华师版数学九年级下册解码专训：二次函数(1)

华师版数学九年级下册解码专训 二次函数2ax y =的图象和性质一、明确学习目标1、会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，掌握二次函数2ax y =性质。

2、经历探索二次函数2ax y =的图象与性质的过程，能运用二次函数2ax y =的图象及性质解决简单的实际问题，掌握数形结合的数学思想方法。

3、通过数学学习活动，体会数学与实际生活的联系，感受数学的实际意义，激发学习兴趣。

二、自主预习预习填表画图，并初步完成自主预习区。

三、合作探究活动1 探究2ax y =)0(≠a 的图象 1、用描点法画2x y =的图象。

（1）用描点法画图象通常有哪些步骤？ （2）列表时，应注意什么问题？x… 3- 2- 1- 0 1 2 3 … 2x y =……（3）描点时应以哪些数值作为点的坐标？ （4）连线时应注意什么？2、思考与归纳让学生观察师生所画的图象，给出抛物线的概念。

并说明：二次函数2x y =的图象是一条抛物线，实际上，二次函数的图象都是抛物线。

思考：（1）思考表格中的数据是否反映了一种规律？（2）观察图象，这条抛物线有什么特征？请把你的发现说出来。

教师引导：任取一个x 的值，计算出相应y 的值，验证一下这个点关于y轴的对称点是否也在这条抛物线上，从而给出抛物线的对称轴、顶点等概念。

学生观察、探究、交流、总结。

活动2 在同一坐标系中画出函数221x y =，22x y =的图象与2x y =的图象相比，有什么共同点和不同点，学生讨论后回答，教师点拨。

猜想：二次函数的开口方向是由什么决定的？开口大小的程度又是由谁决定的？活动3 探究：在同一坐标系中画出函数2x y -=，221x y -=和22x y -=的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点。

活动 4 进一步探究，抛物线2x y =与2x y -=有什么关系？由此猜想2ax y =与2ax y -=的关系。

活动5 小组讨论例1 填空：①函数2)2(x y -=的图象是_________，顶点坐标是_______，对称轴是__________，开口方向__________。

华师版数学九年级下册解码专训21.2.6二次函数表达式的确定教学目标【知识与技能】使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式的方法;使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式的方法.【过程与方法】体会数学在生活中的作用,培养学生的动手操作能力.【情感、态度与价值观】让学生体验二次函数的关系式的应用,提高学生对数学重要性的意识.重点难点【重点】已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标,分别求二次函数y=ax2+bx+c的关系式.【难点】已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式.根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式.教学过程一、问题引入1.一次函数的表达式是什么?如何求出它的表达式?(一次函数的表达式y=kx+b,只需知道一次函数图象上两个点的坐标,利用待定系数法求出系数k、b.)2.已知二次函数图象上的几个点的坐标,可以求出这个二次函数的表达式?本节课我们来研究用待定系数法求二次函数的表达式.(板书)二、新课教授问题1.如果一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的表达式吗?如果能,求出这个二次函数的表达式.解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.由已知函数图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,得到关于a、b、c的三元一次方程组解这个方程组,得:a=2,b=-3,c=5.所求二次函数的表达式是y=2x2-3x+5.归纳1:求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a、b、c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.问题2.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的关系式.分析:二次函数y=ax2+bx+c通过配方可得y=a(x-h)2+k的形式称为顶点式,(h,k)为抛物线的顶点坐标,因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9),因此,可以设函数关系式为:y=a(x-8)2+9,由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入所设函数关系式,即可求出a的值.归纳2:如果知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设函数关系式为y=a(x-h)2+k,只需要再找一个条件求出a的值即可.三、典型例题【例1】有一个二次函数,当x=0时,y=-1;当x=-2时,y=0;当x=时,y=0.求这个二次函数的表达式.解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,根据题意,得解方程组,得.答:所求二次函数的表达式为y=x2+x-1.【例2】已知抛物线的对称轴是直线x=2,且经过(3,1)和(0,-5)两点,求二次函数的关系式.解法一:设所求二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,因为二次函数的图象过点(0,-5),可求得c=-5.又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴是直线x=2,可以得解这个方程组,得所以所求的二次函数的关系式为y=-2x2+8x-5.解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,由于二次函数的图象经过(3,1)和(0,-5)两点,可以得到:解这个方程组,得所以,所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2+3,即y=-2x2+8x-5.【例3】抛物线y=x2-4x+8与直线y=x+1交于B、C两点.(1)在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线;(2)记抛物线的顶点为A,求△ABC的面积.解:(1)如图,画出直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+8.。

华师大版九下《二次函数》教案一、教学内容本节课我们将学习华师大版九年级下册数学教材中第五章《二次函数》的第一小节“二次函数的图像与性质”。

具体内容包括：二次函数的定义、图像、开口方向、顶点坐标、对称轴、最值等概念，以及二次函数图像与性质之间的关系。

二、教学目标1. 让学生掌握二次函数的定义，能够识别并写出一般形式的二次函数表达式。

2. 使学生理解二次函数图像的几何特征，如开口方向、顶点坐标、对称轴和最值等。

3. 培养学生运用二次函数图像与性质解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点难点：二次函数图像的绘制及性质的理解。

重点：二次函数的定义、图像与性质的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔、直尺、圆规等。

2. 学具：练习本、铅笔、橡皮、直尺、圆规等。

五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的抛物线现象（如投篮、拱桥等），引出二次函数的概念。

2. 新课导入：（1）二次函数的定义：让学生回顾一次函数的定义，然后引导他们发现二次函数的定义。

（2）二次函数图像的绘制：讲解二次函数的一般形式，通过实例演示如何绘制二次函数的图像。

3. 例题讲解：（1）求二次函数的顶点坐标、对称轴、最值等。

（2）已知二次函数的部分信息，求解析式。

4. 随堂练习：让学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。

六、板书设计1. 二次函数定义2. 二次函数图像的绘制方法3. 二次函数的性质开口方向顶点坐标对称轴最值七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列二次函数的顶点坐标、对称轴、最值： y = 2x^2 4x + 3y = x^2 + 6x 5（2）已知二次函数的图像开口向上，顶点坐标为（1，3），且过点（0，2），求该二次函数的解析式。

2. 答案：（1）y = 2x^2 4x + 3顶点坐标：（1，1）对称轴：x = 1最小值：1y = x^2 + 6x 5顶点坐标：（3，4）对称轴：x = 3最大值：4（2）y = x^2 2x 1八、课后反思及拓展延伸重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定。

华师大版九年级下册数学第26章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列说法正确的是（）A.等弧所对的弦相等B.平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧C.若抛物线与坐标轴只有一个交点，则b 2﹣4ac=0D.相等的圆心角所对的弧相等2、将抛物线平移得到抛物线的步骤可以是（）A.向左平移4个单位，再向上平移1个单位B.向左平移4个单位，再向下平移1个单位C.向右平移4个单位，再向上平移1个单位D.向右平移4个单位，再向下平移1个单位3、抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是( )A.-4＜x＜1B.-3＜x＜1C.-2＜x＜1D.x＜14、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A.①③B.①③④C.②④⑤D.①③④⑤5、二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是( )A.k<3B.k<0且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠06、二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是( )A. B. C. D.7、下列函数中，不属于二次函数的是（）A.y=（x﹣2）2B.y=﹣2（x+1）（x﹣1）C.y=1﹣x﹣x2 D.y=8、在同一坐标系中，函数y=ax2+b与y=bx2+ax的图象，只可能是下图中的（）A. B. C. D.9、在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm 的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为( )A. y=πx2-4B. y=π（2-x）2C. y=-（x2+4）D. y=-πx2+16π10、将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（）A.y=﹣2（x+1）2﹣1B.y﹣2（x+1）2+3C.y=﹣2（x﹣1）2+1 D.y=﹣2（x﹣1）2+311、在同一直角坐标系中，函数y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（）A. B. C. D.12、下列各式中，y是x的二次函数的是（）A. B. C. D.13、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（）A.2B.3C.4D.514、二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（）A.函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）B.顶点坐标是（1，﹣3） C.函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0） D.当x ＜0时，y随x的增大而减小15、将抛物线y=2x2经过怎样的平移可得到抛物线y=2（x+3）2+4（）A.先向左平移3个单位，再向上平移4个单位B.先向左平移3个单位，再向下平移4个单位C.先向右平移3个单位，再向上平移4个单位 D.先向右平移3个单位，再向下平移4个单位二、填空题(共10题，共计30分)16、抛物线y＝2x2﹣4x+8的对称轴是________.17、把抛物线y=-3x2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后所得的函数解析式为________ 。

二次函数[本章知识要点]1．探索具体问题中的数量关系和变化规律．2．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念．3．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．4．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．6．会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．二次函数[本课知识要点]通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．[MM及创新思维]（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．[实践与探索]例1．m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？分析若函数是二次函数，须满足的条件是：．解若函数是二次函数，则．解得，且．因此，当，且时，函数是二次函数．回顾与反思形如的函数只有在的条件下才是二次函数．探索若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．解（1）由题意，得，其中S是a的二次函数；（2）由题意，得，其中y是x的二次函数；（3）由题意，得（x≥0且是正整数），其中y是x的一次函数；（4）由题意，得，其中S是x的二次函数．例3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．解（1）；（2）当x=3cm时，（cm2）．[当堂课内练习]1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）（2）（3）（4）2．当k为何值时，函数为二次函数？3．已知正方形的面积为，周长为x（cm）．(1)请写出y与x的函数关系式；(2)判断y是否为x的二次函数．[本课课外作业]A组1．已知函数是二次函数，求m的值．2．已知二次函数，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．3．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y．4．用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．B组5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）A．B．C．D．6．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（）A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与圆的半径之间的关系[本课学习体会]。

