下载文档原格式
教学目标 1．使学生会用描点法画二次函数y=ax 2的图象． 2．使学生进一步理解二次函数和抛物线的有关知识． 3．进行由特殊到一般的辩证唯物主义认识论的教育．重点和难点重点：会用描点法画二次函数y=ax 2的图象，掌握它的性质．难点：渗透数形结合思想． 教具准备 投影片师 生 活 动 过 程备注一 、情境导入我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy 3=的图象分别是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？ （2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？ 二、新课例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．回顾与反思 ：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得)0(1612>=C C S ． 列表：C24 68 (2)161C S =41 149 4…描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ． （3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2． 回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． 补充例题1．已知点M(k ，2)在抛物线y=x 2上， (1)求k 的值．(2)点N(k ，4)在抛物线y=x 2上吗？ (3)点H(-k ，2)在抛物线y=x 2上吗？ 2．已知点A(3，a)在抛物线y=x 2上， (1)求a 的值．(2)点B(3，-a)在抛物线y=x 2上吗？ 三、小结1．抛物线y=ax 2(a ≠0)的对称轴是y 轴，顶点是原点． 2．a ＞0时，抛物线y=ax 2的开口向上．重点和难点重点：通过画图得出二次函数性质 难点：识图能力的培养教具准备 投影片师 生 活 动 过 程备注一、情境导入同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？ 你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？ ． 二、实践与探索例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象． 解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y ．回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y =… 18 8 2 0 2 8 18 …222+=x y … 20 10 4 2 4 10 20 …重点和难点重点：通过画图得出二次函数性质难点：识图能力的培养教具准备 投影片师 生 活 动 过 程备注一、情境导入 我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ 二、 实践与探索例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解 列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．x… -3 -2 -1 0 123…221x y =…29 2 21 0 21 2 29… 2)2(21+=x y …21 021 2 225 8 225… 2)2(21-=x y …225 8 29221 0 21 …重点和难点重 点：函数形如y=a(x －h)2＋k 图象的性质。
课题 二次函数的图象与性质（1）——二次函数y=ax 2的图象课型 新授教学目标 1．使学生会用描点法画二次函数y=ax 2的图象．2．使学生进一步理解二次函数和抛物线的有关知识． 3．进行由特殊到一般的辩证唯物主义认识论的教育．重点和难点重点：会用描点法画二次函数y=ax 2的图象，掌握它的性质．难点：渗透数形结合思想． 教具准备 投影片师 生 活 动 过 程备注一 、情境导入我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy 3=的图象分别是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？ （2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？ 二、新课例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．回顾与反思 ：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得)0(1612>=C C S ． 列表：C24 68 (2)161C S =41 149 4…描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ． （3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2． 回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． 补充例题1．已知点M(k ，2)在抛物线y=x 2上， (1)求k 的值．(2)点N(k ，4)在抛物线y=x 2上吗？ (3)点H(-k ，2)在抛物线y=x 2上吗？ 2．已知点A(3，a)在抛物线y=x 2上， (1)求a 的值．课题 二次函数的图象与性质（2）—二次函数k ax y +=2的图象 课型新授教学目标 会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．重点和难点重点：通过画图得出二次函数性质难点：识图能力的培养 教具准备 投影片师 生 活 动 过 程备注一、情境导入同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？ 你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？ ． 二、实践与探索例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象． 解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y =… 18 8 2 0 2 8 18 …222+=x y … 20 10 4 2 4 10 20 …描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）．回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？练习：1．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 三、小结与作业1．不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．2．将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求a 的值．课题 二次函数的图象与性质（4）—函数2)(h x a y -=+k 的图象 课型新授教学目标 1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律； 2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．重点和难点重 点：函数形如y=a(x －h)2＋k 图象的性质。
华师大版九下《二次函数》精品教案一、教学内容本节课选自华师大版九年级下册《二次函数》章节，详细内容包括：二次函数的定义、图像及性质，二次函数的顶点式和一般式，二次函数的图像变换，以及二次函数在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解二次函数的定义，掌握二次函数的图像及性质。
2. 学会使用顶点式和一般式表示二次函数，并能进行图像变换。
3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力。
三、教学难点与重点重点：二次函数的定义、图像及性质，二次函数的顶点式和一般式。
难点：二次函数图像的变换，以及在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示一个抛物线的运动轨迹，让学生观察并思考，激发兴趣。
2. 知识讲解：a. 引入二次函数的定义，解释二次项、一次项和常数项。
b. 介绍二次函数的图像及性质，通过示例让学生理解并掌握。
c. 讲解二次函数的顶点式和一般式，并进行图像变换的推导。
3. 例题讲解：讲解典型例题，分析解题思路，强调注意事项。
4. 随堂练习：布置一些典型练习题，让学生巩固所学知识。
5. 小组讨论：针对实际问题，让学生分组讨论，提出解决方案。
六、板书设计1. 二次函数的定义、图像及性质。
2. 二次函数的顶点式和一般式。
3. 图像变换的推导过程。
4. 典型例题及解题思路。
七、作业设计1. 作业题目：a. 求下列二次函数的顶点坐标和对称轴：y = x^2 4x + 3。
b. 将二次函数y = (x 1)^2 + 2向左平移3个单位，求新函数的表达式。
c. 某抛物线的顶点坐标为(2, 3)，且过点(0, 6)，求抛物线的解析式。
2. 答案：a. 顶点坐标：(2, 1)，对称轴：x = 2。
b. 新函数的表达式：y = (x 4)^2 + 2。
c. 抛物线的解析式：y = (x 2)^2 3。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实践情景引入、例题讲解和随堂练习，使学生掌握了二次函数的定义、图像及性质。
