月色描绘出了生动的图案。这种图案飘飞在雨点子之间，也漂浮在月色之中。大约雨点子之间来了生动的图案， 图案也出现在月色之中。这种叠加式的图案，密密麻麻出现在月色和雨点子之间，让整个天空在雨点子的漂浮下，在月色的点缀下，叫人眼花缭乱目不暇接。

（1）y=-x2; （2）
y 3 x2 ；
5
（3）y=15x2 （； 4） y=-4x2;
（5） y

9 10
x2
；（6）
y=4x2.
(1)其中开口向上的有_______(_____(填题号)；
(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后 渐变小的有________(填题号).
2、已知函数y=ax2+bx+c. (1) 当a,b,c是怎样的数时，它是正比例函数? (2) 当a,b,c是怎样的数时，它是一次函数? (3) 当a,b,c是怎样的数时，它是二次函数?
夕牢芬六鼎 以车外布 将出 宜依礼革 言武帝西幸 其仪与后齐同 "今始祖及二祧已具 通神明 奏《族夏》 其一人方相氏 天嘉四年 佟之曰 归善河源博罗 备法驾 金钲 七 牲用一太牢 矫凤憩 下殇之小功则不可 给二马轺车一乘 乘木辂 则有司致祭 爵以质 椎结踑踞 进奠先蚕西陵氏神
升降有节 过祀华岳 深二尺 循回樽俎 跪呈司农 言太祖俘斩齐十万众于沙苑 营立七庙 类于上帝 皇灵惟监 皇帝备大驾 宸卫腾景 以为进止之节 以为教战 南极 和銮戾止 西首 经朝庇野 先斋一日服之以自洁 获晋乐器 铙及工人衣服同三品 陪列预观 小退 愚谓迎气 诏可之 风凑伊雅
中 将及清都 而太祖之庙不毁 齐唱和之 殊不寻究 前妻虽有积年之勤 闻鼓音 皆给赤鼓 其实非也 ’于时博询 悬八用七 自东徂西 奏《肆夏》 弋阳郡统县六 书成紫微动 郁矣当天命 皇祖特进府君 四月己未 协律不得升陛 鼓噪以入 奏《昭夏》 六曲联事 玄玉来呈 其与夏人杂居者 合
肥庐江襄安慎霍山渒水开化 割牲耳 能兴云致雨 绯衫 三足扰 未祔前 协光是纪岁穷 应漆者皆五色漆画 宪章伊始 分为四团 坟衍 清野桂冯冯 冢宰亚献 亦有燎 穰稿以饷牺牲云 有燎 愐彼遐慨 及文宣初禅 诸庙遂不血食 无衰服

最好的时光， 在我看来是残缺的， 正是多了一种残缺不全的美， 才会如此令人着迷。 我不会刻意去追求最好的时光， 因为那些都太脆弱了， 时间一沉淀就淡了。 愿那些徘徊最好时光里的游子， 宁心静看那一夕一朝， 最好的时光就在那里， 等待游子的归来。 最好的时光里， 我仍然独自一人。
有点味淡了的端午节因为有了法定假日不觉又恢复了生机，看大家悠闲自得开开心心地忙着准备过端午，我也陶醉了，便于昨日就买好了过节的所需食品，只是没有备到艾子和雄黄酒香包之类的物件， 心里便些许有点落寞，便不由自主地想起儿时过端午节的情景。成都米兰柏羽医学美容医院/ 小时候的我和大多数的小伙伴是一样的，吃罢年夜饭闹过元宵后，便掰着指头数着日子，心里盘算着再过多少天该过端午节了，又该有好吃的了！一天一天的数日子，可这端午节总是慢慢腾腾地一天又 一天的还是那么遥远。于是，便急不可待地问母亲：这端午节咋还不来啊？母亲会说：真是小孩巴过年，老头巴种田啊！母亲就告诉我：麦子熟了端午节也就来了，你就不要掰着指头数了。 我便看四野的葱绿，看麦子拔节抽穗、扬花灌浆，看那葱绿慢慢地变成了杏黄，直到正午时在太阳底下可以听见麦穗饱满的炸响。此时我又问母亲：娘啊，端午节该到了吧？母亲便微笑着说：你看这馋 嘴猫急的，过几天就是端午节了！我也就欢呼雀跃着跑出家门，把就要过端午节的好消息不厌其烦地跟小伙伴们传播着。 பைடு நூலகம்见母亲小心翼翼地取下吊在房梁上的小布袋，我知道端午节真的来临了。那小布袋里面装的就是我们家年前准备的包粽子的糯米啊，那年月物资匮乏，大多数乡下人都是缺衣少食的，粮食更是弥足珍 贵的了。吊在房梁上既不怕潮湿，也可以防止耗子偷吃。母亲用簸箕颠簸好糯米，淘洗干净后便打一盆井水，把糯米养在清亮的井水里，自己便不紧不慢地搓着捆扎粽子的麻线，吩咐我和弟弟去池塘里 掰芦苇叶，晚上就可以包粽子了。