期中期末串讲--二次函数(一)课后练习
主讲教师：黄老师
题一：已知二次函数y=－x2+4x+5，完成下列各题：
(1)将函数关系式用配方法化为y=a(x－h)2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．
(2)在直角坐标系中，画出它的图象．
(3)根据图象说明：当x取何值时，y随x的增大而增大？
(4)当x取何值时，y＞0？
题二：已知二次函数y=x2－2x－3
(1)求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
(3)在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；
(4)当x为何值时，y随x的增大而增大？
(5)x为何值时y≥0？
(6)当－3＜x＜3时，观察图象直接写出函数值y的取值范围．
题三：已知a＞0，b＜0，c＜0，则二次函数y=a(x+b)2+c的图象可能是( )
A． B．
C． D．
题四：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列6个代数式：ab，ac，a+b+c，a －b+c，2a+b，2a－b中，其值为正的式子的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题五：(1)抛物线经过(4，0)，(0，－4)，和(－2，3)三点，求该抛物线的关系式．
(2)已知二次函数的图象经过点(0，－3)，且顶点坐标为(1，－4)，求该函数的解析式．
题六：(1)已知二次函数的图象顶点坐标为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0，11)，求该二次函数的解析式．
(2)抛物线的顶点坐标为(－2，3)，且与x轴交于(x1，0)，(x2，0)，且|x1－x2|=6，求该抛物线的关系式．。

华师版数学九年级下册解码专训专训1二次函数与几何的应用名师点金：二次函数与几何的应用非常广泛，解决这类问题的关键是要学会数形结合，一方面，抓住几何图形的特征，灵活运用点的坐标与线段长度之间的相互转化，从而解决与二次函数有关的问题；另一方面，已知二次函数表达式可求出特殊点的坐标，进而求出线段长度，从而解决有关几何问题．二次函数与三角形的综合1．如图，在直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y＝12x2＋bx－2过点C.求抛物线对应的函数表达式．(第1题)二次函数与平行四边形的综合2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2 cm，点A，C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B，且12a＋5c＝0.(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)如果点P由点A开始沿AB边以2 cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1 cm/s的速度向点C移动．一点到达终点后另一点停止移动．①移动开始后第t s时，设S＝PQ2(cm2)，试写出S与t之间的函数表达式，并写出t的取值范围．②当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．(第2题)二次函数与矩形、菱形、正方形的综合3．二次函数y＝23x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A n在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B n在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3，…，C n在二次函数位于第二象限的图象上．四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，(第3题)四边形A2B3A3C3，…，四边形A n－1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠A n－1B n A n＝60°，则菱形A n－1B n A n C n的周长为________．4．(中考·孝感)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)图①中，若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE＝EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)．(2)如图②，若点E在线段BC上滑动(不与点B，C重合)．①AE＝EF是否总成立？请给出证明．②在如图②所示的平面直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，求此时点F的坐标．(第4题)专训2探究二次函数中存在性问题名师点金：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案．常见的类型有：探索与特殊几何图形有关的存在性问题，探索与周长有关的存在性问题，探索与面积有关的存在性问题．探索与相似有关的存在性问题。

华师版数学九年级下册解码专训专 训1 圆中常见的计算题型名师点金：与圆有关的计算主要涉及圆与其他几何图形结合，利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量，利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积等．有关角度的计算1．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为三个切点．若∠DEF ＝52°，则∠A 的度数为( )A ．76°B ．68°C ．52°D ．38°(第1题)(第2题) 2．如图，有一圆经过△ABC 的三个顶点，且弦BC 的中垂线与AC ︵相交于D点．若∠B ＝74°，∠C ＝46°，则AD ︵所对圆心角的度数为( )A ．23°B ．28°C ．30°D ．37°3．(中考·娄底)如图，在⊙O 中，AB ，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD ，BC ，BD.(1)求证：△ABD ≌△CDB ；(2)若∠DBE ＝37°，求∠ADC 的度数．(第3题)半径、弦长的计算 4．(中考·南京)如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，连接BC ，若AB ＝2 2 cm ，∠BCD ＝22°30′，则⊙O 的半径为________．(第4题)(第5题)5．如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD ＝OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B 是CF ︵的中点，弦CF 交AB 于点E.若⊙O 的半径为2，则CF ＝________.6．如图，在⊙O 中，直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，OD ＝30 cm .求直径AB 的长．(第6题)面积的计算7．(2015·丽水)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F.(1)求证：DF ⊥AC ；。

华师版数学九年级下册解码专训21.3.1 二次函数与一元二次方程间的关系教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程关系的过程,体会函数、方程之间的. 【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解.【难点】用数形结合的思想解方程.教学过程一、创设情境,导入新知师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点?生甲:一个.生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点.生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗?比如一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少?学生计算后回答.二、共同探究,获取新知师:你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究?学生思考.生:借助二次函数的图象.师:对.教师多媒体课件出示:二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题:1.它与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?2.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根吗?4.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标有什么关系?师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题.学生作图,教师巡视指导.教师出示图象:学生观察图象后回答.生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.师:同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢?学生思考,交流讨论.生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢?生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.三、例题讲解【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.。

新华师大版九下数学课件二次函数一、教学内容本节课选自新华师大版九下数学教材第十一章“二次函数”。

具体内容为：11.1节“二次函数的图像与性质”，11.2节“二次函数的顶点式”，以及11.3节“二次函数的应用”。

二、教学目标1. 让学生掌握二次函数的图像与性质，能够根据二次函数的一般式y=ax^2+bx+c判断其开口方向、对称轴和顶点坐标。

2. 使学生理解二次函数顶点式的意义，能够将一般式转换为顶点式，并利用顶点式解决实际问题。

3. 培养学生运用二次函数知识解决实际问题的能力，提高数学思维和逻辑推理能力。

三、教学难点与重点重点：二次函数的图像与性质，二次函数顶点式的应用。

难点：一般式与顶点式的互化，二次函数在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，黑板，粉笔。

2. 学具：直尺，圆规，量角器，练习本。

五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的抛物线现象（如篮球投篮、拱桥等），引导学生思考这些现象与二次函数的关系，激发学生兴趣。

2. 新课导入：回顾一次函数的性质，引导学生探讨二次函数的性质。

3. 探究活动：（2）引导学生将一般式y=ax^2+bx+c转换为顶点式y=a(xh)^2+k，并解释其意义。

4. 例题讲解：（1）利用顶点式求二次函数的顶点、对称轴等。

（2）解决实际问题：如给定二次函数，求其最大（小）值。

5. 随堂练习：让学生完成教材中的练习题，巩固所学知识。

六、板书设计1. 二次函数的图像与性质y=ax^2+bx+c开口方向：向上（a>0）或向下（a<0）对称轴：x=b/2a顶点坐标：(b/2a, cb^2/4a)2. 二次函数顶点式y=a(xh)^2+k顶点坐标：(h, k)对称轴：x=h七、作业设计1. 作业题目：（1）画出y=2x^24x+3的图像，并求出其顶点坐标、对称轴。

（2）将y=x^24x+5转换为顶点式，并求出其最大值。

2. 答案：（1）顶点坐标：(1, 1)，对称轴：x=1。

确的是( ) A．x1＜－A1＜2＜x2B．－1＜x1＜2＜x2
C．－1＜x1＜x2＜2D．x1＜－1＜x2＜2
6 【2020·德州】二次函数y＝x2＋bx的图象如图，对称 轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2＋bx－t＝ 0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围 是( ) A．t≥C－1 B.－1≤t＜3 C.－1≤t＜8 D．3＜t＜8
(1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
解：将点 A(－3，－3)，B(1，－1)的坐标代入 y＝kx ＋b，得－k＋3kb＋＝b－＝1－，3，解得kb＝＝12－，32.
∴直线 l 的表达式为 y＝12x－32. 联立 y＝ax2＋2x－1 与 y＝12x－32， 则有 2ax2＋3x＋1＝0.
①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大， ∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4， 则m＝－3； ②在直线x＝1右侧，y随x的增大而减小， ∴x＝m＝3时，y有最大值－4. 综上所述，m＝－3或m＝3.
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出 a的取值范围.
解：a 的取值范围为49≤a＜98或 a≤－2.
证明：当x＝2时，m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b>0①， ∵ a ＋ b<0 ， ∴ － a － b ＞ 0 ② ， ① ② 相 加 得 ： 2a>0 ， ∴a>0.
17 (14分)在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋ 2x－1(a≠0)和直线l：y＝kx＋b，点A(－3，－3)，B(1， －1)均在直线l上.
12 如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y＝a(x－4)2 ＋k与y轴的交点，B是这条抛物线上的另一点，且 AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ________. 24