第二十六章 二次函数[本章知识要点]1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．26．1 二次函数[本课知识要点]通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [创新思维]（1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式．请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索]例1． m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02≠-m m ．解 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ．解得 0≠m ，且1≠m ．因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．探索 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．解 （1）由题意，得 )0(62>=a a S ，其中S 是a 的二次函数；（2）由题意，得 )0(42>=x x y π，其中y 是x 的二次函数； （3）由题意，得 10000%98.110000⋅+=x y （x ≥0且是正整数），其中y 是x 的一次函数； （4）由题意，得 )260(1321)26(212<<+-=-=x x x x x S ，其中S 是x 的二次函数．例3．正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 解 （1）)2150(4225415222<<-=-=x x x S ； （2）当x=3cm 时，189342252=⨯-=S （cm 2）． [当堂课内练习]1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）02=-x y （2）2)1()2)(2(---+=x x x y（3）xx y 12+= （4）322-+=x x y2．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+kk x k y 为二次函数？3．已知正方形的面积为)(2cm y ，周长为x （cm ）． (1)请写出y 与x 的函数关系式； (2)判断y 是否为x 的二次函数． [本课课外作业]A 组1． 已知函数72)3(--=m x m y 是二次函数，求m 的值．2． 已知二次函数2ax y =，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y 的值．3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x ，求圆柱的体积y 与x 的函数关系式．若圆柱的底面半径x 为3，求此时的y ．B 组5．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ）A ．22)1(x m y -= B ．22)1(x m y += C ．22)1(x m y += D ．22)1(x m y -= 6．下列函数关系中，可以看作二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）模型的是 （ ） A ． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B ． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C ． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D ． 圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（1）[本课知识要点]会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [创新思维]我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy 3=的图象分别是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y =…18822818…22x y -= …-18 -8 -2 0 -2 -8 -18 …都是抛物线，如图26．2．1．共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．解 （1）由题意，得⎩⎨⎧>+=-+02242k k k ， 解得k=2．（2）二次函数为24x y =，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得)0(1612>=C C S ． 列表：C2 4 68 (2)161C S =41 149 4…描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ． （3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2． 回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）23x y = （2）23x y -= （3）231x y =2．（1）函数232x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）函数241x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．3．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图象的草图．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）24x y -= （2）241x y = 2．填空：（1）抛物线25x y -=，当x= 时，y 有最 值，是 ． （2）当m= 时，抛物线mm x m y --=2)1(开口向下．（3）已知函数1222)(--+=k k x k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y 随x 的增大而增大． 3．已知抛物线102-+=k kkx y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）．4．已知抛物线2ax y =经过点（1，3），求当y=9时，x 的值．B 组5．底面是边长为x 的正方形，高为0．5cm 的长方体的体积为ycm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y ≥4．5 cm 3．6．二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．（1）求a 、b 的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小． 7． 一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出⊿MON 的面积． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（2）[本课知识要点]会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [创新思维]同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？ 你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？ 那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？ [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象．解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y ． 解 列表．x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y = … 18 8 2 0 2 8 18 … 222+=x y…20104241020…描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．可以看出，抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的． 回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．探索 如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？ 例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作)0(22>-=a ax y ， 又抛物线经过点（1，1），所以，2112-⋅=a ， 解得3=a ．故所求函数关系式为232-=x y ．回顾与反思 k ax y +=2（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归k ax y +=2开口方向对称轴顶点坐标0>a0<a[当堂课内练习]1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：221x y =， 2212+=x y ， 2212-=x y ．x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 12+-=x y … -8 -3 0 1 0 -3 -8 … 12--=x y…-10-5-2-1-2-5-10…观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的．3．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． [本课课外作业]A 组1．已知函数231x y =， 3312+=x y ， 2312-=x y ． （1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．2． 不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的．3． 若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？B 组4．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )5．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（3）[本课知识要点]会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [创新思维]我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2x… -3 -2 -1 0123 …221x y =…29 2 21 0 21 2 29… 2)2(21+=x y (21)0 21 2 225 8 225 … 2)2(21-=x y …225 8 292 210 21…和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）． 回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）．因此，抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的． 回顾与反思 2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标[当堂课内练习]1．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．[本课课外作业]A 组1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(21--=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ？3．函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．4．不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．B 组5．将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 （1，3），求a 的值．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（4）[本课知识要点]1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律；2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [创新思维]由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．2)(h x a y -=+k 开口方向对称轴顶点坐标0>a0<ax… -3-2 -10 12 3…221x y = (2)9 221 021 229… 2)1(21-=x y … 8 29 2 21 0 21 2 … 2)1(212--=x y …625 023- -223- 0…例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．分析 抛物线2x y =的顶点为（0，0），只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b 、c 的值．解 c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=． 向上平移2个单位，得到24)2(22+-++=b c b x y ， 再向左平移4个单位，得到24)42(22+-+++=b c b x y ， 其顶点坐标是)24,42(2+---b c b ，而抛物线2x y =的顶点为（0，0），则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0240422b c b解得 ⎩⎨⎧=-=148c b 探索 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线c bx x y ++=2．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试． [当堂课内练习]1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （ ） A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．4． 将抛物线23212++-=x x y 如何平移，可得到抛物线32212++-=x x y ？B 组4．把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线532+-=x x y ，则有 （ ）A ．b =3，c=7B ．b= -9，c= -15C ．b=3，c=3D ．b= -9，c=215．抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b 、c 的值．5． 将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位，再向上平移k 个单位，其中h ＞0，k ＜0，求所得的抛物线的函数关系式．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（5）[本课知识要点]1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象． [创新思维]我们已经发现，二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如232-+-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？[实践与探索]例1．通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解 6422++-=x x y[]8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．由对称性列表：x… -2 -1 01 2 3 4…6422++-=x x y …-100 686-10… 描点、连线，如图26．2．7所示．回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索 对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0．解 9)2(2++-=x a x y 4)2(9)22(22+-++-=a a x ， 则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+4)2(9,222a a ．当顶点在x 轴上时，有 022=+-a ，解得 2-=a ． 当顶点在y 轴上时，有 04)2(92=+-a ，解得 4=a 或8-=a ． 所以，当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时，a 有三个值，分别是 –2，4，8．[当堂课内练习]1．（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小．（3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ． 2．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？[本课课外作业]A 组1． 已知抛物线253212+-=x x y ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象．2．利用配方法，把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）162++-=x x y（2）4322+-=x x y（3）nx x y +-=2 （4）q px x y ++=23．已知622)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．B 组4． 当0<a 时，求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限．5. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，求抛物线的顶点坐标．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（6）[本课知识要点]1．会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值． [创新思维]在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 在这个问题中，设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y ．那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗? [实践与探索]例1．求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．分析 由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0，因此抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22--x ， 所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是849-．（2）二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0， 因此抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++-x ， 所以当23-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值是425．回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．探索 试一试，当2．5≤x ≤3．5时，求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值． 例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y x （元）130 150 165 y （件） 70 50 35 若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量． 解 由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为200+-=x y ． 设每日销售利润为s 元，则有1600)160()120(2+--=-=x x y s ．因为0120,0200≥-≥+-x x ，所以200120≤≤x ．所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元． 回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．例3．如图26．2．