专训1二次函数的图象与系数的关系名师点金：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数a，b，c与图象有着密切的关系：a的取值决定了开口方向和开口大小，a，b的取值影响对称轴的位置，c 的取值决定了抛物线与y轴的交点位置，所以a，b，c这三个系数共同决定着抛物线的位置和大小，反之也可以根据二次函数图象情况确定a，b，c的符号或大小．a与图象的关系1．如图所示，四个函数的图象，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系为()A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞cC．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c(第1题)(第3题)2．在抛物线y＝mx2与抛物线y＝nx2中，若－m＞n＞0，则开口向上的抛物线是________，开口较大的抛物线是________．b与图象的关系3．若二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图象如图所示，则b的值是() A．－5B．0C．3D．44．当抛物线y＝x2－nx＋2的对称轴是y轴时，n______0；当对称轴在y轴左侧时，n______0；当对称轴在y轴右侧时，n______0.(填“＞”“＜”或“＝”)c与图象的关系5．下列抛物线可能是y＝ax2＋bx的图象的是()6．若将抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c －3向上平移4个单位长度后得到的图象如图所示，则c ＝________．(第6题)(第7题)a ，b 与图象的关系7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法中不正确的是( )A ．a ＞0B ．b ＜0C ．3a ＋b ＞0D ．b ＞－2a8．如果抛物线y ＝m 2x 2＋(n ＋2)x －5的对称轴是直线x ＝－32，则(3m －2n)2－2n ＋43m 的值为________．a ，c 与图象的关系9．二次函数y ＝(3－m)x 2－x ＋n ＋5的图象如图所示，试求（m －3）2＋n 2－|m ＋n|的值．(第9题)a ，b ，c 与图象的关系10．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ＜0，b ＞0，c ＜0，则符合条件的图象是( )(第11题)11．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x ＝－12，下列结论中正确的是( )A ．abc ＞0B ．a ＋c ＝0C ．b ＝2aD ．4a ＋c ＝2b专训2 求二次函数表达式的常见类型名师点金：求二次函数的表达式是解决二次函数问题的重要保证，在求解二次函数的表达式时一般选用待定系数法，但在具体题目中要根据不同条件，设出恰当的表达式，往往可以给解题过程带来简便．由函数的基本形式求表达式方法1：利用一般式求二次函数表达式1．已知一个二次函数的图象经过点A(1，0)，点B(0，6)和点C(4，6)，则这个二次函数的表达式为____________________．2．一个二次函数，当自变量x ＝－1时，函数值y ＝2；当x ＝0时，y ＝－1；当x ＝1时，y ＝－2.那么这个二次函数的表达式为______________．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．(1)求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 对应的函数表达式；(2)若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求OM ＋AM 的最小值．(第3题)方法2：利用顶点式求二次函数表达式4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是() A．y＝－2x2－x＋3B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋65．已知某二次函数的最大值是2，图象顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－6)．求这个二次函数的表达式．方法3：利用交点式求二次函数表达式6．已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y轴交于点C，且AB＝BC，求此抛物线对应的函数表达式．方法4：利用平移法求二次函数表达式7．(中考·绥化)把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线对应的函数表达式是______________．8．已知y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y＝x2－2x－3.(1)b ＝________，c ＝________； (2)求原函数图象的顶点坐标； (3)求两个图象顶点之间的距离．方法5：利用对称轴法求二次函数表达式(第9题)9．如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是________________．10．如图所示，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，点A 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴是直线x ＝－12.(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)M 是线段AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求点M 的坐标．(第10题)方法6：灵活运用方法求二次函数的表达式11．已知抛物线的顶点坐标为(－2，4)，且与x 轴的一个交点坐标为(1，0)，求抛物线对应的函数表达式．由函数图象中的信息求表达式12．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是()(第12题) A．y＝x2－x－2B．y＝－12x2－12x＋2C．y＝－12x2－12x＋1D．y＝－x2＋x＋213．(中考·南京)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．如图中的折线ABD，线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)，销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？(第13题)由表格信息求表达式14．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是()x－10 1ax2 1ax2＋bx＋c8 3A.y＝x2－4x＋3B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋815．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，变量x和y的部分对应值如下表：x…－32－1－1212132…y…－54－2－94－2－5474…则该二次函数的表达式为______________．几何应用中求二次函数的表达式16．如图，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C在x轴上，若抛物线y＝ax2＋bx＋c以C为顶点，且经过点B，求这条抛物线对应的函数表达式．(第16题)实际问题中求二次函数表达式17．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m，花园的面积为S m2.(1)求S与x之间的函数表达式；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值．(第17题)答案专训11．A点拨：本题运用数形结合思想，在二次函数y＝ax2的图象中，|a|越大，图象的开口越小，所以①，②中，a＞b＞0，③，④中，d＜c＜0，所以a＞b ＞c＞d，故选A.2．y ＝nx 2；y ＝nx 23．C 点拨：∵二次函数y ＝3x 2＋(b －3)x －4的图象关于y 轴对称，∴b －3＝0，b ＝3.4．＝；＜；＞ 5.D 6.1 7.D8．15 点拨：由题意得－n ＋2m ＝－32，∴3m －2n ＝4，3m ＝2n ＋4，∴(3m －2n)2－2n ＋43m ＝42－1＝15.9．解：由图象知⎩⎨⎧3－m ＞0，n ＋5＜0，解得⎩⎨⎧m ＜3，n ＜－5.∴m －3＜0，m ＋n ＜－2.∴（m －3）2＋n 2－|m ＋n|＝3－m －n ＋m ＋n ＝3.10．D11．D 点拨：由二次函数图象知a ＞0，c ＜0，由对称轴为直线x ＝－12，得－b 2a ＝－12，∴b ＝a ＞0，∴abc ＜0，∴A 选项不正确；∵抛物线经过点(1，0)，∴a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋c ＝－b ＜0，故B 选项不正确；由b ＝a 知C 选项不正确；由对称轴为直线x ＝－12，且二次函数图象与x 轴一个交点为(1，0)，知另一交点为(－2，0)，∴4a －2b ＋c ＝0，∴4a ＋c ＝2b ，故D 选项正确．专训21．y ＝2x 2－8x ＋6 2．y ＝x 2－2x －13．解：(1)把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点的坐标代入y ＝ax 2＋bx＋c ，得⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝－4，c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝0.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－12x 2＋x. (2)由y ＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12，可得抛物线的对称轴为直线x ＝1，并且对称轴垂直平分线段OB ， 连接AB ，交直线x ＝1于M 点， ∴OM ＝BM.∴OM ＋AM ＝BM ＋AM ＝AB ，即为OM ＋AM 的最小值．过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt △ABN 中，AB ＝AN 2＋BN 2＝42＋42＝42，因此OM ＋AM 的最小值为4 2.4．D5．解：设二次函数图象的顶点坐标为(x ，2)，则2＝x ＋1，所以x ＝1，所以图象的顶点为(1，2)．设二次函数的表达式为y ＝a(x －1)2＋2，将点(3，－6)的坐标代入上式，可得a ＝－2.所以该函数的表达式为y ＝－2(x －1)2＋2，即y ＝－2x 2＋4x.6．解：由A(1，0)，B(－4，0)可知AB ＝5，OB ＝4. 又∵BC ＝AB ，∴BC ＝5.在Rt △BCO 中，OC ＝BC 2－OB 2＝52－42＝3， ∴C 点的坐标为(0，3)或(0，－3)．设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x －1)(x ＋4)，将点(0，3)的坐标代入得3＝a(0－1)(0＋4)，解得a ＝－34；将点(0，－3)的坐标代入得－3＝a(0－1)(0＋4)，解得a ＝34.∴该抛物线对应的函数表达式为y ＝－34(x －1)(x ＋4)或y ＝34(x －1)(x ＋4)，即y ＝－34x 2－94x ＋3或y ＝34x 2＋94x －3.点拨：若给出抛物线与x 轴的交点坐标或对称轴及抛物线与x 轴的两交点间的距离，通常可设交点式求解．7．y ＝2x 2＋4x 8．解：(1)2；0(2)原函数的表达式为y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1. ∴其图象的顶点坐标为(－1，－1)．(3)原图象的顶点为(－1，－1)，新图象的顶点为(1，－4)．由勾股定理易得两个顶点之间的距离为13.9．y ＝－x 2＋2x ＋310．解：(1)设抛物线对应的函数表达式为y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋k.把点(2，0)，(0，3)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧254a ＋k ＝0，14a ＋k ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，k ＝258.∴y ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋258，即y ＝－12x 2－12x ＋3.(2)由y ＝0，得－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋258＝0，解得x 1＝2，x 2＝－3，∴B(－3，0)．①当CM ＝BM 时，∵BO ＝CO ＝3，即△BOC 是等腰直角三角形，∴当M 点在原点O 处时，△MBC 是等腰三角形，∴M 点坐标为(0，0)；②当BC ＝BM 时，在Rt △BOC 中，BO ＝CO ＝3，由勾股定理得BC ＝OC 2＋OB 2＝32，∴BM ＝32， ∴M 点坐标为(32－3，0)．综上所述，点M 坐标为(0，0)或(32－3，0)． 点拨：本题求点M 坐标时运用了分类讨论思想．11．解：方法一：设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝－2，4ac －b24a ＝4，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－49，b ＝－169，c ＝209.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－49x 2－169x ＋209.方法二：设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x ＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a ＝－49.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－49(x ＋2)2＋4， 即y ＝－49x 2－169x ＋209.方法三：∵抛物线的顶点坐标为(－2，4)，与x 轴的一个交点坐标为(1，0)， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－5，0)．设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x －1)(x ＋5)，将点(－2，4)的坐标代入得4＝a(－2－1)(－2＋5)，解得a ＝－49.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－49(x －1)(x ＋5)，即y ＝－49x 2－169x ＋209.点拨：本题分别运用了一般式、顶点式、交点式求二次函数表达式，求二次函数的表达式时要根据题目条件灵活选择方法，如本题中：第一种方法列式较复杂，且计算量大，第二、三种方法较简便，计算量小．