8，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y ． （1）用含y 的代数式表示AE ；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值．解 （1）由题意可知，四边形DECF 为矩形，因此y DF AC AE -=-=8．（2）由DE ∥BC ，得ACAE BC DE =，即884yx -=， 所以，x y 28-=，x 的取值范围是40<<x ．（3）8)2(282)28(22+--=+-=-==x x x x x xy S ， 所以，当x=2时，S 有最大值8．[当堂课内练习]1．对于二次函数m x x y +-=22，当x= 时，y 有最小值．2．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是 （ ） A ．a ＜b B ．a=b C ．a ＞b D ．不能确定3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？[本课课外作业]A 组1．求下列函数的最大值或最小值．（1）x x y 22--=； （2）1222+-=x x y ．2． 已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．，3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强． （1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？B 组4．不论自变量x 取什么数，二次函数m x x y +-=622的函数值总是正值，求m 的取值范围．5．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2． （1）求S 与x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出 最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，线段EF 在对角线AC 上，EG ⊥AD ，FH ⊥BC ，垂足分别是G 、H ，且EG+FH=EF ．（1）求线段EF 的长；（2）设EG=x ，⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S ， 写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围， 并求出S 的最小值．[本课学习体会]26 . 2 二次函数的图象与性质（7）[本课知识要点]会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式． [创新思维]一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数)0(≠=k xky 的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系式，又需要几个条件呢？[实践与探索]例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析 如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是)0(2<=a ax y ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．解 由题意，得点B 的坐标为（0．8，-2．4），又因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入)0(2<=a ax y ，得28.04.2⨯=-a所以 415-=a ．因此，函数关系式是2415x y -=． 例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1）、B （1，0）、C （-1，2）； （2） 已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；（3） 已知抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），且与y 轴交于点（0，-3）； （4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴两交点间的距离为4．分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为c bx ax y ++=2的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为3)1(2--=x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（3）根据抛物线与x 轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为)5)(3(-+=x x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为2)3(2--=x a y ，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x 轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入2)3(2--=x a y ，即可求出a 的值．解 （1）设二次函数关系式为c bx ax y ++=2，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到⎩⎨⎧=-=+31b a b a 解这个方程组，得a=2，b= -1．所以，所求二次函数的关系式是1222--=x x y ．（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为3)1(2--=x a y ，。
华师大版九下《二次函数》教案一、教学内容本节课我们将学习华师大版九年级下册数学教材中第五章《二次函数》的第一小节“二次函数的图像与性质”。
具体内容包括：二次函数的定义、图像、开口方向、顶点坐标、对称轴、最值等概念，以及二次函数图像与性质之间的关系。
二、教学目标1. 让学生掌握二次函数的定义，能够识别并写出一般形式的二次函数表达式。
2. 使学生理解二次函数图像的几何特征，如开口方向、顶点坐标、对称轴和最值等。
3. 培养学生运用二次函数图像与性质解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点难点：二次函数图像的绘制及性质的理解。
重点：二次函数的定义、图像与性质的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔、直尺、圆规等。
2. 学具：练习本、铅笔、橡皮、直尺、圆规等。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的抛物线现象（如投篮、拱桥等），引出二次函数的概念。
2. 新课导入：（1）二次函数的定义：让学生回顾一次函数的定义，然后引导他们发现二次函数的定义。
（2）二次函数图像的绘制：讲解二次函数的一般形式，通过实例演示如何绘制二次函数的图像。
3. 例题讲解：（1）求二次函数的顶点坐标、对称轴、最值等。
（2）已知二次函数的部分信息，求解析式。
4. 随堂练习：让学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。
六、板书设计1. 二次函数定义2. 二次函数图像的绘制方法3. 二次函数的性质开口方向顶点坐标对称轴最值七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列二次函数的顶点坐标、对称轴、最值： y = 2x^2 4x + 3y = x^2 + 6x 5（2）已知二次函数的图像开口向上，顶点坐标为（1，3），且过点（0，2），求该二次函数的解析式。
2. 答案：（1）y = 2x^2 4x + 3顶点坐标：（1，1）对称轴：x = 1最小值：1y = x^2 + 6x 5顶点坐标：（3，4）对称轴：x = 3最大值：4（2）y = x^2 2x 1八、课后反思及拓展延伸重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定。
2024年华师大版九下《二次函数》教案一、教学内容本节课选自2024年华师大版九年级下册《二次函数》章节。
详细内容包括：二次函数的定义与性质，二次函数的图像，二次函数的顶点式及其应用，二次方程与二次不等式的联系，以及二次函数在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解二次函数的定义，掌握二次函数的性质及其图像特点。
2. 学会使用二次函数顶点式解析二次函数，并能解决相关问题。
3. 能够建立二次方程与二次不等式之间的关系，运用二次函数解决实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：二次函数顶点式的应用，二次方程与二次不等式的联系。
教学重点：二次函数的定义，性质，图像及其在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，投影仪，黑板。
2. 学具：直尺，圆规，铅笔，橡皮，草稿纸。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示二次函数在实际问题中的应用，如抛物线运动，引导学生思考二次函数的基本概念。
2. 基本概念讲解（15分钟）讲解二次函数的定义，性质，图像，让学生掌握二次函数的基本知识。
3. 例题讲解（15分钟）选取典型例题，通过讲解与解析，让学生学会使用二次函数顶点式解决问题。
4. 随堂练习（10分钟）设计相关练习题，让学生及时巩固所学知识。
5. 知识拓展（5分钟）引导学生探讨二次方程与二次不等式之间的关系。
六、板书设计1. 二次函数定义2. 二次函数性质3. 二次函数图像4. 二次函数顶点式5. 二次方程与二次不等式的关系七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列二次函数的顶点坐标：y = x^2 4x + 3（2）解下列二次方程：x^2 5x + 6 = 0（3）已知二次函数y = x^2 + 2x + 3，求该函数的最大值。
答案：（1）顶点坐标为（2，1）（2）解为x = 2或x = 3（3）最大值为4八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入，让学生了解二次函数在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
华师大版九年级数学下册教案261 二次函数一、教学内容本节课选自华师大版九年级数学下册第261页，详细内容包括二次函数的定义、图像与性质，以及二次函数解析式的求解。
具体涉及教材的第四章《函数》第三节《二次函数》。
二、教学目标1. 理解并掌握二次函数的定义，能熟练地表示二次函数的一般形式。
3. 学会求解二次函数的解析式，并能应用于实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：二次函数图像与性质的理解及运用，求解二次函数解析式。
教学重点：二次函数定义的掌握，图像与性质的归纳，以及解析式的求解。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：二次函数图像卡片、直尺、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示生活中常见的二次函数实例，如抛物线运动的篮球轨迹，引发学生对二次函数的好奇心。
a. 提问：同学们，你们在生活中见过类似这样的图像吗？b. 学生回答，教师点评。
2. 例题讲解：a. 讲解二次函数的定义，引导学生表示二次函数的一般形式。
c. 示例讲解求解二次函数解析式的方法。
3. 随堂练习：a. 让学生根据性质，判断给定二次函数图像的开口方向、顶点坐标等。
b. 让学生求解给定二次函数的解析式。
4. 知识巩固：b. 分析实际应用中二次函数的求解过程。
六、板书设计1. 二次函数定义2. 二次函数图像与性质3. 求解二次函数解析式的方法七、作业设计1. 作业题目：a. 根据性质，判断下列二次函数图像的开口方向、顶点坐标：（给出具体题目）b. 求解下列二次函数的解析式：（给出具体题目）2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次函数定义及性质的掌握程度，以及求解解析式的熟练程度。
2. 拓展延伸：引入三次函数、四次函数等高次函数，让学生思考它们的性质与求解方法，激发学生对函数学习的兴趣。
重点和难点解析1. 教学目标中关于二次函数性质的理解和应用。
2. 教学难点中求解二次函数解析式的方法。
华师大版九年级数学下册教案261 二次函数一、教学内容本节课我们将学习华师大版九年级数学下册第261页的二次函数。
具体内容包括：二次函数的定义、图像、性质及其应用。
我们将详细探讨二次函数的顶点式、标准式和一般式的相互转换，以及二次函数图像的绘制方法。
二、教学目标1. 理解并掌握二次函数的定义，能够用顶点式、标准式和一般式表示二次函数。
2. 学会绘制二次函数的图像，了解二次函数图像的性质。
3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
三、教学难点与重点教学难点：二次函数图像的性质及其应用。
教学重点：二次函数的定义、图像的绘制方法及二次函数的性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、铅笔、橡皮、草稿纸。
五、教学过程1. 引入：通过实际生活中的抛物线现象，如投篮、抛物线运动等，引入二次函数的概念。
2. 知识讲解：(1) 二次函数的定义及表示方法。
(2) 二次函数图像的绘制方法。
(3) 二次函数图像的性质。
3. 例题讲解：(1) 求给定二次函数的顶点、开口方向及对称轴。
(2) 根据二次函数图像，确定函数的解析式。
4. 随堂练习：完成教材第261页的练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：探讨二次函数在实际问题中的应用，如最大（小）值问题、面积问题等。
六、板书设计1. 二次函数定义及表示方法。
2. 二次函数图像的绘制方法及性质。
3. 例题解答步骤及关键点。
七、作业设计1. 作业题目：(1) 求函数y=x^22x+1的顶点、开口方向及对称轴。
(2) 已知二次函数的顶点为（1，3），且过点（0，1），求函数的解析式。
2. 答案：(1) 顶点：(1,0)，开口向上，对称轴：x=1。
(2) y=(x1)^23。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次函数的定义、图像及性质掌握情况，对实际问题的应用能力。
2. 拓展延伸：引导学生思考二次函数与一次函数、反比例函数之间的关系，以及二次函数在高中数学中的应用。
华师大版九下《二次函数》优质教案一、教学内容1. 二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数。
2. 二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c。
3. 二次函数的图像：抛物线，开口方向由a的正负决定。
4. 二次函数的性质：对称性、顶点、最值等。
二、教学目标1. 理解并掌握二次函数的定义、一般形式、图像及性质。
2. 能够根据实际问题抽象出二次函数模型，并运用二次函数的性质解决实际问题。
3. 培养学生的观察、分析、概括能力和数形结合的思想。
三、教学难点与重点重点：二次函数的定义、一般形式、图像及性质。
难点：二次函数图像与性质的理解与应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入展示一组实际生活中涉及的二次函数图像（如抛物线形状的拱桥、篮球投篮的轨迹等），引导学生观察并思考：这些图像具有什么共同特征？如何用数学模型来描述这些图像？2. 知识讲解（1）二次函数的定义：引导学生回顾一次函数的定义，进而引出二次函数的定义。
（2）二次函数的一般形式：通过实例，让学生观察二次函数的一般形式，并解释各部分的含义。
（4）二次函数的性质：通过观察图像，引导学生发现二次函数的对称性、顶点、最值等性质。
3. 例题讲解（1）求二次函数的顶点坐标。
（2）已知顶点坐标，求二次函数的解析式。
4. 随堂练习（1）根据图像判断二次函数的开口方向、顶点、最值。
（2）已知顶点坐标，求二次函数的解析式。
六、板书设计1. 二次函数的定义2. 二次函数的一般形式3. 二次函数的图像及性质4. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目（2）已知二次函数的顶点坐标为（1，3），且过点（0，1），求该二次函数的解析式。
2. 答案（1）顶点坐标为（1，0）。
（2）解析式为y=(x1)^23。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次函数的定义、图像及性质掌握情况，对例题的解答是否到位。
华师大版九下《二次函数》教案一、教学内容本节课选自华师大版九年级下册《二次函数》章节，内容包括：1. 二次函数的定义及其一般形式；2. 二次函数的图像与性质；3. 二次函数的顶点式及其应用；4. 二次函数的判别式及其应用。
二、教学目标1. 知识与技能：掌握二次函数的定义、一般形式、图像与性质，以及顶点式和判别式的应用；3. 情感态度与价值观：激发学生学习兴趣，培养学生合作交流、勇于探索的精神。
三、教学难点与重点重点：二次函数的定义、图像与性质，以及顶点式和判别式的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、计算器。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示生活中的二次函数实例，引导学生思考二次函数的定义；2. 探索新知：（1）引导学生回顾一次函数的定义，类比得出二次函数的定义；（3）介绍二次函数的顶点式，解释其与一般形式的关系；（4）讲解二次函数的判别式，分析其应用；3. 例题讲解：选取典型例题，讲解解题思路和方法；4. 随堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识；6. 布置作业：布置适量的作业，巩固所学知识。
六、板书设计1. 二次函数的定义；2. 二次函数的一般形式；3. 二次函数的图像与性质；4. 二次函数的顶点式；5. 二次函数的判别式；6. 典型例题及解题方法；7. 课堂练习题。
七、作业设计1. 作业题目：（2）已知二次函数的图像开口向上，顶点坐标为（1，3），且经过点（0，1），求二次函数的解析式；（3）已知二次函数的判别式为24，且a=2，求二次函数的解析式。
2. 答案：（1）顶点坐标为（1，0），判别式为0；（2）y = 4(x 1)^2 3；（3）y = 2x^2 + bx + c，其中b^2 4ac = 24，解得b = ±4，c = 6。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学内容较为抽象，需要关注学生的接受程度，适时调整教学进度；2. 拓展延伸：引导学生探索二次函数在生活中的应用，如抛物线运动、拱桥设计等。
华师大版九下《二次函数》教案一、教学内容本节课我们将学习华师大版九年级下册《二次函数》章节的内容。
具体包括：二次函数的定义、图像及性质；二次函数的顶点式和标准式；二次函数图像的平移；二次函数的实际应用。
二、教学目标1. 理解并掌握二次函数的定义，能熟练地用顶点式和标准式表示二次函数。
2. 能够通过分析二次函数的性质，解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：二次函数图像的平移，二次函数性质的运用。
教学重点：二次函数的定义，顶点式和标准式的转换，图像的绘制。
四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备，黑板，粉笔。
学具：直尺，圆规，计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一些生活中的抛物线现象，如抛物线运动，拱桥等，引导学生观察并思考抛物线与二次函数的关系。
2. 教学内容讲解（1）二次函数的定义：回顾一元二次方程，引导学生发现二次函数与一元二次方程的联系，给出二次函数的定义。
（3）二次函数的顶点式和标准式：讲解两种形式的二次函数，并进行转换。
（4）二次函数图像的平移：通过实际操作，让学生感受图像的平移。
3. 例题讲解选择一些具有代表性的例题，讲解解题思路，步骤，并强调注意事项。
4. 随堂练习让学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。
5. 小结六、板书设计1. 二次函数的定义2. 二次函数的图像及性质3. 顶点式和标准式的转换4. 图像的平移5. 例题解析七、作业设计1. 作业题目：（1）已知二次函数的图像，求函数的解析式。
（2）已知二次函数的顶点，求函数的解析式。
（3）已知二次函数的图像，判断其开口方向和顶点坐标。