12．D13．解：(1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg 时，该产品每千克的生产成本与销售价相等，都为42元．(2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式为y 1＝k 1x ＋b 1.因为y 1＝k 1x ＋b 1的图象过点(0，60)与(90，42)，所以⎩⎨⎧b 1＝60，90k 1＋b 1＝42.解方程组得⎩⎨⎧k 1＝－0.2，b 1＝60.这个一次函数的表达式为y 1＝－0.2x ＋60(0≤x ≤90)．(3)设y 2与x 之间的函数表达式为y 2＝k 2x ＋b 2.因为y 2＝k 2x ＋b 2的图象过点(0，120)与(130，42)，所以⎩⎨⎧b 2＝120，130k 2＋b 2＝42.解方程组得⎩⎨⎧k 2＝－0.6，b 2＝120.这个一次函数的表达式为y 2＝－0.6x ＋120(0≤x ≤130)．设产量为x kg 时，获得的利润为W 元．当0≤x ＜90时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－(－0.2x ＋60)]＝－0.4(x －75)2＋2 250. 所以当x ＝75时，W 的值最大，最大值为2 250.当90≤x ≤130时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－42]＝－0.6(x －65)2＋2 535.当x ＝90时，W ＝－0.6×(90－65)2＋2 535＝2 160.由－0.6＜0知，当x ＞65时，W 随x 的增大而减小，所以90≤x ≤130时，W ≤2 160.因此当该产品产量为75 kg 时，获得的利润最大，最大利润是2 250元．14．A 15. y ＝x 2＋x －216．解：∵直线y ＝x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴A(－2，0)，B(0，2)，∴△ABO 为等腰直角三角形．又∵AB ⊥BC ，∴△BCO 也为等腰直角三角形．∴OC ＝OB ＝OA.∴C(2，0)．设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x －2)2，将B(0，2)的坐标代入得2＝a(0－2)2，解得a ＝12，∴此抛物线对应的函数表达式为y ＝12(x －2)2，即y ＝12x 2－2x＋2.17．解：(1)∵AB ＝x m ，∴BC ＝(28－x) m .于是易得S ＝AB·BC ＝x(28－x)＝－x 2＋28x.即S ＝－x 2＋28x(0＜x ＜28)．(2)由题意可知，⎩⎨⎧x ≥6，28－x ≥15，解得6≤x ≤13. 由(1)知，S ＝－x 2＋28x ＝－(x －14)2＋196.易知当6≤x ≤13时，S 随x 的增大而增大，∴当x ＝13时，S最大值＝195，即花园面积的最大值为195 m 2.专训1 用二次函数解决问题的三种类型名师点金：利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二次函数表达式进行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的．建立平面直角坐标系解决实际问题题型1：拱桥(隧道)问题1．有一拱桥呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度是16 m ，跨度为40 m ，现把它的示意图(如图所示)放在坐标系中，则抛物线对应的函数表达式为( )A ．y ＝125x 2＋58xB ．y ＝－58x 2－125xC ．y ＝－125x 2＋85xD ．y ＝－125x 2＋85x ＋16(第1题)(第2题)2．如图，拱桥呈抛物线形，其函数的表达式为y＝－14x2，当水位线在AB位置时，水面的宽度为12米，这时拱顶距水面的高度h是________米．3．如图是某地区一条公路隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点A和A1、点B和B1分别关于y轴对称．隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C 离路面AA1的距离为8 m，点B离路面AA1的距离为6 m，隧道宽AA1为16 m.(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数表达式．(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4 m，装载设备的顶部离路面均为7 m，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由．(第3题)题型2：建筑物问题4．如图所示，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，校门的地面宽度为8 m，两侧距离地面4 m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m，则校门的高约为(精确到0.1 m，水泥建筑物的厚度忽略不计)() A．9.2 m B．9.1 mC．9.0 m D．8.9 m(第4题)(第5题)5．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成，为了牢固，每段防护栏需要间隔0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为()A．50 m B．100 mC．160 m D．200 m题型3：物体运动类问题6．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y＝－18x2＋12x＋32，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为________米．(第6题)7．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)处竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)．(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？(第7题)建立二次函数模型解决最值问题题型1：利用二次函数解决高度的最值问题8.某人从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：米)与小球的运动时间t(单位：秒)之间的关系式是h＝9.8t－4.9t2，那么小球运动中的最大高度为________．9．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都(第9题)是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的高度为________米．题型2：利用二次函数解决图形面积的最值问题10．用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是()(第10题)A.6425m2B.43m2C.83m2D．4 m211．如图所示，正方形ABCD的边长为3a，两动点E，F分别从顶点B，C 同时开始以相同速度沿边BC，CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，B，E，C，G在一条直线上．(1)若BE＝a，求DH的长．(2)当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值．(第11题)建立二次函数模型解决动点探究问题12．如图所示，直线y＝12x－2与x轴、y轴分别交于点A，C，抛物线过点A，C和点B(1，0)．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)在x轴上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离．(第12题)专训2函数中的决策问题名师点金：函数中的决策问题通常包括两类：一是利用一次函数进行决策，二是利用二次函数进行决策．其解题思路一般是先建立一次函数(二次函数)模型，将实际问题转化为函数问题，然后利用一次函数(二次函数)的图象和性质去分析、解决问题．利用一次函数作决策题型1：购买方案1．(中考·临沂)新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售．某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4 000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元．已知该楼盘每套楼房面积均为120米2.若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；方案二：降价10%，没有其他赠送．(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23，x取整数)之间的函数关系式；(2)老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更合算．题型2：生产方案2．(中考·无锡)某工厂以80元/箱的价格购进60箱原材料，准备由甲、乙两车间全部用于生产A产品，甲车间用每箱原材料可生产出A产品12千克，需耗水4吨；乙车间通过节能改造，用每箱原材料可生产出的A产品比甲车间少2千克，但耗水量是甲车间的一半．已知A产品售价为30元/千克，水价为5元/吨．如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200吨，那么该厂如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所能获取的利润w最大？最大利润是多少？(注：利润＝产品总售价－购买原材料成本－水费)题型3：运输方案3．(中考·荆州)荆州素有“鱼米之乡”的美称，某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种鱼，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：鲢鱼草鱼青鱼每辆汽车装鱼量/吨8 6 5每吨鱼获利/万元0.25 0.3 0.2(1)设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式．(2)如果装运每种鱼的车辆不少于2辆，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出最大利润．利用二次函数作决策题型1：几何问题中的决策4．如图，有长为24 m的围栏，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍．设鸡舍的一边AB为x m，面积为S m2.(1)求S与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)．(2)如果围成面积为45 m2的鸡舍，AB的长是多少米？(3)能围成面积比45 m2更大的鸡舍吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．(第4题)5．如图，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P运动到B时，P，Q两点停止运动，设P点运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？(2)设四边形APQC的面积为y(cm2)，求y关于t的函数表达式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出最小面积．(第5题)题型2：实际问题中的决策6．(中考·资阳)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1(元)与采购数量x1(台)满足y1＝－20x1＋1 500(0＜x1≤20，x1为整数)；冰箱的采购单价y2(元)与采购数量x2(台)满足y2＝－10x2＋1 300(0＜x2≤20，x2为整数)．(1)经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的119倍，且空调采购单价不低于1 200元，问该商家共有几种进货方案？(2)该商家分别以1 760元和1 700元的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在(1)的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．7．某宾馆有50个房间供游客住宿．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的定价不得高于340元．设每个房间每天的定价增加x元(x为10的整数倍)．(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x之间的函数表达式及自变量x 的取值范围．(2)设宾馆一天获得的利润为W元，求W与x之间的函数表达式．(3)一天订住多少个房间时，宾馆获得的利润最大？最大利润是多少元？专训3二次函数图象信息题的四种常见类型名师点金：利用图象信息解决二次函数的问题主要是运用数形结合思想将图象信息转换为数学语言，掌握二次函数的图象和性质，把握二次函数的特点是解决此类问题的关键．根据抛物线的特征确定a，b，c及与其有关的代数式的符号1．(中考·孝感)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC.则下列结论：①abc＜0；②b2－4ac4a＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－ca.其中正确结论的个数是()A．4 B．3 C．2 D．1(第1题)(第2题)利用二次函数的图象比较大小2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1<x2<1，则y1与y2的大小关系是()A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y2利用二次函数的图象解方程或不等式3．(中考·黄石)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则当函数值y＞0时，x的取值范围是()A．x＜－1 B．x＞3C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3(第3题)(第4题)4．(中考·阜新)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是____________．根据抛物线的特征确定其他函数的图象5．(中考·聊城)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax ＋b的图象大致是()(第5题)6．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y＝－x＋m与二次函数y ＝ax2＋bx－3的图象上．(1)求m的值和二次函数的表达式；(2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积．(第6题)答案专训11．C 2.93．