2. 答案：（1）y = x^2 + 2x + 3（2）y = (x 1)^2 + 2（3）开口向上，顶点坐标为（1，2）八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次函数的定义和性质掌握情况，以及图像的绘制和转换能力。
2. 拓展延伸：探讨二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数在实际问题中的应用。
2024年九年级下册数学二次函数全章教案华师大版一、教学内容本教案依据华师大版《数学》2024年九年级下册教材，围绕第七章“二次函数”展开。
详细内容包括：7.1二次函数的概念与性质，7.2二次函数的图像，7.3二次函数与不等式，7.4二次函数的应用。
二、教学目标1. 理解二次函数的定义，掌握其标准形式和一般形式。
2. 能够分析二次函数的性质，准确绘制二次函数图像。
3. 掌握二次函数与不等式的解法，并能解决实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：二次函数图像的绘制，二次函数与不等式的解法。
教学重点：二次函数的定义与性质，二次函数图像的识别，二次函数在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，黑板，粉笔。
2. 学具：直尺，圆规，计算器，练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）：通过展示生活中与二次函数相关的实例，如抛物线运动的篮球，引出二次函数的学习。
2. 知识讲解（15分钟）：讲解二次函数的定义、标准形式和一般形式，分析二次函数的性质。
3. 例题讲解（15分钟）：讲解如何绘制二次函数图像，分析图像与性质之间的关系。
4. 随堂练习（10分钟）：让学生绘制给定二次函数的图像，分析图像的性质。
5. 知识拓展（10分钟）：介绍二次函数与不等式的关系，讲解解法。
6. 应用练习（15分钟）：解决实际问题，运用二次函数知识。
六、板书设计1. 二次函数定义与性质2. 二次函数图像的绘制方法3. 二次函数与不等式的解法4. 实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）绘制y=x^2的图像，分析其性质。
（2）解二次不等式2x^24x6>0。
2. 答案：（1）y=x^2的图像为开口向上的抛物线，顶点为原点，对称轴为y轴。
（2）x<1或x>3。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：关注学生对二次函数图像绘制和解二次不等式的掌握程度，及时调整教学方法。
2. 拓展延伸：引导学生探索二次函数与生活实际的其他应用，提高学生的数学素养。
华师大版九年级数学下册精品教案261 二次函数一、教学内容本节课，我们将深入探讨华师大版九年级数学下册第261页二次函数章节。
具体内容包括二次函数定义、图像、性质以及其在实际生活中应用。
我们还会讨论二次函数顶点式和标准式，并学习如何通过配方法将一般式转换为顶点式。
二、教学目标1. 让学生理解二次函数定义，并能够熟练地识别和描述其图像和性质。
2. 培养学生运用二次函数解决实际问题能力。
3. 让学生掌握二次函数顶点式和标准式，并能灵活地在各种形式之间转换。
三、教学难点与重点难点：二次函数图像与性质关系，以及二次函数顶点式推导。
重点：二次函数定义，图像和性质，以及不同形式之间转换。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，演示二次函数图像动态变化。
2. 学具：学生每人准备一本练习册，若干张白纸和笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示一些生活中抛物线现象，如篮球投篮轨迹，引导学生思考抛物线与二次函数关系。
过程细节：播放篮球投篮短片，让学生观察篮球轨迹，提出问题：“这个轨迹符合哪种数学模型？”2. 例题讲解：讲解教材中例题，让学生理解二次函数定义和性质。
过程细节：以y=ax^2+bx+c为例，解释二次函数定义，通过图像展示对称轴、顶点、开口方向等性质。
3. 随堂练习：让学生在白纸上画出给定二次函数图像，并描述其性质。
过程细节：给出几个二次函数，让学生独立完成图像绘制和性质描述，然后进行讲解。
4. 顶点式推导：通过配方法，将一般式转换为顶点式。
过程细节：以y=ax^2+bx+c为例，引导学生利用配方法，推导出顶点式y=a(xh)^2+k。
5. 互动讨论：让学生讨论二次函数在实际生活中应用。
过程细节：鼓励学生分享自己想法，如二次函数在经济学、物理学等领域应用。
六、板书设计1. 二次函数定义、图像和性质。
2. 顶点式和标准式转换。
3. 例题和随堂练习解答。
七、作业设计1. 作业题目：(1) 画出y=2x^24x+3图像，并描述其性质。
2024年九年级下册数学二次函数全章教案华师大版一、教学内容本节课选自2024年九年级下册数学华师大版教材，主要围绕二次函数全章进行教学。
具体内容包括：二次函数的定义、图像与性质；二次函数的顶点式与解析式的互化；二次函数的图像变换；二次函数的实际应用。
二、教学目标1. 理解二次函数的定义，掌握其图像与性质，能运用顶点式与解析式进行互化。
2. 学会二次函数图像的变换方法，培养空间想象能力。
3. 能运用二次函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
三、教学难点与重点难点：二次函数图像的变换、实际应用。
重点：二次函数的定义、图像与性质、顶点式与解析式的互化。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、量角器、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中抛物线的实例，引导学生思考抛物线与二次函数的关系，激发学习兴趣。
2. 新课：（2）介绍顶点式与解析式的互化方法，通过例题讲解，巩固所学知识。
（3）探讨二次函数图像的变换方法，结合实践情景，让学生动手操作，加深理解。
3. 随堂练习：设计有针对性的练习题，让学生及时巩固所学知识。
六、板书设计1. 二次函数的定义、图像与性质。
2. 二次函数的顶点式与解析式的互化。
3. 二次函数图像的变换方法。
4. 实践情景引入、例题讲解、随堂练习。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列二次函数的顶点坐标、对称轴和开口方向：y = 2x^2 + 4x + 3y = x^2 + 4x + 5（2）已知二次函数的图像如下，求其解析式：y = ax^2 + bx + c2. 答案：（1）顶点坐标、对称轴和开口方向分别为：y = 2x^2 + 4x + 3：顶点坐标为（1，1），对称轴为x=1，开口向上。
y = x^2 + 4x + 5：顶点坐标为（2，9），对称轴为x=2，开口向下。
（2）解析式为：y = 2x^2 4x + 3八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次函数的定义、图像与性质掌握较好，但在图像变换方面还存在一定困难，需要在今后的教学中加强练习。
2024年华师大版九下《二次函数》教案一、教学内容本节课选自2024年华师大版九年级下册《二次函数》章节。
具体内容包括：二次函数的定义及其图像特征，二次函数的标准式、顶点式和一般式的相互转化，二次函数的性质，以及二次函数在生活中的简单应用。
二、教学目标1. 理解并掌握二次函数的定义，能熟练地识别二次函数；2. 学会二次函数标准式、顶点式和一般式之间的相互转化，并了解二次函数图像的特征；3. 掌握二次函数的性质，能运用二次函数解决实际问题。
三、教学难点与重点难点：二次函数图像的特征及其性质，二次函数在实际问题中的应用。
重点：二次函数的定义，二次函数标准式、顶点式和一般式的相互转化。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、教学课件、投影仪。
学具：直尺、圆规、练习本、草稿纸。
五、教学过程1. 实践情景引入通过展示生活中的抛物线现象，如抛物面天线、篮球投篮的轨迹等，引导学生思考抛物线与二次函数之间的关系。
2. 教学新课（1）二次函数的定义：引导学生回顾一次函数的定义，进而引出二次函数的定义。
（2）二次函数的标准式、顶点式和一般式：讲解三种形式的二次函数，并通过实例进行演示。
（3）二次函数图像的特征：通过画图工具，展示二次函数图像的对称性、开口方向和顶点位置等特点。
（4）二次函数的性质：讲解二次函数的增减性、最值等性质。
3. 例题讲解选取具有代表性的例题，讲解解题思路和方法，引导学生运用所学知识解决实际问题。
4. 随堂练习设计具有梯度性的练习题，让学生在课堂上及时巩固所学知识。
六、板书设计1. 二次函数的定义2. 二次函数的标准式、顶点式和一般式3. 二次函数图像的特征4. 二次函数的性质5. 例题及解题步骤6. 随堂练习题目七、作业设计1. 作业题目（1）已知二次函数的标准式，求顶点坐标和对称轴；（2）已知二次函数的一般式，求最大值和最小值；（3）运用二次函数解决实际问题。
答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次函数的定义和图像特征掌握较好，但在解决实际问题时还需加强引导。
华师大版九下《二次函数》教案一、教学内容本节课我们将学习华师大版九年级下册《二次函数》的第一章节。
具体内容包括：二次函数的定义、图像与性质，以及二次函数的顶点式和一般式的互化。
我们还将探讨二次函数在生活中的实际应用。
二、教学目标1. 理解二次函数的定义，掌握其图像与性质。
2. 学会二次函数顶点式与一般式的互化方法，并能熟练运用。
3. 能够将二次函数应用于解决实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：二次函数图像与性质的理解，顶点式与一般式的互化。
教学重点：二次函数的定义，图像与性质，以及实际应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 引入：通过展示生活中常见的抛物线现象，如抛物线运动、拱桥等，引导学生思考抛物线与二次函数之间的关系。
2. 新课导入：讲解二次函数的定义，引导学生回顾一元二次方程，为新课打下基础。
a. 二次函数的定义b. 二次函数的图像与性质c. 二次函数顶点式与一般式的互化3. 例题讲解：讲解典型例题，展示解题思路和方法。
4. 随堂练习：布置与例题类似的练习题，让学生巩固所学知识。
六、板书设计1. 二次函数定义2. 图像与性质a. 开口方向b. 顶点坐标c. 对称轴3. 顶点式与一般式的互化4. 例题及解题思路七、作业设计1. 作业题目：a. 求下列二次函数的顶点坐标和对称轴：y = x^2 2x + 1b. 将下列二次函数化为一般式：y = (x 1)^2 + 2c. 某公园的拱桥形状为二次函数图像，已知顶点坐标为（2, 3），开口向上，求该二次函数的解析式。