解：(1)由已知得OA＝OA1＝8 m，OC＝8 m，AB＝6 m．故C(0，8)，B(－8，6)．设抛物线BCB1对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将B点坐标代入，得a·(－8)2＋8＝6，解得a＝－132，所以y＝－132x2＋8(－8≤x≤8)．(第3题)(2)能．若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y轴的距离为2 m．如图，设抛物线上横坐标为2的点为点D，过点D作DE⊥AA1于点E.当x＝2时，y＝－132×22＋8＝778，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，778，所以DE ＝778 m ． 因为778＞7，所以该货车能安全通过这个隧道．4．B 5.C 6.2(第7题)7．解：(1)以点O 为原点，AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立如图的直角坐标系，则有M(0，5)，B(2，0)，C(1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋c ，由抛物线过点M 和点B ，可得a ＝－54，c ＝5.故抛物线对应的函数表达式为y ＝－54x 2＋5.当x＝1时，y ＝154；当x ＝32时，y ＝3516.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1，154，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3516两点在抛物线上．当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高为0.3×5＝1.5＝32(米)．∵32＜154且32＜3516，∴网球不能落入桶内．(2)设竖直摆放m 个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．由题意，得3516≤0.3m ≤154，解得7724≤m ≤1212.∵m 为整数，∴m 的值为8，9，10，11，12.∴当竖直摆放8，9，10，11或12个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．8．4.9米 9.0.5 10.C11．解：(1)如图，连接FH ，∵△EGH ≌△BCF ，∴HG ＝FC ，∠G ＝∠BCF ，∴HG ∥FC ，∴四边形FCGH 是平行四边形，∴FH 綊CG ，∴∠DFH ＝∠DCG ＝90°.由题意可知，CF ＝BE ＝a.在Rt △DFH 中，DF ＝3a －a ＝2a ，FH ＝a ，∴DH ＝DF 2＋FH 2＝5a.(第11题)(2)设BE ＝x ，△DHE 的面积为y.依题意，得y ＝S △CDE ＋S梯形CDHG －S △EGH ＝12×3a ×(3a －x)＋12(3a ＋x)x －12×3a ×x ，∴y ＝12x 2－32ax ＋92a 2，即y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32a 2＋278a 2.∴当x ＝32a ，即E 是BC 的中点时，y 取得最小值，即△DHE 的面积取得最小值，最小值是278a 2.12．解：(1)在y ＝12x －2中，令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝4，∴A(4，0)，C(0，－2)．设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，∵点A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)在抛物线上，∴⎩⎨⎧16a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝0，c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝52，c ＝－2.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－12x 2＋52x －2.(第12题) (2)设点D 的坐标为(x ，y)，则y ＝－12x 2＋52x －2(1＜x ＜4)．在Rt △AOC 中，OA ＝4，OC ＝2，由勾股定理得AC ＝2 5.如图所示，连接CD ，AD ，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，过点A 作AG ⊥FD 交FD 的延长线于点G ，则FD ＝x ，DG ＝4－x ，OF ＝AG ＝y ，FC ＝y ＋2.∴S △ACD＝S 梯形AGFC －S △CDF －S △ADG ＝12(AG ＋FC)·FG －12FC·FD －12DG·AG ＝12(y ＋y ＋2)×4－12(y ＋2)·x －12(4－x)·y ＝2y －x ＋4.将y ＝－12x 2＋52x －2代入，得S △ACD ＝2y －x ＋4＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，当x ＝2时，y ＝1，此时S △ACD 最大，∴D(2，1)．∵S △ACD ＝12AC·DE ，AC ＝25，∴当△ACD 的面积最大时，高DE 最大，则DE 的最大值为412AC ＝412×25＝455.∴当D 与直线AC 的距离DE 最大时，点D 的坐标为(2，1)，最大距离为455.专训21．解：(1)当1≤x ≤8时，y ＝4 000－30(8－x)＝4 000－240＋30x ＝30x ＋3 760；当8＜x ≤23时，y ＝4 000＋50(x －8)＝4 000＋50x －400＝50x ＋3 600.∴所求函数关系式为y ＝⎩⎨⎧30x ＋3 760（1≤x ≤8，x 取整数），50x ＋3 600（8＜x ≤23，x 取整数）.(2)当x ＝16时，方案一每套楼房费用(单位：元)：W 1＝120×(50×16＋3 600)×92%－a ＝485 760－a ；方案二每套楼房费用(单位：元)：W 2＝120×(50×16＋3 600)×90%＝475 200.当W 1＜W 2，即485 760－a ＜475 200时，a ＞10 560；当W 1＝W 2，即485 760－a ＝475 200时，a ＝10 560；当W 1＞W 2，即485 760－a ＞475 200时，a ＜10 560.因此，当每套楼房赠送装修基金多于10 560元时，选择方案一合算；当每套楼房赠送装修基金等于10 560元时，两种方案一样；当每套楼房赠送装修基金少于10 560元时，选择方案二合算．2．解：设甲车间用x 箱原材料生产A 产品，则乙车间用(60－x)箱原材料生产A 产品．由题意得4x ＋2(60－x)≤200，解得x ≤40.w ＝30[12x ＋10(60－x)]－80×60－5[4x ＋2(60－x)]＝50x ＋12 600，∵50＞0，∴w 随x 的增大而增大，∴当x ＝40 时，w 取得最大值，为14 600元．答：甲车间用40箱原材料生产A 产品，乙车间用20箱原材料生产A 产品，可使工厂所获利润最大，最大利润为14 600元．3．解：(1)由题意得：装运青鱼的车辆为(20－x －y)辆．∵8x ＋6y ＋5(20－x －y)＝120，∴y ＝－3x ＋20.(2)∵⎩⎨⎧x ≥2，y ≥2，20－x －y ≥2.∴⎩⎨⎧x ≥2，－3x ＋20≥2，20－x －（－3x ＋20）≥2.解得2≤x ≤6.设此次销售获利W 万元，则W ＝0.25×8x ＋0.3×6y ＋0.2×5(20－x －y)＝－1.4x ＋36.∵k ＝－1.4＜0，∴W 随x 的增大而减小．∴当x ＝2时，W 取得最大值，为33.2.此时y ＝－3x ＋20＝14，20－x －y ＝4.故应安排2辆汽车装运鲢鱼，14辆汽车装运草鱼，4辆汽车装运青鱼，能使此次销售获利最大，最大利润为33.2万元．4．解：(1)因为AB ＝x m ，所以BC ＝(24－3x) m ，此时S ＝x(24－3x)＝－3x 2＋24x.(2)由已知得－3x 2＋24x ＝45，整理可得x 2－8x ＋15＝0.解得x 1＝5，x 2＝3.∵0＜24－3x ≤10，得143≤x ＜8，∴x 2＝3不符合题意，故AB ＝5 m . (3)S ＝－3x 2＋24x ＝－3(x 2－8x)＝－3(x －4)2＋48.∵143≤x ＜8，∴当x ＝143时，S 最大值＝4623.∴能围成面积比45 m 2更大的鸡舍．当BC 的长是10 m ，AB 的长是423 m 时，鸡舍的面积最大，为4623 m 2.5．解：(1)由题意可知，∠B ＝60°，BP ＝(3－t)cm ，BQ ＝t cm .若△PBQ 是直角三角形，则∠BPQ ＝30°或∠BQP ＝30°，于是BQ ＝12BP 或BP ＝12BQ ，即t ＝12(3－t)或3－t ＝12t.解得t ＝1或t ＝2，即当t 为1或2时，△PBQ 是直角三角形．(第5题) (2)如图，过点P 作PM ⊥BC 于点M ，则易知BM ＝12BP ＝12(3－t)cm .∴PM ＝BP 2－BM 2＝32(3－t)cm .∴S 四边形APQC ＝S △ABC －S △PBQ ＝12×3×323－12t·32(3－t)＝34t 2－334t ＋934，即y ＝34t 2－334t ＋934，易知0<t<3.于是y ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋27316，∴当t ＝32时，y 取得最小值，为27316.即当t 为32时，四边形APQC 的面积最小，最小面积为27316 cm 2.6．解：(1)由题意可知，空调的采购数量为x 1台，则冰箱的采购数量为(20－x 1)台，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1≥119（20－x 1），－20x 1＋1 500≥1 200，解得11≤x 1≤15.∵x 1为整数，∴x 1可取的值为11，12，13，14，15.∴该商家共有5种进货方案．(2)设总利润为W 元，y 2＝－10x 2＋1 300＝－10(20－x 1)＋1 300＝10x 1＋1 100，则W ＝(1 760－y 1)x 1＋(1 700－y 2)x 2＝1 760x 1－(－20x 1＋1 500)x 1＋(1 700－10x 1－1 100)(20－x 1)＝1 760x 1＋20x 12－1 500x 1＋10x 12－800x 1＋12 000＝30x 12－540x 1＋12 000＝30(x 1－9)2＋9 570.当x 1＞9时，W 随x 1的增大而增大，∵11≤x 1≤15，∴当x 1＝15时，W 最大值＝30×(15－9)2＋9 570＝10 650.答：采购空调15台时总利润最大，最大利润为10 650元．7．解：(1) y ＝50－110x(0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)．(2)由题意可知，W ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫50－110x (180＋x －20)，即W ＝－110x 2＋34x ＋8 000.(3)∵W ＝－110x 2＋34x ＋8 000＝－110(x －170)2＋10 890，∴当x<170时，W 随x 的增大而增大，又∵0≤x ≤160，∴当x ＝160时，W 最大值＝10 880，此时，y ＝50－110×160＝34.答：一天订住34个房间时，宾馆获得的利润最大，最大利润是10 880元．专训31．B 点拨：因为抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，与x 轴有两个交点，－b 2a ＞0，所以a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2－4ac ＞0，所以abc ＜0，b 2－4ac 4a ＜0，故①正确，②错误．因为OA ＝OC ，所以点A 的坐标可表示为(－c ，0)，代入表达式得ac 2－bc ＋c ＝0，所以ac －b ＋1＝0，故③正确．设点A ，B 的坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，所以x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c＝0的两根，所以x 1x 2＝c a ，又OA ＝－x 1，OB ＝x 2，所以OA·OB ＝－c a ，故④正确．所以①③④正确．2．B 3.D 4.x 1＝0，x 2＝2 5.C6．解：(1)将点A(－1，0)的坐标代入y ＝－x ＋m ，得m ＝－1；将点A(－1，0)，B(2，－3)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎨⎧a －b －3＝0，4a ＋2b －3＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，∴y ＝x 2－2x －3.(2)易知C 点的坐标为(0，－3)，一次函数的图象与y 轴的交点坐标为(0，－1)．∴S △ABC ＝12×[－1－(－3)]×1＋12×[－1－(－3)]×2＝12×2×1＋12×2×2＝3.专训1 二次函数与几何的应用名师点金：二次函数与几何的应用非常广泛，解决这类问题的关键是要学会数形结合，一方面，抓住几何图形的特征，灵活运用点的坐标与线段长度之间的相互转化，从而解决与二次函数有关的问题；另一方面，已知二次函数表达式可求出特殊点的坐标，进而求出线段长度，从而解决有关几何问题．二次函数与三角形的综合1．如图，在直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y＝12x2＋bx－2过点C.求抛物线对应的函数表达式．(第1题)二次函数与平行四边形的综合2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2 cm，点A，C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B，且12a＋5c＝0.(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)如果点P由点A开始沿AB边以2 cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1 cm/s的速度向点C移动．一点到达终点后另一点停止移动．①移动开始后第t s时，设S＝PQ2(cm2)，试写出S与t之间的函数表达式，并写出t的取值范围．②当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．(第2题)二次函数与矩形、菱形、正方形的综合3．二次函数y＝23x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A n在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B n在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3，…，C n在二次函数位于第二象限的图象上．四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，(第3题)四边形A2B3A3C3，…，四边形A n－1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2。

专训1二次函数的图象与系数的关系名师点金：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数a，b，c与图象有着密切的关系：a的取值决定了开口方向和开口大小，a，b的取值影响对称轴的位置，c 的取值决定了抛物线与y轴的交点位置，所以a，b，c这三个系数共同决定着抛物线的位置和大小，反之也可以根据二次函数图象情况确定a，b，c的符号或大小．a与图象的关系1．如图所示，四个函数的图象，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系为()A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞cC．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c(第1题)(第3题)2．在抛物线y＝mx2与抛物线y＝nx2中，若－m＞n＞0，则开口向上的抛物线是________，开口较大的抛物线是________．b与图象的关系3．若二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图象如图所示，则b的值是() A．－5B．0C．3D．44．当抛物线y＝x2－nx＋2的对称轴是y轴时，n______0；当对称轴在y轴左侧时，n______0；当对称轴在y轴右侧时，n______0.(填“＞”“＜”或“＝”)c与图象的关系5．下列抛物线可能是y＝ax2＋bx的图象的是()6．若将抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c －3向上平移4个单位长度后得到的图象如图所示，则c ＝________．(第6题)(第7题)a ，b 与图象的关系7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法中不正确的是( )A ．a ＞0B ．b ＜0C ．3a ＋b ＞0D ．b ＞－2a8．如果抛物线y ＝m 2x 2＋(n ＋2)x －5的对称轴是直线x ＝－32，则(3m －2n)2－2n ＋43m 的值为________．a ，c 与图象的关系9．二次函数y ＝(3－m)x 2－x ＋n ＋5的图象如图所示，试求（m －3）2＋n 2－|m ＋n|的值．(第9题)a ，b ，c 与图象的关系10．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ＜0，b ＞0，c ＜0，则符合条件的图象是( )(第11题)11．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x ＝－12，下列结论中正确的是( )A ．abc ＞0B ．a ＋c ＝0C ．b ＝2aD ．4a ＋c ＝2b专训2 求二次函数表达式的常见类型名师点金：求二次函数的表达式是解决二次函数问题的重要保证，在求解二次函数的表达式时一般选用待定系数法，但在具体题目中要根据不同条件，设出恰当的表达式，往往可以给解题过程带来简便．由函数的基本形式求表达式方法1：利用一般式求二次函数表达式1．已知一个二次函数的图象经过点A(1，0)，点B(0，6)和点C(4，6)，则这个二次函数的表达式为____________________．2．一个二次函数，当自变量x ＝－1时，函数值y ＝2；当x ＝0时，y ＝－1；当x ＝1时，y ＝－2.那么这个二次函数的表达式为______________．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．(1)求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 对应的函数表达式；(2)若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求OM ＋AM 的最小值．(第3题)方法2：利用顶点式求二次函数表达式4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是() A．y＝－2x2－x＋3B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋65．已知某二次函数的最大值是2，图象顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－6)．求这个二次函数的表达式．方法3：利用交点式求二次函数表达式6．已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y轴交于点C，且AB＝BC，求此抛物线对应的函数表达式．方法4：利用平移法求二次函数表达式7．(中考·绥化)把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线对应的函数表达式是______________．8．已知y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y＝x2－2x－3.(1)b ＝________，c ＝________； (2)求原函数图象的顶点坐标； (3)求两个图象顶点之间的距离．方法5：利用对称轴法求二次函数表达式(第9题)9．如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是________________．10．如图所示，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，点A 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴是直线x ＝－12.(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)M 是线段AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求点M 的坐标．(第10题)方法6：灵活运用方法求二次函数的表达式11．已知抛物线的顶点坐标为(－2，4)，且与x 轴的一个交点坐标为(1，0)，求抛物线对应的函数表达式．由函数图象中的信息求表达式12．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是()(第12题) A．y＝x2－x－2B．y＝－12x2－12x＋2C．y＝－12x2－12x＋1D．y＝－x2＋x＋213．(中考·南京)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．如图中的折线ABD，线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)，销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？(第13题)由表格信息求表达式14．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是()x－10 1ax2 1ax2＋bx＋c8 3A.y＝x2－4x＋3B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋815．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，变量x和y的部分对应值如下表：x…－32－1－1212132…y…－54－2－94－2－5474…则该二次函数的表达式为______________．几何应用中求二次函数的表达式16．如图，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C在x轴上，若抛物线y＝ax2＋bx＋c以C为顶点，且经过点B，求这条抛物线对应的函数表达式．(第16题)实际问题中求二次函数表达式17．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m，花园的面积为S m2.(1)求S与x之间的函数表达式；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值．(第17题)答案专训11．A点拨：本题运用数形结合思想，在二次函数y＝ax2的图象中，|a|越大，图象的开口越小，所以①，②中，a＞b＞0，③，④中，d＜c＜0，所以a＞b ＞c＞d，故选A.2．y ＝nx 2；y ＝nx 23．C 点拨：∵二次函数y ＝3x 2＋(b －3)x －4的图象关于y 轴对称，∴b －3＝0，b ＝3.4．＝；＜；＞ 5.D 6.1 7.D8．15 点拨：由题意得－n ＋2m ＝－32，∴3m －2n ＝4，3m ＝2n ＋4，∴(3m －2n)2－2n ＋43m ＝42－1＝15.9．解：由图象知⎩⎨⎧3－m ＞0，n ＋5＜0，解得⎩⎨⎧m ＜3，n ＜－5.∴m －3＜0，m ＋n ＜－2.∴（m －3）2＋n 2－|m ＋n|＝3－m －n ＋m ＋n ＝3.10．D11．D 点拨：由二次函数图象知a ＞0，c ＜0，由对称轴为直线x ＝－12，得－b 2a ＝－12，∴b ＝a ＞0，∴abc ＜0，∴A 选项不正确；∵抛物线经过点(1，0)，∴a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋c ＝－b ＜0，故B 选项不正确；由b ＝a 知C 选项不正确；由对称轴为直线x ＝－12，且二次函数图象与x 轴一个交点为(1，0)，知另一交点为(－2，0)，∴4a －2b ＋c ＝0，∴4a ＋c ＝2b ，故D 选项正确．专训21．y ＝2x 2－8x ＋6 2．y ＝x 2－2x －13．解：(1)把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点的坐标代入y ＝ax 2＋bx＋c ，得⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝－4，c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝0.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－12x 2＋x. (2)由y ＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12，可得抛物线的对称轴为直线x ＝1，并且对称轴垂直平分线段OB ， 连接AB ，交直线x ＝1于M 点， ∴OM ＝BM.∴OM ＋AM ＝BM ＋AM ＝AB ，即为OM ＋AM 的最小值．过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt △ABN 中，AB ＝AN 2＋BN 2＝42＋42＝42，因此OM ＋AM 的最小值为4 2.4．D5．解：设二次函数图象的顶点坐标为(x ，2)，则2＝x ＋1，所以x ＝1，所以图象的顶点为(1，2)．设二次函数的表达式为y ＝a(x －1)2＋2，将点(3，－6)的坐标代入上式，可得a ＝－2.所以该函数的表达式为y ＝－2(x －1)2＋2，即y ＝－2x 2＋4x.6．解：由A(1，0)，B(－4，0)可知AB ＝5，OB ＝4. 又∵BC ＝AB ，∴BC ＝5.在Rt △BCO 中，OC ＝BC 2－OB 2＝52－42＝3， ∴C 点的坐标为(0，3)或(0，－3)．设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x －1)(x ＋4)，将点(0，3)的坐标代入得3＝a(0－1)(0＋4)，解得a ＝－34；将点(0，－3)的坐标代入得－3＝a(0－1)(0＋4)，解得a ＝34.∴该抛物线对应的函数表达式为y ＝－34(x －1)(x ＋4)或y ＝34(x －1)(x ＋4)，即y ＝－34x 2－94x ＋3或y ＝34x 2＋94x －3.点拨：若给出抛物线与x 轴的交点坐标或对称轴及抛物线与x 轴的两交点间的距离，通常可设交点式求解．7．y ＝2x 2＋4x 8．解：(1)2；0(2)原函数的表达式为y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1. ∴其图象的顶点坐标为(－1，－1)．(3)原图象的顶点为(－1，－1)，新图象的顶点为(1，－4)．由勾股定理易得两个顶点之间的距离为13.9．y ＝－x 2＋2x ＋310．解：(1)设抛物线对应的函数表达式为y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋k.把点(2，0)，(0，3)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧254a ＋k ＝0，14a ＋k ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，k ＝258.∴y ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋258，即y ＝－12x 2－12x ＋3.(2)由y ＝0，得－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋258＝0，解得x 1＝2，x 2＝－3，∴B(－3，0)．①当CM ＝BM 时，∵BO ＝CO ＝3，即△BOC 是等腰直角三角形，∴当M 点在原点O 处时，△MBC 是等腰三角形，∴M 点坐标为(0，0)；②当BC ＝BM 时，在Rt △BOC 中，BO ＝CO ＝3，由勾股定理得BC ＝OC 2＋OB 2＝32，∴BM ＝32， ∴M 点坐标为(32－3，0)．综上所述，点M 坐标为(0，0)或(32－3，0)． 点拨：本题求点M 坐标时运用了分类讨论思想．11．解：方法一：设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝－2，4ac －b24a ＝4，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－49，b ＝－169，c ＝209.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－49x 2－169x ＋209.方法二：设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x ＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a ＝－49.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－49(x ＋2)2＋4， 即y ＝－49x 2－169x ＋209.方法三：∵抛物线的顶点坐标为(－2，4)，与x 轴的一个交点坐标为(1，0)， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－5，0)．设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x －1)(x ＋5)，将点(－2，4)的坐标代入得4＝a(－2－1)(－2＋5)，解得a ＝－49.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－49(x －1)(x ＋5)，即y ＝－49x 2－169x ＋209.点拨：本题分别运用了一般式、顶点式、交点式求二次函数表达式，求二次函数的表达式时要根据题目条件灵活选择方法，如本题中：第一种方法列式较复杂，且计算量大，第二、三种方法较简便，计算量小．