2. 答案：a. 顶点坐标：(1, 0)，对称轴：x = 1b. 一般式：y = x^2 2x + 3c. 二次函数解析式：y = a(x 2)^2 + 3，由于开口向上，a > 0。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次函数的定义、图像与性质掌握情况较好，但在顶点式与一般式的互化方面存在一定困难，需要在课后加强练习。
2024年华师大版九年级数学下册教案261 二次函数一、教学内容本节课我们将学习华师大版九年级数学下册第261页的二次函数。
具体内容包括：1. 二次函数的定义与一般形式；2. 二次函数图像的识别与性质；3. 二次函数顶点坐标的求解方法；4. 二次函数与实际问题的联系。
二、教学目标1. 理解二次函数的定义，掌握其一般形式；2. 能够识别二次函数的图像，了解其性质；3. 学会求解二次函数的顶点坐标；4. 能够运用二次函数解决实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：二次函数图像的性质及其在实际问题中的应用。
教学重点：二次函数的定义、一般形式、顶点坐标求解方法。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔；2. 学具：练习本、铅笔、直尺、橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过一个实际情景，如抛物线运动，引导学生了解二次函数与实际问题的联系。
2. 知识讲解（15分钟）（1）讲解二次函数的定义与一般形式；（2）通过示例图像，介绍二次函数图像的性质；（3）教授求解二次函数顶点坐标的方法。
3. 例题讲解（10分钟）讲解两个典型例题，涉及二次函数的定义、图像性质及顶点坐标求解。
4. 随堂练习（15分钟）让学生完成两个练习题，巩固所学知识。
5. 课堂小结（5分钟）六、板书设计1. 二次函数定义与一般形式；2. 二次函数图像性质；3. 求解二次函数顶点坐标方法；4. 典型例题及解答；5. 课堂小结。
七、作业设计1. 作业题目：（2）已知二次函数y = x^2 + 4x + 1的顶点坐标，求该函数的解析式。
2. 答案：（1）顶点坐标：（1，1）；（2）解析式：y = （x 2）^2 + 5。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：关注学生对二次函数图像性质的理解，以及顶点坐标求解方法的掌握；2. 拓展延伸：引入二次函数的对称轴、最小值、最大值等概念，为后续学习打下基础。
重点和难点解析1. 教学难点：二次函数图像的性质及其在实际问题中的应用。
教学内容26.1二次函数本节共需1课时本课为第1课时教学目标通过具体问题引入二次函数的概念；在解决问题的过程中体会二次函数的意义．教学重点通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．教学难点如何建立数学模型教具准备学案每生一份课型新授课教学过程初备统复备情境创设（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？（2）已知正方体的棱长为x㎝，表面积为y2cm,则y与x的关系是。
（3）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是，它是我们学过的函数吗？，探究新知1、请你结合学习一次函数概念的经验，给以上三个函数下个定义．2、归纳：二次函数的概念3、结合“情境”中的三个二次函数的表达式，给出常数a、b、c的取值范围，强调0≠a。
4、结合“情境”中的三个二次函数的表达式，说说它们的自变量的取值范围。
实践与探索1 例1．m取哪些值时，函数)1()(22+++-=mmxxmmy是以x为自变量的二次函数？分析若函数)1()(22+++-=mmxxmmy是二次函数，须满足的条件是：02≠-mm．解若函数)1()(22+++-=mmxxmmy是二次函数，则02≠-mm．解得0≠m，且1≠m．因此，当0≠m，且1≠m时，函数)1()(22+++-=mmxxmmy是二次函数．探索若函数)1()(22+++-=mmxxmmy是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？实践与探索2 例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．应用与拓展1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）02=-xy（2）2)1()2)(2(---+=xxxy（3）xxy12+=（4）322-+=xxy2．当k为何值时，函数1)1(2+-=+kkxky为二次函数？3．已知正方形的面积为)(2cmy，周长为x（cm）(1)请写出y与x的函数关系式；(2)判断y是否为x的二次函数．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积小结与作业回顾与反思形如cbxaxy++=2的函数只有在0≠a的条件下才是二次函数．课堂作业：家庭作业：教学后记：教学内容26.2.1二次函数的图象与性质本节共需7 课时 本课为第1课时教学目标 会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． 教学重点 通过画图得出二次函数特点 教学难点 识图能力的培养 教具准备 坐标小黑板一块 课型 新授课 教学过程初 备统 复 备情境导入 我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数x y 3=xy 3=的图象分别是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？ （2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？实践与 探索1例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降． 注意点：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．实践与探索2例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．解（1）由题意，得)0(1612>=CCS．列表：描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm．（3）根据图象得，当C≥8cm 时，S≥4 cm2．注意点：（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．2 4 6 8 ……小结与作业课堂小结：通过本节课的学习你有哪些收获？课堂作业：课本P4 习题 1～4家庭作业：《数学同步导学九下》P4 随堂演练教学后记：教学内容26.2.2 二次函数的图象与性质本节共需7 课时 本课为第2课时教学目标 会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 教学重点 通过画图得出二次函数性质 教学难点 识图能力的培养 教具准备 投影仪，胶片． 课型 新授课 教学过程初 备统 复 备 情境导入 同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？ ．实践与 探索1例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象． 解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思： 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索 观察这两个函数， 它们的开口方向、对称轴 和顶点坐标有那些是相同 的？又有哪些不同？你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？x… -3 -2 -1 0 1 2 3…22x y = (18)822818 …222+=x y… 20 10 4 2 4 10 20 …教学内容26.2.3 二次函数的图象与性质本节共需7课时 本课为第3课时教学目标 会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．． 教学重点 通过画图得出二次函数性质 教学难点 识图能力的培养 教具准备 投影仪，胶片． 课型 新授课 教学过程初 备统 复 备 情境导入我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？实践与 探索1例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解 列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．x… -3 -2-1 0123…221x y =…292 21 0 21 2 29 … 2)2(21+=x y …21 0 21 2 225 8 225… 2)2(21-=x y … 225 8 29221 0 21 …教学内容26．2 .4 二次函数的图象与性质本节共需7课时本课为第4课时教学目标1．掌握把抛物线2axy=平移至2)(hxay-=+k的规律；2．会画出2)(hxay-=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．教学重点通过画图得出二次函数性质教学难点识图能力的培养教具准备投影仪，胶片．课型新授课教学过程初备统复备情境导入由前面的知识，我们知道，函数22xy=的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=xy的图象；函数22xy=的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=xy的图象，那么函数22xy=的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=xy的图象呢？实践与探索1 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221xy=，2)1(21-=xy，2)1(212--=xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解（1）列表：略（2）描点：（3）连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．