12．D13．解：(1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg 时，该产品每千克的生产成本与销售价相等，都为42元．(2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式为y 1＝k 1x ＋b 1.因为y 1＝k 1x ＋b 1的图象过点(0，60)与(90，42)，所以⎩⎨⎧b 1＝60，90k 1＋b 1＝42.解方程组得⎩⎨⎧k 1＝－0.2，b 1＝60.这个一次函数的表达式为y 1＝－0.2x ＋60(0≤x ≤90)．(3)设y 2与x 之间的函数表达式为y 2＝k 2x ＋b 2.因为y 2＝k 2x ＋b 2的图象过点(0，120)与(130，42)，所以⎩⎨⎧b 2＝120，130k 2＋b 2＝42.解方程组得⎩⎨⎧k 2＝－0.6，b 2＝120.这个一次函数的表达式为y 2＝－0.6x ＋120(0≤x ≤130)．设产量为x kg 时，获得的利润为W 元．当0≤x ＜90时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－(－0.2x ＋60)]＝－0.4(x －75)2＋2 250. 所以当x ＝75时，W 的值最大，最大值为2 250.当90≤x ≤130时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－42]＝－0.6(x －65)2＋2 535.当x ＝90时，W ＝－0.6×(90－65)2＋2 535＝2 160.由－0.6＜0知，当x ＞65时，W 随x 的增大而减小，所以90≤x ≤130时，W ≤2 160.因此当该产品产量为75 kg 时，获得的利润最大，最大利润是2 250元．14．A 15. y ＝x 2＋x －216．解：∵直线y ＝x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴A(－2，0)，B(0，2)，∴△ABO 为等腰直角三角形．又∵AB ⊥BC ，∴△BCO 也为等腰直角三角形．∴OC ＝OB ＝OA.∴C(2，0)．设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x －2)2，将B(0，2)的坐标代入得2＝a(0－2)2，解得a ＝12，∴此抛物线对应的函数表达式为y ＝12(x －2)2，即y ＝12x 2－2x＋2.17．解：(1)∵AB ＝x m ，∴BC ＝(28－x) m .于是易得S ＝AB·BC ＝x(28－x)＝－x 2＋28x.即S ＝－x 2＋28x(0＜x ＜28)．(2)由题意可知，⎩⎨⎧x ≥6，28－x ≥15，解得6≤x ≤13. 由(1)知，S ＝－x 2＋28x ＝－(x －14)2＋196.易知当6≤x ≤13时，S 随x 的增大而增大，∴当x ＝13时，S最大值＝195，即花园面积的最大值为195 m 2.专训1 用二次函数解决问题的三种类型名师点金：利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二次函数表达式进行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的．建立平面直角坐标系解决实际问题题型1：拱桥(隧道)问题1．有一拱桥呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度是16 m ，跨度为40 m ，现把它的示意图(如图所示)放在坐标系中，则抛物线对应的函数表达式为( )A ．y ＝125x 2＋58xB ．y ＝－58x 2－125xC ．y ＝－125x 2＋85xD ．y ＝－125x 2＋85x ＋16(第1题)(第2题)2．如图，拱桥呈抛物线形，其函数的表达式为y＝－14x2，当水位线在AB位置时，水面的宽度为12米，这时拱顶距水面的高度h是________米．3．如图是某地区一条公路隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点A和A1、点B和B1分别关于y轴对称．隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C 离路面AA1的距离为8 m，点B离路面AA1的距离为6 m，隧道宽AA1为16 m.(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数表达式．(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4 m，装载设备的顶部离路面均为7 m，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由．(第3题)题型2：建筑物问题4．如图所示，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，校门的地面宽度为8 m，两侧距离地面4 m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m，则校门的高约为(精确到0.1 m，水泥建筑物的厚度忽略不计)() A．9.2 m B．9.1 mC．9.0 m D．8.9 m(第4题)(第5题)5．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成，为了牢固，每段防护栏需要间隔0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为()A．50 m B．100 mC．160 m D．200 m题型3：物体运动类问题6．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y＝－18x2＋12x＋32，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为________米．(第6题)7．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)处竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)．(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？(第7题)建立二次函数模型解决最值问题题型1：利用二次函数解决高度的最值问题8.某人从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：米)与小球的运动时间t(单位：秒)之间的关系式是h＝9.8t－4.9t2，那么小球运动中的最大高度为________．9．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都(第9题)是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的高度为________米．题型2：利用二次函数解决图形面积的最值问题10．用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是()(第10题)A.6425m2B.43m2C.83m2D．4 m211．如图所示，正方形ABCD的边长为3a，两动点E，F分别从顶点B，C 同时开始以相同速度沿边BC，CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，B，E，C，G在一条直线上．(1)若BE＝a，求DH的长．(2)当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值．(第11题)建立二次函数模型解决动点探究问题12．如图所示，直线y＝12x－2与x轴、y轴分别交于点A，C，抛物线过点A，C和点B(1，0)．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)在x轴上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离．(第12题)专训2函数中的决策问题名师点金：函数中的决策问题通常包括两类：一是利用一次函数进行决策，二是利用二次函数进行决策．其解题思路一般是先建立一次函数(二次函数)模型，将实际问题转化为函数问题，然后利用一次函数(二次函数)的图象和性质去分析、解决问题．利用一次函数作决策题型1：购买方案1．(中考·临沂)新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售．某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4 000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元．已知该楼盘每套楼房面积均为120米2.若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；方案二：降价10%，没有其他赠送．(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23，x取整数)之间的函数关系式；(2)老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更合算．题型2：生产方案2．(中考·无锡)某工厂以80元/箱的价格购进60箱原材料，准备由甲、乙两车间全部用于生产A产品，甲车间用每箱原材料可生产出A产品12千克，需耗水4吨；乙车间通过节能改造，用每箱原材料可生产出的A产品比甲车间少2千克，但耗水量是甲车间的一半．已知A产品售价为30元/千克，水价为5元/吨．如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200吨，那么该厂如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所能获取的利润w最大？最大利润是多少？(注：利润＝产品总售价－购买原材料成本－水费)题型3：运输方案3．(中考·荆州)荆州素有“鱼米之乡”的美称，某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种鱼，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：鲢鱼草鱼青鱼每辆汽车装鱼量/吨8 6 5每吨鱼获利/万元0.25 0.3 0.2(1)设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式．(2)如果装运每种鱼的车辆不少于2辆，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出最大利润．利用二次函数作决策题型1：几何问题中的决策4．如图，有长为24 m的围栏，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍．设鸡舍的一边AB为x m，面积为S m2.(1)求S与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)．(2)如果围成面积为45 m2的鸡舍，AB的长是多少米？(3)能围成面积比45 m2更大的鸡舍吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．(第4题)5．如图，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P运动到B时，P，Q两点停止运动，设P点运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？(2)设四边形APQC的面积为y(cm2)，求y关于t的函数表达式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出最小面积．(第5题)题型2：实际问题中的决策6．(中考·资阳)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1(元)与采购数量x1(台)满足y1＝－20x1＋1 500(0＜x1≤20，x1为整数)；冰箱的采购单价y2(元)与采购数量x2(台)满足y2＝－10x2＋1 300(0＜x2≤20，x2为整数)．(1)经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的119倍，且空调采购单价不低于1 200元，问该商家共有几种进货方案？(2)该商家分别以1 760元和1 700元的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在(1)的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．7．某宾馆有50个房间供游客住宿．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的定价不得高于340元．设每个房间每天的定价增加x元(x为10的整数倍)．(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x之间的函数表达式及自变量x 的取值范围．(2)设宾馆一天获得的利润为W元，求W与x之间的函数表达式．(3)一天订住多少个房间时，宾馆获得的利润最大？最大利润是多少元？专训3二次函数图象信息题的四种常见类型名师点金：利用图象信息解决二次函数的问题主要是运用数形结合思想将图象信息转换为数学语言，掌握二次函数的图象和性质，把握二次函数的特点是解决此类问题的关键．根据抛物线的特征确定a，b，c及与其有关的代数式的符号1．(中考·孝感)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC.则下列结论：①abc＜0；②b2－4ac4a＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－ca.其中正确结论的个数是()A．4 B．3 C．2 D．1(第1题)(第2题)利用二次函数的图象比较大小2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1<x2<1，则y1与y2的大小关系是()A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y2利用二次函数的图象解方程或不等式3．(中考·黄石)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则当函数值y＞0时，x的取值范围是()A．x＜－1 B．x＞3C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3(第3题)(第4题)4．(中考·阜新)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是____________．根据抛物线的特征确定其他函数的图象5．(中考·聊城)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax ＋b的图象大致是()(第5题)6．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y＝－x＋m与二次函数y ＝ax2＋bx－3的图象上．(1)求m的值和二次函数的表达式；(2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积．(第6题)答案专训11．C 2.93．解：(1)由已知得OA＝OA1＝8 m，OC＝8 m，AB＝6 m．故C(0，8)，B(－8，6)．设抛物线BCB1对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将B点坐标代入，得a·(－8)2＋8＝6，解得a＝－132，所以y＝－132x2＋8(－8≤x≤8)．(第3题)(2)能．若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y轴的距离为2 m．如图，设抛物线上横坐标为2的点为点D，过点D作DE⊥AA1于点E.当x＝2时，y＝－132×22＋8＝778，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，778，所以DE ＝778 m ． 因为778＞7，所以该货车能安全通过这个隧道．4．B 5.C 6.2(第7题)7．解：(1)以点O 为原点，AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立如图的直角坐标系，则有M(0，5)，B(2，0)，C(1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋c ，由抛物线过点M 和点B ，可得a ＝－54，c ＝5.故抛物线对应的函数表达式为y ＝－54x 2＋5.当x＝1时，y ＝154；当x ＝32时，y ＝3516.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1，154，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3516两点在抛物线上．当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高为0.3×5＝1.5＝32(米)．∵32＜154且32＜3516，∴网球不能落入桶内．(2)设竖直摆放m 个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．由题意，得3516≤0.3m ≤154，解得7724≤m ≤1212.∵m 为整数，∴m 的值为8，9，10，11，12.∴当竖直摆放8，9，10，11或12个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．8．4.9米 9.0.5 10.C11．解：(1)如图，连接FH ，∵△EGH ≌△BCF ，∴HG ＝FC ，∠G ＝∠BCF ，∴HG ∥FC ，∴四边形FCGH 是平行四边形，∴FH 綊CG ，∴∠DFH ＝∠DCG ＝90°.由题意可知，CF ＝BE ＝a.在Rt △DFH 中，DF ＝3a －a ＝2a ，FH ＝a ，∴DH ＝DF 2＋FH 2＝5a.(第11题)(2)设BE ＝x ，△DHE 的面积为y.依题意，得y ＝S △CDE ＋S梯形CDHG －S △EGH ＝12×3a ×(3a －x)＋12(3a ＋x)x －12×3a ×x ，∴y ＝12x 2－32ax ＋92a 2，即y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32a 2＋278a 2.∴当x ＝32a ，即E 是BC 的中点时，y 取得最小值，即△DHE 的面积取得最小值，最小值是278a 2.12．解：(1)在y ＝12x －2中，令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝4，∴A(4，0)，C(0，－2)．设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，∵点A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)在抛物线上，∴⎩⎨⎧16a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝0，c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝52，c ＝－2.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－12x 2＋52x －2.(第12题) (2)设点D 的坐标为(x ，y)，则y ＝－12x 2＋52x －2(1＜x ＜4)．在Rt △AOC 中，OA ＝4，OC ＝2，由勾股定理得AC ＝2 5.如图所示，连接CD ，AD ，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，过点A 作AG ⊥FD 交FD 的延长线于点G ，则FD ＝x ，DG ＝4－x ，OF ＝AG ＝y ，FC ＝y ＋2.∴S △ACD＝S 梯形AGFC －S △CDF －S △ADG ＝12(AG ＋FC)·FG －12FC·FD －12DG·AG ＝12(y ＋y ＋2)×4－12(y ＋2)·x －12(4－x)·y ＝2y －x ＋4.将y ＝－12x 2＋52x －2代入，得S △ACD ＝2y －x ＋4＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，当x ＝2时，y ＝1，此时S △ACD 最大，∴D(2，1)．∵S △ACD ＝12AC·DE ，AC ＝25，∴当△ACD 的面积最大时，高DE 最大，则DE 的最大值为412AC ＝412×25＝455.∴当D 与直线AC 的距离DE 最大时，点D 的坐标为(2，1)，最大距离为455.专训21．解：(1)当1≤x ≤8时，y ＝4 000－30(8－x)＝4 000－240＋30x ＝30x ＋3 760；当8＜x ≤23时，y ＝4 000＋50(x －8)＝4 000＋50x －400＝50x ＋3 600.∴所求函数关系式为y ＝⎩⎨⎧30x ＋3 760（1≤x ≤8，x 取整数），50x ＋3 600（8＜x ≤23，x 取整数）.(2)当x ＝16时，方案一每套楼房费用(单位：元)：W 1＝120×(50×16＋3 600)×92%－a ＝485 760－a ；方案二每套楼房费用(单位：元)：W 2＝120×(50×16＋3 600)×90%＝475 200.当W 1＜W 2，即485 760－a ＜475 200时，a ＞10 560；当W 1＝W 2，即485 760－a ＝475 200时，a ＝10 560；当W 1＞W 2，即485 760－a ＞475 200时，a ＜10 560.因此，当每套楼房赠送装修基金多于10 560元时，选择方案一合算；当每套楼房赠送装修基金等于10 560元时，两种方案一样；当每套楼房赠送装修基金少于10 560元时，选择方案二合算．2．解：设甲车间用x 箱原材料生产A 产品，则乙车间用(60－x)箱原材料生产A 产品．由题意得4x ＋2(60－x)≤200，解得x ≤40.w ＝30[12x ＋10(60－x)]－80×60－5[4x ＋2(60－x)]＝50x ＋12 600，∵50＞0，∴w 随x 的增大而增大，∴当x ＝40 时，w 取得最大值，为14 600元．答：甲车间用40箱原材料生产A 产品，乙车间用20箱原材料生产A 产品，可使工厂所获利润最大，最大利润为14 600元．3．解：(1)由题意得：装运青鱼的车辆为(20－x －y)辆．∵8x ＋6y ＋5(20－x －y)＝120，∴y ＝－3x ＋20.(2)∵⎩⎨⎧x ≥2，y ≥2，20－x －y ≥2.∴⎩⎨⎧x ≥2，－3x ＋20≥2，20－x －（－3x ＋20）≥2.解得2≤x ≤6.设此次销售获利W 万元，则W ＝0.25×8x ＋0.3×6y ＋0.2×5(20－x －y)＝－1.4x ＋36.∵k ＝－1.4＜0，∴W 随x 的增大而减小．∴当x ＝2时，W 取得最大值，为33.2.此时y ＝－3x ＋20＝14，20－x －y ＝4.故应安排2辆汽车装运鲢鱼，14辆汽车装运草鱼，4辆汽车装运青鱼，能使此次销售获利最大，最大利润为33.2万元．4．解：(1)因为AB ＝x m ，所以BC ＝(24－3x) m ，此时S ＝x(24－3x)＝－3x 2＋24x.(2)由已知得－3x 2＋24x ＝45，整理可得x 2－8x ＋15＝0.解得x 1＝5，x 2＝3.∵0＜24－3x ≤10，得143≤x ＜8，∴x 2＝3不符合题意，故AB ＝5 m . (3)S ＝－3x 2＋24x ＝－3(x 2－8x)＝－3(x －4)2＋48.∵143≤x ＜8，∴当x ＝143时，S 最大值＝4623.∴能围成面积比45 m 2更大的鸡舍．当BC 的长是10 m ，AB 的长是423 m 时，鸡舍的面积最大，为4623 m 2.5．解：(1)由题意可知，∠B ＝60°，BP ＝(3－t)cm ，BQ ＝t cm .若△PBQ 是直角三角形，则∠BPQ ＝30°或∠BQP ＝30°，于是BQ ＝12BP 或BP ＝12BQ ，即t ＝12(3－t)或3－t ＝12t.解得t ＝1或t ＝2，即当t 为1或2时，△PBQ 是直角三角形．(第5题) (2)如图，过点P 作PM ⊥BC 于点M ，则易知BM ＝12BP ＝12(3－t)cm .∴PM ＝BP 2－BM 2＝32(3－t)cm .∴S 四边形APQC ＝S △ABC －S △PBQ ＝12×3×323－12t·32(3－t)＝34t 2－334t ＋934，即y ＝34t 2－334t ＋934，易知0<t<3.于是y ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋27316，∴当t ＝32时，y 取得最小值，为27316.即当t 为32时，四边形APQC 的面积最小，最小面积为27316 cm 2.6．解：(1)由题意可知，空调的采购数量为x 1台，则冰箱的采购数量为(20－x 1)台，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1≥119（20－x 1），－20x 1＋1 500≥1 200，解得11≤x 1≤15.∵x 1为整数，∴x 1可取的值为11，12，13，14，15.∴该商家共有5种进货方案．(2)设总利润为W 元，y 2＝－10x 2＋1 300＝－10(20－x 1)＋1 300＝10x 1＋1 100，则W ＝(1 760－y 1)x 1＋(1 700－y 2)x 2＝1 760x 1－(－20x 1＋1 500)x 1＋(1 700－10x 1－1 100)(20－x 1)＝1 760x 1＋20x 12－1 500x 1＋10x 12－800x 1＋12 000＝30x 12－540x 1＋12 000＝30(x 1－9)2＋9 570.当x 1＞9时，W 随x 1的增大而增大，∵11≤x 1≤15，∴当x 1＝15时，W 最大值＝30×(15－9)2＋9 570＝10 650.答：采购空调15台时总利润最大，最大利润为10 650元．7．解：(1) y ＝50－110x(0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)．(2)由题意可知，W ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫50－110x (180＋x －20)，即W ＝－110x 2＋34x ＋8 000.(3)∵W ＝－110x 2＋34x ＋8 000＝－110(x －170)2＋10 890，∴当x<170时，W 随x 的增大而增大，又∵0≤x ≤160，∴当x ＝160时，W 最大值＝10 880，此时，y ＝50－110×160＝34.答：一天订住34个房间时，宾馆获得的利润最大，最大利润是10 880元．专训31．B 点拨：因为抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，与x 轴有两个交点，－b 2a ＞0，所以a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2－4ac ＞0，所以abc ＜0，b 2－4ac 4a ＜0，故①正确，②错误．因为OA ＝OC ，所以点A 的坐标可表示为(－c ，0)，代入表达式得ac 2－bc ＋c ＝0，所以ac －b ＋1＝0，故③正确．设点A ，B 的坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，所以x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c＝0的两根，所以x 1x 2＝c a ，又OA ＝－x 1，OB ＝x 2，所以OA·OB ＝－c a ，故④正确．所以①③④正确．2．B 3.D 4.x 1＝0，x 2＝2 5.C6．解：(1)将点A(－1，0)的坐标代入y ＝－x ＋m ，得m ＝－1；将点A(－1，0)，B(2，－3)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎨⎧a －b －3＝0，4a ＋2b －3＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，∴y ＝x 2－2x －3.(2)易知C 点的坐标为(0，－3)，一次函数的图象与y 轴的交点坐标为(0，－1)．∴S △ABC ＝12×[－1－(－3)]×1＋12×[－1－(－3)]×2＝12×2×1＋12×2×2＝3.专训1 二次函数与几何的应用名师点金：二次函数与几何的应用非常广泛，解决这类问题的关键是要学会数形结合，一方面，抓住几何图形的特征，灵活运用点的坐标与线段长度之间的相互转化，从而解决与二次函数有关的问题；另一方面，已知二次函数表达式可求出特殊点的坐标，进而求出线段长度，从而解决有关几何问题．二次函数与三角形的综合1．如图，在直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y＝12x2＋bx－2过点C.求抛物线对应的函数表达式．(第1题)二次函数与平行四边形的综合2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2 cm，点A，C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B，且12a＋5c＝0.(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)如果点P由点A开始沿AB边以2 cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1 cm/s的速度向点C移动．一点到达终点后另一点停止移动．①移动开始后第t s时，设S＝PQ2(cm2)，试写出S与t之间的函数表达式，并写出t的取值范围．②当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．(第2题)二次函数与矩形、菱形、正方形的综合3．二次函数y＝23x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A n在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B n在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3，…，C n在二次函数位于第二象限的图象上．四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，(第3题)四边形A2B3A3C3，…，四边形A n－1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2。