观察：它们的开口方向都向，对称轴分别为、、，顶点坐标分别为、、．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．探索你能说出函数2)(hxay-=+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？教学内容26．2 .5 二次函数的图象与性质本节共需7课时本课为第5课时教学目标1．能通过配方把二次函数cbxaxy++=2化成2)(hxay-=+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象．教学重点通过画图得出二次函数性质教学难点识图能力的培养、配方法教具准备多媒体课件（几何画板4.06）课型新授课教学过程初备统复备情境导入由前面的知识，我们知道，函数22xy=的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=xy的图象；函数22xy=的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=xy的图象，那么函数22xy=的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=xy的图象呢？实践与探索1 例1．通过配方，确定抛物线6422++-=xxy的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解6422++-=xxy[]8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=xxxxxx因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．由对称性列表：注意点：（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到；（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．实践与探索2例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：x（元）130 150 165 y（件）70 50 35 若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．小结与作业回顾与反思最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．课堂作业：如图26．2．8，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．（1）用含y的代数式表示AE；（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．家庭作业：《数学同步导学九下》P18 随堂演练教学后记教学内容26. 2 .7 二次函数的图象与性质本节共需7课时本课为第7课时教学目标会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式教学重点会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式教学难点在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题教具准备投影仪，胶片．课型新授课教学过程初备统复备情境导入一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数)0(≠+=kbkxy的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数)0(≠=kxky的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数)0(2≠++=acbxaxy的关系式，又需要几个条件呢？实践与探索1 例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是)0(2<=aaxy．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入)0(2<=aaxy，得28.04.2⨯=-a所以415-=a．因此，函数关系式是2415xy-=．教学内容26.3 .1 实践与探索本节共需4课时本课为第1课时教学目标会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．教学重点会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式教学难点在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题教具准备投影仪，胶片．课型新授课教学过程初备统复备情境导入生活中，我们会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？实践与探索1 例1．如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是35321212++-=xxy，问此运动员把铅球推出多远？解如图，铅球落在x轴上，则y=0，因此，035321212=++-xx．解方程，得2,1021-==xx（不合题意，舍去）．所以，此运动员把铅球推出了10米．探索此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面35m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．实践与探索2例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）分析这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．小结与作业回顾与反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：（1）一般式：)0(2≠++=acbxaxy，给出三点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：)0()(2≠+-=akhxay，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．课堂作业：在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？家庭作业：《数学同步导学九下》P24 随堂演练教学后记教学内容26. 3 .3 实践与探索本节共需4课时 本课为第3课时教学目标 （1）会求出二次函数c bx ax y ++=2与坐标轴的交点坐标；（2）了解二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．教学重点 （1）会求出二次函数c bx ax y ++=2与坐标轴的交点坐标；（2）了解二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．教学难点 了解二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系． 教具准备 投影仪，胶片． 课型新授课 教学过程 初 备统复备情境导入给出三个二次函数：（1）232+-=x x y ；（2）12+-=x x y ；（3）122+-=x x y ． 它们的图象分别为观察图象与x 轴的交点个数，分别是 个、 个、 个．你知道图象与x 轴的交点个数与什么有关吗？另外，能否利用二次函数c bx ax y ++=2的图象寻找方程)0(02≠=++a c bx ax ，不等式)0(02≠>++a c bx ax 或)0(02≠<++a c bx ax 的解？实践与 探索1分析 （1）抛物线324)1(22-+++=k kx x k y 与x 轴相交于两点，相当于方程0324)1(22=-+++k kx x k 有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．（2）二次函数232)1(2-++-=a ax x a y 的图象的最低点在x 轴上，也就是说，方程0232)1(2=-++-a ax x a 的两个实数根相等，即⊿=0．（3）已知抛物线23)1(2----=k x k x y 与x 轴交于两点A （α，0），B （β，0），即α、β是方程023)1(2=----k x k x 的两个根，又由于1722=+βα，以及αββαβα2)(222-+=+，利用根与系数的关系即可得到结果．教学内容26. 3 .4 实践与探索本节共需4课时本课为第4课时教学目标掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．教学重点一元二次方程及二元二次方程组的图象解法教学难点一元二次方程及二元二次方程组的图象解法教具准备投影仪，胶片．课型新授课教学过程初备统复备情境导入上节课的作业第5题：画图求方程22+-=xx的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法．甲：将方程22+-=xx化为022=-+xx，画出22-+=xxy的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．乙：分别画出函数2xy=和2+-=xy的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解．你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．实践与探索1例1．利用函数的图象，求下列方程的解：（1）0322=-+xx；（2）02522=+-xx．分析上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线2xy=的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．解（1）在同一直角坐标系中画出函数2xy=和32+-=xy的图象，如图26．3．5，得到它们的交点（-3，9）、（1，1），则方程0322=-+xx的解为–3，1．（2）解题略实践与探索2例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=22321xyxy；（2）⎩⎨⎧+=+=xxyxy2632．分析（1）可以通过直接画出函数2321+-=xy和2xy=的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．当1≤x≤2。
